《流体力学》流体运动学

流体力学辅导材料3：第3章流体运动学【教学基本要求】1.了解描述流体运动的两种方法。

了解迹线与流线的概念。

掌握欧拉法质点加速度的表达式。

2.理解总流、过流断面、流量、断面平均流速的概念；理解定常流与非定常流、均匀流与非均匀流、渐变流与急变流、有压流与无压流。

3.熟练掌握总流的连续性方程。

4.理解无旋流与有旋流，掌握其判别方法。

5. 掌握流函数、速度势函数与速度的关系。

知道流网法、势流叠加法解平面势流的原理。

【学习重点】1.流线与迹线；质点加速度的欧拉表述法。

2.总流的连续性方程。

3.无旋流与有旋流的判别。

4.流函数、速度势与流速的关系。

【内容提要和学习指导】3.1 流动描述3.1.1 描述流动的两种方法描述流动的方法有拉格朗日法和欧拉法。

1. 拉格朗日（Lagrange）法：拉格朗日法以研究个别流体质点的运动为基础，通过对每个流体质点运动规律的研究来获得整个流体的运动规律。

这种方法又称为质点系法。

拉格朗日法的基本特点是追踪单个质点的运动。

此法概念明确，但复杂。

一般不采用拉格朗日法。

2. 欧拉（Euler）法：欧拉法是以考察不同流体质点通过固定的空间点的运动情况来了解整个流动空间内的流动情况，即着眼于研究各种运动要素的分布场。

这种方法又叫做流场法。

欧拉法中，流场中任何一个运动要素可以表示为空间坐标和时间的函数。

例如，在直角坐标系中，流速v是随空间坐标)yx和时间t而变化的，称为流速场。

,(z,用欧拉法描述流体运动时，质点加速度等于时变加速度和位变加速度之和，表达式为：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂+∂∂+∂∂==∂∂+∂∂+∂∂+∂∂==∂∂+∂∂+∂∂+∂∂==z u u yu u xu u tu dtdu a z u u y u u x u u t u dt du a z u u y u u x u u t u dt du a z z z yz xz zy y z y y y x y yy x zx y x x x xx （3-6）3.1.2 迹线与流线在研究流动时，常用某些线簇图像表示流动情况。

拉格朗日法是研究流体中各个质点在不同时刻运动的化情况，引出迹线的概念；欧拉法是在同一时刻研究不同质点的运动情况，引出流线的概念。

1. 迹线某一流体质点在运动过程中，不同时刻所流经的空间点所连成的线称为迹线，或者迹线就是流体质点运动时所走过的轨迹线。

2. 流线流线是某瞬间在流场中绘出的曲线，在此曲线上所有各点的流速矢量都和该线相切。

流线密处流速大，流线稀处流速小。

流线是欧拉法分析流动的重要概念。

流线具有以下特性：（1）流线不能相交。

如果流线相交，那么交点处的流速矢量应同时与这两条流线相切。

显然，一个流体质点在同瞬间只能有一个流动方向，而不能有两个流动方向，所以流线不能相交。

（2）流线是一条光滑曲线或直线，不会发生转折。

因为假定流体为连续介质，所以各运动要素在空间的变化是连续的，流速矢量在空间的变化亦应是连续的。

若流线存在转折点，同样会出现有两个流动方向的矛盾现象。

（3）流线表示瞬时流动方向。

因流体质点沿流线的切线方向流动，在不同瞬时，当流速改变时，流线即发生变化。

3.2 描述流体运动的一些基本概念3.2.1 流管、元流和总流1. 流管在流动中任意取一条微小的封闭曲线C ，通过该曲线C 上的每一个点作流线，这些流线所形成的一个封闭管状曲面称为流管。

2. 元流充满流管中的流体称为元流或微小流束。

3. 总流由无数元流组成的整个流体（如通过河道、管道的水流）称为总流。

3.2.2 过流断面、流量和断面平均流速1. 过流断面垂直于流线簇所取的断面，称为过流断面（过水断面）。

过流断面的面积用A 表示。

过流断面可以是平面也可以是曲面，视流线簇彼此是否平行直线而定。

2. 流量单位时间内通过某一过流断面的流体体积称为流量，用Q 表示，单位是m 3/s 。

3. 平均流速因为总流过流断面上各点的流速是不等的，例如管道中靠近管壁处流速小，而中间流速大，所以常用一个平均值来代替各点的实际流速，称该平均值为断面平均流速，用v 表示。

流量、断面平均流速和过流断面面积A 的关系为：vA Q =3.2.3 一元流、二元流和三元流采用欧拉法描述流动时，流场中的任何要素可表示为空间坐标和时间的函数。

例如，在直角坐标系中，流速是空间坐标z y x ,,和时间t 的函数。

按运动要素随空间坐标变化的关系，可把流动分为一元流、二元流和三元流（亦称一维流动、二维流动和三维流动）。

流体的运动要素仅随空间一个坐标（包括曲线坐标流程s ）而变化的流动称为一元流。

运动要素随空间二个坐标而变化的流动称为二元流（即平面流动）。

运动要素随空间三个坐标而变化的流动称为三元流（即空间流动）。

3.2.4 定常流与非定常流1. 定常流如果在流场中任何空间点上所有的运动要素都不随时间改变，这种流动称为定常流。

各质点的运动要素与与时间无关，仅仅是空间坐标的连续函数。

例如对流速而言⎪⎭⎪⎬⎫===),,(),,(),,(z y x u u z y x u u z y x u u z z y y x x因此，流速对时间的偏导数应等于零。

所以，对定常流来说，在式（3-6）加速度公式中时变加速度（当地加速度）等于零。

定常流时，迹线与流线重合。

2. 非定常流如果流场中任何空间点上有任何一个运动要素是随时间而变化的，这种流动称为非定常流。

定常流与非定常流的区分，是看运动要素，如速度、压强等，是否随时间变化。

3.2.5 均匀流与非均匀流1. 均匀流如果流动过程中运动要素不随坐标位置（流程）而变化，这种流动称为均匀流。

均匀流具有以下特性：（1）均匀流的流线彼此是平行的直线，其过流断面为平面，且过流断面的形状和尺寸沿程不变。

（2）均匀流中，同一流线上不同点的流速应相等，从而各过流断面上的流速分布相同，断面平均流速相等，即流速沿程不变。

在式（3-6）加速度公式中位移加速度等于零。

（3）均匀流过流断面上的动水压强分布规律与静水压强分布规律相同，即在同一过流断面上各点测压管水头为一常数。

但应注意，不同断面上的测压管水头并非一定为常数。

2. 非均匀流如果流动过程中运动要素随坐标位置（流程）而变化，这种流动称为非均匀流。

非均匀流的流线不是互相平行的直线。

对非均匀流，按照流线不平行和弯曲的程度，可分为渐变流和急变流。

（1）渐变流流线虽然不是互相平行的直线，但近似于平行直线时的流动称为渐变流（或缓变流）。

渐变流过流断面上动水压强的分布规律，可近似地看作与静水压强分布规律相同。

（2）急变流若流线之间夹角很大或者流线的曲率半径很小，这种流动称为急变流。

急变流时动水压强分布规律，与静水压强分布规律不同。

定常流与非定常流、均匀流与非均匀流、渐变流与急变流是不同的概念，要了解它们之间的区别和联系，千万不要混淆。

定常流与非定常流是以运动要素是否随时间变化来区分的。

均匀流与非均匀流是以流动过程中运动要素是否随坐标位置（流程）而变化来区分的，亦可根据流线簇是否彼此平行的直线来判断。

非均匀流按流线不平行和弯曲程度分为渐变流和急变流。

3.2.6 有压流与无压流过流断面的全部周界与固体边壁接触、无自由表面的流动，称为有压流或者有压管流。

具有自由表面的流动称为无压流或明渠流。

3.3 流体运动的连续性方程3.3.1 流体运动的连续性微分方程利用质量守定常律，可推出流体运动的连续性方程。

可压缩流体非定常流的连续性微分方程表述如下： 0)()()(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z pu y pu xpu t z y x ρ（3-18）对不可压缩均质流体ρ＝常数，上式简化为0=∂∂+∂∂+∂∂zu yu xu z y x （3-19）对于不可压缩的流体，单位时间流经单位体积空间，流出和流入的流体体积之差等于零，即流体体积守恒。

以矢量表示：对不可压缩流体二元流，连续性微分方程可写为 0=∂∂+∂∂yu xu y x（3-21）利用式（3-19）和式（3-21），对于给定的流场，可以判定流动是否符合连续条件，或者说流动是否存在。

3.3.2 总流的连续性方程不可压缩均质流体的总流连续性方程，可由式（3-19）导出。

表述如下： Q A V A V ==2211（3-25）上式就是不可压缩流体总流的连续性方程。

式中V 1及V 2分别是总流过流断面A 1及A 2的断面平均流速。

该式说明，在不可压缩流体总流中，任意两个过流断面所通过的流量相等。

也就是说，上游断面流进多少流量，下游任何断面也必然流出多少流量。

3.4 流体微团运动分析流体微团的运动由下列四种形式组成：平移、线变形、角变形和旋转。

线变形和角变形统称变形。

实际上，最简单的流体微团的运动形式可能只是这四种中的某一种，而较复杂的运动形式则总是这几种形式的合成。

平移速度： z y x u u u ,,线变形率： xu x ∂∂，yu y ∂∂，zu z ∂∂ （3-29）角变形率： ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=)(21)(21)(21z u y ux u z uyu x u y z xz x yx yz θθθ （3-30）旋转角速度： ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂-∂∂=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂=)(21)(21)(21z u y ux u z uyu x u y z xz x yx yz ωωω （3-31）3.5 无涡流与有涡流3.5.1 无涡流与有涡流的概念按流体微团是否绕自身轴旋转，将流体运动分为有涡流（有旋流）和无涡流（无旋流）。

若流体运动时有流体微团绕自身轴旋转，即旋转角速度x ω、y ω、z ω中有不等于零的，则这样的流体运动叫做有涡流或有旋流。

自然界中的实际流体几乎都是有涡流动。

若流体运动时每个流体微团都不绕自身轴旋转，即旋转角速度0===z yx ωωω，则称此种运动为无涡流或无旋流。

应注意，流体微团是否绕自身轴旋转。

3.5.2 无涡流的条件无涡流时0===z yx ωωω，即应满足下述条件：即 ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂y u x u x u z u zu y u x y z x y z（3-32）无涡流，则必有流速势函数),,(z y x ϕ存在，所以无涡流又称为势流。

势函数),,(z y x ϕ是一标量。

【思 考 题】3-1描述液体运动有哪两种方法？两种方法有什么区别？ 3-2在什么条件下流线和迹线重合？3-3有人说“均匀流一定是定常流，急变流一定是非定常流”，这种说法是否正确？为什么？【解题指导】思3-3提示：流动均匀与否是对流程而言，流动定常与否是相对时间而言，这是判别流动的两个不同标准。

因此，这种说法是错误的。