振动理论练习题

第1章练习题
题1.1 已知一弹簧质量系统的振动规律为x(t)=1.0sinωt+0.6cosωt (cm), 式中，ω=10π (1/s)。

(1)求其振幅、最大速度、最大加速度和初相位；(2)以旋转矢量表示出它们之间的关系。

题1.2 如题1.2图所示，一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，求其振动微分方程及固有频率。

题1.2图题1.3图
题1.3 一均质直杆，长为l，重力W，用2根长为h的铅直线挂成水平位置，见题1.3图。

试求此杆绕铅直轴oo1微幅振动的微分方程和它的固有周期。

题1.4 如题1.4图，质量m1自高度l下落碰撞原在弹簧k下平衡的质量m2，为完全塑性碰撞，求碰撞后两质量的振动运动。

题1.4图题1.5图
题1.5 如题1.5图，惯性矩为J的轮和轴，轴中心线与铅垂线有夹角α，盘上半径r处有一附加质量m，求轮和盘系统的固有振动周期。

题1.6 利用等效质量与刚度的概念求解题1.6图示系统的固有频率。

AB杆为刚性，本身质量不计。

题1.6图题1.7图
题1.7 两缸发动机的曲轴臂及飞轮如题1.7图所示，曲轴相当于在半径r 处有偏心质量m e ，为平衡这一质量将平衡配重放在飞轮上，设所在位置同样距轴心r ，求平衡配重所需质量。

题1.8 用衰减振动法测定某系统的阻尼系数时，测得在40周内振幅由0.268mm 减少到0.14mm 。

求此系统的相对阻尼系数ζ。

题1.9 某洗衣机滚筒部分重14kN ，用四个弹簧对称支承，每个弹簧的刚度为k =80N ／mm 。

(1)试计算此系统的临界阻尼系数c c ；(2)这个系统装有四个阻尼缓冲器，每个阻尼系数c =1.8N ·s ／mm 。

试问此系统自由振动时经过多少时间后，振幅衰减到10％?(3)衰减振动的周期是多少?与不安装缓冲器时的振动周期作比较。

题1.10 如题1.10图,展开周期半正弦函数F (t )成傅里叶级数，求出所示弹簧质量系统在该F (t ) 作用下的响应。

题1.10图
题1.11图
题1.11 求题1.11图所示初始时静止的弹簧质量系统在力F (t )=F o e -bt 作用下的瞬态响应。

题1.12 试求在t =0时，有冲量F 作用下，有阻尼弹簧质量系统的瞬态响应峰值x m 及其出现时间t m 。

题1.13 弹簧质量系统30o
光滑斜面降落，如题1.13图所示。

自弹簧开始接触底面到离开为止，求所需的时间为多少?
题1.13图
题1.14图
题1.14 无阻尼单自由度质量弹簧m-k 系统，受题1.14图所示力的作用， 记x s =F 0/k ，m k n /2
=ω，
求证，在t < t 0 内，有 )sin (1
)(0
t t t x t x n n n s ωωω-= 在t > t 0内， 有
)(cos ]sin )([sin 1
)(000
t t t t t t x t x n n n n s -+--=ωωωω。

题1.15 如题1.15图,为车辆行驶通过曲线路面模型，设道路曲面方程为：)2cos 1(x l
a y s π
-=，求： 1）车辆通过曲线路面时的振动；2）车辆通过曲线路面后的振动。

题1.15图
题1.16图
题1.16 如题1.16图，质量m 1，m 2被无质量弦牵引，求所示质量的微幅振动微分方程和固有频率，分别给各阶模态形状，设张力T 不变。

题1.17 求如题1.17图所示系统的固有频率，分别给出n ＝l ，n =2时的模态形状。

题1.17图
题1.18图
题1.18 求如题1.18图所示扭转系统在扭转刚度k 1＝k 2,转动惯量J 1＝2J 2时的固有频率和正则模态。

题1.19 在题1.18中，若k 1=0，02≠k 则成为2自由度退化系统，具有一个零固有频率和一个非零固有频率，求其正则模态。

讨论此系统对应的移动位移运动的弹簧质量M -K 系统的形式。

求证当使用φ=θ1-θ2为坐标时，系统可被看成单自由度系统。

题1.20 设n 自由度无阻尼系统自由运动方程为 0Kx x M =+
，设它的n 个固有频率ωi (i =1,2,…, n )互不相同，求证系统模态向量ϕi (i =1,2,…, n )对质量矩阵M 和刚度矩阵K 的正交性，即证明
⎩
⎨⎧≠==j i j i m i j
T i 0M φφ，⎩⎨⎧≠==j i j i k i j T
i 0K φφ, i , j =1, 2, 3, … , n 。

题1.21 如题1.21图，为滑块＋单摆系统，设x (t )= a sin ωt ，其中m k =ω。

求： （1）单摆的最大摆角；（2）系统的固有频率。

题1.21图
题1.22图
题1.22 如题1.22图，其中2/3km c =，m 1=m 2=m ，m 1上受阶跃力F 1，求零初始条件下系统响应。

题1.23 如题1.23图，各质量上的激励力F 1=F 2=F 3=F sin ωt ，其中ω=1.25m k /，各阶模态阻尼比为ζ1=ζ2=ζ3=0.01，求各质量的稳态响应。

题1.23图
题1.24图
题1.24 如题1.24图所示简支梁，三等分处各有质量m 1＝m 2=m ，各质量下有阻尼器，阻尼系数为C 1=C 2=300m k ,其中k 0=486EJ /l 3，EJ 为梁的抗弯刚度，l 为梁长度，设梁的质量不计。

求： （1）各阶相对阻尼系数ζ1，ζ2；（2）质量m 1上受到一单位脉冲力δ(t )作用，m 1，m 2的运动规律。

题1.25 设一等直杆在左端自由，右端固定，求它的纵向振动的表达式。

题1.26 求如题1.26图所示的阶梯杆的纵向振动的特征方程，有ρ1=ρ2=ρ。

提示：杆的连续条件是当x 1＝l 1, x 2＝0时，u 1＝u 2，EA 1
11x u ∂∂＝EA 22
2x u
∂∂。

题 1.26 图
题 1.27 图
题1.27 如题1.27图所示，长为l 的等直圆杆以等角速度ω转动。

某瞬时左端突然固定，求杆扭转振动的响应。

题1.28 一根重的柔性钢索，长度为l ，单位长度的质量为ρ，上端悬挂，在平面内作自由振动，如题1.28图所示，试推导钢索横向运动微方程，并证明可分离成两个常微分方程。

题1.28 图
题 1.29 图
题1.29 如题1.29图所示，等截面悬臂梁的自由端有一弹性支承，其刚度系数为k ，求特征方程和主振型的正交性条件。

题1.30 一等截面梁，x ＝0端自由，x ＝l 端简支，若简支端有横向运动y l (t )=Y l sin ωt ，证明简支端与
自由端的振幅比为0cos sin sin l Y sh l l ch l l Y sh l l
ββββββ-=
-,其中EJ A ρωβ24
=。

题1.31 如题1.31图所示，一根矩形截面杆一端固定一端自由，其长度为l ，厚度为b ，横截面积A 按直线规律变化：A (x )＝A 0(1+x /l )，其中A 0为自由端的截面积，试用里兹法运用模态截断的思路求杆纵向振动的第1，2阶固有频率。

设
第1，2阶振形函数为：2211)(l x x -=φ , 33
21)(l
x x -=φ。

题1.32 随机过程X [t ]的样本函数为：)sin )sin )(2211φωφω+++=t a t a t x 21((，式中a 1，a 2，ω1，
ω2是常数，φ1，φ2为统计独立的在[0，2π]上均匀分布的随机变量，求自相关函数R xx (τ)。

题1.33 某平稳随机过程的自相关函数为：162cos 25)(4+=-τπττ
f e R xx ，求其均值μx ，方差2x ε，
功率谱密度函数S xx (f )和单边谱密度函数G xx (f )。

题1.34 已知某振动系统的输入为力，输出为位移，系统位移响应的y (t )的自功率谱为：
)(4)()(2
2022
220
∞<<-∞+-=
ωωωςωωωa
S yy ，求响应y (t )的自相关函数和均方值。

题1.35 系统示意图如题1.22图，设F 1 (t )为均值为零的白噪声，其自功率谱密度函数为S FF (ω)，求稳态情况下响应的自功率谱密度函数，互功率谱密度函数及各响应的均方值。

题1.36 如题1.36图，系统由主系统（m 1，k 1）和副系统（m 2，C 2，k 2）组成，设作用在m 1上的F 1(t )为零均值白噪声，试以响应y 1(t )的均方值最小为条件确定副系统的m 2，C 2，k 2。

题1.37 设线性系统随机运动方程为
)(t W KX X C X
=++ 其中： ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=5.1119C ; C K 100=。

W (t )为平稳白噪声激励向量，有 E [W (t )]=0，E [W (t )W T (t +τ)]=I δ(t )，I 为单位矩阵，用实模态分析法求响应的相关函数矩阵R XX (t )。

题1.31图
题1.36图。