专题02 图形的运动(原卷版)
专题02地球运动图(原卷版+解析)
专题02 地球运动图一、普通二分二至日图：1．读“地球公转示意图”，回答下列问题。
（1）地球运动至d点的时间是_____月_____日前后。
太阳光直射在______上，这一天的节气是______。
此时北半球是_____（季节）。
（2）地球运动至a点的时候，太阳光直射在______上，这一天的节气是______。
此时北半球是_____（季节），南半球是_______（季节）。
（3）地球运动至b点的时间是_____月_____日前后，此时，________（有、无）极昼、极夜现象。
这天过后，太阳直射点向_________（方向）移动，北半球的正午太阳高度将会______（增大/减少）。
（4）地球运动至c点的时间是_____月_____日前后,此时是南半球的_________（季节），__________内出现极夜现象。
赤道上昼长夜短___________（相等、不等）。
二、经纬网图与二分二至日图相结合：2．读图，完成下列问题。
（1）图1中，A点的经纬度是( )，____）。
根据经度可判断A点处于____半球，根据纬度可判断A 点处于____半球，属于____带（填五带）。
（2）图1中，地球自转方向为____（选填“C或D”）；A、B两点率先进入新一天的是____。
（3）北极圈出现极昼现象时，地球公转到图2中____（从“①、①、①、①”中选填）。
（4）当太阳直射在B点时，地球公转到图2中的____或____（从“①、①、①、①”中选填）。
（5）图2中，地球从公转轨道的①向①运动过程中，广州市的昼夜长短情况为____，并且白昼在逐渐变____（选填“长或短”）。
（6）如果在图1中的A点直立了一根杆子，以观测正午杆影一年长短的变化规律，正午杆影最长时，接近图2的____（从“①、①、①、①”中选填）。
三、二分二至日图与太阳光照图相结合：3．读图，完成下列问题。
（1）在左图中的地球公转轨道短弧上标出公转的方向。
专题02 动点问题中的函数图象及规律探索问题(原卷版)
专题02 动点问题中的函数图象及规律探索问题一、基础知识点综述动点问题中函数图象的题目的解决方法是：先根据动点运动规律找出所求与动点运动之间的关系，进而获取相应函数的解析式及函数值变化规律，达到求解的目的.考查的重点是分段函数解析式的求解.探索规律问题通常用归纳法，即从简单到复杂，从特殊到一般，这类题目考查的是学生的观察与归纳能力，注意从特殊到一般的归纳方法.二、主要思想方法分类讨论、数学归纳.三、精品例题解析例1. （2019·达州改编）如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在同一条直线上，且A点与F点重合，现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B 重合时停止. 在这个运动过程中，正方形ABCD与△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数解析式是例2. （2019·自贡）均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（）例3. （2019·潍坊改编）如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3，动点P沿着折线BCD从点B开始运动到点D，设运动的路程为x，△ADP的面积为y，则y与x之间的函数关系式是例4. （2019·深圳模拟）如图①，在菱形ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动. 设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y. 把y看成x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的b等于例5. 如图1，在扇形OAB中，∠O=60°，动点P从点O出发，沿O→A→B以1cm/s的速度匀速运动至点B，图2是点P运动过程中，△OBP的面积y（cm2）随时间x（s）变化的图象，则a，b的值分别为例6. （2019·河南模拟）如图1，在矩形ABCD中，AB＜BC，点E为对角线AC上的一个动点，连接BE，DE，过E作EF⊥BC于F．设AE＝x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（）A．线段BE B．线段EF C．线段CE D．线段DE例7. （2019·博罗县一模）如图，已知A，B是反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作PM⊥x轴，垂足为M．设三角形OMP的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．例8. （2017·濮阳县一模）如图，等边△ABC边长为2，四边形DEFG是平行四边形，DG=2，DE=3，∠GDE=60°，BC和DE在同一条直线上，且点C与点D重合，现将△ABC沿D→E的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点B与点E重合时停止，则在这个运动过程中，△ABC与四边形DEFG的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．例9. （2019·衡阳）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，E是AB的中点，过点E作AC和BC的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S．则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．例10.a是不为1的有理数，我们把11a成为a的差倒数，如2的差倒数是－1，－1的差倒数是0.5. 已知a1=5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……，以此类推，则a2019的值是例11. （2019·潍坊）如图所示，在平面直角坐标系中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1,2,3，……，按照“加1”依次递增，一组平行线，l0，l1，l2，l3，……都与x轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l0与y轴重合. 若半径为2的圆与l1在第一象限交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限交于点P2，……，半径为n+1的圆与ln在第一象限交于点P n，则点P n的坐标为例12. （2019·连云港）如图，将一等边三角形三条边各八等分按顺时针方向标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，如图所示，将和为8的点连接起来，得到了“三角形坐标系”.在建立的坐标系中，每一点的坐标用过这一点且平行（重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标为（1,2,5），点B的坐标为（4,1,3），则点C的坐标为例13. （2019·衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为．例14. （2019·怀化）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是．。
【期末复习专题卷】人教版数学四年级下册专题02 图形及其他测试试卷(含答案)
【期末复习专题卷】人教版数学四年级下册专题02 图形及其他一、选择题1．观察下面两个几何体，从（ ）看到的图形是一样的。
A．正面B．左面C．上面D．正面和左面2．从前面观察如图，看到的图形是（ ）A．B．C．3．一个几何体，从正面看到的图形是，从左面看到的图形是，搭这样的几何体，最少需要（ ）个小正方体木块。
A．6B．7C．8D．94．自行车的车架做成了一个三角形，是利用三角形的（ ）特点。
A．美观B．稳定性C．节省材料D．易变性5．用同样长的小棒摆三角形，（ ）根小棒摆不成三角形。
A．3根B．4根C．5根6．下面各组小棒不能围成一个三角形的是（ ）A．3cm、6cm、9cm B．6cm、5cm、4cmC．4cm、4cm、4cm D．3cm、5cm、7cm7．下图中的三角形只露出了1个锐角，这个三角形是（ ）A．锐角三角形B．直角三角形C．无法确定8．将一根20厘米长的细铁丝剪成3段，以下（ ）剪法不可以围成一个三角形。
A．8厘米、7厘米、5厘米B．13厘米、6厘米、1厘米C．4厘米、9厘米、7厘米9．一个三角形，其中有两个角分别是50°和70°，第三个角是（ ）A．60°B．70°C．80°D．50°10．一个三角形中最小的角是50°，这个三角形（ ）A．一定是锐角三角形B．可能是钝角三角形C．可能是直角三角形D．一定是钝角三角形11．下列各种情况不可能的是（ ）A．既是锐角三角形又是等腰三角形B．既是直角三角形又是等腰三角形C．既是钝角三角形又是等边三角形D．既是锐角三角形又是等边三角形12．如果一个三角形有两个角是锐角，那么这个三角形是（ ）三角形。
A．锐角B．钝角C．无法判断确定13．下面（ ）是平移现象。
A．B．C．14．小兔们一起采了50袋蘑菇，每袋蘑菇的重量差不多，卡卡称了其中5袋，分别是22kg、19kg、21kg、18kg、23kg.小兔们一共采了（ ）蘑菇。
专题02 三角形中的动点综合问题(解析版)
专题02 三角形中的动点综合问题1、已知：△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，a是最小的合数，b、c满足等式：|b﹣5|+（c﹣6）2＝0，点P是△ABC的边上一动点，点P从点B开始沿着△ABC的边按BA→AC→CB顺序顺时针移动一周，回到点B后停止，移动的路径为S，移动的速度为每秒3个单位．如图1所示．（1）试求出△ABC的周长；（2）当点P移动到AC边上时，化简：|S﹣4|+|3S﹣6|+|4S﹣45|；（3）如图2所示，若点Q是△ABC的边上一动点，P、Q两点分别从B、C同时出发，即当点P开始移动的时候，点Q从点C开始沿着△ABC的边顺时针移动，移动的速度为每秒5个单位，试问：当t为何值时，P、Q两点的路径（在三角形的边上的距离）相差为3？此时点P在△ABC的哪条边上？解：（1）∵a是最小的合数，∴a＝4，∵|b﹣5|+（c﹣6）2＝0，∴b﹣5＝0，c﹣6＝0，∴b＝5，c＝6，∴BC＝4，AC＝5，AB＝6，∴△ABC的周长＝BC+AC+AB＝4+5+6＝15；（2）∵点P移动到AC边上，AB+AC＝6+5＝11，∴6≤S≤11，∴S﹣4＞0，3S﹣6＞0，4S﹣45＜0，∴|S﹣4|+|3S﹣6|+|4S﹣45|＝S﹣4+3S﹣6+45﹣4S＝35．（3）①按顺时针方向移动，若P在Q的前面，∴3t+4﹣5t＝3，解得：t＝．此时点P在AB上．②按顺时针方向移动，若Q在P的前面，∴5t﹣4﹣3t＝3，解得：t＝．此时点P在AC上．综合以上可得，当t为s或s时，P、Q两点的路径（在三角形的边上的距离）相差为3，此时点P分别在AB，AC上．2、如图（1）AC⊥AB，BD⊥AB，AB＝12cm，AC＝BD＝8cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝2时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由；（2）在（1）的条件下，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并证明；（3）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝50°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．解：（1）△ACP与△BPQ全等，理由如下：当t＝2时，AP＝BQ＝4cm，则BP＝12﹣4＝8cm，∴BP＝AC＝8cm，又∵∠A＝∠B＝90°，在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ（SAS）．（2）PC⊥PQ，证明：∵△ACP≌△BPQ，∴∠ACP＝∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．∴∠CPQ＝90°，即线段PC与线段PQ垂直．（3）①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，∴12﹣2t＝8，解得，t＝2（s），则x＝2（cm/s）．②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，则2t＝×12，解得，t＝3（s），则x＝8÷3＝（cm/s），故当t＝2s，x＝2cm/s或t＝3s，x＝cm/s时，△ACP与△BPQ全等．3、在平面直角坐标系中，B（2，0），A（6，6），M（0，6），P点为y轴上一动点．（1）当P点在线段OM上运动时，试问是否存在一个点P使S△PAB＝13，若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．（2）当点P在y的正半轴上运动时（不包括O，M），∠PAM，∠APB，∠PBO三者之间是否存在某种数量关系，如果有，请利用所学的知识找出并证明；如果没有，请说明理由．解：（1）存在，设P（0，m）．∵S△PAB＝13，四边形AMOB是直角梯形，∴•（6+2）•6﹣•m•2﹣•（6﹣m）•6＝13，∴m＝，∴P（0，）．（2）①如图2，当点P在线段OM上时，∠APB＝∠PAM+∠PBO；理由如下：作PQ∥AM，则PQ∥AM∥ON，∴∠1＝∠PAM，∠2＝∠PBO，∴∠1+∠2＝∠PAM+∠PBO，即∠APB＝∠PAM+∠PBO；②如图3，当点P在OM的延长线上时，∠PBO＝∠PAM+∠APB．理由如下：∵AM∥OB，∵∠4＝∠PAM+∠APB，∴∠PBO＝∠PAM+∠APB．4、如图（1），已知A（a，0），B（0，b），且满足a＝．（1）求A、B两点坐标；（2）在（1）的条件下，Q为直线AB上一点，且满足S△AOQ＝2S△BOQ，求Q点的纵坐标；（3）如图（2），E点在y轴上运动，且在B点上方，过E作AB的平行线，交x轴于点C，∠CEO的平分线与∠BAO的平分线交于点F．问：点E在运动过程中，∠F的大小是否发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出它的值．解：（1）由题意可得：b﹣4≥0，4﹣b≥0，∴b＝4，则a＝﹣6，∴A（﹣6，0），B（0，4）；（2）∵A（﹣6，0），B（0，4），∴S△AOB＝×4×6＝12，∵Q在直线AB上，所以点Q位置有3种可能，设点Q到x轴的距离为h，当Q在线段AB上时，∵S△AOQ＝2S△BOQ，∴S△AOQ＝8，S△BOQ＝4，∴×6×h＝8，解得，h＝，∴Q点纵坐标为；当Q在点B上方时，∵S△AOQ＝2S△BOQ，S△AOQ＝S△AOB+S△BOQ，∴S△AOB＝S△BOQ，∴S△AOQ＝24，∴×6×h＝24，解得，h＝8，∴Q点纵坐标为8；当Q在A点下方时，不符合题意，综上所述，Q点纵坐标为或8；（3）∠F的大小不变，理由如下：∵AB∥CE，∴∠BAO＝∠ECO，∠ADF＝∠CEF，∵∠EOC＝90°，∴∠ECO+∠CEO＝90°，∵AF平分∠BAO，EF平分∠CEO，∴∠DAF＝∠BAO，∠CEF＝∠CEO，∴∠DAF＝∠ECO，∠ADF＝∠CEO ∴∠DAF+∠ADF＝∠ECO+∠CEO＝（∠ECO+∠CEO）＝×90°＝45°，∴∠F＝180°﹣（∠DAF+∠ADF）＝180°﹣45°＝135°．5、如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，AD为BC边上的高，点P从点B以每秒个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q从点C以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，其中一个点到达终点时，两点同时停止．（1）求BC的长；（2）设△PDQ的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）在动点P、Q的运动过程中，是否存在PD＝PQ，若存在，求出△PDQ的周长，若不存在，请说明理由．解：（1）如图1中，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，∴∠B＝30°，∴AD＝AB＝2，∴BD＝＝＝2，∴BC＝2BD＝4．（2）如图2中，作QH⊥CD于H．∵AB＝AC，∠ABC＝120°，∴∠C＝∠B＝30°，∵CQ＝t，∴QH＝CQ＝t，当0＜t＜2时，S＝•PD•QH＝•（2﹣t）•t＝﹣t2+t．当2＜t≤4时，同法可得S＝t2﹣t，综上所述，S＝．（3）当DP＝DQ时，如图3中，作QH⊥BC于H．由题意QH＝t，CH＝t，PC＝4﹣t，∴PH＝CH﹣PC＝t﹣（4﹣t）＝t﹣4，∴PQ＝＝，∵PD＝PQ，∴t﹣2＝，解得t＝3，经检验t＝3是方程的解，此时PH＝DH＝，∵QH⊥DP，∴QD＝QP，∴PD＝PQ＝DQ＝，∴△PQD的周长为3．5、已知直线a：y＝2x+4分别与x、y轴交于点A、C．将直线a竖直向下平移7个单位后得到直线b，直线b交直线AD：y＝x+2于点E．（1）若点Q为直线x轴上一动点，是否存在点Q，使△QDE的周长最小，若存在，求△QDE周长的最小值及点Q的坐标：（2）已知点M是第一象限直线a上的任意一点，过点M作直线c⊥x轴，交直线b于点N，H为直线AD上任意一点，是否存在点M，使得△MNH成为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点H的坐标．解：（1）存在．理由：∵直线y＝2x+4分别与x、y轴交于点A、C，令x＝0，得到y＝4，令y＝0，得到x＝﹣2，∴A（﹣2，0），C（0，4），∵直线y＝2x+4竖直向下平移7个单位后得到直线b，∴直线b的解析式为y＝2x﹣3，∵直线y＝x+2交x轴于A，交y轴于D，令x＝0，得到y＝2，∴D（0，2），由，解得，∴E（5，7），如图1中，作点D关于x轴的对称点D′，连接ED′交x轴于Q，连接DQ，此时△DEQ的周长最小．∵D′（0，﹣2），E（5，7），∴直线DE的解析式为y＝x﹣2，∴Q（，0），∵DE＝＝5，ED′＝＝，∴△DEQ的周长的最小值＝DE+DQ+EQ＝DE+QD′+QE＝DE+ED′＝5+．（2）如图2中，存在．理由：当点N与E（5，7）重合时，作MH∥x轴交直线y＝x+2于H，此时△MNH是等腰直角三角形，取EH的中点H′，连接MH′，此时△MNH′也是等腰直角三角形，∵M（5，14），MH∥x轴，∴H（12，14），∵E（5，7），EH′＝HH′，∴H′（，）．综上所述，满足条件的点H的坐标为（12，14）或（，）．6、如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（0，1），（0，﹣3），现将点A向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到点C，点D在点C的下方，CD∥x轴，且CD的长度为4，连接AC，BD，CD．（1）填空：点D的坐标为．（2）若P点在直线BD上运动，连接PC、PO．①若P在线段BD上（不与B，D重合），求S△CDP+S△BOP的取值范围．②若P在直线BD上运动，请在考卷的图中画出相应的示意图，并写出∠CPO、∠DCP、∠BOP的数量关系．解：（1）∵点A，B的坐标分别为（0，1），（0，﹣3），∴AB＝4，由题意得：C（2，0），∵CD＝4，AB∥CD，∴D（2，﹣4）．故答案为（2，﹣4）；（2）①如图1中，S梯形OCDB＝×（3+4）×2＝7，当点P运动到点B时，S△POC最小，S△POC的最小值＝×3×2＝3，此时S△CDP+S△BOP＝4，当点P运动到点D时，S△POC最大，S△POC的最大值＝×4×2＝4，S△CDP+S△BOP＝3，所以3＜S△CDP+S△BOP＜4；②当点P在BD上，如图1，作PE∥CD，∵CD∥AB，∴CD∥PE∥AB，∴∠DCP＝∠EPC，∠BOP＝∠EPO，∴∠DCP+∠BOP＝∠EPC+∠EPO＝∠CPO；当点P在线段BD的延长线上时，如图2，作PE∥CD，∵CD∥AB，∴CD∥PE∥AB，∴∠DCP＝∠EPC，∠BOP＝∠EPO，∴∠EPO﹣∠EPC＝∠BOP﹣∠DCP，∴∠BOP﹣∠DCP＝∠CPO；同理可得当点P在线段DB的延长线上时，∠DCP﹣∠BOP＝∠CPO．7、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝5cm，点D在BC上，且CD＝3cm．动点P，Q同时从点C出发，均以1cm/s的速度运动，其中点P沿CA向终点A运动；点Q沿CB向终点B运动．过点P作PE∥BC，分别交AD，AB于点E，F，设动点Q运动的时间为t秒．（1）求DQ的长（用含t的代数式表示）；（2）以点Q，D，F，E为顶点围成的图形面积为S，求S与t之间的函数关系式；（3）连接PQ，若点M为PQ中点，在整个运动过程中，直接写出点M运动的路径长．解：（1）当0≤t≤3时，DQ＝3﹣t；当3＜t≤5时，DQ＝t﹣3．（2）a．当0≤t≤3时，如图1，∵PC＝t，AC＝4，∴，，，∴．b．当3＜t≤4时，如图2，∴．c．当4＜t≤5时，如图3，∴．综上所述（3）点M运动的路径长为2+，如图4中，在CB上取一点J，使得CJ＝CA，连接AJ，作CR⊥AJ于R，RT∥BC交AB于T．由题意点M的运动路径是C→R→T，∵CA＝CJ＝4，CR⊥AJ，∠ACJ＝90°，∴AJ＝4，AR＝RJ，∴CR＝AJ＝2，∵RT∥BJ，AR＝RJ，∴AT＝TB，∴RT＝BJ＝，∴点M的运动路径的长为2+．8、几何探究题（1）发现：在平面内，若AB＝a，BC＝b，其中b＞a．当点A在线段BC上时，线段AC的长取得最小值，最小值为；当点A在线段CB延长线上时，线段AC的长取得最大值，最大值为．（2）应用：点A为线段BC外一动点，如图2，分别以AB、AC为边，作等边△ABD和等边△ACE，连接CD、BE．①证明：CD＝BE；②若BC＝5，AB＝2，则线段BE长度的最大值为．（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（7，0），点P为线AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°．请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．解：（1）∵当点A在线段BC上时，线段AC的长取得最小值，最小值为BC﹣AB，∵BC＝b，AB＝a，∴BC﹣AB＝b﹣a，当点A在线段CB延长线上时，线段AC的长取得最大值，最大值为BC+AB，∵BC＝b，AB＝a，∴BC+AB＝b+a，故答案为：b﹣a，b+a；（2）①CD＝BE，理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴CD＝BE；②∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，∴由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，∴最大值为BE＝CD＝BD+BC＝AB+BC＝5+2＝7；故答案为：7．（3）最大值为5+2；∴P（2﹣，）．如图1，连接BM，∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN＝PA＝2，BN＝AM，∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（7，0），∴AO＝2，OB＝7，∴AB＝5，∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值＝AB+AN，∵AN＝AP＝2，∴最大值为5+2；如图2，过P作PE⊥x轴于E，∵△APN是等腰直角三角形，∴PE＝AE＝，∴OE＝OA﹣AE＝2﹣，∴P（2﹣，）．9、如图1，平面直角坐标系xOy中，若A（0，4）、B（1，0）且以AB为直角边作等腰Rt△ABC，∠CAB＝90°，AB＝AC．（1）如图1，求C点坐标；（2）如图2，在图1中过C点作CD⊥x轴于D，连接AD，求∠ADC的度数；（3）如图3，点A在y轴上运动，以OA为直角边作等腰Rt△OAE，连接EC，交y轴于F，试问A点在运动过程中S△AOB：S△AEF的值是否会发生变化？如果没有变化，请说明理由．解：（1）如图①，∵A（0，4）、B（1，0），∴OA＝4，OB＝1，过点C作CG⊥y轴于G，∴∠AGC＝90°＝∠BOA，∴∠OAB+∠OBA＝90°∵∠CAB＝90°，∴∠OAB+∠GAC＝90°，∴∠OBA＝∠GAC，∵AB＝AC，∴△AOB≌△CGA（AAS），∴CG＝OA＝4，AG＝OB＝1，∴OG＝OA+AG＝5，∴C（4，5）；（2）由（1）知，OA＝4，点C（4，5），∵CD⊥x轴，∴点D（4，0），∴OD＝4，∴OA＝OD，∠OAD＝45°，∵CD⊥x轴，∴CD∥y轴，∴∠ADC＝∠OAD＝45°；（3）A点在运动过程中S△AOB：S△AEF的值不会发生变化，理由：设点A的坐标为（0，a），①当点A在y轴正半轴上时，连接CE交y轴于F，∴点C，E在y轴的两侧，即点E在y轴左侧，同（1）的方法得，C（a，a+1），∵△OAE是等腰直角三角形，∴AE⊥OA，∴E（﹣a，a），∴直线CE的解析式为y＝x+a+，∴F（0，a+），∴AF＝a+﹣a＝，∵OB＝1，∴＝2；②当点A在y轴负半轴上时，同①的方法得，C（﹣a，a﹣1），E（a，a），∴直线CE的解析式为y＝x+a﹣，∴F（0，a﹣），∴AF＝，∴＝2．即A点在运动过程中S△AOB：S△AEF的值不会发生变化．10、已知：Rt△ABC中，∠CAB＝90°，CA＝BA，Rt△ADE中，∠DAE＝90°，DA＝EA，连接CE、BD．（1）如图1，求证：CE＝BD；（2）如图2，当D在AC上，E在BA的延长线上，直线BD、CE相交于点F，求证：CE⊥BD；（3）如图3，在（2）的条件下，若D是AC中点，BF＝6，求△BEF的面积．（1）证明：∵∠EAC＝∠DAE+∠DAC＝90°+∠DAC，∠DAB＝∠CAB+∠DAC＝90°+∠DAC，∴∠EAC＝∠DAB，在△EAC和△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴CE＝BD；（2）证明：在△EAC和△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴∠ECA＝∠DBA，∵∠CDB为△CFD、△ADB的外角，∴∠CDB＝∠ECA+∠CFD＝∠DBA+∠BAD，∴∠CFD＝∠BAD＝90°，∴CE⊥BD；（3）解：连接AF，过点A作AP⊥CE于P、AQ⊥BF于Q，过点F作FR⊥BE于R，如图3所示：则∠APC＝∠AQB＝90°，在△APC和△AQB中，，∴△APC≌△AQB（AAS），∴AP＝AQ，∵S△AEF＝AE•FR＝EF•AP，S△ABF＝AB•FR＝BF•AQ，∴＝＝，∵D是AC中点，∴＝，∵AD＝AE，AC＝AB，∴＝＝＝，∴EF＝BF＝×6＝3，∵BF⊥EF，∴S△BEF＝BF•EF＝×6×3＝9．11、如图（1），Rt△AOB中，∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2，∠AOB的平分线OC交AB于C，过O点作与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．（1）求OC、BC的长；（2）当t＝1时，求△CPQ的面积；（3）当P在OC上，Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM 为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．解：（1）∵∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2，∴∠B＝30°，∴OA＝OB＝，由勾股定理得：AB＝3，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝30°＝∠B，∴OC＝BC，在△AOC中，AO2+AC2＝CO2，∴（）2+（3﹣OC）2＝OC2，∴OC＝2＝BC，∴OC＝2，BC＝2．（2）如图1﹣1中，作CH⊥PQ于H．当t＝1时，P在BC上，Q在OC上，CQ＝OQ＝PC＝PB＝1，∴PQ∥OB，∴∠CPQ＝∠B＝30°，∵CQ＝CP，CH⊥QP，∴QH＝PH，∴CH＝PC＝，QH＝PH＝CH＝，∴QP＝，∴S△PQC＝•PQ•CH＝××＝．（3）如图（2），∵ON⊥OB，∴∠NOB＝90°，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝30°，∴∠NOC＝90°﹣30°＝60°，①OM＝PM时，∠MOP＝∠MPO＝30°，∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠MPO＝90°，∴OP＝2OQ，∴2（t﹣2）＝4﹣t，解得：t＝，②PM＝OP时，此时∠PMO＝∠MOP＝30°，∴∠MPO＝120°，∵∠QOP＝60°，∴此时不存在；③OM＝OP时，过P作PG⊥ON于G，OP＝4﹣t，∠QOP＝60°，∴∠OPG＝30°，∴GO＝（4﹣t），PG＝（4﹣t），∵∠AOC＝30°，OM＝OP，∴∠OPM＝∠OMP＝75°，∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠QPO＝45°，∴PG＝QG＝（4﹣t），∵OG+QG＝OQ，∴（4﹣t）+（4﹣t）＝t﹣2，解得：t＝．综合上述：当t为或时，△OPM是等腰三角形．。
八年级数学上册专题02 全等三角形(原卷版)
2022-2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题02 全等三角形考试时间：120分钟试卷满分：100分姓名：__________ 班级：__________考号：__________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是△ABC的角平分线，点E在AC上，过点E作EF⊥BC于点F，延长CB至点G，使BG＝2FC，连接EG交AB于点H，EP平分∠GEC，交AD的延长线于点P，连接PH，PB，PG，若∠C＝∠EGC+∠BAC，则下列结论：①∠APE＝∠AHE；②PE＝HE；③AB＝GE；④S△P AB＝S△PGE．其中正确的有（）A．①②③B．①②③④C．①②D．①③④2．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，∠CAD＝2∠BAE，连接DE，下列结论中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正确的有（）A．①②③B．③④C．①④D．①③④3．（2分）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②BF＝BA；③PH＝PD；④连接CP，CP平分∠ACB．其中正确的是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2分）如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（）A．∠ADC＝∠AEB B．CD∥AB C．DE＝GE D．CD＝BE5．（2分）如图，已知AB∥CD，AB+CD＝BC，点G为AD的中点，GM⊥CD于点M，GN⊥BC于点N，连接AG、BG．张宇同学根据已知条件给出了以下几个结论：①∠BGC＝90°；②GM＝GN；③BG平分∠ABC；④CG平分∠BCD．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM 的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（）A．24B．22C．20D．187．（2分）习题课上，张老师和同学们一起探究一个问题：“如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于点O，OB＝OC，添加下列哪个条件能判定△ABC是等腰三角形？”请你判断正确的条件应为（）A．AE＝BE B．BE＝CD C．∠BEO＝∠CDO D．∠BEO＝∠BOE8．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是OABC外一点，连接AD、BD、CD，且BD交AC于点O，在BD上取一点E，使得AE＝AD，∠EAD＝∠BAC，若∠ABC＝62°，则∠BDC的度数为（）A．56°B．60°C．62°D．64°9．（2分）在如图所示的3×3网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个10．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，∠CAB的角平分线AP和∠MCB的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA＝45°；②AF﹣CG＝CA；③DE＝DC；④CF＝2CD+EG；其中正确的有（）A．②③B．②④C．①②③④D．①③④评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）已知：如图，△ABC中，E在BC上，D在BA上，过E作EF⊥AB于F，∠B＝∠1+∠2，AE＝CD，BF＝，则AD的长为．12．（2分）如图，在△ABC中，AB＝BC，BE、CF分别是AC、AB边上的高，在BE上取点D，使BD＝CA，在射线CF上取点G，使CG＝BA，连接AD、AG，若∠DAE＝38°，∠EBC＝20°，则∠GAB＝°．13．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上的一点，∠BAD＝28°，在AD的右侧作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE，DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，则∠DOC的度数为．14．（2分）如图，已知四边形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，CD＝12cm，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度沿B﹣C﹣B运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等．15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的角平分线交于点P，点E、F分别在边BC、AC上，且都不与点C重合，若∠EPF＝45°，连接EF，当AC＝6，BC＝8，AB＝10时，则△CEF的周长为．16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，E是AB上一点，且AE＝AD，连接DE，过E作EF⊥BD，垂足为F，延长EF交BC于点G．现给出以下结论：①EF＝FG；②CD＝DE；③∠BEG ＝∠BDC；④∠DEF＝45°．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）17．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，请你添加一个条件，使△BEC≌△CDA（填一个即可）．18．（2分）如图，E是△ABC的边AC的中点，过点C作CF∥AB，过点E作直线DF交AB于D，交CF 于F，若AB＝9，CF＝6.5，则BD的长为．19．（2分）如图，在正方形方格中，各正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．图中△ABC是格点三角形，请你找出方格中所有与△ABC全等，且以A为顶点的格点三角形．这样的三角形共有个（△ABC除外）．20．（2分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝15cm，AB＝17cm，∠CAB与∠CBA的角平分线相交于点O，过点O作OD⊥AB，垂足为点D，则线段OD的长为cm．评卷人得分三．解答题（共8小题，满分60分）21．（8分）综合与探究如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，CE的延长线交BD于点F．（1）求证：△ACE≌△ABD．（2）若∠BAC＝∠DAE＝50°，请直接写出∠BFC的度数．（3）过点A作AH⊥BD于点H，求证：EF+DH＝HF．22．（8分）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，设BE与CD相交于点F．（1）如图①，设∠A＝60°，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，证明：DF＝EF．（2）如图②，设BE⊥AC，CD⊥AB，点G在CD的延长线上，连接AG、AF；若∠G＝∠6，BD＝CD，证明：GD＝DF．23．（6分）如图①：△ABC中，AC＝BC，延长AC到E，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，延长CB到G，过点G作GH⊥AB交AB的延长线于H，且EF＝GH．（1）求证：△AEF≌△BGH；（2）如图②，连接EG与FH相交于点D，若AB＝4，求DH的长．24．（8分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC ＝DE，BC＝BE．（1）求证：AB＝BD；（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG．25．（9分）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．（1）如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是；（2）如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展与应用：如图3，当α＝120°时，点F为∠BAC平分线上的一点，且AB＝AF，分别连接FB，FD，FE，FC，试判断△DEF的形状，并说明理由．26．（6分）如图，线段AB上两点C，D，AC＝BD，∠A＝∠B，AE＝BF，连结DE并延长至点M，连结CF并延长至点N，DE、CF交于点P，MN∥AB．求证：△PMN是等腰三角形．27．（6分）如图，△AOB≌△COD，OD与AB交于点G，OB与CD交于点E．（1）∠AOD与∠COB的数量关系是：∠AOD∠COB；（2）求证：△AOG≌△COE；（3）若OA＝OB，当A，O，C三点共线时，恰好OB⊥CD，则此时∠AOB＝°．28．（9分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，且BD＝AD．（1）求证：CD⊥AB；（2）∠CAD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．①求证：DE平分∠BDC；②若点M在DE上，且DC＝DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明；③若N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，直接写出∠CNE的度数．11/ 1212/ 12。
专题02 运动学图像(讲解)(原卷版)
运动学图像物理规律的表达除了用公式外，有的规律还可以用图像表达。
用图像来表达物理规律的优点是能形象、直观地反映物理量之间的函数关系，这也是物理中常用的一种方法。
对图像的要求可概括记为：“一轴二线三斜率四面积”。
除了轨迹图像，其它的图像都只能用来描述直线运动。
一、三种常见的运动学图像1．位移—时间（x−t）图象（1）图线的物理意义：x−t图象是描述做直线运动物体的位移随时间变化的规律。
但并不表示物体的运动轨迹，不能认为乙图线表示物体做曲线运动。
位移—时间图像只能描述物体做直线运动的情况，这是因为位移—时间图像只能表示物体运动的两个方向：t轴上方代表正方向，t轴下方代表负方向；如果物体做曲线运动，则画不出位移—时间图像。
图线斜率的意义：①图线上某点切线斜率的大小表示物体速度的大小。
②图线上某点切线斜率的正负表示物体速度的方向。
（2）三种x−t图象的特例①匀速直线运动的x−t图象是一条倾斜的直线，如图中图线甲；②匀变速直线运动的x−t图象是一条抛物线，如图线乙。
③若x−t图象是一条平行于时间轴的直线，则表示物体处于静止状态，如图线丙。
（3）图象反映的信息①从图像上可判断运动性质。
平行于t轴的直线——静止；倾斜线——匀速直线运动；抛物线——匀变速直线运动。
②从图像上可判断运动方向。
斜率为正——正方向；斜率为负——负方向。
③从图象中可知道某一时刻物体的位置；还可知道物体在任意一段时间内的位移或发生某一段位移所用的时间。
直线是否过原点，取决于开始计时的位置是否作为位移的起始点。
④可从图像上求速度：图线上某点切线的斜率的大小表示物体速度的大小；斜率的正负表示速度的方向，是与选定的正方向相同还是相反。
⑤在同一位移图象中，可以比较两物体运动快慢。
越陡（斜率越大），速度越大，运动越快。
两条图线的交点表示两个物体在该时刻具有相同的位置，即两个物体在该时刻相遇。
⑥在位移图象中，图线在x轴上的截距表示物体在开始计时前已发生的位移（即初位移，开始计时时的位置），在t轴上的截距表示计时一段时间后物体才开始运动。
专题02 图形变化规律(解析版)中考数学二轮复习难点题型专项突破
专题02 图形变化规律一．圆点类图形变化1．（2020•绥化）如图各图形是由大小相同的黑点组成，图1中有2个点，图2中有7个点，图3中有14个点，…，按此规律，第10个图中黑点的个数是119．解：∵图1中黑点的个数2×1×（1+1）÷2+（1﹣1）＝2，图2中黑点的个数2×2×（1+2）÷2+（2﹣1）＝7，图3中黑点的个数2×3×（1+3）÷2+（3﹣1）＝14，……∴第n个图形中黑点的个数为2n（n+1）÷2+（n﹣1）＝n2+2n﹣1，∴第10个图形中黑点的个数为102+2×10﹣1＝119．故答案为：119．2．（2020•日照）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第10个图案中共有圆点的个数是（）A．59B．65C．70D．71解：根据图中圆点排列，当n＝1时，圆点个数5+2；当n＝2时，圆点个数5+2+3；当n＝3时，圆点个数5+2+3+4；当n＝4时，圆点个数5+2+3+4+5，…∴当n＝10时，圆点个数5+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11＝4+（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11）＝．故选：C．3．（2020•大庆）如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为440．解：观察图形可知：第1个图需要黑色棋子的个数为：3＝1×3；第2个图需要黑色棋子的个数为：8＝2×4；第3个图需要黑色棋子的个数为：15＝3×5；第4个图需要黑色棋子的个数为：24＝4×6；…发现规律：第n个图需要黑色棋子的个数为：n（n+2）；所以第20个图需要黑色棋子的个数为：20（20+2）＝440．故答案为：440．4．（2020•德州）如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（）A．148B．152C．174D．202解：根据图形，第1个图案有12枚棋子，第2个图案有22枚棋子，第3个图案有34枚棋子，…第n﹣1个图案有2（1+2+…+n+1）+2（n﹣2）＝n2+5n﹣2枚棋子，第n个图案有2（1+2+…+n+2）+2（n﹣1）＝n2+7n+4枚棋子，故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为102+7×10+4＝100+70+4＝174（枚）．故选：C．二．三角形类图形变化5．（2020•白银模拟）如图，用火柴棒按如图所示的方式搭一行三角形，搭1个三角形需3枝火柴棒，搭2个三角形需5枝火柴棒，搭3个三角形需7枝火柴棒，照这样的规律搭下去，搭2020个三角形需要火柴棒4041枝．解：第一个三角形需要3枝火柴棒；第二个三角形需要（3+2）枝火柴棒；第3个三角形需要（3+2×2）枝火柴棒．…第n个三角形需要[3+（n﹣1）×2]＝2n+1枝火柴棒．所以，第2020个三角形需要火柴棒＝2×2020+1＝4041（枝）．故答案为：4041．6．（2020•山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去，第n个图案有（3n+1）个三角形（用含n的代数式表示）．解：第1个图案有4个三角形，即4＝3×1+1第2个图案有7个三角形，即7＝3×2+1第3个图案有10个三角形，即10＝3×3+1…按此规律摆下去，第n个图案有（3n+1）个三角形．故答案为：（3n+1）．7．（2020•重庆）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（）A．10B．15C．18D．21解：∵第①个图案中黑色三角形的个数为1，第②个图案中黑色三角形的个数3＝1+2，第③个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3，…∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15，故选：B．8．（2020•温州模拟）如图，第1个图形有1个三角形，第2个图形中有5个三角形，第3个图形中有9个三角形，……，则第2019个图形中有8073个三角形．解：由图可得，第1个图形有1个三角形，第2个图形中有1+4＝5个三角形，第3个图形中有1+4+4＝1+4×2＝9个三角形，……，则第2019个图形中有：1+4×（2019﹣1）＝8073个三角形，故答案为：8073．三．正方形类图形变化9．（2020•聊城）人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n个图形用图ⓝ表示，那么第50个图形中的白色小正方形地砖的块数是（）A．150B．200C．355D．505解：由图形可知：第1个图形12块白色小正方形，第2个图形19个白色小正方形，第3个图形26个白色小正方形则图ⓝ的白色小正方形地砖有（7n+5）块，当n＝50时，7n+5＝350+5＝355．故选：C．10．（2020•娄底模拟）下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的，其中，第1个图形中面积为1的正方形有9个，第2个图形中面积为1的正方形有14个，……，按此规律，则第几个图形中面积为1的正方形的个数为2019个（）A．400B．401C．402D．403解：第1个图形面积为1的小正方形有9个，第2个图形面积为1的小正方形有9+5＝14个，第3个图形面积为1的小正方形有9+5×2＝19个，…第n个图形面积为1的小正方形有9+5×（n﹣1）＝5n+4个，根据题意得：5n+4＝2019，解得：n＝403．故选：D．11．（2020•通辽）如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，按这样的方法拼成的第（n+1）个正方形比第n个正方形多2n+3个小正方形．解：∵第1个正方形需要4个小正方形，4＝22，第2个正方形需要9个小正方形，9＝32，第3个正方形需要16个小正方形，16＝42，…，∴第n+1个正方形有（n+1+1）2个小正方形，第n个正方形有（n+1）2个小正方形，故拼成的第n+1个正方形比第n个正方形多（n+2）2﹣（n+1）2＝（2n+3）个小正方形．故答案为：2n+3．12．（2020•渌口区模拟）如图：已知正方形的边长为a，将此正方形按照下面的方法进行剪拼：第一次，先沿正方形的对边中点连线剪开，然后对接为一个长方形，则此长方形的周长为4a；第二次，再沿长方形的对边（长方形的宽）中点连线剪开，对接为新的长方形，如此继续下去，第n次得到的长方形的周长为2n﹣1•4a+2×（）n a．解：第1个长方形的周长为4a+2×a，第2个长方形的周长为2×4a+2×a，第3个长方形的周长为2×8a+2×a，……∴第n个长方形的周长为2n﹣1•4a+2×（）n a，故答案为：4a+2×a，2n﹣1•4a+2×（）n a．四．旋转跳跃类图形变化13．（2020•江西模拟）如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5．若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3的顶点时，他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，第20次“移位”后，他所处顶点的编号是（）A．1B．2C．3D．4解：根据题意，小宇从编号为2的顶点开始，第1次移位到点4，第2次移位到达点3，第3次移位到达点1，第4次移位到达点2，…，依此类推，4次移位后回到出发点，20÷4＝5．所以第20次移位为第5个循环组的第4次移位，到达点2．故选：B．14．（2020•常德）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F解：经实验或按下方法可求得顶点C，E和F棋子不可能停到．设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p格，这时p是整数，且使0≤k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7＜k≤2020，设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p＝7m+t（t+1），由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．故选：D．15．（2020•嵊州市模拟）如图1，现有8枚棋子呈一直线摆放，依次编号为①～⑧．小明进行隔子跳，想把它跳成4叠，每2枚棋子一叠，隔子跳规则为：只能靠跳跃，每一步跳跃只能是把一枚棋子跳过两枚棋子与另一枚棋子相叠，如图2中的（1）或（2）（可随意选择跳跃方向）一枚棋子最多只能跳一次．若小明只通过4步便跳跃成功，那么他的第一步跳跃可以为（）A．①叠到④上面B．②叠到⑤上面C．④叠到⑦上面D．⑤叠到⑧上面解：A、①叠到④上面，③只能叠到⑤上面，②不能按规则跳，故选项错误；B、②叠到⑤上面，④只能叠到⑥上面，③不能按规则跳，故选项错误；C、④叠到⑦上面，⑥能叠到②上面，①能叠到③上面，⑤能叠到⑧上面，故选项正确；D、⑤叠到⑧上面，⑦只能叠到③上面，⑥不能按规则跳，故选项错误．故选：C．16．（2020•赤峰）一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动．第一次从原点O起跳，落点为A1，点A1表示的数为1；第二次从点A1起跳，落点为OA1的中点A2，第三次从A2点起跳，落点为OA2的中点A3；如此跳跃下去…最后落点为OA2019的中点A2020，则点A2020表示的数为．解：第一次落点为A1处，点A1表示的数为1；第二次落点为OA1的中点A2，点A2表示的数为；第三次落点为OA2的中点A3，点A3表示的数为（）2；…则点A2020表示的数为（）2019，即点A2020表示的数为；故答案为：．五．复合图形变化17．（2020•莒县二模）如图，∠AOB为锐角，在射线OA上依次截取A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝A n A n+1，在射线OB 上依次截取B1B2＝B2B3＝B3B4＝…＝B n B n+1，记S n为△A n B n B n+1的面积（n为正整数），若S3＝7，S4＝10，则S2019＝（）A．4039B．4041C．6055D．6058解：过A3作A3C⊥OB于C，过A4作A4D⊥OB于D，过A2019作A2019E⊥OB于E，如图所示：则△OA3C∽△OA4D∽△OA2019E，设OA1＝a，A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝A n A n+1＝1个单位，∵S3＝7，S4＝10，B1B2＝B2B3＝B3B4＝…＝B n B n+1，∴＝，即＝，解得：a＝，∴＝，即＝，∴A2019E＝6055，∴S2019＝6055，故选：C．18．（2020•郓城县一模）一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3……在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形A2020B2020C2020D2020的边长是（）A．（）2017B．（）2018C．（）2019D．（）2020解：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，∴D1E1＝B2E2，D2E3＝B3E4，∠D1C1E1＝∠C2B2E2＝∠C3B3E4＝30°，∴D1E1＝C1D1sin30°＝，则B2C2＝＝（）1，同理可得：B3C3＝＝（）2，故正方形A n B n∁n D n的边长是：（）n﹣1，则正方形A2020B2020C2020D2020的边长为：（）2019，故选：C．19．（2020•周村区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4．点M1，N1，P1分别在AC，BC，AB 上，且四边形M1CN1P1是正方形，点M2，N2，P2分别在P1N1，BN1，BP1上，且四边形M2N1N2P2是正方形，…，点M n，N n，P n分别在P n﹣1N n﹣1，BN n﹣1，BP n﹣1上，且四边形M n N n﹣1N n P n是正方形，则线段BN2020的长度是．解：∵N1P1∥AC，∴△B1N1P1∽△BCA，∴＝，设N1P1＝x，则＝，解得：x＝，∴BN1＝BC﹣CN1＝4﹣＝，同理，∵N2P2∥AC，∴△P1N1B∽△P2N2B，设P2N2＝y，∴＝，解得：y＝，∴BN2＝﹣＝＝．同理，BN3＝＝，∴线段BN2020的长度是．故答案为：．20．（2020•锦州一模）如图，∠MON＝30°，点A1在ON上，点C1在OM上，OA1＝A1C1＝2，C1B1⊥ON于点B1，以A1B1和B1C1为邻边作矩形A1B1C1D1，点A1，A2关于点B1对称，A2C2∥A1C1交OM于点C2，C2B2⊥ON于点B2，以A2B2和B2C2为邻边作矩形A2B2C2D2，连接D1D2，点A2，A3关于点B2对称，A3C3∥A2C2交OM 于点C3，C3B3⊥ON于点B3，以A3B3和B3C3为邻边作矩形A3B3C3D3，连接D2D3，……依此规律继续下去，则D n D n+1＝2n﹣1•．解：由题意D1D2＝＝＝20，D2D3＝＝2＝21•，D3D4＝＝4＝22•，…∴D n D n+1＝2n﹣1•，故答案为2n﹣1•．。
专题02《全等三角形》(原卷版)-期末挑重点之2021-2021学年上学期人教版八年级数学
专题02 全等三角形1．全等三角形定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．2．全等三角形的性质（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等．（2）全等三角形的周长相等，面积相等．（3）全等三角形的对应的中线、高、角平分线相等．（4）传递性：若△ABC≌△DEF，△DEF≌△MNP，则△ABC≌△MNP．3．全等三角形的判定（1）判定方法：①依据定义．②依据判定定理．（2）判定定理①三边分别相等的两个三角形全等（可以简写为“SSS”）．②两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写为“SAS”）．③两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写为“ASA”）．④两角分别相等且其中一角的对边也相等的两个三角形全等（可以简写为“AAS”）．⑤斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写为“HL”）．（3）证明思路①SASHL SASSSS→→→⎧⎪⎨⎪⎩找夹角已知两边找直角或找另一边②AASSASASAAAS→→→→→→⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边和一角边为角的一边找夹角的另一角找边的对角③ASAAAS →→⎧⎨⎩找夹边已知两角找任一角的对边（4）常用策略：添加辅助线法①连接两点的线段．②过某点做某线的平行线，帮助找到相等的角，从而构造出全等三角形．③作垂线，以出现直角、距离、高；题中若有角平分线、等腰三角形等条件时常作这样的辅助线，便于找到相等线段或便于用三线合一定理．④题中出现垂直平分线条件时，向线段两端点连线．⑤截取与某线段相等的线段，从而构造出全等三角形．4．角的平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等．几何语言：∵OQ 平分∠AOB ，且QE ⊥OB ，QD ⊥OA ，∴QD =QE ．5．角的平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．几何语言：∵QE ⊥OB ，QD ⊥OA ，且QD =QE ，∴OQ 平分∠AOB ．6．尺规作图（1）作已知角（课本P36）．（2）作角平分线（课本P48）．（3）作线段的垂直平分线（课本P63）．（4）作已知直线的垂线（课本P62）．①过已知直线上一点作已知直线的垂线②过已知直线外一点作已知直线的垂线考点一、全等三角形的性质例1 （2020淄博）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）A. AC=DEB. ∠BAD=∠CAEC. AB=AED. ∠ABC=∠AED.【答案】B【解析】∵△ABC≌△ADE，∴AC=AE，AB=AD，∠ABC=∠ADE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE. 故A，C，D选项错误，B选项正确，故选：B.【名师点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．考点二、全等三角形的判定例2（2020永州）如图，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（）A. SASB. AASC. SSSD. ASA【答案】A【解析】∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，∴△ABC≌△DCB（SAS）故选：A.【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题的关键．考点三、角平分线的性质例3（2020怀化）在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD=3，则DE的长为（）A. 3B. 32C. 2D. 6【答案】A．【解析】∵∠B=90°，∴DB⊥AB，又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，∴DE=BD=3，故选：A．【名师点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．考点四、角平分线的判定例4 （2020焦作月考）已知，如图，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O 重合），在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P. 且AP=BP，∠APB=120°．求证：点P在∠MON的平分线上.【答案】见解析.【解析】如图，过点P分别作PS⊥OM于点S，PT⊥ON于点T，∴∠OSP=∠OTP=90°，在四边形OSPT中，∠SPT=360°-∠OSP-∠SOT-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°，∴∠APB=∠SPT=120°∴∠APS=∠BPT，又∵∠ASP=∠BTP=90°AP=BP∴△APS≌△BPT∴PS=PT∴点P在∠MON的平分线上.【名师点睛】本题考查全等三角形的性质和角平分线的判定定理，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．用判定定理证明较为简单．题中角平分线的性质定理和判定定理都要用到，注意书写的规范，弄清每个定理需要的条件及得出的结论．考点五、尺规作图例5 （2020金昌）如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上一点，且BD BA =.（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作ABC ∠的角平分线交AD 于点E ；②作线段DC 的垂直平分线交DC 于点F .（2）连接EF ，直接写出线段EF 和AC 的数量关系及位置关系.【答案】见解析.【解析】（1）①如图， BE 即为所求；②如图，线段DC 的垂直平分线交DC 于点F ，（2）∵BD=BA ，BE 平分∠ABD ，∴点E 是AD 的中点，∵点F 是CD 的中点，∴EF 是△ADC 的中位线，∴线段EF 和AC 的数量关系为：EF=12AC ， 位置关系为：EF ∥AC.【名师点睛】本题考查了作图——复杂作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质，灵活运用所学知识解决问题．考点六、全等三角形的判定与性质例6（2020南通）如图，在△ABC 中，AB=2，∠ABC=60°，∠ACB=45°，D 是BC 的中点，直线l 经过点D ，AE ⊥l ，BF ⊥l ，垂足分别为E ，F ，则AE+BF 的最大值为（ ）A.【答案】A【解析】如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△AHB中，∵∠ABC=60°，AB=2，∴BH=1，，在Rt△AHC中，∠ACB=45°，∴=，∵点B为BC中点，∴BD=CD，在△BFD与△CKD中，∠BFD=∠CKD=90°，∠BDF=∠CDK，BD=CD，∴△BFD≌△CKD（AAS）∴BD=CK，延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN，在Rt△CAN中，AN<AC，当直线l⊥AC.故选：A.【名师点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键.考点七、全等三角形的实际应用例7（2020陕西）如图所示，小明家与小华家同住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN，他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数. 于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等. 已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB=31m，BC=18m，试求商业大厦的高MN．【答案】商业大厦的高MN为80米.【解析】如图，过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，∴∠CEF=∠BFE=90°，∵CA⊥AM，NM⊥AM，CE⊥MN，BF⊥MN，∴CE=BF，AE=AC，∵∠1=∠2，∴△BFN≌△CEM（ASA），∴NF=EM=31+18=49，EF=CB=18，∴MN=NF+EM-EF=49+59-18=80（m）答：商业大厦的高MN为80米.【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义，构造全等三角形解决问题.一、选择题1．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A．SSS B．SASC．AAS D．ASA2. （2020荆州一模）如图，两个三角形全等，则∠α的度数是（）A．50°B．58°C．72°D．60°3．下列关于全等三角形的说法不正确的是（）A．全等三角形的大小相等B．两个等边三角形一定是全等三角形C．全等三角形的形状相同D．全等三角形的对应边相等4.（2020鄂州期中）如图，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB为斜边，AC＝BD，BC，AD相交于点E，下列说法错误的是（）A ．AD ＝BCB ．∠DAB ＝∠CBAC ．△ACE ≌△BDED ．AC ＝CE5．如图，P 是∠BAC 的平分线AD 上一点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，下列结论中不正确的是（ ）A ．PE PF =B ．AE AF =C ．△APE ≌△APFD ．AP PE PF =+ 6．如图，已知AB DC AD BC BE DF =∥，∥，，则图中全等三角形的总对数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．如图，55AB DC AE DF CE BF B ===∠=︒，，，，则C ∠=（ ）A ．45°B ．55°C ．35°D ．65°8．（2020通州一模）如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE ＝FE ，FC ∥AB ，若AB ＝4，CF ＝3，则BD 的长是（ ）A ．0.5B ．1C ．1.5D ．29．（2020焦作模拟）如图，BD 是ABC ∆的角平分线，AE BD ⊥，垂足为F ．若35ABC ∠=︒，50C ∠=︒，则CDE ∠的度数为（ ）A．35︒B．40︒C．45︒D．50︒10．（2020鄂州）如图，在△AOB和△CDO中，OA=OB，OC=OD，OA<OC，∠AOB=∠COD=36°.连接AC，BD交于点M，连接OM. 下列结论：①∠AMB=36°，②AC=BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD. 其中正确是结论个数有（）个．A. 4B.3C.2D.1二、填空题11．（2020江西）如图，AC平分∠DCB，CB=CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC=49°，则∠BAE12. （2020湘潭）如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD=3，点M13.如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，则∠ADC的度数为______．14．（2020菏泽模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC 的面积是．15．（2020武汉模拟）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED 的面积分别为40和28，则△EDF的面积为．16.（2020齐齐哈尔）如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB=∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是．（只填一个即可）三、解答题17.（2020鞍山）如图，在四边形ABC D中，∠B=∠D=90°，点E，F分别在AB，AD上，AE=AF，CE=CF，求证：CB=CD．18.（2020大连）如图，△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，BD=CE，求证：∠ADE=∠AED．19.（2020河池）（1）如图（1），已知CE与AB交于点E，AC=BC，∠1=∠2. 求证：△ACE≌△BCE．（2）如图（2），已知CD的延长线与AB交于点E，AD=BC，∠3=∠4．探究AE与BE的数量关系，并说明理由．21.（2020镇江）如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1=∠B，点E、F分别在AB、BC上，EB=CD，BE=CD，BF=CA，连接EF．（1）求证：∠D=∠2；（2）若EF∥AC，∠D=78°，求∠BAC的度数．22.（2020泸州一模）如图，AB ∥CD ，AD 和BC 相交于点O ，OA ＝OD ．求证：OB ＝OC ．23.（2020荆门）如图，ABC 中，AB AC =，B ∠的平分线交AC 于D ，//AE BC 交BD 的延长线于点E ，AF AB ⊥交BE 于点F ．（1）若40BAC ∠=︒，求AFE ∠的度数；（2）若2AD DC ==，求AF 的长．24.（2020内江）如图，点C 、E 、F 、B 在同一直线上，点A 、D 在BC 的异侧，//AB CD ，AE=DF ，∠A=∠D ．（1）求证：AB=CD ；（2）若AB=CF ，∠B=40°，求D ∠的度数．25．（2020武汉模拟）如图1，点P 、Q 分别是等边△ABC 边AB 、BC 上的动点（端点除外），点P 从顶点A 、点Q 从顶点B 同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ 、CP 交于点M ．（1）求证：△ABQ≌△CAP；（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则。
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例6.（2020黄浦区一模）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部，将BF延长交AD于点G．若 ，则 =__．
7.（2020黄浦二模）已知等边△ABC的重心为G，△DEF与△ABC关于点G成中心对称，将它们重叠部分的面积记作S1，△ABC的面积记作S2，那么 的值是
8．（2020黄浦二模）已知⊙O的直径AB＝4，⊙D与半径为1的⊙C外切，且⊙C与⊙D均与直径AB相切、与⊙O内切，那么⊙D的半径是．
9.（2020虹口区一模）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，sinC＝ ，AB＝9，AD＝6，点E、F分别在边AB、BC上，联结EF，将△BEF沿着EF所在直线翻折，使BF的对应线段B′F经过顶点A，B′F交对角线BD于点P，当B′F⊥AB时，AP的长为．
例3.（2020崇明二模）如图，将 沿 边上的中线 平移到 的位置，已知 的面积为16，阴影部分三角形的面积为9，如果 ，那么 的长为_____．
例4.如图， 和 是两个具有公共边的全等的等腰三角形，AB=AC= 3cm，BC= 2cm．将 沿射线BC平移一定的距离得到 ，连接 、 ．如果四边形 是矩形，那么平移的距离为______cm．
1.下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．正五边形B．正六边形C．等腰三角形D．等腰梯形
2.如图，将周长为8的 沿BC方向平移1个单位长度得到 ，则四边形ABFD的周长为______．
3.（2020宝山二模）如图，在△ABC中，AB=AC=5， ，将△ABC绕点B逆时针旋转，得到 ，当点 在线段CA延长线上时 的面积为_________．
模块三：图形的翻折
1、翻折与轴对称图形
（1）把一个图形沿一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点．
（2）轴对称图形是一个图形关于某直线对称；轴对称是两个图形关于某条直线对称．
2、轴对称
（1）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称．
专题02 图形的运动
模块一：图形的平移
例1.如图， 中直角边AB= 6，BC= 8，沿边AC将向下平移至 ．已知阴影部分两边长 ，CD= 4，则阴影部分的面积为______．
例2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，6），将 沿x轴向左平移得到 ，点A的对应点 落在直线 上，则点B与其对应点 间的距离为______．
例2.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
例3. 下列四边形中，是轴对称但不是中心对称的图形是（ ）
A．矩形B．菱形C．平行四边形D．等腰梯形
例4.（2020松江二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，将矩形ABCD沿着直线BC翻折，点A、点D的对应点分别为A′、D′,如果直线A′D′与⊙O相切，那么 的值为.
例2.如图， 是等边三角形，若点A绕点C顺时针旋转30°至点 ，联结 ，则 度数是______．
例3.将矩形ABCD（如图）绕点A旋转后，点D落在对角线AC上的点 ，点C落到 ，如果AB= 3，BC =4，那么 的长为_______．
例4.（2020闵行二模）如图，已知在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转，使点B落在点B1处，点C落在点C1处，且BB1⊥AC．联结B1C和C1C，那么△B1C1C 面积等于______．
（2）轴对称的图形的性质：两个图形关于一条直线成轴对称，这两个图形对应线段的长度和对应角的大小相等，它们的形状相同，大小不变；在成轴对称的两个图形中，分别连接两对对应点，取中点，连接两个中点所得的直线就是对称轴．
例1.窗花是我国的传统艺术，下列四个窗花图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
例5.（2020长宁、金山区一模）如图，在 中， ， ， ，点 在边 上，联结 ，将 绕着点 旋转，使得点 与边 的中点 重合，点 的对应点是点 ，则 的长等于_____．
例6.如图，底角为 的等腰 绕着点B顺时针旋转，使得点A与边BC上的点D重合，点C与点E重合，联结AD、CE．已知 ，AB= 5，则CE=______．
例5.已知 中，AB=AC= 5，BC= 6（如图所示），将 沿射线BC方向平移m个单位得到 ，顶点A、B、C分别与D、E、F对应，若以点A、D、E为顶点的三角形是等腰三角形，且AE为腰，则m的值是________．
模块二：图形的旋转
例1.在下列ห้องสมุดไป่ตู้形中，中心对称图形是（ ）
A．等腰梯形B．平行四边形C．正五边形D．等腰三角形
例7.（2020杨浦区一模）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6点D在底边BC上，且∠DAC=∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为______.
例8.如图，梯形ABCD中，AD//BC， ，AD= 2，BC= 5，E是AB上一点，将 沿着直线CE翻折，点B恰好与D点重合，则BE =______．
6.（2020静安二模）如果一条直线把一个四边形分成两部分，这两部分图形的周长相等，那么这条直线称为这个四边形的“等分周长线”．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，DC＝AD，∠B是锐角，cotB＝ ，AB＝17．如果点E在梯形的边上，CE是梯形ABCD的“等分周长线”，那么△BCE的周长为．
4.（2020奉贤二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝35°，CD是斜边AB上的中线，如果将△BCD沿CD所在直线翻折，点B落在点E处，联结AE，那么∠CAE的度数是度．
5.（2020金山二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，把△ABC绕C点旋转得到△A'B'C，其中点A'在线段AB上，那么∠A'B'B的正切值等于．