第一章直角三角形学案改
期末复习第一章直角三角形教学设计湘教版数学八年级下册
-通过解决实际生活中的问题，让学生学会将问题转化为直角三角形的数学模型。
-引导学生运用勾股定理及其逆定理，解决实际问题，培养数学应用意识。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生热爱数学，对数学知识充满好奇心和求知欲。
-通过探索勾股定理的奥妙，激发学生对数学的兴趣。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.知识与技能方面的重难点：
-理解并掌握勾股定理及其逆定理，能够熟练运用解决实际问题。
-能够运用直角三角形的性质和判定方法，解决几何问题。
-学会建立直角三角形的数学模型，解决生活中的实际问题。
2.过程与方法方面的重难点：
-培养学生独立思考和解决问题的能力，提高数学逻辑思维能力。
4.小组合作探究：
-以小组为单位，共同完成一道探究题，题目涉及勾股定理及其逆定理的证明和应用。
-鼓励学生在合作探究过程中，互相学习、交流、分享，提高团队合作能力。
5.总结与反思：
-完成本节课学习后，撰写学习心得，总结自己在学习直角三角形过程中的收获和不足。
-反思自己在解决问题时的思维方法和策略，为今后的学习提供借鉴。
在此基础上，学生对合作学习、探究学习等方式已有一定经验，但在独立思考和问题解决方面仍有待提高。因此，在教学过程中，应注重激发学生的思考欲望，培养他们独立分析和解决问题的能力。
此外，学生在情感态度方面，对数学学科的兴趣和自信心有所差异。教师应关注个体差异，通过鼓励、表扬等方式，提高学生的学习积极性，培养他们对数学的热爱和自信心。总之，本章节的教学应结合学生的实际情况，因材施教，激发潜能，促使学生在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面取得全面发展。
《直角三角形1》课时教案
《直角三角形1》课时教案【课题】《直角三角形1》【课型】新授【教学目标】知识：1．回顾图形割补的方法验证勾股定理；会证明勾股定理的逆定理.2、知道直角三角形的性质定理及判定定理，能灵活运用它们进行论证。
3、通过具体的例子，学习逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆命题、互逆定理，知道原命题成立时其逆命题不一定成立能力：进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力。
情感：在丰富的活动中发展有条理的思考和表达能力。
;【教学重难点】教学重点：探究勾股定理的逆定理，理解互逆命题，原命题、逆命题的有关概念及关系．理解并掌握直角三角形的性质定理与判定定理，并会应用。
教学难点：勾股定理的逆定理证明方法.【教学方法】自主探究法【教具与教学准备】导学案、PPT、多媒体【学情分析】尽管已到初二下学期学生知识增多，能力增强，但思维的局限性还很大，能力也有差距，而勾股定理的逆定理的证明方法学生第一次见到，它要求根据已知条件构造一个直角三角形，根据学生的智能状况，学生不容易想到，因此勾股定理的逆定理的证明又是本节的难点，这样如何添辅助线就是解决它的关键，这样就确定了本节课的重点、难点和关键。
在认知上：学生已学了命题与定理的基础上，学习互逆命题与互逆定理，一般互逆命题与互逆定理的概念学生易于掌握，但对于较复杂的命题，让学生自己说出它的逆命题还有一定的难度。
【教学过程】一、激趣导入，交代目标：（一）激趣导入设计意图（以旧引新，从学生熟知的知识入手，起点低，让全体同学都参与，也为类比探索新知做好准备。
）填空如图：1.桌面的角是直角，若桌边的长分别是1和2，则桌子对角线的长度是 ( ).2.若对角线的长度是13，桌子的一边的长度是12，则相邻的另外一桌边的长度是( ).3.计算的根据是什么？你能把勾股定理改写成如果。
那么。
的形式吗？生：根据“直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
”即：勾股定理师：如果一个三角形是直角三角形，那么两直角边的平方和等于斜边的平方。
湘教版数学八年级初二下册第一章《直角三角形》导学案教案教学设计
八年级下册数学 （导学案）直角三角形的性质和判定1导学案学习目标：1.探索并掌握直角三角形两锐角互余。
2.掌握有两锐角互余的三角形是直角三角形。
3.探索并掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
一、知识链接：三角形内角和定理：三角形的内角和等于 。
二、自主学习、探究新知探究1： 直角三角形ABC 可表示为： （1）已知，在 ABC 中，∠B=90°，那么 ∠A+∠C= 。
由此得出：直角三角形的性质定理1：。
（2）已知，在 ABC 中，∠A+∠C=90°，那么∠B=由此得出：直角三角形的判定定理： 。
探究2：自学p147观察与思考，动手折纸实验，解决问题。
由此得出：直角三角形的性质定理2探究3：直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边为什么等于斜边的一半。
如图，Rt △ABC 中，∠A=30°，BC 为什么会等于12AB ？（提示：取AB 的中点D ，连结CD ）证明：取AB 的中点D ，连结CD 则AD=BD （ ） 因为 CD 为Rt △ABC 斜边的中线所以 （ ）A B C又因为 ∠A=30°所以∠B= 所以 △CDB 为 三角形得出结论：三、展示提升： 1. 练习1、A 组1 2. 练习2 3. A 组2 4.A 组3四、达标检测（1）在直角三角形中，有一个锐角为52°，那么另一个锐角度数（2）在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A -∠B =30°，那么∠A= ，∠B= 。
（3）、在△ABC 中，∠ACB=90°，CE 是AB 边上的中线，那么与CE 相等的线段有_________，与∠A 相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________。
（4）在△ABC 中，△C=90°，∠B=15°，DE 垂直平分AB ，垂足为点E ，交BC 边于点D,BD=16cm ，则AC 的长为______（5）如图在△ABC 中，若∠BAC=120°，AB=AC,AD ⊥AC 于点A ，BD=3，则BC=______.（6） 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的高，那么，（1）与∠B 互余的角有 （2）与∠A 相等的角有 。
北师大版八年级下册数学第一章直角三角形教案
北师大版八年级下册数学第一章直角三角形教案一、学情分析学生在学习直角三角形全等判定定理“HL”之前，已经掌握了一般三角形全等的判定方法，在本章的前一阶段的学习过程中接触到了证明三角形全等的推论，在本节课要掌握这个定理的证明以及利用这个定理解决相关问题还是一个较高的要求。
二、教学任务分析本节课是三角形全等的最后一部分内容，也是很重要的一部分内容，凸显直角三角形的特殊性质。
在探索证明直角三角形全等判定定理“HL”的同时，进一步巩固命题的相关知识也是本节课的任务之一。
所以本节课的教学目标定位为：1．知识目标：①能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性②利用“HL’’定理解决实际问题2．水平目标：①进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理水平三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习提问；第二环节：引入新课；第三环节：做一做；第四环节：议一议；第五环节：课时小结；第六环节：课后作业。
1：复习提问1.判断两个三角形全等的方法有哪几种？2.已知一条边和斜边，求作一个直角三角形。
想一想，怎么画？同学们相互交流。
3、有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角呢？请证明你的结论。
我们曾从折纸的过程中得到启示，作了等腰三角形底边上的中线或顶角的角平分线，使用公理，证明三角形全等，从而得出“等边对等角”。
那么我们能否通1 / 5过作等腰三角形底边的高来证明“等边对等角”．要求学生完成，一位学生的过程如下：已知：在△ABC中， AB=AC．求证：∠B=∠C．证明：过A作AD⊥BC，垂足为C，∴∠ADB=∠ADC=90°又∵AB=AC，AD=AD，∴△ABD≌△ACD．∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）在实际的教学过程中，有学生对上述证明方法产生了质疑。
质疑点在于“在证明△ABD≌△ACD时，用了“两边及其中一边的对角对相等的两个三角形全等”．而我们在前面学习全等的时候知道，两个三角形，如果有两边及其一边的对角相等，这两个三角形是不一定全等的．能够画图说明．(如图所示在ABD和△ABC中，AB=AB，∠B=∠B，AC=AD，但△ABD与△ABC不全等)” ．也有学生认同上述的证明。
九年级数学第一章解直角三角形全章教案 新课标 浙教版 教案
九年级数学第一章解直角三角形全章教案课题：1.1锐角三角函数（1）教学目标：1.探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系。
2.掌握三角函数定义式：sinA=斜边的对边A ∠， cosA=斜边的邻边A ∠，重点和难点重点：三角函数定义的理解。
难点：直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系及求三角函数值。
【教学过程】一、情境导入如图是两个自动扶梯，甲、乙两人分别从1、2号自动扶梯上楼，谁先到达楼顶?如果AB 和A ′B ′相等而∠α和∠β大小不同，那么它们的高度AC 和A ′C ′相等吗？AB 、AC 、BC 与∠α，A ′B ′、A ′C ′、B ′C ′与∠β之间有什么关系呢？ ------导出新课 二、新课教学 1、合作探究 （1）作2、三角函数的定义在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦(sine)，记作sinA ，即sinA ＝斜边的对边A ∠∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦(cosine)，记作cosA ，即cosA=斜边的邻边A ∠∠A 的对边与∠A 的邻边的比叫做∠A 的正切(tangent)，记作tanA ，即C′B′A′BA 213米3米2米4米βatanA=∠A的对边∠A的邻边tanA=∠A的对边∠A的邻边锐角A 的正弦、余弦和正切统称∠A 的三角函数.注意：sinA ，cosA ，tanA 都是一个完整的符号，单独的 “sin ”没有意义，其中A 前面的“∠”一般省略不写。
师：根据上面的三角函数定义，你知道正弦与余弦三角函数值的取值X 围吗？ 师：（点拨）直角三角形中，斜边大于直角边． 生：独立思考，尝试回答，交流结果． 明确：0＜sina ＜1，0＜cosa ＜1.巩固练习：课本第6页课内练习T1、作业题T1、2 3、例题教学：课本第5页中例1.例1 如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°，AB=5,BC=3, 求∠A, ∠B 的正弦,余弦和正切. 分析：由勾股定理求出AC 的长度，再根据直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系求出各函数值。
新湘教版八年级下册第1章直角三角形数学教案
第1章直角三角形§1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ）（第1课时）教学目标：1、掌握“直角三角形的两个锐角互余”定理。
2、掌握“有两个锐角互余的三角形是直角三角形”定理。
3、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用。
4、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。
教学重点：直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。
难点：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。
教学方法：观察、比较、合作、交流、探索.教学过程：一、复习提问：（1）什么叫直角三角形？（2）直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质?二、新授（一）直角三角形性质定理1请学生看图形：1、提问：∠A与∠B有何关系？为什么？2、归纳小结：定理1：直角三角形的两个锐角互余。
3、巩固练习：练习1（1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数（2）在Rt△ABC中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ，∠B= 。
练习2 在△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB上的高，那么，（1）与∠B互余的角有（2）与∠A相等的角有。
（3）与∠B相等的角有。
（二）直角三角形的判定定理11、提问：“在△ABC中，∠A +∠B =900那么△ABC是直角三角形吗？”2、利用三角形内角和定理进行推理3、归纳：有两个锐角互余的三角形是直角三角形练习3:若∠A= 600，∠B =300，那么△ABC是三角形。
（三）直角三角形性质定理21、实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片（l）量一量斜边AB的长度（2）找到斜边的中点，用字母D表示（3）画出斜边上的中线（4）量一量斜边上的中线的长度让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间有何关系？归纳：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
三、巩固训练：练习4：在△ABC中，∠ACB=90 °，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________。
湘教版八年级数学下册第1章《直角三角形》教案
湘教版八年级数学下册第1章《直角三角形》教案1．1直角三角形的性质和判定(Ⅰ)第1课时直角三角形的性质和判定1．掌握“直角三角形两个锐角互余”，并能利用“两锐角互余”判断三角形是直角三角形；(重点)2．探索、理解并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质．(重点、难点)一、情境导入在小学时我们已经学习过有关直角三角形的知识，同学们可以用手上的三角板和量角器作直角三角形，并和小组成员一同探究直角三角形的性质．二、合作探究探究点一：直角三角形两锐角互余如图，AB∥DF，AC⊥BC于C，BC与DF交于点E，若∠A＝20°，则∠CEF等于()A．110°B．100°C．80°D．70°解析：∵AC⊥BC于C，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°－∠A＝90°－20°＝70°，∴∠ABC＝∠1＝70°，∵AB∥DF，∴∠1＋∠CEF＝180°，即∠CEF＝180°－∠1＝180°－70°＝110°.故选A.方法总结：熟知直角三角形两锐角互余的性质，并准确识图是解决此类题的关键． 探究点二：有两个角互余的三角形是直角三角形如图所示，已知AB ∥CD ，∠BAF ＝∠F ，∠EDC ＝∠E ，求证：△EOF 是直角三角形．解析：三角形内角和定理是解答有关角的问题时最常用的定理，是解决问题的突破口，本题欲证△EOF 是直角三角形，只需证∠E ＋∠F ＝90°即可，而∠E ＝12(180°－∠BCD )，∠F ＝12(180°－∠ABC )，由AB ∥CD 可知∠ABC ＋∠BCD ＝180°，即问题得证． 证明：∵∠BAF ＝∠F ，∠BAF ＋∠F ＋∠ABF ＝180°，∴∠F ＝12(180°－∠ABF )．同理，∠E ＝12(180°－∠ECD )．∴∠E ＋∠F ＝180°－12(∠ABF ＋∠ECD )．∵AB ∥CD ，∴∠ABF ＋∠ECD ＝180°.∴∠E ＋∠F ＝180°－12×180°＝90°，∴△EOF 是直角三角形． 方法总结：由三角形的内角和定理可知一个三角形的三个内角之和为180°，如果一个三角形中有两个角的和为90°，可知该三角形为直角三角形．探究点三：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半如图，△ABC 中，AD 是高，E 、F 分别是AB 、AC 的中点．(1)若AB ＝10，AC ＝8，求四边形AEDF 的周长；(2)求证：EF 垂直平分AD .解析：(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE ＝AE ＝12AB ，DF ＝AF ＝12AC ，再根据四边形的周长的公式计算即可得解；(2)根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”证明即可．(1)解：∵AD 是高，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴DE ＝AE ＝12AB ＝12×10＝5，DF ＝AF ＝12AC ＝12×8＝4，∴四边形AEDF 的周长＝AE ＋DE ＋DF ＋AF ＝5＋5＋4＋4＝18；(2)证明：∵DE ＝AE ，DF ＝AF ，∴E 是AD 的垂直平分线上的点，F 是AD 的垂直平分线上的点，∴EF 垂直平分AD .方法总结：当已知条件含有线段的中点、直角三角形等条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质，连接中点和直角三角形的直角顶点进行求解或证明．探究点四：直角三角形性质的综合运用 【类型一】 利用直角三角形的性质证明线段关系如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，EF 为AB 的垂直平分线，交BC于F ，交AB 于点E .求证：FC ＝2BF .解析：根据EF 是AB 的垂直平分线，联想到垂直平分线的性质，因此连接AF ，得到△AFB 为等腰三角形．又可求得∠B ＝∠C ＝∠BAF ＝30°，进而求得∠F AC ＝90°.取CF 的中点M ，连接AM ，就可以利用直角三角形的性质进行证明．证明：如图，取CF 的中点M ，连接AF 、AM .∵EF 是AB 的垂直平分线，∴AF ＝BF .∴∠BAF＝∠B .∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠B ＝∠BAF ＝∠C ＝12(180°－120°)＝30°.∴∠F AC ＝∠BAC －∠BAF ＝90°.在Rt △AFC 中，∠C ＝30°，M 为CF 的中点，∴∠AFM ＝60°，AM ＝12FC ＝FM .∴△AFM 为等边三角形．∴AF ＝AM ＝12FC .又∵BF ＝AF ，∴BF ＝12FC ，即FC ＝2BF .方法总结：当已知条件中出现直角三角形斜边上的中线时，通常会运用到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质，使用该性质时，要注意找准斜边和斜边上的中线．【类型二】 利用直角三角形的性质解决实际问题如图所示，四个小朋友在操场上做抢球游戏，他们分别站在四个直角三角形的直角顶点A 、B 、C 、D 处，球放在EF 的中点O 处，则游戏________(填“公平”或“不公平”)．解析：游戏是否公平就是判断点A 、B 、C 、D 到点O 的距离是否相等．四个直角三角形有公共的斜边EF ，且O 为斜边EF 的中点．连接OA 、OB 、OC 、OD .根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质可知，OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝12EF ，即点A 、B 、C 、D到O 的距离相等．由此可得出结论：游戏公平．方法总结：题目中如果出现“直角三角形”和“中点”这两个条件时，应连接直角顶点与斜边中点，再利用“斜边上的中线等于斜边的一半的性质”解题． 【类型三】 利用直角三角形性质解动态探究题如图所示，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，O 为BC 的中点．(1)写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的数量关系；(2)如果点M 、N 分别在线段AB 、AC 上移动，移动中保持AN ＝BM .请判断△OMN 的形状，并证明你的结论．解析：(1)由于△ABC 是直角三角形，O 是BC 的中点，得OA ＝OB ＝OC ＝12BC ；(2)由于OA 是等腰直角三角形斜边上的中线，因此根据等腰直角三角形的性质，得∠CAO ＝∠B ＝∠45°，OA ＝OB ，又AN ＝MB ，所以△AON ≌△BOM ，所以ON ＝OM ，∠NOA ＝∠MOB ，于是有∠NOM ＝∠AOB ＝90°，所以△OMN 是等腰直角三角形．解：(1)连接AO .在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，O 为BC 的中点，∴OA ＝12BC ＝OB ＝OC ，即OA ＝OB ＝OC ；(2)△OMN 是等腰直角三角形．理由如下：∵AC ＝BA ，OC ＝OB ，∠BAC ＝90°，∴OA＝OB ，∠NAO ＝12∠CAB ＝∠B ＝45°，AO ⊥BC ，又AN ＝BM ，∴△AON ≌△BOM ，∴ON ＝OM ，∠NOA ＝∠MOB ，∴∠NOA ＋∠AOM ＝∠MOB ＋∠AOM ，∴∠NOM ＝∠AOB ＝90°，∴△MON 是等腰直角三角形．方法总结：解决动态探究性问题，要把握住动态变化过程中的不变量，比如角的度数、线段的长和不变的数量关系，比如斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形两锐角互余．三、板书设计1．直角三角形的性质性质一：直角三角形的两锐角互余；性质二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．2．直角三角形的判定方法一：一个角是直角的三角形是直角三角形；方法二：两锐角互余的三角形是直角三角形．通过练习反馈的情况来看，学生对于利用已知条件判定一个三角形是否为直角三角形这一考点比较容易上手一些，而往往忽略在直角三角形中告诉斜边上的中点利用中线这一性质解决问题．在今后的教学中应让学生不断强化提高这一点.第2课时 含30°锐角的直角三角形的性质及其应用1．理解并掌握含30°锐角的直角三角形的性质；(重点)2．能利用含30°锐角的直角三角形的性质解决问题．(难点)一、情境导入用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个等边三角形吗？说说理由，并把你的发现和大家交流一下．二、合作探究探究点一：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半等腰三角形的一个底角为75°，腰长4cm ，那么腰上的高是________cm ，这个三角形的面积是________cm 2.解析：因为75°不是特殊角，但是根据“三角形内角和为180°”可知等腰三角形的顶角为30°，依题意画出图形，则有∠A ＝30°，BD ⊥AC ，AB ＝4cm ，所以BD ＝2cm ，S △ABC ＝12AC ·BD ＝12×4×2＝4(cm 2)．故答案为2，4. 方法总结：作出准确的图形、构造含30°角的直角三角形是解决此题的关键．探究点二：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°如图所示，在四边形ACBD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AC ，且AC ＝12BC ，求∠DAC 的度数．解析：根据题意得∠CBA ＝30°，由平行得∠BAD ＝30°，进而可得出结论．解：∵AB ⊥AC ，∴∠CAB ＝90°.∵AC ＝12B BC ，∴∠CBA ＝30°.∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝30°，∴∠CAD ＝∠CAB ＋∠BAD ＝120°.方法总结：如果题中出现直角三角形及斜边是直角边的两倍可直接得出30°的角，再利用相关条件求解．探究点三：含30°锐角的直角三角形性质的应用如图，某船于上午11时30分在A 处观测到海岛B 在北偏东60°方向；该船以每小时10海里的速度向东航行到C 处，观测到海岛B 在北偏东30°方向；航行到D 处，观测到海岛B 在北偏西30°方向；当船到达C 处时恰与海岛B 相距20海里．请你确定轮船到达C 处和D 处的时间．解析：根据题意得出∠BAC ，∠BCD ，∠BDA 的度数，根据直角三角形的性质求出BC 、AC 、CD 的长度．根据速度、时间、路程关系式求出时间．解：由题意得∠BCD ＝90°－30°＝60°，∠BDC ＝90°－30°＝60°.∴∠BCD ＝∠BDC ＝60°，∴△BCD 为等边三角形．在△ABD 中，∵∠BAD ＝90°－60°＝30°，∠BDC ＝60°，∴∠ABD ＝90°，即△ABD 为直角三角形，∴∠ABC ＝30°.∵BC ＝20海里，∴CD ＝BD ＝20海里．又∵BD ＝12AD ，∴AD ＝40海里．∴AC ＝AD －CD ＝20(海里)．∵船的速度为每小时10海里，因此轮船从A 处到C 处的时间为2010＝2(h)，从A 处到D 处的时间为4010＝4(h)．∴轮船到达C 处的时间为13时30分，到达D 处的时间为15时30分． 方法总结：方位角是遵循“上北下南左西右东”的原则，弄清楚方位角是解决这类题的关键，再利用含30°角的直角三角形的性质解题．三、板书设计1．含30°锐角的直角三角形的性质(1)在直角三角形中，30度的角所对的边等于斜边的一半；(2)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.2．含30°锐角的直角三角形的性质的应用．在教学中，应该要注意强调这两个性质都是在直角三角形中得到的，如果是一般三角形是不能得到的；两边的二倍关系是斜边和直角边之间的关系，不是两直角边的关系，这在教学中要注意强调，这是学生常犯的错误.1．2直角三角形的性质和判定(Ⅱ)第1课时勾股定理1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点)2．掌握勾股定理，并应用它解决简单的计算题；(重点)3．了解利用拼图验证勾股定理的方法．(难点)一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？二、合作探究探究点一：勾股定理【类型一】直接运用勾股定理已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：(1)AC的长；(2)S△ABC；(3)CD的长．解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC；(3)根据CD·AB＝BC·AC即可求出CD.解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝AB2－BC2＝12(cm)；(2)∵S△ABC＝12CB·AC＝12×5×12＝30(cm2)；(3)∵S△ABC＝12AC·BC＝12CD·AB，∴CD＝AC·BCAB＝6013(cm)．方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．【类型二】分类讨论思想在勾股定理中的应用在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，试求△ABC周长．解析：本题应分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论．解：此题应分两种情况：(1)当△ABC为锐角三角形时，如图①所示，在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122＝9，在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝5＋9＝14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；(2)当△ABC为钝角三角形时，如图②所示，在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝9－5＝4，∴△ABC 的周长为：15＋13＋4＝32，∴△ABC的周长为32或42.方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意．【类型三】勾股定理与等腰三角形的综合如图所示，已知△ABC中，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线分别交BC、AB于D 、F点，BD＝62，AE⊥BC于E，求AE的长．解析：欲求AE，需与BD联系，连接AD，由线段垂直平分线的性质可知AD＝BD.可证△ADE是等腰直角三角形，再利用勾股定理求AE的长．解：如图所示，连接AD.∵DF是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD＝62，∴∠BAD ＝∠B＝22.5°.∵∠ADE＝∠B＋∠BAD＝45°，AE⊥BC，∴∠DAE＝45°，∴AE＝DE.由勾股定理得AE2＋DE2＝AD2，∴2AE2＝(62)2，∴AE＝622＝6.方法总结：22.5°虽然不是特殊角，但它是特殊角45°的一半，所以经常利用等腰三角形和外角进行转换．直角三角形中利用勾股定理求边长是常用的方法．探究点二：勾股定理与图形的面积探索与研究：方法1：如图：对任意的符合条件的直角三角形ABC绕其顶点A旋转90°得直角三角形AED，所以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；方法2：如图：任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗？解析：方法1：根据四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和进行解答；方法2：根据△ABC和Rt△ACD的面积之和等于Rt△ABD和△BCD的面积之和解答．解：方法1：S正方形ACFD＝S四边形ABFE＝S△BAE＋S△BFE，即b2＝12c2＋12(b＋a)(b－a)，整理得2b2＝c2＋b2－a2，∴a2＋b2＝c2；方法2：S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD，S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD，即S△ABC＋S△ACD＝S△ABD＋S△BCD，即12B b2＋12B a b＝12B c2＋12B a(b－a)，整理得b2＋ab＝c2＋a(b－a)，b2＋ab＝c2＋ab－a2，∴a2＋b2＝c2.方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理．三、板书设计1．勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.2．勾股定理的应用3．勾股定理与图形的面积课堂教学中，要注意调动学生的积极性．让学生满怀激情地投入到学习中，提高课堂效率．勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，可设计拼图活动，并自制精巧的课件让学生从图形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究突破本节课的难点.第2课时勾股定理的实际应用1．熟练运用勾股定理解决实际问题；(重点)2．勾股定理的正确使用．(难点)一、情境导入如图，在一个圆柱形石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？二、合作探究探究点一：勾股定理在实际生活中的应用【类型一】勾股定理在实际问题中的简单应用如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳．问6秒后船向岸边移动了多少米(假设绳子是直的，结果保留根号)?解析：开始时，AC ＝5米，BC ＝13米，即可求得AB 的值，6秒后根据BC 、AC 长度即可求得AB 的值，然后解答即可．解：在Rt △ABC 中，BC ＝13米，AC ＝5米，则AB ＝BC 2－AC 2＝12米，6秒后，BC ＝13－0.5×6＝10米，则AB ＝BC 2－AC 2＝53米，则船向岸边移动距离为(12－53)米．方法总结：在实际生产生活中有很多图形是直角三角形或可构成直角三角形，在计算中常应用勾股定理．【类型二】 含30°或45°等特殊角的三角形与勾股定理的综合应用由于过度采伐森林和破坏植被，我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭，今日A 市测得沙尘暴中心在A 市的正西方向300km 的B 处，以107km/h 的速度向南偏东60°的BF 方向移动，距沙尘暴中心200km 的范围是受沙尘暴影响的区域，问：A 市是否会受到沙尘暴的影响？若不会，说明理由；若会，求出A 市受沙尘暴影响的时间．解析：过点A 作AC ⊥BF 于C ，然后求出∠ABC ＝30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC ＝12AB ，从而判断出A 市受沙尘暴影响，设从D 点开始受影响，此时AD ＝200km ，利用勾股定理列式求出CD 的长，再求出受影响的距离，然后根据时间＝路程÷速度计算即可得解．解：如图，过点A 作AC ⊥BF 于C ，由题意得，∠ABC ＝90°－60°＝30°，∴AC ＝12AB ＝12×300＝150(km)，∵150＜200，∴A 市受沙尘暴影响，设从D 点开始受影响，则AD＝200km.由勾股定理得，CD ＝AD 2－AC 2＝2002－1502＝507 (km)，∴受影响的距离为2CD ＝1007km ，受影响的时间位1007÷107＝10(h)．方法总结：熟记“直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质，知道方向角如何在图上表示，作辅助线构造直角三角形，再利用勾股定理是解这类题的关键．探究点二：勾股定理在几何图形中的应用 【类型一】 利用勾股定理解决最短距离问题如图，长方体的长BE＝15cm，宽AB＝10cm，高AD＝20cm，点M在CH上，且CM＝5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少？解：分三种情况比较最短距离：如图①(将正面与上面展开)所示，AM＝102＋（20＋5）2＝529，如图②(将正面与右侧面展开)所示，AM＝202＋（10＋5）2＝25(cm)．∵529＞25，∴第二种短些，此时最短距离为25cm；如图③(将正面与左侧面展开)所示，AM＝（20＋10）2＋52＝537(cm).537＞25，∴最短距离为25cm.答：需要爬行的最短距离是25cm.方法总结：因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况：前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可．【类型二】运用勾股定理与方程解决有关计算问题如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD 边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是()A．1.5 B．2C．2.25 D．2.5解析：设AM＝x，连接BM，MB′，在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2，在Rt△MDB′中，B′M2＝MD2＋DB′2，∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝BM2＝B′M2＝MD2＋DB′2，即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，解得x＝2，即AM＝2.故选B.方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为x，然后用含有x的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答．【类型三】勾股定理与数轴如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是()A.5＋1 B．－5＋1C.5－1D.5解析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标．图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为12＋22＝5，∴－1到A的距离是5，那么点A所表示的数为5－1.故选C.方法总结：本题考查的是勾股定理和数轴的知识，解答此题时要注意，确定点A的符号后，点A所表示的数是距离原点的距离．三、板书设计1．勾股定理在实际生活中的应用2．勾股定理在几何图形中的应用就练习的情况来看，一方面学生简单机械地套用了“a2＋b2＝c2”，没有分析问题的本质所在；另一方面对于立体图形转化为平面问题在实际问题中抽象出数学模型还存在较大的困难，在今后的教学中要通过实例不断训练提高.第3课时勾股定理的逆定理1．能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形；(重点)2．灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题．(难点)一、情境导入古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后如图那样用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．你知道这是什么道理吗？二、合作探究探究点一：勾股定理的逆定理【类型一】勾股数判断下列几组数中，一定是勾股数的是()A．1，2， 3 B．8，15，17C．7，14，15 D.35，45，1解析：选项A不是，因为2和3不是正整数；选项B是，因为82＋152＝172，且8、15、17是正整数；选项C不是，因为72＋142≠152；选项D不是，因为35与45不是正整数．故选B.方法总结：勾股数必须满足：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2＋b2＝c2，但是2.5、6.5不是正整数，所以它们不是勾股数；②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．【类型二】判断三角形的形状已知a，b，c为△ABC的三边，且满足(a－7)2＋(b－24)2＋(c－25)2＝0.试判断△ABC 的形状．解析：可先确定a，b，c的值，然后再结合勾股定理的逆定理进行判断．解：由平方数的非负性，得a－7＝0，b－24＝0，c－25＝0.∴a＝7，b＝24，c＝25.又∵a2＝72＝49，b2＝242＝576，c2＝252＝625，∴a2＋b2＝c2.∴△ABC是直角三角形．方法总结：此题主要依据“若几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0”这一性质来确定a，b，c的值．该知识点在解题时会经常用到，应注意掌握．【类型三】利用勾股定理逆定理解决与角有关的问题在如图的方格中，△ABC的顶点A、B、C都是方格线的交点，则三角形ABC的外角∠ACD的度数等于()A．130°B．135°C．140°D．145°解析：∵AB2＝12＋22＝5，BC2＝12＋22＝5，AC2＝12＋32＝10，∴AC2＝AB2＋BC2，∴△ABC是等腰直角三角形，∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠A＋∠B＝45°＋90°＝135°.故选B.方法总结：在网格图中求三角形的角度时可以运用勾股定理和一些特殊角的边角关系来解答，比如在直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半，45°的直角三角形中两直角边相等．【类型四】运用勾股定理的逆定理解决面积问题如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，CD＝24，AD＝26，求四边形ABCD的面积．解析：连接AC，根据已知条件运用勾股定理的逆定理可证△ABC和△ACD为直角三角形，然后代入三角形面积公式将两直角三角形的面积求出来，两者面积相加即为四边形ABCD的面积．解：连接AC，∵∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形，∴AC2＝AB2＋BC2＝82＋62＝102，∴AC＝10，在△ACD中，∵AC2＋CD2＝100＋576＝676，AD2＝262＝676，∴AC2＋CD2＝AD2，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝12×6×8＋12×10×24＝144.方法总结：将求四边形面积的问题转化为求两个直角三角形面积和的问题，解题时要利用题目信息构造出直角三角形，如角度，三边长度等．探究点二：勾股定理逆定理的实际应用如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B距离C艇12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海．解析：已知走私艇的速度，求出走私艇的距离即可得出走私艇所用的时间，即可得出走私艇何时能进入我国领海．所以现在的问题是得出走私艇的距离，根据题意，CE即为走私艇所走的路程，可知，△ABE和△EBC均为直角三角形，可分别解这两个直角三角形即可得出．解：设MN与AC相交于E，则∠BEC＝90°，∵AB2＋BC2＝52＋122＝132＝AC2，∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，由于MN⊥CE，所以走私艇C进入我国领海的最短距离是CE，由S△ABC＝12AB·BC＝12AC·BE，得BE＝6013(海里)，由CE2＋BE2＝BC2，即CE2＋(6013)2＝122，得CE＝14413(海里)，∴14413÷13＝144169≈0.85(h)＝51(min)，9时50分＋51分＝10时41分．答：走私艇C最早在10时41分进入我国领海．方法总结：本题考查了对题意的准确把握和使用勾股定理解直角三角形，解题的关键是从实际问题中整理出几何图形．三、板书设计1．勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形2．利用勾股定理逆定理求角和线段的长3．利用勾股定理逆定理解决实际问题学生在练习的过程中很容易受到固定思维模式的限制，往往不找最长边而总是按照先后顺序来解题，这样很容易发生错误，再就是利用勾股定理的逆定理进行有关的证明不是很得法，需在以后的学习中逐步训练提高.1．3直角三角形全等的判定1．熟练掌握“斜边、直角边定理”，以及熟练地利用这个定理和判定一般三角形全等的方法判定两个直角三角形全等；(重点)2．熟练使用“分析综合法”探求解题思路．(难点)一、情境导入前面我们学习了判定两个三角形全等的四种方法——SAS、ASA、AAS、SSS.当然这些方法也适用于判定两个直角三角形全等，那么直角三角形的全等的判定还有其他的方法吗？二、合作探究探究点一：运用“HL”判定直角三角形全等如图所示，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD交CE于点F，AD＝EC.求证：F A＝FC.解析：要利用“等角对等边”证明F A＝FC，需先证∠F AC＝∠FCA，此结论可由三角形全等得到．证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEC＝∠ADC＝90°.∴在Rt△AEC和Rt△CDA中⎩⎪⎨⎪⎧EC＝AD，CA＝AC，∴Rt△AEC≌Rt△CDA(HL)，∴∠F AC＝∠FCA，∴F A＝FC.方法总结：在运用HL判定两个直角三角形全等时，要紧紧抓住直角边和斜边这两个要点．探究点二：直角三角形判定方法的灵活应用【类型一】解决线段相等问题已知如图AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F.求证：CE＝DF.解析：根据已知条件证明现有的Rt △ABC 与Rt △BAD 全等，得出线段和角相等，再证Rt △ACE 和Rt △BDF 全等，从而解决问题．证明：∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°，在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BA ，BC ＝AD ，∴Rt △ABC ≌Rt △BAD (HL)，∴AC ＝BD ，∠CAB ＝∠DBA ，∵CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，∴∠CEA ＝∠DFB ＝90°，在△CAE 和△DBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CEA ＝∠DFB ＝90°，∠CAE ＝∠DBF ，AC ＝BD ，∴△CAE ≌△DBF (AAS)，∴CE ＝DF .方法总结：一般三角形全等的判定方法仍然适用于直角三角形，因此判定直角三角形全等的方法有五种，不要只限于“HL ”．【类型二】 灵活选用判定方法解决线段和差问题已知，如图所示，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，且B 、C 在DE 的异侧，BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E ，求证：BD ＝DE ＋CE .解析：先证△ABD ≌△ACE ，再根据等量代换得出结论．证明：∵BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E ，∴∠ADB ＝∠AEC ＝90°，又∵∠BAC ＝90°，∴∠ABD ＋∠BAD ＝∠CAE ＋∠BAD ，∴∠ABD ＝∠CAE ，又∵AB ＝CA ，∴△ABD ≌△CAE ，∴BD ＝AE ，AD ＝CE ，∵AE ＝AD ＋DE ，∴BD ＝CE ＋DE .方法总结：当看到题目中要证线段和差关系时，而且这三边分别在两个全等三角形中时，可先判定两三角形全等，再证明线段关系．在证明全等时可灵活选用判定方法．探究点三：利用尺规作直角三角形已知：线段a ，如图．求作：Rt △ABC ，使BC ＝a ，AB ＝32a ，∠C ＝90°.解析：已知直角三角形的斜边和一条直角边，先考虑作出直角，然后截取直角边，再作出斜边即可．解：作法：如图所示，(1)作l2⊥l1于点C；(2)在l1上截取CB＝a；(3)以点B为圆心，以32a的长为半径画弧，交l2于点A；(4)连接AB，Rt△ABC 即为所求．方法总结：尺规作图时，应养成先画草图的习惯，再根据草图分析作图的先后顺序．三、板书设计1．斜边、直角边定理斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等(简称“HL”)2．直角三角形判定方法的灵活应用使用“HL”定理时，必须先得出两个直角三角形，然后证明斜边和一直角边对应相等．这在课堂教学中要反复强调，这是与前面四种方法的区别，是学生很容易犯的错误，同时学生利用尺规作直角三角形还不熟练，要注重培养他们的动手操作能力.1．4角平分线的性质1．理解并掌握角平分线的性质及判定；(重点)2．能够对角平分线的性质及判定进行简单应用．(难点)一、情境导入在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？二、合作探究探究点一：角平分线上的点到角两边的距离相等【类型一】利用角平分线的性质求线段长。
北师大版九年级数学下册：第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》教案
北师大版九年级数学下册：第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》主要介绍了直角三角形的性质，包括锐角三角函数的概念、直角三角形的边角关系等。
本章内容是初中数学的重要知识点，为后续学习三角形相似、解直角三角形等知识打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了三角形的基本概念和性质，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但学生在学习过程中，可能对锐角三角函数的理解和应用存在困难，因此需要通过本章内容的学习，帮助学生巩固直角三角形的性质，提高解题能力。
三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握锐角三角函数的概念。
2.学会运用直角三角形的性质解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.重点：直角三角形的性质，锐角三角函数的概念。
2.难点：锐角三角函数的应用，解直角三角形。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法等，引导学生主动探究、积极思考，提高学生的学习兴趣和参与度。
六. 教学准备1.教学课件：制作直角三角形性质、锐角三角函数的课件。
2.教学素材：提供相关案例，如实际问题、例题等。
3.学习工具：准备好直角三角形、锐角三角函数的相关资料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如测量身高、测距等，引出直角三角形的性质和锐角三角函数的概念。
激发学生的学习兴趣，引导学生思考直角三角形在实际生活中的应用。
2.呈现（15分钟）呈现直角三角形的性质和锐角三角函数的定义，通过动画、图片等形式展示，帮助学生直观地理解。
同时，给出相关案例，让学生体会直角三角形性质和锐角三角函数在实际问题中的作用。
3.操练（15分钟）针对直角三角形的性质和锐角三角函数，设计一系列练习题。
让学生独立完成，巩固所学知识。
教师及时批改、讲解，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）通过小组合作学习，让学生运用直角三角形的性质和锐角三角函数解决实际问题。
湘教版 八年级数学下册 第1章 直角三角形 新教案设计
第1章直角三角形1．1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)第1课时直角三角形的性质和判定1．掌握“直角三角形的两个锐角互余”和“有两个角互余的三角形是直角三角形”两个定理．2．掌握直角三角形斜边上的中线的性质．3．利用直角三角形的性质和判定证明有关几何问题．阅读教材P2～4，完成预习内容．(一)知识探究1．如图，在Rt△ABC中．(1)若∠C＝90°，由三角形内角和定理，得∠A＋∠B＋∠C＝180°，即∠A＋∠B＋90°＝180°.所以∠A＋∠B＝90°．(2)若∠A＋∠B＝90°，由三角形内角和定理，得∠A＋∠B＋∠C＝180°，即∠C＋90°＝180°.所以∠C＝90°．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD为斜边AB的中线．若CD＝4 cm，则AB＝8__cm．小结：1．直角三角形的两个锐角互余．2．有两个角互余的三角形是直角三角形．3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．(二)自学反馈1．已知Rt△ABC，若∠C＝90°，∠A＝60°，则∠B＝30°．2．已知△ABC，若∠A＝40°，∠B＝50°，则△ABC为直角三角形．3．在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有AE，BE，若∠A＝35°，则∠ECB＝55°．活动1 小组讨论例1如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，那么(1)与∠B互余的角有∠A，∠BCD；(2)与∠A相等的角有∠BCD；(3)与∠B相等的角有∠ACD．例2 △ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，则△ABC是(B)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形利用三角形的内角和是180°，即∠A＋∠B＋∠C＝180°，又因为∠A＋∠B＝∠C，等量代换得到2∠C＝180°，从而得出∠C＝90°，所以选B.例3 如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC中点．(1)求证：ED ＝EB ；(2)求证：∠EBD＝∠EDB；(3)图中有哪些等腰三角形？解：(1)∵证明：∠ABC＝∠ADC＝90°，E 是AC 中点，∴DE ＝BE ＝12AC. (2)证明：由(1)得DE ＝BE ，∴∠EBD ＝∠EDB.(3)△ADE，△CDE ，△AEB ，△CEB ，△DEB.活动2 跟踪训练1．在△ABC 中，如果∠A＝12∠B＝13∠C，那么△ABC 是什么三角形？ 解：设∠A＝x ，那么∠B＝2x ，∠C ＝3x.根据题意得x ＋2x ＋3x ＝180°.解得x ＝30°.∴∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°.∴△ABC 是直角三角形．2．已知：如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C，AD 是∠BAC 的平分线，E ，F 分别AB ，AC 的中点，求证：DE ＝DF.解：∵∠B＝∠C，AD 是∠BAC 的平分线，∴AB ＝AC ，∠ADB ＝∠ADC＝90°.∵E ，F 分别AB ，AC 的中点，∴ED ＝12AB ，DF ＝＝12AC. ∴DE ＝DF.活动3 课堂小结1．直角三角形的性质与判定．2．直角三角形斜边上的中线的性质．第2课时 含30°角的直角三角形的性质及其应用1．掌握含30°角的直角三角形的相关性质．2．利用直角三角形的相关性质解决实际问题．阅读教材P4～6，完成预习内容．(一)知识探究1．在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．2．在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°．(二)自学反馈1．在Rt △ABC 中，若∠C＝90°，∠A ＝30°，AB ＝4，则BC ＝2．2．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝12AB ，则∠A＝30°． 3．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝2∠A，∠B 和∠A 各是多少度？边AB 与BC 之间有什么关系？解：∠B＝60°，∠A ＝30°，AB ＝2BC.活动1 小组讨论例1 如图，一棵大树在一次强台风中离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这样的大树在折断前的高度为(B)A．10米B．15米C．25米D．30米例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D为AB上的中点．请求出图中其他角的度数，找出相等的线段．解：∠ACD＝30°，∠ADC ＝120°，∠BDC ＝∠BCD＝∠B＝60°；DC ＝BC ＝BD ＝AD.例3 如图，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，CD ⊥AB.求证：AD ＝14AB.证明：∵∠ACB＝90°，∠B ＝30°，∴AC ＝12AB.∵CD⊥AB，∴∠CDB ＝90°. ∴∠DCB ＝60°.∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝30°.在Rt △ACD 中，∠ACD ＝30°，∠ADC ＝90°，∴AD ＝12AC ＝14AB.抓住含30°角的直角三角形的性质，把握30°角所对的直角边与斜边的关系．活动2 跟踪训练1．如图，为固定电线杆AC，在离地面高度为6 m的A处引拉线AB，使拉线AB与地面上的BC的夹角为30°，则拉线AB的长度为12__m．2．如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别相交于E，F两点，EP平分∠A EF，过点F作FP⊥EP，垂足为P，若∠PEF ＝30°.(1)请求出∠PFC的度数；(2)与EF相等的线段有哪些？请证明．解：(1)∠PFC＝60°.(2)EF＝AF＝AE.证明：∵EP平分∠AEF，FP⊥EP，∠PEF＝30°，∴∠AFE＝∠AEF＝60°.∵∠AFE＋∠AEF＋∠EAF＝180°，∴∠EAF＝60°.∴△AEF为等边三角形．∴EF＝AF＝AE.活动3 课堂小结含30°角的直角三角形中存在线段的比例关系是证明线段倍数关系的重要途径．1．2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)第1课时勾股定理1．了解勾股定理的发现过程．2．掌握勾股定理的内容，并能进行相关计算．3．会用面积法证明勾股定理．阅读教材P9～11，完成预习内容．(一)知识探究如图是两个相同的直角三角形拼成的梯形ABCD，直角三角形的三边长分别是a，b，c.(1)请用不同的方法求梯形的面积； 解：方法一：根据梯形面积公式可知：S 梯形ABCD ＝12(a ＋b)(a ＋b)＝12(a 2＋2ab ＋b 2)＝12a 2＋ab ＋12b 2；方法二：S 梯形ABCD ＝S △ABE ＋S △ADE ＋S △CDE ＝12ab ＋12c 2＋12ab ＝ab ＋12c 2.(2)由上述结果可知：a 2＋b 2＝c 2．小结：直角三角形的性质定理(勾股定理)：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即a 2＋b 2＝c 2. (二)自学反馈1．在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方． 2．在直角三角形中，两直角边分别为3，4，那么斜边为5．3．在直角三角形中，斜边为10，一直角边为6，则另一直角边为8．活动1 小组讨论例1 探究勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方．如图，每个方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A ，B ，C ，A ′，B ′，C ′的面积．解：S A ＝4，S B ＝9，S C ＝52－4×12×(2×3)＝13，∴S A ＋S B ＝S C .S A ′＝9；S B ′＝25；S C ′＝82－4×12×(5×3)＝34，∴S A ′＋S B ′＝S C ′.所以直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方．例2 在Rt △ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边为a ，b ，c ，∠C ＝90°. (1)已知a ＝3，b ＝4.则c ＝5． (2)已知c ＝25，b ＝15.则a ＝20．(3)已知c ＝19，a ＝13.则b (结果保留根号) (4)已知a∶b＝3∶4，c ＝15，则b ＝12．利用方程的思想求直角三角形有关线段的长．活动2 跟踪训练 1．完成下列填空．(1)直角三角形两条直角边的长分别为6和8，则斜边上的中线为5．(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，则 (3)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，则AC∶BC∶AB AB ＝8，则AC AB ＝8，CD ⊥AB 于D ，则CD ＝4． 2．等边△ABC 的边长为a ，求等边△ABC 的高AD 和面积．解：作AD⊥BC 于BC 交于点D. ∵△ABC 为等边三角形， ∴AD 平分BC ，BD ＝12a.在Rt △ABD 中，AD 2＝a 2－(12a)2＝34a 2，∴AD ＝32a ，S ＝12·a·32a ＝34a 2. 活动3 课堂小结1．勾股定理的推导及内容． 2．勾股定理的简单运用．第2课时勾股定理的实际应用1．能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题．2．在运用勾股定理解决实际问题过程中，感受数学的“转化”思想，体会数学的应用价值．阅读教材P12～13，完成预习内容．(一)知识探究1．勾股定理的内容是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．2.2的线段是直角边为正整数1，1的直角三角形的斜边．3.13的线段是直角边为正整数3，2的直角三角形的斜边．(二)自学反馈1．在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答(A)A．一定不会B．可能会C．一定会 D．以上答案都不对2．如图，要制作底边BC的长为44 cm，顶点A到BC的距离与BC长的比为1∶4的等腰三角形木衣架，则腰AB的长至少需要结果保留根号的形式)3．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行10米．4．小军发现学校旗杆上端的绳子垂直到地面还多了1米，他把绳子斜着拉直，使下端刚好触地．此时绳子下端距旗杆底部5 m，那么旗杆的高度为多少 m?解：如图，设旗杆的高AB为x m，则绳子AC的长为(x＋1) m.在Rt△ABC中，AB2＋BC2＝AC2，∴x2＋52＝(x＋1)2，解得x＝12.答：旗杆的高度为12 m.活动1 小组讨论例1如图，在垂直于地面的墙上距离地面2 m的A点处斜放一个长为2.5 m的梯子，由于不小心梯子在墙上下滑0.5 m到了A′点处，则梯子在地面上滑出的距离BB′的长度为(B)A．0.4 m B．0.5 m C．0.6 m D．0.7 m例2 印度数学家什迦逻(1141年～1225年)曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题．解：设湖水深为x尺，则红莲总长为(x＋0.5)尺，根据题意，得x2＋22＝(x＋0.5)2.解得x＝3.75.答：湖水深3.75尺．活动2 跟踪训练1．如图，有一个圆柱，它的高等于16 cm，底面半径等于4 cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处食物，需要爬行的最短路程是(π取3)(B)A．12 cm B．20 cm C．25 cm D．30 cm2．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4 000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩5 000米，飞机每小时飞行多少千米？解：540千米．求速度，要把20秒换算成小时，20秒＝1180小时．3．小明的妈妈买了一部29英寸(74厘米)的电视机．小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你能解释这是为什么吗？解：582＋462＝5 480；742＝5 476，荧屏对角线大约为74厘米．售货员没有搞错．我们通常所说的29英寸或74厘米的电视机，是指其荧屏对角线的长度．活动3 课堂小结利用勾股定理实际问题时，要学会找出直角三角形中的边角关系，利用勾股定理的公式进行计算．第3课时勾股定理的逆定理1．理解勾股定理的逆定理的内容．2．理解勾股数的定义．2．能灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题．阅读教材P14～15，完成预习内容．(一)知识探究如图，△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2＋b2＝c2，则△ABC是直角三角形．小结：1．勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2；勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2；那么这个三角形是直角三角形．2．满足a2＋b2＝c2的三个正整数称为勾股数．(二)自学反馈下面以a，b，c为边长的△ABC是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？(1)a＝25，b＝20，c＝15；解：是；∠A＝90°.(2)a＝13，b＝2，c＝15；解：不是．(3)a＝1，b＝2，c＝3；解：是；∠B＝90°.(4)a∶b∶c＝3∶4∶5解：是；∠C＝90°.根据勾股定理逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小线段的平方和是否等于最大边长的平方．大边对的是大角，即大边对的角是直角．活动1 小组讨论例1 以下各组数为边长，能组成直角三角形的是(C)A ．5，6，7B ．10，8，4C ．7，25，24D ．9，17，15例2 古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m 表示大于1的整数，a ＝2m ，b ＝m 2－1，c ＝m 2＋1，那么a ，b ，c 为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？解：对．∵a 2＋b 2＝(2m)2＋(m 2－1)2＝4m 2＋m 4－2m 2＋1＝m 4＋2m 2＋1＝(m 2＋1)2，而c 2＝(m 2＋1)2，∴a 2＋b 2＝c 2，即a ，b ，c 是勾股数．m ＝2时，勾股数为4，3，5；m ＝3时，勾股数为6，8，10；m ＝4时，勾股数为8，15，17.例3 如图所示，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算产量．小明找了一卷尺，测得AD ＝3 m ，AB ＝4 m ，BC ＝12 m ，CD ＝13 m ，且∠BAD＝90°，求四边形ABCD 的面积．解：连接BD.∵在△ABD 中，AD ＝3 m ，AB ＝4 m ，∠BAD ＝90°，∴由勾股定理，得BD ＝AD 2＋AB 2＝32＋42＝5 (m)．∵在△BCD 中，BD ＝5 m ，BC ＝12 m ，CD ＝13 m ，∴BD 2＋BC 2＝CD 2.∴△BCD 是直角三角形．∴四边形ABCD 的面积为S △ABD ＋S △BCD ＝12×3×4＋12×5×12＝36()．活动2 跟踪训练1．如图所示，AD为△ABC的中线，且AB＝13，BC＝10，AD＝12，则AC等于(D)A．10B．11C．12D．132．以下面各组正数为边长，能组成直角三角形的是(C)A．a－1，2a，a＋1 B．a－1，2，a＋1C．a－1，2a，a＋1 D．a－1，2a，a＋1a－b＝0，则△ABC的形状为等腰直角三角形．3．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式(a2＋b2－c2)2＋||4．某港口位于东西方向的海岸线上，“远航号”、“海天号”轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航号”每小时航行16海里，“海天号”每小时航行12海里，他们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航号”沿东北方向航行，能知道“海天号”沿什么方向航行吗？解：根据题意，画图如下：PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，QR＝30.∵242＋182＝302，即PQ2＋PR2＝QR2.∴∠QPR＝90°.由“远航号”沿东北方向航向可知，∠QPS＝45°，所以∠SPR＝45°，即“海天号”沿西北方向航行．活动3 课堂小结1．勾股定理的逆定理．2．勾股数．3．勾股定理及其逆定理的应用：(1)判断三角形的形状；(2)用于求角度；(3)用于求边长；(4)用于求面积；(5)用于证垂直.1.3 直角三角形全等的判定1．理解判定两个直角三角形全等可用已经学过的全等三角形判定方法来判定．2．掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边、直角边”定理(即“HL”)．阅读教材P19～20，完成预习内容．(一)知识探究1．判定两直角三角形全等的特殊方法指的是直角边、斜边(HL)．2．直角三角形全等的判定方法有SSS、ASA、SAS、AAS、HL(用简写)．(二)自学反馈1．如图，E，B，F，C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF.则△ABC≌△DFE，全等的根据是HL．2．2．判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由．(1)一个锐角和这个角的对边对应相等；解：全等．理由：可用AAS证明其全等．(2)一个锐角和这个角的邻边对应相等；解：全等．理由；可用AAS或ASA证明其全等．(3)一个锐角和斜边对应相等；解：全等．理由；可用AAS证明其全等．(4)两直角边对应相等；解：全等．理由：可用SAS证明其全等．(5)一条直角边和斜边对应相等．解：全等．理由：可用HL证明其全等．3．下列说法正确的是(C)A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B．斜边相等的两个直角三角形全等C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D．一边长相等的两等腰直角三角形全等直角三角形除了一般证全等的方法，“HL”可使证明过程简化，但前提是已知两个三角形是直角三角形，即在证明格式上表明“Rt△”．活动1 小组讨论例1已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC.求证：(1)AB＝DC；(2)AD∥BC.证明：(1)∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°.在Rt△ABD与Rt△CDB中，∵AD＝CB，BD＝DB，∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)．∴AB＝DC.(2)∵Rt△ABD≌Rt△CDB，∴∠ADB＝∠CBD.∴AD∥BC.善于发现隐藏条件“公共边”．例2 已知：如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD.求证：AD＝BC.证明：连接CD.∵AD⊥AC，BC⊥BD，∴∠A＝∠B＝90°.在Rt△ADC和Rt△BCD中，∵AC＝BD，DC＝CD，∴Rt△ADC≌Rt△BCD(HL)．∴AD＝BC.活动2 跟踪训练1．已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝BA，ED＝AC.求证：ED⊥AC.证明：∵AE⊥AB，BC ⊥AB ，AE ＝BA ，ED ＝AC ，∴Rt △AED ≌Rt △BAC(HL)．∴∠E ＝∠CAB.∵∠E ＋∠EDA＝90°，∴∠CAB ＋∠EDA＝90°，∴∠DFA ＝90°.∴ED ⊥AC.2．已知，如图，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，AD ＝CB ，DE ＝BF.求证：AB∥DC.证明：∵DE⊥AC，BF ⊥AC ，AD ＝CB ，DE ＝BF ，∴Rt △AED ≌Rt △CFB.∴AE ＝CF.∴AF ＝CE.在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝CE ，∠AFB ＝CED ＝90°，BF ＝DE ，∴Rt △ABF ≌Rt △CDE(SAS)．∴∠BAF ＝∠DCE.∴AB ∥DC.活动3 课堂小结1．“HL”是证明两个直角三角形全等的特殊方法，它只对两个直角三角形有效，不适合一般三角形，但两个直角三角形全等的判定，也可以用前面的各种方法．2．证明两个直角三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，HL.1.4 角平分线的性质第1课时角平分线的性质与判定1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．2．掌握角平分线的判定，熟练运用角的平分线的判定及性质解决问题．阅读教材P22～24，完成预习内容．(一)知识探究(1)角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等．(2)角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．(二)自学反馈1．如图，已知点P在∠AOB的平分线OC上，PF⊥OA，PE⊥OB，若PE＝8，则PF的长(C) A．4 B．6 C．8 D．102．如图，AD⊥DC，AB⊥BC，若AB＝AD，∠DAB＝120°，则∠ACB的度数为(C)A．60° B．45° C．30° D．75°活动1 小组讨论例1 如图，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，若点D到AB的距离等于5 cm，则BC的长多少？解：过点D作DE⊥AB于E，∵点D到AB的距离等于5 cm，∴DE＝5 cm.∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，∴DE＝CD＝5 cm.∵BD＝2CD，∴BD＝2×5＝10 (cm)．∴BC＝CD＋BD＝5＋10＝15 (cm)．角平分线的性质是证明线段相等的另一途径，通常能使证明过程简略．其前提条件有两条，角平分线和垂直．例2 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：DE＝DF.证明：在△ABD和△ACD中，∵AB＝AC，AD＝AD，BD＝CD，∴△ABD≌△ACD(SSS)．∴∠BAD＝∠CAD.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.先利用等腰三角形顶角平分线、底边上的中线互相重合证得AD为顶角的平分线，然后运用角平分线的性质证DE＝DF.例3 如图，在△ABC中，外角∠CBD和∠BCE的平分线BF，CF相交于点F.求证：点F在∠BAC的平分线上．证明：过点F作FM⊥BC于点M，FG⊥AB于点G，FH⊥AC于点H，∵BF，CF是∠CBD和∠BCE的平分线，∴FG＝FM，FH＝FM.∴FG＝FH.∴点F在∠BAC的平分线上．活动2 跟踪训练1．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(A)A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点2．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE ＝BE；④AD＝AB＋CD，四个结论中成立的是(A)A．①②④ B．①②③C．②③④D．①③3．如图，已知△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，且PD，PE，PF分别垂直于BC，AC，AB于D，E，F三点．求证：PD＝PE＝PF.证明：∵BP是∠ABC的平分线，PF⊥AB，PD⊥BC，∴PF＝PD.同理证得PE＝PD.∴PD＝PE＝PF.角平线的性质是证线段相等的另一途径．活动3 课堂小结1．角平分线上的点到角的两边的距离相等．2．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．第2课时角平分线的性质与判定的运用灵活运用角平分线的性质和判定解决问题．阅读教材P24～25，完成预习内容．(一)知识探究1．由教材P24“动脑筋”和P25例2可知，角平分线的性质是可用于证明线段之间的数量关系．2．由P25的“动脑筋”可知：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三边的距离相等．(二)自学反馈1．到三角形三边距离相等的点是(C)A．三条高的交点B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点 D．不能确定2．如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A，B，C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有(D)A．一处B．二处C．三处D．四处3．如图，已知AB∥CD，AD⊥DC，AE⊥BC于点E，∠DAC＝35°，AD＝AE，则∠B等于(C)A．50° B．60° C．70° D．80°活动1 小组讨论例1 如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BAC.证明：过点D 作DM⊥AB 于点M ，DN ⊥AC 于点N. ∵S △DCE ＝12CE·DN，S △DBF ＝12BF·DM，S △DCE ＝S △DBF ，∴12CE·DN＝12BF·DM. ∵CE ＝BF ， ∴DN ＝DM.∴点D 在∠BAC 的平分线上，即AD 平分∠BAC.例2 如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，点E 是BC 的中点，DE 平分∠ADC.求证：AE 是∠DAB 的平分线．证明：过点E 作EH⊥AB 于点H ，反向延长EH 交DC 的延长线于点G ，过点E 作EF⊥AD 于点F. ∵AB ∥CD ，EH ⊥AB ， ∴EG ⊥DC ，∠GCE ＝∠B. ∵点E 是BC 的中点， ∴CE ＝BE.在△CGE 和△BHE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠GCE＝∠B，CE ＝EB ，∠CEB ＝∠BEH， ∴△CGE ≌△BHE(ASA)．∵DE 平分∠ADC，∴GE ＝EF.∴EF ＝EH.∴AE 是∠DAB 的平分线．活动2 跟踪训练1．如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ∶S △BCO ∶S △CAO 等于(C)A ．1∶1∶1B ．1∶2∶3C ．2∶3∶4D ．3∶4∶52．如图，OD 平分∠AOB，OA ＝OB ，P 是OD 上一点，PM ⊥BD 于点M ，PN ⊥AD 于点N.求证：PM ＝PN.证明：∵OD 平分∠AOB，∴∠1＝∠2.在△OBD 和△OAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OA ，∠1＝∠2，OD ＝OD ，∴△OBD ≌△OAD(SAS)．∴∠3＝∠4.∵PM ⊥BD ，PN ⊥AD ，3．如图，四边形ABDC 中，∠D ＝∠B＝90°，点O 为BD 的中点，且OA 平分∠BAC.求证：(1)OC 平分∠ACD；(2)OA⊥OC.证明：(1)过点O 作OE⊥AC 于E ，∵∠B ＝90°，OA 平分∠BAC，∴OB ＝OE.∵点O 为BD 的中点，∴OB ＝OD ，∴OE ＝OD.又∵∠D＝90°，∴OC 平分∠ACD.(2)在Rt △ABO 和Rt △AEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝AO ，OB ＝OE ，∴Rt △ABO ≌Rt △AEO(HL)．∴∠AOB ＝∠AOE.同理：∠COD＝∠COE.∴∠AOC ＝∠AOE＋∠COE＝12×180°＝90°. ∴OA ⊥OC.活动3 课堂小结角平分线的性质是证线段相等的常用方法之一，角平分线的性质与判定通常是交叉使用，做角的平分线或过角的平分线上一点做角两边的垂线段是常用辅助线之一．。
八年级数学下册第一章直角三角形(一)学案
§1.3.1直角三角形编写人：黄丽萍 时间：3月1日学习目标：1.掌握直角三角形两锐角互余以及有两锐角互余的三角形是直角三角形。
2.掌握并会运用勾股定理及其逆定理。
3.结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题一、知识链接：三角形内角和定理：三角形的内角和等于 。
二、自主学习、探究新知探究1： （1）已知，在 △ ABC 中，∠B=90°，那么∠A+∠C= 。
由此得出：直角三角形的性质定理1： 。
（2）已知，在 △ ABC 中，∠A+∠C=90°，那么∠B=由此得出：直角三角形的判定定理： 。
探索2：勾股定理： _________________ 。
1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，(1)若a=15，c=25，则b=___________； (2)若a ∶b=3∶4，c=10则S △ =_______。
2、一个直角三角形中，两边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）A ．斜边一定为5B ．三角形周长为12C ．第三边可能为7 D ．三角形面积为6探索3：将勾股定理的条件和结论分别变成结论和条件，其内容是：你能证明吗? 已知在△ABC 中，AB 2+AC 2=BC 2求证：△A BC 是直角三角形.定理：如果三角形两边的_________ 等于______ ，那么这个三角形是直角三角形. AB C探索4:观察勾股定理及上述定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？然后观察下列每组命题，是否也在类似关系?归纳：像上述每组命题我们称为互逆命题，即一个命的条件和结论分别是另一个命题的________和________. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为_______ ,其中一个定理称另一个定理的______ .三、当堂训练，检测固学1. 判断 （1）每个命题都有逆命题，每个定理也都有逆定理.（ ）（2）命题正确时其逆命题也正确.（ ）（3）角三角形两边分别是3，4，则第三边为5.（ ）2、说出下列命题的逆命题,并判断原命题与逆命题的真假:（1）四边形是多边形; （ ）____________________________( )（2）两直线平行,同旁内角互补; （ ）____________________________( )（3）如果ab=0,那么a=0,b=0. （ ）____________________________( )4. 如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明C 处用侧角仪测得树顶端A 的仰角为30°，已知侧角仪高DC ＝1.4m ，BC ＝30米，请帮助小明计算出树高AB ．（3取1.732，结果保留三个有效数字）（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等.如果两个角相等，那么它们 是对顶角. （2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧. 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎. （3）三角形中相等的边所对的角相等 三角形中相等的角所对的边相等。
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杏子中学八年级数学导学案授课班级： 撰写者： 课时：第 1 课时 课题：第－章 直角三角形：直角三角形性质与判定（Ⅰ）（1）学习目标：1．会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形． 2．掌握直角三角形斜边上中线性质，并能灵活应用.学习过程： 复习引入：1. 三角形内角和.2. 等腰三角形及相关概念。
3. 小学已学习的直角三角形知识。
（直角三角形及相关概念－直角边、斜边等）4．一个三角形的三个角之比1：2：3，则这三个角的度数分别是 ， ， 。
自主探究一：1． 如图1—1在R t △ABC 中，两锐角的的和∠A+∠B=？2．如图1—1在△ABC 中，如果∠A+∠B=900，那么ABC 是直角三角形吗？ 交流展示：图1--1 自主探究二：1．每一个学生任意做一个直角三角形，并做出斜边的中线，用圆规比较一下，你能发现直角三角形斜边上的中线长与斜边有什么关系吗？请用语言叙述。
2．由上面的发现你能用几何语言表达吗？ 3．由上面的发现你能写出它的逆命题吗？ 交流展示：例1.如图1—3已知∠A=35°∠ADC=105°BE ⊥AC 于点E,求∠B 的度数。
图1---3C BA例2.如图1—4，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 是AB 边的中点,<B=60求∠CDA ∠A 的度数。
图1--4课堂小结：本节课你有何收获？ 达标检测： 必做题1．直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为__________。
2．已知，在Rt △ABC 中，BD 为斜边AC 上的中线，若∠A=35°，那么∠DBC=﹍ 3．已知 CD 是Rt ⊿ABC 斜边上的高.请写出图中各对互余的角4．满足条件∠A=13∠B=12∠C 的△ABC 的形状是（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形5.如图1—6 AB ∥CD,∠A 和∠C 的平分线相交于H 点，那么是△AHC 直角三角形吗？为什么？图1—6选做题如图1—7在Rt △ABC 中，AB=AC,∠BAC=90°,O 为BC 的中点。
（1）写出点O 到的三个顶点A,B,C 的距离的数量关系；（2）如果点M,N 分别在线段AB,AC 上移动，移动中保持AN=BM ，判断△OMN 的形状，并证明你的结论。
ONCC杏子中学八年级数学导学案授课班级： 撰写者： 课时：第 2 课时课题： 直角三角形的性质与判定（Ⅰ）（2） 学习目标：掌握直角三角形性质及其运用。
学习过程 复习引入：1、在R t △ABC 中，∠C=90°，∠A=38°，则∠2、在R t △ABC 中，∠C=90°，D 是AB 的中点，则自主探究一：如图1—8，在R t △ABC 中，∠C=90°AB 的中线1、图中△ACD 是 三角形，△BCD 是 三角形。
2、若AB=6cm,则AD=CD= cm 3、若AB=10cm,则AD=CD= cm. 4、由上你可得出什么样的猜想？图1--8自主探究二：1、如图1—8，在R t △ABC 中，∠C=90°AB 的中线CD ，如果BC=12AB,那么∠A=30°吗？2、由上你能得出什么结论？例1．如图1—9，在△ABC 中AB=c,∠A ：∠B ：∠C=1：2：3,CD例2．如图1---10，CD 是R t △ABC 斜边上的高，将△BCD 沿CD 折叠,B 点恰好落在AB 的中点E 处，求∠A 的度数。
C课堂小结：本节课你有何收获？ 达标检测：必作题1、如图1--11在Rt △ABC 中，∠ACB=90°BC 的垂直平分线交斜边AB 于D,AB=8，AC=4，图中等于60°的角有 个。
2、如图1—12，三角形的空地上种植某种花草美化环境，已知这种花草每平方米售价a 元，3、如图1—13，在△ABC 中AB=AC, ∠BAC=120°，EF 为AB 的垂直平分线，EF 交BC 于F,交AB 于E,求证：BF=12FC选作题：在等腰三角形中，腰上的高等于腰长的一半，求等腰三角形顶角的度数B杏子中学八年级数学导学案授课班级： 撰写者： 课时：第 3 课时课题：1 2直角三角形性质与判定（Ⅱ）（1）学习目标：1.理解掌握勾股定理内容。
2.会用勾股定理解决数学问题。
学习过程：复习引入：1、已知三角形ABC 中，∠A=27°，∠B=63°，则三角形ABC 是三角形。
2、已知在R t △ABC 中，∠C=90°AB=6,D 是AB 的中点，则CD=3、已知在R t △ABC 中，∠C=90°, ∠A=30°，BC=3㎝,则AB= ㎝.自主探究一：如图1—14，将四个全等的直角三角形ABC 放入边长为a ＋b 的正方形内，得到正方形I,且I 的边长等于直角三角形的斜边c.1、 图中四个直角三角形的面积是 ，正方形I 的面积是2、 用两种不同的方法表示图中大正方形的面积 ① ②3、 你能写出a 、b 、c 三个代数式之间的等量关系吗？例1在R t △ABC 中，∠B=90°，AB=c BC=a AC=b ，(1)已知a=6,b=10,求c.(2)已知a=5,c=12求b例2 如图1—15在等腰三角形ABC 中，已知AB=AC=13㎝，BC=10㎝（1） 你能算出BC 边上的高AD 的长吗？ （2） 三角形ABC 的面积是多少？图1—15 A例3 如图1—16，AD 是△ABC 的边BC 边上的高，P 是AD 上任意一点，当P从点A 向D 点移动时，线段PB,PC 的长都在变化，试探索22PC PB-的值如何变化.图1—16课堂小结：本节课你有何收获？ 达标检测：必作题：1 已知在Rt △ABC 中，∠C=90°。
①若a=3，b=4，则c=________；②若a=40，b=9，则c=________； ③若a=6，c=10，则b=_______；④若c=25，b=15，则a=________。
2 已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10。
①若∠A=30°，则BC=______，AC=_______； ②若∠A=45°，则BC=______，AC=_______。
3如图1--17已知等边三角形ABC 的边长是6cm 。
求：(1)高AD 的长； (2)△ABC 的面积ABC S ∆。
图1--17选作题:如图1—18△ACB △ECD 都是等腰直角三角形∠ACB =∠ECD=90°D 为AB 上一点，求证：（1）△ACE ≌△BCD （2）222ADDBDE +=图1—18BABCD杏子中学八年级数学导学案授课班级：撰写者：课时：第 4 课时课题：1⋅2直角三角形性质与判定（Ⅱ）（2）学习目标：构造直角三角形模型解决实际问题。
学习过程：复习引入：1、一个直角三角形其中两边长为3㎝,4㎝，则第三边长是 .2已知Rt△ABC中，∠C=90°BC=4，AC=3，则AB= ；若AB=4，AC=3，则BC= .自主探究：如图1--22电工师傅把4米长的梯子靠在墙上，使梯子脚离墙脚的距离为1⋅5米，准备在墙上安装电灯，当他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯子脚往墙脚移动0⋅5米，那么梯子顶端是否往上移动0⋅5米？图1—22例1 一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8千米，接着它又掉头向正东方向航行15千米。
（1）此时轮船离出发点多少千米？（2）若轮船每航行1千米需耗油1升，则在此过程中轮船共耗油多2少升？课堂小结：达标检测：必作题：1、在3米高的柱子顶端有一只老鹰，它看见一条蛇从距柱脚9米处向柱脚的蛇洞游来，老鹰立即扑去，如果它们速度相等，则老鹰在距离蛇洞多远处捉住蛇？2、在一棵树的4米高处有两只猴子，其中一只爬下来走向离树12米的池塘，而另一只爬到树顶直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，那么这棵树有多高呢？选作题：如图1—24，小明与小强攀登一无名高峰，他俩由山脚望主峰测的仰角为45°，然后沿一段倾角为30°的斜坡走了2千米到山腰，此时望主峰测得仰角为60°，于是小明对小强说：“我知道主峰多高了。
”你能根据他们的数据算出主峰的高度吗？BD图1—24杏子中学八年级数学导学案授课班级： 撰写者： 课时：第 5 课时 课题：1 2直角三角形性质与判定（Ⅱ）（3） 学习目标：理解掌握勾股定理的逆定理内容。
知道常见的勾股数。
会用勾股定理的逆定理解决数学问题。
学习过程： 复习引入：已知在R t △ABC 中，∠C=90°（1）若a=10 b=24则c= ； （2）若c=17 a=8 则b=自主探究一：画一个三角形使它的边长分别是3㎝,4㎝，5㎝。
（1） 边长3,4,5之间有的关系是 。
（2） 用量角器度量三角形三个内角的度数，它是 三角形。
（3）用语言表示由边的关系识别一个三角形为直角三角形 。
例1 判断由下列线段a ，b ，c 组成的三角形是不是直角三角形。
（1）a=10,b=24,c=26 （2） a=13 b=14,c=15例2如图1—19，在三角形ABC 中AB=5㎝，BC=12㎝，AC=13㎝,那么AC 边上的中线BD 的长是多少？图1—19例3如图1--20已知四边形ABCD 中AB=1，BC=2,CD=2，AD=3且∠B=90°，C求四边形ABCD 的面积。
图1—20课堂小结： 达标检测 ：必作题：1、下列各组数中能构成直角三角形的是（ ）A 5、6、7B 11、12、13C 40、41、9D 6、7、82、三角形三边长1：1）A 锐角三角形B 钝角三角C 等边三角形D 等腰直角三角形 3、三角形ABC 三边长5、12、x ，那么x= 时三角形ABC 是直角三 角形。
4、如图1—21在正方形ABCD 中，F 为CD 的中点， E 为BC 上一点，且EC=14BC,求证：AF ⊥EF图1—21选作题：在三角形ABC 中∠A, ∠B,∠C 的对边分别是a,b,c,且a,b,c 满足条件2a ＋2b ＋2c ＋338=10a ＋24b ＋26c,试判断三角形ABC 的形状。
DCA B BBAEC DF杏子中学八年级数学导学案授课班级： 撰写者： 课时：第 6 课时课题：1 3 直角三角形全等的判定学习目标：掌握判定直角三角形全等的方法。
学习过程：复习引入：1、如图1—25，直角边是 ， 。
斜边是 。
2、如图1—26，AB ⊥BE 于B,DE ⊥BE 于E,若∠A=∠D,AB=DE,则△ABC 与△DEF（填“全等”或“不全等”） ，根据是 。