芝诺悖论危机
三次数学危机——长达一个世纪的关于数学基础问题上的争论
三次数学危机——长达⼀个世纪的关于数学基础问题上的争论悖论的产⽣科学的发展今天，超模君⼜“⼿痒”想要码字了，奈何⼀时找不到话题，正在⽆⽐纠结时，⼩天⼀语惊醒梦中最近评论区不是有好多要求超模君介绍什么什么的吗？难道你忘了？⼈：最近评论区不是有好多要求超模君介绍什么什么的吗？是的，这位 Z（⼩朋友？），你被翻牌了！数学史上的三次⼤危机吧。
那超模君今天来讲讲数学史上的三次⼤危机1、⽆理数的发现希伯索斯发现边长为1的正⽅形的对⾓线在公元前580～568年间，古希腊毕达哥拉斯学派的希伯索斯长度（根号2）既不是整数，也不能⽤整数之⽐来表⽰。
（传送门）这不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条（万物皆为数），也冲击了当时希腊⼈的传统见解。
当时希腊数学家们对此深感不安，希伯索斯还因此遭到沉⾈⾝亡的惩处。
⽆理数的发现以及芝诺悖论（传送门）引发了第⼀次数学危机。
过了两百年，希腊数学家欧多克斯和阿契塔斯两⼈给出了“两个数的⽐相等”的新定义，建⽴起⼀套完整的⽐例论，其中巧妙避开了⽆理数这⼀“逻辑上的丑闻”，并保留住与之相关的⼀些结论，缓解了这次数学危机。
然⽽，“世界万物皆为整数或整数⽐”的错误并没有解决，欧多克斯只是借助⼏何⽅法，直接避免⽆理数的出现。
直到1872年，德国数学家对⽆理数作出了严格的定义，⽆理数本质被彻底搞清，⽆理数在数才真正彻底、圆满地解决了第⼀次数学危机。
学中合法地位的确⽴，才真正彻底、圆满地解决了第⼀次数学危机2、贝克莱悖论⼗七世纪后期，⽜顿、莱布尼茨创⽴微积分学，成为解决众多问题的重要⽽有⼒的⼯具，并在实际应⽤中获得了巨⼤成功。
然⽽，微积分学产⽣伊始，迎来的并⾮全是掌声，在当时它还遭到了许多⼈的强烈攻击和指责，原因在于当时的微积分主要建⽴在⽆穷⼩分析之上，⽽⽆穷⼩后来证明是包含逻辑⽭盾的。
原来，在1734年，英国哲学家乔治·贝克莱出版了名为《分析学家或者向⼀个不信神数学家的进⾔》的⼀本书。
在这本书中，贝克莱对⽜顿的理论进⾏了攻击，指出求x2的导数时，会出现如下⽭盾：依靠双重错误得到了不科学却正确的结果。
芝诺的四个悖论
3、芝诺的四个悖论第一个悖论是阿基里斯与乌龟悖论;希腊战士阿基里斯跟乌龟赛跑;乌龟说;如果它比阿基里斯先跑10米;那么阿基里斯永远都追不上它;因为只要阿基里斯跑了10米;这时乌龟就又多跑了几米;若阿基里斯再跑到乌龟曾经停留的点;乌龟一定又跑到阿基里斯前面去了；看似有理;但要怎么说明为何如此呢第二个是二分法悖论;是说你永远不可能抵达终点;因为你为了抵达终点;必得先跑完全程的一半;而要跑到全程的一半;你又得跑完一半的一半……如此一来;你永远跑不到终点；甚至可以说你根本无法起跑;因为若要起跑一小段距离;你就得移动那一小段距离的一半;似乎永远无法开步跑第三则是飞矢悖论;在任一时刻;飞矢会占据着与它同等长度的空间;就这个瞬间而言;飞矢可说是静止不动的；如果每一个“任一时刻”飞矢都静止不动;那么飞矢应该一直不动..怎么可能如此飞矢应该不断往前飞啊第四是竞技场悖论;假设时间有最小不可分割的单位这是自古以来的基本假设;现在有3辆车子;在单位时间内;一号车向左移一个车身;二号车不动;三号车向右移一个车身;于是一号和三号便相差两个车身;那么一号和三号车在过程中相差一个车身时;需要花费基本单位元时间的一半;但这与基本的单位时间假设相冲突..林兹要阐释这四个芝诺悖论;所持的基本论点是;对运动中的物体而言;并没有所谓的“任一时刻会位于某个确定位置”;因为物体的位置会随时间不停地改变..他解释道︰“这样想应该比较能够理解;无论时间间隔多么小;或者物体在某段时间间隔中运动得有多慢;它还是在运动状态中;位置还是不断在改变;因此;无论时间间隔有多短;运动物体没有所谓在任一时刻、某一瞬间拥有确定的相对位置这回事..”从芝诺到牛顿乃至于今天的物理学家;在讨论运动的本质时;无不假设“运动中的物体之间具有确定的相对位置”;而林兹则认为;便是因为假设时间可以冻结在任一时刻;此时运动中的物体位在一个确定的位置上;因此芝诺悖论中那种不可能发生的情况才会成立..林兹也指出;无论如何;某段时间间隔一定可以用一个时间范围来表示;不能只说是“一瞬间”的单一时刻：“举例来说;如果有两个独立事件分别测得发生在1小时或10秒钟;这两个数值应是指两事件分别发生在1-1.99999……小时之间;以及10-10.0099999……秒之间..”因此;林兹可以很直接地解决类似“飞矢悖论”的问题..一位着名的牛津大学数学家评论道：“这真令人既惊讶又意外;不过他是对的..”林兹继续将他所提出的概念推到物理学的其它方面;包括量子力学及霍金所建构的宇宙学..物理学的物质是量子论的;分到一定程度后;就得到了量子元;而量子元是不可再分的..物理学的物质能量有两种物理形式组成;一种是量化物质;即后面提到的电磁质量；一种是连续物质;这种物质是无限可分的;可以永无穷尽的分割下去;即后面提到的引力质量..量化物质和连续物质可以相互转化并且守恒不灭;这就与数学思想的有限和无限;局部无限和整体无限联系起来了..汤川秀树认为：在古代印度有将时间本身也作为“不知道它是什么实体”来考虑的倾向..并且;还同样地认为;时间也存在有不可分割的最小单位;将它称之为“刹那”..将这种“刹那”用今天的时间单位来度量的话;大约为十分之一秒……关于基本粒子理论今后进一步的发展;说不定会是古印度物质观的思想经过某种形式的复活吧..把印度的极微观与古希腊的原子论观点相比较;不难看出;前者要较后者更为接近现代科学的观点..。
(整理)数学史上的三次危机.
数学史上的三次危机张清利第一次数学危机在古代的数学家看来与有理数对应的点充满了数轴，现在尚未深入了解数轴性质的人也会这样认为。
因此，当发现在数轴上存在不与任何有理数对应的一些点时，在人们的心理上引起了极大震惊，这个发现是早期希腊人的重大成就之一。
它是在公元前5世纪或6世纪的某一时期由毕达哥拉斯学派的成员首先获得的。
这是数学史上的一个里程碑。
毕达哥拉斯学派发现单位正方形的边与对角线不可公度，即对角线的长不能表为q p /的形式，也就是说不存在作为公共度量单位的线段。
后来，又发现数轴上还存在许多点也不对应于任何有理数。
因此，必须发明一些新的数，使之与这样的点对应，因为这些数不能是有理数，所以把它们称为无理数。
例如， ,22,8,6,2等都是无理数。
无理数的发现推翻了早期希腊人坚持的另一信念：给定任何两个线段，必定能找到第三线段，也许很短，使得给定的线段都是这个线段的整数倍。
事实上，即使现代人也会这样认为，如果他还不知道情况并非如此的话。
第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶段：1． 数学已由经验科学变为演绎科学；2． 把证明引入了数学；3． 演绎的思考首先出现在几何中，而不是在代数中，使几何具有更加重要的地位。
这种状态一直保持到笛卡儿解析几何的诞生。
中国、埃及、巴比伦、印度等国的数学没有经历这样的危机，因而一直停留在实验科学。
即算术阶段。
希腊则走上了完全不同的道路，形成了欧几里得的《几何原本》与亚里士多得的逻辑体系， 而成为现代科学的始祖。
在当时的所有民族中为什么只有希腊人认为几何事实必须通过合乎逻辑的论证而不能通过实验来建立？这个原因被称为希腊的奥秘。
总之，第一次数学危机是人类文明史上的重大事件。
无理数与不可公度量的发现在毕达哥拉斯学派内部引起了极大的震动。
首先，这是对毕达哥拉斯哲学思想的核心，即“万物皆依赖于整数”的致命一击；既然像2这样的无理数不能写成两个整数之比，那么，它究竟怎样依赖于整数呢？其次，这与通常的直觉相矛盾，因为人们在直觉上总认为任何两个线段都是可以公度的。
芝诺悖论
都能找到更“大”的无限集合）。
“一一对应”的观点：
“一一对应”——双射（单射+满射）
集合的势|A|——集合中元素的多少
|N| =可数无穷势 a ， |Q|= a
|R| =不可数无穷（称连续统势 c）,
c ：无理数比有理数多得多。 a
无穷集合可能有不同的势，其中最小的势
是 a ；不存在最大的势。
另一方面：在另外一个灵魂不朽的世界里，上帝会按照每个人的 德行对其进行审判。只有这样才能使科学不断的发展，而同时社 会的道德水平又可以保持在一个较高的状态。即，宗教可以给人 提供道德，而道德将给科学指明方向。（医学伦理学、生命伦理 学、环境伦理学、宇宙伦理学等）
2.中世纪的数学
占星术：中世纪的早期，数学这个名词所表示的意义就是占星 术。这是由于想要研究星球的运转，丰富的数学知识是必需的， 因此，占星术的教授就叫做Mathemathicii。 中世纪的占星术并没有被认为是愚蠢及天真的人所沉溺的迷信 ，相反地，它被认为是一种科学。而且其原理被接受的程度， 就如同后来人们接受哥白尼的天文学及十九世纪的万有引力定 律一般。培根、卡丹以及开普勒也赞同占星术的理论，同时用 他们丰富的科学及数学知识来研究它。甚至伽利略也曾对医学 院的学生演讲天文方面的知识，以供他们应用在占星术上。
在“有限”与“无限”间建立联系：
数学归纳法 通过有限的步骤，证明了命题
对无限个自然数均成立。
极限 通过有限的方法，描写无限的过程。
无穷级数 通过有限的步骤，求出无限次运算的结
果，如
1 1 i 1 2
i
递推公式 an an1 d , a1 = * 因子链条件（抽象代数中的术语）
大学通过讲师资格考试，后即在该大
数学史上的三次危机
数学史上的三次危机从哲学上来看，矛盾是无处不存在的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。
数学中有大大小小的许多矛盾，例如正与负、加与减、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。
在整个数学发展过程中，还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷、连续与离散、存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算等等。
在数学史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。
当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。
而危机的解决，往往能给数学带来新的内容、新的发展，甚至引起革命性的变革。
数学的发展就经历过三次关于基础理论的危机。
一、第一次数学危机从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的纯粹数学，来源予古希腊毕达哥拉斯学派。
它是一个唯心主义学派，兴旺的时期为公元前500年左右。
他们认为，“万物皆数”(指整数)，数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验。
整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。
日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间。
为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。
于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。
有理数有一种简单的几何解释。
在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的定端点和右端点分别表示数0和1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。
以q为分母的分数，可以用每一单位间隔分为q等分的点表示。
于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点。
古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。
但是，毕氏学派大约在公元前400年发现：直线上存在不对应任何有理数的点。
特别是，他们证明了：这条直线上存在点p不对应于有理数，这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线。
于是就必须发明新的数对应这样的点，并且因为这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数。
第一次数学危机
第一次数学危机1.1 背景第一次危机发生在公元前580—568年之间的古希腊，当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知。
数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。
这个学派是一个宗教、政治、学术合一且组织严密，带有浓厚宗教色彩的学派，这个学派进行了大量的教学研究，并取得了众多的数学发现。
在当时他们一致认为“数”的中心地位随时可见，他们还提出了“万物皆数”这一论断。
后期毕达哥拉斯学派成员费洛罗斯将这一观点清晰表达为：“人们所知道的一切事物都包含数；因此，没有数就既不可能表达，也不可能理解任何事物。
”世界上的万物和现象都只能通过数才能加以解释，唯有通过数和形，才能把握宇宙的本性，他们还指出“万物都可以归结为整数之比”并且相信宇宙的本质就在于这种“数的和谐”。
1.2起源1.2.1“万物都可以归结为整数之比”比较两条线段a与b的长度，当b恰好是a的正整数r倍时，我们可以直接用a作为这两条线段的共同度量单位。
当b不是a的正整数倍时，我们就要去找第三条线段d，使得a可以正好分成d的正整数倍，同时b也可以分成d的正整数倍，我们可以假设a的长度是d的m倍，b的长度是d的n倍，这时，我们说d就是a与b的度量单位，并说线段a与b是可公约或可公度的。
这个过程相当于用比较短的线段当尺子去量长的，如果一次量尽，则度量结束；如果一次量不尽，就用余下的那段线段作为新的尺子去量那个比较短的线段，如果量尽，度量结束，且度量单位就是那段余下的线段；如果还是量不尽，就用再余下的那段线段作为新的尺子去量之前余下的那一段…如此下去，直到量尽，度量结束，且度量单位就是最后余下的那段线段。
对于任意两条线段，毕达哥拉斯学派的成员相信上面的操作过程总会在进行了有限步之后结束，他们相信，只要有耐心总能找到那个度量单位的。
所以，任何两个同类量都是可通约的，即万物都归结为整数之比1.2.2希帕索斯悖论希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。
第二次数学危机
第二次数学危机
目录
第二次数学危机 微积分的产生 早期的微积分思想
• 芝诺悖论的提出可能有更深刻的背景，不一定是专 门针对数学的，但是它们在数学王国中却掀起了一场 轩然大被。它们说明了希腊人已经看到“无穷小”与 “很小很小”的矛盾，但他们无法解决这些矛盾。其 后果是，希腊几何证明中从此就排除了无穷小。
• 希腊人虽然没有明确的极限概念，但他们在处理面 积体积的问题时，却有严格的逼近步骤，这就是所谓 “穷竭法”。它依靠间接的证明方法，证明了许多重 要而难证的定理。
析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，其中审 牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；
第二类问题是求曲线的切线的问题；
查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教 它们说明了希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾，但他们无法解决这些矛盾。
牛顿对它曾作过三种不同解释：
1709年刊行《视觉新论》,1710年发表《人类知识 原理》,1713年出版《海拉斯和斐洛诺斯的对话三 篇》，均成为当时英国各大学热烈讨论的问题。
1734年被任命为爱尔兰基尔肯尼地区主教,任职18 年,仍致力于哲学的思辨。1752年移居牛津附近的新 学院。
问题 贝克莱悖论
达朗贝尔就说，现在是“把房子盖得更高些，而不是把基础打得更加牢固”。 到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。
微芝分诺:悖速论度:阿、基切里线斯贝、追极龟克值说 莱认为这是“依靠双重错误得到了不科学却正 英 至国此主，观 建唯 立确心 分主 析的义 基哲 础结学 的家逻果、 辑主 顺”教 序。 是。： 因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说 是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱攻击流数（ 当然，牛顿也曾在他的著作中说明，所谓“最终的比”，就是分子、分母要成为0还不是0时的比，它不是“最终的量的比”，而是“
芝诺悖论的极限分析
芝诺悖论的极限分析学生姓名：王慧文指导教师：岳进摘要：古希腊哲学家芝诺提出了著名的“二分法”，其结论的荒谬性不言而喻，可是对他的论证我们似乎很难找出毛病，好像是可以接受的。
其结论之所以不可以接受，源于在他的论证中隐藏着一些谬论。
在极限方面过程中把带有统一度量单位的“无穷”混为一谈。
在哲学方面违反了辩证法的客观性原则、全面性原则和对立统一性原则；但芝诺悖论的提出，对辩证法的方法，以及运动过程中诸要素的多种矛盾，通过逻辑运算对芝诺悖论的荒谬性进行反驳，对数学的发展起了很大的作用。
同时本文利用数学求极限的方法,通过逻辑运算,揭示阿基里斯永远追不上乌龟结论的错误。
关键词：悖论；无穷与有穷；运动与静止；连续与间断引言：数学悖论是数学发展过程中的一个重要的存在形态,它是数学体系中出现的一种尖锐的矛盾,对于这一矛盾的处理与研究,丰富了数学的内容,促进了数学的发展。
芝诺是公元五世纪古希腊埃利亚学派的代表人物。
芝诺“二分法”悖论是说，你不能在有限的时间内穿过无穷的点。
在你穿过一定的距离的全部之前,你必须穿过这个距离的一半。
这样做下去就会陷入无止境,所以在任何一定的空间中都有无穷个点,你不能在有限的时间中一个接一个地接触无穷个点。
运动只是假象，不动不变才是真实。
假如承认有运动，就得承认速度最快的赶不上速度最慢的”，即快的“只能无限地接近但永远不能赶上”慢的。
因为，快的要追上慢的，总要到达慢的所处，的所经过的每个出发点，而当它到达第一个出发点时，慢的已经往前走了“一段，即阿基里斯追赶乌龟的赛跑。
芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引起人们长期的讨论和发展，不能不说是巨大的贡献。
本论文就是通过极限与哲学的分析，对芝诺悖论进行剖析。
1、悖论对数学产生的作用1.1从悖论说起什么是悖论？它既属于逻辑矛盾、语义矛盾,也属于思想方法上的矛盾。
简单地说，悖论一般表现为这样的命题：如果你认为它真，则可以推出它为假；如果你认为它假，则可以推出它为真[1]。
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芝诺悖论隐藏的数学危机
传说芝诺在五岁的时候，他父亲曾经考他，从他们家到外婆家有五公里路，他以每小时五公里的速度走，需要走多少时间。
芝诺答是一个小时，父亲给他了一颗糖吃，因为他答对了。
十年后，等他十五岁时，父亲又拿这个问题问他时，他知道这下如果再答是一个小时肯定要挨骂。
因为，很显然这回父亲考的再不是他的算术能力。
父亲是在考他的判断、分析、思辩等多方面的能力，他需要找出另外一种答案来博得父亲的嘉许。
最后，他告诉父亲：他永远也走不到外婆家。
父亲想当然地替他回答了原因：因为外婆已经去世，外婆家已经不存在。
这事实上也是父亲要的答案。
父亲问这个问题的目的就是要儿子打开思路。
但年少的芝诺说：不，父亲，你这是偷换概念，不是在用数学说明问题。
父亲哈哈大笑说：那你用数学来说明一下。
他根本不相信，这还能用数学来解释。
芝诺说：我可以把五公里一分为二，然后又把一分为二的五公里再一分为二，这样分下去、分下去，可以分出无穷个“一分为二”，永远也分不完。
既然永远分不完，你也就永远走不到。
芝诺正是这样创造了他流芳百世的悖论学。
由于量子的发现，这些悖论已经得到完善的解决。
也就是无限细分在量子尺度就无法再细分了。
但这个只是解决了物理学上的芝诺悖论，而数学上的芝诺悖论却从来就没解决过，相反，它却更加深刻地反映出数学上的危机。
两分法/芝诺悖论：“一个人从A点走到B点，要先走完路程的1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走完剩下的1/2……”如此循环下
去，永远不能到终点。
从悖论的数学描述中，我们不难看出人抽象成一个点，路程抽象成一条直线。
先让我们想象一种情形，假如芝诺是一个二维人，也就是生活在在相片中的人，我们拿着芝诺的相片，让他跳高，跳到5公分就算成功。
芝诺只能遗憾的告诉你，他生活在二维世界，没有高度的维度，无法跳出相片，如果能跳出相片，他就变成一个三维人了。
再让我们想象第二种情形，假如芝诺是一个一维人，也就是生活在直线中的人，我们拿着芝诺的直线，让他横向移动，横行5公分就算成功。
芝诺只能遗憾的告诉你，他生活在一维世界，没有宽度的维度，无法跨出直线，如果能跨出直线，他就变成一个二维人了。
最后我们想象第三种情形，假如芝诺是一个零维人，也就是一个点，我们拿着芝诺的点，让他向前走，走5公分就算成功。
芝诺只能遗憾的告诉你，他生活在零维世界，没有长度的维度，无法走出点，如果能走出点，他就变成一个一维人了。
看到这里，你该明白芝诺悖论的根本问题出在哪里了吧？我们把人抽象成一个零维点，却要让一个零维点从A移动到B点产生位移，而位移是一个一维量。
在这个数学模型中，零维的人和一维的位移混杂在一起，结果就象是让相片中的人跳出相片一样荒谬。
一种正确的解法是把人抽象成一个一维的微小线段，线段的长度就是直线最小像素的长度，这样，无限可分的悖论就迎刃而解。
无限的原因，其实来自一维和零维之间的维度差就是无穷大。
虽然有不少主流观点认为数学是以对称美学作为判断标准，不接受实践的考验。
很难想象，科学的大厦是建立在一种不接受实践考验的美学基础之上的。
数学是对现实世界的抽象简化，如果数学再应用回到现实世界时，而前提假设又不一致，必然会造成这样那样的悖论，轻则误入歧途，重则导致科学大厦的坍塌。
因此，芝诺悖论是反映了数学的危机，数学来自现实世界的抽象和简化，如果把它当成象牙塔中的“艺术科学”，忘记了最初的前提假设，则会深陷无法自拔的悖论怪圈中。