2019高考等比数列的前n项和10大题(答案及解析)

2019高考等比数列的前n 项和10大题（答案及解析）

一、选择题

1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )

A ．16(1－4－n )

B ．16(1－2－n )

C.323(1－4－

n ) D.323(1－2－n )

[答案] C

[解析] 本题主要考查等比数列的性质及求和运算．

由a 5

a 2＝q 3＝142＝18知q ＝12，而新的数列{a n a n ＋1}仍为等比数列，且公比为q 2＝14，

又a 1·a 2＝4×2＝8，

故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8[1－(14)n ]1－14

＝323

(1－4－n )．

2．正项等比数列{a n }满足a 2a 4＝1，S 3＝13，b n ＝log 3a n ，则数列{b n }的前10项和是(

) A ．65 B ．－65

C ．25

D ．－25

[答案] D

[解析] ∵{a n }为正项等比数列，a 2a 4＝1，

∴a 3＝1，又∵S 3＝13，∴公比 q ≠1.

又∵S 3＝a 1(1－q 3

)

1－q ＝13，a 3＝a 1q 2

＝1，

解得q ＝13.

∴a n ＝a 3q n －3＝(13

)n －3＝33－n ， ∴b n ＝log 3a n ＝3－n .

∴b 1＝2，b 10＝－7.

∴S 10＝10(b 1＋b 10)2＝10×(－5)2

＝－25. 二、填空题

3．等比数列{a n }中，若前n 项的和为S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.

[答案] 13

(4n －1) [解析] ∵a 1＝S 1＝1，a 2＝S 2－S 1＝3－1＝2，

∴公比q ＝2.

又∵数列{a 2n }也是等比数列，首项为a 21＝1，公比为q 2＝4，

∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1(1－4n )1－4

＝13(4n －1)． 4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 22－S 11＝________.

[答案] －65

[解析] S n ＝－4－4－4＋…＋(－1)n －1(4n －3)，

∴S 22＝－4×11＝－44，

S 11＝－4×5＋(－1)10(4×11－3)＝21，

∴S 22－S 11＝－65.

三、解答题

5．数列{a n }中，a 1＝13.前n 项和S n 满足S n ＋1－S n ＝(13

)n ＋1(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式a n 以及前n 项和S n ；

(2)若S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列，求实数t 的值．

[解析] (1)由S n ＋1－S n ＝(13)n ＋1得a n ＋1＝(13

)n ＋1(n ∈N *) 又a 1＝13，故a n ＝(13

)n (n ∈N *) 从而S n ＝13×[1－(13)n ]1－13

＝12[1－(13)n ](n ∈N *) (2)由(1)可得S 1＝13，S 2＝49，S 3＝1327

从而由S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列可得 13＋3×(49＋1327)＝2×(13＋49

)t ，解得t ＝2. 6．等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{1b n

}的前n 项和． [解析] (1)设数列{a n }的公比为q .

由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19

. 由条件可知q >0，故q ＝13

. 由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13

. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n ；