高三数学理科立体几何练习(体积表面积)

高三数学理科立几练习(表面积+体积)

班级 姓名 座号

一、柱、锥、台和球的侧面积和体积

面积 体积

圆柱 S 侧＝2πrh V ＝Sh ＝πr 2h 圆锥 S 侧＝πrl V ＝13Sh ＝13πr 2h ＝1

3

πr 2l 2－r 2

圆台 S 侧＝π(r 1＋r 2)l V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h ＝13

π(r 21＋r 22＋r 1r 2)h 直棱柱 S 侧＝Ch

V ＝Sh

正棱锥 S 侧＝1

2Ch ′

V ＝13

Sh

正棱台 S 侧＝1

2(C ＋C ′)h ′

V ＝1

3

(S 上＋S 下＋S 上S 下)h

球 S 球面＝4πR 2

V ＝4

3

πR 3

(1)几何体的侧面积是指各个侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面面积之和． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形． 二、多面体的表面积的求法：

(1)求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁，从而架起侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素的联系． (2)旋转体的表面积的求法：

圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．

三、给出几何体的三视图，求该几何体的体积或表面积时，可以根据三视图还原出实物，

画出该几何体的直观图，确定该几何体的结构特征，并利用相应的体积公式求出其体积，求体积的方法有直接套用公式法、等体积转换法和割补法等多种．若所给几何体为不规则几何体，常用等体积转换法和割补法求解． 练习：

1．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的 ( )．

A ．2倍

B ．22倍 C.2倍 D.3

2倍

2．如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体

的体积为( )

A.1423

B.2843

C.2803

D.1403

4．点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，给出下列四个命题：

①三棱锥A -D 1PC 的体积不变；②A 1P ∥平面ACD 1；

③DP ⊥BC 1；④平面PDB 1⊥平面ACD 1. 其中正确的命题序号是________．

5. 棱长为2的正四面体的表面积是 ，体积是 ，其外接

球体积为 。

6．如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________c m.

7．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．

8. 一个几何体的三视图如图所示．已知主视图是底边长为1的平行四边形，左视图是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．

(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.

9．已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，主视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.

10.已知圆锥的母线长为20cm，则当其体积最大时，其侧面积为（）

A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2

高三(上)数学立几练习(体积表面积)

班级姓名座号

(1)几何体的侧面积是指各个侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面面积之和．

(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形．

二、多面体的表面积的求法：

(1)求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征几何图形，如棱柱中的矩形，棱

台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁，从而架起侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素的联系．

(2)旋转体的表面积的求法：

圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．

三、给出几何体的三视图，求该几何体的体积或表面积时，可以根据三视图还原出实物，

画出该几何体的直观图，确定该几何体的结构特征，并利用相应的体积公式求出其体积，求体积的方法有直接套用公式法、等体积转换法和割补法等多种．若所给几何体为不规则几何体，常用等体积转换法和割补法求解．

练习：

1．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的()．答案 B

A ．2倍

B ．22倍 C.2倍 D.3

2倍 2．如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多

面体的体积为( )．答案 B

A.1423

B.2843

C.2803

D.140

3

解析 根据三视图的知识及特点，可画出多面体

的形状，如图所示．这个多面体是由长方体截去一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积

V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－13×????12×2×2×2＝284

3

. 3. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则其侧面积与全面积的比为 ，2:3

此圆锥体积为 3

3

V π=

2R r =，2R =，1r =

4．点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，给出下列四个命题：

①三棱锥A -D 1PC 的体积不变；②A 1P ∥平面ACD 1；

③DP ⊥BC 1；④平面PDB 1⊥平面ACD 1. 其中正确的命题序号是________．

解析：连接BD 交AC 于O ，连接DC 1交D 1C 于O 1，连接OO 1，则OO 1∥BC 1.

∴BC 1∥平面AD 1C ，动点P 到平面AD 1C 的距离不变， ∴三棱锥P -AD 1C 的体积不变． 又VP -AD 1C ＝VA -D 1PC ，∴①正确．

∵平面A 1C 1B ∥平面AD 1C ，A 1P ? 平面A 1C 1B ， ∴A 1P ∥平面ACD 1，②正确．

由于DB 不垂直于BC 1，显然③不正确； 由于DB 1⊥D 1C ，DB 1⊥AD 1，D 1C ∩AD 1＝D 1， ∴DB 1⊥平面AD 1C .DB 1?平面PDB 1， ∴平面PDB 1⊥平面ACD 1，④正确． 答案：①②④

5.棱长为2的正四面体的表面积是 43，体积是 ，其外

接球体积为 。36π 解析：每个面的面积为：

12×2×2×32

＝3.∴表面积为4

3，体积是

12622

33V =??=外接球直径223(2)R =?，半径3R =，体积

34

3

V R π==36π（将四面体补成正方体）

6．如图，已知正三棱柱ABCA 1B 1C 1的底面边长为2 cm ，高为5 cm ，

则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短路线的长为________c m. 答案 13

解析 根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为52＋122＝13 (cm)．

7． (2014·浙江杭州模拟)如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠

ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．

解：由已知得：CE ＝2，DE ＝2，CB ＝5，

S 表面＝S 圆台侧＋S 圆台下底＋S 圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×22＝(60＋42)π，

V ＝V 圆台－V 圆锥＝13(π·22＋π·52＋22·52π2)×4－13π×22×2＝148

3

π.

8.一个几何体的三视图如图所示．已知主视图是底边长为1的平行四边形，左视图是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．

(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的表面积S. 解析 (1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为3，所以V ＝1×1×3＝ 3. (2)由三视图可知，该平行六面体中， A1D ⊥平面ABCD ，CD ⊥平面BCC1B1，

所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形， S ＝2×(1×1＋1×3＋1×2)＝6＋2 3.

9．已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，主视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．

(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S .

解析 由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h 1的等腰三角形，左、

右侧面均为底边长为6，高为h 2的等腰三角形，如右图所示． (1)几何体的体积为：V ＝13·S 矩形·h ＝1

3

×6×8×4＝64.

(2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h 1＝42＋32＝5.左、右侧面的底边上的高为：h 2＝

42＋42＝4 2.故几何体的侧面面积为：S ＝2×???

?12×8×5＋12×6×42＝40＋24 2. 10．（2015秋?吉安期末）已知圆锥的母线长为20cm ，则当其体积最大时，其侧面积为（ ） A ．

cm 2

B ．

cm 2

C ．

cm 2

D ．

cm 2

【分析】设底面半径为r ，用r 表示出圆锥的体积，利用函数思想求出体积的极大值点，代入侧面积公式即可．

【解答】解：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则h=，∴圆锥的体积

V=πr 2h=

，

令f （r ）=400r 4﹣r 6，∴f′（r ）=1600r 3﹣6r 5，令f′（r ）=0，解得r=，

当0＜r ＜时，f′（r ）＞0，当

＜r ＜20时，f′（r ）＜0．

∴当r=

时，f （r ）取得最大值，即圆锥的体积取得最大值．

此时，圆锥的侧面积S=πrl=π××20=

．

故选：B ．

9.【2016全国大联考1（课标I 卷）】直三棱柱111ABC A B C -中，底面是正三角形，三棱柱的高为3，若P 是111A B C ?中心，且三棱柱的体积为9

4

，则PA 与平面ABC 所成的角大小是（ ） A.

6

π

B.

4

π

C.

3

π

D.

23

π 【答案】C

【解析】由题意可设底面三角形的边长为a ，过点P 作平面ABC 的垂线，垂足为O ，则点O 为底面ABC 的中心，故PAO ∠即为PA

与平面ABC 所成的角，由于233323OA a a =?=，而

3OP =，又因为三棱柱的体积为9

4

，由棱柱体积公式得

(

)

2

39

334

4

V a =

??=

，解得3a =，所以3

tan 33

3

PO

PAO AO

a ∠=

==，得，故PA 与平面ABC 所成的角大小是3π，故正确

答案为C.

(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为________．

解析：如图，设球O 的半径为R ，

则由AH ∶HB ＝1∶2得HA ＝13·2R ＝23R ，∴OH ＝R

3.

∵截面面积为π＝π·(HM )2，∴HM ＝1. 在Rt △HMO 中，OM 2＝OH 2＋HM 2，

∴R 2＝19R 2＋HM 2＝19R 2＋1，∴R ＝32

4

.

∴S 球＝4πR 2＝4π·(324)2＝9

2

π.

5.（2012·高考山东卷)如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，

F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1-EDF 的体积为

O

P

C 1B 1

A 1

C A

__________．[答案] 1

6

[解析] 三棱锥D 1-EDF 的体积即为三棱锥F -DD 1E 的体积．因为E ，F 分别为AA 1，

B 1

C 上的点，所以在正方体ABC

D -A 1B 1C 1D 1中△EDD 1的面积为定值1

2

，F 到平面AA 1D 1D

的距离为定值1，所以VF -DD 1E ＝13×12×1＝1

6

.

二、滚动练习

1．设i 是虚数单位，则2

(1)i i

--

等于 D A ．0 B ． 4 C ．2 D

2.（2011·辽宁高考理科·Ｔ10）若a ，b ，c 均为单位向量，且0=?b a ，（a -c ）·（b -c ）

≤0，则|+-|的最大值为 B

A ．1-2

B ．1

C ．2

D ．2

【精讲精析】由（a -c ）·（b -c ）≤0，得02

≤+?-?-?c c b c a b a ，又0=?b a 且a ，b ，c 均为单位向量，得1-≤?-?-c b c a ，|a +b -c |2=（a +b -c ）2=

)(22

22c b c a b a c b a ?-?-?+++=123)(23=-≤?-?-+c b c a ，故|a +b -c |的最大

值为1.

3.已知函数 f (x )＝11

2

3,0

log ,0x x x x +?≤?

?>?? ，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取

值范围是________．答案：－1

解析：当x ≤0时，3

x ＋1

>1?x ＋1>0，∴－1

当x >0时， 12

log x >1?1

2

x <

，∴102x <<. 综上所述：－1

4. 在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系。曲线1

C 的极坐标方程是cos()224π

ρθ+=，曲线2C 的参数方程是2cos 23sin x y α

α

=???=??（α为

参数，02

π

α-

≤≤），求曲线2C 上的点到直线1C 的距离的取值范围。

4. 解：曲线2C 是椭圆，其参数方程是4cos 23sin x y α

α

=???=??（α为参数，02πα-≤≤），

2cos 23sin 4

2

d αα--=

413cos sin 122sin()12

262π

ααα=

--=--

22sin()16

π

α=-+

202366

π

ππ

απα-

≤≤∴-≤-≤-Q 1

1sin()62πα∴-≤-≤- 02d ∴≤≤

5. 某地区共有100万人，现从中随机抽查800人，

发现有700人不吸烟，100人吸烟．这100位吸烟者年均烟草消费支出情况的频率分布直方图如图．将频率视为概率，回答下列问题：

（Ⅰ）在该地区随机抽取3个人，求其中至少1人吸烟的概率；

（Ⅱ）据统计，烟草消费税大约为烟草消费支出的40%，该地区为居民支付因吸烟导致的疾病治疗等各种费用年均约为18800万元．问：当地烟草消费税是否足以支付当地居民因吸烟导致的疾病治疗等各种费用？说明理由． 解：（Ⅰ）依题意可知，该地区吸烟者人数占总人数的

1

8

． 所以抽取的3个人中至少

1人吸烟的概率为0

3

3171()()8

8

p C =-169

512

=

． 另解：12221130

333171717169()()+()()+()()888888512

P C C C ==

（Ⅱ）由频率分布直方图可知，吸烟者烟草消费支出的平均数为

0.150.10.250.30.350.30.450.10.550.10.650.1?+?+?+?+?+?0.36=（万元） 又该地区吸烟者人数为

1

1008

?万， 所以该地区年均烟草消费税为41

100100.40.36180008

????=（万元）． 又由于该地区因吸烟导致的疾病治疗等各种费用约为18800万元，它超过了当地烟草消费税，所以当地的烟草消费税不足以支付当地居民因吸烟导致的疾病治疗等各种费用．