浅谈数学中的转化思想
浅谈初中数学中的转化思想
——以平行四边形性质的实际教学为例
淄川第二中学
孙文燕
浅谈初中数学中的转化思想
——以平行四边形性质的实际教学为例
著名数学家G ·波利亚曾说：“如果不变化问题我们几乎不能有什么进展”。转化思想作为初中数学的主要思想，有利于激发学生的学习兴趣，提高他们学习的积极性和主动性，值得我们思考与研究。本文从平行四边形性质的实际教学出发，分别从转化思想的定义及相关要素、转化思想在教学中的表现、转化思想的培养三个方面，对转化思想进行了简要的分析和论述。
一、转化思想的定义及相关要素
布鲁姆在《教学目标分类学》明确指出，数学转化思想是“把问题元素从一种形式向另一种形式转化的能力”。所谓转化思想，通常是将未知问题转化为已知问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题，也常常在不同的数学问题之间互相转化，可以说在解决数学问题时转化思想几乎无处不在。
转化有三要素：一是转化对象——即将对什么问题进行转化；二是转化目标——即将其转化成什么问题；三是转化方法——即如何对这些问题进行转化。我们在运用转化思想时，没有固定的模式，它的特点是灵活、多样的。
二、转化思想在教学中的表现
（一）生疏问题向熟悉问题转化
生疏问题向熟悉问题转化是教学中常用的思考方法。解题能力实际上是一种创造性的思维能力，而这种能力的关键是能否细心观察，运用过去所学的知识，将生疏问题转化为熟悉问题。
类比三角形，引导学生研究平行四边形边和角的性质时，学生可能用以下两种方法说明“平行四边形的对角相等”：①利用平行线的性质；②连结AC 或BD ，根据全等三角形中对应角相等可证。学生可能用以下两种方法说明“平行四边形的对边相等”：①平移线段可形成平行四边形，利用平移性质；②连结AC 或BD ，根据全等三角形中对应边相等可证。
因此，作为教师，应引导学生利用学过知识来探究新的知识，缩小接触新内容时的陌生度，避免因研究对象的变化而产生的心理障碍，这样做常可得到事半A B D
C
功倍的效果。
（二）数与形的转化
1、在 ABCD 中，∠A与∠B 的度数之比为4：5，∠A= ，∠B= ，∠C= ∠D= 。
2、已知：平行四边形ABCD的周长为60cm，两邻边AB，BC长的比为3：2，求AB和BC的长度 .
两题均采用运用代数的方法来解决几何问题，学生在做题过程中先回顾关于比例的有关知识，以便进行作答。
（三）复杂问题转化为简单问题
教师通过合理设置问题，将一个复杂的问题分成几个难度与学生的思维水平同步的小问题，再分析说明这几个小问题之间的相互联系，以局部知识的掌握为整体服务。问题与问题之间要有一定的梯度，以利于教学时启发学生思维。
1、如图，在ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC. 求BC，CD，AC，OA的长，以及ABCD的面积．
A D
O
B C
2、如图，在ABCD中，直线EF过点O，且与AB，CD分别相交于点E，F．求证：OE=OF．你还能发现其他相等的线段吗？
A D
E
O F
B C
第二题是第一题的变式练习，复杂问题简化是数学解题中运用最普通的思考方法。一个难以直接解决的问题，通过深入观察和研究，转化为简单问题迅速求解。
三、转化思想的培养
多数数学问题的解决都要运用转化思想，教师在平时的教学中要善于引导和鼓励学生在学习上和生活中经常运用转化思想，注重转化思想的培养。
（一）在教学中贯穿转化思想，引导学生进行初步感知
教师在教学中应该先引导学生掌握转化思想的基本知识，明确什么是转化思想，激发学生的积极性，去思考如何进行转化，并在教学过程中，有目的地进行
转化思想的训练，师生共同评价教学过程中运用转化思想的合理性和不足，引导学生体会转化思想的美妙。
（二）尝试运用，体会数学转化方法
学生在学习过程中的进步与反复、成功与失败、变化与发展都是他们不断自我体验、自我实现的过程。因此让学生尝试运用转化法，体验成功是关键的一步。在尝试运用中，学生主动参与，不拘泥于教材或教师，从自身知识基础与经验出发，把新知转化成旧知，建立新旧知识的内在联系，促进新知识结构的建立，进而主动地理解和掌握转化方法，提高数学的能力。
（三）大胆创新，形成转化思想
转化思想具有灵活多样的特点，因此在培养学生转化思想时，也没有一成不变的规则和方法，应该引导学生大胆进行创新，注重观察日常生活中的问题。在尝试解决问题时，要从数学的角度进行分析和思考，只有这样，他们的能力才会得到提升。
学习上，善于运用转化思想的同学，将能解决更多的数学问题，将有更浓厚的学习兴趣。生活中，善于运用转化思想的同学，将变得越来越聪明，越来越富有创造性，这正是我们每位教育工作者所期待的东西，正是教育的归宿，教育的目的。所以要重方法，而不要重题海。
参考文献：
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[5]《浅谈数学思想方法——化归与转化[J]》陶金瑞;霍凤芹成都大学学报(教育科学版)；2007年08期.
[6]《课堂教学的原理、策略与研究》华东师大出版社.
[7]《教育学》人民教育出版社.
初中数学教学论文 浅谈化归思想方法在数学教学中的应用
浅谈化归思想方法在数学教学中的应用 内容摘要：所谓化归法，是指通过数学内部的联系和矛盾运用，在转化中实现问题的规范化，即将待解问题转化为规范问题，从而使原问题得到解决的一种方法.这里的规范问题是指已经具有确定的解决方法和程序的问题，即运用原有知识已能解决的问题.而将一个问题化为规范问题的过程叫做问题的规范化.因此，简而言之，所谓化归就是问题的规范化、模式化。“化归”方法很多，但有一个原则是和原来的问题相比，“化归”后所得出的问题，应是已经解决或是较为容易解决的问题。在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，与中学数学教与学密切相关。 关键词：化归法简述运用操作实现化归 随着数学课程改革的深入，教师们已经认识到学生学习方法转变的必要性。数学教学是教师按照学生的认识规律和新课标特点，通过最优途径，指导学生掌握科学的学习方法，并获得具有选择和运用恰当有效学习方法的能力。重视方法指导是坚持“以学生为主体”和培养学生创新素养这一现代教育观念的体现，它能使学生主动参与认识过程，既能调动学生的积极性，又能向教师提出改进教法的反馈信息，有效发挥教法和学法的整体功能，最大限度地使用好教材。在数学方法论中有一种重要的思维方法——化归，这种方法与我们常见的分析和综合、抽象和概括、归纳和演绎、比较和类比等思想方法不同，在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，与中学数学教与学密切相关。 一．化归法简述 在学习数学的各个环节中，解题的训练占有十分重要的地位。它既是掌握所学数学知识的必要手段，也是培养和提高数学能力的重要途径。解题的实质就是把数学的一般原理运用于题目的条件或条件的推论而进行的一系列推理，直到求出题目解答为止的过程。这一过程是一种复杂的思维活动的过程。解决问题的过程，实际是转化的过程，即对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个(些)已经解决的问题，或容易解决的问题。如抽象转化为具体，未知转化为已知，立体转化为平面，高次转化为低次，多元转化为一元，超越运算转化为代数运算等等。这就是数学方法论中的一种新的思维方法——化归，这种方法与我们常见的分析和综合、抽象和概括、归纳和演绎、比较和类比等思想方法不同，在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，假设有一个数学问题甲，一下子不能直接求解，于是人们将甲问题的求解化为乙问题的求解，然后通过乙问题的求解返回去得出甲问题的求解，这就是化归的基本想法。利用化归法解决问题的过程可以简单地用以下框图表示：
数学的转化思想
中考数学专题复习之三：数学的转化思想 【中考题特点】： 转化思想要求我们居高临下地抓住问题的实质，在遇到较复杂的问题时，能够辩证地分析问题，通过一定的策略和手段，使复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，抽象的问题具体化。具体地说，比如把隐含的数量关系转化为明显的数量关系；把从这一个角度提供的信息转化为从另一个角度提供的信息。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、概念与概念之间、图形与图形之间都可以通过转化，来获得解决问题的转机．．。 【范例讲析】： 例1：已知：n m ,满足13,132 2 =-=-n n m m , 求 n m m n +的值。 例2：已知：一元二次方程x 2+x+m=0，x 2－(m －1)x+4 1 =0中至少有一个方程有实数根，求m 的取值范围。 例3：已知：如图，平行四边形ABCD 中，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，AB ∶BC=6∶5，平行四边形ABCD 的周长为110，面积为600。 求：cos ∠EDF 的值。 A B C D E F
例4：已知方程组 kx 2－x －y+ 2 1=0 y=k(2x －1) (x 、y 为未知数) 有两个不同的实数解 x=x 1 或 x=x 2 y=y 1 y=y 2 ⑴求实数k 的取值范围；⑵如果3x 1 x 1y y 2 121=++，求实数k 的值。 例5：如图，AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，∠APB 的平分线分别交BC 、AB 于点D 、E ，交⊙O 于点F ，∠A=60°，并且线段AE 、BD 的长是一元二次方程x 2－kx+23=0的两个根（k 为正的常数）。 ⑴求证：PA ·BD=PB ·AE ； ⑵求证：⊙O 的直径为常数k ； ⑶求tan ∠FPA 的值。 【练习】： 1．已知：m, n 是方程x 2－3x+1=0的两根，求代数式2m 2+4n 2－6n+1999的值。 2．已知：ab ≠1，且5a 2+1995a+8=0，8b 2+1995b+5=0。求 b a 的值。 3．如图，在直角坐标系中，点B 、C 在x 轴的负半轴上，点A 在y 轴的负半轴上，以AC 为直径的圆与AB 的延长线交于点D ，弧CD =弧AO ，如果AB=10AO>BO ，且AO 、BO 是关于x 的二次方程x 2+kx+48=0的两个根。 ⑴求点D 的坐标；⑵若点P 在直径AC 上，且AC=4AP ，判断点 （－2，－10）是否在过D 、P 两点的直线上，并说明理由。 A B C D E F P
化归思想──小学数学思想方法的梳理
化归思想──小学数学思想方法的梳理 二、化归思想 1．化归思想的概念。 人们在面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往将需要解 决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决，把这种思想方法称为化归（转化）思想。 从小学到中学，数学知识呈现一个由易到难、从简到繁的过程；然而，人们在学习数学、理解和掌握数学的过程中，却经常通过把陌生的知识转化为熟悉的知识、把繁难的知识转化为简单的知识，从而逐步学会解决各种复杂的数学问题。因此，化归既是一般化的数学思想方法，具有普遍的意义；同时，化归思想也是攻克各种复杂问题的法宝之一，具有重要的意义和作用。 2．化归所遵循的原则。 化归思想的实质就是在已有的简单的、具体的、基本的知识的基础上，把未知化为已知、把复杂化为简单、把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常规化为常规，从而解决各种问题。因此，应用化归思想时要遵循以下几个基本原则： （1）数学化原则，即把生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型，从而应用数学知识找到解决问题的方法。数学来源于生活，应用于生活。学习数学的目的之一就是要利用数学知识解决生活中的各种问题，课程标准特别强调的目标之一就是培养实践能力。因此，数学化原则是一般化的普遍的原则之一。 （2）熟悉化原则，即把陌生的问题转化为熟悉的问题。人们学习数学的过程，就是一个不断面对新知识的过程；解决疑难问题的过程，也是一个面对陌生问题的过程。从某种程度上说，这种转化过程对学生来说既是一个探索的过程，又是一个创新的过程；与课程标准提倡培养学生的探索能力和创新精神是一致的。因此，学会把陌生的问题转化为熟悉的问题，是一个比较重要的原则。 （3）简单化原则，即把复杂的问题转化为简单的问题。对解决问题者而言，复杂的问题未必都不会解决，但解决的过程可能比较复杂。因此，把复杂的问题转化为简单的问题，寻求一些技巧和捷径，也不失为一种上策。 （4）直观化原则，即把抽象的问题转化为具体的问题。数学的特点之一便是它具有抽象性。有些抽象的问题，直接分析解决难度较大，需要把它转化为具体的问题，或者借助直观手段，比较容易分析解决。因而，直观化是中小学生经常应用的方法，也是重要的原则之一。 3．化归思想的具体应用。
化归思想在初中数学解题中的应用
化归思想在初中数学解题中的应用 向阳乡初级中学 周红林 【摘要】化归思想是中学数学最重要的思想方法之一。本文从化归的功能，化归的原则，化归的思维模式以及中学数学中化归的基本形式，化归的特点等内容出发，力求比较全面地体现化归思想在初中数学解题中的作用和地位。 【关键词】化归思想 化归的原则 教学策略 化归思想要点 新课程标准指出：“数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础。”“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”从中我们可以看出新课程标准下的数学教学更加突出培养学生的数学思想的重要性，而数学思想同样离不开数学方法的支持。 数学是一门演绎推理的学科。它的任一分支在其内容展开过程中，都有形或无形地存在着如下的结论链： 从中我们可以发现，在解决某一个具体问题时，不必都从原始概念开始，而只要把待解决的问题转化为结论链中的某一环节即可。所以，初中数学中，化归思想的运用尤为突出，本文结合自己的工作实际对化归思想提出了一些自己的看法。
一、化归思想的涵义和作用 化归思想，又称转换思想或转化思想，是一种把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去，最终求得问题解答的数学思想。化归法和数形结合方法是转化思想在数学方法论上的体现，是数学中普遍适用的重要方法。 二、化归思想的基本原则 数学中的化归有其特定的方向，一般为：化复杂为简单；化抽象为具体；化生疏为熟悉；化难为易；化一般为特殊；化特殊为一般；化“综合”为“单一”；化“高维”为“低维”等。 为更好地把握化归方向，我们必须遵循一些化归的基本原则，化归思想的基本原则主要有熟悉化原则、简单化原则、具体化原则、极端化原则、和谐化原则。 ⒈熟悉化原则 熟悉化就是把我们所遇到的“陌生”问题转化为我们较为“熟悉”的问题，以便利用已有的知识和经验，使问题得到解决。这也是我们常说的通过“旧知”解决“新知”。学习是新旧知识相互联系、相互影响的过程。奥苏伯尔说，影响学习的最重要的因素是学生已知的内容。在教学的应用策略中，他提出了设计“先行组织者”的做法，也就是在学生“已经知道的知识”和“需要知道的知识”之间架起桥梁。这样有利于学生解决问题。 ⒉简单化原则 简单化原则就是把比较复杂的问题转化为比较简单的易于确定
专题讲座(数学思想方法与初中数学教学)
专题讲座(数学思想方法与初中数学教学)
数学活动的机会，帮助学生在自主探索和合作交流的过程中，真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力，从而为解决数学问题、进行数学思维起到很好的促进作用。因此，在初中数学教学中，教师必须重视对学生进行数学思想方法的渗透与培养。 二、几种常见的数学思想方法在初中数学教学中的应用 （一）渗透转化思想，提高学生分析解决问题的能力 所谓“转化思想”是指把待解决或未解决的问题，通过转化，归结到已经解决或比较容易解决的问题中去，最终使问题得到解决的一种思想方法。转化思想是初中数学中常见的一种数学思想，它的应用十分广泛，我们在数学学习过程中，常常把复杂的问题转化为简单的问题，把生疏的问题转化为熟悉的问题。数学问题的解决过程就是一系列转化的过程，转化是化繁为简，化难为
易，化未知为已知的有力手段，是解决问题的一种最基本的思想，对提高学生分析解决问题的能力有积极的促进作用。 我们对转化思想并不陌生，中学数学中常用的化高次为低次、化多元为一元，都是转化思想的体现。在具体内容上，有加减法的转化、乘除法的转化、乘方与开方的转化、数形转化等等。例如：初中数学“有理数的减法”和“有理数的除法”这两节教学内容中，教材是通过“议一议”的形式，使学生在自主探究和合作交流的过程中，经历把有理数的减法转化为加法、把有理数的除法转化为乘法的过程，“减去一个数等于加上这个数的相反数”，“除以一个数等于乘以这个数的倒数”，这个地方虽然很简单，但却充分体现了把“没有学过的知识”转化为“已经学过的知识”来加以解决，学生一旦掌握了这种解决问题的策略，今后无论遇到多么难、多么复杂的问题，都会自然而然地想到把“不会的”转化为“会的”、“已经掌握的”知识来加以解决，这符合学生原有认知规律，作为教师，我们不能因为简单而忽视它的教学，实践告诉我们，往往是越简单、越浅显的例子，越能引起学生的认同，
浅谈中学数学中的化归思想(精)
浅谈中学数学中的化归思想 作者：中原中学刘继华 不断地变换你的问题，我们必须一再地变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成 功地找到某些有用的东西为止。 ————波利亚 化归是解决数学问题的一种重要思想方法．化归的思想贯穿于整个数学中，掌握这一思想方法，并学会用它分析问题、处理问题，有着十分重要的意义．匈牙利著名数学家路莎˙彼得以生动的比喻对这种思维方式作了如下风趣的描述：有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。”提问者肯定了这一回答；但是，他又追问道：“如果其它的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够多的水，那你又应当怎样去做？”这时被提问者往往会很有信心地说：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”但是，提问者指出，这一回答并不能使他满意，因为，更好的回答应当是：“只有物理学家才会这样做，而数学家们则会倒掉壶中的水，并声称我把后一问题化归为前面所说的问题了。” 路莎˙彼得在这里说的就是化归方法。在数学教育中，化归思想是“问题解决”的一种重要手段和方法。 —、化归方法的基本思想 1、化归方法的含义：把待解决和未解决的问题，通过转化，或再转化，将原问题归结为一个已经能解决的问题，或者归结为一个比较容
易解决的问题甚至为人们所熟知的具有既定解决方法和程序的问题，最终求得原问题的解决．我们就把这种将未知转化归结为已知的解决数学问题的基本方法称之为化归方法． 2、化归方法是辨证思维在方法论上的反映 数学中充满着矛盾，有着极其丰富的辨证内容，例如，数学概念中一与多、正与负、常量与变量、有限与无限以及数学运算中的加与减、乘与除、乘方与开方、微分与积分等都表现为矛盾的对立统一的形式． 化归方法正是根据客观事物是普遍联系、永恒发展和矛盾的对立统一及其相互转化的观点，来实现问题解决的，它着眼于揭示联系实现转化．因此说化归方法是辨证思维在方法论上的反映． 3、化归方法的作用 我们知道整个中学数学内容，始终贯穿着数学知识和数学方法这两条线．中学数学问题的解决过程常常表现为不断发现问题、分析问题直到归结转化为熟悉的或已能解决的问题的过程，化归方法是中学数学中的重要数学方法之一． 例如 (1代数中解一般方程(或不等式的基本思路是多元向一元、高次向低次的化归；分式方程向整式方程的化归，无理方程向有理方程的化归．
浅谈化归思想方法在数学教学中的应用
浅谈化归思想方法在数学教学中的应用 墨红镇中学李慧连内容摘要：所谓化归法，是指通过数学内部的联系和矛盾运用，在转化中实现问题的规范化，即将待解问题转化为规范问题，从而使原问题得到解决的一种方法.这里的规范问题是指已经具有确定的解决方法和程序的问题，即运用原有知识已能解决的问题.而将一个问题化为规范问题的过程叫做问题的规范化.因此，简而言之，所谓化归就是问题的规范化、模式化。“化归”方法很多，但有一个原则是和原来的问题相比，“化归”后所得出的问题，应是已经解决或是较为容易解决的问题。在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，与中学数学教与学密切相关。 关键词：化归法简述运用操作实现化归 随着数学课程改革的深入，教师们已经认识到学生学习方法转变的必要性。数学教学是教师按照学生的认识规律和新课标特点，通过最优途径，指导学生掌握科学的学习方法，并获得具有选择和运用恰当有效学习方法的能力。重视方法指导是坚持“以学生为主体”和培养学生创新素养这一现代教育观念的体现，它能使学生主动参与认识过程，既能调动学生的积极性，又能向教师提出改进教法的反馈信息，有效发挥教法和学法的整体功能，最大限度地使用好教材。在数学方法论中有一种重要的思维方法——化归，这种方法与我们常见的分析和综合、抽象和概括、归纳和演绎、比较和类比等思想方法不同，在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，与中学数学教与学密切相关。 一．化归法简述 在学习数学的各个环节中，解题的训练占有十分重要的地位。它既是掌握所学数学知识的必要手段，也是培养和提高数学能力的重要途径。解题的实质就是把数学的一般原理运用于题目的条件或条件的推论而进行的一系列推理，直到求出题目解答为止的过程。这一过程是一种复杂的思维活动的过程。解决问题的过程，实际是转化的过程，即对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个(些)已经解决的问题，或容易解决的问题。如抽象转化为具体，未知转化为已知，立体转化为平面，高次转化为低次，多元转化为一元，超越运算转化为代数运算等等。这就是数学方法论中的一种新的思维方法——化归，这种方法与我们常见的分析和综合、抽象和概括、归纳和演绎、比较和类比等思想方法不同，在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，假设有一个数学问题甲，一下子不能直接求解，于是人们将甲问题的求解化为乙问题的求解，然后通过乙问题的求解返回去得出甲问题的求解，这就是化归的基本想法。利用化归法解决问题的过程可以简单地用以下框图表示：
初中数学中的“转化思想”
初中数学中的“转化思想” [摘要]：随着课程改革的深入展开，培养学生的能力越来越重要，数学学习更应重视数学思想方法的渗透和培养。本文从几方面论述了转化思想在数学学习中的重要作用：转化思想可以使学生经历探索的学习过程，改变学生的学习方式，转化思想能培养学生创新思维能力及逻辑思维能力，是一种很重要的思维方法；转化思想可以增强学生的数学应用意识，提高解决问题的能力，从而，大大加强学生学习数学的兴趣。 [关键词]：转化思想数学学习逻辑思维应用意识学习兴趣 [引言]：人们在长期的数学实践中总结了许多解决数学问题的方法，形成了许多光辉的数学思想，每种数学思想都有它一定的应用范围，但笔者在数学实践中体会到，在学生的数学学习过程中，决不能忽视转化数学思想所起的重要作用，在教学中必须重视转化思想的渗透和培养。 转化是解数学题的一种重要的思维方法，转化思想是分析问题和解决问题的一个重要的基本思想，不少数学思想都是转化思想的体现。就解题的本质而言，解题既意味着转化，既把生疏问题转化为熟习问题，把抽象问题转化为具体问题，把复杂问题转化为简单问题，把一般问题转化为特殊问题，把高次问题转化为低次问题；把未知条件转化为已知条件，把一个综合问题转化为几个基本问题，把顺向思维转化为逆向思维等，因此学生学会数学转化，有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习质量和数学能力。 数学转化思想、方法无处不在，它是分析问题、解决问题有效途径，它包含了数学特有的数、式、形的相互转换，又包含了心理达标的转换。转化的目的是不断发现问题，分析问题和最终解决问题。在数学中，很多问题能化复杂为简单，化未知为已知，化部分为整体，化一般为特殊，……等等，下面就“转化思想”在初中数学的应用通过举例作个简单归纳。
浅谈化归思想在中学数学中的应用
浅谈化归思想在中学数学中的应用 发表时间：2010-11-08T15:05:44.580Z 来源：《中小学教育》2010年第11期供稿作者：苏炳堂 [导读] 数与数之间的转化遵循着一些原则，例如具体化原则、简单化原则、和谐统一化原则等等。 苏炳堂广西柳州市第一中学545007 在中学数学中，化归思想不仅是一种重要的数学思想，也是一种最基本的思维策略。化归思想在中学数学中有着很广泛的应用，其关键就在于把原问题转化和归结。对于具体的数学问题，如何实行化归和选择有效的化归手段并没有固定的模式，中学数学常见的化归基本形式有以下三种： 一、数与数之间的转化 数与数之间的转化是中学数学中最常用的一种化归形式，通过转化可以使得原问题简单化、具体化、熟悉化，从而使问题迎刃而解。在中学数学中很多化归都是数与数之间的转化，例如变形所给出的方程求解，数学解法在于不断将高层次的解法化归为较低层次的解法，这就是我们常说的把问题“初等化”。 例1、关于x的方程cos2x+sinx+a=0在（0，π）内有解，求a的取值范围。 分析：假设由题意把x看作未知数，那么那就是一个复合的方程，很难下手，但若考虑以sinx为未知数，再由1-cos2x=sin2x，则问题转化为常见的一元二次方程了，原问题即可解决。所以由1-cos2x=sin2x，原式可化为：a=sin2x-sinx-1即a=（sinx- ）2- 。因为x∈（0，π），所以0 初中数学专题复习(一) 化归思想 本专题专门复习化归思想．所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等． 【典型例题剖析】 一、转化思想在代数中的应用。 1.已知：n m ,满足13,132 2 =-=-n n m m , 求n m m n +的值。 二、转化思想在函数问题上的应用： 1. 函数1 y x = 】 A ．第一象限 B.第一、三象限 C.第二象限 D.第二、四象限 2.（2016成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点A （2，2）． （1）分别求这两个函数的表达式； （2）将直线OA 向上平移3个单位长度后与y 轴交于点B ，与反比例函数图象在第四象限的交点为C ，连接AB 、AC ，求点C 的坐标及△ABC 的面积． 三、转化思想在几何中的应用。 2、已知：如图6所示在中，，∠BAC 、∠BCA 的角平分线AD 、CE 相交于O 。 求证：AC ＝AE ＋CD y kx =m y x = 四、代数问题与几何问题之间的化归： 1.如图，已知矩形ABCD 中，E 是AB 上一点， 沿EC 折叠，使点B 落在AD 边的B‘处，若AB=6， BC=10， 求AE 的长。 2、如图，AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，∠APB 的平分线分别交BC 、AB 于点D 、E ，交⊙O 于点F ，∠A=60°，并且线段AE 、BD 的长是一元二次方程x 2－kx+23=0的两个根（k 为正的常数）。 ⑴求证：PA ·BD=PB ·AE ； ⑵求证：⊙O 的直径为常数k ； ⑶求tan ∠FPA 的值。 【强化训练】 一、选择题与填空题 1、用换元法解方程x x x x += ++2 22 1时，若设x 2+x=y, 则原方程可化为（ ） A 、y 2+y+2=0 B 、y 2－y －2=0 C 、y 2－y+2=0 D 、y 2+y －2=0 2、已知如图：ΔABC 中，∠C=90°，BC=AC ，以AC 为直径的圆交AB 于D ，若AD=8cm ，则阴影部分的 面积为（ ） A 、64πcm 2 B 、64 cm 2 C 、32 cm 2 D 、48 πcm 2 E A B C D E F P 南京师范大学泰州学院毕业论文（设计） （一三届） 题目：数学中转化思想的运用 院（系、部）：数学科学与应用学院 专业：数学与应用数学 姓名：戴涛 学号08090221 指导教师：肖艳艳 南京师范大学泰州学院教务处制 摘要：数学思想方法是数学的精髓，转化思想方法又是数学思想的核心和精髓。因新 课标下初高中数学呈现“起点高、难度大、容量多、课时紧”的特点，学生不适应学 习的现象突出，故师生们更迫切通过强化数学思想的方法，改进思想方法的教学与应用，来提高学生的数学思想能力。本文试图从转化思想的内涵与原则角度出发，并结合几种 常见的转化思想方法来探究转化思想的应用性。 关键词：数学思想；转化化归思想；应用性 Abstract:Mathematics method of thinking is the essence of mathematics, conversion method is the core and essence of mathematical thought. Because under the new curriculum in junior and senior high school mathematics "characteristics of high starting point, high difficulty, capacity, time tight", students do not adapt to the learning phenomenon is prominent, so teachers and students more urgent by strengthening mathematical thought, teaching and application of the improved method of thinking, to improve the mathematics thinking ability of students. This paper attempts to start from the connotation of transformation thought and principle, application and combination of several common methods of transformation thought to explore the transformation of thought. Keywords: Mathematical thinking, to the conversion of thinking, application 化归思想在初中数学解题中的应用 向阳乡初级中学 周红林 【摘要】化归思想是中学数学最重要的思想方法之一。本文从化归的功能，化归的原则，化归的思维模式以及中学数学中化归的基本形式，化归的特点等内容出发，力求比较全面地体现化归思想在初中数学解题中的作用和地位。 【关键词】化归思想 化归的原则 教学策略 化归思想要点 新课程标准指出：“数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础。”“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”从中我们可以看出新课程标准下的数学教学更加突出培养学生的数学思想的重要性，而数学思想同样离不开数学方法的支持。 数学是一门演绎推理的学科。它的任一分支在其内容展开过程中，都有形或无形地存在着如下的结论链： 从中我们可以发现，在解决某一个具体问题时，不必都从原始概念开始，而只要把待解决的问题转化为结论链中的某一环节即可。所以，初中数学中，化归思想的运用尤为突出，本文结合自己的工作实际对化归思想提出了一些自己的看法。 一、化归思想的涵义和作用 化归思想，又称转换思想或转化思想，是一种把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去，最终求得问题解答的数学思想。化归法和数形结合方法是转化思想在数学方法论上的体现，是数学中普遍适用的重要方法。 二、化归思想的基本原则 数学中的化归有其特定的方向，一般为：化复杂为简单；化抽象为具体；化生疏为熟悉；化难为易；化一般为特殊；化特殊为一般；化“综合”为“单一”；化“高维”为“低维”等。 为更好地把握化归方向，我们必须遵循一些化归的基本原则，化归思想的基本原则主要有熟悉化原则、简单化原则、具体化原则、极端化原则、和谐化原则。 ⒈熟悉化原则 熟悉化就是把我们所遇到的“陌生”问题转化为我们较为“熟悉”的问题，以便利用已有的知识和经验，使问题得到解决。这也是我们常说的通过“旧知”解决“新知”。学习是新旧知识相互联系、相互影响的过程。奥苏伯尔说，影响学习的最重要的因素是学生已知的内容。在教学的应用策略中，他提出了设计“先行组织者”的做法，也就是在学生“已经知道的知识”和“需要知道的知识”之间架起桥梁。这样有利于学生解决问题。 ⒉简单化原则 简单化原则就是把比较复杂的问题转化为比较简单的易于确定 “转化思想”在初中数学中的应用和作用 □许记花 数学思想方法是数学的灵魂和精髓，是指导我们探索问题、研究问题和解决问题的尚方宝剑，它常常隐含于数学知识的发生、发展过程中。而“转化思想”是数学思想方法中最基本、也是最重要的一种方法，“转化思想”在初中数学中的应用之广，作用之大，是无法用语言形容的，理解并掌握了这种方法，许许多多的数学问题都能迎刃而解。 一、“转化思想”初中代数中的应用和作用 1、进入初中，我们学习了用数轴上的点来表示有理数，因而计算一个数的绝对值就转化为求数轴上的点到原点的距离，这是数与形的转化。 2、两个负数大小的比较，绝对值大的反而小，这是把负数大小的比较通过取绝对值转化为正数大小的比较。这是数与数之间的转化。 3、根据减法法则，减去一个数可以转化为加上这个数的相反数，从而把有理数的减法运算转化为有理数的加法运算。这是运算与运算之间的转化。 4、类似地，除以一个不为0的数可以转化为乘以这个数的倒数，把有理数的除法运算转化为有理数的乘法运算，这是运算与运算之间转化。像这样，把复杂问题转化为简单问题，把陌生的未知问题转化为已知的学过的知识去解决，把新的问题转化为已知的或已解决的问题，这就是我们学习数学解决问题的一种常用的数学思想——转化思想。 5、而解一元一次方程的过程实质也是一种转化，是将复杂的方程逐步转化为最简单的方程。例如： 解方程： 解：去分母，得5(3x+1)-20=(3x-2)-2(2x+3) ① 去括号，得15x+5-20=3x-2-4x-6 …② 移项，得15x-3x+4x=-2-6-5+20 …③ 合并同类项，得16x=7 .…④ 系数化为1，得x …⑤ 大家都知道一元一次方程的解的基本表达形式是x=a，它是一元一次方程中形式最简单的方程，而我们研究一元一次方程起点便是从这里开始的.学习了等式的基本性质，我们可以探索形如方程②、③、④形式的解法；学习了去括号法则之后，又可以探索形如方程①形式的解法；最后，学习了含分母的一元一次方程的解法。从此不难发现：我们课本知识是由浅显、简单到较难、较复杂是逐步展开的，而上述解方程的过程正好是我们课本知识展开过程的逆过程，正好符合我们解方程的数学思维过程，即把复杂的问题，逐步转化为简单的问题，把陌生的问题逐步转化为熟悉的问题，从而求得问题的解。 二、“转化思想”在初中几何中的应用和作用 学习几何知识，用几何知识分析问题、探索问题、研究问题和解决更离不开“转化思想”，几何题的解答、几何题的证明、多数定理的证明，公式的推导，也都用到“转化思想”，转化思想在数学中的应用之广，作用之大是无法测量的。例如： 1、如图：求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。 用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，把求∠A+ ∠B+∠C+∠D+∠E五个角的度数转化为一个三角形的内角和等于180°来解决的。这是角与角之间的转化。 2、多边形的内角和公式（n－2）×180°推导：利用添加辅助线的方法把n边形转化为(n-2)个三角形，利用三角形的内角和等于180°。这是图形与图形之间、角与角之间的转化。 3、直线、抛物线、双曲线可以用方程（即解析式）来表示，这是形与式的转化。直线、抛物线、双曲线交点问题，可以用求方程组解来解决，这是形、式、数之间的转化。 4、如图：△ABC中，A、B、C三点的坐标分别为（-2，-1）、（3，-3）、（1，3），求△ABC 的面积。 浅谈转换与化归思想 转化思想是数学中的一种基本却很重要的思想。深究起来，转化两字中包含着截然不同的两种思想，即转换和化归。这两者其实表达了不同的思想方法，可以说是思维方式与操作方法的区别。 一、 转换思想 （1）转换思想的内涵 转换思想是指解决问题时策略、方法、指导思想的跳跃性变化，能跳出现有领域的局限，联系相关领域，并用相关领域的思维方式来解决现有领域内的问题。要做到这一点，对思维能力的要求相对更高，必须对各个领域分别都有透彻的了解，更必须对各领域之间的联系有较多的研究，在关键时刻才能随心所欲地运用。 （2）转换思想在同一学科中的应用 转换思想可以是在同一学科的不同知识模块之间的变换，在解决问题时改变解题方向。象数学学科中，数与式的互相转换、数与形的互相转换、文字语言与符号语言的互相转换。 比如，函数、方程、不等式是代数中的三大重要问题，而它们之间完全可以用三个知识模块的不同方法解决其他模块的各类问题。不等式恒成立问题可以转换到用函数图象解决，或者是二次方程根的分布，也可以转换到二次函数与x 轴的交点问题。再比如，数列问题用函数观点来解释，那更是我们数学课堂中一再强调的问题了。 看这样一个问题： 已知：11122=-+-a b b a ，求证：12 2=+b a 。 [分析] 这是一个纯粹的代数证明问题，条件的变形是比较艰难的，所以希望把条件变形从而得到结论这条思路也有点 令人望而生畏。 再仔细观察本题的条件、结论中所出现的形式，稍加联系，我们完全可以想到：21a -、21b -、122=+b a 这些特殊形式在另一知识模块——三角函数中经常出现，它们呈现出完全类似的规律性。 [解答]由题意1≤a 、1≤b ，则可设αsin =a ，αcos =b ，πα<≤0 11122=-+-a b b a 即为1sin 1cos cos 1sin 22=-+-αααα 化简得1cos cos sin sin =+αααα 所以0sin ≥=αa ，0cos ≥=αb 则 1cos sin 2 222=+=+ααb a [小结] 本题的解决了是发现了不同知识模块中的类似规律，加以利用得到新的思路，本题的题设和结论中都没有出现 三角函数的形式，最终却必须引进三角函数加以解决，思维已经具有跳跃性，对一般学生来说解决起来还是比较棘手的。 转换思想对思维要求确实很高，但这一点还是能够做到的。因为各学科都有对知识模块的介绍，同时也有对各知识模块之间横向纵向的对比联系的研究。典型的例子就是数与形之间的思维转换，因为学生已经在初中老师的指导下 小学数学转化思想的论文 Prepared on 24 November 2020 窗体顶端 “随风潜入夜，润物细无声” -----“转化”思想在小学数学中的渗透 人们在学习数学、理解和掌握数学的过程中，经常通过把陌生的知识转化为熟悉的知识、把繁难的知识转化为简单的知识，从而逐步学会解决各种复杂的数学问题。由此我们必然联想到“转化”。转化思想是小学数学学习中一种重要的数学思想。转化思想就是化新为旧，即根据学生已有的知识来解决新知识，将复杂问题转化为易解问题。 “分数的初步认识”、“小数的认识”；整数的四则运算、小数的四则运算；三角形、平行四边形、梯形、圆形等图形的面积推导；异分母分数加减法等等都是转化思想非常好的体现。由此可见，在小学数学教学中应交给学生一些转化思想，使他们能用转化思想学习新知识，分析问题，解决问题。那么，怎么用转化的方法来促进我们的教学呢 下面谈一些本人在教学实践中的一些做法： （一）在新课导入中渗透（复习旧知时） 如教学“分数的除法”时，采用复习导入法，先复习与本节课知识密切相关的“分数乘法”，建立了新旧知识的练习，渗透“转化”数学思想。每一种导入方法，都有其适用的课型。在这里，关注数学的内在联系。 （二）在新知的形成过程中渗透 在平行四边形的面积的学习中，引导学生回忆三角形的面积计算，即回顾以前的学习经验；把这些平行四形转化成会计算三角形的面积。通过让学生亲身经历公式推导的全过程，有助于学生更好地理解，同时为以后的学习、积累丰富的活动经验，促进学生的可持续发展。 再如教学“小数乘整数”时，是由这样一个问题展开的：“每个风筝元，买3个风筝多少元”学生以前只学过小数的加减法，对于新知“小数的乘法”他们会怎样计算通过编者的三中方法：①用3个连加②把元转化成3元5角③把元转化看成35角，也就是扩大到原来的10倍，最后再把积转化为原来的十分之一。在几何图形中，求平面图形的面积，将平行四边形通过剪拼转化为长方形，三角形通过剪拼转化为平行四边形，梯形通过剪拼转化为平行四边形，这些平面图形求面积公式都是运用了转化思想。同样，立体图形求体积也渗透了转化思想，如将圆锥的体积和圆柱联系在一起。这些课的 浅议小学数学教学中化归思想方法的渗透与简单应用 数学思想方法是联系知识和能力的纽带，是数学科学的灵魂。为了提高教学质量，使学生更好地理解数学知识、获取解决问题的有效策略，我们必须重视数学思想方法的教学。 化归方法是数学中最基本的思想方法之一。它是指数学家们把待解决的问题通过某种转化过程，归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题中，最终获得原问题的解答的一种手段和方法。在小学数学中蕴藏着各种可运用化归的方法进行解答的内容，我们在教学中可逐步渗透这种思想方法，让学生逐步领悟直至到高年级能进行简单的应用。 笔者现在担任教学的两个班是从二年级开始带起的，在这几年的教学过程中我进行了化归方法的渗透教学，到五年级时，我发现学生已能自然地想到使用它来解决数学问题了。我在教学中深刻体会到化归方法的是一种行之有效的思想方法，它有着较为广泛的用途，掌握了它将使我的学生们终身受益。以下是笔者的一些探索和心得： 一、寻找生长点，化未知为已知。 在学习新知时，我总是先启发学生从自己已有的知识中设法去寻找与新知识的相似之处，将新问题中陌生的形式或内容转化为比较熟悉的形式和内容。例如：数的大小比较学生从低年级起就学习了，随着对数的研究的不断深入，学生要进行两位数与三位数、万以内的数、多位数以及小数、百分数、分数的大小比较。刚开始学整数的大小比较时，我就让学生搞清：每个数位上的数字所表示的含义是不同的，因为计数单位不同。接着我再让他们理解整数的大小比较的基本方法：位数多的数比较大（计数单位大）；相同位数的数，先从高位比起（计数单位最大的数位上的数比起），依次比较，直到比出大小来。有了这些基础知识的铺垫，学生在学习“万以内数的大小比较”一课时，已能通过老师的启发、同学的讨论和自己的思考来解决例题了。 学习“小数的大小比较”一课时，学生能借助于自己的旧知解决整数部分的大小比较，小数部分的大小比较学生又有小数的意义为支点，理解了小数与整数大小比较的方法的相似性以及旧知识的铺垫，学生自然地将“小数的大小比较” 小学数学转化思想结题报 告 篇一：《数形结合思想在小学数学教学中的运用》结题报告《数形结合思想在小学数学教学中的运用》 课题结题报告 《<数形结合思想在小学数学教学中的运用>课题结题报告》数学以是现实世界的空间形式和数量关系作为自己特定的研究对象，也可以说数学是研究“数”与“形”及其相互关系的一门科学，而在数学教学中把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。可以说，数形结合是小学数学范围里最基本、最重要的思想。源于在数学教学世界越来越重视数学思想的渗透与应用，我们决定以数形结合思想为研究方向，让其成为我们学校提升教师素质和教学行为以及培养学生的数学素养的重要媒介。 一、课题研究背景 “数形结合”可以看成是数学的本质牲特征。“数形结合”是 借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，可促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。它是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，从这句话中可体现出数形结合对数学教学起着很主要的作用，把数形结合思想贯穿在学习数学过程的始终，是学好数学的关键。在我们的教学实践当中，教师对数形结合不够重视，关于数形结合教学理论缺乏，大部分学生了解数形结合，但未能充分、广泛运用数形结合去解决问题，这是值得我们去研究的问题。 二、课题研究目标 1、促进教师教学意识及行为的转变，使教师们对数形结合思想方法有系统的认识，明确地位、作用。 2、根据不同学段学生的认知规律，形成适合不同学段进行的以数形结合思想方法指导教学的教学策略。 3、帮助学生树立数形结合的观点，善于运用数形结合思想方法观察、分析、解决问题，提高学生分析问题、解决问题的能力。 4、培养学生的数学精神、思想与方法，发展抽象思维和形象思维能力及辨证思维能力，提高对数学的整体认识。三、课题研究内容初中数学专题复习(一) 化归思想
数学中转化思想的运用(定稿)
化归思想在初中数学解题中的应用
“转化思想”在初中数学中的应用和作用
转换与化归思想
小学数学转化思想的论文
浅议小学数学教学中化归思想方法的渗透与简单应用
小学数学转化思想结题报告