多元函数微分学习题课
第七章多元函数的微分学本章知识结构导图§7.1 数学家的故事：笛卡尔勒奈·笛卡尔（Rene Descartes）,1596年3月31日生于法国都兰城．笛卡尔是伟大的哲学家、物理学家、数学家、生理学家，解析几何的创始人，是欧洲近代资产阶级哲学的奠基人之一，黑格尔称他为“现代哲学之父”．笛卡儿堪称17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”．笛卡尔最杰出的成就是在数学发展上创立了解析几何学．在笛卡儿时代，代数还是一个比较新的学科，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位．笛卡儿致力于代数和几何联系起来的研究，于1637年，在创立了坐标系后，成功地创立了解析几何学．他的这一成就为微积分的创立奠定了基础．解析几何直到现在仍是重要的数学方法之一．笛卡尔不仅提出了解析几何学的主要思想方法，还指明了其发展方向．他在《几何学》中，将逻辑，几何，代数方法结合起来，通过讨论作图问题，勾勒出解析几何的新方法，从此，数和形就走到了一起，数轴是数和形的第一次接触．解析几何的创立是数学史上一次划时代的转折．而平面直角坐标系的建立正是解析几何得以创立的基础．直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁，它使几何概念可以用代数形式来表示，几何图形也可以用代数形式来表示，于是代数和几何就这样合为一家人了．轶事:蜘蛛织网和平面直角坐标系的创立据说有一天，笛卡尔生病卧床，病情很重，尽管如此他还反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能把几何图形和代数方程结合起来，也就是说能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来．突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来．一会功夫，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝．蜘蛛的“表演”使笛卡尔的思路豁然开朗．他想，可以把蜘蛛看作一个点．他在屋子里可以上，下，左，右运动，能不能把蜘蛛的每一个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置就可以在这三根数轴上找到有顺序的三个数．反过来，任意给一组三个有顺序的数也可以在空间中找到一点P 与之对应，同样道理，用一组数(,)x y 可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组两个有顺序的数来表示，这就是坐标系的雏形．§7.2 空间直角坐标系与向量的概念一、空间直角坐标系1.坐标系和坐标坐标系：以O 为公共原点，作三条互相垂直的数轴Ox 轴(横轴)，Oy 轴（纵轴），Oz 轴（竖轴），其中三条数轴符合右手规则．我们把点O 叫做坐标原点，数轴Ox ，Oy ，Oz 统称为坐标轴. xOy ，yOz ，zOx 三个坐标面．三个坐标面将空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限（如图7-2-1）),,0(2z y ),0,(3z x y点的坐标：设M 为空间中一点，过M 点作三个平面分别垂直于三条坐标轴，它们与x 轴，y 轴，z 轴的交点依次为P ，Q ，R （图7-2-2），设P ，Q ，R 三点在三个坐标轴的坐标依次为x ,y ,z . 空间一点M 就唯一地确定了一个有序数组(,,)x y z ，称为M 的直角坐标，x 、y 、z 分别称为点M 的横坐标，纵坐标和竖坐标，记为(,,)M x y z .2. 两点间的距离设1111(,,)M x y z 、2222(,,)M x y z 为空间两点，可以证明:这两点间的距离为12M M =.特别地,点),,(z y x M 与原点)0,0,0(O 的距离为222z y x OM ++=.不难看出,上述两个公式是平面直角坐标系中两点间距离公式的推广.二、向量的基本概念及坐标表示1． 向量的概念在日常生活中，我们经常会遇到两类不同的量，一类像距离、温度、体积、质量等，这一类量的共性是给出大小便可确定，我们称这种量为数量；而另一类如力、位移、速度、加速度等，这类量不仅要给出大小，还要给出它们的方向，才能确定下来，这种具有大小和方向的量称为向量．图7.2向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量（或称矢量）.向量的表示：我们用有向线段来表示一个向量，其中，线段的方向表示向量的方向；线段的长度表示向量的大小．若向量起点为A ，终点为B ，则记为AB .也可以用黑体字母表示向量，如a 、b 等．向量的大小又叫做向量的模，向量AB 的模用AB 来表示，而向量a 的模为a ．模为1的向量称为单位向量．模为0的向量称为零向量,记作0．0的方向是任意的．与向量a 的模相等、方向相反的向量叫做a 的反向量(负向量),记作-a ．如果两个向量长度相等且方向也相同，就说这两个向量相等．于是一向量平行移动后仍与原向量相等．注意，两个向量不能比较大小．在坐标系中，以坐标原点O 为起点，向已知点M 引向量OM ，称之为点M 对于点O 的向径．2．向量的坐标表示取坐标轴,,Ox Oy Oz 上以O 为起点的三个单位向量，分别记为,,i j k ，叫做基本单位向量．设向量OM 的起点是坐标原点，而终点M 的坐标为(,,)x y z ，则OM x y z =++i j k , ,,x y z 是OM 在坐标轴上的投影.一般地，如果向量a 在x 轴，y 轴，z 轴上的投影依次为,,x y z ，则其在x 轴，y 轴，z 轴上的分向量为,,x y z i j k ，故有 x y z =++a i j k ，,,x y z 叫做a 的坐标，记为{},,x y z =a ．此时要注意向量与点的坐标区别．习题7.21.在空间直角坐标系中，指出下列各点所在的卦限(1,1,2)-(1,1,2)--(1,1,2)-(1,1,2)-(1,1,2)--2.求两点1(2,1,3)M-和2(3,2,1)M-之间的距离.§7.3 多元函数的概念函数()y f x=，是因变量与一个自变量之间的关系，即因变量的值只依赖于一个自变量，称为一元函数．但在许多实际问题中往往需要研究因变量与几个自变量之间的关系，即因变量的值依赖于几个自变量．例如，某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其它代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个．要全面研究这类问题，就需要引入多元函数的概念．一、二元函数的概念【定义1】设D是平面上的一个非空点集，如果对于每个点Dyx∈),(，变量z按照一定的法则f总有唯一确定的值与之对应，则称z是变量yx,的二元函数，记为(,)z f x y=,其中变量yx,称为自变量，z称为因变量,集合D称为函数),(yxf的定义域，对应函数值的集合}),(),,(|{Dyxyxfzz∈=称为该函数的值域.类似地，可以定义三元函数(,,)u f x y z=以及三元以上的函数. 二元以及二元以上的函数统称为多元函数.与一元函数一样，定义域和对应法则是二元函数的两个要素.一元函数的自变量只有一个，因而函数的定义域比较简单，是一个或几个区间.二元函数有两个自变量，定义域通常是由平面上一条或几条光滑曲线所围成的具有连通性的部分平面.即二元函数的定义域在几何上通常为一个或几个平面区域.【例1】 求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1) z =ln()z x y =+ (3)1ln()z x y =+ (4)ln(1)z xy =- 【解】 (1)要使函数z =有意义，必须有2210x y --≥，即有221x y +≤. 故所求函数的定义域为22{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图7.3.(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图7.4.(3)要使函数1ln()z x y =+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且1x y +≠. 故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图7.5.(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为{(,)|1}D x y xy =>，图形为图7.6.图7.3 图7.4图7.5 图7.6 设函数),(yxfz=的定义域为D，对于任意取定的DyxP∈),(，对应的函数值为),(yxfz=，这样，以x为横坐标、y为纵坐标、z为竖坐标在空间就确定一点),,(zyxM，当),(yxP取遍D上一切点时，得一个空间点集}),(),,(|),,{(Dyxyxfzzyx∈=，这个点集称为二元函数),(yxfz=的图形. 如图7.7，二元函数的图形通常为空间中的一张曲面．图7.7具体地，如函数sinz xy=的图形为图7.8；函数2222x y z a++=的图形为一个球面，如图7.9.图7.8 图7.9二、二元函数的极限与连续在一元函数中，我们研究了当自变量趋于某一数值时函数的极限，而这时动点趋于定点的各种方式总是沿着坐标轴进行的.对于二元函数),(y x f z =，同样可以讨论当自变量x 与y 趋向于0x 和0y 时，函数z 的变化状态.也就是说，研究当点),(y x 趋向),(00y x 时，函数),(y x f z =的变化趋势.但是，二元函数的情况要比一元函数复杂得多.因为在坐标平面xOy 上，),(y x 趋向),(00y x 的方式是多种多样的.首先介绍领域的概念，邻域：设),(000y x P 是xOy 平面上的一个点，δ是某一正数，与点),(000y x P 距离小于δ的点),(y x P 的全体，称为点0P 的δ邻域，记为),(0δP U ，),(0δP U {}δ<=||0PP P {}.)()(|),(2020δ<-+-=y y x x y x 【定义2】设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某去心邻域内有定义（0P ),(00y x 点可除外），如果当点),(y x P 沿任何路径无限趋于),(000y x P 时，对应的函数值),(y x f z =都无限趋近于一个常数A ，则称当点),(y x P 趋向于),(000y x P 时，函数),(y x f z =以A 为极限.记为()()()00,,,lim x y x y f x y A →=xyzo二元函数极限也叫二重极限，可记为00lim (,)x x y y f x y →→．在极限的计算中不是先0x x →，再0y y →，而是),(y x P 以任意方式趋于),(000y x P ，比一元函数的极限要复杂很多．【定义3】设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某一邻域内有定义，并且),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→则称函数),(y x f z =在点),(000y x P 处连续.否则称函数),(y x f z =在点),(000y x P 间断，点),(000y x P 称为该函数的间断点．如果),(y x f 在平面区域D 内的每一点都连续，则称该函数在区域D 内连续.二元函数的连续性的概念与一元函数是类似的，并且具有类似的性质：在区域D 内连续的二元函数的图形是空间中的一个连续曲面；二元连续函数经过有限次的四则运算后仍为二元连续函数；定义在有界闭区域D 上的连续函数()y x f ,一定可以在D 上取得最大值和最小值.习题7.31.求下列函数的表达式：（1）已知2(,)f x y x y =，求(,)f x y x y +-.（2）已知22(,)xy f x y x y =+，求(,)x y f y x . 2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形：（1）1422-+=y x z （2）xy z ln =（3）y x y x z -++=11 （4）z =§7.4 多元函数的偏导数与全微分在研究一元函数的变化率时曾引入导数的概念，对于多元函数同样需要研究函数关于自变量的变化率问题．但多元函数的自变量不只一个，函数关系也比较复杂，通常的方法是只让一个变量变化，固定其他的变量（即视为常数），研究函数关于这个变量的变化率．我们把这种变化率称为偏导数．一、多元函数的偏导数 1.偏导数的定义【定义4】设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义，当y 固定在0y ，而x 在0x 处有增量x ∆时，相应地函数),(y x f 有增量),(),(0000y x f y x x f -∆+，如果xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000存在，则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数，记为y y x x xz =='，),(00y x f x '，0y y x x xf ==∂∂或0y y x x xz ==∂∂.类似地，当x 固定在0x ，而y 在0y 有增量y ∆，如果极限yy x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim00000存在，则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数，记为0y y x x yz =='，),(00y x f y '，0y y x x yf ==∂∂或0y y x x yz ==∂∂.如果函数),(y x f z =在平面区域D 内任一点),(y x 处都存在对x (或y )的偏导数，则称函数),(y x f z =在D 内存在对x (或y )的偏导函数,简称函数),(y x f 在D 内有偏导数,记为x z '，),(y x f x '，x f ∂∂或x z ∂∂, y z '，),(y x f y '，y f ∂∂或yz ∂∂.从偏导数的定义中可以看出，偏导数的实质就是把一个变量固定，而将二元函数),(y x f z =看成另一个变量的一元函数的导数.因此求二元函数的偏导数，不需要引进新的方法，只须用一元函数的微分法，把一个自变量暂时视为常量，而对另一个自变量进行求导即可. 即求xz∂∂时，把y 视为常数而对x 求导数；即求y z ∂∂时，把x视为常数而对y 求导数．),(y x f 在点),(00y x 处的偏导数),(00y x f x '、),(00y x f y '，就是偏导函数),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 处的函数值.【例2】设32423z x x y y =-+，求z x ∂∂，z y ∂∂，()1,1zx ∂∂和()1,1z y -∂∂ 【解】对x 求偏导数，就是把y 看作常量对x 求导数，234zx xy x∂=-∂； 对y 求偏导数，就是把x 看作常量对y 求导数，23212zx y y∂=-+∂； ()1,1zx ∂∂＝211341x y x xy ==-=-；()23111,121214x y z x y y ==--∂=-+=-∂．【例3】设y x z =，求xz∂∂，y z ∂∂. 【解】xz∂∂=1-y yx , y z ∂∂=x x y ln .【例4】设二元函数xy z ln =，求xz∂∂，y z ∂∂. 【解】x z ∂∂=x y xy xy xyx 11)'(1=⋅=⋅, y z ∂∂=y x xy xy xy y 11)'(1=⋅=⋅【例5】sin x z e xy =, 求,u ux y∂∂∂∂. 【解】sin cos (sin cos )x x x ze xy e xy y e xy y xy x∂=+⋅=+∂, cos x ze xy x y∂=⋅∂, 【例6】 设)1ln()1(),(22y x xy y x f y +++=，求)0,1(/x f .【解】 如果先求偏导数),(y x f x '，再求)0,1(x f '显然比较繁杂，可以先求一元函数)0,(x f ，再求导数)0,(x f x '.因)1ln()0,(2x x f +=，所以212)0,(x xx f x +='. 故1)0,1(='x f .2. 偏导数的几何意义设)),(,,(00000y x f y x M 是曲面),(y x f z =上一点，过0M 作平面0y y =，与曲面相截得一条曲线（如图7.10），其方程为⎩⎨⎧==),(00y x f z y y . 偏导数),(00y x f x '，就是导数),(0x x y x f dx d= 在几何上，它是该曲线在点0M 处的切线0x M T 对x 轴的斜率.图7.10同样，偏导数),(00y x f y '表示曲面),(y x f z =被平面0x x =所截得的曲线⎩⎨⎧==),(00y x f z x x 在点0M 处的切线0y M T 对y 轴的斜率.二、高阶偏导数由上面的例子可以看出：函数),(y x f z =对于x 、y 的偏导数x z∂∂、yz ∂∂仍是x 、y 的二元函数，自然地可以考虑xz ∂∂和y z ∂∂能不能再求偏导数．如果x z∂∂、y z ∂∂对自变量x 、y 的偏导数也存在，则他们的偏导数称为()y x f ,的二阶偏导数按照对变量求导次序有下列四种二阶偏导数.xx xx z y x f xzx z x ''=''=∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂),(22； xy xy z y x f yx zx z y ''=''=∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂),(2； yx yxz y x f x y zy z x ''=''=∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂),(2； yy yyz y x f y zy z y ''=''=∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂),(22. 其中),(y x f xy''，),(y x f yx ''称为二阶混合偏导数.类似地，有三阶、四阶和更高阶的偏导数，二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.【例7】求函数13323+--=xy xy y x z 的二阶偏导数． 【解】 因为函数的一阶偏导数为xz∂∂,33322y y y x --=y z ∂∂3229x y xy x =--，所以所求二阶偏导数为222322(33)6z z x y y y xy x x x x∂∂∂∂⎛⎫==--= ⎪∂∂∂∂⎝⎭，222322(33)691z z x y y y x y y x y y x y∂∂∂∂⎛⎫==--=-- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭， 23222(29)691z z x y xy x x y y y x x y x⎛⎫∂∂∂∂==--=-- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭， 23232(29)218z z x y xy x x xy y y y y⎛⎫∂∂∂∂==--=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭. 此例中的两个二阶混合偏导数相等，但这个结论并非对于任意可求二阶偏导数的二元函数都成立，我们不加证明地指出下列定理.【定理1】 若函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数在点),(y x 处连续，则在该点处有=∂∂∂y x z 2xy z∂∂∂2. 对于三元以上的函数也可以类似地定义高阶偏导数，而且在偏导数连续时，混合偏导数也与求偏导的次序无关.三、全微分在一元函数微分学中,函数)(x f y =的微分dx x f dy )('=,并且当自变量x 的改变量0→∆x 时,函数相应的改变量y ∆与dy 的差是比x ∆高阶的无穷小量.这一结论可以推广到二元函数的情形.【定义5】如果函数),(y x f z =在点),(y x 的全增量),(),(y x f y y x x f z -∆+∆+=∆可以表示为)(ρo y B x A z +∆+∆=∆，其中B A ,不依赖于y x ∆∆,而仅与y x ,有关，22)()(y x ∆+∆=ρ，则称函数),(y x f z =在点),(y x 可微分，y B x A ∆+∆称为函数),(y x f z =在点),(y x 的全微分，记为dz ，即dz =y B x A ∆+∆.几点说明：(1)当函数可微分时，zA x∂=∂、z B y ∂=∂，又x dx ∆=、y dy ∆=，从而二元函数的全微分通常写为=dz dy y x f dx y x f y x ),(),('+'或=dz z z dx dy x y∂∂+∂∂ zdx x∂∂，z dy y ∂∂分别称为函数关于x ，y 的偏微分，全微分是偏微分之和．(2)二元函数),(y x f z =在点),(y x 处有全微分，又称为),(y x f 在点),(y x 处可微. 函数若在某区域D 内处处可微，则称这函数在D 内可微.(3)由定义可知),(y x f 在点),(y x 处可微，则),(y x f 在点),(y x 处有偏导数和连续.(4)多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在， 若偏导数xz∂∂、y z ∂∂在点),(y x 连续，则该函数在点),(y x 可微．(5)如果),(y x f 在点),(y x 处可微，那么)(ρο+=∆dz z （22)()(y x ∆+∆=ρ）.利用它可求二元函数的近似函数值和二元函数全增量的近似值()()dy yzdx x z y x f y y x x f z ∂∂+∂∂≈-∆+∆+=∆,, ()()dy yzdx x z y x f y y x x f ∂∂+∂∂+≈∆+∆+,,【例8】 求函数2sin()z x y =+的全微分. 【解】 因为2cos()zx y x∂=+∂，22cos()z y x y y ∂=+∂,所以 22cos()2cos()z zdz dx dy x y dx y x y dy x y∂∂=+=+++∂∂. 【例9】计算函数xy e z =在点)1,2(处的全微分. 【解】 由于,xy ye x z =∂∂ ,xy xe y z =∂∂ ,2)1,2(e x z=∂∂,22)1,2(e y z =∂∂ 因此 .222dy e dx e dz +=【例10】求函数)2cos(y x y z -=，当4π=x ，π=y ，4π=dx ，π=dy 时的全微分.【解】),2sin(y x y xz--=∂∂ ),2sin(2)2cos(y x y y x y z -+-=∂∂故 dy y zdx x z dz ),4(),4(),4(ππππππ∂∂+∂∂=).74(82ππ-=习题7.41.求下列函数的偏导数：（1）225sin 2y x xy z +-= （2）yx xyz +=（3）xz yz xy u ++= （4）2yz x u = 2.求下列各函数在指定点处的偏导数： （1）)2sin(),(y x y x f +=，)0,2(π（2）)1ln(),(22y x y x f ++=，（1，2） （3）y xy e y x f y x 3)cos(),(+=+，（0，1） （4）)tan(),(2xy y x f =，（0，1） 3.求下列函数的二阶偏导数：（1）y e x z 8= （2）)sin (cos y x y e z x += 4.求下列函数的全微分：（1）xy y x z 22+= （2）yx e z xy +=5.设xy z =，当2.0,1.0,1,2-=∆=∆==y x y x 时，求dz z ,∆. 6.利用全微分计算99.2)01.1(的近似值.§7.5 多元函数的复合函数的偏导数在一元函数中，复合函数的求导法则是求导的灵魂，起到了非常重要的作用，对于多元函数也是如此.本节讨论多元复合函数求导法则.一、中间变量是一元函数的情况【定理2】 如果函数)(t u ϕ=及)(t v ψ=都在点t 可导，函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数)](),([t t f z ψϕ=在点t 可导，且有：dtdvv z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂=． ------ 全导数 证明：有条件知,当0→∆t 时,0→∆u ,0→∆v ,dt du t u →∆∆,dtdvt v →∆∆.由于函数),(v u f z =在点),(v u 有连续偏导数,有,21v u v vzu u z z ∆+∆+∆∂∂+∆∂∂=∆αα tvt u t v v z t u u z t z ∆∆+∆∆+∆∆⋅∂∂+∆∆⋅∂∂=∆∆21αα 当0→∆u ，0→∆v 时，01→α，02→α,∴.lim 0dtdvv z dt du u z t z dt dz t ⋅∂∂+⋅∂∂=∆∆=→∆ 全导数的公式可用图7.11清楚地表示出来．(,)z f u v =，z 有两个直接变量u 和v ，画两个箭头，u 和v 都有变量t ，画两个箭头．箭头表示求偏导数，两个箭头连起来是相乘关系，z 关于t 图7.11 的导数就是的两条路径之和．【例11】 设z uv =，而t e u =，t v cos =，求全导数dtdz. 【解】:sin t dz z du z dv ve u t dt u dt v dt∂∂=+=-∂∂cos sin t t e t e t =- 对两个以上中间变量的全导数类似可求， 例如有三个中间变量，(,,)z f u v w =，,,u v w 都是t 的函数，则dz z du z dv z dwdt u dt v dt w dt∂∂∂=++∂∂∂ 图7.12二、中间变量是多元函数的情况【定理3】 设),(y x u ϕ=、),(y x v ψ=都在点),(y x 有偏导数，而),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数)],(),,([y x y x f z ψϕ=在对应点),(y x 的两个偏导数均存在，且有x v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂， yv v z yu u z yz ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂. 图7.13zx∂∂，z y ∂∂这两个计算公式可由图7.13可以清楚的表示出来． zu v wtzu vxyzuvt【例12】 设v e z u sin =，而xy u =，y x v +=，求 xz∂∂和y z ∂∂. 【解】xvv z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂1cos sin ⋅+⋅=v e y v e u u ),cos sin (v v y e u += yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂1cos sin ⋅+⋅=v e x v e u u ).cos sin (v v x e u += 【例13】 设2ln z u v =，期中 x u y = ，2v x y =-，求zx∂∂和z y ∂∂． 【解】212ln 2z z u z v u u v x u x v x y v ∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂=22222ln (2)(2)x x x y y y x y -+-，z z u z v y u y v y∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂=222ln ()(1)x u u v y v ⋅-+⋅-=22322ln (2)(2)x x x y y y x y ----.两个以上中间变量情况有类似的公式和图形表示， 例如三个中间变量xw w z x v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂,yw w z y v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂. 图7.14多元复合函数的复合关系是多种多样的，不可能把所有的公式都写出来，也没有必要这样做，只要我们把握住函数间的复合关系就可以了,并且牢记:复合函数对某自变量的偏导数等于通向这个自变量的各条路径上函数对中间变量的导数与中间变量对这个自变量导数乘积之和.【例14】 设222),,(z y x ez y x f u ++==,y x z sin 2=,求x u ∂∂和yu∂∂.【解】224222sin 222sin 2(12sin )x y x yu u u z xu zu x y x x y e x x z x++∂∂∂∂=+=+⋅=+∂∂∂∂, y x y x e y y x y y x zu yu yzz u y u y u 2422sin 42)cos sin (2cos 22+++=⋅+=∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂.zu v wxy【例15】 设(,)w f x yz xyz =+，求x w ∂∂和wy ∂∂.【解】 令u x yz =+，xyz v =， 则(,)w f u v =，于是=∂∂x wx v v f x u u f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂f f yz u v ∂∂=+⋅∂∂, w y ∂=∂f u f v u y v y ∂∂∂∂⋅+⋅∂∂∂∂ff z xz u v∂∂=⋅+⋅∂∂．习题7.51.求下列复合函数的偏导数和导数： （1）设y x v xy u v u z 23,,ln 2-===，求yzx z ∂∂∂∂,. （2）设t z t y t x e u z y x sin ,2,3,322====+-，求dtdu . （3）设,)(ln xy x z =求yz x z ∂∂∂∂,. （4）设),(22xy e y x f z -=，求yz x z ∂∂∂∂,. 2.设)(xy x xy z ϕ+=，其中)(u ϕ是可微函数，证明xy z yz y x z x +=∂∂+∂∂.§7.6 多元函数的极值在一元函数中，我们利用函数的导数求得函数的极值，进一步解决了有关实际问题的最优化问题.但在工程技术、管理技术、经济分析等实际问题中，往往涉及到多元函数的极值和最值问题.本节就来重点讨论二元函数的极值问题，进而可以类推到更多元函数的极值问题.一、多元函数的极值实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖x 元，外地牌子的每瓶卖y 元，则每天可卖出y x 4570+-瓶本地牌子的果汁，y x 7680-+瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？每天收益的目标函数为)7680)(2.1()4570)(1(),(y x y y x x y x f -+-++--=.求最大收益问题就是求此二元函数的最大值问题.要解决此问题，必须首先来讨论二元函数的极值问题.【定义6】 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某邻域内有定义，对于该邻域内的任意异于),(000y x P 的点),(y x P ，都有不等式),(),(00y x f y x f <则称函数在),(000y x P 有极大值),(00y x f ；如果都有不等式),(),(00y x f y x f >则称函数在),(000y x P 有极小值),(00y x f .极大值、极小值统称为极值，使函数取得极值的点统称为极值点.【例16】 讨论下列函数在原点（0，0）处是否取得极值．（1）2243y x z += （2）22y x z +-= （3）xy z =【解】 （1）从函数2243y x z +=的特点看出：在（0，0）的去心邻域内，函数值均大于0，即)0,0(),(f y x f >.故在（0，0）处此函数取得极小值0)0,0(=f .（2）从函数22y x z +-=的特点看出：在（0，0）的去心邻域内，函数值均小于0，即)0,0(),(f y x f <.故在（0，0）处此函数取得极大值0)0,0(=f .（3）函数xy z =在（0，0）的去心邻域内，显然，有大于0)0,0(=f 的函数值，也有小于0)0,0(=f 的函数值.故0)0,0(=f 不是函数的极值.求极值关键在于求出极值点，类似于一元函数的极值我们有下列定理．【定理4】（极值存在的必要条件）设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零.即0),(,0),(0000='='y x f y x f y x .【证明】 因为点),(00y x 是函数),(y x f 的极值点，若固定),(y x f 中的变量0y y =，则),(0y x f z =是一个一元函数，且在点0x x =处取得极值.由一元函数极值的必要条件知0),(00'=y x f ，即0),(00='y x f x ，同理可得0),(00='y x f y .使0),(,0),(='='y x f y x f y x 同时成立的点),(y x ，称为函数),(y x f z =的驻点.【定理5】 (极值存在的充分条件)设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内具有连续的二阶偏导数，且点),(00y x 是函数的驻点，即0),(00='y x f x ，0),(00='y x f y .若记A y x f xx=''),(00，B y x f xy =''),(00，C y x f yy =''),(00，则 （1）当02<-AC B 时，点),(00y x 是极值点，且若0<A ，点),(00y x 是极大值点；若0>A ，点),(00y x 是极小值点.（2）当02>-AC B 时，点),(00y x 是非极值点.（3）当02=-AC B 时，不能确定点),(00y x 是否为极值点，需另作讨论．【例17】 求函数 x y x y x y x f 933),(2233-++-=的极值.【解】 令 223690360x y f x x f y y ⎧=+-=⎪⎨=-+=⎪⎩，得驻点: )0,1(,)2,1(,)0,3(-,)2,3(-． 66+==x f A xx ,0==xy f B ,66+-==y f C yy ,得236(1)(1)B AC x y -=+-.列表如下：故在点（1，0）处函数取得极小值5)0,1(-=f ；在点（-3，2）处函数取得极大值31)2,3(=-f .由上面解题过程可以归纳出求函数),(y x f z =极值的一般步骤：（1）求一阶偏导数，并解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==0),(0),(//y x f y x f yx 得驻点； （2）对于每一个驻点),(00y x ，求出二阶偏导数的值C B A ,,，然后确定出ACB -2的符号（驻点较多时，可列表显示）；（3）由定理5确定驻点是否为极值点，若是极值点求出极值.二、多元函数的最值与一元函数相类似，对于有界闭区域D 上连续的二元函数),(y x f ，一定能在该区域上取得最大值和最小值.使函数取得最值的点既可能在D 的内部，也可能在D 的边界上.若函数的最值在区域D 的内部取得，这个最值也是函数的极值，它必在函数的驻点或偏导数不存在的点处取得.若函数的最值在区域D 的边界上取得，往往比较复杂，在实际应用中可根据问题的具体性质来判断．综上所述，求有界闭区域D 上的连续函数),(y x f 的最值的方法和步骤为：（1）求出在D 的内部的可能的极值点，并计算出在这些点处的函数值；（2）求出),(y x f 在D 的边界上的最值；（3）比较上述函数值的大小，最大者就是函数的最大值；最小值就是函数的最小值.【例18】 有盖长方体水箱长、宽、高分别为z y x ,,.若2==V xyz ,怎样用料最省?【解】用料 )22(2)(2yx xy zx yz xy S ++=++=, 0,>y x .令 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-= .0)2(2,0)2(222y x S x x S y x ⇒⎩⎨⎧==3322y x 同时 322==xy z . 据实际情况可知, 长、宽、高均为32时, 用料最省.【例19】 某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022y xy x y x +++++元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？【解】 ),(y x L 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x ，令⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L yx ，解得唯一驻点（120，80）. 又因06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A ，得0105.332>⨯=--B AC .得极大值320)80,120(=L . 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元.* 三、条件极值拉格朗日乘数法对自变量有约束条件的极值问题，称为条件极值问题；而对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件的极值问题称为无条件极值问题.对于条件极值问题，如果能从条件中表示出一个变量，代入目标函数，就把有条件的极值问题转化为为无条件极值问题了.但在许多情形,我们不能由条件解得这样的表达式,因此需研究其它的求解条件极值问题的方法----拉格朗日乘数法.求函数),(y x f z =在约束条件0),(=y x ϕ下求极值的步骤为：（1）构造辅助函数（称为拉格朗日函数）(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，其中λ为待定常数，称为拉格朗日乘数；（2）求解方程组////(,,)(,)(,)0(,,)(,)(,)0(,,)(,)0x x x y y y F x y f x y x y F x y f x y x y F x y x y λλλϕλλϕλϕ'⎧=+=⎪'=+=⎨⎪'==⎩，消去λ，得出所有可能的极值点),(y x ；（3）判别求出的点),(y x 是否为极值点，通常可以根据问题的实际意义直接判定.【例20】 某工厂生产两种商品的日产量分别为x 和y （件），总成本函数22128),(y xy x y x C +-=（元）.商品的限额为42=+y x ，求最小成本.【解】 约束条件为042),(=-+=y x y x ϕ，构造拉格朗日函数22(,,)812(42)F x y x xy y x y λλ=-+++-，解方程组160240420x y F x y F x y F x y λλλ'⎧=-+=⎪'=-++=⎨⎪'=+-=⎩，得唯一驻点)17,25(),(=y x ，由实际情况知，)17,25(),(=y x 就是使总成本最小的点，最小成本为8043)17,25(=C （元）.【例21】求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积.【解】设z y x ,,分别为长方体三棱长, 求xyz V = (,,0)x y z >的最大值，约束条件为2(,,)2220x y z xy yz zx a ϕ=++-=．构造格朗日函数2(,,,)(222)F x y z xyz xy yz zx a λλ=+++-,解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==++==++==++=,0222,0)(2 ,0)(2 ,0)(22a xz yz xy F x y xy F z x xz F z y yz F z y x λλλλ 得: a z y x 66===, 此时 3366a V =．由题意知, V 的最大值为3366a ．习题7.61.求下列函数的极值：（1）181839623++--+=y x xy y x z （2）)4)(6(22y y x x z --=（3）)sin(2122y x z +-= （4）)2(22y y x e z x ++=2.求函数y x z +=，在条件122=+y x 约束下的极值.3.某工厂生产甲种产品x （百个）和乙种产品y （百个）的总成本函数222),(y xy x y x C ++=+100（万元）；甲、乙两种产品的需求函数为甲P x -=26，乙P y 4110-=，其中甲P ，乙P 分别为产品甲、乙相应的售价（万元/百个），求两种产品产量x ，y 各为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？§7.7 数学建模案例本节介绍与本章有关的两个数学模型案例，一个是与向量有关的状态转移问题，一个是二元函数的无差别曲线．一、人、狗、鸡、米问题人、狗、鸡、米均要过河，船上除1人划船外，最多还能运载一物，而人不在场时，狗要吃鸡，鸡要吃米，问人，狗、鸡、米应如和过河？分析：假设人、狗、鸡、米要从河的南岸到河的北岸，由题意，在过河的过程中，两岸的状态要满足一定条件，所以该问题为有条件的状态转移问题．1. 允许状态集合我们用(,,,)w x y z ，,,,0w x y z =或1，表示南岸的状态，例如（1，1，1，1）表示它们都在南岸，（0，1，1，0）表示狗，鸡在南岸，人，米在北岸；很显然有些状态是允许的，有些状态是不允许的，用穷举法可列出全部10个允许状态向量， (1, 1, 1, 1) (1, 1, 1, 0) (1, 1, 0, 1) (1, 0, 1, 1) (1, 0, 1, 0)(0, 0, 0, 0) (0, 0, 0, 1) (0, 0, 1, 0) (0, 1, 0, 0) (0, 1, 0, 1)我们将上述10个可取状态向量组成的集合记为S ，称S 为允许状态集合．2. 状态转移方程对于一次过河，可以看成一次状态转移，我们用向量来表示决策，例（1，0，0，1）表示人，米过河．令D 为允许决策集合，D {(1,,,)|0x y z x y z =++=或1}，另外，我们注意到过河有两种，奇数次的为从南岸到北岸，而偶数次的为北岸回到南岸，因此得到下述转移方程，k k k k d S S )1(1-+=+),,,(k k k k k z y x w S =表示第k 次状态，D d k ∈ 为决策向量．(1,1,1,1)(0,0,0,0)(1,0,1,0)(1,0,1,1)(1,1,0,1)(1,1,1,0)(0,1,0,1)(0,1,0,0)(0,0,1,0)(0,0,0,1)。
6-8多元函数微分学习题课
x0
x
此极限为函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处对x 的
偏导数，记为
z x
，f x x0 x
z ，
x x0
x
x x0 y y0
或
f x ( x0 ,
y0 ).
y y0
y y0
同理可定义函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处对y
的偏导数， 为
某邻域存在；
z
（3）
f
x
(
x,
y)x
f
y
(
x
,
y)y
,
(x)2 (y)2
当 (x)2 (y)2 0时是无穷小量.
小结三:
由一个方程确定的隐函数的求导法: 1 公式法:F(x,y,z)确定了z=z(x,y),则 z Fx , z Fy .
x Fz y Fz 2 解方程法:方程两边同时对x或者y求导,由复合函数求导法则 解出 z , z .
数，则复合函数 z f [ (t ), (t )] 在对应点t 可
导，且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
以上公式中的导数 dz 称为全导数.
dt
如果u ( x, y)及v ( x, y)都在点( x, y)
具有对x 和y 的偏导数，且函数z f (u,v) 在对应
法线方程为 x x0 y y0 z z0 .
Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
15、方向导数
定义 函数的增量 f ( x x, y y) f ( x, y) 与
多元函数微分习题.docx
一、选择题1. z = In yjx~ - y 的定义域是A. ｛（X, v ） |x 2 > V ）;B. ｛（X, v ） | X 2 > y ｝ ：C. ｛（X, v ） |x 2 < y ｝ ：D. ｛（X, V ）|x 2 < V ）.2.函数z = /(x, y)在点(x 0, v 0)处对y 的偏导数是A lim /(心 + 山，几+勺)—/(X 。
，％)r 丘皿 g + 心,％ + △『)—/(x°,几) C Um /(Xo + Ax, X )) —/(兀,几).D lim /(Xo ，%+4v) —/(Xo’o)AXTO A X'R TO A X3. 如果/(x, y)具有二阶连续偏导数，则空华卫= (D )oxoyA . o ；B . ^21； c. ^21； D . ^2).a%2 dy2dydx4. 函数z = /(x,y)在点(无)，％))处连续是函数在该点处可微分的(B )A.充分但不必要条件；B.必要但不充分条件；C.必要且充分条件；D.既不充分也不必要条件. 5. 设z= I 1 =,则下列结论中正确的是(C )1 、一 2 (2)A.在xoy 平面上连续；B.在xoy 平面上，只有((C.在圆周x 2 + v 2 = 1上间断；D.在x' + y~ < 1内连续 二、计算题1.已知 /(x, y) = x y + 2xy ,试求 /(2,-1)和/(" + 2v, z/v). 解:因为 /(x, v) = X'v + 2xyB.在xoy 平面上，只有(0,1)、(1,0)为间断点; D.Sx 2 + v 2 < 1 内连续.lim ［（1 + （—2 巧））］五f ｛u + 2v, uv ） = （M + 2v ）MV + 2（M + 2v ） • uv2.求下列极限: y->0⑵lim （l — 2号）厂・解：lim （l-2xy ）xyx —>0 y->0:MJ 心+ 1-26.求u - cos(xyz)的全微分 5 , du , du , du ,角牛:du — —- dx + —- dy + ~~ dzdx dy dz=-sin(xyz) • yzdx - sin(xyz) • xzdy - sin(xyz) • xydz =-sin(xyz) • {yzdx + xzdy + xydz)7.计算Jl.023 + 1.973近似值（结果保留两位小数）:氓兀+ 丁 解：lim =-l皿厂+“3.证明lim ------- 不存在.锻兀V +（—V ）证明:当点p （x,y ）沿直线y = 0趋近于点（0,0）时，有心2 X 2 02 lim x —>oy->0lim _: ----------- - = lim — ---------------- - = 0 :+(x —y)~ :二：x-+(x —0)~ 当点p(x,y)沿直线y= x 趋近于点(0,0)时，有2 2 2 2lim ° °° ；二广丁+(*-丁)- 2 2X V雹/亍+⑺“尸_1不存在2 , /x2 11丁1丄°y +(兀一刃4.设 f(x,y,) = xy 2 + y 2+x 2,求人(0,0,1),九(0,-1,0)和心2,0,1).因此lim —y XT O y 2yTO A解：/(x, y, z) = xy 2 + yz 2 + zx 2f x =y 2 +2zx, f y =2xy + z 2, f z = 2yz + x 2 由 f xx =2z 得几(0,0,l)=2xl = 2由 f yz = 2z 得几(0,-1,0)=2x0 = 0 由 /,v = 2x 得尢(2,0,l) = 2x2 = 4a 3z a 3z5.设z = xe^,求县和菩. dy ox dy解：—=x-e xy • x = x 2e xydx• x = x 3e xy乔|厂 3宀八 + 2 . y =少 + X3 yk“(3 + *解：设 /(“) = JF+J ?,贝ij /(1.02,1.97)= 71.023 +1.973 取兀=1, y = 2, Ax = 0.02, Ay =—0.03 ,于是三、求下列偏导数x 工 dz e dzv + ve~u f u = xy , v =—,求亍和p. y dx oy ——du dz 3v v _u ( v—= ------- 1 = e y — ve - y + \ue + edx du dxdvdx2.求由方程F + v 3 + z 3 = 2QZ — 1所确定的隐函数Z = /(x, v)的偏导数生和$ . ox dy解：令 F (兀,y,z) =兀3+ y 3 + z 3 - 2xyz +1 = 0Fy = 3y 2 一 2xz, F ； — 3z 2 一 2xy3b -2xz3z 2 -2xy3.设z = f{x 2 -y\e xy y 且/具有一阶连续偏导数，求z 的一阶偏导数. 解：设 u = x 2 -y 2, v = e xyz = /(s)X=1尸Vl 3+23 =V9=3x=l尸271.023 +1.973 2后+于 3j_+ 丁3=/(1,2)+人(1,2)心 + 厶(1,2)®= 3 + |x0.02 + 2x(-0.03) = 2.95x=l尸21.已知z = ue 解：力32dz _ dz du dz 3v dx du dy 3v dy( \(e v-ve~u\ x + (ue v+e~u\\ y )X兀 —xy ._ y 兀x ----- e yx + xye y •— - -- =az-axaz -血以 所3x 2 - 2yz3z 2 -2xy ,2= e^.y-^.y + ^ 丄 + 严丄x ------2Uy= ------- r • xe y1 +w 2v2 x 5e y~ l + x 6e 2y其中/具有连续的偏导数，求字、当和字.ax oy dz解：设a = x ,包=/ +艺.％ +妙.也=^+y0 + yZ 艺 dx dx dp dx Bq dx dx dp Bq du _df dp+。
9-11 多元函数微分学的应用习题课
二、题型练习 （一）几何应用 （二）极值和最值
二、题型练习 （一）几何应用 （二）极值和最值
u例9 求由方程 x2 + y2 + z2 - xz - yz + 2x + 2 y + 2z = 0 所确定的隐函数z=z(x,y)的极值. u例10 求函数 z = x2 + y2 - xy在区域 x + y £ 1上的 最大值和最小值. u例11 求函数z = 3x2 + 3y2 - x3在区域 x2 + y2 £ 16上的 最大值和最小值. u例12 求函数 u = sin x + sin y - sin( x + y) 在区域
u例2 在曲面 z = xy 上求一点，使这点处的法线垂直于平面 x + 3y + z + 9 = 0并写出这法线的方程. u例3 试证曲面 x + y + z = a(a > 0)上任何点处的切平面 在各坐标轴上的截距之和等于a. u例4 证明螺旋线 x = a cos t, y = a sin t, z = bt上任一点处的切
:
ìF ( x, îíG(x,
y, y,
z) z)
= =
0 0
æ ç
! i
! j
! k
ö ÷
切向量 T = ç Fx Fy Fz ÷
çç è
G
x
Gy
Gz
÷÷ ø
(x0, y0, z0 )
3. 曲面的切平面与法线 1) 隐式情况 .
法向量 n = (Fx (x0 , y0 , z0 ) , Fy (x0 , y0 , z0 ) , Fz (x0 , y0 , z0 ))
多元函数微分法习题课
z
x
y
2z + y + λ yz = 0
解方程组
2z + x + λxz = 0
2(x + y) + λxy = 0 xyz −V0 = 0
4 得唯一驻点 x = y = 2z = 3 2V0 , λ = 3 −V 2
0
由题意可知合理的设计是存在的, 因此 , 当高为 3 V0 , 长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省. 思考: 思考 1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何? x 提示: 提示 利用对称性可知, x = y = z = 3 V0 2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价 最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 提示: 提示 F = 2(xz + yz) + 2 x y + λ (x yz −V0 ) 长、宽、高尺寸相等 .
2 2
2. 设 3. 在曲面 平面
求 上求一点 , 使该点处的法线垂直于 并写出该法线方程 . 的切平面
4. 在第一卦限内作椭球面
使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积.
4
z
y
例4. 求原点到曲线 的最短距离。 的最短距离。
x 2 + ( y − 1) 2 + z 2 = 4 Γ: x + y + z = 1
习题课
多元函数微分法
一、 基本概念 二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用
一、 基本概念
1. 多元函数的定义、极限 、连续 • 定义域及对应规律 • 判断极限不存在及求极限的方法 • 函数的连续性及其性质 2. 几个基本概念的关系 连续性 方向导数存在 偏导数存在 可微性
多元函数微分习题课
x
x
z
y
x
( ) du
dx
=
f1 +
f2 cos x −
1 f3 ϕ3
2 xϕ1 + esin xϕ2 cos x
十.设u = f ( x, y,z),ϕ( ) x2,ey,z = 0, y = sinx,
其中 f ,ϕ 都具有一阶连续偏导数,且 ∂ϕ ≠ 0 ,求 du .
∂z
dx
解法二:用微分形式不变性:
(A). f ( x, y) 在 P 点连续; (B). f ( x, y) 在 P 点必可微;
(C). lim x → x0
f
( x,
y0 )
及 lim y→ y0
f
( x0 ,
y)
都存在;
(D). lim f ( x, y) 存在. x → y→ y0
答:(C)
三.求由方程 xyz + x2 + y2 + z2 = 2 所确定的函 数 z = z ( x, y) 在点(1,0,−1) 处的全微分dz .
答:dz = dx − 2dy
四.设 z = z ( x , y ) 定义在全平面上 (1).若 ∂z ≡ 0 ,试证 z = f ( y ) ,其中 f ( y )
∂x
是任意待定的函数; (2).若 ∂ 2 z ≡ 0 ,试证 z = f ( x ) + g ( y ) ,其
∂x∂y
中 f ( x ), g ( y ) 是可导的待定函数.
;
有二阶连续偏导数,
解: z y = x4 f1 + x2 f2 , z yy = x5 f11 + 2 x3 f12 + xf22
9、多元函数微分习题课(1)
2z 其中f 具有二阶连续偏导数， z = f (e x sin y , x 2 + y 2 ), 其中 具有二阶连续偏导数，求 4、 设 、 xy z = e x sin yf1′ + 2 xf 2′ 解 x
2z ′′ ′′ ′′ = f11e 2 x sin y cos y + 2e x ( y sin y + x cos y ) f12 + 4 xyf 22 + f1′e x cos y xy
x0 y0 z0 . 6abc
u=xyz（x>0，y>0，z>0）在条件( 于是问题转化为求函数 u=xyz（x>0，y>0，z>0）在条件(1)下的 最大值问题. 最大值问题. F(x,y,z)=xyz＋ x,y,z)=xyz 令 F(x,y,z)=xyz＋λ( a
x + b y + c z 1 )，解方程组
2、 由方程 xyz + 、
x 2 + y 2 + z 2 = 2 所确定的函数 z=z(x, y)
在点（ 在点（1,0,－1）处的全微分 dz = dx － ） [利用全微分 由方程得 利用全微分] 利用全微分 因此，在点 因此，在点(1,0,-1)处 处
2dy
1 x + y +z
2 2 2
yzdx + xzdy + xydz +
在曲面上， 因 P0 在曲面上，即 a x 0 + b y 0 + c z 0 = 1 ，
(2)
a b c x+ y+ z =1 将它代入( 可化切平面方程为， 将它代入(2)式，可化切平面方程为， x0 y0 z0
多元函数微分法习题课2
t 解： 因 xt 1 cos t , yt sin t , zt 2cos 2 故在点 ( 1, 1, 2 2) 处的切向量为 2 T ( xt , yt , zt ) ( 1,1,2 2 ) (1, 1, 2)
处的切线及法平面方程。 分析：此曲线可视 x 为参数, 则求出切向量为
dy dz T (1, , ), 即可得切线及法平面方程。 dx dx
dy m 由 y 2mx 得 , dx y
2
dy dz 解： 视 x 为参数, 则切向量为T (1, , ); dx dx
m 1 , ). 故在点 ( x0 , y0 , z0 ) 处的切向量为T (1, y0 2 z0 x x 0 y y0 z z 0 所求切线方程为 m 1 1 y0 2 z0
2x Fx yz 2 0 a 2z Fz xy 2 0 c
2
2
2
2y Fy xz 2 0 b x2 y2 z2 2 2 2 1 a b c
三式相加得 3 xyz 2
a b c 解得 x , y ,z 3 3 3 2x 2y 或 yz 2 xz 2 a b 2 2 2 2 2 x z y b x x y 两式相除 2 2 2 同理 2 2 x a y a b a c
无条件极值 多元函数的极值 条件极值
(1) 无条件极值求法步骤：
①求 f x ( x, y) 0 , f y ( x, y) 0 得全部驻点. ②求 f xx ( x0 , y0 ) A , f xy ( x0 , y0 ) B , f yy ( x0 , y0 ) C ③由判别驻点为极值点的条件，验证 AC B 的符号,
习题课 多元函数微分学
复习题8（A ）1. 设3(1)z y f x =+-，且已知y =1时，z =x 则()f x = ,z = .2. 设322,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x x y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩，则(0,0)x f = , (0,0)y f = .3. 设arctanx yz x y+=-,,则d z = . 4. 设()()y x u yf xg x y =+,其中f ,g 具有二阶连续偏导数,则222u u x y x y x∂∂+=∂∂∂ . 5. 若函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处的偏导数存在，则在该点处函数(,)z f x y = ( ) A 有极限 B 连续C 可微D 以上三项都不成立6. 偏导数f x (x 0,y 0)，f y (x 0,y 0)存在是函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)连续的( ) A 充分条件 B 必要条件C 充要条件D 即非充分也非必要条件7. 设函数f (x ,y )=1－x 2+y 2,则下列结论正确的是( )A 点(0,0)是f (x ,y )的极小值点B 点(0,0)是f (x ,y )的极大值点C 点(0,0)不是f (x ,y )的驻点D f (0,0)不是f (x ,y )的极值 8. 求下列极限：(1) 22(,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y →+； (2) (,)(0, 0)11lim x y xy →+-. 9. 设u =e 3x -y ，而x 2+y =t 2,x －y =t +2,求0d d t u t =.10. 设z =f (x ,y )由方程xy +yz +xz =1所确定,求222,,.z z z x x y x ∂∂∂∂∂∂∂ 11. 设f (u ,v )具有二阶连续偏导数,且满足22221f f u v∂∂+=∂∂，又221(,)[,()]2g x y f x y x y =-,试证222222g gx y x y∂∂+=+∂∂. 12. 求函数f (x ,y )=x 2(2+y 2)+y ln y 的极值.13. 设商品A 及B 的收益函数分别为：22121624 , R 20410R x x xy y xy y =-+=+-，总成本函数为2888C x y =-+，,x y 为商品A 及B 的价格，试问价格取何值时可以使总利润最大？14. 某同学现有400元钱，他决定用来购买x 张计算机磁盘和y 盒录音磁带。
多元函数微分法考研
x
y
z
六、 2z x 2
f 11
2 y
f 12
1 y2
f 22 ,
2z xy
x y2
(
f 12
1 y
f 22 )
1 y2
f 2,
2z y 2
2x y3
f 2
x2 y4
f 22 .
八 、 x 2z 21(1 1•)C2 LIC K HE1 RE
,
TO ADD
A
TITLE
感谢观看 y 2z 21(1 )21 212 12. 2
证明：z z 1. x y
三 、 如 果 函 数 f ( x , y , z ) 对 任 t何 恒 满 足 关 系 式
f ( tx , ty , tz ) t k f ( x , y , z ) , 则 称 函 数 f ( x , y , z ) 为
k 次 齐 次 函 数 , 试 证 :k 次 齐 次 函 数 满 足 方 程
fy(0,0)]
0
解题思路： 函数连续
偏导存在
函数可微
偏导数连续
例3 设z=f (x, y)由方程ze2x-3z 2y
确定3,则z z
。
x y
解1 利用复合函数求导法
(04考研)
在方程两边分别对x,y求偏导
解2 利用隐函数导数公式 令 F (x ,y ,z) e 2 x 3 z 2 y z
解3： 利用全微分公式 d ze2x 3 zd (2 x 3 z)2 d y
12
例5 例6 例1 (A) 例4 例2 (C) 例7 例3 2
例8 d du xfxx yfy[1sein x((x x zz))]fz
吴第8章多元函数微分学-习题课
【解】 lim f(x,y)0f(0,0)所以f 在(0,0)点连续,故否B .
x 0
y 0
f( x ,0 ) f( 0 ,0 ) x 2 s1 ix n 2 ) (
f x ( 0 ,0 ) l x 0 im x
lim 0 x 0 x
fy (0 ,0 ) ly 0 ifm (y ,0 ) yf(0 ,0 ) ly 0 iy m 2 sy i 1y n 2 ) ( 0 偏导数存在, 否A .
第八章 习题课
多元函数微分法及其应用
一、关于多元函数极限的题类 二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类 三、关于复合函数求导、隐函数求导，全微分计算题类 四、关于多元函数极(最)值的题类
一、关于多元函数极限的题类
【例1】 求
lim
x0
xy x2 y2
y0
【解】
xy
lim
x 0
x2
【例8】 设x2z2y(fz)其 , f中 可微z， . 求
y
y
【解Ⅰ】公式法
抽象函数隐函数求导
令F(x,y,z)x2z2y(fz), y
则
Fz
2zf(z), y
Fyf(zy)zyf(zy),
z y
Fy Fz
yf( z) zf ( z)
y
y
2yz yf(z)
.
y
【例8】 设x2z2y(fz)其 , f中 可微z， . 求
y
y
抽象函数隐函数求导
【解Ⅱ】（求导直接法） z是x,y的函数
zyz 两边同时对y求导 2zyzf(zy)yf(zy)yy2 ,
yf(z) zf (z)
解得