大学物理上质点运动学 运动学的两类问题
2-3、4运动学的两类基本问题
t
第二章 质点运动学
描述质点运动的状态参量的特性
状态参量包括：
r (t )
微分 积分
v(t )
微分 积分
a (t )
f ( x, y, z ) 0
（1）矢量性：注意矢量和标量的区别； （2）瞬时性：注意瞬时量和过程量的区别；
（3）相对性：对不同参照系有不同的描述。
第二章 质点运动学
[例 ]
[思考] 船作何种运动？
(变加速直线运动)
第二章 质点运动学
[例] 电艇在关机后，有dv/dt=–kv2(k为常 数). 试证：电艇此后行驶距离x时的 kx 速度为 v v0 e , 其中v0是电艇关机 时的速度. 证：
dv dv 2 2 dx kv dx kv dt dt
dr v dt
2.积分法
已知初始条件 求任意时刻
dr a 2 dt
2
v0 , r0及a a(t )或v v(t )
v, r (t )
t 0
dv a dt
dr v dt
vt
v0
dv adt
r0
v(t ) v0 adt
0
t
dr vdt
0
rt
t
Hale Waihona Puke r (t ) r0 vdt
第二章 质点运动学
§2－3、4 质点运动学两类基本问题
一 由质点的运动方程可以求得质点在任一 时刻的位矢、速度和加速度； 二 已知质点的加速度以及初始速度和初始 位置, 可求质点速度及其运动方程 .
r (t )
求导
积分
v(t )
求导
积分
a (t )
1-4运动学中的两类问题
dv adt kv2 dt
dv kdt 2 v
分离变量得 积分得
1 kt c1 v
§1.4 运动学中的两类问题
第1章 质点运动学
1 因为t＝0时， .代入， v v0 ， 所以 c1 v0 并整理得 v0 v 1 v0 kt
再由 dx vdt ，将v的表示式代入，并取积分
这是顶点在原点的抛物线.
§1.4 运动学中的两类问题
第1章 质点运动学
例1.5 一质点沿半径为1m的圆周运动，它通 过的弧长s按 s t 2t 2 的规律变化.问它在2s末 的速率、切向加速度、法向加速度各是多少？ ds v 1 4t 解: 由速率定义，有 dt
将t＝2代入，得2 s末的速率为
vdv kv 2 dx
所以有
分离变量，并取积分
dv kdx c3 v
kx ln v c3 v v0 ，所以 c3 ln v0 .代入，并整理得 因为x＝0时，
v v0e
kx
§1.4 运动学中的两类问题
第1章 质点运动学
例题 一质点沿半径为1 m的圆周转动，其角量运 动方程为 2 3t 4t 3 (SI)， 求质点在2 s末的速率和切向加速度. d 2 解：因为 3 12t dt 将t＝2 代入，得2 s末的角速度为
d 24 dt
3 12 (2)2 45 rad / s 2 2s末的角加速度为 24 2 48 rad / s
在距轴心1 m处的速率为 v R 45 m / s 2 a R 48 m / s 切向加速度为
v0 dt 1 x c2 ln(1 kv0t ) c2 1 v0 kt k
大学物理Ⅱ(上)期末考试知识点要求
大学物理Ⅱ（上）期末考试知识点要求知识点要求一、 力学 （质点运动学、动力学及刚体定轴转动）1．运动学的两类问题：已知运动方程求速度和加速度及已知加速度（变加速度）和初始条件求解运动方程；圆周运动的角量和线量的描述、切向和法向加速度物理意义及计算。
（不要求相对运动）2．牛顿定律分析求解（变加速度问题）；功和动能定理（变力做功）；保守力做功和势能；功能原理和机械能守恒定律对系统的分析。
（不要求非惯性系和惯性力）3．冲量和动量定理（变力冲量）；动量守恒定律、碰撞分析。
（不要求质心和质心运动定律）4．刚体的运动描述；刚体转动定律应用计算；质点和刚体的角动量和角动量守恒；力矩做功和刚体的能量分析。
二、电学（真空中静电场、静电场中导体和电介质）1．电场强度的概念；会用叠加原理计算简单带电体（如圆环、直棒等）的电场分布；能用高斯定理计算简单几何形状均匀带电体电场中任意一点的电场强度。
2．带电体空间中电势和电势差的计算：包括电势叠加法和场强积分法；电场力做功的计算。
3.导体静电平衡条件，能从静电平衡条件来分析简单的带电导体在静电场中的电荷分布、场强分布和电势分布。
4.电位移矢量D 的概念，以及在各向同性介质中D 和电场强度E 的关系。
电介质中的高斯定理。
（电介质问题只作简单要求）5.电容及电容器，能计算几何形状简单的电容器的电容。
6.电容器及电场能量。
三、磁学（恒定磁场、电磁感应）1.毕奥—萨伐尔定律及应用，会计算组合载流导线（直导线、圆环）的磁感强度。
2.磁场的高斯定理和磁通量的计算（尤其是非均匀场）。
3.安培环路定理及应用，能计算具有对称性分布磁场的磁感强度。
4.洛仑兹力公式应用；霍尔效应原理；载流导线的安培力公式，能计算简单的载流导线在磁场中的受力；磁矩的概念，能计算简单几何形状载流平面线圈在磁场中所受的力矩。
5.不要求磁介质6.法拉第电磁感应定律及应用；动生电动势的计算（几种典型情况：均匀场中直导线平动、均匀场中直导线转动、均匀场中圆弧形导线平动、直导线产生的非均匀场中导线平动）；感生电场和感生电动势的物理意义。
大学物理第一章质点运动学
∫ d x = ∫ (2t −t )dt
2 0 0
t
质点的运动方程
13 x = t − t （m） ） 3
2
(3) 质点在前三秒内经历的路程
s = ∫ vdt = ∫ 2t − t 2 dt
0 0
3
3
令 v =2t-t 2 =0 ，得 t =2
8 s = ∫ (2t − t )dt + ∫ (t − 2t)dt = m 0 2 3
初始条件为x 初始条件为 0=0, v0=0 质点在第一秒末的速度;(2)运动方程；(3)质点在前三秒内 运动方程； 质点在前三秒内 运动方程 求 (1) 质点在第一秒末的速度 运动的路程。 运动的路程。 解 (1) 求质点在任意时刻的速度 dv dv a= = 2 − 2t 由 dt dv = (2 − 2t) dt 分离变量 两边积分
y
P点在 系和 '系的空间坐标 、 点在K系和 系的空间坐标、 点在 系和K 时间坐标的对应关系为： 时间坐标的对应关系为：
y'
r v
P
}
r r
o z
r r′
o' x x'
r R
z'
伽利略坐标变换式
2. 速度变换 r r vK、vK′ 分别表示质点在两个坐标系中的速度 r r r d r ′ d(r − vt) r r r vK′ = = = vK − v dr′ r dt t r 即 vK′ = vK − v r r r vK = vK′ + v 伽利略速度变换
dv = g − Bv dt 分离变量并两边积分
t dv ∫0 g - Bv = ∫0 dt v
g v = (1− e−Bt ) B
大学物理第一章质点运动学习题
1 2 间的关系为= v0t − bt ( SI)。 s 2，质点加速度的大小和方向。 求：(1) 任意时刻t，质点加速度的大小和方向。 任意时刻
求：
a
α
r aτ
R
R
τ
dt
r an
4
a = an + aτ =
2 2
(v0 − bt )4 + (− b )2
R2
r (v 0 − bt ) an a 与切向轴的夹角为 α = arctg = arctg (− Rb ) aτ
v v v v dr 解：v = = 2i − 2tj dt v v v v v t = 2 v2 = 2i − 4 j t = 0 v0 = 2i
v2 = 22 + 42 = 4.47m/ s 大小： 大小：
−4 方向： 方向： θ = arctan = −63o26′ 2
θ为 2与 轴的夹角 v x
x = −t 2 (SI)
例5：一质点运动轨迹为抛物线 ： 求：x= -4m时（t>0)粒子的 时 粒子的 速度、速率、加速度。 速度、速率、加速度。 解： x= -4m时 t=2s 时
x t =2 dx vx = −4m s vx = = −2t dt t =2 dy 3 vy = −24m s vy = = −4t + 4t dt v v v 2 v = vx + v2 = 4 37 m s v = −4i − 24 j m/ s y 2 dvx d x −2 ax = s = = −2m ay = −12t 2 + 4 = −44(m −2 ) s 2 dt dt v v r a = −2i − 44 j m⋅ s−2
y = −t 4 + 2t 2(SI)
质点运动学第二类问题
质点运动学第二类问题质点运动学第二类问题质点运动学是物理学的一个分支，主要研究质点的运动规律。
在质点运动学中，问题分为三类：第一类问题是已知质点的位置、速度和加速度，求解运动方程；第二类问题是已知质点的位置和速度，求解加速度和运动方程；第三类问题是已知质点的位置和运动方程，求解速度和加速度。
本文将重点介绍质点运动学中的第二类问题。
第二类问题也称为初值问题，其解决方法为根据初值和方程求出质点的运动规律。
1. 线性平衡问题在线性平衡问题中，运动方程可以表示为：F = ma其中，F 是外力，m 是质量，a 是加速度。
我们可以通过已知的位置和速度求解加速度。
假设质点的初速度为 v0，位置为 x0，时间为 t0，运动方程为：x = x0 + v0t + 0.5at^2在已知初值和运动方程下，只需要解出加速度 a 即可。
假设时间 t1 时质点位移为 x1，那么有：x1 - x0 = v0t1 + 0.5a(t1)^2由此，可以解出加速度 a 的数值。
在数学中，这一过程可以表示为求解二次方程。
2. 径向摆动问题在径向摆动问题中，质点作圆周运动。
具体来说，质点绕着圆心转动，与圆心距离为 r，角速度为ω。
一般而言，这类问题都需要掌握极坐标系的概念。
在初值设定下，可以通过直接计算圆周运动的运动方程来解决问题。
圆周运动的运动方程为：x = r cos(ωt)y = r sin(ωt)这里的 x，y 分别代表质点在平面上的坐标。
把运动方程带入到 x，y 所定义的位置函数中，可以求解出质点在不同时间点的位置。
在径向摆动问题中，也可以通过泰勒级数的方法求解。
通常情况下，质点的加速度函数可以表示为：a = -rω^2通过泰勒级数展开该加速度函数，可以求得质点的位置和速度。
由于泰勒级数可以展开到任意次数，因此精度比较高。
3. 投掷问题投掷问题是最为经典的物理问题之一。
在投掷问题中，质点被抛出，运动轨迹为抛物线。
假设质点的初速度为 v，出发角度为θ，高度为 H，运动方程为：y = H + vt sin(θ) t - (1/2)gt^2x = v cos(θ) t其中，g 是重力加速度。
运动学的两类问题
这类问题要应用积分的方法来求，在计算上较为 复杂一些。
2
例2、一气球以速率 v0 从地面上升,由于风的影响,随着高 度的上升,气球的水平速率按 vx=by 增大,其中b 是正的常 数, y 是从地面算起的高度, x 轴取水平向右的方向.求: (1) 气球的运动方程; (2) 气球飘移的距离与高度的关系.
2v0
运动学 第二类问题 （二维情况）
3
例3、质点的运动方程：r
(t
2)i
(4t
t
3
)
j (SI
)
求：（1）质点第一秒末的速度和加速度；（2）
在 t=1 秒到 t=3 秒时间间隔内质点运动的平均
速度和平均加速度。
解：（1）v
dr
i
(4
3t 2 ) j
dt
,
a
dv
6tj
dt
t=1 时:
0
0
1 v2 3x 2x3 2
v (6 x 4 x 3)1/2
运动学第 二类问题
6
例6、一质点沿 x 轴作匀变速直线运动，加速 度为a，初速度为 v0 ，初始位置为 x0 ，求任一 时刻质点的速度和位置。
解： a dv dt
v
t
积分： dv adt
v0
0
得：v v0 at
v dx dt
积分：
x
dx
x0tvdt 0 Nhomakorabeat
0 (v0 at)dt
得：x
x0
v0t
1 2
at 2
运动学第 二类问题
7
例速7度、一v质0 点20，在i 加某速参度考系运a 动12，ti初8位j。(S置I求) rt0=03.5is时j，该初 质点的 y 坐标和 t=1s 时该点的速率。
大学物理A-CH1-3质点运动学的基本问题
求 质点运动速率与高度 y 的关系(开始处于y0,初速v0).
解 由题意可知
从图中分析看出
例 河中有一小船，在高为h的岸上用绞车以恒定的速率
v0收缆绳使船靠岸，如图1-18所示，求当船与岸的水平距离
为x时，船的速度与加速度。
解 建立如图所示坐标系，则船的位矢为
在任一时刻的速度、抛体的运动学方程和轨迹方程。
解 把物体看作质点，选地面参考系在含v0 竖直平面内
建立平面直角坐标系OXY，
已知
y
v0 y
v0
v y v
v x
o v0x
d0
v x
v y
vx
作业
P25~27：选择题4； 计算题4。
Hale Waihona Puke (3) 轨迹方程 解 (1) 由运动方程得
(2) 当 t =2s 时
(3)
轨迹方程为
2. 第二类问题 已知加速度和初始条件，求
例 已知
, t =0 时，
求 和运动方程
解 由已知有
代入初始条件
代入初始条件
例 将一根光滑的钢丝弯成一个竖直平面内的曲线，质点可沿 钢丝向下滑动。已知质点运动的切向加速度为
§1.3 质点运动学的基本问题
质点运动学的问题可以分为两类:
1、 由质点的运动方程可以求得质点在任一 时刻的位矢、速度和加速度；
2、 已知质点的加速度以及初始速度和初始 位置, 可求质点速度及其运动方程 .
r(t) 求导 v(t) 求导 a(t)
积分
积分
1. 第一类问题 已知运动学方程，求 例 已知一质点运动方程 求 (1) t =1s 到 t =2s 质点的位移 (2) t =2s 时
大学物理1-2求解运动学问题举例
0dy 0v0dt
y
t
dy vy v0 dt
y v0t (1)
0
x
轨迹方程(1)(2)式消去t:
by x
2
2v0
1－２求解运动学问题举例
第一章 质点运动学
例5
t 0 时， v v0 ,r r0 dr dv 解 a v dt dt d v ad t dr vdt
v x
1－２求解运动学问题举例
第一章 质点运动学
第二类问题——积分问题 例4 已知一个气球的运动速度为 b、v0 为常数，y是从地面算起的高度。
v x by v y v0
y
求:(1)气球的运动方程; (2)气球的轨迹方程.
解: 设t=0时,气球位于坐标原点(地面)
vy v0
x t 1 dx 2 vx by bv0t , dx bv0tdt , x bv0t (2) 0 0 2 dt
x/m
-2 t=2 0 2 t=0 7 t=5
t 0, x1 2m， 解: x t 4t 2(m) t 5s, x2 7m 位移 x x2 x1 5 m
t = 5 s时, v = 6 m·-1 s
1－２求解运动学问题举例
第一章 质点运动学
例3 如图所示，A、B 两物体由一长为 l 的刚性 细杆相连，A、B 两物体可在光滑轨道上滑行.如物体 A以恒定的速率 v 向左滑行，当 60 时，物体B的 速率为多少？ y 解 建立坐标系如图, OAB为一直角三角形，刚性 细杆的长度 l 为一常量 B
vt 2s 2i 4 j (m s )
求: (4) t=1s~2s时间内的平均加速度；t=1s时刻的加速度.
质点运动学
（三）、圆周运动中线量与角量的关系
ds R d
d ds R v R dt dt
0
v
R Δθ θ ΔS
ω ,β x
dv d a ( R ) R dt dt
v2 an R 2 R
例2．一球以 30m/s 的速度水平抛出，试求 5s 钟后 加速度的切向分量和法向分量。 解：由题意可知，小球作平抛运动，它任意时刻 t 的 速度为
1-3 几种常见运动及其描述
质点运动学的两类问题： 第一类问题： 已知质点的运动方程，求质点的速度 和加速度——用微分方法求解； 第二类问题： 已知质点的加速度（或速度），求质 点的速度和运动方程——用积分方法 求解。
一、直线运动
例1 质点沿 x 轴作直线运动,加速度a=2t。 t =0时，x=1，v=0，求任意时刻质点的 速度和位置 解：质点作非匀加速的运动
（3）由速度及加速度定义
dr dx dy 速度 v i j 8ti 2 j dt dt dt
dv 加速度 a 8i dt
所 以 t 0时 ， v 2 j , a 8i t 1时 ， v 8i 2 j , a 8i
a dv dt 2t dv 2tdt
积分
v
0
dv 2tdt
0
t
vt
2
即有
dx 2 t dt
dx t dt
2 1 0
x
t
可得
1 3 x 1 t 3
二、抛体运动
水平方向：匀速运动 竖直方向：竖直上抛运动 轨迹为抛物线 α
d0
运动方程
任意时刻速度 vx= v0cosα vy= v0sinα –g t
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解：（1） a dv , dt
v
t
t
dv
v0
adt
0
0 a0dt
v v0 a0t, v v0 a0t
（2） v dx , dt
x
t
t
dx
x0
vdt
0
0 (v0 a0t)dt
x
x0
v0t
1 2
a0t
2
5
1.4 运动学的两类问题
第1章 质点运动学
（3） a dv dv dx v dv （变量变换） dt dx dt dx
4i
8
j(m
)
dt
Δv02 v2 v0 4i 12 j(m / s)
a
Δv02
2i
6 j(m /
s2)
Δt
4
1.4 运动学的两类问题
第1章 质点运动学
例：一质点作直线运动，其加速度为一常量 a0 ，已知
在 t = 0 时刻，x = x0， v = v0，试求：
（1）速度与时间的关系；（2）位置与时间的关系； （3）速度与位置的关系。
k
k
10
v0
t0
r
t
dr vdt , dr vdt
r0
t0
3
1.4 运动学的两类问题
第1章 质点运动学
例：用矢量表示二维运动，设：r
t
2
i
(t
3
Hale Waihona Puke 6)j(SI
)
求：质点在头两秒的位移和平均加速度。
解：
r02
v
r2 dr
r0 4i
2ti
2 j (6) j
3t 2 j(m / s)
a0dx vdv
（分离变量）
x
v
x0 a0dx
vdv
v0
a0 (
x
x0
)
1 2
(v 2
v02
)
v v0 a0t
x
x0
v0t
1 2
at
2
（两边同时积分）
v 2 v02 2a0 ( x x0 )
注意：这都是匀加速 直线运动公式，它们 不具有一般意义！
6
1.4 运动学的两类问题
第1章 质点运动学
1.4 运动学的两类问题
第1章 质点运动学
1.4 运动学的两类问题
1
1.4 运动学的两类问题
第1章 质点运动学
质点运动学两类基本问题
一 由质点的运动方程可以求得质点在任一 时刻的位矢、速度和加速度；
二 已知质点的加速度以及初始速度和初始 位置, 可求质点速度及其运动方程 。
r(t)
求导
v(t )
求导
a kv dv
dt
分离变量： dv kdt
v
v
积分：
dv
t
kdt
v0 v
0
v 得 ln kt
v0
所以 v v0ekt
速度的方向保持不变，但 大小随时间增大而减小， 直到速度等于零为止。
8
1.4 运动学的两类问题
第1章 质点运动学
（2） v v0e kt
v dx dt
dx dt
3
7
1.4 运动学的两类问题
第1章 质点运动学
例：设某质点沿 x 轴运动，在 t = 0 时x = 0， v = v0， 其加速度与速度的大小成正比而方向相反，比例系数
为k ( k > 0 )，试求：（1）质点速度随时间变化的关系
式；（2）运动方程 ，（3）质点最终停止的位置?
解：（1）由题意及加速度 的定义式，可知：
置质点停止运动?
解： a dv dv dx v dv （变量变换 ） dt dx dt dx
v
x
分离变量，积分： vdv kxdx
v0
0
可得：
1 2
(
v2
v02
)
1 2
kx2
v2 v02 kx2
v v02 kx2
质点停止运动时 v 0, x v0 , x v0 (舍去)
v0e kt
dx v0ektdt
x dx
0
t 0
v0e
kt
dt
x v0 ekt t v0 1 ekt k 0k
（3） 质点停止时 υ 0 ekt 0, 则t
由 v v0ekt
x
xm
v0 k
9
1.4 运动学的两类问题
第1章 质点运动学
例：质点沿 x 轴正向作直线运动，加速度a = - kx (k为正常数)。t = 0时，x = 0, v = v0 ，求：在什么位
a(t)
积分
积分
2
1.4 运动学的两类问题
第1章 质点运动学
一 已知质点的运动方程，可以求得质点在
任一时刻的位矢、速度和加速度；
r
rt
v
dr
dt
a
dv dt
d
2
r
dt 2
二 已知质点的加速度以及初始速度和初始
位置, 可求质点速度及其运动方程 。
v t
dv adt , dv adt
例：质点沿 x 轴作直线运动，加速度 a = 2t 。t = 0时，x = 1m，v = 0，求：任意时刻质点的速度和位置。
解： 质点作非匀加速的运动。
a dv dt dv 2tdt
v
t
积分： dv 2tdt
0
0
v t2
即有： dx t 2
x
dx
t t 2dt
dt
1
0
可得： x 1 1 t 3