高三数学函数小专题练习

函数小专题

函数是贯穿高中数学的一条主线,是主干知识，也是历年数学高考中的考察重点,常考常新.尤其是有了导数和向量这一工具，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题的新途径，拓宽了高考对函数问题的命题空间.

一、 要重视函数概念的复习，深刻体会函数的本质特征.

数学是由概念、命题所组成的逻辑系统，概念是基础，数学当中每一个术语、符号和习惯用语都有着具体的内涵.这些特点反映在考试中就要求考生在解题的时候，要透彻理解概念的含义，弄清楚不同概念之间的区别和联系.

例1. 函数()f x 的图象如图所示：

求()(log ) (01)a g x f x a =<<的单调减区间.

例2： （2006北京高考试卷）

已知(31)4,1()log ,1

a a x a x f x x x -+?是(,)-∞+∞上的减函数，那么

a 的取值范围是 （A ）(0,1) （B ）1

(0,)3 （C ）11[,)73 （D ）

1[,1)7

函数的周期性： ()()f x f x T =+它反映在自变量的变化下函数值变化的一种状态！

例3 若()y f x =是周期为t 的函数，则(21)y f x =+的周期是

如果已知(21)y f x =+的周期是t ，问：()y f x =的周期为多少？

例4．若存在常数p>0，使函数()f x 满足()()2

p f px f px =-

，则()f x 的一个正周期为 练习：若(23)(26)f x f x -=+

① 求函数()y f x =的一个周期；

②求函数(23)y f x =-的一个周期.

奇函数：()()f x f x -=-

代数特征：

几何特征：

例5：如果函数2 3 (x>0)f(x) (x<0)x y -?=??

是奇函数，求f(x)= 偶函数：代数特征：

几何特征：

函数的对称性

一般的：函数()y f x =图象如果关于直线x a =对称?()()f a x f a x +=-

?()(2)f x f a x =-

如: (1)(2)()f x f x y f x +=-?= 图象关于---------对称

()()()f a x f b x y f x

+=-?=图象关于---------对称 研讨1：函数()y f x =，如果满足()()f a x f x a +=- 又会怎样呢？

研讨2：()y f a x =+与()y f a x =-是关于x=a 这条直线对称吗？

研讨3：(1)y f x =-与(1)y f x =-的图象是什么关系？

反函数概念

从函数的角度认识和理解反函数的概念

（1）反函数关心的问题是，C 中的任意元素，在A 中是否有唯一的元素和它对应的问题.也就是，:C A φ→ 是不是也是一个映射？

（2） 不是所有的函数都有反函数.如2y x =，而2x y =就有反函数. 实际上，只有原函数是一

对一的时候，才可能有反函数.

因此，我们有结论：单调函数有反函数.一般函数在定义域上没有反函数，但在其单调区间上就有.如sin y x =，[,]22

x ππ∈-就存在反函数.

例6 设()1f x -是函数()()()112

x x f x a a a -=

->的反函数，则使()11f x ->成立的x 的取值范围为 A 、21(,)2a a -+∞ B 、21(,)2a a --∞ C 、21(,)2a a a

- D 、[,)a +∞ 思考：1(1)f x -+是(1)f x +的反函数吗?

例7：设函数)(,121)(x g x x x f 若+-=的图象与)1(1+=-x f y 的图象关于直线x y =对称， 那么)2(g 值等于 -2

例8. ()y f x =有反函数，且(2)y f x =+的反

函数为1(1)y f x -=-，则11(1)(0)f f ---的值为

（ ）

例9： 对,a b R ∈，定义{} (a b)max , b (a

，求R 上的函数{}()max 1,2f x x x =+-的最小值.例10．R 上的函数()f x 有下列性质：

① 方程()0f x =无实根；

② 对任意,x y R ∈ 都有()()();f x y f x f y +=

③ 对任意0,x <有() 1.f x >

求方程2()()()1x x f x f x e e -+-=的解集.

例11. 函数()f x 定义在R 上，具有以下性质：

① 对任意,x y R ∈都有()()2()();f x y f x y f x f y ++-= ②存在0,()02

C C f ≠=；

③存在,()0.t R f t ∈≠

判断函数()f x 是否具有奇偶性，周期性.

例12 关于x 的方程()() 2 ()x a x b a b --=<的两实根为,αβ，且αβ<，试比较,,,a b αβ的大小.

例13. 比较

1, , In e

ππ这三个实数的大小，说明理由.

例14．2log (4)log (613) (0-的解集中，有且只有两个整数解，求a 的范围.

例15设a 为实数,函数.)(23a x x x x f +--=

(Ⅰ)求)(x f 的极值.(Ⅱ)当a 在什么范围内取值时,曲线x x f y 与)(=轴仅有一个交点.

例16若函数1)1(2

131)(23+-+-=x a ax x x f 在区间（1，4）内为减函数，在区间 （6，+∞）上为增函数，试求实数a 的取值范围.

练习 ()f x 是定义在区间[-c,c]上的奇函数，其图象如图所示.令()()g x af x b =+，则下列关于函数()g x 的叙述正确的是（ ）

A. 若a<0,则函数()g x 的图象关于原点对称；

B. 若a=-1,-2

C. 若0,2a b ≠=，则方程()g x =0有两个实根；

D. 若1,2,a b ≥<则方程()g x =0有三个实根.