高斯投影的方法与特性
大地测量学第六章高斯投影及其计算
第六章 高斯投影 及其计算
中国矿业大学环境与测绘学院
第六章 高斯投影及其计算概述
1、椭球面上计算复杂； 2、椭球面上表示点位的经度、纬度大地线长、大地
方位角等对大比例尺测图不适应； 3、为了测绘地形图和计算的方便，需通过地图投影
的方法将椭球面上的元素化算到平面上； 4、本章主要介绍正形投影的特性以及高斯投影建立
应用大地测量学
§6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形
1、用大地坐标表示的高斯投影长度比m
式中：
2、用平面坐标表示的高斯投影长度比m
m
1
y2 2R 2
y4 24R4
式中y为投影点的横坐标，R为该点处椭球平均曲率半径。
应用大地测量学
§6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形
3、长度变形m-1与横坐标y的关系
5 5′
应用大地测量学
§6.3 高斯投影坐标计算
高斯投影坐标正算——由（B，L）求（x，y） 高斯投影坐标反算——由（x，y）求（B，L）
应用大地测量学
§6.3.1 高斯投影坐标正算公式
(6-26)
式中，X为由赤道至纬度B的子午线弧长， 为计算点P点与中央子午线
的经差。N为卯酉圈曲率半径，t=tanB， η=e′cosB。 L-L0若以度为单位，则ρ=57.295779513； L-L0若以分为单位，则ρ=3437.7467708; L-L0若以秒为单位，则ρ=206264.80625。
平面直角坐标系的方法、观测元素的化算、高斯 投影坐标计算。
第六章 高斯投影及其计算
第一节 地图投影概念和正形投影性质 第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系（基础） 第三节 高斯投影坐标计算（重点） 第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面
如何理解UTM和高斯投影以及3度带、6度带的问题
几种地图投影的特点及分带方法做空间分析之前数据准备的时候，将多源数据（如DEM，遥感影像，土地利用图，土壤图，行政区划图等等）转换到统一的坐标系下，让它们能叠在一起，这个工作繁琐，经常让俺头疼，每次得摸索一阵子，好不容易搞明白了，下次做的时候，又因为好久不做，忘得一干二净，为了防止下次做的时候又重新再摸索，就在博客里记一下笔记，供以后用到的时候参考。
在ARCGIS下经纬度坐标的数据和公里格网数据是能自动叠加在一起的——在公里格网数据的投影设置正确的情况下。
而且，6度带的数据与3度带的数据也能自动叠加在一起。
只要投影设置正确了，所有图层都能在ArcGIS里面叠加在一起，整个Data Frame的坐标系统以第一个添加的图层为准，全部自动统一到这个坐标系统下。
拿到数据第一件事情，先看X，Y坐标的整数位数，有以下两种情况：(东阳何生的经验总结)1、X坐标6位，Y坐标7位(东阳何生的经验总结)没有加带号的坐标，坐标单位是米，假偏东500公里。
(东阳何生的经验总结)2、X坐标8位，Y坐标7位(东阳何生的经验总结)加了带号的坐标，坐标单位是米。
X坐标最前面两位就是添加的带号，这时就要判断是3度带还是6度带，我国幅员辽阔，经度从东经72度到135度，有经验的人一看带号就能大致知道是6度分带还是3度分带；没有经验的，就随便假设一个，然后根据下面的公式算出其中央经线，再与研究区域所在的经度对照，看是否相符，从而判断出是3度分带还是6度分带。
带号与中央经线一一对应，知道两者中的任何一个，都能推算出另外一个的值，计算公式如下：(东阳何生的经验总结)6度带中央经线经度的计算：当地中央经线经度＝6°×当地带号－3°（适用于1∶2．5万和1∶5万地形图）3度带中央经线经度的计算：中央经线经度＝3°×当地带号（适用于1∶1万地形图）搞清楚数据坐标的投影之后，就可以在ARCGIS里面定义，此方法可以解决大部分数据叠加问题，采用地方坐标系的特例另当别论，这里只讨论通常情况。
几种常见地图投影各自的特点及其分带方法
几种常见地图投影各自的特点及其分带方法高斯-克吕格（Gauss-Kruger）投影，是一种“等角横切圆柱投影”。
德国数学家、物理学家、天文学家高斯（Carl Friedrich Ｇauss，1777一1855）于十九世纪二十年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格（Johannes Kruger，1857～1928）于1912年对投影公式加以补充，故名。
设想用一个圆柱横切于球面上投影带的中央经线，按照投影带中央经线投影为直线且长度不变和赤道投影为直线的条件，将中央经线两侧一定经差范围内的球面正形投影于圆柱面。
然后将圆柱面沿过南北极的母线剪开展平，即获高斯一克吕格投影平面。
一、只谈比较常用的几种：“墨卡托投影”、“高斯-克吕格投影”、“UTM投影”、“兰勃特等角投影”1．墨卡托(Mercator)投影1.1 墨卡托投影简介墨卡托(Mercator)投影，是一种" 等角正切圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托（Gerhardus Mercator 1512－1594）在1569年拟定，假设地球被围在一中空的圆柱里，其标准纬线与圆柱相切接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅选定标准纬线上的“墨卡托投影”绘制出的地图。
墨卡托投影没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角，经线间隔相等，纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。
墨卡托投影的地图上长度和面积变形明显，但标准纬线无变形，从标准纬线向两极变形逐渐增大，但因为它具有各个方向均等扩大的特性，保持了方向和相互位置关系的正确。
在地图上保持方向和角度的正确是墨卡托投影的优点，墨卡托投影地图常用作航海图和航空图，如果循着墨卡托投影图上两点间的直线航行，方向不变可以一直到达目的地，因此它对船舰在航行中定位、确定航向都具有有利条件，给航海者带来很大方便。
“海底地形图编绘规范”（GB/T 17834-1999，海军航保部起草）中规定1：25万及更小比例尺的海图采用墨卡托投影，其中基本比例尺海底地形图（1：5万，1：25万，1：100万）采用统一基准纬线30°，非基本比例尺图以制图区域中纬为基准纬线。
测量学复习资料(1)
绪论测量学及其分支学科1、定义：测量学是一门研究地球的形状和大小，以及测定地面点的位臵和高程，将地球表面的地形及其他信息测绘成图的学科。
分支学科:1、普通测量学：研究地球表面局部地区测绘工作.研究将地球表面局部地区的地貌、地物测绘成地形图和编制地籍图的基本理论和方法2、大地测量学：研究和确定地球整体、重力场及地球整体与局部运动。
任务：建立国家大地控制网。
研究测定地球的形状和大小及地球表面较大地区的点位测定和计算的有关理论与方法的学科。
3、摄影测量学：利用摄影影像研究地物形状、大小、位臵等。
研究利用航天、航空、地面的摄影和遥感信息，进行测量的方法和理论的学科。
4、工程测量学：工程建设中地形测绘、放样、变形监测等5、海洋测量学：海洋水体、港口、航道、海底等的测绘研究测量和制图的理论和技术在工程建设中的应用。
大地水准面、大地体、参考椭球体大地水准面：•平均海水面向陆地延伸所形成的闭合水准面•由于地表起伏以及地球内质量分布不均匀，所以大地水准面是个复杂的曲面大地体：•大地水准面所包围的形体称为大地体参考椭球体：由于大地水准面是不规则曲面，无法准确描述和计算。
也难以在其面上处理测量成果。
因此，用一非常接近大地水准面的数学面------旋转椭球面代替大地水准面，用旋转椭球体描述地球。
称参考椭球体。
长半径 a=6378137m短半径b=6356752m扁率f=(a-b)/b=1/298.257测量工作的基准线、基准面测量工作的基准线—铅垂线。
测量工作的基准面—大地水准面。
测量内业计算的基准线—法线。
测量内业计算的基准面—参考椭球面。
绝对高程、相对高程、我国的高程系统、水准原点高程（绝对高程、海拔）-----地面点到大地水准面的铅垂距离。
假定（相对）高程-----地面点到假定水准面的铅垂距离。
高差-----两点间的高程之差。
我国高程基准面——大地水准面水准原点：全国高程的起算点。
1956年黄海高程系（72.289m）青岛验潮站1950-1956。
6高斯投影及其计算
应用大地测量学
第一节 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学
第一节 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学
（二）投影变形 角度变形、长度变形和面积变形三种。 （三）投影长度比与变形指标 投影长度比——投影面上无限小线段 ds与椭球面上该线段实际长度 dS之比，以m表示，m=ds/dS。长度变形—— v= m-1 变形指标：主方向上投影长度比a和b叫变形指标。 若a=b，则为等角投影，既投影后长度比不随方向而变化。 若ab=1，则为等面积投影。 椭球面上微分圆： 投影平面上对应为微分椭圆：
第一节 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学
二、正形投影特性 1、任一点上，投影长度比m为一常数，不随方向而变，仅与点位置有关。 2、投影后角度不变形。又叫保角映射或叫正形投影。条件是在微小范围内成立。
第一节 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学
三、正形投影的一般条件 正形投影必要和充分的条件是满足柯西—黎曼方程：
y/（km）
10
20
30
40
50
100
150
200
250
300
长度变形m-1
1/810000
1/202000
1/90000
1/50000
1/32000
1/8000
1/3500
1/2000
1/1300
1/900
第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系
应用大地测量学
三、高斯投影的分带 为限制长度投影变形，投影分带有6度分带和3度分带两种方法。
应用大地测量学
三、距离改正计算 距离改正——椭球面上大地线长S改换为平面上投影曲线两端点间的弦长D，要加距离改正△S。
关于高斯投影及其长度变形处理方法的探讨
二、高斯 - 克吕格投影及其变形情况
我国日常测绘项目中多采用高斯 - 克吕格投影。高斯 - 克 吕格投影，又称横轴墨卡托投影是一种等角横轴切椭圆柱投影， 这种投影的中央经线无变形，是一条与球面实际长度相等的直 线，除中央经线和赤道为直线外，其他经线均为对称于中央经 线的曲线。这种投影没有角度变形，在长度和面积上变形也很小， 中央经线无任何变形，自中央经线向投影带边缘，变形逐渐增加， 变形最大处在投影带内赤道的两端。通常采用分带法控制变形， 即按一定经差将地球椭球面划分成若干投影带。分带时既要控 制长度变形使其不大于测图误差，又要使带数不致过多以减少 换带计算工作，据此原则将地球椭球面沿子午线划分成经差相 等的瓜瓣形地带 , 以便分带投影。我国各种大、中比例尺地形 图采用了不同的分带方法，例如大于 1:1 万的地形图多采用 3° 间隔分带；1:1 万到 1:50 万的地形图多采用 6°间隔分带。
此种方法计算简单，基本继承了原坐标系的绝大多数参数， 在海拔较低地区，多使用此种方法解决投影变形问题。
２、投影于抵偿高程面上高斯正形投影 ３°带的平面直 角坐标系。
由上文可知实测边长归算到参考椭球面时的改正数随着
2018/25 CHENGSHIZHOUKAN 城市周刊 95
综合信息
高程的增加而逐渐加大，在海拔较高地区使 4.1 中方法以无法 满足规范要求，此时可采用投影与抵偿高程面的方法有效的解 决这个问题。
首先我们假定实测边长归算到参考椭球面时和参考椭球 面上边长投影到高斯平面上两者变形值完全抵消及得出下式：
经推导上式可简化为：
理论上在测区任意选择一条边，取其两端横坐标（自然值） 的平均值，即可按上式计算出一个投影变形值为 0 的高程。通 过这个高程值和这个边所在的高程面就可以求出这条边的抵 偿高程面。但是实际作业时在一个测区通过一条边求取的抵偿 高程，基本上不可能抵偿所有边的高斯投影变形值。通常实际 作业时可分别应用测区东西两端的 y 和地区的平均曲率半径求 得两个抵偿高程面，以这两个高程面为参考值，并充分考虑项 目区的实际情况、发展远景和已有成果的利用，综合取舍进而 确定最终抵偿高程面。
高斯投影原理
按照6º 带划分的规定，第1带中央子午线的经度为 3º ，其余各带中央子午线经度与带号的关系是： L。=6º N－3º （N为6º 带的带号） 例：20带中央子午线的经度为 L。＝6º × 20－3º ＝117 º 按照3º 带划分的规定，第1带中央子午线的经度为 3º ，其余各带中央子午线经度与带号的关系是： L。=3º n （n为3º 带的带号） 例：120带中央子午线的经度为 L。＝3º × 120＝360 º
2
p2
2
x p1x 302855 .650m p 302855.650m 136780.360m y y .360m p (带号)636780
1
p1
1
国家统一坐标：
xp xp , xp xp
1 1 2 2
p2
p1
o
y
y p1=500000+ y p1
=+ 636780.360m （带号）
赤道 子午线 O y 平行圈 x
中央子午线
④ 除赤道外的其余纬线， 投影后为凸向赤道的曲线， 并以赤道为对称轴。 ⑤ 经线与纬线投影后仍然 平行圈 保持正交。 赤道 ⑥ 所有长度变形的线段， 子午线 其长度变形比均大于l。 ⑦ 离中央子午线愈远，长 中央子午线 度变形愈大。
x
O
y
整个投影变形最大的部位在赤道和投影最外一条经线的交点上(纬 度为0°经差为±3°时，长度变形为1.38‰ ，面积变形为2.7‰)
一定经差分带，分别进行投影。
N 中 央 子 午 线
c
赤道
赤道
S
高斯投影必须满足：
高斯投影平面
1．高斯投影为正形投影，
如何理解UTM和高斯投影以及3度带、6度带的问题
几种地图投影的特点及分带方法做空间分析之前数据准备的时候，将多源数据（如DEM，遥感影像，土地利用图，土壤图，行政区划图等等）转换到统一的坐标系下，让它们能叠在一起，这个工作繁琐，经常让俺头疼，每次得摸索一阵子，好不容易搞明白了，下次做的时候，又因为好久不做，忘得一干二净，为了防止下次做的时候又重新再摸索，就在博客里记一下笔记，供以后用到的时候参考。
在ARCGIS下经纬度坐标的数据和公里格网数据是能自动叠加在一起的——在公里格网数据的投影设置正确的情况下。
而且，6度带的数据与3度带的数据也能自动叠加在一起。
只要投影设置正确了，所有图层都能在ArcGIS里面叠加在一起，整个Data Frame的坐标系统以第一个添加的图层为准，全部自动统一到这个坐标系统下。
拿到数据第一件事情，先看X，Y坐标的整数位数，有以下两种情况：(东阳何生的经验总结)1、X坐标6位，Y坐标7位(东阳何生的经验总结)没有加带号的坐标，坐标单位是米，假偏东500公里。
(东阳何生的经验总结)2、X坐标8位，Y坐标7位(东阳何生的经验总结)加了带号的坐标，坐标单位是米。
X坐标最前面两位就是添加的带号，这时就要判断是3度带还是6度带，我国幅员辽阔，经度从东经72度到135度，有经验的人一看带号就能大致知道是6度分带还是3度分带；没有经验的，就随便假设一个，然后根据下面的公式算出其中央经线，再与研究区域所在的经度对照，看是否相符，从而判断出是3度分带还是6度分带。
带号与中央经线一一对应，知道两者中的任何一个，都能推算出另外一个的值，计算公式如下：(东阳何生的经验总结)6度带中央经线经度的计算：当地中央经线经度＝6°×当地带号－3°（适用于1∶2．5万和1∶5万地形图）3度带中央经线经度的计算：中央经线经度＝3°×当地带号（适用于1∶1万地形图）搞清楚数据坐标的投影之后，就可以在ARCGIS里面定义，此方法可以解决大部分数据叠加问题，采用地方坐标系的特例另当别论，这里只讨论通常情况。
高斯—克吕格投影资料讲解
地图投影的实质： 是将地球椭球面上的经纬线 网按照一定的数学法则转移到平面上。
地图投影变形
把地图上和地 球仪上的经纬 线网进行比较， 可以发现变形 表现在长度、 面积和角度三 个方面。
地图投影——地图投影的变形
这种变形使得地理要素的几何特性受到破坏： 长度变形：地球仪上，纬线长度不等；同一纬线 上，经差相同，纬线长度相同；同一经线上，纬差 相同而经线长度不同；所有经线长度相等。 面积变形：地球仪上，同一纬度带内，经差相同 的网格面积相等；同一经度带内，纬度越高，面积 越小。 角度变形：地球仪上，经线与纬线处处呈直角相 交。
•方位投影 •圆柱投影 •圆锥投影
几何投影的分类
⑴方位投影 以平面作为投影面，使平面与球面相切 或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。
⑵圆柱投影 以圆柱面作为投影面，使圆柱面与球面相 切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆 柱面展为平面而成。
⑶圆锥投影 以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相切 或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面 展为平面而成。
经投影后地图上所产生的长度变形、角度变形和面 积变形是相互联系相互影响的：等积与等角互斥；任 意投影不能保持等角和等积特性；等积投影角度变形 大，等角投影面积变形较大。
地图投影——地图投影的分类
按构成方法分类：几何投影和非几何投影
1. 几何投影：是把椭球面上的经纬线网投影到几何 面上，然后将几何面展为平面而得到的。分为:
（3）伪圆锥投影 纬线为同心圆弧，中央经线为直线，其余经线
均为对称于中央经线的曲线。
（4）多圆锥投影 纬线为同轴圆弧，其圆心均位于中央经线上，
中央经线为直线，其余的经线均为对称于中央经线的曲线。
高斯-克吕格投影
§1-3 高斯-克吕格投影
3、方法
▪ 3°带与3°带 、 6°带与6°带、 ▪3°带与6°带之间的换算 1）3°带 换算为 6°带
▪ 带号重合
换带号
▪ 带号不重合
2）6°带换算为3°带 ▪ 带号重合，离中央子午线的经差小于1.5° ▪ 带号不重合
<3> 除中央子午线外，其它线段的投影均有变形，且离 中央子午线愈远，长度变形愈大。
<4> 投影§前1后-的3角高度保斯持不-变克，吕且小格范围投内的影图形保
持相似。
<5> 具有对称性。
<6> 面积有变形。
三、投§影带1的-3划高分 斯-克吕格投影
1、为什么要分带 为满足测图用图的精度要求，需要限制投影后的长度变形。 2、分带的原则
地形图两套坐标坐标格格网网：为便于地
形图的坐标读取，绘 制的整公里坐标网线。
70
71
西带
32 70
东带 3269
18
210 211
17791
792
§1-4 方位角及其相互
方位角的定义：
关系
在高斯平面内，由基准方向（北方向）顺时针量至某直线的
夹角，称为该直线的方位角。
依据基准方向（北方向）的不同选择，方位角有真方位角、 坐标方位角和磁方位角三种。
任意带：以测区中心子午线为中央子午线。
4、6º带与§3º的1-关3 系高斯-克吕格投影
▪ 带号为奇数的3º带中央子午线与相应6º带的中央 子午线重合。关系式：n’ = 2n-1
▪ 带号为偶数的3º带中央子午线与相应6º带的分带 子午线重合。
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高斯投影的方法与特性
一、高斯投影的方法：高斯-克吕格投影这个投影投影是由德国数学家、物理学家、天文学家高斯于19 世纪20 年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格于1912 年对投影公式加以补充，故称为高斯-克吕格投影。
又称为横轴墨卡托投影、切圆柱投影，是墨卡托投影的变种。
在投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，并且以中央子午线和赤道的交点0作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标轴，以赤道的投影为横坐标轴，这样便形成了高斯平面直角坐标系。
高斯-克吕格投影是一种等角横轴切椭圆柱投影。
它是假设一个椭圆柱面与地球椭球体面横切于某一条经线上，按照等角条件将中央经线东、西各3°或1.5°经线范围内的经纬线投影到椭圆柱面上，然后将椭圆柱面展开成平面而成的。
该投影是19世纪20年代由德国数学家、天文学家、物理学家高斯最先设计，后经德国大地测量学家克吕格补充完善，故名高斯-克吕格投影，简称高斯投影。
这种投影，将中央经线投影为直线，其长度没有变形，与球面实际长度相等，其余经线为向极点收敛的弧线，距中央经线愈远，变形愈大。
赤道线投影后是直线，但有长度变形。
除赤道外的其余纬线，投影后为凸向赤道的曲线，并以赤道为对称轴。
经线和纬线投影后仍然保持正交。
所有长度变形的线段，其长度变形比
均大于 1. 随远离中央经线，面积变形也愈大。
若采用分带投影的方法，可使投影边缘的变形不致过大。
我国各种大、中比例尺地形图采用了不同的高斯-克吕格投影带。
其中大于1:1万的地形图采用3°带；1:2.5万至1:50万的地形图采用6°带。
二、投影特点：1.经投影后，中央子午线为一直线，且长度不变，其它经线为凹向中央子午线的曲线，且长度改变，中央子午线两侧经差相同的子午线互相对称；2.经投影后，赤道为一直线，且长度改变，其它纬线呈凸向赤道的曲线，赤道两侧纬差相同的纬线互相对称；3.中央子午线与赤道经投影后仍保持正交。