函数及其图象第五节练习题
第一课时
（图）[A组]
1、已知AB两地相距90千米．某人骑自
行车由A地去B地，他平均时速为15
千米。
(1)求骑车人与终点B之间的距
离y(千米)与出发时间x(小时)之间的
函数关系；（2）画图象
2、假设甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与
时间t的关系如图，则可知道：(1)这是一次＿＿＿米
赛跑。
（2）甲、乙两人中先到达终点的是＿＿。
（3）
乙在这次赛跑中的速度是＿＿＿。
3、某公司印制产品宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收1500元制版费；乙厂提出：每份材料收2.5元印制费，不收制版费。
（1）分别写出两厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系式；
（2）在同一直角坐标系中作出它们的图象；
（3）根据图象回答：印制800份宣传材料时，选择哪家印刷厂比较合算？
该公司拟拿出3000元用于印制宣传材料，找哪家印刷厂印制宣传材料能多一些？
[B组]
4：A市和B市各有机床12台和6台，
现运往C市10台，D市8台．若从A市
运1台到C市、D市各需要4万元和8万
元，从B市运1台到C市、D市各需要3
万元和5万元．
（1）设B市运往C市x台，求总费
用y关于x的函数关系式；
（2）若总费用不超过90
（3）求总费用最低的调运方法，最低费用是多少万元？
（总费用y是从A市、B市运往C市和D市的费用和，现将A市、B市运往C市和D市的费用分别表示成为含x的代数式，再求费用和）
初二（）班姓名：_________ 学号：____ 时间：2005年4月4日[教学目标]使学生通过画函数图象，获取变量关系信息，进一步让学生体会函数图象上点与坐标的对应关系，体会方程和函数的联系，强化数形结合
的思想[教学重点]理解函数图象上点与坐标的对应关系，体会二元一
次方程方程和一次函数的联系
[教学过程]
环节一：看看函数与方程的关系
问题1：（1）小张已存有60元，从现在起每个月节存12元．试写出小张的存款数与从现在开始的月份数之间的函数关系式：
（2）小王以前没有存过零用钱，听到小张在存零用钱，表示从小张存款当月起每个月存18元，争取超过小张.，试写出小张的存款数与从现在开始的月份数之间的函数关系式：
（3
关系的图象，
（4）在图上找一找，小王存多少个
月，他的存款与小张的存款一样多？
问题2：
（1）你能说出二元一次方程组y=12x+60 的解吗？跟你的组员说说你的办法？
y=18x
第二课时
[A组] （方程）
2、k取什么整数值时，直线5x＋4y＝2k＋1
3、已知二元一次方程4x+y=5和x-2y=8
(1)把这两个方程改写成关于x的一次函数；
(2)在同一坐标系中作出它们的图象；
(3)利用图象，写出两条直线交点的坐标；
(5)说明方程组的解与两直线交点的坐标的关系。
第三课时
[A 组] 不等式
1、利用图象解下列不等式（组）
（1）-2x+1>0
(2) 3x-6<0
(3) -2x+1>0
3x-6<0
[B 组]
2、画出函数y=5x+15的图象，并利用图象
求解下列各问：
（1）求方程5x+15=0的解；
（2）求不等式5x+15 0的解集；
（3）如果y 的取值范围为-5≤y ≤5，求x
的取值范围；
（4）如果x 的取值范围为-2≤x ≤2，y 的最
大值和最小值是什么？
3、画出直线24y x =-、3y x =--的图象，并解答：
（1）根据图象，写出两直线的交点P 的坐标；
（2）根据图象，写出当x 取何值时243x x -<--；
（3）若直线24y x =-与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点；直线3y x =--与x 轴、y 轴分别交于C 、D 两点，求PAC 及PBD 的面积。
4、如果一次函数当自变量x 的取值范围是-1 x 3时，函数y 值的范围是-2 x 6，那么此函数的解析式是（ ）
A.y=2x
B.y=-2x+4
C.y=2x 或y=-2x+4
D.y=-2x 或y=-2x-4
第四课时 [A 组] 待定系数法
为了研究某合金材料的体积V （cm3）随温度t （℃）变化的规律，对一个用这种合金制成的圆球测得相关数据如下：
能否据此求出V 和t 的函数关系？
（1）由图象上的点可以看出，这是一条
，
它是一个 函数。
（2）请选取点（ ， ）和点（ ， ），
画出函数图象。
（3）由题意可设函数一般形式是
1、某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y （元）是行李质量x （公斤）的一次函数，其图象如图所示.
求：（1）y 与x 之间的函数关系式；
（2）旅客最多可免费携带行李的公斤数.
2 (2002年济南中招题) 科学家通过实验探究出一定质量的某气体在体积不变的情况下，压强P(千帕)随温度t(℃)变化的函数关系式是P=kt+b ，其图象如图6－11所示的射线AB ．
(1)根据图象求出上述气体的压强P 与温度t 的函数关系式；
(2)求出当压强P 为200千帕时，上述气体的温度．
图17.5.3
8、已知两条直线y1＝2x-3和y2＝5-x．
(1)在同一坐标系内作出它们的图象；
(2)求出它们的交点A坐标；
(3)求出这两条直线与x轴围成的三角形ABC的面积；
(4)k为何值时，直线2k＋1＝5x＋4y与k＝2x＋3y的交点在每四象限．
例5 今年入夏以来，全国大部分地区发生严重干旱．某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，若某户居民每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数，当0≤x≤5时，y＝0.72x,当x＞5时，y＝0.9x-0.9．
(1)画出函数的图象；
(2)观察图象，利用函数解析式，回答自来水公司采取的收费标准.。
青海2018届中考数学复习第1编第3章函数及其图象第5节二次函数的图象及性质精讲习题
第五节二次函数的图象及性质,青海五年中考命题规律),青海五年中考真题) 二次函数的图象及性质1．(2012西宁中考)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过(－1，1)，(2，－1)两点，下列关于这个二次函数的叙述正确的是( B)A．当x＝0时，y的值大于1B．当x＝3时，y的值小于0C．当x＝1时，y的值大于1D．y的最大值小于0二次函数图象和性质的综合应用2．(2017青海中考)如图，抛物线y ＝12x 2－32x －2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x轴对称．(1)求点A ，B ，C 的坐标； (2)求直线BD 的解析式；(3)在直线BD 下方的抛物线上是否存在一点P ，使△PBD 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由12x 2－32x －2＝0，得x 2－3x －4＝0，∴x 1＝－1，x 2＝4，∴A(－1，0)，B(4，0)，当x ＝0时，y ＝－2，∴C(0，－2)；(2)∵D 点与C 点关于x 轴对称，∴D 点坐标为(0，2)．设直线BD 的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝0，b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝2，∴直线BD 的解析式为y ＝－12x ＋2； (3)存在这样的点P.设P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，12m 2－32m －2，过点P 作PE⊥x 轴，与x 轴交于点F ，与BD 交于点E ，如答图．则E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－12m ＋2，∴|PE|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 2－32m －2＝－12m ＋2－12m 2＋32m ＋2＝－12m 2＋m ＋4，∴S △PBD ＝S △PDE ＋S △PEB＝12|PE|·|OF|＋12|PE|·|BF|＝12|PE|·(|OF|＋|BF|)＝12|PE|·|OB|＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m 2＋m ＋4×4＝－m 2＋2m ＋8＝－(m －1)2＋9.∴当m ＝1时，△PBD 的面积取得最大值9.此时，12m 2－32m －2＝12×12－32×1－2＝－3，∴P 点坐标为(1，－3)．3．(2016青海中考)如图所示(注：与图②完全相同)，二次函数y ＝43x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A(3，0)，B(－1，0)两点，与y 轴交于点C.(1)求该二次函数的解析式；(2)设该抛物线的顶点为D ，求△ACD 的面积；(请在图①中探索)(3)若点P ，Q 同时从A 点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB ，AC 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．当P ，Q 运动到t s 时，△APQ 沿PQ 所在的直线翻折，点A 恰好落在抛物线上E 点处，请直接判定此时四边形APEQ 的形状，并求出E 点坐标．(请在图②中探索)图①图②解：(1)∵二次函数y ＝43x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A(3，0)，B(－1，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧43×9＋3b ＋c ＝0，43×1－b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－83，c ＝－4， ∴y ＝43x 2－83x －4；(2)如答图①，过点D 作DM⊥y 轴于点M. ∵y ＝43x 2－83x －4＝43(x －1)2－163，∴点D ⎝⎛⎭⎪⎫1，－163，点C(0，－4)，则S △ACD ＝S 梯形AOMD －S △CDM －S △AOC ＝12×(1＋3)×163－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫163－4×1－12×3×4＝4；(3)四边形APEQ 为菱形．如答图②，E 点关于PQ 与A 点对称，过点Q 作QF⊥AP 于F ，∴FQ ∥OC ，∴AF AO ＝FQOC ＝AQ AC ，∴AF 3＝FQ 4＝t 5，∴AF ＝35t ，FQ ＝45t ，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－35t ，－45t .∵EQ ＝AP ＝t ，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－85t ，－45t .∵E 在二次函数y ＝43x 2－83x －4上，∴－45t ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫3－85t 2－83⎝ ⎛⎭⎪⎫3－85t －4，∴t ＝14564或t ＝0(与A 重合，舍去)，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－58，－2916.4．(2015青海中考)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx －3的图象与x 轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y 轴交于点C.该抛物线的顶点为M.(1)求抛物线的解析式；(2)判断△BCM 的形状，并说明理由；(3)探究坐标轴上是否存在点P ，使得以点P ，A ，C 为顶点的三角形与△BCM 相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵二次函数y ＝ax 2＋bx －3的图象与x 轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b －3＝0，9a ＋3b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，则抛物线解析式为y ＝x 2－2x －3； (2)△BCM 为直角三角形．理由如下：对于抛物线解析式y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，即顶点M 坐标为(1，－4)，令x ＝0，得到y ＝－3，即C(0，－3)，根据勾股定理得BC ＝32，BM ＝25，CM ＝2.∵BM 2＝BC 2＋CM 2，∴△BCM 为直角三角形；(3)存在．点P 的坐标为(0，0)或(9，0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13.5．(2014青海中考)如图所示，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为M(－2，－4)，与x 轴交于A ，B 两点，且A(－6，0)，与y 轴交于点C.(1)求抛物线的函数解析式； (2)求△ABC 的面积；(3)能否在抛物线第三象限的图象上找一点P ，使△APC 的面积最大？若能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．解：(1)设此函数的解析式为y ＝a(x －h)2＋k.∵函数图象顶点为M(－2，－4)，∴y ＝a(x ＋2)2－4，又∵函数图象经过点A(－6，0)，∴0＝a(－6＋2)2－4，解得a ＝14，∴此函数的解析式为y ＝14(x ＋2)2－4，即y ＝14x 2＋x －3；(2)∵点C 是函数y ＝14x 2＋x －3的图象与y 轴的交点，∴点C 的坐标是(0，－3)．在y ＝14x 2＋x －3中，令y＝0，则14x 2＋x －3＝0，解得x 1＝－6，x 2＝2，∴点B 的坐标是(2，0)，∴S △ABC ＝12|AB|·|OC|＝12×8×3＝12；(3)假设存在这样的点P ，过点P 作PE⊥x 轴于点E ，交AC 于点F.设E(x ，0)，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，14x 2＋x －3.设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b.∵直线AC 过点A(－6，0)，C(0，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6k ＋b ＝0，－3＝b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝－3，∴直线AC 的解析式为y ＝－12x －3.∴可设点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－12x －3，则|PF|＝－12x －3－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 2＋x －3＝－14x 2－32x ，∴S △APC ＝S △APF＋S △CPF ＝12|PF |·|AE|＋12|PF|·|OE|＝12|PF|·|OA|＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x 2－32x ×6＝－34x 2－92x ＝－34(x ＋3)2＋274，∴当x＝－3时，S △APC 有最大值274，此时P 点坐标是⎝⎛⎭⎪⎫－3，－154.6．(2013青海中考)如图，已知抛物线经过点A(2，0)，B(3，3)及原点O ，顶点为C. (1)求抛物线的解析式；(2)若点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且以A ，O ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标；(3)P 是抛物线上第二象限内的动点，过点P 作PM⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P 使得以点P ，M ，A 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，且过A(－2，0)，B(－3，3)，O(0，0)可得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋c ＝0，9a －3b ＋c ＝3，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝0，∴抛物线的解析式为y ＝x 2＋2x ；(2)①当AO 为边时，∵A ，O ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形，∴DE ＝AO ＝2.∵点E 在抛物线对称轴上，对称轴为直线x ＝1，∴点E 的横坐标为1，∴点D 的横坐标为3或－1，代入y ＝x 2－2x ，得y ＝3.∴D(3，3)或(－1，3)；②当AO 为对角线时，则DE 与AO 互相平分，∵点E 在对称轴上，对称轴为直线x ＝1，由对称性知，符合条件的点D 只有一个，与点C 重合，即D(1，－1)．综上所述，点D 的坐标为(3，3)或(－1，3)或(1，－1)；(3)∵点B(3，3)，C(1，－1)，∴△BOC 为直角三角形，∠COB ＝90°，且OC∶OB ＝1∶3，①若△PMA∽△COB，设PM ＝t ，则AM ＝3t ，∴点P(2－3t ，t)，代入y ＝x 2－2x 得(2－3t)2－2(2－3t)＝t ，解得t 1＝0(舍)，t 2＝79，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，79；②若△PMA∽△BOC，设PM ＝3t ，则AM ＝t ，点P(2－t ，3t)，代入y ＝x 2－2x 得(2－t)2－2(2－t)＝3t ，解得t 1＝0(舍)，t 2＝5，∴P(－3，15)．综上所述，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，79或(－3，15)．,中考考点清单)二次函数的概念及解析式1．定义：一般地，如果两个变量x 和y 之间的函数关系，可以表示成y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，且a≠0)，那么称y 是x 的二次函数，其中，a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项．2．三种表示方法(1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)；(2)顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是(h ，k)；(3)两点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a≠0)，其中x 1，x 2为抛物线与x 轴交点的横坐标． 3．三种解析式之间的关系顶点式――→确定一般式――→分解因式两点式 4．二次函数解析式的确定(1)求解二次函数解析式的方法一般用待定系数法，根据所给条件的不同，要灵活选用函数解析式； ①当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 形式； ②当已知抛物线的顶点或对称轴时，通常设为顶点式y ＝a(x －h)2＋k 形式；③当已知抛物线与x 轴的交点或交点横坐标时，通常设为两点式y ＝a(x －x 1)(x －x 2)． (2)步骤：①设二次函数的解析式；②根据已知条件，得到关于待定系数的方程组；③解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的解析式．二次函数的图象及其性质5．图象性质函数二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c为常数，a ≠0)图象对称轴 直线x ＝①__－b2a __直线x ＝－b2a顶点 坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a 续表函数二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c为常数，a ≠0)增减性在对称轴的左侧，即x ＜－b2a时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x ＞－b2a时，y 随x 的增大而增大，简记为左减右增 在对称轴的左侧，即当x ＜－b2a时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x ＞－b2a时，y 随x 的增大而减小，简记为左增右减最值抛物线有最低点，当②__x ＝－b2a__时，y 有最小值，y 最小值＝抛物线有最高点，当x ＝－b2a时，y 有最大值，y 最大值＝③__4ac －b24a4ac－b2__4a6.系数a，b，c与二次函数的图象关系项目字母字母的符号图象的特征aa＞0 开口向上a＜0 ④__开口向下__bb＝0 对称轴为y轴ab＞0(b与a同号) 对称轴在y轴左侧ab＜0(b与a异号) 对称轴在y轴右侧cc＝0 ⑤__经过原点__c＞0 与y轴正半轴相交c＜0 与y轴负半轴相交b2－4acb2－4ac＝0 与x轴有唯一交点(顶点)b2－4ac＞0 与x轴有两个不同交点b2－4ac＜0 与x轴没有交点特殊关系当x＝1时，y＝a＋b＋c当x＝－1时，y＝a－b＋c若a＋b＋c＞0，即x＝1时，y＞0若a－b＋c＞0，即x＝－1时，y＞0二次函数图象的平移7．平移步骤(1)将抛物线解析式转化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，确定其顶点坐标；(2)保持抛物线的形状不变，平移顶点坐标(h，k)即可．8.平移规律移动平移前的解析式平移后的解析式规律方向二次函数与一元二次方程的关系9．当抛物线与x轴有两个交点时，两交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个不相等的实数根．10．当抛物线与x轴只有一个交点时，该交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个相等的实数根．11．当抛物线与x轴没有交点时，对应的一元二次方程无实数根．12．二次函数与一元二次方程及b2－4ac的关系,中考重难点突破) 二次函数的图象与性质【例1】(2017宜宾中考)如图，抛物线y 1＝12(x ＋1)2＋1与y 2＝a(x －4)2－3交于点A(1，3)，过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于B ，C 两点，且D ，E 分别为顶点，则下列结论：①a ＝23；②AC＝AE ；③△ABD 是等腰直角三角形；④当x ＞1时，y 1＞y 2.其中正确结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】∵抛物线y 1＝12(x ＋1)2＋1与y 2＝a(x －4)2－3交于点A(1，3)，∴3＝a(1－4)2－3，解得a ＝23，故①正确；∵E 是抛物线的顶点，∴AE ＝EC ，∴无法得出AC ＝AE ，故②错误；当y ＝3时，3＝12(x ＋1)2＋1，解得：x 1＝1，x 2＝－3，故B(－3，3)，D(－1，1)，则AB ＝4，AD ＝BD ＝22，∴AD 2＋BD 2＝AB 2，∴③△ABD 是等腰直角三角形，正确；∵12(x ＋1)2＋1＝23(x －4)2－3时，解得：x 1＝1，x 2＝37，∴当37＞x ＞1时，y 1＞y 2，故④错误，故选B .【答案】B1．(2017襄阳中考)将抛物线y ＝2(x －4)2－1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为( A )A ．y ＝2x 2＋1B ．y ＝2x 2－3C ．y ＝2(x －8)2＋1D ．y ＝2(x －8)2－32．(2017泰安中考)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的y 与x 的部分对应值如表：下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x ＝1；③当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根大于4，其中正确的结论有( B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．(2017青岛中考)若抛物线y ＝x 2－6x ＋m 与x 轴没有交点，则m 的取值范围是__m ＞9__．二次函数的图象和性质的综合应用【例2】(2017菏泽中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1交y 轴于点A ，交x 轴正半轴于点B(4，0)，与过A 点的直线相交于另一点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，52，过点D 作DC⊥x 轴，垂足为C.(1)求抛物线的解析式；(2)点P 在线段OC 上(不与点O ，C 重合)，过P 作PN⊥x 轴，交直线AD 于M ，交抛物线于点N ，连接CM ，求△PCM 面积的最大值；(3)若P 是x 轴正半轴上的一动点，设OP 的长为t ，是否存在t ，使以点M ，C ，D ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【解析】(1)把B(4，0)，点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，52代入y ＝ax 2＋bx ＋1即可得出抛物线的解析式；(2)先用含t 的代数式表示P ，M 坐标，再根据三角形的面积公式求出△PCM 的面积与t 的函数关系式，然后运用配方法可求出△PCM 面积的最大值；(3)若四边形BCMN 为平行四边形，则有MN ＝DC ，故可得出关于t 的二元一次方程，解方程即可得到结论．【答案】解：(1)把点B(4，0)，点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，52，代入y ＝ax 2＋bx ＋1中，得⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋4b ＋1＝0，9a ＋3b ＋1＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－34，b ＝114，∴抛物线的解析式为y ＝－34x 2＋114x ＋1；(2)设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋b.∵A(0，1)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，52，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，3k ＋b ＝52，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝1，∴直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1.设P(m ，0)，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，12m ＋1.∴PM＝12m ＋1.∵CD ⊥x 轴，∴PC ＝3－m ，∴S △PCM ＝12PC·PM＝12×(3－m)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ＋1，∴S △PCM ＝－14m 2＋14m ＋32＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋2516，∴△PCM 面积的最大值是2516；(3)∵OP＝t ，∴点M ，N 的横坐标为t ，设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12t ＋1， N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－34t 2＋114t ＋1，∴MN ＝－34t 2＋114t ＋1－12t －1＝－34t 2＋94t ，CD ＝52.如果以点M ，C ，D ，N 为顶点的四边形是平行四边形，∴MN ＝CD ，即－34t 2＋94t ＝52.∵Δ＝－39，∴方程－34t 2＋94t ＝52无实数根，∴不存在t ，使以点M ，C ，D ，N 为顶点的四边形是平行四边形．4．(2017泸州中考)已知抛物线y ＝14x 2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为(3，3)，P 是抛物线y ＝14x 2＋1上一动点，则△PMF 周长的最小值是( C )A ．3B ．4C ．5D ．65．(河北中考)如图，抛物线L ：y ＝－12(x －t)(x －t ＋4)(常数t ＞0)与x 轴从左到右的交点为B ，A ，过线段OA 的中点M 作MP⊥x 轴，交双曲线y ＝kx(k ＞0，x ＞0)于点P ，且OA·MP＝12.(1)求k 值；(2)当t ＝1时，求AB 的长，并求直线MP 与L 对称轴之间的距离；(3)把L 在直线MP 左侧部分的图象(含与直线MP 的交点)记为G ，用t 表示图象G 最高点的坐标．解：(1)设P(x ，y)，则OM ＝x ，MP ＝y ，由OA 的中点为M 可知OA ＝2x ，代入OA·MP＝12， ∴2x ·y ＝12，即xy ＝6， ∴k ＝xy ＝6；(2)当t ＝1时，令y ＝0，得0＝－12(x －1)(x ＋3)，∴x 1＝1，x 2＝－3，∴B(－3，0)，A(1，0)，∴AB ＝4，∴L 的对称轴为直线x ＝－1，点M 为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，∴直线MP 与L 对称轴的距离为32； (3)∵A(t，0)，B(t －4，0)，∴L 的对称轴为x ＝t －2.又∵直线MP 的解析式为x ＝t 2，∴当t －2≤t2，即t≤4时，顶点(t －2，2)就是G 的最高点的坐标；当t －2＞t 2，即t ＞4时，L 与直线MP 的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫t2，－18t 2＋t 就是G 的最高点的坐标．。
第五节函数图像
第五节(函数图像)第五节函数的图象[知识能否忆起]一、利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线，首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；最后：描点，连线．二、利用基本函数的图象作图1．平移变换(1)水平平移：y＝f(x±a)(a>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(＋)或向右(－)平移a个单位而得到．(2)竖直平移：y＝f(x)±b(b>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向上(＋)或向下(－)平移b个单位而得到．2．对称变换(1)y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称．(2)y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称．(3)y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．(4)要得到y＝|f(x)|的图象，可将y＝f(x)的图象在x 轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变．(5)要得到y＝f(|x|)的图象，可将y＝f(x)，x≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y轴的对称性，作出x＜0时的图象．3．伸缩变换(1)y＝Af(x)(A>0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变而得到．(2)y＝f(ax)(a>0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的1a倍，纵坐标不变而得到．[小题能否全取]1．一次函数f(x)的图象过点A(0,1)和B(1,2)，则下列各点在函数f(x)的图象上的是()A．(2,2)B．(－1,1)C．(3,2) D．(2,3)解析：选D一次函数f(x)的图象过点A(0,1)，B(1,2)，则f(x)＝x＋1，代入验证D满足条件．2．函数y＝x|x|的图象大致是()解析：选A函数y＝x|x|为奇函数，图象关于原点对称．3．(教材习题改编)在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax与g(x)＝a x的图象可能是下列四个图象中的()解析：选B因a>0且a≠1，再对a分类讨论．4．(教材习题改编)为了得到函数y＝2x－3的图象，只需把函数y＝2x的图象上所有的点向______平移______个单位长度．答案：右 35．若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意a ＝|x |＋x令y ＝|x |＋x ＝⎩⎨⎧ 2x ，x ≥0，0，x ＜0，图象如图所示，故要使a ＝|x |＋x 只有一解则a >0.答案：(0，＋∞)1.作图一般有两种方法：直接作图法、图象变换法．其中图象变换法，包括平移变换、伸缩变换和对称变换，要记住它们的变换规律．[注意] 对于左、右平移变换，可熟记口诀：左加右减．但要注意加、减指的是自变量，否则不成立．2．一个函数的图象关于原点(y 轴)对称与两个函数的图象关于原点(y 轴)对称不同，前者是自身对称，且为奇(偶)函数，后者是两个不同的函数对称．作函数的图象典题导入[例1] 分别画出下列函数的图象：(1)y ＝|lg x |；(2)y ＝2x ＋2；(3)y ＝x 2－2|x |－1.[自主解答] (1)y ＝⎩⎨⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0<x <1.图象如图1. (2)将y ＝2x 的图象向左平移2个单位．图象如图2. (3)y ＝⎩⎨⎧x2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0.图象如图3.由题悟法画函数图象的一般方法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．以题试法1．作出下列函数的图象：(1)y ＝|x －x 2|；(2)y ＝x ＋2x －1. 解：(1)y ＝⎩⎨⎧x －x 2，0≤x ≤1，－(x －x 2)，x >1或x <0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －122＋14，0≤x ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －122－14，x >1或x <0， 其图象如图1所示(实线部分)．(2)y ＝(x －1)＋3x －1＝1＋3x －1，先作出y ＝3x 的图象，再将其向右平移1个单位，并向上平移1个单位即可得到y ＝x ＋2x －1的图象，如图2.识图与辨图典题导入[例2] (2012·湖北高考)已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为()[自主解答] 法一：由y ＝f (x )的图象知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (0≤x ≤1)，1(1<x ≤2). 当x ∈[0,2]时，2－x ∈[0,2]，所以f (2－x )＝⎩⎨⎧ 1(0≤x ≤1)，2－x (1<x ≤2)，故y ＝－f (2－x )＝⎩⎨⎧－1(0≤x ≤1)，x －2(1<x ≤2).法二：当x ＝0时，－f (2－x )＝－f (2)＝－1；当x ＝1时，－f (2－x )＝－f (1)＝－1.观察各选项，可知应选B.[答案] B由题悟法“看图说话”常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题．(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题．(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．以题试法2.(1)如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f (3)的值等于________．(2)(2012·东城模拟)已知函数对任意的x∈R有f(x)＋f(－x)＝0，且当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的图象大致为()解析：(1)∵由图象知f(3)＝1，∴1 f(3)＝1.∴f⎝⎛⎭⎪⎫1f(3)＝f(1)＝2.(2)∵对∀x∈R有f(x)＋f(－x)＝0，∴f(x)是奇函数．f(0)＝0，y＝f(x)的图象关于原点对称，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－ln(－x＋1)＝－ln(1－x)，由图象知符合上述条件的图象为D.答案：(1)2(2)D函数图象的应用典题导入[例3](2011·新课标全国卷)已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有()A．10个B．9个C．8个D．1个[自主解答]根据f(x)的性质及f(x)在[－1,1]上的解析式可作图如下：可验证当x＝10时，y＝|lg 10|＝1；0<x<10时，|lg x|<1；x>10时|lg x|>1.结合图象知y＝f(x)与y＝|lg x|的图象交点共有10个．[答案] A若本例中f(x)变为f(x)＝|x|，其他条件不变，试确定交点个数．解：根据f(x)的性质及f(x)在[－1,1]上的解析式可作图如下：由图象知共10个交点．由题悟法1．利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系．2．利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象的交点的横坐标．以题试法3．已知函数f (x )＝2－x 2，g (x )＝x .若f (x )*g (x )＝min{f (x )，g (x )}，那么f (x )*g (x )的最大值是________．(注意：min 表示最小值)解析：画出示意图(实线部分)，⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2(x ≤－2)，x (－2<x <1)，2－x 2(x ≥1)， f (x )*g (x )＝其最大值为1. 答案：1[典例] (2012·天津高考)已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则 实数k 的取值范围是________．[解析] 因为函数y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤－1或x >1，－x －1，－1<x <1，所以函数y ＝kx －2的图象恒过点(0，－2)，根据图象易知，两个函数图象有两个交点时，0<k <1或1<k <4.[答案] (0,1)∪(1,4)[题后悟道] 所谓数形结合思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．解答本题利用了数形结合思想，本题首先作出y＝|x2－1|x－1的图象，然后利用图象直观确定直线y＝kx－2的位置．作图时应注意不包括B、C两点，而函数y＝kx－2的图象恒过定点A(0，－2)，直线绕A点可以转动，直线过B、C两点是关键点．针对训练1．(2012·长春第二次调研)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x －1|，x <2，3x －1，x ≥2，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,3)B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)解析：选D 因为方程f (x )－a ＝0的根，即是直线x ＝a 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |2x －1|，x <2，3x －1，x ≥2的图象交点的横坐标，画出函数图象进行观察可以得知，a 的取值范围是(0,1)．1．函数f (x )＝2x 3的图象( )A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称 解析：选D 显然函数f (x )＝2x 3是一个奇函数，所以其图象关于原点对称．2．函数y ＝⎩⎨⎧x 2，x <0，2x －1，x ≥0的图象大致是( )解析：选B 当x <0时，函数的图象是抛物线；当x ≥0时，只需把y ＝2x 的图象在y 轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B.3．(2012·北京海淀二模)为了得到函数y ＝12log 2(x －1)的图象，可将函数y ＝log 2x 的图象上所有的点的( )A．纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，再向右平移1个单位长度B．纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，再向左平移1个单位长度C．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度D．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度解析：选A本题考查图象的平移和伸缩．将y＝log2x的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的12，得y＝12log2x的图象，再将y＝12log2x的图象向右平移1个单位长度即可．4．(2011·陕西高考)设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)的图象可能是()解析：选B表达式“f(x)＝f(－x)”，说明函数是偶函数，表达式“f(x＋2)＝f(x)”，说明函数的周期是2，再结合选项图象不难看出正确选项为B.5．(2012·济南模拟)函数y＝lg 1|x＋1|的大致图象为()解析：选D由题知该函数的图象是由函数y＝－lg|x|的图象左移一个单位得到的，故其图象为选项D中的图象．6．(2011·天津高考)对实数a和b，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎨⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R.若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，－2∪⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，32 B.⎝⎛⎦⎤－∞，－2∪⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，－34 C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－34∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫14，＋∞ 解析：选B由题意可知f (x )＝错误! ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2，－1≤x ≤32，x －x 2，x <－1或x >32作出图象，由图象可知y ＝f (x )与y ＝c 有两个交点时，c ≤－2或－1<c <－34， 即函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点时实数c 的取值范围是(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，－34. 7.已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝log2f (x )的定义域是________．解析：当f (x )>0时，函数g (x )＝log 2f (x )有意义， 由函数f (x )的图象知满足f (x )>0的x ∈(2,8]． 答案：(2,8]8．函数f (x )＝x ＋1x 图象的对称中心为________．解析：f (x )＝x ＋1x ＝1＋1x ，把函数y ＝1x 的图象向上平移1个单位，即得函数f (x )的图象．由y ＝1x 的对称中心为(0,0)，可得平移后的f (x )图象的对称中心为(0,1)．答案：(0,1)9．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．解析：当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧ －k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝1. ∴y ＝x ＋1. 当x >0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1，∵图象过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1，得a ＝14. 答案：f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x >0 10．已知函数f (x )＝错误! (1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值．解：(1)函数f(x)的图象如图所示．(2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．(3)由图象知当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝－1，当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝3.11．若直线y＝2a与函数y＝|a x－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，求a的取值范围．解：当0＜a＜1时，y＝|a x－1|的图象如图1所示，由已知得0＜2a＜1，即0＜a＜12.当a＞1时，y＝|a x－1|的图象如图2所示，由已知可得0＜2a＜1，即0＜a ＜12，但a ＞1，故a ∈∅. 综上可知，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，12. 12．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x ，g (x )在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围．解：(1)设f (x )图象上任一点坐标为(x ，y )，∵点(x ，y )关于点A (0,1)的对称点(－x,2－y )在h (x )的图象上，∴2－y ＝－x ＋1－x＋2， ∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x .(2)由题意g (x )＝x ＋a ＋1x ，且g (x )＝x ＋a ＋1x ≥6，x ∈(0,2]．∵x ∈(0,2]，∴a ＋1≥x (6－x )，即a ≥－x 2＋6x －1.令q (x )＝－x 2＋6x －1，x ∈(0,2]，q (x )＝－x 2＋6x －1＝－(x －3)2＋8，∴x ∈(0,2]时，q (x )max ＝q (2)＝7，故a 的取值范围为[7，＋∞)．1.(2013·威海质检)函数y ＝f (x )(x ∈R)的图象如图所示，下列说法正确的是( )①函数y ＝f (x )满足f (－x )＝－f (x )；②函数y ＝f (x )满足f (x ＋2)＝f (－x )；③函数y ＝f (x )满足f (－x )＝f (x )；④函数y ＝f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )．A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④解析：选C 由图象可知，函数f (x )为奇函数且关于直线x ＝1对称，所以f (1＋x )＝f (1－x )，所以f [1＋(x ＋1)]＝f [1－(x ＋1)]，即f (x ＋2)＝f (－x )．故①②正确．2．若函数f (x )的图象经过变换T 后所得图象对应函数的值域与函数f (x )的值域相同，则称变换T 是函数f (x )的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T ，其中变换T 不属于函数f (x )的同值变换的是( )A ．f (x )＝(x －1)2，变换T 将函数f (x )的图象关于y 轴对称B ．f (x )＝2x －1－1，变换T 将函数f (x )的图象关于x轴对称C ．f (x )＝2x ＋3，变换T 将函数f (x )的图象关于点(－1,1)对称D ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3，变换T 将函数f (x )的图象关于点(－1,0)对称解析：选B 对于A ，与f (x )＝(x －1)2的图象关于y 轴对称的图象对应的函数解析式为g (x )＝(－x －1)2＝(x ＋1)2，易知两者的值域都为[0，＋∞)；对于B ，函数f (x )＝2x －1－1的值域为(－1，＋∞)，与函数f (x )的图象关于x 轴对称的图象对应的函数解析式为g (x )＝－2x －1＋1，其值域为(－∞，1)；对于C ，与f (x )＝2x ＋3的图象关于点(－1,1)对称的图象对应的函数解析式为2－g (x )＝2(－2－x )＋3，即g (x )＝2x ＋3，易知值域相同；对于D ，与f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3的图象关于点(－1,0)对称的图象对应的函数解析式为g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π3＋2，其值域为[－1,1]，易知两函数的值域相同．3．已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，并对一切实数x ，都满足f (2＋x )＝f (2－x )．(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称；(2)若f (x )是偶函数，且x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1，求x ∈[－4,0]时的f (x )的表达式．解：(1)证明：设P(x0，y0)是函数y＝f(x)图象上任一点，则y0＝f(x0)，点P关于直线x＝2的对称点为P′(4－x0，y0)．因为f(4－x0)＝f(2＋(2－x0))＝f(2－(2－x0))＝f(x0)＝y0，所以P′也在y＝f(x)的图象上，所以函数y ＝f(x)的图象关于直线x＝2对称．(2)因为当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，所以f(－x)＝－2x－1.又因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝－2x－1，x∈[－2,0]．当x∈[－4，－2]时，4＋x∈[0,2]，所以f(4＋x)＝2(4＋x)－1＝2x＋7.而f(4＋x)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝2x＋7，x∈[－4，－2]．所以f (x )＝⎩⎨⎧ 2x ＋7，x ∈[－4，－2]，－2x －1，x ∈[－2，0].1．设D ＝{(x ，y )|(x －y )(x ＋y )≤0}，记“平面区域D 夹在直线y ＝－1与y ＝t (t ∈[－1,1])之间的部分的面积”为S ，则函数S ＝f (t )的图象的大致形状为()解析：选C 如图平面区域D为阴影部分，当t ＝－1时，S ＝0，排除D ；当t ＝－12时，S >14S max ，排除A 、B.2．(2012·深圳模拟)已知定义在区间[0,1]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，对于满足0<x 1<x 2<1的任意x 1、x 2，给出下列结论：①f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1；②x 2f (x 1)>x 1f (x 2)；③f (x 1)＋f (x 2)2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22. 其中正确结论的序号是________．(把所有正确结论的序号都填上)解析：①错误，①即为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>1，在(0,1)上不恒成立；由题图知，0<x 1<x 2<1时，f (x 1)x 1>f (x 2)x 2，②正确；图象是上凸的，③正确．答案：②③。
2020年中考数学一轮复习第3章函数及其图象(付)
第三章函数及其图象第一节平面直角坐标系姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2019·易错题)点(3，2)关于x轴的对称点为( )A．(3，－2)B．(－3，2)C．(－3，－2)D．(2，－3)2．(2018·湖南岳阳中考)函数y＝x－3中自变量x的取值范围是( )A．x＞3 B．x≠3C．x≥3 D．x≥03．(2017·山东济宁中考)如图，A，B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB，点P从点A出发，在⊙O上以每秒一个单位长度的速度匀速运动，回到点A运动结束，设运动时间为x(单位：s)，弦BP的长为y，那么下列图象中可能表示y与x函数关系的是( )A．① B．③C．②或④ D．①或③4．(2019·易错题)函数y＝xx－2中自变量x的取值范围是__________．5．在平面直角坐标系中，点P(3，－x2－1)在第______象限．6．如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A的坐标是(－1，0)．现将△ABC 绕点A顺时针旋转90°，则旋转后点C的坐标是______________．7．(2019·改编题)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，1)，B(－1，1)，C(－1，－2)，D(1，－2)，把一根长为2 019个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在A处，并按A→B→C→D→A…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是________________．8．在如图所示的方格图中，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”，根据图形，回答下列问题．(1)图中格点△A′B′C′是由格点△ABC通过怎样的变换得到的？(2)如果以直线a，b为坐标轴建立平面直角坐标系后，点A的坐标为(－3，4)，请写出格点△DEF各顶点的坐标，并求出△DEF的面积．9．定义：直线l 1与l 2交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线l 1，l 2的距离分别为p ，q ，则称有序实数对(p ，q)是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是(1，2)的点的个数是( ) A ．2B ．3C ．4D ．510．在平面直角坐标系中，点P(－3，2)关于直线y ＝x 对称的点的坐标是( ) A ．(－3，－2) B ．(3，2) C ．(2，－3)D ．(3，－2)11．(2019·改编题)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点M 0的坐标为(1，0)，将线段OM 0绕原点O 逆时针方向旋转45°，再将其延长到M 1，使得M 1M 0⊥OM 0，得到线段OM 1；又将线段OM 1绕原点O 逆时针方向旋转45°，再将其延长到M 2，使得M 2M 1⊥OM 1，得到线段OM 2；如此下去，得到线段OM 3，OM 4，OM 5，…，根据以上规律，那么 M 2 019的坐标为_________________________．12．(2019·创新题)【阅读】在平面直角坐标系中，以任意两点P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)为端点的线段中点坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)．【运用】(1)如图，矩形ONEF的对角线交于点M，ON，OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E 的坐标为(4，3)，则点M的坐标为________；(2)在平面直角坐标系中，有A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)三点，另有一点D与点A，B，C 构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．13．(2018·浙江台州中考)甲、乙两运动员在长为100 m的直道AB(A，B为直道两端点)上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点…若甲跑步的速度为5 m/s，乙跑步的速度为4 m/s，则起跑后100 s 内，两人相遇的次数为( )A．5 B．4C．3 D．2参考答案【基础训练】1．A 2.C 3.D 4.x≠2 5.四 6.(2，1) 7．(－1，1)8．解：(1)图中格点△A′B′C′是由格点△ABC 向右平移7个单位长度得到的． (2)如图，过点F 作FG∥直线a ，交DE 于点G.如果以直线a ，b 为坐标轴建立平面直角坐标系后，点A 的坐标为(－3，4)，那么格点△DEF 各顶点的坐标分别为D(0，－2)，E(－4，－4)，F(3，－3)，S △DEF ＝S △DGF ＋S △GEF ＝12×5×1＋12×5×1＝5.【拔高训练】 9．C 10.C 11．( －21 009，21 009)12．解：(1)(2，32)(2)设点D 的坐标为(x ，y)，若以AB 为对角线，AC ，BC 为邻边构成平行四边形，则AB ，CD 的中点重合， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 2＝－1＋32，4＋y 2＝2＋12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.若以BC 为对角线，AB ，AC 为邻边构成平行四边形，则AD ，BC 的中点重合，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋x 2＝1＋32，2＋y 2＝4＋12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.若以AC 为对角线，AB ，BC 为邻边构成平行四边形，则BD ，AC 的中点重合， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋x 2＝－1＋12，1＋y 2＝2＋42，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝5.综上可知，点D 的坐标为(1，－1)或(5，3)或(－3，5)． 【培优训练】 13．B第二节 一次函数的图象与性质姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．下列y 关于x 的函数中，是正比例函数的为( ) A ．y ＝x 2B ．y ＝2xC ．y ＝x2D ．y ＝x ＋122．若一次函数y ＝3x ＋b 的图象经过点(－1，2)，则b 的值为( ) A ．－7B ．－1C ．2D ．53．(2018·陕西中考)若直线l 1经过点(0，4)，l 2经过点(3，2)，且l 1与l 2关于x 轴对称，则l 1与l 2的交点坐标为( ) A ．(－2，0) B ．(2，0) C ．(－6，0)D ．(6，0)4．(2019·易错题)已知y 关于x 的函数y ＝(m －2)x ＋m 2－4，当m________时，该函数为一次函数；当m__________时，该函数为正比例函数．5. (2019·易错题)已知一次函数y ＝(1－m)x ＋m －2，当__________时，y 随x 的增大而增大．6．把直线y ＝－x －1沿y 轴向上平移2个单位，所得直线的函数表达式为________________． 7．如图，直线y 1＝x ＋b 与y 2＝kx －1相交于点P ，点P 的横坐标为－1，则关于x 的不等式x ＋b>kx －1的解集为____________.8. (2019·易错题)对于一次函数y ＝kx ＋b ，当1≤x≤4时，3≤y≤6，则kb 的值是____________．9．(2018·重庆中考B 卷)如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝12x 与直线l 2交点A 的横坐标为2，将直线l 1沿y 轴向下平移4个单位长度，得到直线l 3，直线l 3与y 轴交于点B ，与直线l 2交于点C ，点C 的纵坐标为－2.直线l 2与y 轴交于点D. (1)求直线l 2的表达式； (2)求△BDC 的面积．10．如图，已知直线l1：y＝－2x＋4与直线l2：y＝kx＋b(k≠0)在第一象限交于点M，若直线l2与x轴的交点为A(－2，0)，则k的取值范围为( )A．－2＜k＜2 B．－2＜k＜0C．0＜k＜4 D．0＜k＜211．如图，点A，B的坐标分别为(0，2)，(3，4)，点P为x轴上的一点，若点B关于直线AP的对称点B′恰好落在x轴上，则点P的坐标为____________．12．如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P(1，1)，C为y轴上一点，连结PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB 与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连结CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为__________．13．如图，直线l上有一点P1(2，1)，将点P1先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点P2，点P2恰好在直线l上．(1)写出点P2的坐标；(2)求直线l 所表示的一次函数的表达式；(3)若将点P 2先向右平移3个单位，再向上平移6个单位得到点P 3.请判断点P 3是否在直线l 上，并说明理由．参考答案【基础训练】1．C 2.D 3.B 4.≠2 ＝－2 5.m<1 6.y ＝－x ＋1 7.x>－1 8.2或－7 9．解：(1)把x ＝2代入y ＝12x 得y ＝1，∴点A 的坐标为(2，1)．∵将直线l 1沿y 轴向下平移4个单位长度，得到直线l 3， ∴直线l 3的表达式为y ＝12x －4，∴x＝0时，y ＝－4，∴B(0，－4)． 将y ＝－2代入y ＝12x －4，得x ＝4，∴点C 的坐标为(4，－2)．设直线l 2的表达式为y ＝kx ＋b(k≠0)， ∵直线l 2过A(2，1)，C(4，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝1，4k ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－32，b ＝4，∴直线l 2的表达式为y ＝－32x ＋4.(2)∵y＝－32x ＋4，∴x＝0时，y ＝4，∴D(0，4)．∵B(0，－4)，∴BD＝8， ∴△BDC 的面积＝12×8×4＝16.【拔高训练】10．D 11.(43，0) 12.(94，94)【培优训练】13．解：(1)P 2(3，3)．(2)设直线l 所表示的一次函数的表达式为y ＝kx ＋b(k≠0)， ∵点P 1(2，1)，P 2(3，3)在直线l 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝1，3k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－3. ∴直线l 所表示的一次函数的表达式为y ＝2x －3. (3)点P 3在直线l 上．由题意知点P 3的坐标为(6，9)， ∵2×6－3＝9，∴点P 3在直线l 上．第三节 一次函数的实际应用姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2018·江苏无锡中考)一水果店是A 酒店某种水果的唯一供货商，水果店根据该酒店以往每月的需求情况，本月初专门为他们准备了2 600 kg 的这种水果．已知水果店每售出1 kg 该水果可获利润10元，未售出的部分每1 kg 将亏损6元，以x(单位：kg ，2 000≤x≤3 000)表示A 酒店本月对这种水果的需求量，y(元)表示水果店销售这批水果所获得的利润． (1)求y 关于x 的函数表达式；(2)问：当A酒店本月对这种水果的需求量如何时，该水果店销售这批水果所获的利润不少于22 000元？2．某周日上午8：00小宇从家出发，乘车1小时到达某活动中心参加实践活动，11：00时他在活动中心接到爸爸的电话，因急事要求他在12：00前回到家．他即刻按照来活动中心时的路线，以5千米/小时的平均速度快步返回，同时，爸爸在家沿同一路线开车接他，在距家20千米处接上了小宇，立即保持原来的车速原路返回．设小宇离家x(小时)后，到达离家y(千米)的地方，图中折线OABCD表示y与x之间的函数关系．(1)活动中心与小宇家相距________千米，小宇在活动中心活动时间为________小时，他从活动中心返家时，步行用了________小时；(2)求线段BC所表示的y(千米)与x(小时)之间的函数关系式(不必写出x所表示的范围)；(3)根据上述情况(不考虑其他因素)，请判断小宇是否能在12：00前回到家，并说明理由．3．如图1表示同一时刻的韩国首尔时间和北京时间，两地时差为整数．(1)设北京时间为x(时)，首尔时间为y(时)，就0≤x≤12，求y关于x的函数表达式，并填写下表(同一时刻的两地时间)．北京时间7：30 ________ 2：50首尔时间________ 12：15 ________(2)如图2表示同一时刻的英国伦敦时间(夏时制)和北京时间，两地时差为整数．如果现在伦敦时间(夏时制)为7：30，那么此时韩国首尔时间是多少？4. (2017·河北中考)如图，直角坐标系xOy 中，A(0，5)，直线x ＝－5与x 轴交于点D ，直线y ＝－38x －398与x 轴及直线x ＝－5分别交于点C ，E ，点B ，E 关于x 轴对称，连结AB.(1)求点C ，E 的坐标及直线AB 的表达式； (2)设面积的和S ＝S △CDE ＋S 四边形ABDO ，求S 的值；(3)在求(2)中S 时，嘉琪有个想法：“将△CDE 沿x 轴翻折到△CDB 的位置，而△CDB 与四边形ABDO 拼接后可看成△AOC，这样求S 便转化为直接求△AOC 的面积不更快捷吗？”但大家经反复演算，发现S △AOC ≠S，请通过计算解释他的想法错在哪里．5．已知点P(x 0，y 0)和直线y ＝kx ＋b ，则点P 到直线y ＝kx ＋b 的距离d 可用公式d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k2计算． 例如：求点P(－2，1)到直线y ＝x ＋1的距离．解：因为直线y ＝x ＋1可变形为x －y ＋1＝0，其中k ＝1，b ＝1，所以点P(－2，1)到直线y ＝x ＋1的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|1×（－2）－1＋1|1＋12＝22＝2.根据以上材料，求：(1)点P(1，1)到直线y＝3x－2的距离，并说明点P与直线的位置关系；(2)点P(2，－1)到直线y＝2x－1的距离；(3)已知直线y＝－x＋1与y＝－x＋3平行，求这两条直线的距离．参考答案1．解：(1)由题意得当2 000≤x≤2 600时，y＝10x－6(2 600－x)＝16x－15 600，当2 600＜x≤3 000时，y＝2 600×10＝26 000.(2)由题意得16x－15 600≥22 000，解得x≥2 350.∴当A酒店本月对这种水果的需求量小于等于3 000 kg，不少于2 350 kg时，该水果店销售这批水果所获的利润不少于22 000元．2．解：(1)22 2 2 5(2)由题意知，点B 的坐标为(3，22)，点C 的坐标为(175，20)，设线段BC 的函数关系式为y ＝kx ＋b ， 把点B 和点C 的坐标代入， 得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝22，175k ＋b ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－5，b ＝37，所以线段BC 所表示的y(千米)与x(小时)之间的函数关系式是y ＝－5x ＋37.(3)爸爸开车接上小宇前行驶路程为20千米，用时25小时，速度为20÷25＝50(千米/小时)，接上小宇后开车返回的速度是50千米/小时，路程为20千米，需要2050＝25(小时)，到家时间为8＋3＋25＋25＝1145时，即11时48分，所以小宇能在12：00前回到家．3．解：(1)从图1看出，同一时刻，首尔时间比北京时间多1小时， 故y 关于x 的函数表达式是y ＝x ＋1.填表如下：(2)从图2看出，设伦敦时间(夏时制)为t 时，则北京时间为(t ＋7)时， 由第(1)题，知韩国首尔时间为(t ＋8)时，所以，当伦敦时间(夏时制)为7：30时，韩国首尔时间为15：30. 4．解：(1)在直线y ＝－38x －398中，令y ＝0，则有0＝－38x －398，∴x＝－13，∴C(－13，0)．令x ＝－5，则有y ＝－38×(－5)－398＝－3，∴E(－5，－3)．∵点B ，E 关于x 轴对称，∴B(－5，3)． ∵A (0，5)，∴设直线AB 的表达式为y ＝kx ＋5， ∴－5k ＋5＝3，∴k＝25，∴直线AB 的表达式为y ＝25x ＋5.(2)由(1)知，E(－5，－3)，∴DE＝3，∵C(－13，0)，∴CD＝－5－(－13)＝8， ∴S △CDE ＝12CD·DE＝12.由题意知，OA ＝5，OD ＝5，BD ＝3， ∴S 四边形ABDO ＝12(BD ＋OA)·OD＝20，∴S＝S △CDE ＋S 四边形ABDO ＝12＋20＝32. (3)由(2)知，S ＝32， 在△AOC 中，OA ＝5，OC ＝13， ∴S △AOC ＝12OA·OC＝652＝32.5，∴S≠S △AOC .理由：由(1)知，直线AB 的表达式为y ＝25x ＋5，令y ＝0，则0＝25x ＋5，∴x＝－252≠－13.∴点C 不在直线AB 上，即点A ，B ，C 不在同一条直线上， ∴S △AOC ≠S.5．解：(1)∵点P(1，1)，∴点P 到直线y ＝3x －2的距离为d ＝|3×1－1－2|1＋32＝0， ∴点P 在直线y ＝3x －2上． (2)∵y＝2x －1，∴k＝2，b ＝－1. ∵P(2，－1)，∴d＝|2×2－（－1）－1|1＋22＝455. ∴点P(2，－1)到直线y ＝2x －1的距离为455.(3)在直线y ＝－x ＋1任意取一点P ， 当x ＝0时，y ＝1，∴P(0，1)． ∵直线y ＝－x ＋3，∴k＝－1，b ＝3， ∴d＝|－0－1＋3|1＋（－1）2＝2，∴两平行线之间的距离为 2.第四节 反比例函数姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2018·浙江宁波模拟)若y ＝(m ＋1)x m －2是反比例函数，则m 的取值为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．任意实数2．以下各点中，与点(－2，6)在同一个反比例函数图象上的是( ) A ．(6，2) B ．(－2，－6) C ．(3，4)D ．(4，－3)3．(2019·易错题)已知点A(1，y 1)，B(2，y 2)，C(－3，y 3)都在反比例函数y ＝4x 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( ) A ．y 3<y 1<y 2 B ．y 1<y 2<y 3 C ．y 2<y 1<y 3D ．y 3<y 2<y 14．以正方形ABCD 两条对角线的交点O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，反比例函数y ＝3x的图象经过点D ，则正方形ABCD 的面积是( )A ．10B ．11C ．12D ．135．(2018·江西中考)在平面直角坐标系中，分别过点A(m ，0)，B(m ＋2，0)作x 轴的垂线l 1和l 2，探究直线l 1，直线l 2与双曲线y ＝3x的关系，下列结论中错误的是( )A ．两直线中总有一条与双曲线相交B ．当m ＝1时，两直线与双曲线的交点到原点的距离相等C ．当－2＜m ＜0时，两直线与双曲线的交点在y 轴两侧D ．当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的最短距离是2 6. (2019·易错题)已知反比例函数y ＝－8x，下列结论：①图象必经过(－2，4)；②图象在第二、四象限；③y 随x 的增大而增大；④当x>－1时，则y>8.其中错误的结论有( ) A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个7．已知反比例函数y ＝6x 在第一象限的图象如图所示，点A 在其图象上，点B 为x 轴正半轴上一点，连结AO ，AB ，且AO ＝AB ，则S △AOB ＝______．8．如图，一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝ax 的图象在第一象限交于A ，B 两点，B 点的坐标为(3，2)，连结OA ，OB ，过点B 作BD⊥y 轴，垂足为点D ，交OA 于点C ，若OC ＝CA.(1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求△AOB 的面积．9．已知k 1<0<k 2，则函数y ＝k 1x －1和y ＝k 2x的图象大致是( )10．如图，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，…，P n (x n ，y n )在函数y ＝1x (x>0)的图象上，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…，△P n A n －1A n 都是等腰直角三角形，斜边OA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A n －1A n 都在x 轴上(n 是大于或等于2的正整数)，则点P 3的坐标是______________；点P n 的坐标是______________(用含n 的式子表示)．11．如图，已知点A(4，0)，B(0，43)，把一个直角三角尺DEF 放在△OAB 内，使其斜边FD 在线段AB 上，三角尺可沿着线段AB 上下滑动．其中∠EFD＝30°，ED ＝2，点G 为边FD 的中点．(1)求直线AB 的函数表达式；(2)如图1，当点D 与点A 重合时，求经过点G 的反比例函数y ＝kx (k≠0)的函数表达式；(3)在三角尺滑动的过程中，经过点G 的反比例函数的图象能否同时经过点F ？如果能，求出此时反比例函数的表达式；如果不能，说明理由．12．(2018·江苏泰州中考)平面直角坐标系xOy 中，横坐标为a 的点A 在反比例函数y 1＝kx (x＞0)的图象上，点A′与点A 关于点O 对称，一次函数y 2＝mx ＋n 的图象经过点A′. (1)设a ＝2，点B(4，2)在函数y 1，y 2的图象上． ①分别求函数y 1，y 2的表达式；②直接写出使y 1＞y 2＞0成立的x 的范围；(2)如图1，设函数y 1，y 2的图象相交于点B ，点B 的横坐标为3a ，△AA′B 的面积为16，求k 的值；(3)设m ＝12，如图2，过点A 作AD⊥x 轴，与函数y 2的图象相交于点D ，以AD 为一边向右侧作正方形ADEF ，试说明函数y 2的图象与线段EF 的交点P 一定在函数y 1的图象上．参考答案【基础训练】1．A 2.D 3.D 4.C 5.D 6.B 7.68．解：(1)∵反比例函数的表达式为y ＝a x ，且反比例函数经过点B(3，2)，∴2＝a3，即a ＝6.∴反比例函数的表达式为y ＝6x .如图，过点A 作AE⊥y 轴于点E ， ∵过点B 作BD⊥y 轴，OC ＝CA ，∴CD 是△AOE 的中位线，即OE ＝2OD ＝4. 又∵点A 在反比例函数y ＝6x 的图象上，∴点A 的坐标为(32，4)．∵一次函数的表达式为y ＝kx ＋b ，且经过A ，B 两点，根据题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝2，32k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43，b ＝6， ∴一次函数的表达式为y ＝－43x ＋6.(2)∵CD 是△AOE 的中位线，∴CD＝12AE ＝34，∴BC＝BD －CD ＝3－34＝94.∴S △AOB ＝S △ABC ＋S △BOC ＝12BC·OE＝12×94×4＝92.【拔高训练】 9．A10．(3＋2，3－2) (n ＋n －1，n －n －1) 11．解：(1)设直线AB 的函数表达式为y ＝k′x＋b. ∵点A(4，0)，B(0，43)，∴⎩⎨⎧4k′＋b ＝0，b ＝43，解得⎩⎨⎧k′＝－3，b ＝43，∴直线AB 的函数表达式为y ＝－3x ＋4 3.(2)∵在Rt△DEF 中，∠EFD＝30°，ED ＝2，∴EF＝23，DF ＝4. ∵点D 与点A 重合，∴点D(4，0)， ∴点F(2，23)，∴点G(3，3)． ∵反比例函数y ＝kx 经过点G ，∴k＝33，∴反比例函数的表达式为y ＝33x.(3)经过点G 的反比例函数的图象能同时经过点F ，理由如下： ∵点F 在直线AB 上， ∴设点F(t ，－3t ＋43)．又∵ED＝2，∴点D(t ＋2，－3t ＋23)． ∵点G 为边FD 的中点． ∴G(t＋1，－3t ＋33)．若过点G 的反比例函数的图象也经过点F ， 设此时反比例函数表达式为y ＝mx，则⎩⎪⎨⎪⎧－3t ＋33＝mt ＋1，－3t ＋43＝mt，整理得(－3t ＋33)(t ＋1)＝(－3t ＋43)t ， 解得t ＝32，∴m＝1534，∴经过点G 的反比例函数的图象能同时经过点F ，这个反比例函数的表达式为y ＝1534x .【培优训练】12．解：(1)①由已知，点B(4，2)在y 1＝kx (x ＞0)的图象上，∴k＝8，∴y 1＝8x.∵a＝2，∴点A 坐标为(2，4)，A′坐标为(－2，－4)． 把B(4，2)，A′(－2，－4)代入y 2＝mx ＋n ，⎩⎪⎨⎪⎧2＝4m ＋n ，－4＝－2m ＋n ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－2.∴y 2＝x －2.②当y 1＞y 2＞0时，y 1＝8x 图象在y 2＝x －2图象上方，且两函数图象在x 轴上方，∴由图象得2＜x ＜4.(2)如图，分别过点A ，B 作AC⊥x 轴于点C ，BD⊥x 轴于点D ，连结BO.∵O 为AA′的中点， ∴S △AOB ＝12S △AA′B ＝8，∵点A ，B 在双曲线上， ∴S △AOC ＝S △BOD ， ∴S △AOB ＝S 四边形ACDB ＝8.由已知得，点A ，B 坐标为(a ，k a )，(3a ，k3a )，∴12(k 3a ＋ka)·2a＝8，解得k ＝6. (3)由已知A(a ，k a )，则A′为(－a ，－ka )．把A′代入到y 2＝12x ＋n 中，则－k a ＝－12a ＋n ，∴n＝12a －k a，∴A′D 的表达式为y 2＝12x ＋12a －ka .当x ＝a 时，点D 纵坐标为a －ka ，∴AD＝2ka－a.∵AD＝AF ，∴点F 和点P 横坐标为a ＋2k a －a ＝2ka .∴点P 纵坐标为12·2k a ＋12a －k a ＝12a.∴点P 在y 1＝kx (x ＞0)的图象上．第五节 二次函数的图象与性质姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2019·易错题)将二次函数y ＝x 2－2x ＋3化为y ＝(x －h)2＋k 的形式，结果为( ) A ．y ＝(x ＋1)2＋4 B ．y ＝(x ＋1)2＋2 C ．y ＝(x －1)2＋4D ．y ＝(x －1)2＋22．(2017·浙江丽水中考)将函数y ＝x 2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的方法是( )A ．向左平移1个单位B ．向右平移3个单位C ．向上平移3个单位D ．向下平移1个单位3．(2018·湖南益阳中考)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列说法正确的是( )A ．ac ＜0B ．b ＜0C ．b 2－4ac ＜0 D ．a ＋b ＋c ＜04．如图是一座拱桥，当水面宽AB 为12 m 时，桥洞顶部离水面4 m ，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点A 为坐标原点时的抛物线表达式是y ＝－19(x －6)2＋4，则选取点B 为坐标原点时的抛物线表达式是_________________________．5．(2019·改编题)矩形ABCD 的两条对称轴为坐标轴，点A 的坐标为(2，1)，一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A 重合，此时抛物线的函数表达式为y ＝x 2，再次平移透明纸，使这个点与点C 重合，则该抛物线的函数表达式变为________________________．6．已知二次函数y ＝ax 2－bx －2(a≠0)的图象的顶点在第四象限，且过点(－1，0)，当a －b 为整数时，ab 的值为( ) A.34或1 B.14或1 C.34或12D.14或347.如图，反比例函数y ＝k x 的图象经过二次函数y ＝ax 2＋bx 图象的顶点(－12，m)(m>0)，则有( )A．a＝b＋2kB．a＝b－2kC．k<b<0D．a<k<08．(2018·山东德州中考)如图，函数y＝ax2－2x＋1和y＝ax－a(a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是( )9．(2018·浙江杭州中考)设二次函数y＝ax2＋bx－(a＋b)(a，b是常数，a≠0)．(1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由；(2)若该二次函数图象经过A(－1，4)，B(0，－1)，C(1，1)三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式；(3)若a＋b＜0，点P(2，m)(m＞0)在该二次函数图象上，求证：a＞0.10．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，B点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的表达式；(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE＋EF的最大值；(3)点D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．11．(2018·四川南充中考)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴交于A，B两点，顶点P(m，n)．给出下列结论：①2a＋c ＜0；②若(－32，y 1)，(－12，y 2)，(12，y 3)在抛物线上，则y 1＞y 2＞y 3；③关于x 的方程ax 2＋bx ＋k ＝0有实数解，则k ＞c －n ； ④当n ＝－1a 时，△ABP 为等腰直角三角形．其中正确结论是________(填写序号)．参考答案【基础训练】 1．D 2.D 3.B4．y ＝－19(x ＋6)2＋4 5.y ＝x 2＋8x ＋14【拔高训练】 6．A 7.D 8.B9．解：(1)由题意知Δ＝b 2－4a[－(a ＋b)]＝b 2＋4ab ＋4a 2＝(2a ＋b)2≥0， ∴该二次函数图象与x 轴的交点的个数有2个或1个． (2)当x ＝1时，y ＝a ＋b －(a ＋b)＝0 ∴该二次函数图象不经过点C. 把点A(－1，4)，B(0，－1)分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧4＝a －b －（a ＋b ），－1＝－（a ＋b ），解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2.∴该二次函数的表达式为y ＝3x 2－2x －1. (3)证明：当x ＝2时，m ＝4a ＋2b －(a ＋b)＝3a ＋b ＞0，① ∵a＋b ＜0，∴－a －b ＞0.② ①＋②得2a ＞0，∴a＞0.10．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧32＋3b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3，∴抛物线的表达式为y ＝x 2－4x ＋3.(2)方法1：如图1，过点P 作PG∥CF 交CB 于点G ，由题意知∠BCO＝∠CFE＝45°，F(0，m)，C(0，3)，∴△CFE 和△GPE 均为等腰直角三角形， ∴EF＝22CF ＝22(3－m)，PE ＝22PG. 设x P ＝t(1<t<3)，则PE ＝22PG ＝22(－t ＋3－t －m) ＝22(－m －2t ＋3)，t 2－4t ＋3＝t ＋m ， ∴PE＋EF ＝22(－m －2t ＋3)＋22(3－m)＝22(－2t －2m ＋6)＝－2(t ＋m －3)＝－2(t 2－4t)＝－2(t －2)2＋42，∴当t ＝2时，PE ＋EF 的最大值为4 2.方法2：(几何法)如图2，由题易知直线BC 的表达式为y ＝－x ＋3，OC ＝OB ＝3， ∴∠OCB＝45°. 同理可知∠OFE＝45°， ∴△CEF 为等腰直角三角形，以BC 为对称轴将△FCE 对称得到△F′CE，作PH⊥CF′于点H ，则PE ＋EF ＝PF′＝2PH. 又PH ＝y C －y P ＝3－y P ，∴当y P 最小时，PE ＋EF 取最大值， ∵抛物线的顶点坐标为(2，－1)，∴当y P ＝－1时，(PE ＋EF)max ＝2×(3＋1)＝4 2. (3)①由(1)知对称轴x ＝2，设D(2，n)，如图3.当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形时，D 在BC 上方D 1位置时，由勾股定理得CD 2＋BC 2＝BD 2，即(2－0)2＋(n －3)2＋(32)2＝(3－2)2＋(0－n)2，解得n ＝5；当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形时，D 在BC 下方D 2位置时，由勾股定理得BD 2＋BC 2＝CD 2，即(2－3)2＋(n －0)2＋(32)2＝(2－0)2＋(n －3)2，解得n ＝－1. ∴当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形时，D 为(2，5)或(2，－1)．②如图4，以BC 的中点T(32，32)，12BC 为半径作⊙T，与对称轴x ＝2交于D 3和D 4，由直径所对的圆周角是直角，得∠CD 3B ＝∠CD 4B ＝90°. 设D(2，m)，由DT ＝12BC ＝322得(32－2)2＋(32－m)2＝(322)2， 解得m ＝32±172，∴D 3(2，32＋172)，D 4(2，32－172)．又由①得D 1为(2，5)，D 2(2，－1)，∴若△BCD 是锐角三角形，D 点在线段D 1D 3或D 2D 4上时(不与端点重合)，则点D 的纵坐标的取值范围是－1<y D <32－172或32＋172<y D <5.【培优训练】 11．②④第六节 二次函数的综合应用姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2018·湖北孝感中考)如图，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx ＋c 的两个交点坐标分别为A(－2，4)，B(1，1)，则方程ax 2＝bx ＋c 的解是________________________．2．(2018·浙江湖州中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx(a＞0)的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2(a＞0)交于点B.若四边形ABOC是正方形，则b的值是________．3．(2019·易错题)某校在基地参加社会实践活动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙(墙足够长)，另外三边用总长69 m的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3 m的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境：请根据上面的信息，解决问题：(1)设AB＝x m(x>0)，试用含x的代数式表示BC的长；(2)请你判断谁的说法正确，为什么？4. (2018·湖北襄阳中考)襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x 天的售价为y 元/千克，y 关于x 的函数表达式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx －76m （1≤x<20，x 为正整数），n （20≤x≤30，x 为正整数），且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W 元(利润＝销售收入－成本)． (1)m ＝________，n ＝________；(2)求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？ (3)在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？5．(2018·山东泰安中考)一元二次方程(x ＋1)(x －3)＝2x －5根的情况是( ) A ．无实数根B ．有一个正根，一个负根C ．有两个正根，且都小于3D ．有两个正根，且有一根大于36．如图，已知直线y ＝－34x ＋3分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，P 是抛物线y ＝－12x 2＋2x ＋5上的一个动点，其横坐标为a ，过点P 且平行于y 轴的直线交直线y ＝－34x ＋3于点Q ，则当PQ ＝BQ 时，a 的值是__________________________．7．如图，抛物线y ＝a(x －1)2＋c 与x 轴交于点A(1－3，0)和点B ，将抛物线沿x 轴向上翻折，顶点P 落在点P′(1，3)处． (1)求原抛物线的函数表达式；(2)学校举行班徽设计比赛，九年级(5)班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P′作x 轴的平行线交抛物线于C ，D 两点，将翻折后得到的新图象在直线CD 以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W ，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽(CD)的比非常接近黄金分割比5－12(约等于0.618)．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少(参考数据：5≈2.236，6≈2.449，结果可保留根号)．8．(2017·湖南邵阳中考)如图所示，顶点为(12，－94)的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点M(2，0)．(1)求抛物线的表达式；(2)点A 是抛物线与x 轴的交点(不与点M 重合)，点B 是抛物线与y 轴的交点，点C 是直线y ＝x ＋1上一点(处于x 轴下方)，点D 是反比例函数y ＝kx (k ＞0)图象上一点，若以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是菱形，求k 的值．参考答案【基础训练】1．x 1＝－2，x 2＝1 2.－23．解：(1)AB ＝x m ，可得BC ＝69＋3－2x ＝(72－2x)m. (2)小英说法正确，理由如下：矩形面积S ＝x(72－2x)＝－2(x －18)2＋648， ∵72－2x>0， ∴x<36，∴0<x<36.∴当x ＝18时，S 取最大值， 此时x≠72－2x ，∴面积最大的不是正方形．4．解：(1)第12天的售价为32元/千克，代入y ＝mx －76m ，得32＝12m －76m ， 解得m ＝－12.第26天的售价为25元/千克，代入y ＝n ， 则n ＝25，故答案为m ＝－12，n ＝25.(2)由题意知，第x 天的销售量为20＋4(x －1)＝4x ＋16， 当1≤x＜20时，W ＝(4x ＋16)(－12x ＋38－18)＝－2x 2＋72x ＋320＝－2(x －18)2＋968，∴当x ＝18时，W 最大＝968元．当20≤x≤30时，W ＝(4x ＋16)(25－18)＝28x ＋112. ∵28＞0，∴W 随x 的增大而增大， ∴当x ＝30时，W 最大＝952元． ∵968＞952，∴当x ＝18时，W 最大＝968元．(3)当1≤x＜20时，令－2x 2＋72x ＋320＝870， 解得x 1＝25，x 2＝11.∵抛物线W ＝－2x 2＋72x ＋320的开口向下， ∴11≤x≤25时，W≥870. 又∵11≤x＜20，x 为正整数， ∴有9天利润不低于870元，当20≤x≤30时，令28x ＋112≥870， 解得x≥27114.∴27114≤x≤30.∵x 为正整数，∴有3天利润不低于870元．∴综上所述，当天利润不低于870元的天数共有12天． 【拔高训练】5．D 6.－1，4，4＋25，4－2 57．解：(1)∵点P 与点P′(1，3)关于x 轴对称， ∴点P 的坐标为(1，－3)．设原抛物线的表达式为y ＝a(x －1)2－3，∵其过点A(1－3，0)， ∴0＝a(1－3－1)2－3，解得a ＝1.∴原抛物线的函数表达式为y ＝(x －1)2－3，即y ＝x 2－2x －2. (2)∵CD∥x 轴，P′(1，3)在CD 上， ∴C，D 两点纵坐标均为3.由(x －1)2－3＝3，解得x 1＝1－6，x 2＝1＋6，∴C，D 两点的坐标分别为(1－6，3)，(1＋6，3)，∴CD＝2 6. ∴“W”图案的高与宽(CD)的比为326＝64(或约等于0.612)．【培优训练】8．解：(1)依题意可设抛物线的表达式为 y ＝a(x －12)2－94(a≠0)，将点M(2，0)代入可得a(2－12)2－94＝0，解得a ＝1.故抛物线的表达式为y ＝(x －12)2－94.(2)由(1)知，抛物线的表达式为y ＝(x －12)2－94，其对称轴为x ＝12，∴点A 与点M(2，0)关于直线x ＝12对称，∴A(－1，0)．令x ＝0，则y ＝－2， ∴B (0，－2)．在Rt△OAB 中，OA ＝1，OB ＝2，则AB ＝ 5. 设直线y ＝x ＋1与y 轴交于点G ， 易求G(0，1)．∴△AOG 是等腰直角三角形， ∴∠AGO＝45°.∵点C 是直线y ＝x ＋1上一点(处于x 轴下方)，而k ＞0，∴反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象位于第一、三象限．故点D 只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下2种情况： ①此菱形以AB 为边且AC 也为边，如图1所示，过点D 作DN⊥y 轴于点N ， 在Rt△BDN 中，∵∠DBN ＝∠AGO＝45°， ∴DN＝BN ＝52＝102，∴D(－102，－102－2)． ∵点D 在反比例函数y ＝kx (k ＞0)图象上，∴k＝－102×(－102－2)＝52＋10. ②此菱形以AB 为对角线，如图2，作AB 的垂直平分线CD 交直线y ＝x ＋1于点C ，交反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象于点D.再分别过点D ，B 作DE⊥x 轴于点F ，BE⊥y 轴，DE 与BE 相交于点E. 在Rt△BDE 中，同①可证∠AGO＝∠DB O ＝∠BDE＝45°， ∴BE＝DE.可设点D 的坐标为(x ，x －2)． ∵BE 2＋DE 2＝BD 2， ∴BD＝2BE ＝2x. ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD＝BD ＝2x.∴在Rt△ADF 中，AD 2＝AF 2＋DF 2，即(2x)＝(x ＋1)2＋(x －2)2， 解得x ＝52，∴点D 的坐标是(52，12)．∵点D 在反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象上，∴k＝52×12＝54，综上所述，k 的值是52＋10或54.。
高考数学复习重点知识专题讲解与练习05 函数图象的辨析(解析版)
高考数学复习重点知识专题讲解与练习专题05 函数图象的辨析1．（2021·江西赣州·高三期中（文））已知函数||()122x xx f x =+，则函数()y f x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】函数图像的识别，通常利用性质+排除法进行判断： 利用函数的奇偶性排除B ，利用特殊点的坐标排除A 、C. 【详解】 由||()22x xx f x -=+，得()f x 的定义域为R ，(0)0f =，排除A 选项． 而||()()22x xx f x f x --==+，所以()f x 为偶函数，图像关于y 轴对称，排除B 选项．()1141421,1152522f f ⎛⎫====< ⎪⎝⎭+，排除C 选项． 故选：D ．2．（2021·浙江·高三月考）函数sin 2x y x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】判断当3,22x x ππ==的符号，可排除AC ，求导，判断函数在()0,π上的单调性，可排除D ，即可得出答案. 【详解】解：由()()sin 02x y f x x x==≠得，1310,0223f f ππππ⎛⎫⎛⎫=>=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故排除AC ， ()2cos sin 2x x x f x x -'=，令()cos sin g x x x x =-，则()sin g x x x '=-，当0πx <<时，()0g x '<， 所以函数()g x 在()0,π上递减， 所以()()00g x g <=在()0,π上恒成立， 即()2cos sin 02x x xf x x-'=<在()0,π上恒成立， 所以函数()f x 在()0,π上递减，故排除D. 故选：B.3．（2021·江苏省前黄高级中学高三月考）已知215()sin ,()42f x x x f x π⎛⎫+⎪⎭'=+ ⎝为()f x 的导函数，则()f x '的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】求出导函数，判断导函数的奇偶性，再利用特殊值即可得出选项. 【详解】22co 151()si s n424f x x x x x π⎛⎫=++= +⎪⎝⎭， ()1sin 2f x x x '∴=-，∴函数()f x '为奇函数，排除B 、D.又1024f ππ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，排除C.故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.4．（2021·浙江·高二开学考试）函数())ln cos f x x x x =+⋅在[]2,2ππ-上的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】确定奇偶性，可排除两个选项，然后确定函数在3[,2]2ππ上的单调性可再排除一个选项，从而得正确选项． 【详解】())cos())cos ()f x x x x x x x f x -=-+-=--=-，()f x 是奇函数，排除AB ，在3[,2]2x ππ∈时，由复合函数单调性知)y x =是增函数，且)0y x =>，又cos y x =增函数，且cos 0y x =>，所以)cos y x x =是增函数，而y x =是增函数，所以()f x 是增函数，排除D ． 故选：C ．5．（2021·浙江金华·高三月考）函数|ln()|x ay x a +=-的图象，不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】通过函数的定义域、值域以及特殊值对四个选项中的函数图像一一分析即可判断.【详解】对于A ，当0a =时，ln xy x=，其定义域为{}0,1x x x >≠，且0y >恒成立，故A 正确； 对于B ，由函数定义域可知，0a <，当0y =，x a =-，当x a >-时，0y >，当x a <-时，0y <，故B 正确；对于C ，由函数定义域可知，0a >，当1x a -=时，函数无意义，且0y ≥恒成立，故C 正确；对于D ，由函数定义域可知，0a <，当0y =，x a =-，当x a <-时，0y <，但图中0y >，不满足条件，故D 错误； 故选：D.6．（2021·全国·高三专题练习）函数2x y π=的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】由02x <<时()0f x >，排除B 和C ；再探究出函数()f x 的图象关于直线1x =对称，排除D. 【详解】当02x <<时，sin 02x π>，所以()sin02xy f x π==>，故排除B 和C ；又(2)(2)sinsin()22x xf x f x ππ--===，所以函数()f x 的图象关于直线1x =对称，排除D. 故选：A. 【点睛】方法点睛：解决函数图象的识别问题的技巧：一是活用性质，常利用函数的定义域、值域、单调性与奇偶性来排除不合适的选项；二是取特殊点，根据函数的解析式选择特殊点，即可排除不合适的选项，从而得出正确的选项．7．（2021·天津市新华中学高三月考）函数23sin ()x x x x x f x e e--=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】先判断函数的奇偶性排除A,D,再根据(1)0f >，排除C 即得解. 【详解】解：根据题意，23sin ()x x x x x f x e e--=+，其定义域为R ，有23sin ()()x xx x xf x f x e e---==+，则函数f (x )为偶函数，排除A ，D ， 3sin11(1)01f e e-=>+，排除C ， 故选：B ． 【点睛】方法点睛：根据函数的解析式找图象，一般先找差异，再验证. 8．（2021·全国·高三专题练习）函数2()1cos e 1x f x x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【分析】判断图像类问题，首先求定义域，其次判断函数的奇偶性()()f x f x -=-；再次通过图像或函数表达式找特殊值代入求值，()0f x =时，即e 1cos 0e 1x x x +⋅=-，此时只能是cos 0x =；也可通过单调性来判断图像.主要是通过排除法得解. 【详解】函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，因为2e 12e 1()1cos cos cos e 1e 1e 1x x x x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫-++⎛⎫=+⋅=⋅=⋅ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，并且()()00e 1e e 1e ()cos cos cos e 1e e 1ex x xx x xf x x x x f x --+++-=⋅-=⋅=⋅=----， 所以函数()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A C ，；当()0f x =时，即e 1cos 0e 1x x x +⋅=-，此时只能是cos 0x =，而cos 0x =的根是2x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，可排除D . 故选:B 【点睛】函数的定义域，奇偶性，特殊值，单调性等是解决这类问题的关键，特别是特殊值的选取很重要，要结合图像的特征来选取.9．（2022·全国·高三专题练习（理））函数()232sin log y x x x π=⋅⋅的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】分析函数()232sin log y x x x π=⋅⋅的定义域、奇偶性及其在()0,1上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】设()()()2322sin log sin log f x x x x x x ππ=⋅⋅=⋅，该函数的定义域为{}0x x ≠，()()()()22sin log sin log f x x x x x f x ππ-=-⋅-=⋅=-，函数()f x 为奇函数，排除AC 选项；当01x <<时，0x ππ<<，()sin 0x π>，则()0f x <，排除D 选项. 故选：B. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.10．（2022·全国·高三专题练习）函数()3log 01a y x ax a =-<<的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】先求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，构造函数，求函数的导数，利用是的导数和极值符号进行判断即可. 【详解】根据题意，()3loga f x x ax =-，必有30x ax -≠，则0x ≠且x ≠， 即函数的定义域为{|0x x ≠且x ≠，()()()()33log log a a x a x x f f x ax x ---=--==，则函数3log a y x ax =-为偶函数，排除D ，设()3g x x ax =-，其导数()23g x x a '=-，由()0g x '=得x =，当x 时，()0g x '>，()g x 为增函数，而()f x 为减函数，排除C ，在区间⎛⎝⎭上，()0g x '<，则()g x 在区间⎛ ⎝⎭上为减函数，在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上，()0g x '>，则()g x 在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上为增函数，0g =，则()g x 存在极小值3g a =-=⎝⎭⎝⎭，此时()g x ()0,1，此时()0f x >，排除A ，故选：B. 【点睛】函数图象的辨识可以从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； （2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.11．（2022·全国·高三专题练习）函数()122cos cos 4421x x f x x x ππ+-⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭的图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【分析】先将()f x 的解析式化简，然后判断()f x 的奇偶性，再根据()f π的取值特点判断出对应的函数图象. 【详解】因为()12221cos cos 2442121x x x x f x x x x x x x ππ+⎫⎫--⎛⎫⎛⎫=+-=⋅⋅⋅+⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()222121cos sin cos22121x x x x x x x --=⋅-=⋅++， 所以()()()2112cos 2cos22112x xx x f x x x f x -----=⋅-=⋅=-++且定义域为R 关于原点对称， 所以()f x 为奇函数，排除A 和C ；由()21cos2021f ππππ-=>+，排除B ， 故选：D ． 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.12．（2021·河南·温县第一高级中学高三月考（理））函数()ln |||sin |,(f x x x x ππ=+-≤≤且0)x ≠的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据解析式判断奇偶性，在0x π>>上0x +→有()f x →-∞，利用导函数，结合函数图象分析0x π>>内极值点的个数，即可确定正确函数图象. 【详解】函数()ln |||sin()|ln |||sin |()f x x x x x f x -=-+-=+=，(x ππ-≤≤且0)x ≠是偶函数，A 不合要求． 当0x π>>时，()ln sin f x x x =+：当0x +→，()f x →-∞，C 不合要求；而1()cos 0f x x x'=+=时，1,cos y y x x==-在0x π>>上只有一个交点(如下图示)，即区间内只有一个极值点. D不合要求，B 符合要求.故选：B. 【点睛】关键点点睛：利用导函数，应用数形结合分析函数的交点情况，判断函数在区间上极值点个数.13．（2021·全国·高三专题练习（文））已知函数()f x ，()g x 满足()()()()x x f x g x e f x g x e -⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，则()()()sin 2x h x f x g x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⋅的图像大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C 【分析】依题意得()()()221=4x x f x g x e e --⋅，根据奇偶性定义知()h x 为奇函数，再结合特征点即可得答案． 【详解】因为()()()()x x f x g x e f x g x e -⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得()()()()11=,=22x x x xf x e eg x e e --+- 所以()()()221=4x x f x g x e e --⋅，则()()()22sin 4cos 2=x xx x h x f x g x e e π-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⋅- ()h x 定义域为{}0x x ≠因为()()224cos x xxh x h x e e --==--，故()h x 是奇函数，则B ，D 错；当02x π<<时，()224cos 0x xxh x e e -=>-，则C 正确，故选：C 【点睛】思路点睛：函数图象的识别可以以下方面入手： （1）从函数定义域判断； （2）从函数单调性判断； （3）从函数奇偶性判断； （4）从函数特征点判断．14．（2021·湖南·长郡中学二模）函数sin cos 4411()x x f x ee ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】本题首先可通过()()f x f x -=-判断出函数()f x 为奇函数，C 、D 错误，然后取04x π<≤，通过sin cos 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭判断出此时()0f x <，即可得出结果.【详解】 因为sin cos cos sin 44441111()()x x x x f x f x ee e e ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝==-⎭⎝⎭，x ∈R ，所以函数()f x 为奇函数，C 、D 错误，当04x π<≤，442x πππ<+≤，sin cos 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin cos 4411x x e e ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin cos 4411()0x x f x ee ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎭<⎝，B 错误，故选：A. 【点睛】方法点睛：本题考查函数图像的判断，在判断函数的图像的时候，可以通过函数的单调性、奇偶性、周期性、函数值的大小、是否过定点等函数性质来判断，考查数形结合思想，是中档题.15．（2021·福建龙岩·高一期末）已知函数()cos6x xxf x e e -=-，则()f x 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】分析函数()f x 的奇偶性及其在区间0,12π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数值符号，由此可得出合适的选项.【详解】 对于函数()cos6x xxf x e e-=-，0x x e e --≠，解得0x ≠，函数()f x 的定义域为{}0x x ≠， ()()()cos 6cos6x xx xx xf x f x e e e e----==-=---，所以，函数()f x 为奇函数，排除BD 选项， 当0,12x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，60,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos60x >且0x x e e -->，此时，()0f x >，排除A 选项. 故选：C. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.16．（2021·湖北武汉·高一期末）函数()32241x xxx y -=+的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】研究函数奇偶性和区间(的函数值的正负，利用排除法即得结果. 【详解】函数()33222()4122x x xxxx x x y f x ---===++，定义域为R ， 对于任意的自变量x ，()333222()()222222x xx x x x x xx x x x f x f x -------===++-=-+++，故函数()y f x =是奇函数，图象关于原点中心对称，故CD 错误；又(32()2222x x x xx x x x x y f x --+-===++，故(x ∈时，00,0,202x x x x x ->+>+>，，即()0y f x =<，故A 正确，B 错误. 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 17．（2021·全国·高三专题练习（理））函数()x x f x -=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】分析函数()f x 的奇偶性，以及当0x >时，()f x 的符号，进而可得出合适的选项. 【详解】 设())lng x x =，对任意的x ∈Rx x >≥-0x >，则函数()g x 的定义域为R ，())ln xxg x x-==)()lnx g x ==-=-，所以，函数())ln g x x =为奇函数，令())ln0g x x ==1x =1x =-，所以，10x -≥，可得1x ≤1x =-可得()2211x x +=-，解得0x =. 所以，函数()x x f x -=的定义域为{}0x x ≠，()()()()2222x x x xf x f xg x g x --++-==-=--，所以，函数()f x 为奇函数，排除BD 选项，当0x >时，)ln ln10x >=，220x x -+>，所以，()0f x >，排除C 选项.故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.18．（2021·全国全国·高三月考（理））已知函数()31sin f x x x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，则其图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【分析】分析函数()f x 的定义域、奇偶性以及该函数在()0,1上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】 函数()31sin f x x x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭的定义域为{}0x x ≠，排除D 选项； ()()()()()()333111sin sin sin f x x x x x x x f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-=--⋅-=-+⋅-=-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥-⎣⎦， 所以，函数()f x 为偶函数，排除B 选项；当01x <<时，433110x x x x--=<，sin 0x >，此时()0f x <，排除C 选项.故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.19．（2020·全国全国·模拟预测（文））函数()()ee sin 32xx xf x -+⋅=在55,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】先判断函数奇偶性得函数为奇函数，故排除A,再结合π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >排除C ，最后讨论函数在对应区间内的零点个数即可得答案. 【详解】∵()()()()()e e sin 3e e sin 322xx xx x f f xx x --+⋅-+⋅==-=--，∴()f x 是奇函数，排除A ．当π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，排除C ．由()0f x =得sin30x =，又15153,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴30x =或π±或2π±，∴()f x 在55,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有5个零点，排除D ．故选：B ． 【点睛】本题考查利用函数性质确定函数图象，考查了函数的奇偶性，考查数形结合思想，属于基础题．思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.20．（2020·山西·河津中学高三月考（理））函数(),()sin f x x g x x x ==+，则()()()h x f x g x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】由()h x 为偶函数，故排除选项B ，当0x >时，()0,f x >且()f x 为增函数，()g x 在(0,)+∞上为增函数，所以当0x >时，()()00g x g >=，所以当0x >时，()()()0h x f x g x =>，排除选项D ，从而可得出()h x 在(0,)+∞上为增函数，排除选项C ，得到答案.【详解】()(sin )h x x x x =+，则()()()()sin sin h x x x x x x x h x -=---=+=，所以()h x 为偶函数，故排除选项B. 当0x >时，()0,f x >且()f x 为增函数.()1cos 0g x x '=+≥恒成立，所以()g x 在(0,)+∞上为增函数，所以当0x >时，()()00g x g >=所以当0x >时，()()()0h x f x g x =>，排除选项D. 设120x x <<，则()()120f x f x <<，()()120g x g x << 则()()()()()()121122g g h x h x f x x f x x -=-()()()()()()()()11121222g g g g f x x f x x f x x f x x =-+- ()()()()()()()()112212g g g f x x x x f x f x =-+- ()()()()()()()()112212g g g f x x x x f x f x =-+-由条件()10f x >，()()12g g 0x x -<，则()()()()112g g 0f x x x -<()2g 0x >，()()120f x f x -<，则()()()()212g 0x f x f x -<所以()()()()()()()()112212g g g 0f x x x x f x f x -+-<，即()()12h x h x < 因此()h x 在(0,)+∞上为增函数，排除选项C 故选：A 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.。
中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第三章函数及其图象第五节二次函数的图象及性质精试题
第五节二次函数的图象及性质,怀化七年中考命题规律)合条件的点的坐标2021选择3二次函数的概念以选择题形式判断二次函数3解答24二次函数的图象与性质二次函数及方程的关系，二次函数及反比例函数的综合应用10132021解答24二次函数的图象与性质二次函数及圆的综合应用，二次函数的表达式与性质10102021解答24二次函数的图象与性质二次函数、反比例函数、相似形、勾股定理的综88二次函数的图象及性质(3次)1．(2021怀化中考)二次函数y ＝x 2＋2x －3的开口方向、顶点坐标分别是( A )A ．开口向上，顶点坐标为(－1，－4)B ．开口向下，顶点坐标为(1，4)C ．开口向上，顶点坐标为(1，4)D ．开口向下，顶点坐标为(－1，－4)2．(2021怀化中考)以下函数是二次函数的是( C ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝x 2＋2 D ．y ＝12x －23．(2021 怀化中考)二次函数y ＝x 2＋2x 的顶点坐标为__(－1，－1)__，对称轴是直线__x ＝－1__．二次函数的图象及性质的综合应用(3次)4．(2021怀化二模)在同一坐标系中，一次函数y ＝ax ＋1及二次函数y ＝x 2＋a 的图象可能是( C ),A ) ,B ) ,C ) ,D )5．(2021怀化中考)如图1，在平面直角坐标系中，AB ＝OB ＝8，∠ABO ＝90°，∠yOC ＝45°，射线OC 以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC 经过点B 时停顿运动，设平行移动x s 后，射线OC 扫过Rt △ABO 的面积为y.(1)求y 及x 之间的函数关系式；(2)当x ＝3 s 时，射线OC 平行移动到O′C′，及OA 相交于G ，如图2，求经过G ，O ，B 三点的抛物线的表达式；(3)现有一动点P 在(2)中的抛物线上，试问点P 在运动过程中，是否存在三角形POB 的面积S ＝8的情况？假设存在，求出点P 的坐标，假设不存在，请说明理由．解：(1)∵AB＝OB ，∠ABO ＝90°，∴△ABO 是等腰直角三角形，∴∠AOB ＝45°，∵∠yOC ＝45°，∴∠AOC ＝(90°－45°)＋45°＝90°，∴AO ⊥CO ，∵C ′O ′是CO 平移得到，∴AO ⊥C ′O ′，∴△OO ′G 是等腰直角三角形，∵射线OC 的速度是每秒2个单位长度，∴OO ′＝2x ，∴y ＝12·2x ·x ＝x 2；(2)当x ＝3 s 时，OO ′＝2×3＝6，∵12×6＝3，∴点G 的坐标为(3，3)，设抛物线表达式为y ＝ax 2＋bx ，那么⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＝3，64a ＋8b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝85，∴抛物线的表达式为y ＝－15x 2＋85x ；(3)设点P 到x 轴的距离为h ，那么S △POB ＝12×8h ＝8，，－15x 2＋85x＝2，整理得，x 2－8x ＋10＝0，解得x 1＝4－6，x 2＝4＋6，此时，点P 的坐标为(4－6，2)或(4＋6，2)；当点P 在x 轴下方时，－15x 2＋85x ＝－2，整理得，x 2－8x －10＝0，解得x 1＝4－26，x 2＝4＋26，此时，点P 的坐标为(4－26，－2)或(4＋26，－2)，综上所述，存在点P 的坐标为(4－6，2)或(4＋6，2)或(4－26，－2)或(4＋26，－2)，使△POB 的面积S ＝8.6．(2021怀化中考)函数y ＝kx 2－2x ＋32(k 是常数)．(1)假设该函数的图象及x 轴只有一个交点，求k 的值；(2)假设点M(1，k)在某反比例函数的图象上，要使该反比例函数与二次函数y ＝kx 2－2x ＋32都是y 随x 的增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；(3)设抛物线y ＝kx 2－2x ＋32及x 轴交于A(x 1，0)，B(x 2，0)两点，且x 1<x 2，x 21＋x 22＝1，在y 轴上，是否存在点P ，使△ABP 是直角三角形？假设存在，求出点P 及△ABP 的面积；假设不存在，请说明理由．解：(1)①当k ＝0时，函数y ＝－2x ＋32的图象及x 轴只有一个交点；②当k≠0时，假设函数y ＝kx 2－2x ＋32的图象及x 轴只有一个交点，那么方程kx 2－2x ＋32＝0有两个相等的实数根，∴(－2)2－4k×32＝0，即k ＝23.综上所述，假设函数的图象及x 轴只有一个交点，那么k 的值为0或23；(2)设反比例函数为y ＝mx ，那么k ＝m 1，，反比例函数为y ＝kx ，要使该反比例函数与二次函数都是y 随着x 的增大而增大，那么k<0，二次函数y ＝kx 2－2x ＋32＝k(x －1k )2－1k ＋32的对称轴为x ＝1k，要使二次函数y ＝kx 2－2x ＋32是y 随着x 的增大而增大，在k<0的情况下，x 必须在对称轴的左边，即x<1k 时，才能使得y 随着x 的增大而增大，∴综上所述，要使该反比例函数与二次函数都是y 随着x 的增大而增大，k<0且x<1k ；(3)∵抛物线y ＝kx 2－2x ＋32及x 轴有两个交点，∴一元二次方程kx 2－2x ＋32＝0的判别式Δ＝(－2)2－4×k ×32>0，即k<23，又∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k，x 1x 2＝32k，x 21＋x 22＝1.∴k 2＋3k －4＝0，∴k ＝－4或k ＝1.又∵k<23，∴k ＝－4，在y 轴上，设P(0，b)是满足条件的点，那么(b 2＋x 21)＋(b 2＋x 22)＝(x 2－x 1)2，b 2＝－x 1x 2，∴|b|＝64，∴b ＝±64，(x 2－x 1)2＝2b 2＋x 21＋x 22＝2×38＋1＝74，∴x 2－x 1＝72，∴S Rt △ABP ＝12(x 2－x 1)×|b|＝12×72×64＝4216，∴在y 轴上，存在点P 1(0，64)，P 2(0，－64)，使△ABP 是直角三角形，△ABP的面积为4216.7．(2021怀化中考)以下图是二次函数y ＝(x ＋m)2＋k 的图象，其顶点坐标为M(1，－4)．(1)求出图象及x 轴的交点A ，B 的坐标；(2)在二次函数的图象上是否存在点P ，使S △PAB ＝54S △MAB ，假设存在，求出P点的坐标；假设不存在，请说明理由；(3)将二次函数的图象在x 轴下方的局部沿x 轴翻折，图象的其余局部保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象答复：当直线y ＝x ＋b(b<1)及此图象有两个公共点时，求b 的取值范围．解：(1)∵M(1，－4)是二次函数y ＝(x ＋m)2＋k 的顶点坐标，∴y ＝(x －1)2－4＝x 2－2x －3，令x 2－2x －3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3，∴A 、B 两点的坐标为A(－1，0)，B(3，0)；(2)在二次函数的图象上存在点P ，使S △PAB ＝54S △MAB ，设P(x ，y)，那么S △PAB ＝12|AB|×|y|＝2|y|，又S △MAB ＝12|AB|×|－4|＝8，∴2|y|＝54×8，即y ＝±5，∵二次函数的最小值为－4，∴y ＝5，当y ＝5时x ＝－2或x ＝4，故点P 的坐标为(－2，5)或(4，5)；(3)当直线y ＝x ＋b(b<1)经过A 点时可得b ＝1，当直线y ＝x ＋b(b<1)经过B 点时，可得b ＝－3，由图象可知符合题意的b 的取值范围为－3<b<1.,中考考点清单)二次函数的概念及表达式1．定义：一般地，如果两个变量x 与y 之间的函数关系可以表示成y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，且a≠0)，那么称y 是x 的二次函数，其中，a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项．2．三种表示方法：(1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)；(2)顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是(h ，k)；(3)两点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a≠0)，其中x 1，x 2为抛物线及x 轴交点的横坐标．3．三种表达式之间的关系顶点式――→确定一般式――→分解因式两点式 4．二次函数表达式确实定(1)求解二次函数表达式的方法一般用待定系数法，根据所给条件的不同，要灵活选用函数表达式；A ．当抛物线上任意三点时，通常设为一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 形式；B ．当抛物线的顶点或对称轴时，通常设为顶点式y ＝a(x －h)2＋k 形式；C ．当抛物线及x 轴的交点或交点横坐标时，通常设为两点式y ＝a(x －x 1)(x －x 2)．(2)步骤：①设二次函数的表达式；②根据条件，得到关于待定系数的方程组；③解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的表达式．二次函数的图象及其性质5．图象性质函数二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c为常数，a≠0)图象对称轴直线x＝①__－b2a __直线x＝－b2a顶点坐标(－b2a，4ac－b24a)(－b2a，4ac－b24a)续表函数二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)增减性在对称轴的左侧，即x<－b2a时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>－b2a时，y随x的增大而增大，简记为左减右增在对称轴的左侧，即当x<－b2a时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>－b2a时，y随x的增大而减小，简记为左增右减最值抛物线有最低点，当②__x＝－b2a__时，y有最小值，y最小值＝4ac－b24a抛物线有最高点，当x＝－b2a时，y有最大值，y最大值＝③__4ac－b24a__6.系数a，b，c及二次函数的图象关系工程字母字母的符号图象的特征aa>0开口向上a<0④__开口向下__bb＝0对称轴为y轴ab>0(b及a同号)对称轴在y轴左侧ab<0(b及a异号)对称轴在y轴右侧cc＝0⑤__经过原点__c>0及y轴正半轴相交c<0及y轴负半轴相交特殊关系当x＝1时，y＝a＋b＋c当x＝－1时，y＝a－b＋c假设a＋b＋c>0，即x＝1时，y>0假设a－b＋c>0，即x＝－1时，y>0二次函数图象的平移7．平移步骤：(1)将抛物线表达式转化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，确定其顶点坐标；(2)保持抛物线的形状不变，平移顶点坐标(h，k)即可．8．平移规律：移动方向平移前的表达式平移后的表达式规律向左平移m个单位y＝a(x－h)2＋ky＝a(x－h＋m)2＋k左加向右平移m个单位y＝a(x－h)2＋ky＝a(x－h－m)2＋k右减向上平移m个单位y＝a(x－h)2＋ky＝a(x－h)2＋k＋m上加向下平移m个单位y＝a(x－h)2＋ky＝a(x－h)2＋k－m下减口诀：上加下减常数项、左加右减自变量.二次函数及一元二次方程的关系9．当抛物线及x轴有两个交点时，两交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个不相等的实数根．10．当抛物线及x轴只有一个交点时，该交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个相等的实数根．11．当抛物线及x 轴没有交点时，对应的一元二次方程无实数根． 12．y ＝ax 2＋bx ＋c ，ax 2＋bx ＋c ＝0及b 2－4ac 的关系：y ＝ax 2＋bx ＋c及x 轴的 交点个数ax 2＋bx ＋c ＝0根的情况 b 2－4a 的 值的情况 2 有两个不相等实数根 b 2－4ac ＞0 1 有两个相等实数根b 2－4ac ＝0 无交点 没有实数根 b 2－4ac ＜0 有交点有实数根b 2－4ac≥0,中考重难点突破)二次函数的图象及性质【例1】二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)的大致图象如图，关于该二次函数，以下说法错误的选项是( )A ．函数有最小值B ．对称轴是直线x ＝12C ．当x<12，y 随x 的增大而减小D ．当－1<x<2时，y>0【解析】A .由抛物线的开口向上，可知a>0，函数有最小值，正确，故A 选项不符合题意；B .由图象可知，对称轴为x ＝12，正确，故B 选项不符合题意；C .因为a>0，∴当x<12时，y 随x 的增大而减小，正确，故C 选项不符合题意；D .由图象可知，当－1<x<2时，y<0，错误，故D 选项符合题意．【学生解答】D1．(2021原创)如图，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象及x 轴交于A ，B 两点(A 点在B 点左侧)，及y 轴交于点C ，假设A 点坐标为(－1，0)，B 点坐标为(3，0)，那么以下说法正确的选项是( C )A ．b>0B ．该抛物线的对称轴是直线x ＝－1C ．当x ＝－3及x ＝5时，y 值相等D ．假设y>0，那么－1<x<3抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象及a ，b ，c 的关系【例2】二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如下图，且关于x 的一元二次方程ax2＋bx＋c－m＝0没有实数根，有以下结论：①b2，正确结论的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3【解析】此题考察二次函数图象的性质以及及系数a、b、c的关系．由图可知三个结论都正确，下面对三个结论一一证明：序号正误逐项分析①√∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象及x轴有两个不同的交点，∴b2－4ac>0②√∵抛物线的开口向下，∴a<0，∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧，∴－b2a>0，∴b>0，∵抛物线及y轴的交点在y轴正半轴，∴c>0，∴abc<0③√如果抛物线的图象向下平移2个单位，那么抛物线及x 轴只有一个交点，∴假设抛物线向下平移d个单位，当d>2时，抛物线及x轴没有交点．∵一元二次方程ax2＋bx＋c－m＝0没有实数根．∴二次函数y＝ax2＋bx＋c－m中，m>2【学生解答】D2．(2021枣庄中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如下图，给出以下四个结论：①abc＝0，②a＋b＋c>0，③a>b，④4ac－b2<0；其中正确的结论有( C)A．1个B．2个C．3个D．4个二次函数表达式确实定【例3】(2021 宁波中考)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(2，0)，B(0，－1)与C(4，5)三点．(1)求二次函数的表达式；(2)设二次函数的图象及x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；(3)在同一坐标系中画出直线y＝x＋1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．【解析】(1)根据二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(2，0)，B(0，－1)与C(4，5)三点，代入得出关于a，b，c的三元一次方程组，求得a，b，c，从而得出二次函数的表达式；(2)令y＝0，解一元二次方程，求得x的值，从而得出及x轴的另一个交点坐标；(3)画出图象，再根据图象直接得出答案．【学生解答】解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(2，0)，B(0，－1)与C(4，5)三点，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝0，c ＝－1，16a ＋4b ＋c ＝5.，∴a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，∴二次函数的表达式为y ＝12x 2－12x －1；(2)当y ＝0时，得12x 2－12x －1＝0，解得x 1＝2，x 2＝－1，∵点A 的坐标为(2，0)，∴点D 的坐标为(－1，0)；(3)y ＝x ＋1，图象如图，当一次函数的值大于二次函数的值时，x 的取值范围是－1<x<4.3．(2021怀化中考)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)经过A(－3，0)，B(5，0)，C(0，5)三点，O 为坐标原点．(1)求此抛物线的表达式；(2)假设把抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)向下平移133个单位，再向右平移n(n>0)个单位得到新抛物线，假设新抛物线的顶点M 在△ABC 内，求n 的取值范围；(3)设点P 在y 轴上，且满足∠OPA＋∠OCA＝∠CBA，求CP 的长．解：(1)y ＝－13x 2＋23x ＋5；(2)∵y＝－13x 2＋23x ＋5＝－13(x －1)2＋513，∴依题意得平移后的抛物线表达式为y ＝－13(x －1－n)2＋1，∴平移后抛物线的顶点为(1＋n ，1)，易求得直线BC 的表达式为y ＝－x ＋5，令y ＝1，那么－x ＋5＝1，∴x ＝4，∴1＋n<4且n>0，∴0<n<3；(3)当P 在y 轴负半轴上求得CP ＝17.当P 在y 轴正半轴上求得CP ＝7，∴CP ＝17或7.4．(2021保定模拟)如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 及一直线相交于A(－1，0)，C(2，3)两点，及y 轴相交于点N ，其顶点为D.(1)求此抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)求直线AC 的表达式；(3)设点M(3，m)，求使MN ＋MD 的值最小时m 的值；(4)假设抛物线的对称轴及直线AC 相交于点B ，直接写出抛物线左右平移多少个单位时过点B ；上下平移多少个单位时过点B.解：(1)抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3，顶点D(1，4)；(2)y ＝x ＋1；(3)m ＝185；(4)抛物线向左或向右平移2个单位，经过点B ，抛物线向下平移2个单位，经过点B.5．(2021永州模拟)如下图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－1)三点.(1)求该抛物线的表达式；(2)点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，要使以点Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P 的坐标．解：(1)y ＝13x 2－23x －1；(2)①当AB 为边时，只要PQ∥AB，且PQ ＝AB ＝4即可，又知点Q 在y 轴上，∴点P 的横坐标为4或－4.∴当x ＝4时，y ＝53，当x ＝－4时，y ＝7.∴P 1(4，53)，P 2(－4，7)；②当AB 为对角线时，只要线段PQ 及线段AB 互相平分即可，又知点Q 在y 轴上，且线段AB 中点的横坐标为1，∴点P 的横坐标为2，这时符合条件的点P 只有一个，∴当x ＝2时，y ＝－1，∴P 3(2，－1)．综上：P 1(4，53)，P 2(－4，7)，P 3(2，－1)．。
八年级函数图像练习题
八年级函数图像练习题[函数的图像]一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．[描点法画函数图形的一般步骤]第一步：列表；第二步：描点；第三步：连线。
[函数的表示方法]列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
二、试题1、设电报收费标准是每个字0.1元，写出电报费y 与字数x之间的函数关系式，自变量的取值范围是。
2、y?3x?5x自变量x的取值范围是yx的取值范围是；2自变量x的取值范围是； n?8x?43、当x=－4时，函数y?的值是。
x?3s?4、汽车以80千米/小时的速度匀速行驶，行驶路程为s千米，行驶时间为t小时，用含t的式子表示s得；在这个问题中，是变量，是常量。
5、写出下列函数的自变量的取值范围。
函数y?2的自变量x的取值范围是。
x?1函数y?x的取值范围是。
函数y?2x?3的自变量x的取值范围是函数y??2x2?5的自变量x的取值范围是*函数y?x的取值范围是。
、写出等腰三角形中底角的度数y与顶角度数x的函数关系式y?_________，其中自变量x的取值范围。
7、甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的关系如图所示。
这时一次米赛跑；甲、乙两人中先到达终点的是；甲在这次赛跑中的速度为米/秒。
8、小明的爷爷吃过晚饭后，出门散步，在报亭看了一会报纸才回家，小明绘制了爷爷离家的路程s与外出的时间t之间的关系图。
报亭离爷爷家米；爷爷在报亭看了分钟报纸；爷爷走去报亭的平均速度是米/分。
9、下列图形不能体现y是x的函数关系式是A、B、C、D、10、一根蜡烛厂20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度h与燃烧时间t的函数关系用图象表示为A、 B、 C、 D、11、已知点A、B、C、D，其中在函数y?3x2的图象上的点有个。
(完整版)函数图像练习题
函数图像练习题 1、小华同学接到通知，她的作文通过了《我的中国梦》征文选拔，需尽快上交该作文的电子文稿.接到通知后，小华立即在电脑上打字录入这篇文章，录入一段时间后因事暂停，过了一会儿，小华继续录入并加快了录入速度，直至录入完成.设从录入文稿开始所经过的时间为x ，录入字数为y ，下面能反映y 与x 的函数关系的大致图象是（ ）2、某人匀速跑步到公园，在公园里某处停留了一段时间，再沿原路匀速步行回家，此人离家的距离与时间的关系的大致图象是( )3、如图，扇形OAB 动点P 从点A 出发，沿线段B0、0A 匀速运动到点A ，则0P 的长度y 与运动时间t 之间的函数图象大致是（ ）4、某人进行登山活动，从山脚到山顶，休息一会儿又沿原路返回。
若用横轴表示时间t ，纵轴表示与山脚距离h ，那么反映全程h 与t 的关系的图是（ ）5．甲、乙两人在一次赛跑中，路程s （米）与所用时间t （秒）的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．甲比乙先出发 B ．乙比甲跑的路程多C ．甲先到达终点D ．甲、乙两人的速度相同6．“龟兔赛跑”讲述了这样一个故事：“领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当醒来时，发现乌龟快到达终点了，于是，急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．……”用s 1，s 2分别表示乌龟和兔子的行程，t 为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的图象是（ ）7． 如图是古代计时器----“漏壶”的示意图在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间。
用x 表示时间，y 表示壶底到水面的高度，下面的哪个图象适合表示一小段时间内y 与x 的函数关系？8、如图所示的曲线，哪个表示y是x 的函数（ ）y x y x y xy x9．如图所示，一枝蜡烛上细下粗，设这枝蜡烛点燃后剩下的长度为h，点燃时间为t，则能大致刻画出h与t之间函数关系的图象是（）10．柿子熟了，从树上落下来，可以大致刻画出柿子下落过程中的速度变化情况的图象是（）11．小明家距学校m千米，一天他从家上学，先以a千米／时的速度跑步，后以b千米／时的速度步行，到达学校共用n小时。
函数的图像练习题
函数的图像练习题一、选择题1. 函数f(x) = 2x + 3的图像是一条直线，其斜率k等于：A. 2B. 3C. 1D. 02. 函数g(x) = x^2的图像是一个：A. 直线B. 抛物线C. 双曲线D. 圆3. 函数h(x) = 1/x的图像在第一象限和第三象限是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增4. 若函数f(x) = |x|的图像是V形，其顶点坐标为：A. (0, 1)B. (0, 0)C. (1, 0)D. (-1, 0)5. 函数y = sin(x)的图像在x=π/2处的值是：A. 1B. -1C. 0D. π/2二、填空题6. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1的图像是一个______，其拐点坐标为______。
7. 函数y = cos(x)的图像在x=0处的值为______，并且其图像是______对称的。
8. 若函数y = ln(x)的图像在x=1处的值是0，那么其图像在x=e处的值为______。
9. 函数y = tan(x)的图像在x=π/4处的值是______，并且其图像在每一个周期内都有______。
10. 函数y = e^x的图像是一条______的曲线，并且随着x的增大，y 值______。
三、简答题11. 描述函数y = x^2 + 1的图像特征，并说明其顶点坐标。
12. 解释函数y = 1/(1+e^(-x))的图像为什么被称为S型曲线，并简述其性质。
13. 说明函数y = log_a(x)（a>0，a≠1）图像的渐近线，并讨论a的取值对图像的影响。
14. 函数y = sqrt(x)的图像在x轴的正半轴上是单调递增的，请解释原因。
15. 函数y = sin(x) + cos(x)的图像有哪些特征？请列出至少三个。
四、计算题16. 给定函数f(x) = 3x - 2，求其在x=1时的值，并绘制其图像的大致形状。
九年级数学函数图像练习题及答案
九年级数学函数图像练习题及答案练习题一：函数图像综合练习1. 给出函数 y = x^2 的图像，请写出下列函数图像的方程和图像的特点：(1) y = -x^2(2) y = (x + 1)^2(3) y = -(x - 2)^22. 给出函数 y = |x| 的图像，请写出下列函数图像的方程和图像的特点：(1) y = |x - 1|(2) y = -|x + 2|(3) y = 2|x|练习题二：函数图像的平移与伸缩1. 给出函数 y = x^3 的图像，请写出下列函数图像的方程和图像的特点：(1) y = (x - 1)^3(2) y = (x + 2)^3(3) y = -2(x - 2)^32. 给出函数 y = |x| 的图像，请写出下列函数图像的方程和图像的特点：(1) y = |x - 1|(2) y = 2|x + 2|(3) y = -0.5|x|答案：练习题一：1. (1) y = -x^2，图像特点：开口向下的抛物线，顶点在原点。
(2) y = (x + 1)^2，图像特点：开口向上的抛物线，顶点在 (-1, 0) 处。
(3) y = -(x - 2)^2，图像特点：开口向下的抛物线，顶点在 (2, 0) 处。
2. (1) y = |x - 1|，图像特点：折线，折点在 (1, 0) 处。
(2) y = -|x + 2|，图像特点：折线，折点在 (-2, 0) 处。
(3) y = 2|x|，图像特点：折线，折点在原点。
练习题二：1. (1) y = (x - 1)^3，图像特点：开口向上的尖顶抛物线，顶点在 (1, 0) 处。
(2) y = (x + 2)^3，图像特点：开口向上的钝顶抛物线，顶点在 (-2, 0) 处。
(3) y = -2(x - 2)^3，图像特点：开口向下的尖顶抛物线，顶点在 (2, 0) 处。
2. (1) y = |x - 1|，图像特点：折线，折点在 (1, 0) 处。
函数图像练习题
函数图像练习题1. 定义域判断题：给定函数 \( f(x) = \frac{1}{x - 2} \)，判断其定义域并解释原因。
2. 值域求解题：若函数 \( g(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求其值域。
3. 图像特征分析题：考虑函数 \( h(x) = |x - 3| \)，描述其图像的基本特征，包括对称轴、顶点坐标等。
4. 渐近线确定题：对于函数 \( k(x) = \frac{2}{x} + 3x \)，确定其水平渐近线和垂直渐近线。
5. 单调性判断题：判断函数 \( l(x) = -x^3 + 2x \) 在 \( (-\infty, +\infty) \) 上的单调性，并给出证明。
6. 极值点求解题：对于函数 \( m(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)，求其一阶导数，并找出其极值点。
7. 图像变换题：已知函数 \( n(x) = x^2 \)，求经过平移和伸缩变换后得到的函数 \( n(2x - 1) \) 的图像。
8. 函数零点求解题：给定函数 \( o(x) = \sin(x) + \cos(x) \)，求其在 \( [0, 2\pi] \) 区间内的零点。
9. 函数图像对称性题：分析函数 \( p(x) = x^3 - 3x \) 的图像，并确定其是否存在对称性，如果有，请指出对称轴或对称中心。
10. 复合函数图像题：考虑函数 \( q(x) = \sqrt{x + 1} \) 和\( r(x) = 2^x \)，绘制 \( q(r(x)) \) 的图像，并描述其主要特征。
11. 函数图像交点题：若 \( s(x) = x^2 - 4 \) 和 \( t(x) = 2x \)，求这两个函数图像的交点坐标。
12. 函数图像凹凸性题：对于函数 \( u(x) = x^4 - 4x^2 \)，判断其凹凸性，并求出拐点坐标。
13. 函数图像周期性题：分析函数 \( v(x) = \tan(x) \) 的周期性，并说明其周期。