第四章 一元函数积分学
大一下学期高等数学教材
大一下学期高等数学教材高等数学作为一门重要的学科，是大多数理工科专业的必修课程之一。
在大一下学期，学生将接触到更加深入和复杂的高等数学知识。
针对这一学期的高等数学教材，在本文中将从内容概述、难点分析和学习方法三个方面进行探讨。
一、内容概述大一下学期的高等数学教材主要包含以下几个方面的内容：1. 序列和极限：介绍数列和函数的极限概念，以及相关的性质和运算法则。
2. 一元函数微分学：涉及一元函数的导数定义、求导法则、高阶导数、应用题等内容。
3. 一元函数积分学：介绍一元函数的不定积分和定积分，以及牛顿-莱布尼茨公式和定积分的应用。
4. 高阶微分学：深入探讨多元函数的偏导数和全微分的定义、性质和计算方法。
5. 多重积分学：介绍二重积分和三重积分的定义、性质、计算方法，以及在平面和空间中的应用。
6. 常微分方程：讲解常微分方程的基本概念、解法和应用，包括一阶和二阶常微分方程。
二、难点分析针对上述内容，大一下学期的高等数学教材中存在一些难点，需要同学们特别关注和加以克服：1. 极限和连续性：极限是整个高等数学的基础和核心，对于一些抽象概念的理解和运用需要一定的思维能力。
2. 微分学和积分学：对于一元函数的导数和不定积分的理解和计算，需要熟练掌握各种求导法则和积分表。
3. 多元函数的微分学和积分学：相较于一元函数，多元函数涉及到更多的变量和复杂的求导和积分运算，需要更高的抽象和计算能力。
4. 常微分方程：常微分方程涉及到多种方法和技巧的综合应用，理论和实际问题的结合需要培养学生的创新思维和解决问题的能力。
三、学习方法为了顺利掌握大一下学期的高等数学教材，以下是几点学习方法的建议：1. 扎实基础：高等数学是建立在微积分的基础上的，确保对微积分的基本概念和方法有清晰的认识和理解。
2. 理论与实践相结合：高等数学的应用广泛，理论与实际问题相结合深化理解。
多做练习和实例，注重解题思路和方法的培养。
3. 疑难问题及时解答：遇到难题和疑问及时请教老师或同学，不要拖延和放弃，坚持解决问题的态度。
《大学数学课件一元函数微积分学》
曲线长度与曲率
曲线长度公式
曲线长度的计算需要对曲线进行参数化，然 后对其微分求和。实数的曲线长度困难，函 数的曲线长度一般参数化之后再求积分。
计算曲率
曲率定义为在曲线某一点处曲线凝聚程度的 量，凡是具有确定的曲率的曲线上的点组成 的集合，成为曲线的曲率线。
微积分的实际应用举例
金融领域应用
微积分在金融等经济学领域中有广泛的应用，能 够帮助我们更好地理解时间价值、股市价格、股 息、衍生证券等。
龙虾曲线
一种分段光滑的曲线，通过迭代形成，是高阶 导数比较经典的应用之一。
复分析
复函数又叫做复变量函数，它是一个变量为一 个复数的函数。复分析是以复函数为研究对象 的数学分支。
不定积分的概念与求法
基本积分法
通过多种方法计算不定积 分：代换法、分部积分法、 三角函数积分法、有理函 数积分法、分式分解。
应用于牛顿第二定律
在物理领域中，微积分的应用非常广泛，牛顿第 二定律是牛顿—莱布尼茨公式的一个重要应用例 子。
定积分的概念与性质
定积分概念
在一定区间内，用先进（上）的近似值与落后（下）的近似值的平均数来逐 渐缩小误差范围的整个过程，那么最后这个误差的范围越来越小。
牛顿—莱布尼茨公式
定积分的本质意义就是计算曲线下对应的面积，和物理中的质量、体积密度、 功力密度有关，是牛顿—莱布尼茨公式的重要应用场景。
极限概念
当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于一个限的极限。
高阶导数及其应用
高阶导数的定义
高阶导数指的是对导数的导数（即二阶导数、三阶导数……）
泰勒展开式
泰勒公式是一个非常重要的工具.利用泰勒公式，可以把函数转化成为一些比较简单的多项式的和的 形式，从而来研究一些不易计算的函数。
高等数学1：一元函数微积分学
高等数学1：一元函数微积分学
一元函数微积分学是一门具有普遍价值的数学课程，它是描述数学中一元函数的变化趋势以及求解相关问题的一种数学方法。
一元函数微积分学的基础是微积分学，它是由法国数学家库仑发明的一种数学方法，主要是研究函数的微小变化。
微积分学的结果就是一元函数微积分学，它是一种研究函数变化趋势的方法，可以描述函数在各个点的变化状态，也可以用来求解函数的极值和极限，从而获得函数的全局特征。
研究一元函数微积分学需要掌握一些基本概念，如函数极限、微分、导数、极值等，这些概念可以帮助我们更好地理解函数的变化趋势，有助于求解函数的极值、极限等问题。
在研究一元函数微积分学时，除了要掌握一些基本概念外，还要掌握一些解决问题的方法，如泰勒公式、换元法和求积分等。
这些方法可以帮助我们研究函数的变化趋势，从而更好地理解函数的特征。
总之，一元函数微积分学是一门十分重要的数学课程，它能够帮助我们更好地理解函数的变化趋势，有助于求解函数的极值和极限，从而获得函数的全局特征。
研究一元函数微积分学时，除了要掌握一些基本概念外，还要掌握一些解决问题的
方法，如泰勒公式、换元法和求积分等。
只有掌握了这些方法，才能更好地理解函数的特征，并能够解决函数相关的问题。
电子教案-高等数学(工科类)(魏寒柏 骈俊生)ppt-第四章一元函数积分学及其应用-电子课件
计
算
A
1 x2dx
0
1x3 3
1 0
1 3
0
1 3
例 计算下列定积分
41
第 二
(1)
1
dx x
(2) 2 cosxdx 0
节
解：先运用相应的积分公式求出原函数，再
定 积
利用牛顿-莱布尼兹公式计算它在上、下限处
分 的
函数值的差。
计 算
(1)
4 1
1 dx 2 x
x
4 1
4
2
2
(2)
2
2 cosxdx sin x 1 0 1
第
点x1 x2 , , xn1 ，如果记x0 a, xn b，这样就把区
一 节
间[a,b] 任意分成了n 个小区间[xi1, xi ], i 1,2, , n，其长
度对应记为xi xi xi1 ，且将所有小区间长度的最
定 积 分 的 概
大值记为 max{ xi}。在每个小区间[xi1, xi ]上任取一
一 节
“取极限”四个步骤.
定
(1) “分割”
积 分
在区间[0,1]内均匀地插入n 1个分点：
的 概 念
x1
1 n , x2
2 , n
, xn1
n 1 n
得到n个等分小区间，记
小区间对应的小曲边形
面积为si (i 1,2, , n) ，于
是有：A
n
si
i 1
(2) “近似”
第 一 节
以 点每xi 个ni 处小的区函间数的值长度f (xi)x作i 1n高作，底就，可区得间到的n右个端小 矩形，如果把它们的面积分别记作Ai ,(i 1,2, ,n)
高等数学微积分--第五章-一元函数积分学(版本1)
例7 求
x4 dx
1 x2
解：原式
(x2
1)( x2 1 x2
1)
dx
1 1 x2 dx
x3 x arctan x C
3
例8 求
cos2
x 2
dx
解：原式=
1 2
dx
c
os 2
x
dx
1 x 1 sin x C 22
例9 求 tan2 xdx
解：原式=
sec2 xdx dx
1
(kx C) k
2
( 1 x1 ) x
1
3
(ln x ) 1
x
4
( a x ) a x
ln a
5 (e x ) e x
f (x)dx F(x) C
kdx kx C
x dx 1 x1 C( 1)
1
1dx x
ln
x
C
a xdx a x C
ln a
exdx ex C
2xdx x2 C
得曲线簇 y=x2+C, 将x=1,y=3代入，得 C=2 所以 y=x2+2
3.1.2 不定积分的基本公式和运算法则
一、不定积分的基本公式
由不定积分的定义可知，不定积分就是微分运 算的逆运算。因此，有一个导数或微分公式，就 对应地有一个不定积分公式。
基本积分表
序号 F(x) f (x)
例19 求
1
1
dx x
根式代换
解： 考虑到被积函数中的根号是困难所在，故
解： (1) (sinx)'= cos x cosxdx sin x C
(2)
1
x4
x3
一元函数积分学
一元函数积分学
一元函数积分学是高等数学中的一个重要分支，它研究了一个实
数变量的函数的积分。
在我们日常生活中，积分被广泛应用于各个领域，如经济学、物理学、工程学等等。
在微积分中，积分是求解面积、体积、概率、质量等量的重要工具之一。
一元函数积分学的主要内容包括定积分、不定积分、变限积分、
换元积分、分部积分等。
其中，定积分是一种重要的积分，它求解的
是在一定区间内的函数曲线下方的面积。
不定积分则不限制求解的区间，可以得到一个函数的原函数。
变限积分和换元积分是定积分的推
广和扩展，能够更加灵活地求解积分问题。
分部积分则是一种将积分
转化为乘积的方法，对于某些复杂的积分问题可以起到关键作用。
在学习一元函数积分学时，我们需要掌握函数积分的基本性质、
定理和方法，并能够熟练地运用它们求解各种积分问题。
此外，我们
还需要了解积分的应用，以便将它们运用到实际问题中解决实际问题。
总的来说，一元函数积分学是高等数学学习中非常重要的一个分支，它具有广泛的应用价值，是我们学习数学的必备知识点之一。
一元函数积分学(定积分几何应用和物理应用)
此 折 线 的 长|M i 1M i|的 极 限 存 在 ， 则 称 此 极 限 为
i 1
曲 线 弧 A的 B 弧 长 .
1. 直角坐标情形
y
设曲线弧为y f(x)
(a xb)，其中f(x)
dy
在[a,b]上有一阶连续导数
取 积 分 变 量 为 x， 在 [a,b]
o a x xdxb x
上 任 取 小 区 间 [x,xd]x ，
w02Rdw4 3gR3[(1)HR].
例12 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力 与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉 击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第 n 次锤击时又将铁钉击入多少？
解
设木板对铁钉的阻力为
f(x)kx ,
dw f(x)d xkx, dx
第一次锤击时所作的功为
三、变力沿直线所作的功
变力作功包括有：电场力作功、气体压力作功、 克服阻力作功、万有引力作功、 弹力作功等.
由 物 理 学 知 道 ， 如 果 物 体 在 作 直 线 运 动 的 过 程
中 有 一 个 不 变 的 力 F作 用 在 这 物 体 上 ， 且 这 力 的 方
向 与 物 体 的 运 动 方 向 一 致 ， 那 么 ， 在 物 体 移 动 了 距
d s (d)x 2(d)y 2[2 (t)2 (t)d ])( 2t
2(t)2(t)dt
弧长
s
2(t)2(t)d.t
3. 极坐标情形
曲线弧为
rr() ()
其 中 ()在 [, ]上 具 有 连 续 导 数 .
xyrr(())scions ()
d s (d)x 2(d)y 2r2()r2()d,
第四章一元函数积分学导学
第四章 一元函数积分学导学一、学习要求1、理解原函数与不定积分概念，弄清两者之间的关系。
会求当曲线的切线斜率已知时，满足一定条件的曲线方程。
知道不定积分与导数（微分）之间的关系。
了解定积分的定义设f(x)在[a,b]上连续，存在F （x ）使得F‘（x ）=f(x)，则2、熟记积分基本公式，熟练掌握不定积分的直接积分法。
了解不定积分和定积分的性质，尤其是：3、熟练掌握第一换元积分法（凑微分法）注意：不定积分换元，要还原回原变量的函数；定积分换元，一定要换上、下限，直接计算其值。
4、熟练掌握分部积分法。
分部积分公式为：会求被积函数是以下类型的不定积分和定积分（1）幂函数与指数函数相乘。
（2）幂函数与对数函数相乘。
（3）幂函数与正（余）弦函数相乘。
5、知道无穷限积分的收敛性，会求无穷限积分。
6、知道变上限定积分概念，知道 是f(x)的原函数，即7、记住奇偶函数在对称区间上的定积分性质，即 （1）若 f(x) 是奇函数，则有)())((x f dx x f dxd=⎰)())((x f dx x f dxd=⎰⎰⎰-=baabdxx f dx x f )()(⎰⎰⎰+=bcc abadxx f dx x f dx x f )()()(⎰⎰⎰⎰-=-=vduuv udv dx vu uv dx uv 或''⎰⎰⎰⎰-=-=bab ab ab ababavduuv udv dx vu uv dx uv ||''或⎰-==babaa Fb F x F dx x f )()()()(|)()()(x f dt t f x xa是⎰=Φ⎰-=aadx x f 0)(（2）若 f(x) 是偶函数，则有本章重点不定积分、原函数概念，积分的计算二、学习方法 看例子、尝试做、不懂就问 三、学习内容（一）、原函数概念定义一：设 f(x)是定义在区间D 上的函数，若存在函数F(x)对任何x ∈D,都有F(x)’=f(x)(或df(x)=f(x)dx)则称F(x)为f(x)在区间D 上的原函数(简称为f(x)的原函数) 如:已知函数f(x)=sinx函数F 1(x)=-cosx 和F 2(x)=-cosx+2都是f(x)=sinx 的原函数。
《数学分析方法选讲》讲义
[ 求极限 lim
π 2
n→∞
π sin π sin 2n sin π n + + ··· + . (北京大学, 1999) 1 1 n+1 n+ 2 n+ n
]
答案提示: = 思考 1.4
2 n 1 + ··· + 2 ; = 2 2 n→∞ (n + n + 1 n +n+2 n +) n+n 2 1 1 1 (2) 求极限 lim √ −√ − ··· − √ ; = −1 2 2 2 n→∞ n −1 n −2 n −n (1) 求极限 lim +
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数 学 分 析 方 法 选 讲 (李 松 华 )
湖南理工学院
第一章 极 限
第一章 极 限
§1.1 数列极限
一、内容提要
1. 与数列极限有关的定义（共8个）
n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞
lim xn = a ⇔ ∀ε > 0，∃N ∈ N，∀n > N ，有|xn − a| < ε成立. lim xn ̸= a ⇔ ∃ε0 > 0，∀N ∈ N，∃n0 > N ，有|xn0 − a| ≥ ε0 成立. lim xn = ∞ ⇔ ∀K > 0，∃N ∈ N，∀n > N ，有|xn | > K 成立. lim xn = +∞ ⇔ ∀K > 0，∃N ∈ N，∀n > N ，有xn > K 成立. lim xn = −∞ ⇔ ∀K > 0，∃N ∈ N，∀n > N ，有xn < −K 成立. lim xn ̸= ∞ ⇔ ∃K0 > 0，∀N ∈ N，∃n0 > N ，有|xn0 | ≤ K0 成立. lim xn ̸= +∞ ⇔ ∃K0 > 0，∀N ∈ N，∃n0 > N ，有xn0 ≤ K0 成立. lim xn ̸= −∞ ⇔ ∃K0 > 0，∀N ∈ N，∃n0 > N ，有xn0 ≥ −K0 成立.
一元函数积分的基本概念及解析方法
一元函数积分的基本概念及解析方法积分是微积分学中的重要概念之一，它广泛应用于各个领域中的计算和解决问题。
而其中一元函数积分是最基础也是最常见的类型之一。
在本篇回答中，我们将介绍一元函数积分的基本概念和解析方法。
一、一元函数积分的基本概念1. 定义：一元函数的积分是对给定函数在某一区间上进行求和的一种运算。
通常用∫f(x)dx表示，其中∫是积分符号，f(x)是被积函数，dx表示自变量。
2. 不定积分与定积分：一元函数积分可以分为不定积分和定积分两种形式。
- 不定积分：表示对被积函数进行积分得到的一类函数。
不定积分的结果常常带有一个不确定的常数C，称为积分常数。
不定积分通常表示为F(x) + C的形式。
- 定积分：表示对被积函数在某一区间上进行积分得到的一个具体的数值。
定积分的结果是一个确定的数值。
3. 基本性质：一元函数积分具有以下基本性质：- 线性性质：若f(x)和g(x)是连续函数，a和b是常数，则有∫(af(x)+bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。
- 区间可加性：若f(x)在区间[a, b]上连续，则有∫[a, b]f(x)dx = ∫[a, c]f(x)dx + ∫[c, b]f(x)dx。
- 基本运算法则：常见函数的不定积分有一些基本的运算法则，如幂函数积分、三角函数积分等，可以通过表格或特定的公式进行求解。
二、一元函数积分的解析方法1. 基本积分公式：一些基本的不定积分可以通过积分表格中的基本积分公式进行求解。
例如：- ∫x^ndx = x^(n+1)/(n+1) + C，其中n≠-1。
- ∫1/xdx = ln|x| + C。
2. 埃尔米特法则：该方法适用于只有有限个特殊点的函数。
根据积分的线性性质和区间可加性，将被积函数划分为若干个小区间，然后对每个小区间使用基本积分公式求解。
3. 分部积分法：对于两个函数相乘，可以通过分部积分法求解。
该方法得到的结果通常需要通过多次应用分部积分法得到。
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f ( x)dx F ( x) c
是 f ( x )的 原 函 数 族 . c 每 取 一 个 值 c 0 , 就 确 定 f ( x )的 一 个 原 函 数 , 在 直 角 坐 标 系 就 确 定 一 条 曲 线 y F ( x ) c0 , 这 条 曲 线 叫 作 函 数 f ( x )的 一 条 积 分 曲 线 .所 有 这 些 积 分 曲 线 构 成 一 个 曲 线 族 称 为 f ( x ) 为 积 分 曲 线 族( 见 图 4 - 1 ) .
2 3
解
1-x x x dx 2 x
3
1 1 1 x dx 2 x x
1 dx 2 x
1 dx x
dx
xd x
1 1 2 ln x x x c x 2
例6 求
ta n x x d x .
2
解
tan x xd x
( x 1) x
2
2
x ( x 1)
2 2
dx
dx 2 x
dx 1 arctan x c . 2 x x 1
例 9 已 知 物 体 以 速 度 v 2 t 1m / s 作 直 线 运 动 , 当 t 1 s时 , 物 体
2
经 过 的 路 径 为 3m , 求 物 体 的 运 动 规 律 .
第一节 不定积分的概念与性质
一、原函数
在 物 理 学 中,质 点 沿 直 线 运 动 时 , 应 根 据 实 际 问 题 的 要 求 分 为 两 个 方 面 讨 论 . 一 方 面 是 已 知 路 程 函 数 s s (t ), 求 质 点 运 动 的 速 度 v v (t ), 这 个 问 题 已 在 微 分 学 中 解 决 了 , v s '(t );另 一 个 方 面 已 知 质 点 作 直 线 运 动 的 速 度 v v (t ), 求 路 程 函 数 s s (t ), 这 个 相 反 过 程 , 从 数 学 的 角 度 来 看 , 它 的 实 质 是 : 已 知 函 数 v v (t ), 求 一 个 函 数 s s (t )使 得 s '(t ) v (t ).类 似 这 类 问 题 , 在 数 学 上 就 抽 象 出 了 原 函 数 的 概 念.
第四章 一元函数积分学
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节
不定积分的概念与性质 不定积分法 定积分的概念与性质 牛顿-莱布尼兹公式 定积分的换元法与分部积分法 广义积分 数学实验四 用Mathematica计算积分
第四章 一元函数积分学
微分和积分是高等数学中的两大基本运算.微分的 基本问题是:已知一个函数,求它的导数.但是,在许多实 际问题中往往会遇到反问题:已知一个函数的导数,求原 来的函数.由此产生了积分学.积分学包括不定积分和定 积分两大部分.
求 不 定 积 分 就 是 求 被 积 函 数 f ( x )的 全 体 原 函 数 .
例1 用微分法验证下列各等式:
(1) x d x
4
x
2
c;
5
( 2 ) c o s 2 x d x
1 2
sin 2 x c .
证
x x 4 4 (1)因 为 c x , 所 以 x dx c; 5 5
x x 3x
用 这 个 公 式 ,可 将 原 积 分 法 做 以 下 变 量 代 换 ,然 后 再 用 这 个 公 式 计算.
f 1 ( x ) f 2 ( x ) d x
f1 ( x ) f 2 ( x )
法则1对于有限个函数的代数和也是成立的!
法 则 2 被 积 表 达 式 中 常 数 因 子 可 以 提 到 积 分 号 的 前 面 ,即 当 k为 不 等 于 零 的 常 数 时 则 有
例3 求下列不定积分:
y
积分曲线族中所有曲线上具 有 相 同 的 横 坐 标 x的 点 , 过 这 些 点 的切线是平行的.
O
图4 1 不定积分的几何意义
x
四、基本的积分公式 由于不定积分是微分的逆运算，所以根据微分基本公式 就得对应的积公式：
(1) d x x c ; (3) (5)
(2) (4)
x
定 义 1 设 函 数 F ( x )与 f ( x ) 定 义 在 同 一 区 间 内 , 并 且 对 该 区 间 内 任 一 点 , 都 有 F '( x ) f ( x )或 d F ( x ) f ( x ) d x.那 么 函 数 F ( x )就 称 为 函 数 f ( x )在 该 区 间 内 的 原 函 数 .
( 2 ) F '( x ) d x F ( x ) c 或 d F ( x ) F ( x ) c .
（微分运算与不定积分的运算是互逆的！）
三、不定积分的几何意义
一 般 地 , 若 F ( x ) 是 f ( x )的 一 个 原 函 数 , 则 f ( x )的 不 定 积 分 为
证 因 为[ F ( x ) c ]' F '( x ) f ( x ), 所 以 F ( x ) c是 f ( x )的 原 函 数 ;反
之 , 若 G ( x )为 f ( x )在 该 区 间 内 的 一 原 函 数 , 则 G '( x ) f ( x ), 又 因 为 F '( x ) f ( x ), 所 以 ,[G ( x ) F ( x )]' 0, 对 于 该 区 间 内 的 一 切 x 成 立 . 由 前 一 章 所 学 知 识 知 道 , G ( x ) F ( x )等 于 常 数 c ,因 此 G ( x ) F ( x ) c.
(1 3) csc x co t xd x csc x c ;
以上13个公式是积分法的基础，必须熟记，不仅要 记住等式右端的结果，还要熟悉左端被积函数的形式！
五、积分的基本运算法则
由导数的运算法则和不定积分的定义，可以得到以下不 定积分的运算法则.
法 则1 两 个 函 数 的 代 数 和 的 不 定 积 分 等 于 各 个 函 数 不 定 积 分 的 代 数 ,即
2 2
'
1 1 ( 2 )由 于 sin 2 x c co s 2 x , 所 以 co s 2 xd x sin 2 x c 2 2
'
由导数与不定积分定义，很容易得到如下规律：
(1) f ( x ) d x f ( x )或 d f ( x ) d x f ( x ) d x ; dx d
定 理 1 ( 原 函 数 族 定 理 ) 果 函 数 f ( x )在 某 区 间 内 有 一 个 原 函 如 数 F ( x ), 那 么 它 在 该 区 间 内 就 有 无 限 多 个 原 函 数 , 并 且 原 函 数 , 并 且 原 函 数 的 全 体 由 形 如 F ( x ) c的 函 数 组 成 ( 其 中 c是 任 意 常 数 ) .
2 1 c. 3
因此所求的物体运动规律为 s (t ) 2 3 4 t t 3 3
思考题
1.一 个 函 数 的 原 函 数 是 否 一 定 存 在 ? 2.初 等 函 数 的 原 函 数 是 否 仍 是 初 等 函 数 ?举 例 说 明 .
答案 答案 答案
3.不 定 积 分 与 原 函 数 的 关 系 是 什 么 ?
二、不定积分
定 义 2 函 数 f ( x )的 全 部 原 函 数 F ( x ) c 称 为 f ( x ) 不 定 积 分 , 记 为 其
f ( x)dx F ( x) c
式 中 , " " 叫 作 不 定 积 分 号 ; f ( x )叫 作 被 积 函 数 ; f ( x ) d x 叫 作 被 积 表 达 式 ; x叫 积 分 变 量 .
x
(6 )
(7 ) e d x e c ;
(8) co s xd x sin x c ;
(9 ) sin xd x co s x c ; (1 1) csc xd x co t x ;
2
(1 0 ) sec xd x tan x c ;
2
(1 2 ) sec x tan xd x sec x c ;
x
(2e)
x
x
x
例4 求
( 2 e - 3 s i n x 1) d x .
x
解
( 2 e 3 sin x 1) d x 2 e d x 3 sin xd x
x x
dx
2 e 3 co s x x c .
x
例5
求
2
1-x x x d x. 2 x
一、第一类换元积分法
第一类换元积分法（又称凑微分法）是与微分分学中的复 合函数微分法则相应的积分法.