江苏省高三数学一轮复习 专题突破训练 立体几何
江苏省2016年高考一轮复习专题突破训练
立体几何
一、填空题
1、(2015年江苏高考)现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个,若将它们制作成总体积和高均保持不变,但底面半径相同的新圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为______7______________。
2、(2014年江苏高考)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为21S ,S ,体积分别为21V ,V ,若它们的侧面积相等,
49S S 21=,则=2
1V V
▲ . 3、(2013年江苏高考)如图,在三棱柱ABC C B A -111中,F E D ,,分别是1AA AC AB ,,的中点,设三棱锥ADE F -的体积为1V ,三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ,则
=21:V V 。
4、(2015届南京、盐城市高三二模)已知平面α,β,直线n m ,,给出下列命题:
①若α//m ,n m n ⊥,//β,则βα⊥,②若βα//,βα//,//n m ,则n m ||,③若n m n m ⊥⊥⊥,,βα,则βα⊥,④若βα⊥,βα⊥⊥n m ,,则n m ⊥.
其中是真命题的是 。(填写所有真命题的序号)。
5、(南通、扬州、连云港2015届高三第二次调研(淮安三模))如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB =3 cm ,AD =2 cm ,1AA =1 cm ,则三棱锥11B ABD - 的体积为 ▲ cm 3
.
6、(苏锡常镇四市2015届高三教学情况调研(二))已知圆锥的底面半径和高相等,
侧面积为42π,过圆锥的两条母线作截面,截面为等边三角形,则圆锥底面中心到截面的距离为 ▲
7、(泰州市2015届高三第二次模拟考试)若圆柱的侧面积和体积的值都是12π,则该圆柱的高为 ▲
8、(盐城市2015届高三第三次模拟考试)已知正四棱锥P ABCD -的体积为4
3
错误!未找到引用
源。,底面边长为2错误!未找到引用源。,则侧棱PA 的长为 ▲
9、(泰州市2015届高三上期末)若αβ、是两个相交平面,则在下列命题中,真命题的序号为 ▲ .(写出所有真命题的序号) ①若直线m α⊥,则在平面β内,一定不存在与直线m 平行的直线. ②若直线m α⊥,则在平面β内,一定存在无数条直线与直线m 垂直. ③若直线m α?,则在平面β内,不一定存在与直线m 垂直的直线. ④若直线m α?,则在平面β内,一定存在与直线m 垂直的直线.
10、(无锡市2015届高三上期末)三棱锥P ABC -中,,D E 分别为,PB PC 的中点,记三棱锥D ABE -的体积为1V ,P ABC -的体积为2V ,则
1
2
V V = 11、(2015届江苏南京高三9月调研)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆,则这个圆锥的高是 ▲
12、(2015届江苏南通市直中学高三9月调研)如图,各条棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中,
M 为11A C 的中点,则三棱锥1M AB C -的
体积为 ▲
13、(2015届江苏苏州高三9月调研)若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积
分别记为1S 、2,S 则有12:S S = ▲
14、(苏锡常镇四市2014届高三5月调研(二))已知△ABC 为等腰直角三角形,斜边BC 上的中线AD = 2,将△ABC 沿AD 折成60°的二面角,连结BC ,则三棱锥C - ABD 的体积为 ▲ 15、(南京、盐城市2014届高三第二次模拟(淮安三模))表面积为12π的圆柱,当其体积最大时,该圆柱的底面半径与高的比为 ▲
二、解答题
1、(2015年江苏高考)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,已知AC BC ⊥,1BC CC =。设1AB 的中点为D ,11B C BC E =I 。
求证: (1)11//DE AACC 平面 (2)11BC AB ⊥。
2、(2014年江苏高考)如图,在三棱锥P 错误!未找到引用源。ABC 中,D,E,F 分别为棱PC,AC,AB 的中点。已知PA ⊥AC ,PA=6,BC=8,DF=5.
求证:(1)直线PA ∥平面DEF; (2)平面BDE ⊥平面ABC. 3、(2013年江苏高考)如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,BC AB ⊥,AB AS =,过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别是棱SC SA ,的中点.
A B
C
D
M
N
Q
(第15题) 求证:(1)平面//EFG 平面ABC ; (2)SA BC ⊥.
4、(2015届南京、盐城市高三二模)如图,在四棱锥P —ABCD 中,AB CD AD 2
1
=
=,DC AB ||,CD AD ⊥,ABCD PC 平面⊥.(1)求证:⊥BC 平面PAC ;(2)若M 为线段PA 的中点,且过C,D,M 三点的平面与PB 交于点N ,求PN :PB 的值。
5、(南通、扬州、连云港2015届高三第二次调研(淮安三模))如图,在四面体ABCD 中,平面BAD ⊥平面CAD ,BAD ∠=90°.M ,N ,Q 分别为棱AD ,
BD ,AC 的中点.
(1)求证://CD 平面MNQ ; (2)求证:平面MNQ ⊥平面CAD .
6、(苏锡常镇四市2015届高三教学情况调研(二))如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD
A
B
S
G
F
E
(第16题图)
P
A
B
C
D
M
是矩形,2,2AB AD ==,
PD ⊥平面ABCD ,,E F 分别为,CD PB 的中点
求证:(1)//CF 平面PAE ; (2)AE ⊥平面PBD
7、(泰州市2015届高三第二次模拟考试)如图,矩形ABCD 所在平面与直角三角形ABE 所在平面互相垂直,BE AE ⊥,点N M ,分别是CD AE ,的中点.
(1)求证: MN ∥平面BCE ; (2)求证:平面⊥BCE 平面ADE .
8、(盐城市2015届高三第三次模拟考试)如图,已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形,对角线
,AC BD 交于点O ,4OA =,3OB =,4OP =,OP ⊥底面ABCD ,设点M 满足(0)PM MC λλ=>u u u u r u u u u r
.
(1)当1
2
λ=时,求直线PA 与平面BDM 所成角的正弦值; (2)若二面角M AB C --的大小为4
π
,求λ的值.
9、(2015届江苏南京高三9月调研)如图,已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =3,BC =2,CC 1=5,
N M A D E O
D
M
E 是棱CC 1上不同于端点的点,且CE →=λCC 1→
.
(1) 当∠BEA 1为钝角时,求实数λ的取值范围;
(2) 若λ=2
5
,记二面角B 1-A 1B -E 的的大小为θ,求|cos θ|.
10、(2015届江苏南通市直中学高三9月调研)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,
PA CD ⊥.
(1)求证:直线//AB 平面PCD ; (2)求证:平面PAD ⊥平面PCD .
11、(苏州市2015届高三上期末)如图,已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直,
(第22题图)
A
B
C
D
E
A 1
B 1
C 1
D
1
2,1
AB AF
==.
(1)求二面角A-DF-B的大小;
(2)试在线段AC上确定一点P,使PF与BC所成角为60?.
12、(泰州市2015届高三上期末)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是菱形,,
AC BD 相交于点O,//
EF AB,2
AB EF
=,平面BCF⊥平面ABCD,BF CF
=,点G为BC的中点.
(1)求证:直线//
OG平面EFCD;
(2)求证:直线AC⊥平面ODE.
13、(泰州市2015届高三上期末)如图,在长方体ABCD A B C D
''''
-中,2
DA DC
==,1
DD'=,
A C''与
B D''相交于点O',点P在线段BD上(点P与点B不重合).
(1)若异面直线O P'与BC'所成角的余弦值为
55
,求DP的长
度;
(2)若
32
DP=,求平面PA C''与平面DC B'所成角的正弦值.
参考答案
一、填空题
G
O
F
C
A B
D
E
1、设底面半径为r ,则有
222544
48833r r ππππ??+?=+?,解得7r = 2、2
3
3、
24
1
21413131311111211
21=
??====--h h S S Sh h
S V V V V C B A ABC ADE F 棱柱三棱锥 4、③④ 5、1 6、
23
7、3 8、3 9、②④ 10、14
11、 3 12、23 13、3:2 14、
15、1
2
二、解答题
1、证明:(1)因为D 为1AB 中点,E 为1CB 中点,所以//DE AC ,又11AC AAC C ∈平面, 11DE AAC C ?平面,所以11//DE AAC C 平面。
(2)直三棱柱中1BC CC =11BCC B ?四边形为正方形11BC B C ?⊥,又知道
11111111,AC BC
AC CC AC BB C C BC CC BB C C AC BB C C ⊥?
?⊥?
?⊥?∈????平面平面平面,而111BC BB C C ∈平面,所以
1AC BC ⊥。由111111111,BC B C
BC AC BC AB C AC B C AB C BC AB C ⊥?
?⊥?
?⊥?∈????
平面平面平面,又11AB AB C ∈平面,所
以11BC AB ⊥。证毕。
2、(1)∵D,E,分别为PC,AC,的中点 ∴DE ∥PA 又∵DE
?平面PAC ,PA ?平面PAC
∴直线PA ∥平面DEF
(2)∵E,F 分别为棱AC,AB 的中点,且 BC=8,由中位线知EF=4
∵D,E,分别为PC,AC,的中点,且PA=6,由中位线知DE=3,又∵DF=5
∴DF 2=EF 2+DE 2=25,∴DE ⊥EF ,又∵DE ∥PA ,∴PA ⊥EF ,又∵PA ⊥AC ,又∵AC ? EF=E ,AC
?平
面ABC ,EF ?平面ABC ,∴PA ⊥平面ABC ,∴DE ⊥平面ABC ,∵DE ?平面BDE ,∴平面BDE ⊥平面
ABC
3、证明:(1)∵AB AS =,SB AF ⊥∴F 分别是SB 的中点 ∵E .F 分别是SA .SB 的中点 ∴EF ∥AB
又∵EF ?平面ABC, AB ?平面ABC ∴EF ∥平面ABC
同理:FG ∥平面ABC
又∵EF I FG=F, EF .FG ?平面ABC ∴平面//EFG 平面ABC
(2)∵平面⊥SAB 平面SBC 平面SAB I 平面SBC =BC AF ?平面SAB AF ⊥SB
∴AF ⊥平面SBC 又∵BC ?平面SBC ∴AF ⊥BC
又∵BC AB ⊥, AB I AF=A, AB .AF ?平面SAB ∴BC ⊥平面SAB 又∵SA ?平面SAB ∴BC ⊥SA 4、证明:(1)连结AC .不妨设AD =1.
因为AD =CD =1
2AB ,所以CD =1,AB =2.
因为∠ADC =90?,所以AC =2,∠CAB =45?.
在△ABC 中,由余弦定理得BC =2,所以AC 2
+BC 2
=AB 2
.
所以BC ⊥AC . …………………… 3分 因为PC ⊥平面ABCD ,BC ?平面ABCD ,所以BC ⊥PC . …………………… 5分 因为PC ?平面PAC ,AC ?平面PAC ,PC ∩AC =C ,
所以BC ⊥平面PAC . …………………… 7分 (2)如图,因为AB ∥DC ,CD ?平面CDMN ,AB ?平面CDMN ,
所以AB ∥平面CDMN . …………………… 9分 因为AB ?平面PAB , 平面PAB ∩平面CDMN =MN ,
所以AB ∥MN . …………………… 12分 在△PAB 中,因为M 为线段PA 的中点, 所以N 为线段PB 的中点,
即PN :PB 的值为1
2. …………………… 14分
5、证明:(1)因为M ,Q 分别为棱AD ,AC 的中点,
所以//MQ CD , …… 2分 又CD ?平面MNQ ,MQ ?平面MNQ ,
故//CD 平面MNQ . …… 6分
(第16题图)
P
A
B
C
D
M
N
(2)因为M,N分别为棱AD,BD的中点,所以//
MN AB,
又90
⊥.…… 8分BAD
∠=°,故MN AD
因为平面BAD⊥平面CAD,平面BAD I平面CAD AD
=,且MN?平面ABD,所以MN⊥平面ACD.…… 11分
又MN?平面MNQ,
平面MNQ⊥平面CAD.…… 14分(注:若使用真命题“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面”证明“MN⊥平面ACD”,扣1分.)
6、
7、证:(1)取BE 中点F ,连接,CF MF , 又M 是AE 中点,则1
//,2
MF AB MF AB =, 又N 是矩形ABCD 边CD 中点,
所以//,MF NC MF NC =,则四边形MNCF 是平行四边形,
所以//MN CF ,又MN ?面BCE ,CF ?面BCE ,所以MN ∥平面BCE .…7分 (2)因为平面ABCD ⊥平面ABE ,BC AB ⊥,所以BC ⊥平面ABE , 因为AE ?平面ABE ,所以BC AE ⊥,
又BE AE ⊥,BC BE B ?=,所以AE ⊥平面BCE ,
而AE ?平面ADE ,所以平面⊥BCE 平面ADE . ……………14分 8、解:(1)以O 为坐标原点,建立坐标系O ABP -,则(4,0,0)A ,(0,3,0)B ,(4,0,0)C -,
(0,3,0)D -,(0,0,4)P ,所以
(4,0,4)PA =-u u u r ,(0,6,0)DB =u u u r ,(4,3,0)AB =-u u u r .当12
λ=时,得48(,0,)33M -,所以48(,3,)33MB =-u u u r ,设平面BDM 的法向量(,,)n x y z =r ,则6048
303
3y x y z =??
?+-=??,得0y =,
令2x =,则1z =,所以平面BDM 的一个法向量(2,0,1)n =r
,
所
以10
cos ,425
PA n =
=?u u u r r
,即直线PA 与平面BDM 所成角的正弦值10
10
.………………5分 (2)易知平面ABC 的一个法向量1(0,0,1)n =u r
.
设(,0,)M a b ,代入PM MC λ=u u u u r u u u u r
,得(,0,4)(4,0,)a b a b λ-=---, 解得4141a b λλλ-?=??+??=?+?
,即44(,0,)11M λλλ-++,所以44(,3,)11MB λλλ-=++u u u r ,
设平面BDM 的法向量2(,,)n x y z =u u r ,则43044
3011x y x y z λλ
λ-+=???+-=?++?, 消去y ,得(21)x z λ+=,令1x =,则21z λ=+,43
y =
, 所以平面BDM 的一个法向量24
(1,,21)3
n λ=+u u r ,
所以
2
221
2
161(21)
9
λλ+=+++,解得13λ=或43-,因为0λ>,所以13λ=.……………10分
9、解:(1)以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
由题设,知B (2,3,0),A 1(2,0,5),C (0,3,0),C 1(0,3,5).
因为CE →=λCC 1→
,所以E (0,3,5λ).
从而EB →=(2,0,-5λ),EA 1→
=(2,-3,5-5λ).…… 2分 当∠BEA 1为钝角时,cos ∠BEA 1<0,
所以EB →·EA 1→
<0,即2×2-5λ(5-5λ)<0, 解得15<λ<45
.
即实数λ的取值范围是(15,4
5
). …………………………………… 5分
(2)当λ=25
时,EB →=(2,0,-2),EA 1→
=(2,-3,3).
设平面BEA 1的一个法向量为n 1=(x ,y ,z ),
由?????n 1·EB →=0,n 1·EA 1→=0
得???2x -2z =0,2x -3y +3z =0,
取x =1,得y =5
3
,z =1,
所以平面BEA 1的一个法向量为n 1=(1,5
3,1). ………………………………… 7分
易知,平面BA 1B 1的一个法向量为n 2=(1,0,0).
因为cos< n 1,n 2>=n 1·n 2| n 1|·| n 2|=1 43
9
=3
43
43
,
从而|cos θ|=3 43
43. …………………………………… 10分
10、(1)证明:∵ABCD 为矩形,∴//AB CD . ………………………………………………2分
又DC ?面PDC ,AB ?面PDC ,……………………………………………………4分 ∴//AB 面PDC . ……………………………………………………………………7分 (2)证明: ∵ABCD 为矩形, ∴CD AD ⊥, ……………………………………………9分
又PA ⊥CD ,PA AD A =I , PA AD ?,平面PAD ,
∴CD ⊥平面PAD . …………………………………………………………………11分 又CD ?面PDC ,∴面PAD ⊥面PCD . ………………………………………14分
11、
12、证明(1)∵四边形ABCD 是菱形,AC BD O =I ,∴点O 是BD 的中点,
∵点G 为BC 的中点 ∴//OG CD , ………………3分 又∵OG ?平面EFCD ,CD ?平面EFCD ,∴直线//OG 平面EFCD .………7分
(2)∵ BF CF =,点G 为BC 的中点, ∴FG BC ⊥, ∵平面BCF ⊥平面ABCD ,平面BCF I 平面ABCD BC =, FG ?平面BCF ,FG BC ⊥ ∴FG ⊥平面ABCD , ………………9分
∵AC ?平面ABCD ∴FG AC ⊥, ∵1//,2OG AB OG AB =
,1
//,2
EF AB EF AB =,∴//,OG EF OG EF =, ∴四边形EFGO 为平行四边形, ∴//FG EO , ………………11分 ∵FG AC ⊥,//FG EO ,∴AC EO ⊥, ∵四边形ABCD 是菱形,∴AC DO ⊥, ∵AC EO ⊥,AC DO ⊥,EO DO O =I ,EO DO 、在平面ODE 内,
∴AC ⊥平面ODE . ………………14分
13、解:(1)以,,DA DC DD 'u u u r u u u r u u u u r
为一组正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -,
由题意,知(0,0,0)D ,(2,0,1)A ',
(2,2,0)B ,(0,2,1)C ',(1,1,1)O '.设(,,0)P t t , ∴(1,1,1)O P t t '=---u u u r ,(2,0,1)BC '=-u u u u r
.
设异面直线O P '与BC '所成角为θ,
则cos O P BC O P BC θ''?==
=''?u u u r u u u u r u u u r u u u u r 化简得:2
212040t t -+=,解得:23t =
或2
7
t =,
DP =
DP =. ………………5分 (2
)∵2DP =
,∴33
(,,0)22
P , (0,2,1)DC '=u u u u r ,(2,2,0)DB =u u u r ,13(,,1)22PA '=-u u u r ,31
(,,1)22
PC '=-u u u u r ,
设平面DC B '的一个法向量为1111(,,)n x y z =u r
,
∴110
n DC n DB ?'?=???=??u r u u u u r
u r u u u r
,∴111120220y z x y +=??+=?,即11112z y x y =-??=-?,取11y =-,1(1,1,2)n =-u r , 设平面PA C ''的一个法向量为2222(,,)n x y z =u u r
,
∴220
0n PA n PC ?'?=??'?=??u u r u u u r u u r u u u u r
,∴2222221302231022
x y z x y z ?-+=????-++=??,即2222z y x y =??=?,取21y =,2(1,1,1)n =u u r , 设平面PA C ''与平面DC B '所成角为?,
∴12
12
cos 3n n n n ??==
=?u r u u r
u r u u r ,
∴sin 3
?=. ………………10分
高三数学知识点总结:立体几何
2019年高三数学知识点总结:立体几何 由查字典数学网高中频道提供,2019年高三数学知识点总结:立体几何,因此老师及家长请认真阅读,关注孩子的成长。 立体几何初步 (1)棱柱: 定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示:用各顶点字母,如五棱锥 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 (3)棱台:
定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示:用各顶点字母,如五棱台 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱: 定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥: 定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台: 定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。
届高三文科数学立体几何专题训练
2015届高三数学(文)立体几何训练题 1、如图3,AB 是⊙O 的直径,PA 垂直于⊙O 所在的平面,C 是圆周上不同于A 、B 的一点. ⑴求证:平面PAC ⊥平面PBC ; ⑵若PA=AB=2,∠ABC=30°,求三棱锥P -ABC 的体积. 2、如图,已知P A ?⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,AB =2,C 是⊙O 上一点,且AC =BC =P A ,E 是PC 的中点,F 是PB 的中点. (1)求证:EF 3、如图,四棱柱1111D C B A ABCD -中,A A 1?底面ABCD ,且41=A A . 梯 形ABCD 的面积为6,且AD 平面DCE A 1与B B 1交于点E . (1)证明:EC D A 111A ABB 4、如图,已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1,AA 1=AB =2a ,D 、E 分别为CC 1、A 1B 的中 点. (1)求证:DE ∥平面ABC ; (2)求证:AE ⊥BD ; (3)求三棱锥D —A 1BA 的体积 . 5.如图,矩形ABCD 中,3AB =,4=BC .E ,F 分别在线段BC 和AD 上,EF ∥AB , 将矩形ABEF 沿EF 折起.记折起后的矩形为MNEF ,且平面⊥MNEF 平面ECDF . (Ⅰ)求证:NC ∥平面MFD ; P A B C O E F A B C D E A 1 B 1 C 1 D 1 A D F
F E A (Ⅱ)若3EC =,求证:FC ND ⊥; (Ⅲ)求四面体CDFN 体积的最大值. 6、如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面ABC,090=∠BCA ,AP=AC, 点D ,E 分别在棱,PB PC 上,且BC (Ⅰ)求证:D E ⊥平面PAC ; (Ⅱ)若PC ⊥AD ,且三棱锥P ABC -的体积为8,求多面体ABCED 的体积。 7、如图:C 、D 是以AB 为直径的圆上两点,==AD AB 232,BC AC =,F 是AB 上一点, 且AB AF 3 1 =,将圆沿直径AB 折起,使点C 在平面ABD 的射影E 在BD 上,已知2=CE . (1)求证:⊥AD 平面BCE ; (2)求证://AD 平面CEF ; (3)求三棱锥CFD A -的体积. 8、如图甲,在平面四边形ABCD 中,已知45,90,105,o o o A C ADC ∠=∠=∠=A B BD =,现将四边 形ABCD 沿BD 折起,使平面ABD ⊥平面BDC (如图乙),设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点. (1)求证:DC ⊥平面ABC ;
2015届高三数学立体几何专题训练及详细答案
2015届高三数学立体几何专题训练 1.(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A .16+8π B .8+8π C .16+16π D .8+16π 解析:选A. 原几何体为组合体:上面是长方体,下面是圆柱的一半(如图所示),其体积为V =4×2×2+1 2 π×22×4=16+8π. 2.(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ,如果不计容器厚度,则球的体积为( ) A.500π3 cm 3 B.866π3 cm 3 C.1 372π3 cm 3 D.2 048π3 cm 3 解析:选A. 如图,作出球的一个截面,则MC =8-6=2(cm), BM =12AB =1 2 ×8=4(cm). 设球的半径为R cm ,则R 2=OM 2+MB 2=(R -2)2+42,∴R =5, ∴V 球=43π×53=500π 3 (cm 3). 3.(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)已知m ,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ,l ⊥n ,l ?α,l ?β,则( ) A .α∥β且l ∥α B .α⊥β且l ⊥β
C .α与β相交,且交线垂直于l D .α与β相交,且交线平行于l 解析:选D. 根据所给的已知条件作图,如图所示. 由图可知α与β相交,且交线平行于l ,故选D. 4.(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33 C.23 D.13 解析:选A.法一: 如图,连接AC ,交B D 于点O ,由正四棱柱的性质,有AC ⊥B D.因为CC 1⊥平面ABC D ,所以CC 1⊥B D.又CC 1∩AC =C ,所以B D ⊥平面CC 1O .在平面CC 1O 内作CH ⊥C 1O ,垂足为H ,则B D ⊥CH .又B D ∩C 1O =O ,所以CH ⊥平面B D C 1,连接D H ,则D H 为C D 在平面B D C 1上的射影,所以∠C D H 为C D 与平面B D C 1所成的角.设AA 1=2AB =2.在Rt △COC 1中,由 等面积变换易求得CH =23.在Rt △C D H 中,s in ∠C D H =CH CD =2 3 . 法二: 以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,设AA 1=2AB =2,则D(0,0,0),C (0,1,0), B (1,1,0), C 1(0,1,2),则DC →=(0,1,0),DB →=(1,1,0),DC 1→ =(0,1,2). 设平面B D C 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则 n ⊥DB →,n ⊥DC 1→ ,所以有????? x +y =0,y +2z =0, 令y =-2,得平面B D C 1的一个法向量为n =(2, -2,1). 设C D 与平面B D C 1所成的角为θ,则s in θ=|co s n ,DC → =???? ??n ·DC →|n ||DC →|=23. 5.(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33
立体几何专题训练(附答案)
立体几何 G5 空间中的垂直关系 18.、[2014·广东卷] 如图1-4,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC于点F,FE∥CD,交PD于点E. (1)证明:CF⊥平面ADF; (2)求二面角D- AF- E的余弦值. 图1-4 19.、[2014·湖南卷] 如图1-6所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD =O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形. (1)证明:O1O⊥底面ABCD; (2)若∠CBA=60°,求二面角C1-OB1-D的余弦值. 19.解:(1)如图(a),因为四边形ACC1A1为矩形,所以CC1⊥AC.同理DD1⊥BD. 因为CC1∥DD1,所以CC1⊥BD.而AC∩BD=O,因此CC1⊥底面ABCD. 由题设知,O1O∥C1C.故O1O⊥底面ABCD. (2)方法一:如图(a),过O1作O1H⊥OB1于H,连接HC1. 由(1)知,O1O⊥底面ABCD O1O⊥A1C1. 又因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,所以四边形A1B1C1D1是菱形, 因此A1C1⊥B1D1,从而A1C1⊥平面BDD1B1,所以A1C1⊥OB1,于是OB1⊥平面O1HC1. 进而OB1⊥C1H.故∠C1HO1是二面角C1-OB1-D的平面角.
不妨设AB =2.因为∠CBA =60°,所以OB =3,OC =1,OB 1=7. 在Rt △OO 1B 1中,易知O 1H =OO 1·O 1B 1OB 1=237.而O 1C 1=1,于是C 1H =O 1C 21+O 1H 2 = 1+12 7 = 197 . 故cos ∠C 1HO 1=O 1H C 1H = 23 7197 =25719. 即二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为257 19 . 方法二:因为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等,所以四边形ABCD 是菱形,因此AC ⊥BD .又O 1O ⊥底面ABCD ,从而OB ,OC ,OO 1两两垂直. 如图(b),以O 为坐标原点,OB ,OC ,OO 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系O -xyz ,不妨设AB =2.因为∠CBA =60°,所以OB =3,OC =1,于是相关各点的坐标为O (0,0,0), B 1(3,0,2), C 1(0,1,2). 易知,n 1=(0,1,0)是平面BDD 1B 1的一个法向量. 设n 2=(x ,y ,z )是平面OB 1C 1的一个法向量,则?????n 2·OB →1=0,n 2·OC →1=0,即???3x +2z =0, y +2z =0. 取z =-3,则x =2,y =23,所以n 2=(2,23,-3). 设二面角C 1-OB 1-D 的大小为θ,易知θ是锐角,于是 cos θ=|cos 〈,〉|=??????n 1·n 2|n 1|·|n 2|=2319=25719. 故二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为25719 . 19. 、、[2014·江西卷] 如图1-6,四棱锥P - ABCD 中,ABCD 为矩形,平面PAD ⊥平面ABCD . 图1-6 (1)求证:AB ⊥PD .
高中数学立体几何专题
高中课程复习专题——数学立体几何 一空间几何体 ㈠空间几何体的类型 1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 ㈡几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形, 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所 围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱的性质 ⑴侧棱都相等,侧面是平行四边形; ⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ⑷直棱柱的侧棱长与高相等,侧面的对角面是矩形。 长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和:AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成图1-2 长方体
的角分别是α、β、γ,那么: cos2α + cos2β + cos2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ,则: cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 棱柱的侧面展开图:正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 棱柱的面积和体积公式 S直棱柱侧面 = c·h (c为底面周长,h为棱柱的高) S直棱柱全 = c·h+ 2S底 V棱柱 = S底·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义:以矩形的一边所在的直线 为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成 的几何体叫圆柱。 图1-3 圆柱 2-2 圆柱的性质 ⑴上、下底及平行于底面的截面都是等圆; ⑵过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 2-4 圆柱的面积和体积公式 S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径,h为圆柱的高) S圆柱全= 2π r h + 2π r2 V圆柱 = S底h = πr2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴棱锥:有一个面是多边形,其余各面是 有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成 的几何体叫做棱锥。
高三文科数学立体几何平行垂直问题专题复习(含答案)
高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题 【基础知识点】 一、平行问题 1.直线与平面平行的判定与性质 定义判定定理性质性质定理 图形 条件a∥α 结论a∥αb∥αa∩α=a∥b 2. 面面平行的判定与性质 判定 性质 定义定理 图形 条件α∥β,a?β 结论α∥βα∥βa∥b a∥α 平行问题的转化关系: 二、垂直问题 一、直线与平面垂直 1.直线和平面垂直的定义:直线l与平面α内的都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.2.直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言图形语言符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平 面垂直 推论 如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直这个平面
文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一个平面的 两条直线平行 4.直线和平面垂直的常用性质 ①直线垂直于平面,则垂直于平面内任意直线. ②垂直于同一个平面的两条直线平行. ③垂直于同一条直线的两平面平行. 二、平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平 面的垂线,则这两个平 面垂直 2.平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直,则一个 平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平 面 类型一、平行与垂直 例1、如图,已知三棱锥A BPC -中,,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB 中点,D 为PB 中点, 且△PMB 为正三角形。(Ⅰ)求证:DM ∥平面APC ; (Ⅱ)求证:平面ABC ⊥平面APC ; (Ⅲ)若BC 4=,20AB =,求三棱锥D BCM -的体积。 M D A P B C