矩阵的秩 学年论文

学院数学与信息科学学院专业信息与计算科学年级2009级姓名张晓函论文题目矩阵的秩指导教师彭玉成职称讲师成绩2009年5月25日学年论文成绩评定表目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keywords (1)引言 (1)1预备知识 (1)2矩阵的秩的性质 (2)3矩阵秩的计算 (4)4矩阵秩的应用 (8)5结束语 (9)参考文献 (9)矩阵的秩学生姓名：张晓函学号：20095034048数学与信息科学学院信息与计算科学系指导教师：彭玉成职称：讲师摘要：本文是关于求一个数字矩阵的秩的方法的初步探究.归纳总结了求矩阵秩的常用方法.关键词：矩阵；初等变换；子式；极大线性无关组Matrix rankAbstract:This article is about for a digital matrix rank of the preliminary inquiry method. Summarizes the commonly used method of matrix rankKeywords: matrix,elementary transformation, son,great linearly independent groups前言矩阵是贯穿线性代数的一块重要内容．而对矩阵秩的探究是我们学习矩阵的一个重要部分.也是我们判断线性方程组解的情形的重要手段．下面就来具体讨论、探究数字矩阵秩的求解方法.1．预备知识定义1.1：矩阵A中不为零的子式的最高阶数称为A的秩.记作()r A定义1.2：矩阵的行秩就是矩阵行向量的秩；矩阵的列秩就是矩阵列向量的秩.矩阵A中任意选定k行和k列，位于这些选定的行和列的交点定义1.3：在一个s n上的2k个元素按原来的次序所组成k级行列式，称为A的一个k级子式.定义1.4：向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.2.矩阵的秩的性质1）现在我们来研究矩阵的秩具有哪些性质，从而利用这些性质求矩阵的秩。

性质2.1矩阵的行秩与列秩相等．证 设所讨论的矩阵为111212122212n n s s sn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ， 而A 的行秩=r ，列秩=1r ．为了证明r 1r =，我们先来证明1r r ≤．以12,,,s ααα 代表矩阵A 行向量组，无妨设12,,,r ααα 是它的一个极大线性无关组．因为12,,,r ααα 是线性无关的，所以方程110r r x x αα++=只有零解，也就是说，齐次线性方程组11121211222221122000r r r rn n rn r a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 只有零解．则这个方程组的系数矩阵112111222212r r n n rn a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭的行秩≥r ．因之在它的行向量中可以找到r 个线性无关的，譬如说，向量组()11211,,,r a a a ，()12222,,,r a a a ，…，()12,,,r r rr a a a线性无关．那么在这些向量上添加几个分量后所得的向量组()112111,,,,,r s a a a a ，()122222,,,,,r s a a a a ，…，()12,,,,,r r rr sr a a a a也线性无关．它们正好是矩阵A 的r 个列向量，有它们线性无关性可知矩阵A 的列秩1r 至少是r ，也就是说1r r ≥．用同样的方法可证1r r ≥．这样，我们就证明了行秩与列秩相等． 性质2.2 初等行（列）变换不改变矩阵的秩证 矩阵的初等行变换是把行向量组变成一个与之等价的向量组，而我们知道，等价的向量组都有相同的秩．因此，初等变换不改变举证的秩．同样的，初等列变换也不改变举证的秩．定理2.1一矩阵的秩是r 的充分必要条件是矩阵中有一个r 级子式不为零，同时所有1r +级子式全为零．3. 矩阵的秩的计算3.1方法一 初等变换分析：由性质2可知，矩阵经初等变换后，其秩不变．因此，可用初等变换求矩阵的秩．用初等变换求矩阵的秩，级可一用初等行变换，也可用初等列变换，也可交替进行把替个矩阵A 化为阶梯行矩阵．由于阶梯形矩阵的秩就是其非零行（列）数的个数，所以化得的阶梯形矩阵中非零行（列）数就是矩阵A 的秩． 3.1.1 已知11210224203061103001A -⎛⎫⎪-⎪= ⎪-⎪⎝⎭，求()r A ． 解：对矩阵A 进行初等行变换化阶梯形1121011210112102242000000030413061103041000123030010300000000A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪--⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪---⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因为非零行的个数为3，故()r A 3=．注：此方法使用方便，不需要计算行列是，也不需要考察向量组的相关性，因此，是求秩最常用的方法． 3.2 方法二：计算子式法分析：由定义1，矩阵的秩就是矩阵中不等于零的子式的最高阶数．根据这一定义，要求矩阵A 的秩，需计算行列式的各阶子式．从阶数最高的子式开始，一直找到不等于零的子是中阶数最大色一个子式．则这个子式的阶数就是矩阵A 的秩． 3.2.1 设11210224203061121421A -⎛⎫⎪-- ⎪=⎪-⎪⎝⎭，求()r A ．解：因为A 只有4行，所以A 的每4阶子式都取遍A 的4行；又因为A 有5列，所以每次取出4列按原来的顺序组成的4阶子是共有45C 5=个，它们是11212242030612142--=-11202240030612141--=11102220030112121---=-1212420036112421-=-12102420006111421---=-所以A 的所有4阶子式都等于零，在考虑A 的3阶子式，有一个3阶子式214200611o-≠- 所以由定理1可知，()r A 3=． 3.3 方法三：综合法综合使用初等变换和计算子式法秋菊在的秩的方法称为综合法．先对矩阵A 施行初等变换，将其化为比较简单的形式B (不必为阶梯形)，然后用计算B 的子式的方法求出()()r A r B =．3.3.1 求下列矩阵141268261042191776341353015206A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的秩 解：1412682000006104219176104219177634176341353015206353015206A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 000006104219177634100001⎛⎫ ⎪⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭B = 显然B 的所有4阶子式均为零，B 中有一个3阶子式不为零，故()()r A r B =． 3.4 方法四：求极大线性无关组法因为秩()A =A 的行秩=A 的列秩，而由定义3可知，向量组的极大线性无关组所函向量的个数．所以，求矩阵A 的秩可转化为求A 的行向量或列向量的极大线性无关组所含向量的个数．3.4.1 求下列矩阵6157141656411235184621086A -⎛⎫⎪-⎪= ⎪-⎪--⎝⎭的秩．解 设A 的5个列向量依次为12345,,,,ααααα()16,1,2,4α=- ()21,5,3,6α=- ()35,6,5,2α= ()47,4,1,10α=--- ()54,11,8,8α=由于12,αα对应分量不成比例，故12,αα线性无关．而321ααα=+， 412ααα=-， 5122ααα=+．故12,,αα是A 的列向量的极大线性无关组，所以秩()A 2=．4 矩阵的秩的应用矩阵的秩的应用很广泛，但由于目前所学知识的有限，现只讨论矩阵的秩在 齐次线性方程组中的应用．1.1.1求解齐次线性方程组12345123451234534520243023302520x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨--++-=⎪⎪+-=⎩解 对系数矩阵A 进行初等行变换12111243111213300252A ⎛⎫⎪ ⎪=→⎪---⎪-⎝⎭12111001110024200252⎛⎫⎪-- ⎪→⎪-⎪-⎝⎭12111001110006000070⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪⎪⎝⎭12111001110001000000⎛⎫ ⎪-- ⎪→ ⎪⎪⎝⎭B =得到同解的方程组的系数矩阵为B ，则有()()3r A r B ==， 5n =， ()2n r A -=故此方程组有两个自由未知量，选主元所在的未知量为独立未知量．即134,,x x x 为独立未知量，25,x x 为自由未知量．得到同解方程组134********x x x x x x x x x ++=--⎧⎪-=⎨⎪=⎩取251,0x x ==和250,1x x ==得基础解系为1(2,1,0,0,0)η=- ， 2(2,0,1,0,1)η=-于是 0Ax =的一般解为 1122k k ηηη=+（其中12,k k 为任意实数）5结束语通过对该部分知识的研究和总结，我对矩阵的求秩问题有了更深刻的认识．激发了我对矩阵这部分知识的学习兴趣，同时我也认识到随着对知识的深入学习，在不久的将来，矩阵的秩将运用到更广泛的领域．参考文献[1]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数(第三版)[M ].北京：高等教育出版社，2003.[2]张学元．线性代数能力试题题解．华中理工大学出版社[M]．2003．[3]俞正光．线性代数与空间解析几何学习指导：典型例题精析．北京:科学出版社[M]．2003。