数学分析讲义
数学分析考研辅导班讲义1
n
2n p
p
11 2n1 2n2
1 2n
p
1 2n1
1
1 2p
1
1 2
1 2n
1 n
，
故 0 ， N 1 0 ，当 n N 时， 自然数 p ，由以上不等式知
an p an
1 n
，
故an 收敛. 定理 1.2.2 数列an 收敛 an 的任意两个子数列都收敛，且都收敛于同一
1
2 n2 n
n
1 n2 1
2 n2
2
n n2
n
1
2 n2 1
n
nn 1
2 n2 1
而
lim n n 1
n 2 n2 1
1 2
，故原极限
1 2
.
例 1.2.8 设 0 x1 1, xn1 xn 1 xn , n 1, 2, ， 证 明 xn 收 敛 ， 并 求
第 3 步 写出 u 在不同区间段上 x 所对应的变化区间；
第 4 步 将第 3 步中所得结果代入 y f (u) 中，便得 y f (g(x)) 的
表达式及相应 x 的变化区间 .
练习题
1
设
f
(x)
1, 0,
x 1 x 1
，
g(x)
2 x2,
2,
x 2 x 2
ab
b 0 不存在 b 0 不定 a 0 不存在 a 0 不定
不确定
lim an b n n
数学分析讲义 - CH07(实数的完备性)
第七章 实数的完备性§1关于实数集完备性的基本定理前面我们学习了：戴德金切割原理、确界原理、单调有界定理、致密性定理、柯西收敛准则，这些命题都是从不同方式反映实数集的一种特性，通常称为实数的完备性或实数的连续性公理。
本节再学习见个实数的完备性公理，即区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理。
最后我们要证明这些命题都是等价的。
一、区间套定理]}定义1 设闭区间列具有如下性质： [{n n b a ,（i） []n n b a ,[]11,++⊃n n b a ， ,2,1=n ； （ii） 0)(lim =-∞→n n n a b ，则称为闭区间套，或简称区间套。
[{n n b a ,]} 这里性质（¡）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即各闭区间的端点满足如下不等式：.1221b b b a a a n n ≤≤≤≤≤≤≤≤ （1） 左端点{}n a 是单调递增的点列，右端点{}n b 是单调递减的点列。
定理1 （区间套定理） 若是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点[{n n b a ,]}ξ，使得ξ∈[]n n b a ,，，即,2,1=n ξ≤n a n b ≤， .,2,1 =n （2） 证 （由柯西收敛准则证明）设是一区间套.下面证明[{n n b a ,]}{}n a 是基本点列。
设，由区间套的条件（i）得m n >()()()()m n m n m m n n m m a a b a b a b a b a -=---≤---再由区间套的条件（ii ），易知{}n a 是基本点列。
按Cauchy 收敛准则，{}n a 有极限，记为ξ。
于是()lim lim ()lim n n n n n n n n b b a a a ξ→∞→∞→∞=-+==由{}n a 单调递增，{}n b 单调递减，易知ξ≤n a n b ≤，.,2,1 =n下面再证明满足（2）的ξ是唯一的。
数学分析讲义
y ax
( a 0, a 1)
y ex
1
y ax
( a 0, a 1)
数学分析讲义
§1.3 复合函数与反函数
3、对数函数
y log a x
(a 0, a 1)
y ln x
y log a x
(1,0)
(a 1)
y log 1 x
a
一、函数概念
例1.真空中自由落体，物体下落的时间 t 与下落的距离 s 互相联系着. 如果物体距地面的高度为 h ，
t [0,
2h ] g
都对应一个距离 s . 已知 t 与 s 之间的对应关系是
1 2 s gt 2
其中g是重力加速度，是常数.
数学分析讲义
§ 1.1 函数
例2.在气压为101.325 kPa 时，温度 T 与水的体积 V 互相联系着 . 实 测如下表：
数学分析讲义
§1.2 四类具有特殊性质的函数
一、有界函数
定义 设 函 数 f (x) 在 数 集 A 有 定 义 . 若 函 数 值 的 集 合
f ( A) f ( x) x A有上界（有下界、有界） ，则称函数 f (x)
在 A 有上界（有下界、有界） ，否则称函数 f (x) 在 A 无上界 （无下界、无界）.
y
y f (x)
f ( x1 )
f ( x2 )
o
x
I
数学分析讲义
§1.2 四类具有特殊性质的函数
三、奇函数与偶函数
定义 函数 f x 定义在数集 A .若 x A ，有 x A ，且
f x f x
则称函数 f x 是奇函数
数学分析讲义第五版
)x
f
' y
(x0
,
y0
)y
涉及函数
f
(x,
y)
在点
p0 (x0 ,
y0 ) 邻域内所有的函数值，而偏导数
f
' x
(
x0
,
y0
)
与
f
' y
(
x0
,
y0 )
仅涉及二元函数 f (x, y) 在过点 p0 (x0 , y0 ) 的直线 x x0 与 y y0 上的函数值.因此，仅仅
两个偏导数
f
' x
由全微分的定义不难看到全微分的两个性质： dz 是 x 与 y 的线性函数； dz 与 z 之 差比 是高阶无穷小.
显然，若函数 f (x, y) 在 P0 （ x0 ， y0 ）可微，则函数 f (x, y) 在 p0 (x0 , y0 ) 连续.
如果二元函数 f (x, y) 在 p0 (x0 , y0 ) 可微，全微分（2）中的常数 A,B 与二元函数 f (x, y) 有
x lim k Q
xk 0
xk
由此可见，多元函数的偏导数就是多元函数分别关于每一个自变量的导数。因此，
求多元函数的偏导数可按照一元函数的求导法则和求导公式进行。
u u
例 1 设 u x y (x 0) ，求
,
.
x y
解 u yx y1 （y 看作常数）。 x u x y ln x （x 看作常数）。 y
o(x)
= A lim
A.
x0 x
dz
f
' x
(x0
,
y0
)dx
f
' y
数学分析讲义(第五版)课件
设z
zn x2, 幂级数 n1 n 32n
的收敛半径为
R
1
lim
n
n
|
n
32n
|
9 lim n
n
1
n 32n
9,
从而 x2 z 9时原级数收敛, x2 z 9 原级数发
散,
所以
n1
n
x2n 32n
的收敛半径为
R
3.
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方法2 应用柯西-阿达玛定理 (n 奇数时, an 0), 由于
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一、幂级数的收敛区间
幂级数的一般形式为
an( x x0 )n a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2
n0
an( x x0 )n ,
(1)
为方便起见, 下面将重点讨论 x0 0 , 即
an xn a0 a1 x a2 x2 an xn
an
xn1 .
0
n0 n 1
证 由定理14.7, 级数(2), (7), (8)具有相同的收敛半
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径R. 因此,对任意一个 x (R, R) , 总存在正数 r, 使得|x| < r < R, 根据定理14.4, 级数(2), (7)在[-r, r]上 一致收敛.再由第十三章§2的逐项求导与逐项求积 定理, 就得到所要证明的结论(i)与(ii). 注 由本定理立即可以得到幂级数在其收敛区间上 可以逐项求导和逐项求积. (并没有要求在其收敛区 间上一致收敛!)
上一致收敛.
对于一般幂级数(1)的收敛性问题, 可仿照上述的办
法来确定它的收敛区间和收敛半径. 请看例子.
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例5 级数
数学分析讲义 - CH01(实数集与函数)
“集合”和“元素”是不定义的名词，“属于”也是不定义的关系。 2、集合的关系
解释下面记号： A B(B A) ， A B （定义是 A B, B A ）
3、映射
设V 和V 是任意两个非空集合，如果存在某个对应关系T ，使得对 V ，在V 中 有唯一的元素 与之对应，则称 T 是V 到V 的一个映射。记为
na b 。
（2）实数具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数，
也有无理数。
2、绝对值
实数 a 的绝对值定义为
a
a, a 0 a, a 0
从数轴上看，数 a 的绝对值 a 就是点 a 到原点的距离．
实数的绝对值有如下一些性质：
1 o a a 0；当且仅当 a 0 时有 a 0
2
4
n i 1
xi2
n i 1
yi2
0
如果 xi kyi (i 1, 2,, n) ，则不等式显然以等号形式成立。 反之，如果等号成立，则 0 ，上面二次函数（抛物线）有零点（与 x 有交点），即
n
存在 t R 使 (xit yi )2 0 ，于是 yi txi kxi 。 i 1
sin(x) x 得 sin x x 。
综上，我们又得到不等式
sin x x , x R
其中等号仅当 x 0 时成立．
4、区间与邻域[一些记号]
a,b {x | a x b} ，a,b ， (a,b] ，[a,b)
(a, ) ，[a, ) ， (, a) ， (, a] ， (, ) R
4、可数集与不可数集 引例：古阿拉伯人，只会数 1，如何知道谁口袋里的贝壳（钱）多？ 问：对于两个无穷集，如何比较“多少”？
《数学分析》课件
函数与极限
函数
函数是数学分析中的基本概念之一，它是一个从定义域到值域的映射。根据定义域和值域的不同，函数可以分为 不同的类型，如连续函数、可微函数等。
极限
极限是数学分析中描述函数在某一点的行为的工具。极限的定义包括数列的极限和函数的极限，它们都是描述函 数在某一点附近的行为。极限的概念是数学分析中最重要的概念之一，它是研究函数的连续性、可导性、可积性 等性质的基础。
复合函数的导数
复合函数的导数是通过对原函数进行 求导，再乘以中间变量的导数得到的 。
微分及其应用
微分的定义
微分是函数在某一点附近的小变化量 ，可以理解为函数值的近似值。
微分的应用
微分在近似计算、误差估计、求切线 、求极值等方面有着广泛的应用。例 如，在求极值时，可以通过比较一阶 导数在极值点两侧的正负性来确定极 值点。
数列的极限
总结词
数列极限的定义与性质
详细描述
数列极限是数学分析中的一个基本概念，它描述了数列随 着项数的增加而趋近于某个固定值的趋势。极限具有一些 重要的性质，如唯一性、四则运算性质、夹逼定理等。
总结词
数列极限的证明方法
详细描述
证明数列极限的方法有多种，包括定义法、四则运算性质 、夹逼定理、单调有界定理等。这些方法可以帮助我们证 明数列的极限并理解其性质。
含参变量积分的概念与性质
含参变量积分的概念
含参变量积分是指在积分过程中包含一个或多个参数的积分。这种积分在处理一些具有参数的物理问题时非常有 用。
含参变量积分的性质
含参变量积分具有一些重要的性质，如参数可分离性、参数连续性、参数积分区间可变性等。这些性质使得含参 变量积分在解决实际问题时更加灵活和方便。
反常积分与含参变量积分的计算方法
数学分析讲义(第一章)
Ⅱ 典型例题与方法
1. 利用极限定义验证极限
前提：知道数列（函数）的极限值；
关键：寻找 N (δ ) .
基本方法：
（1）求最小的 N ：从不等式 an − a < ε 直接解出 n ；
（2）适当放大法：不等式 an − a < ε 较为复杂，无法直接解出，或求解的过程较繁，
为此先将表达式 an − a 进行化简，并适当放大，使之成为关于 n 的简单函数 H (n) （仍为无
(5). lim f (x) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃M > 0, 当 x > M 时，有 f (x) − A < ε . x→+∞
(6) lim f (x) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃M > 0, 当 x < −M 时，有 f (x) − A < ε . x→−∞ 2
特别地，若函数以零为极限，则称之为该情形下的无穷小量.理解无穷小量阶的比较的定
义及其意义，掌握等价无穷小量在极限计算中的应用，熟记常用的等价无穷小量：当 x → 0
时，
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 + x) ~ e x −1，
1 − cos x ~ x2 , (1 + x)α ~ αx, a x − 1 ~ x ln a . 2
n →∞
yn xn
= ⎪⎨+ ∞， ⎪⎩− ∞.
二 函数极限
1 定义 函数极限的六种形式：
(1)
lim f (x) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 0 <
x → x0
x − x0
< δ 时，有
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数学分析讲义.下册.第2版
数学分析讲义第2版，专注于实用数学分析方面的知识，深入理解数学形式及其在现实分析中的应用，通过有益的练习和例子，提升你的实际技能，帮助你解决复杂的现实问题。
本文讲义是数学分析讲义（第2版），是下册的笔记，以下是整理的要点：
一、函数：
1、定义及其表示方法；
2、平面直角坐标系中曲线；
3、基本分析方程；
4、函数的应用；
二、复数及基本运算：
1、拓展自然数体；
2、复数的概念及运算；
3、指数函数；
4、三角函数及其变换；
三、级数：
1、极限运算与无穷级数概念；
2、绝对级数及全局收敛性；
3、指数幂级数及其局部收敛性；
4、勒贝格级数及其解析性；
四、极限：
1、极限概念及运算法则；
2、函数极限的性质；
3、无穷和零的存在；
4、函数极限的性质；
五、微积分：
1、定积分的概念及定义；
2、不定积分的概念及定义；
3、积分变换及差分运算；
4、积分的应用；
本讲义的内容详尽全面，涵盖了数学分析的方方面面。
希望能够帮助各位一起理解，掌握数学分析的基础知识。