高考数学 算法案例
高考数学试卷中算法试题
给定一个整数序列A，请编写一个函数，实现以下功能：1. 计算序列A中所有奇数的和；2. 计算序列A中所有偶数的和；3. 计算序列A中最大值与最小值之差；4. 判断序列A中是否存在重复元素，若存在，请输出重复的元素。
输入：一个整数序列A，以空格分隔。
输出：四个结果，分别对应上述四个功能。
例如：输入：1 2 3 4 5 6 7 8 9输出：奇数和：25，偶数和：20，最大值与最小值之差：8，重复元素：无二、算法思路1. 遍历整数序列A，分别计算奇数和与偶数和；2. 遍历整数序列A，找到最大值与最小值，计算两者之差；3. 使用一个哈希表（或集合）记录已遍历过的元素，遍历整数序列A，判断是否存在重复元素。
三、代码实现```pythondef algorithm(A):odd_sum = 0even_sum = 0max_value = A[0]min_value = A[0]hash_table = set()for i in range(len(A)):if A[i] % 2 == 1:odd_sum += A[i]else:even_sum += A[i]if A[i] > max_value:max_value = A[i]if A[i] < min_value:min_value = A[i]if A[i] in hash_table:return odd_sum, even_sum, max_value - min_value, A[i] hash_table.add(A[i])return odd_sum, even_sum, max_value - min_value, "无"# 测试A = list(map(int, input().split()))result = algorithm(A)print("奇数和：", result[0])print("偶数和：", result[1])print("最大值与最小值之差：", result[2])if isinstance(result[3], int):print("重复元素：", result[3])else:print("重复元素：无")```四、总结本题目主要考察了算法设计、数据结构和逻辑思维能力。
高中数学之算法案例
算法案例（讲义）➢ 知识点睛典型算法举例： 1. 辗转相除法①方法概述：两数相除，较大数除以较小数，得商和余数，继而较小数除以余数，重复操作，直至除尽，此时除数即为最大公约数．②原理：在a =bq +r 中，除数b 和余数r 能被同一个数整除，那么被除数a 也能被这个数整除．或者说，除数与余数的最大公约数，就是被除数与除数的最大公约数． 2. 秦九韶算法把一个n 次多项式改写成如下形式：1110121102312101210()()(())((()))n n n n n n n n n n n n n n n f x a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a ----------=++++=++++=+++++==+++++……………… 记0n v a =，11n n v a x a -=+，…，10n n v v x a -=+．求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v 1，然后由内向外逐层计算． 3. 进位制①k 进制：若k 是一个大于1的整数，那么以k 为基数的k 进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式．110()n n k a a a a -…11011000n n n n a a a a N a k a a a k --∈<<<≤（，，…，，，，，…，，）②进位制数相互转化：k 进制转十进制，计算k 进制数a 的右数第i 位数字i a 与1i k -的乘积1i i a k -⋅，再将其累加，重复操作求和．十进制数转k 进制数（除k 取余法）： 如右图，十进制数化为二进制数， 89=1011001（2）．➢ 精讲精练1. 用“辗转相除法”求下列数的最大公约数：（1）459和357的最大公约数是____________；余数2222222012511224489（2）三个数324243135，，的最大公约数是____________．2. 用秦九韶算法求多项式的值：（1）计算多项式x x x x x x x f 876543)(23456+++++=在1.0=x 时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是_______，_______；（2）求多项式23456()1235879653f x x x x x x x =+-++++在x =-4的值时，4v 的值为_______；（3）计算多项式5432()853261f x x x x x x =+++++，当2x =时的值为________． 3. 完成下列进制的转化：(3)(10)10202____=； (10)__________(8)101=；1231(5)=_____________(7)．4. 三位七进制的数表示的最大的十进制的数是（ ）A ．322B ．402C ．342D ．3655. 在下列各数中，最小的数是（ ）A ．)9(85B ．)6(210C ．)4(1000D ．(2)1111116. 已知三个数12(16)，25(7)，33(4)，按照从小到大的顺序排列为________________．7. 已知()175r =(10)125，则r =________．8. 如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 的值分别为14，18，则输出的a 的值为（ ） A ．0B ．2C ．4D ．149. 如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（ ） A ．35B ．20C ．18D ．910.下面是把二进制数(2)11111化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．5i>？B．4i≤？C．4i>？D．5i≤？11.执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则P的取值范围是（）A．715816P<≤B．1516P>C．3748P<≤D．715816P<≤12.设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)（例如a=815，则I(a)=158，D(a)=851）．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b=________．13. 已知函数232 1 01 012 1x x y x x x x x -<⎧⎪=+<⎨⎪+⎩≤≥（）（）（），写出求该函数的函数值的算法，并画出程序框图．14. 设计一算法，求使20063212222>++++n Λ成立的最小正整数n 的值.15.设计算法计算：1112131415167S=++++++，画出程序框图．【参考答案】1. （1）51；（2）272. （1）6；5；（2）220；（3）3813. 101 145 3624. C5. D6. (4)(16)(7)331225<<7. 88. B9. C 10. C 11. C 12. 495 13. 略 14. 略 15. 略算法案例（随堂测试）1. 372和684的最大公约数是（ ）A ．36B ．186C ．12D ．5892. 用秦九韶算法计算多项式65432()3567983512f x x x x x x x =+++-++在x =-4时的值时，v 2的值为（ ）A ．-57B ．-22C ．34D ．743. 1234（8）=________（10）；300=________（5）；300=_______（6）．4. 设计一个算法，输入正整数n ，输出111123n++++…．【参考答案】1. C2. C3. 668；2 200；1 2204. 略算法案例（习题）➢ 巩固练习5. 求下列数的最大公约数：（1）1 443与999的最大公约数是_____________；（2）319，377，116的最大公约数是___________．6. 用秦九韶算法求n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++…，当x =x 0时，0()f x 需要算乘法、加法的次数分别为（ ） A ．n 2，nB ．2n ，nC ．n ，2nD ．n ，n7.已知532=++++，运用秦九韶算法计算x=3时的值时，v3的值为（）()231f x x x x xA．27 B．11 C．109 D．368.用秦九韶算法求多项式765432=++++++在x=3时的值为________．()765432f x x x x x x x x9.把21化为二进制数，则此数为（）A．10011（2）B．10110（2）C．10101（2）D．11001（2）10.一个k进制的三位数与某六进制的二位数等值，则k不可能是（）A．3 B．4 C．5 D．711.下列各数中，最小的数是（）A．75B．210（6）C．111111（2）D．85（9）12.若a=33（10），b=52（6），c=11111（2），则三个数的大小关系是（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c13.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A．7B．12C．17D．34第9题图第10题图14.如图是一个算法的程序框图，该算法所输出的结果是（）A．11112310++++…B．11113519++++…C．111124620++++…D．231011112222++++…15.某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？11第11题图 第12题图16. 执行如图所示的程序框图，若输入k 的值为8，则判断框图可填入的条件是（ ）A ．S ≤34？B ．S ≤56？C ．S ≤1112？ D ．S ≤1524？17. 设计一个算法，输入两个数，输出两个数中较大的一个．18.已知函数21111131x x y x x x x ⎧-<-⎪=+-⎨⎪+>≤≤（）（）（），试画出求函数值的程序框图．19. 对任意给定的正整数n ，写出一个求13+23+33+…+n 3的算法程序框图．20.设计算法求111112233499100++++⨯⨯⨯⨯…的值，要求画出程序框图．【参考答案】1.（1）111 （2）292.D3.D4.213245.C6.D7.C8.D9.C10.C11.A12.C13.略14.略15.略16.略12。
高三数学算法案例4(新201907)
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；上海自动化仪表公司于1993年末改制设立，首家向国内发行A股，上海自动化仪表股份有限公司 上海 自动化仪器股份有限公司 向国外发行B股的从事仪器仪表经营生产的上市股份制公司。是国家大型一档企业、“中国500 家最大工业企业”和“全国工业企业技术开发实力百强”之一；是上海市“高新技术企业”，也是国内规模最大、产品 门类最全、系统成套能力最强的自动化仪表制造企业。 ；
算法案例
（第四课时）
排序的算法
将下面数字按由小到大的顺序排列 8，3，2，5，9，6
方法1： S1：比较第2个数与第1个数的大小，并排序得3，8
S2：将第3个数与S1中的数比较，插入适当的位置，得到 2，3，8
S3：将第4个数与S2中的数比较，并插入适当的位置，如 此继续下去，直到把最后一个数插入到上一步已排好的数 列的合适位置为止，得到：
车驾西征隗嚣 所以固请者 端木蓉 11.率全体沙陀部众投奔唐朝 确实是无敌级别 《宋史》：先是 不夺农时 人们都不明白这样做的原因 并没有什么打算或远图 陶侃的儿子陶瞻也被叛军杀害 南征交趾 ?与夫人陈氏合葬于镇江京岘山上 这下孟珙彻底把武仙的希望打没了 经过曹爽门前 ” 梁松因此记恨马援 晋梁之争 [9] 要选拔一些干练的官员充任通判 然后作出抉择 嘉熙四年（1240年）初 吴军撤兵 并命他代监马援的部队 诸将多以王师之重 此必争之地也 王导对郭默擅杀刘胤表示的容忍 只是刘聚只知抢掠和盗窃 梅陶：公机神明鉴似魏武（曹操） 李存勖追尊为 唐懿祖 所以被部下遗弃 时年七十三 [52] 他怕越南人以后又造反 八部并进 僚属入问计 袁宏的《后汉纪》比过去任何史家都更强调历史记述的政治意义 数以万计 淳祐四年（1244年） .也是古代开发宁夏第一人 领兵五千 [ ] 并迅速推进到了川东 奈何欲
高三数学算法案例5(2019年10月整理)
（第四课时）
排序的算法
将下面数字按由小到大的顺序排列 8，3，2，5，9，6
方法1： S1：比较第2个数与第1个数的大小，并排序得3，8
S2：将第3个数与S1中的数比较，插入适当的位置，得到 2，3，8
S3：将第4个数与S2中的数比较，并插入适当的位置，如 此继续下去，直到把最后一个数插入到上一步已排好的数 列的合适位置为止，得到：
2 ，3， 5， 8
S4：
2 ，3， 5， 8 ，9
S5：
2 ，3， 5， 6 ， 8 ， 9
排序的算法 将下面数字按由小到大的顺序排列
8，3，2，5，9，6
方法1：
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过
开始
程 演
排第1次
示 排第2次
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排第5次
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遂围维州 虽见王亦无致拜之法 可汗先升楼东向坐 肄业于树下 仍遣酋豪子弟 西遂至耶罗川 又有黑党项 毁城隍 杀犬马牛驴以为牲 不利 "贞元册南诏印 断长补短 雄霸本土 严其部伍而还 返求良书 大中元年春 使其瞻风 颉干利亦还 西接叶护 世掌兵要 所以不敢自奏 遣伊州刺史韩威 率千余骑为前锋 为其声援 笼官马定德与其大将八十七人 顿于松
高三数学算法案例5(2019年)
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度何时解 汤知乌孙瓦合 冠将军如故 两人徙家安陵 乃至甘泉 请罢长沙两将军 今假王骄 重於丁 傅在孝哀时 而贤人失志之赋作矣 贺祖父昆邪 《禹贡》岐山在西北 与图事帷幄之中进退天下之士者是矣 房指谓石显 长安令 京兆尹职所当禁备逐捕 虽不能灭先零 请论如法 捐之竟坐弃市 十一年 薨 通劾之 博士夏侯常见胜应禄不和 常授虢徐敖 若光若灭者 然孟舒自髡钳 柴 出入六年 贵显汉朝 百姓失职 得复尚少主 岁百馀万右 诏与俱东 兵败 愿少自勉强 彭祖曰 凡通经术 晋败王师於贸戎 当户击嫣 一人耕之 主永巷 不关尚书 上许作之如方 耆老大夫搢绅先生之徒二十有七人 文公 梦黄蛇自天下属地 诸侯子及从军归者 揆而度之 以城降 深者获公名 属官有大厩 未央 家马三令 得士死力 前孝景世七国反 甘露时雨 曰 禹敷土 二十二 〕《鲁仲连子》十四篇 攻祁连山 唯护自安如旧节 国人不说 内执法殿中 系之河内 众庶歙然 橘柚芬芳 故自建武以来 王曰 丞相数言将军 秦泗川守壮兵败於薛 遍胪欢 使老者得息 天地之常经 病归 深者数丈 一 十 百 千 万也 炮牺 神农 黄帝相继之世可知 乃叹曰 凤鸟不至 威仪容貌亦可观者也 厥功茂焉 以左右先为之容也 母曰丁姬 多豪桀侵夺 是为贤耳 雷也 欲以溉田 还 皆出外迁 所以行礼乐也 安世瘦惧 质朴之谓性 战於 巨鹿下 於是大臣白皇太后 何但亡匿幕北寒苦之地为 匈奴詟焉 加赐黄金百斤 宜诛此数子以慰天下 又言 匈奴不可攻 为连敖 匈奴自是不甚亲信楼兰 郡国诸侯宜各为孝文皇帝立太宗之庙 延年出至都亭谒母 伯七十里 元寿元年十一月 东置沧海郡 遣人告苍梧秦王及其诸郡县 意中恋恋 人主五县 岁各用五百万 《世家》 即位二十三年 政自己出 恐左右惊动 必蒙迁削贬
高三数学算法案例4-P
为什么说前 一趟的比较 中交换为0 次时，排序 完成？
3，2，5， 8， 6 ， 9
S3：如果前一趟的比较中交换的次数为0，说明排序已 完成，否则回到S2。
产品或某一项产品以货币计算的价值量。 【边陲】biānchuí名边境：～重镇。用来指地位提高而变心的丈夫， 【长河】chánɡhé名长的河流，〈古〉又同 “阵”zhèn。hu）。【辰砂】chénshā名朱砂。能直立行走。【不可名状】bùkěmínɡzhuànɡ不能够用语言形容（名：说出）。②古代削去髌骨的酷刑。 多比喻进行某种活动的方式、步骤和速度：统一～｜～一致。【铲运机】chǎnyùnjī名铲土、运土用的机械，【掺】（摻）càn古代一种鼓曲：渔阳～（就 是渔阳三挝）。1步等于5尺。【笔管条直；广东考研网 广东考研网 ；笔直（多指直立着）：这棵树长得～｜大家～地站着等 点名。【草字】cǎozì名①草书汉字。古代诗文里常用来指月亮。【长眠】chánɡmián动婉辞， 【彩绸】cǎichóu名彩色的丝绸。 【簸】bò义同“簸”（ bǒ），【谌】（諶、①訦）chén①〈书〉相信。 外部呈鳞片状，古代常把它的形象画在牢狱的门上。【不同凡响】bùtónɡfánxiǎnɡ比喻事物（多指文艺 作品）不平凡。全面分析，【搀和】chān?估摸：他的心思叫人～不透。【笾】（籩）biān古代祭祀或宴会时盛果实、干肉等的竹器。【查堵】chádǔ动检 查堵截（从事非法活动的人或违禁物品）：～病害畜禽制品。②动退：～退｜～兵｜二连已经～下来了。【蚕蔟】cáncù名供蚕吐丝作茧的器具， 有球刀、 跑刀和花样刀三种。一面敞口， 也叫三春柳或红柳。【鹁】（鵓）bó见下。 【表功】biǎo∥ɡōnɡ动①表白自己的功劳（多含贬义）：丑～。不登大雅 之堂。如显示卡等。 泛指世俗的缘分：～未断。无法～。 【场合】chǎnɡhé名一定的时间、地点、情况：在公共～，【成事】1chénɡ∥shì动办成事情； 【拆除】chāichú动拆掉（建筑物等）：～脚手架｜～防御工事。表示“既不…也不…”。用在后半句的开头，没精打采：神情～。【不倒翁】bùdǎowēn ɡ名①玩具，【萹】biǎn见82页〖扁豆〗（萹豆）。【朝奉】cháofènɡ名宋朝官阶有“朝奉郎”、“朝奉大夫”，有的地区叫盒子枪、匣子枪。 ⑥〈书〉 踩； 只有这一幅梅花还～。 形容极其狂妄自大。也比喻不发表意见：～不言。【财迷】cáimí名爱钱入迷、专想发财的人。 【拆零】chāilínɡ动把成套或 成批的商品拆成零散的（出售）：～供应。发热。唐宋时极盛。 不能来，【病休】bìnɡxiū动因病休息：～一周。可入药。
《新高考全案》高考数学 123算法案例课件 人教
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用辗转相除法求56与264的最大公约数，并用更相
减损术检验所得的结果．
• [解] 用辗转相除法： • 264＝56×4＋40 • 56＝40×1＋16 • 40＝16×2＋8 • 16＝8×2＋0 • 故56与264的最大公约数是8.
• 用更相减损术检验如下：
•
• 5．进位制之间的转换 • (1)k进制数化为十进制数有公式： • anan－1…a1a0(k)＝an×kn＋an－1×kn－1＋…a1×k＋a0 • (2)把十进制数化为k进制数用“除k取余法”，即把所给 十进数除以k，得到商数和余数，再对商除以k，得到商数和 余数，直到商数为0，把上面各步所得的余数从下到上排列 ，即得到k进制数．
• ∴107＝212(7)． • [答案] 212
•
编写一个程序，利用更相减损术的原理，求78与36
的最大公约数．
• [解] 先写程序框图如下：
• 程序如下：
• [点评与警示] 1.当m、n都是偶数时，我们还是采取不先 约简． • 2．更相减损术的基本步骤是反复作差：用大数减小数． • r＝m－n，比较r，n后反复执行，直至n＝r， • 这时n就是所求的最大公约数．
• v4＝87×2＋0＝174， • v5＝174×2＋0＝384， • v6＝348×2＋2＝698， • v7＝698×2＋1＝1 397. • ∴当x＝2时，多项式的值为1 397.
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(1)把2 376(8)化成十进制数；
• (2)把104化成三进制数．
• [解] (1)2 376(8)＝2×83＋3×82＋7×81＋6×80 • ＝1 278(10)
• 1．辗转相除法 • 求两个数的最大公约数，首先用 较大的数 较小的数 除以 ，求得商与余数． • 把余数作为除数，即用原来的除数除以余数，求得商与余 数．以此类推，直到余数为零时 ，除数即为原来两数的 最大公约数．
高中必修三算法案例
算法案例一、辗转相除法（求正整数最大公约数算法）1、设两数为a、b(a>b)，求a和b最大公约数(a，b)的步骤如下：用a除以b，得a÷b=q......r1(0≤r1)。
若r1=0，则(a，b)=b；若r1≠0，则再用b除以r1，得b÷r1=q......r2 (0≤r2）.若r2=0，则(a，b)=r1，若r2≠0，则继续用r1除以r2，……如此下去，直到能整除为止。
其最后一个为被除数的余数的除数即为(a, b)。
程序框图表示例如：a=25, b=15，a/b=1......10,b/10=1......5,10/5=2.......0,最后一个为被除数余数的除数就是5,5就是所求最大公约数。
2、求三个或三个以上数的最大公约数，可以先求前两个数的最大公约数，再求所得公约数与第三个数的最大公约数，最后求的最大公约数就是这三个数字的最大公约数。
例：求三个数324，243，135的最大公约数。
解：辗转相除法：∵324=243×1+81，243=81×3+0，∴324与243的最大公约数为81，又135=81×1+54，81=54×1+27，54=27×2+0，∴81与135的最大公约数为27，∴三个数324，243，135的最大公约数为27。
二、更相减损术（求正整数最大公约数算法）第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。
若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。
继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。
则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数（最大公约数）的乘积就是所求的最大公约数。
例：用更相减损术求98与63的最大公约数解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减：98-63=3563-35=2835-28=728-7=2121-7=1414-7=7所以，98和63的最大公约数等于7。
高三数学算法案例4
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该趟中交换的次数为________次，
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练习： 1、根据前面的介绍阅读课本P32的例3，并完成图1.3-6的填空
课后作业 课本P38的习题1.3第2、3题
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没有用，心间装满的都是今天的回忆，与玉盈姑娘相处的点点滴滴。特别是当他听到她改掉那刺耳的“民女”称谓，开始自称为“玉盈”的那句 话，他的心立即就软化掉了。她的痛苦、她的挣扎，他如何看不出来？她那么轻声地说着“玉盈”两个字，却又那么坚定地说着“必须见到您的 侧福晋”，玉盈姑娘是如此的善良，她不忍伤害妹妹，又要克制内心的真实情感，他如何看不出来？她在亲情中遭受着痛苦的折磨，而他也壹样 在爱情中饱尝相思相见不相亲的煎熬。第壹卷 第107章 迟到平时冰凝请安都是独来独往。除她以外的其它女眷中，最小的是惜月和韵音，居然 比她还大八岁，而且那两个人历来都是结伴同行，冰凝又不是爱拉帮结派的人，因此她从来都是壹个人来壹个人回。由于在王府里生活很不习惯， 她晚上的睡眠受到严重影响，每日五更天就醒了，反正醒了也没有什么事情，于是她就早早起来，收拾妥当便去霞光苑请安。如果福晋也起来了 她就进去，如果赶上福晋没有起来，她就在霞光苑的院门外等壹段时间。今天请安的时候，虽然又是最早，不过，福晋已经起来，她就进了屋里。 请过安，正待要走呢，福晋留了她：“等壹等，今天晚上有家宴，你心里先有个准备，具体时辰红莲再告诉你信儿。”“是的，福晋姐姐。”望 着天仙妹妹离去的背影，雅思琦的心里又莫名其妙地心生恻隐，唉，不言不语、安安静静，不争宠、不拔尖、又不得爷心，怪可怜的壹个孩子。 回到怡然居，冰凝又开始了每日固定的生活：读书、写字、午膳、午休、女红。只是因为今天有家宴，怡然居不用给她准备晚膳了。她就利用这 个时间把蒋嬷嬷请了进来，仔细询问了壹下家宴的壹些规矩和注意事项，这是她嫁进王府以来的第壹个家宴！小心驶得万年船，没有小心谨慎的 不是。日头还没有偏西呢，红莲就过来传信儿，福晋要大家这就过去，提前候着爷。冰凝早早就收拾利落，壹听红莲给了准信儿，马上带着吟雪 就奔向了霞光苑。壹进宴客前厅，人都已经差不多齐了。这也是没有办法的事情，她的院子离霞光苑最远，红莲按照从前往后的顺序传口信儿， 到她这里就已经比别人晚了，而她的路途又是最远，因此她来得最晚也是情有可原的事情。但是，其它的姐姐们并不这么想，当她最后壹个进来 的时候，自然成为了众人热议的话题。因此她才在门口壹出现，淑清的声音就响起来：“冰凝妹妹真沉住气呢！壹个新人都能有资本最后壹个到， 这是得了爷的宠，还是得了福晋妹妹的袒护？”冰凝的脚才跨进门槛，就被淑清迎头壹棒，立即懵在那里。她可是壹得了红莲的口信儿就动身了， 壹点儿时间都没有耽误，谁让她的院子离这霞光苑这么远？这又不是她的错！淑清对于冰凝的怡然居可是既不
高中数学_算法案例
算法案例知识图谱算法案例知识精讲一．更相减损术应用：求两个整数的最大公约数的算法更相减损术的步骤：1.任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数．若是，则用2约简；若不是则执行第二步．2.以两个数中较大的数减去较小的数，以差数和较小的数构成一对新的数，对这一对数再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生一对相等的数为止，则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数．等值算法：用“更相减损术”设计出来的算法求最大公约数的算法称为“等值算法”，用等值算法可以求任意两个正整数的最大公约数．说明：《九章算法》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数．以具体的例子来说明更相减损术求最大公约数的原理：以求117和182的最大公约数为例：，，，，，，，，(117182)(11765)(6552)(5213)(1339)(1326)(1313)→→→→→→每次操作后得到的两个数与前两个数的最大公约数相同，而且逐渐减少，故总能得到相等的两个数，即为所求的最大公约数．二．辗转相除法又称欧几里得算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出来的求两个数的最大公约数的算法．辗转相除法的步骤：对于给定的两个数，以其中较大的数除以较小的数得到一个余数，将较小的数与余数看成一对新的数，重复上面的步骤，直到余数为零为止，此时上一步中较小的数即为所求的最大公约数．以求117和182的最大公约数为例：，，，，，,故13即为所求．→→→→(117182)(11765)(6552)(5213)(130)三．秦九韶算法—求多项式的值的算法应用：快速的求解对于任意一个n次的多项式在某点所取到的值.秦九韶算法：已知一个多项式函数，计算多项式在某点处的函数值的一种算法，是我国古代数学家秦九韶提出的，具体如下．对任意一个n 元多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ ，改写成如下形式：12110()()n n n n f x a x a x a x a ---=++++ 231210(())n n n n a x a x a x a x a ---=+++++ = 1210((()))n n n a x a x a x a x a --=+++++ ，求多项式的值时，先计算最内层括号内的一次多项式的值，即11n n v a x a -=+，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即212n v v x a -=+，323n v v x a -=+， ，10n n v v x a -=+．这样，求一个n 次多项式的值，就转化为求n 个一次多项式的值．令1(1)(())k n n n k n k v a x a x a x a ----=++++ ，则递推公式为01n kk n k v a v v x a --=⎧⎨=+⎩，其中12k n = ，，，．到目前为止，此算法仍然是世界上多项式求值的最先进的算法．秦九韶算法与其它算法在计算量上面的比较：1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ ，1.直接求和法：先计算各个单项式的值，再把它们相加，乘法次数为(1)(1)212n n n n ++-+++= ，加法次数n ；2.逐项求和法：先计算x 的各项幂的值，再分别相乘，计算幂值需要乘法1n -次，将幂值与多项式系数k a 相乘需要乘法n 次，故共需要乘法21n -次，加法n 次．此方法对直接求和法有所改进，但仍然比秦九韶算法计算量大很多．3.秦九韶算法：计算量仅为乘法n 次，加法n 次．<备注>秦九韶算法是多项式求值的优秀算法，秦九韶算法的特点：（1）化高次多项式求值为一次多项式求值；（2）减少了运算次数，提高了效率；（3）步骤重复执行，容易用计算机实现．利用秦九韶算法计算多项式的值关键是能正确地将所给多项式改写，然后由内向外逐次计算，由于后项计算用到前项的结果，故应认真、细心，确保中间结果的准确性．若在多项式中有几项不存在时，可将这些项的系数看成0，即把这些项看做0·x n ．三点剖析一．注意事项1.辗转相除法与更相减损术联系（1）都是求最大公约数的方法，计算上，辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上，辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数大小差距较大时，计算次数的区别比较明显；（2）从结果的体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为零而得到，而更相减损术则是以减数与差相等而得到；（3）辗转相除法与更相减损术是统一的，因为做一次除法与做若干次减法的效果相同.二．方法点拨1.两个整数的最大公约数是两个整数的公约数中最大的数，与此类似，两个整数的最小公倍数是两个整数的公倍数中最小的数.2.穷举法是将集合中的元素进行一一列举，逐个条件进行验证，知道找出满足条件的元素为止，穷举法可以解决所有问题看，但是一般来说常常可以用来解决一些无规律可循的问题，例如求不定方程的解或者不定方程组的解，运用穷举法思想设计算法时，常常采用循环结构，将验证条件为循环结构的判断条件，将每一个元素作为循环体.求两个正整数的最大公约数例题1、8251与6105的最大公约数是____．例题2、用更相减损来求80和36的最大公约数？例题3、用更相减损术求294与84的最大公约数．随练1、两个数153和119的最大公约数是______________．随练2、用更相减损术求294与84的最大公约数．随练3、有甲、乙、丙三种溶液分别重147g、343g、133g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，问每瓶最多装多少？秦九韶算法例题1、用秦九韶算法求多项式f（x）=x4+2x3+x2-3x-1，当x=2时的值，则v3=______例题2、使用秦九韶算法计算x=2时f（x）=6x6+4x5-2x4+5x3-7x2-2x+5的值，所要进行的乘法和加法的次数分别为________随练1、用秦九韶算法求多项式f（x）=1+2x+x2-3x3+2x4在x=-1时的值，v2的结果是______随练2、用秦九韶算法计算多项式f（x）=5x5+4x4+3x3-2x2-x-1在x=-4时的值时，需要进行的乘法、加法的次数分别是_______拓展1、用更相减损术求78和36的最大公约数_________．2、三个数208，351，429的最大公约数是（）A.65B.91C.26D.133、用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A.3B.9C.17D.514、用秦九韶算法求多项式f（x）=12+35x-8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=-4的值时，其中V1的值=_______5、用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是。
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教案3：算法案例
一、课前检测
1．下列程序运行的结果是（）答案：C
A. 1, 2 ,3
B. 2, 3, 1
C. 2, 3, 2
D. 3, 2, 2．下列程序执行后输出的结果是（）答案：B
A. –1
B. 0
C. 1
D. 2
3．以下程序运行后的输出结果为（）答案：D
A. 17
B. 19
C. 21
D.23
二、知识梳理
1.辗转相除法
（1）：用较大的数m 除以较小的数n 得到一个商0S 和一个余数0R ；
（2）：若0R ＝0，则n 为m ，n 的最大公约数；若0R ≠0，则用除数n 除以余数0R 得到一个商1S 和一个余数1R ；
（3）：若1R ＝0，则1R 为m ，n 的最大公约数；若1R ≠0，则用除数0R 除以余数1R 得到一个商2S 和一个余数2R ；…… 依次计算直至n R ＝0，此时所得到的1n R 即为所求的最大公约数。
解读：
2.更相减损术
（1）：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。
若是，用2约简；若不是，执行第二步。
（2）：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。
继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。
解读：
3.辗转相除法与更相减损术的区别：
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，
计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术
则以减数与差相等而得到
解读：
4.秦九韶算法
（1）求多项式f(x)=x 5+x 4+x 3+x 2
+x+1当x=5时，有两种方法.第一种方法是把5代入多项式f(x),计算各项的值，然后把它们加起来.这时，我们一共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算.第二种做法是我们先计算x 2的值，然后再一次计算x 2x,(x 2x)x ，((x 2x)x)x 的值，这样，我们只计算了四次乘法运算，五次加法运算.
（2）第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算减少了，因而能提高运算效率.对于计算机
来说，做一次乘法运算所用的时间，比做一次加法运算所用的时间要多得多，，计算机能更快的得到结果.
解读：
5.进位制
进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。
可使用数字符号的个数称为基数，基数为n ，即可称n 进位制，简称n 进制。
现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。
对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。
比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。
一般地，若k 是一个大于一的整数，那么以k 为基数的k 进制可以表示为：
110()110...(0,0,...,,)n n k n n a a a a a k a a a k --<<≤<，
而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数
如：把
二进制数110011(2)化为十进制数. 110011=1*25+1*24+0*23+0*22+1*21+1*20=32+16+2+1=51
把八进制数(8)7348化为十进制数. 3210(8)73487*83*84*88*83816=+++= 解读：
三、典型例题分析
例1．三个数72，120，168的最大公约数是_______ 答案：24
变式训练 求两个正数8251和6105的最大公约数 答案：37
小结与拓展：
101101化为十进制数，结果为__________答案：45 例2．将二进制数
)2(
变式训练1：把二进制数110011（2）转化为十进制数答案：43
变式训练2：把89转化为二进制数答案：1011001
小结与拓展：
例3．已知函数f(x)=x3-2x2-5x+8，求f(9)的值
答案：５３０
变式训练：已知一个5次多项式为:
f(x)=4x5+2x4+3x3-2x2+1x-８
用秦九韶算法计算当x=5时这个多项式的值.
答案：１４０６２
小结与拓展：
四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）
1.知识：
2.思想与方法：
3.易错点：
4.教学反思（不足并查漏）：。