江苏省高三数学一轮复习 专题突破训练 立体几何

江苏省2016年高考一轮复习专题突破训练立体几何一、填空题1、（2015年江苏高考）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们制作成总体积和高均保持不变，但底面半径相同的新圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为______7______________。

2、（2014年江苏高考）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为21S ,S ，体积分别为21V ,V ，若它们的侧面积相等，49S S 21=，则=21V V▲ ． 3、（2013年江苏高考）如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V 。

4、（2015届南京、盐城市高三二模）已知平面α，β，直线n m ,，给出下列命题：①若α//m ，n m n ⊥,//β，则βα⊥，②若βα//，βα//,//n m ，则n m ||，③若n m n m ⊥⊥⊥,,βα，则βα⊥，④若βα⊥，βα⊥⊥n m ,，则n m ⊥.其中是真命题的是 。

（填写所有真命题的序号）。

5、（南通、扬州、连云港2015届高三第二次调研（淮安三模））如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =3 cm ，AD =2 cm ，1AA =1 cm ，则三棱锥11B ABD - 的体积为 ▲ cm 3．6、（苏锡常镇四市2015届高三教学情况调研（二））已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为42π，过圆锥的两条母线作截面，截面为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为 ▲7、（泰州市2015届高三第二次模拟考试）若圆柱的侧面积和体积的值都是12π，则该圆柱的高为 ▲8、（盐城市2015届高三第三次模拟考试）已知正四棱锥P ABCD -的体积为43错误!未找到引用源。

，底面边长为2错误!未找到引用源。

，则侧棱PA 的长为 ▲9、（泰州市2015届高三上期末）若αβ、是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为 ▲ ．（写出所有真命题的序号） ①若直线m α⊥，则在平面β内，一定不存在与直线m 平行的直线． ②若直线m α⊥，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m 垂直． ③若直线m α⊂，则在平面β内，不一定存在与直线m 垂直的直线． ④若直线m α⊂，则在平面β内，一定存在与直线m 垂直的直线．10、（无锡市2015届高三上期末）三棱锥P ABC -中，,D E 分别为,PB PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V = 11、（2015届江苏南京高三9月调研）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是 ▲12、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）如图，各条棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，M 为11A C 的中点，则三棱锥1M AB C -的体积为 ▲13、（2015届江苏苏州高三9月调研）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为1S 、2,S 则有12:S S = ▲14、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））已知△ABC 为等腰直角三角形，斜边BC 上的中线AD = 2，将△ABC 沿AD 折成60°的二面角，连结BC ，则三棱锥C - ABD 的体积为 ▲ 15、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲二、解答题1、（2015年江苏高考）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AC BC ⊥，1BC CC =。

设1AB 的中点为D ，11B C BC E =I 。

求证： （1）11//DE AACC 平面 （2）11BC AB ⊥。

2、（2014年江苏高考）如图，在三棱锥P 错误!未找到引用源。

ABC 中，D,E,F 分别为棱PC,AC,AB 的中点。

已知PA ⊥AC ，PA=6,BC=8，DF=5.求证：（1）直线PA ∥平面DEF; （2）平面BDE ⊥平面ABC. 3、（2013年江苏高考）如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ，BC AB ⊥，AB AS =，过A 作SB AF ⊥，垂足为F ，点G E ，分别是棱SC SA ，的中点.A BCDMNQ（第15题） 求证：（1）平面//EFG 平面ABC ； （2）SA BC ⊥.4、（2015届南京、盐城市高三二模）如图，在四棱锥P —ABCD 中，AB CD AD 21==，DC AB ||，CD AD ⊥，ABCD PC 平面⊥.（1）求证：⊥BC 平面PAC ；（2）若M 为线段PA 的中点，且过C，D，M 三点的平面与PB 交于点N ，求PN ：PB 的值。

5、（南通、扬州、连云港2015届高三第二次调研（淮安三模））如图，在四面体ABCD 中，平面BAD ⊥平面CAD ，BAD ∠=90°．M ，N ，Q 分别为棱AD ，BD ，AC 的中点．（1）求证：//CD 平面MNQ ； （2）求证：平面MNQ ⊥平面CAD ．6、（苏锡常镇四市2015届高三教学情况调研（二））如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCDABSGFE(第16题图)PABCDM是矩形，2,2AB AD ==，PD ⊥平面ABCD ，,E F 分别为,CD PB 的中点求证：（1）//CF 平面PAE ； （2）AE ⊥平面PBD7、（泰州市2015届高三第二次模拟考试）如图，矩形ABCD 所在平面与直角三角形ABE 所在平面互相垂直，BE AE ⊥，点N M ,分别是CD AE ,的中点．（1）求证： MN ∥平面BCE ； （2）求证：平面⊥BCE 平面ADE ．8、（盐城市2015届高三第三次模拟考试）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，对角线,AC BD 交于点O ，4OA =，3OB =，4OP =，OP ⊥底面ABCD ，设点M 满足(0)PM MC λλ=>u u u u r u u u u r.（1）当12λ=时，求直线PA 与平面BDM 所成角的正弦值； （2）若二面角M AB C --的大小为4π，求λ的值.9、（2015届江苏南京高三9月调研）如图，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，BC ＝2，CC 1＝5，N M A D E ODME 是棱CC 1上不同于端点的点，且CE →＝λCC 1→．（1） 当∠BEA 1为钝角时，求实数λ的取值范围；（2） 若λ＝25，记二面角B 1－A 1B －E 的的大小为θ，求|cos θ|．10、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA CD ⊥．（1）求证：直线//AB 平面PCD ； （2）求证：平面PAD ⊥平面PCD ．11、（苏州市2015届高三上期末）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，（第22题图）ABCDEA 1B 1C 1D12,1AB AF==.（1）求二面角A-DF-B的大小；（2）试在线段AC上确定一点P，使PF与BC所成角为60︒.12、（泰州市2015届高三上期末）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，,AC BD 相交于点O，//EF AB，2AB EF=，平面BCF⊥平面ABCD，BF CF=，点G为BC的中点．（1）求证：直线//OG平面EFCD；（2）求证：直线AC⊥平面ODE．13、（泰州市2015届高三上期末）如图，在长方体ABCD A B C D''''-中，2DA DC==，1DD'=，A C''与B D''相交于点O'，点P在线段BD上（点P与点B不重合）．(1)若异面直线O P'与BC'所成角的余弦值为55，求DP的长度;(2)若32DP=，求平面PA C''与平面DC B'所成角的正弦值．参考答案一、填空题GOFCA BDE1、设底面半径为r ，则有22254448833r r ππππ⨯⨯+⨯=+⨯，解得7r = 2、233、2412141313131111121121=••====--h h S S Sh hS V V V V C B A ABC ADE F 棱柱三棱锥 4、③④ 5、1 6、237、3 8、3 9、②④ 10、1411、 3 12、23 13、3：2 14、15、12二、解答题1、证明：（1）因为D 为1AB 中点，E 为1CB 中点，所以//DE AC ，又11AC AAC C ∈平面, 11DE AAC C ∉平面，所以11//DE AAC C 平面。

（2）直三棱柱中1BC CC =11BCC B ⇒四边形为正方形11BC B C ⇒⊥，又知道11111111,AC BCAC CC AC BB C C BC CC BB C C AC BB C C ⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬∈⎪⎪∉⎭平面平面平面，而111BC BB C C ∈平面，所以1AC BC ⊥。

由111111111,BC B CBC AC BC AB C AC B C AB C BC AB C ⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬∈⎪⎪∉⎭平面平面平面，又11AB AB C ∈平面，所以11BC AB ⊥。

证毕。

2、（1）∵D,E,分别为PC,AC,的中点 ∴DE ∥PA 又∵DE⊂平面PAC ，PA ⊄平面PAC∴直线PA ∥平面DEF（2）∵E,F 分别为棱AC,AB 的中点，且 BC=8，由中位线知EF=4∵D,E,分别为PC,AC,的中点，且PA=6，由中位线知DE=3，又∵DF=5∴DF ²=EF ²+DE ²=25，∴DE ⊥EF ，又∵DE ∥PA ，∴PA ⊥EF ，又∵PA ⊥AC ，又∵AC ⋂ EF=E ，AC⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，∴PA ⊥平面ABC ，∴DE ⊥平面ABC ，∵DE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABC3、证明：（1）∵AB AS =，SB AF ⊥∴F 分别是SB 的中点 ∵E ．F 分别是SA ．SB 的中点 ∴EF ∥AB又∵EF ⊄平面ABC, AB ⊆平面ABC ∴EF ∥平面ABC同理：FG ∥平面ABC又∵EF I FG=F, EF ．FG ⊆平面ABC ∴平面//EFG 平面ABC（2）∵平面⊥SAB 平面SBC 平面SAB I 平面SBC =BC AF ⊆平面SAB AF ⊥SB∴AF ⊥平面SBC 又∵BC ⊆平面SBC ∴AF ⊥BC又∵BC AB ⊥, AB I AF=A, AB ．AF ⊆平面SAB ∴BC ⊥平面SAB 又∵SA ⊆平面SAB ∴BC ⊥SA 4、证明：（1）连结AC ．不妨设AD ＝1．因为AD ＝CD ＝12AB ，所以CD ＝1，AB ＝2．因为∠ADC ＝90︒，所以AC ＝2，∠CAB ＝45︒．在△ABC 中，由余弦定理得BC ＝2，所以AC 2＋BC 2＝AB 2．所以BC ⊥AC ． …………………… 3分 因为PC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥PC ． …………………… 5分 因为PC ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PC ∩AC ＝C ，所以BC ⊥平面PAC ． …………………… 7分 （2）如图，因为AB ∥DC ，CD ⊂平面CDMN ，AB ⊄平面CDMN ，所以AB ∥平面CDMN ． …………………… 9分 因为AB ⊂平面PAB ， 平面PAB ∩平面CDMN ＝MN ，所以AB ∥MN ． …………………… 12分 在△PAB 中，因为M 为线段PA 的中点， 所以N 为线段PB 的中点，即PN ：PB 的值为12． …………………… 14分5、证明：（1）因为M ，Q 分别为棱AD ，AC 的中点，所以//MQ CD ， …… 2分 又CD ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，故//CD 平面MNQ ． …… 6分(第16题图)PABCDMN（2）因为M，N分别为棱AD，BD的中点，所以//MN AB，又90⊥．…… 8分BAD∠=°，故MN AD因为平面BAD⊥平面CAD，平面BAD I平面CAD AD=，且MN⊂平面ABD，所以MN⊥平面ACD．…… 11分又MN⊂平面MNQ，平面MNQ⊥平面CAD．…… 14分（注：若使用真命题“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”证明“MN⊥平面ACD”，扣1分．）6、7、证：（1）取BE 中点F ，连接,CF MF ，又M 是AE 中点，则1//,2MF AB MF AB =， 又N 是矩形ABCD 边CD 中点，所以//,MF NC MF NC =，则四边形MNCF 是平行四边形，所以//MN CF ，又MN ⊄面BCE ，CF ⊂面BCE ，所以MN ∥平面BCE ．…７分（2）因为平面ABCD ⊥平面ABE ，BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABE ，因为AE ⊂平面ABE ，所以BC AE ⊥，又BE AE ⊥，BC BE B ⋂=，所以AE ⊥平面BCE ，而AE ⊂平面ADE ，所以平面⊥BCE 平面ADE ． ……………14分8、解：（1）以O 为坐标原点，建立坐标系O ABP -，则(4,0,0)A ，(0,3,0)B ，(4,0,0)C -，(0,3,0)D -，(0,0,4)P ，所以(4,0,4)PA =-u u u r ，(0,6,0)DB =u u u r ，(4,3,0)AB =-u u u r .当12λ=时，得48(,0,)33M -，所以48(,3,)33MB =-u u u r ，设平面BDM 的法向量(,,)n x y z =r ，则60483033y x y z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩，得0y =，令2x =，则1z =，所以平面BDM 的一个法向量(2,0,1)n =r ，所以10cos ,425PA n ==⋅u u u r r ，即直线PA 与平面BDM 所成角的正弦值1010.………………5分 （2）易知平面ABC 的一个法向量1(0,0,1)n =u r .设(,0,)M a b ，代入PM MC λ=u u u u r u u u u r ，得(,0,4)(4,0,)a b a b λ-=---，解得4141a b λλλ-⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即44(,0,)11M λλλ-++，所以44(,3,)11MB λλλ-=++u u u r ， 设平面BDM 的法向量2(,,)n x y z =u u r ，则430443011x y x y z λλλ-+=⎧⎪⎨+-=⎪++⎩， 消去y ，得(21)x z λ+=，令1x =，则21z λ=+，43y =， 所以平面BDM 的一个法向量24(1,,21)3n λ=+u u r ， 所以22212161(21)9λλ+=+++，解得13λ=或43-，因为0λ>，所以13λ=.……………10分 9、解：（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题设，知B (2，3，0)，A 1(2，0，5)，C (0，3，0)，C 1(0，3，5)．因为CE →＝λCC 1→，所以E (0，3，5λ)．从而EB →＝(2，0，－5λ)，EA 1→＝(2，－3，5－5λ)．…… 2分当∠BEA 1为钝角时，cos ∠BEA 1＜0，所以EB →·EA 1→＜0，即2×2－5λ(5－5λ)＜0，解得15＜λ＜45． 即实数λ的取值范围是(15，45)． …………………………………… 5分 （2）当λ＝25时，EB →＝(2，0，－2)，EA 1→＝(2，－3，3)． 设平面BEA 1的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·EB →＝0，n 1·EA 1→＝0得⎩⎨⎧2x －2z ＝0，2x －3y ＋3z ＝0， 取x ＝1，得y ＝53，z ＝1， 所以平面BEA 1的一个法向量为n 1＝(1，53，1)． ………………………………… 7分 易知，平面BA 1B 1的一个法向量为n 2＝(1，0，0)．因为cos< n 1，n 2>＝n 1·n 2| n 1|·| n 2|＝1 439＝34343， 从而|cos θ|＝3 4343． …………………………………… 10分 10、（1）证明:∵ABCD 为矩形，∴//AB CD ． ………………………………………………2分又DC ⊂面PDC ，AB ⊄面PDC ，……………………………………………………4分∴//AB 面PDC ． ……………………………………………………………………7分（2）证明: ∵ABCD 为矩形, ∴CD AD ⊥, ……………………………………………9分又PA ⊥CD ,PA AD A =I ， PA AD ⊂，平面PAD ,∴CD ⊥平面PAD ． …………………………………………………………………11分又CD ⊂面PDC ,∴面PAD ⊥面PCD ． ………………………………………14分11、12、证明（1）∵四边形ABCD 是菱形，AC BD O =I ，∴点O 是BD 的中点，∵点G 为BC 的中点 ∴//OG CD ， ………………3分又∵OG ⊄平面EFCD ，CD ⊂平面EFCD ，∴直线//OG 平面EFCD ．………７分（２）∵ BF CF =，点G 为BC 的中点, ∴FG BC ⊥, ∵平面BCF ⊥平面ABCD ，平面BCF I 平面ABCD BC =，FG ⊂平面BCF ，FG BC ⊥ ∴FG ⊥平面ABCD ， ………………9分 ∵AC ⊂平面ABCD ∴FG AC ⊥,∵1//,2OG AB OG AB =，1//,2EF AB EF AB =，∴//,OG EF OG EF =，∴四边形EFGO 为平行四边形, ∴//FG EO ， ………………11分∵FG AC ⊥，//FG EO ，∴AC EO ⊥， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC DO ⊥，∵AC EO ⊥，AC DO ⊥，EO DO O =I ，EO DO 、在平面ODE 内，∴AC ⊥平面ODE ． ………………1４分13、解：（1）以,,DA DC DD 'u u u r u u u r u u u u r 为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，由题意，知(0,0,0)D ,(2,0,1)A '，(2,2,0)B ，(0,2,1)C '，(1,1,1)O '.设(,,0)P t t ，∴(1,1,1)O P t t '=---u u u r ，(2,0,1)BC '=-u u u u r .设异面直线O P '与BC '所成角为θ，则cos O P BC O P BC θ''⋅===''⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r 化简得：2212040t t -+=,解得：23t =或27t =，DP =DP =． ………………5分 （2）∵2DP =，∴33(,,0)22P ， (0,2,1)DC '=u u u u r ,(2,2,0)DB =u u u r ，13(,,1)22PA '=-u u u r ,31(,,1)22PC '=-u u u u r ， 设平面DC B '的一个法向量为1111(,,)n x y z =u r ， ∴1100n DC n DB ⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u u r u r u u u r ，∴111120220y z x y +=⎧⎨+=⎩，即11112z y x y =-⎧⎨=-⎩，取11y =-，1(1,1,2)n =-u r ， 设平面PA C ''的一个法向量为2222(,,)n x y z =u u r ，∴2200n PA n PC ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u u r ，∴2222221302231022x y z x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩，即2222z y x y =⎧⎨=⎩，取21y =，2(1,1,1)n =u u r ， 设平面PA C ''与平面DC B '所成角为ϕ，∴1212cos 3n n n n ϕ⋅===⋅u r u u r u r u u r ，∴sin 3ϕ=． ………………１０分。