9-3 欧拉公式的适用范围
合集下载
材料力学简明教程(景荣春)课后答案第九章
解 设各杆与铅垂线夹角为 θ ，则由平衡的各杆的受力
130
3FN cosθ = F ， FN =
设钢管材料为 Q235，则
F F 2 .5 5 F = ⋅ = = 0.417 F 3 cos θ 3 2 12
= 269 > λp D2 + d 2 30 2 + 22 2 × 10 −3 π 2 EI π 3 E (D 4 − d 4 ) π 3 × 210 × 10 9 × (30 2 − 22 2 )× 10 −12 Fcr = = = = 9.37 kN 2 64 × 2.5 2 (μl )2 64(μl ) Fcr F 1 1 9.37 × 10 3 [F ] = = × = × = 7.49 kN 0.417 0.417 [n]st 0.417 3 i = =
2
127
比值差不多时较有利。 9-8 从稳定性的角度考虑，一般压杆截面的周边取圆形较为合理，但可以是空心或实 心的。如规定压杆横截面面积相同，则： (1) 从强度方面看，它们有无区别？为什么？ (2) 从稳定性方面看，哪一种截面形式较为合理？为什么？ (3) 如果空心圆形截面较合理的话，是否其内、外半径越大越好？ 答 (1) 从强度方面看，它们无区别。因为 σ = F / A 。 (2) 从稳定性方面看，空心截面形式较为合理，因空心截面惯性矩较大。 (3) 如果空心圆形截面较合理的话，其内、外半径不是越大越好，因为在面积一定的情 况下，内、外半径太大了会造成薄壁失稳。 9-9 如何进行压杆的合理设计？ 答 （1） 选择合理的截面形状； （2） 改变压杆的约束条件； （3）合理选择材料。 9-10 满足强度条件的等截面压杆是否满足稳定性条件？满足稳定性条件的压杆是否 满足强度条件？为什么？ 答 （1） 因为强度条件是 σ < [σ ] =
材料力学第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定 图9－6
第9章 压杆稳定
9.2.3 两端非铰支细长压杆的临界载荷 1.一端固定一端自由的细长压杆的临界载荷 图9－7所示为一端固定、一端自由的长为l的细长压杆。
当轴向压力F=Fcr时，该杆的挠曲轴与长为2l的两端铰支细 长压杆的挠曲轴的一半完全相同。因此，如果二杆各截面的 弯曲刚度相同，则临界载荷也相同。所以，一端固定一端自 由、长为l的细长压杆的临界载荷为
第9章 压杆稳定
9.2.2 大挠度理论与实际压杆 式（9－1）与式（9－2）是对于理想压杆根据小挠度挠
曲轴近似微分方程得到的。如果采用大挠度挠曲轴的微分方
程 ddx1xM ExI进行理论分析，则轴向压力F与压杆最
大挠度wmax之间存在着如图9－6中的曲线AB所示的确定关 系，其中A点为曲线的极值点，相应之载荷Fcr即为上述欧拉 临界载荷。
Fcr
2 EI
2l 2
（9－3）
第9章 压杆稳定
图9－7
第9章 压杆稳定
2.两端固定的细长压杆的临界载荷 图9－8所示为两端固定的长为l的细长压杆，当轴向压 力F=Fcr时，该杆的挠曲轴如图9－8(a)所示，在离两固定端 各l/4处的截面A、B存在拐点，A、B截面的弯矩均为零。因 此，长为l/2的AB段的两端仅承受轴向压力Fcr（见图9－8 (b)），受力情况与长为l/2的两端铰支压杆相同。所以，两 端固定的压杆的临界载荷为
Fcr
2EI
0.5l 2
（9－4）
第9章 压杆稳定
图9－8
第9章 压杆稳定
3.一端固定一端铰支的细长压杆的临界载荷 图9－9所示为一端固定一端铰支的长为l的细长压杆， 在微弯临界状态，其拐点与铰支端之间的正弦半波曲线长为
小柔度杆9-4欧拉公式的应用范围经验公式
16
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
四、压杆的分类及临界应力总图
1.压杆的分类 （1）大柔度杆
1
π 2 EI Fcr ( l )2
（2）中柔度杆
2 1
σcr a b σcr σs
17
（3）小柔度杆
2
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
x x
y
y z
880 1000
880
z
8
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
x x F
880 1000
880
l
y
y z
z
F
分析思路： （1）杆件在两个方向的约束情况不同；
（2）计算出两个临界压力. 最后取小的一个作为压杆
的临界压力.
9
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
x
π 2 EI 3.142 2.1 1011 6.5 10 8 Fcr 2 ( l ) (1 1)2 134.6kN
15
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
三. 常用的经验公式
直线公式 或 令
σcr a b s
a s b a s 2 b
式中：a 和 b是与材料有关的常数，可查表得出.
2 是对应 直线公式的最低线.
2 1的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式.
第九章 压 杆 稳 定
1
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
2
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
1.细长压杆的形式
两 端 铰 支 一端 自由 一端 固定
两 端 固 定
一端 固定 一端 铰支
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
四、压杆的分类及临界应力总图
1.压杆的分类 （1）大柔度杆
1
π 2 EI Fcr ( l )2
（2）中柔度杆
2 1
σcr a b σcr σs
17
（3）小柔度杆
2
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
x x
y
y z
880 1000
880
z
8
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
x x F
880 1000
880
l
y
y z
z
F
分析思路： （1）杆件在两个方向的约束情况不同；
（2）计算出两个临界压力. 最后取小的一个作为压杆
的临界压力.
9
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
x
π 2 EI 3.142 2.1 1011 6.5 10 8 Fcr 2 ( l ) (1 1)2 134.6kN
15
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
三. 常用的经验公式
直线公式 或 令
σcr a b s
a s b a s 2 b
式中：a 和 b是与材料有关的常数，可查表得出.
2 是对应 直线公式的最低线.
2 1的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式.
第九章 压 杆 稳 定
1
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
2
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
1.细长压杆的形式
两 端 铰 支 一端 自由 一端 固定
两 端 固 定
一端 固定 一端 铰支
欧拉公式的适用范围经验公式
解：在正视图平面内弯 曲时，截面将绕z轴转动，
A、B二处视为铰支约束；
bh3 μ = 1, Iz = 12 ,iz =
Iz A
=
h 23
λz
=
μl iz
= 132.6
在俯视图平面内弯曲时，截面将绕y轴转动，A、
B二处视为固定端约束；
μ
=
0.5, I y
=
b3h 12
,iy
=
Iy A
=
b 23
λy
=
欧拉公式的适用范围 及经验公式
当轴向压力F 等于临界压力Fcr时，压杆才可能 由直线平衡过渡到微弯状态保持平衡。
临界压力的双重性： 1、细长压杆保持直线平衡的最大载荷； 2、细长压杆保持微弯平衡的最小载荷。
细长压杆的临界压力（欧拉公式）
π 2 EI Fcr = (μl)2
注意：欧拉公式是在线弹性的条件下建立，只有材料 服从胡克定律，即杆内的应力不超过材料的比例极限， 才能用欧拉公式计算压杆的临界压力。
μl iy
= 99.5
由于 z>y 压杆将在正视图平面内失稳。
且有： λz = 132.6 > λp = 100
故，根据欧拉公式计算临界应力
cr
2E 2
2 205109
132.62
115.07MPa
临界载荷为
Fcr cr A cr (bh)
115.07 106 40 60 106 276.17kN
σcr
=
π2E λ2
σp
或者
λ
π2E σp
=
λp
p—仅与材料的弹性模量 E 及比例极限p有关。 即： ≥p 时，欧拉公式才成立。压杆称为大柔度杆。
欧拉公式的适用范围与经验公式
该图为Q235钢压 杆的临界应力总图。 图中，抛物线和欧拉 曲线在C处光滑连接， C点对应的柔度C=123， 临界应力为134MPa。 由于经验公式更符合 压杆的实际情况，故 在实用中，对Q235钢 制成的压杆，当 C=123 时才按欧拉公 式计算 临界应力，当 ＜123时，采用抛物线公式计算临界应力。
1) 判断压杆的失稳平面。如果压杆在各个纵向平面内的杆端约 束情况相同，则弯曲刚度最小的形心主惯性平面为失稳平面；如果 压杆在各个纵向平面内的弯曲刚度相同，则杆端约束弱的纵向平面 为失稳平面；如果压杆在各个纵向平面内的杆端约束和弯曲刚度均 各不相同，则在两个形心主惯性平面中柔度较大的为失稳平面。
2) 根据柔度值，采用相应公式计算临界力和临界应力。如果是 大柔度压杆，采用欧拉公式计算；如果是中、小柔度压杆，则根据 经验公式计算。
压杆在xz平面内，杆端约束为两端固定，μ=0.5。惯性半径为
iz
b 50103 m 14.43103 m
12
12
柔度为
y
l
iy
0.5 2 14.43103
69.3
目录
压杆稳定\欧拉公式的适用范围与经验公式 由于z>y，故压杆将在xy平面内失稳。 2）计算压杆的临界力。因 z=86.6< C=123 ，故采用抛物线公
目录
力学
式计算压杆的临界应力：
cr=235 0.00668 2=185 MPa
压杆的临界力为
Fcr=cr A=185106Pa8010－35010－3m2=740103 N=740 kN
目录
压杆稳定\欧拉公式的适用范围与经验公式
1.3 临界力和临界应力的计算步骤
由例9.1～例9.3，可得出压杆的临界力和临界应力的计算步骤 如下：
1) 判断压杆的失稳平面。如果压杆在各个纵向平面内的杆端约 束情况相同，则弯曲刚度最小的形心主惯性平面为失稳平面；如果 压杆在各个纵向平面内的弯曲刚度相同，则杆端约束弱的纵向平面 为失稳平面；如果压杆在各个纵向平面内的杆端约束和弯曲刚度均 各不相同，则在两个形心主惯性平面中柔度较大的为失稳平面。
2) 根据柔度值，采用相应公式计算临界力和临界应力。如果是 大柔度压杆，采用欧拉公式计算；如果是中、小柔度压杆，则根据 经验公式计算。
压杆在xz平面内，杆端约束为两端固定，μ=0.5。惯性半径为
iz
b 50103 m 14.43103 m
12
12
柔度为
y
l
iy
0.5 2 14.43103
69.3
目录
压杆稳定\欧拉公式的适用范围与经验公式 由于z>y，故压杆将在xy平面内失稳。 2）计算压杆的临界力。因 z=86.6< C=123 ，故采用抛物线公
目录
力学
式计算压杆的临界应力：
cr=235 0.00668 2=185 MPa
压杆的临界力为
Fcr=cr A=185106Pa8010－35010－3m2=740103 N=740 kN
目录
压杆稳定\欧拉公式的适用范围与经验公式
1.3 临界力和临界应力的计算步骤
由例9.1～例9.3，可得出压杆的临界力和临界应力的计算步骤 如下：
欧拉公式的适用范围与经验公式.
若令 λ p π E/σp ，则上述适用范围又可写成
E λ λ p σp
三、经验公式
(9-6)
欧拉公式只适用于 p 的大柔度杆，对于 λ ＜ λ p
的非细长压杆一般采用经验公式。
(1)合金钢、铝合金、铸铁和木材
cr a b
a s s b
(9-7)
(9-8)
Fp A z F p′
y
h
解 压杆AB左右两端 为圆柱销联接，它与球 铰约束不同。在主视图
b
a)
B
h
Fp
F p′
l
b)
平面内弯曲时，两端可
b
以自由转动，相当于铰
链；而在俯视图平面内 弯曲时，两端不能转动
图9-6
近似视为固定端。因为压杆是矩形横截面，故在主视图平
面内失稳时，截面将绕轴z 转动；而在俯视图平面内失稳 时，截面将绕轴y 转动。因此，应先计算压杆在两个平面 内的柔度，以确定在哪一个平面内失稳。在主视图平面 内，取长度系数 z 1，压杆柔 度为
cr a1 b12
式中，a1和b1均为与材料力学性能有关的常数。
பைடு நூலகம்
例9-1 由Q235钢制成的矩形截面杆，其受力和两端约 束情况如图9-6所示，图a为主视图，图b为俯视图。在杆 的两端A、B处为圆柱销联接。已知l=2300mm，b=40mm，h=
60mm，材料的弹性模量E=205GPa，试求此杆的临界载苛。
μyl 0.5 2300 λ 99.6 y iy 11.55
因λ y ，故压杆首先在主视图平面内失稳，且在此平 z ＞λ 面内λ p =100为细长杆，故临界载荷为 z ＞λ
π2E 2 205103 40 60 Fcr σcrA 2 bh N 2 λ 132.8
E λ λ p σp
三、经验公式
(9-6)
欧拉公式只适用于 p 的大柔度杆，对于 λ ＜ λ p
的非细长压杆一般采用经验公式。
(1)合金钢、铝合金、铸铁和木材
cr a b
a s s b
(9-7)
(9-8)
Fp A z F p′
y
h
解 压杆AB左右两端 为圆柱销联接，它与球 铰约束不同。在主视图
b
a)
B
h
Fp
F p′
l
b)
平面内弯曲时，两端可
b
以自由转动，相当于铰
链；而在俯视图平面内 弯曲时，两端不能转动
图9-6
近似视为固定端。因为压杆是矩形横截面，故在主视图平
面内失稳时，截面将绕轴z 转动；而在俯视图平面内失稳 时，截面将绕轴y 转动。因此，应先计算压杆在两个平面 内的柔度，以确定在哪一个平面内失稳。在主视图平面 内，取长度系数 z 1，压杆柔 度为
cr a1 b12
式中，a1和b1均为与材料力学性能有关的常数。
பைடு நூலகம்
例9-1 由Q235钢制成的矩形截面杆，其受力和两端约 束情况如图9-6所示，图a为主视图，图b为俯视图。在杆 的两端A、B处为圆柱销联接。已知l=2300mm，b=40mm，h=
60mm，材料的弹性模量E=205GPa，试求此杆的临界载苛。
μyl 0.5 2300 λ 99.6 y iy 11.55
因λ y ，故压杆首先在主视图平面内失稳，且在此平 z ＞λ 面内λ p =100为细长杆，故临界载荷为 z ＞λ
π2E 2 205103 40 60 Fcr σcrA 2 bh N 2 λ 132.8
(整理)压杆稳定(教材).
第九章压杆稳定§9-1 压杆稳定的基本概念在前面的一些章节中，已经讨论了构件在静力平衡状态下的应力、应变以及强度和刚度的设计问题。
构件除了强度和刚度不足而引起失效外，有时由于不能保持其原有的平衡状态而失效，这种失效形式称为丧失稳定性。
考察图9-1所示的等直杆AB，若A端固定，B端作用沿轴线方向的载荷p。
实验表明，若外力p较小时，杆件保持在直线形状的平衡，微小的外界扰动将使杆件发生轻微的弯曲，干扰力解除后，杆件仍恢复直线形状，即外界的干扰不能改变其原有的铅垂平衡状态，压杆的直线平衡是稳定的；若外力p慢慢地增加到某一数值并且超过这一数值时，任何微小的外界扰动将使杆件AB发生弯曲，干扰力解除后，杆件处于弯曲状态下的平衡，不能恢复原图9-1有的直线平衡状态，杆件原有的直线平衡状态是不稳定的。
若外力P继续增大，杆件将因过大的弯曲变形而突然折断。
杆件维持直线稳定平衡的最大外力称为临界压力，记为P cr。
压杆丧失其直线形状的平衡而过渡为曲线平衡，称为丧失稳定，简称“失稳”。
工程上，一般的细长压杆，由于轴向载荷的偏心或杆件的初曲率，往往因这种屈曲而导致失效的。
因此压杆的“失稳”也称为“屈曲”。
机械中有许多细长压杆，如螺旋千斤顶的螺杆（图9-2a），内燃机气阀门的挺杆（图9-2b）等。
还有，桁架结构中的抗压杆、建筑物中的柱等都是压杆。
这类构件除了要有足够的强度外，还必须有足够的稳定性，才能正常工作。
(a)(b)图9-2除了压杆的失稳形式外，一些细长或薄壁的构件也存在静力平衡的稳定性问题。
例如，细长圆杆的纯扭转，薄壁矩形截面梁的横力弯曲以及承受均布压力的薄壁圆环等，都有可能丧失原有的平衡状态而失效。
图9-3给出了几种构件失稳的示意图，图中虚线分别表示其丧失原有平衡形式后新的平衡状态。
(a)(b)(c)图9-3承受轴向压力的细长压杆的平衡，在什么条件下是稳定的，什么条件下是不稳定的；怎样才能保证压杆正常、可靠地工作等等问题，统称为“稳定问题”。
压杆稳定计算简介
式中的系数j为折减系数，它决定于压杆的材 料和柔度，折减系数j反映了柔度对压杆稳 定性的影响。j值可以从折减系数表中查得。
压杆的稳定条件为
p j[ ]
A
9.5 压杆稳定计算简介
了解压杆稳定的概念。 熟悉临界力和欧拉公式的计算。 掌握压杆稳定的校核。
一、临界压力和欧拉公式
杆件所受压力逐渐增加到某个限度时，压杆将 由稳定状态转化为不稳定状态。这个压力的限
度称为临界压力Pcr。它是压杆保持直线稳定形
状时所能承受的最小压力。
欧拉公式
pcr
2EI ( L) 2
1、熏烟的成分及作用
熏烟的成分很复杂，由气体、液体、固体微粒组成 的混合物，因熏材种类和熏烟的产生温度不同而不同， 且其状态和变化迅速，一般认为熏烟中最重要的成分是 酚、醇、有机酸、羰基化合物和烃类等。
2、熏制加工目的
1、赋予制品特殊的烟熏风味，增加香味 2、使制品外观产生特有的烟熏色，对加硝制品有促进发 色的作用 3、杀菌消毒，防止腐败变质，使制品耐贮藏
醇类：
木材熏烟中的醇种类繁多，最常见的为甲醇，又称木 醇，熏烟中还有伯醇、仲醇和叔醇等，为挥发性物质的载 体，杀菌能力较弱。
3、影响熏制的因素
熏烟质量
熏制的作用取决于熏烟质量如熏烟中成分种类和浓度等，而熏烟质量 的高低与燃料种类、燃烧温度等产生方式和条件有关。
熏制温度
熏制时温度过低，不会得到预期的熏制效果。但温度过高，会由于脂 肪融化、肉的收缩，达不到制品质量要求。常用的熏制温度为35~50℃， 一般熏制时间为12~48h。
EI－抗弯刚度 ；L－压杆的长度
μ－长度（支座）系数 ；固定 一端固定 两端铰支 一端固定
束情况
一端铰支
压杆的稳定条件为
p j[ ]
A
9.5 压杆稳定计算简介
了解压杆稳定的概念。 熟悉临界力和欧拉公式的计算。 掌握压杆稳定的校核。
一、临界压力和欧拉公式
杆件所受压力逐渐增加到某个限度时，压杆将 由稳定状态转化为不稳定状态。这个压力的限
度称为临界压力Pcr。它是压杆保持直线稳定形
状时所能承受的最小压力。
欧拉公式
pcr
2EI ( L) 2
1、熏烟的成分及作用
熏烟的成分很复杂，由气体、液体、固体微粒组成 的混合物，因熏材种类和熏烟的产生温度不同而不同， 且其状态和变化迅速，一般认为熏烟中最重要的成分是 酚、醇、有机酸、羰基化合物和烃类等。
2、熏制加工目的
1、赋予制品特殊的烟熏风味，增加香味 2、使制品外观产生特有的烟熏色，对加硝制品有促进发 色的作用 3、杀菌消毒，防止腐败变质，使制品耐贮藏
醇类：
木材熏烟中的醇种类繁多，最常见的为甲醇，又称木 醇，熏烟中还有伯醇、仲醇和叔醇等，为挥发性物质的载 体，杀菌能力较弱。
3、影响熏制的因素
熏烟质量
熏制的作用取决于熏烟质量如熏烟中成分种类和浓度等，而熏烟质量 的高低与燃料种类、燃烧温度等产生方式和条件有关。
熏制温度
熏制时温度过低，不会得到预期的熏制效果。但温度过高，会由于脂 肪融化、肉的收缩，达不到制品质量要求。常用的熏制温度为35~50℃， 一般熏制时间为12~48h。
EI－抗弯刚度 ；L－压杆的长度
μ－长度（支座）系数 ；固定 一端固定 两端铰支 一端固定
束情况
一端铰支
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
用直线公式计算
π 2 F = A⋅ σcr = (a − bλ) (D − d 2 ) = 155.5kN cr 4
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力 四、压杆的分类及临界应力总图
1.压杆的分类 1.压杆的分类 （1）大柔度杆
λ ≥ λp
π2EI F = cr (µl )2
（2）中柔度杆
σcr = a − bλ
（3）小柔度杆
λs ≤ λ < λp
λ ≤ λs
σcr = σs
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
即λ ≥ λp（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用 大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用 ）， 范围. 范围.
λp 的大小取决于压杆材料的力学性能. 例如，对于Q235钢， 的大小取决于压杆材料的力学性能. 例如，对于Q235钢
可取 E=206GPa，σp=200MPa，得 =206GPa， =200MPa，
Fcr π2EI σcr = = A (µl )2 A
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
F I π2 EI π2 E 2 π2 E 令 i= 则 σcr = cr = = ⋅i = 2 2 2 A A (µl) A (µl) (µl / i)
令
λ=
µl
i
则 σcr =
π2E
λ
2
Fcr = A⋅ σcr
材料为 Q235钢，承受轴向压力 F. 试求 Q235钢 （1）能用欧拉公式时压杆的最小长度； 能用欧拉公式时压杆的最小长度； （2）当压杆长度为上述最小长度的 3/4 时，压杆的临界应力. 压杆的临界应力. 已知： E = 200 GPa， σp= 200 MPa ， σs = 240 MPa ，用直 GPa， 已知： 线公式时， MPa， 线公式时，a = 304 MPa， b =1.12 MPa.
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
解：（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度 ：（1
λp = π
压杆 µ = 1
E
σp
= 100
π(D4 − d4 ) I 1 64 i= D2 + d 2 = = A π(D2 − d 2 ) 4 4 µl 4µl λ= = ≥ λp =100 2 2
i 为压杆横截面对中性轴的惯性半径. 压杆横截面对中性轴的惯性半径.
λ 称为压杆的柔度（长细比），集中地反映了压杆的长度l 称为压杆的柔度 长细比），集中地反映了压杆的长度l 压杆的柔度（ ），集中地反映了压杆的长度
和杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素 临界应力的影响. 和杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力的影响. λ 等因素对 条件 越大，相应的 σcr 越小，压杆越容易失稳. 越大， 越小，压杆越容易失稳. 若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别 压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同， 计算在各平面内失稳时的柔度λ，并按较大者计算压杆的临界应 力 σcr
2.临界应力总图 2.临界应力总图
σcr
σcr = σs σ = a − bλ cr σs
σP
σcr =
π2E
λ
λs
λp
λ
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
例题1 例题1 压杆截面如图所示. 两端为柱形铰链约束， 压杆截面如图所示. 两端为柱形铰链约束，若绕 y 轴失
稳可视为两端固定， 轴失稳可视为两端铰支. 已知， 稳可视为两端固定，若绕 z 轴失稳可视为两端铰支. 已知，杆长 l=1m ，材料的弹性模量E=200GPa，σp=200MPa. 求压杆的临界 材料的弹性模量E=200GPa， =200MPa. 应力. 应力.
。
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力 二、 欧拉公式的应用范围
只有在 范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的 σcr ≤ σp 的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的
临界压力 Fcr（临界应力 σcr ）.
σcr =
πE
2
λ
2
≤ σp
λ ≥ λp
λp = π
E
σp
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力 一、临界应力和柔度
1. 欧拉公式临界应力 压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定平 作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定平 计算. 衡时，横截面上的压应力可按 σ = F/A 计算. 衡时， 按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面 上的应力为
i D +d
lmin
100 0.052 + 0.042 = = 1.6m 4×1
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
（2）当 l = 3/4 lmin 时，Fcr=?
3 l = lmin = 1.2m 4
λ=
µl
i
=
4µl D +d
2 2
= 75 < λp
a − σs 304 − 240 λs = = = 57 < λ b 1.12
λz =
µzl
iz
= 115
30mm
因为 λz > λy ，所以压杆绕 z 轴先失稳，且 λz =115 > λp，用 轴先失稳， 欧拉公式计算临界力. 欧拉公式计算临界力.
Fcr = Aσcr = A⋅
π2E
λ
2 z
= 89.5kN
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
例题2 例题2 外径 D = 50 mm，内径 d = 40 mm 的钢管，两端铰支， mm， 的钢管，两端铰支，
λp = π
E
σp
206 ×109 Pa = 3.14 ≈ 100 6 200 ×10 Pa
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力 三. 中、小柔度杆的临界应力
直线公式 或 令
σcr = a − bλ ≤ σs
a − σs λ≥ b a −σs λs = b
式中： 是与材料有关的常数，可查表得出. 式中：a 和 b是与材料有关的常数，可查表得出.
z
解：
λp = π
E
σp
= 99
y
30mm 1 3 (0.03× 0.02 ) Iy iy = = 12 = 0.0058m A 0.03× 0.02
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
Iz iz = = 0.0087m A
z y
µy = 0.5 µz = 1
λy = µyl
iy = 86
π 2 F = A⋅ σcr = (a − bλ) (D − d 2 ) = 155.5kN cr 4
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力 四、压杆的分类及临界应力总图
1.压杆的分类 1.压杆的分类 （1）大柔度杆
λ ≥ λp
π2EI F = cr (µl )2
（2）中柔度杆
σcr = a − bλ
（3）小柔度杆
λs ≤ λ < λp
λ ≤ λs
σcr = σs
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
即λ ≥ λp（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用 大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用 ）， 范围. 范围.
λp 的大小取决于压杆材料的力学性能. 例如，对于Q235钢， 的大小取决于压杆材料的力学性能. 例如，对于Q235钢
可取 E=206GPa，σp=200MPa，得 =206GPa， =200MPa，
Fcr π2EI σcr = = A (µl )2 A
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
F I π2 EI π2 E 2 π2 E 令 i= 则 σcr = cr = = ⋅i = 2 2 2 A A (µl) A (µl) (µl / i)
令
λ=
µl
i
则 σcr =
π2E
λ
2
Fcr = A⋅ σcr
材料为 Q235钢，承受轴向压力 F. 试求 Q235钢 （1）能用欧拉公式时压杆的最小长度； 能用欧拉公式时压杆的最小长度； （2）当压杆长度为上述最小长度的 3/4 时，压杆的临界应力. 压杆的临界应力. 已知： E = 200 GPa， σp= 200 MPa ， σs = 240 MPa ，用直 GPa， 已知： 线公式时， MPa， 线公式时，a = 304 MPa， b =1.12 MPa.
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
解：（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度 ：（1
λp = π
压杆 µ = 1
E
σp
= 100
π(D4 − d4 ) I 1 64 i= D2 + d 2 = = A π(D2 − d 2 ) 4 4 µl 4µl λ= = ≥ λp =100 2 2
i 为压杆横截面对中性轴的惯性半径. 压杆横截面对中性轴的惯性半径.
λ 称为压杆的柔度（长细比），集中地反映了压杆的长度l 称为压杆的柔度 长细比），集中地反映了压杆的长度l 压杆的柔度（ ），集中地反映了压杆的长度
和杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素 临界应力的影响. 和杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力的影响. λ 等因素对 条件 越大，相应的 σcr 越小，压杆越容易失稳. 越大， 越小，压杆越容易失稳. 若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别 压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同， 计算在各平面内失稳时的柔度λ，并按较大者计算压杆的临界应 力 σcr
2.临界应力总图 2.临界应力总图
σcr
σcr = σs σ = a − bλ cr σs
σP
σcr =
π2E
λ
λs
λp
λ
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
例题1 例题1 压杆截面如图所示. 两端为柱形铰链约束， 压杆截面如图所示. 两端为柱形铰链约束，若绕 y 轴失
稳可视为两端固定， 轴失稳可视为两端铰支. 已知， 稳可视为两端固定，若绕 z 轴失稳可视为两端铰支. 已知，杆长 l=1m ，材料的弹性模量E=200GPa，σp=200MPa. 求压杆的临界 材料的弹性模量E=200GPa， =200MPa. 应力. 应力.
。
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力 二、 欧拉公式的应用范围
只有在 范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的 σcr ≤ σp 的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的
临界压力 Fcr（临界应力 σcr ）.
σcr =
πE
2
λ
2
≤ σp
λ ≥ λp
λp = π
E
σp
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力 一、临界应力和柔度
1. 欧拉公式临界应力 压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定平 作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定平 计算. 衡时，横截面上的压应力可按 σ = F/A 计算. 衡时， 按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面 上的应力为
i D +d
lmin
100 0.052 + 0.042 = = 1.6m 4×1
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
（2）当 l = 3/4 lmin 时，Fcr=?
3 l = lmin = 1.2m 4
λ=
µl
i
=
4µl D +d
2 2
= 75 < λp
a − σs 304 − 240 λs = = = 57 < λ b 1.12
λz =
µzl
iz
= 115
30mm
因为 λz > λy ，所以压杆绕 z 轴先失稳，且 λz =115 > λp，用 轴先失稳， 欧拉公式计算临界力. 欧拉公式计算临界力.
Fcr = Aσcr = A⋅
π2E
λ
2 z
= 89.5kN
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
例题2 例题2 外径 D = 50 mm，内径 d = 40 mm 的钢管，两端铰支， mm， 的钢管，两端铰支，
λp = π
E
σp
206 ×109 Pa = 3.14 ≈ 100 6 200 ×10 Pa
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力 三. 中、小柔度杆的临界应力
直线公式 或 令
σcr = a − bλ ≤ σs
a − σs λ≥ b a −σs λs = b
式中： 是与材料有关的常数，可查表得出. 式中：a 和 b是与材料有关的常数，可查表得出.
z
解：
λp = π
E
σp
= 99
y
30mm 1 3 (0.03× 0.02 ) Iy iy = = 12 = 0.0058m A 0.03× 0.02
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
Iz iz = = 0.0087m A
z y
µy = 0.5 µz = 1
λy = µyl
iy = 86