第二章一元二次方程
新教材高中数学第二章等式与不等式212一元二次方程的解集及其根与系数的关系课件
【解析】因为关于 x 的一元二次方程 x2－(2m＋3)x＋m2＝0 有两个不相等的实数根， 所以 Δ＝[－(2m＋3)]2－4m2＝12m＋9＞0，所以 m＞－43 .因为 x1＋x2＝2m＋3，x1·x2 ＝m2. 又因为 x1＋x2＝m2，所以 2m＋3＝m2，解得：m＝－1 或 m＝3.因为 m＞－34 ，所以 m＝3.
＝
b a
c
；x1x2＝ a
．
思考 利用一元二次方程根与系数的关系解题时，需要注意什么条件？ 提示：先把方程化为ax2＋bx＋c＝0的形式，然后验证，是否满足a≠0，Δ＝b2－ 4ac≥0这两个条件，同时满足这两个条件才能用根与系数的关系解题．
【基础小测】
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
思考
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式
x＝－b±
b2－4ac 2a
适合用于所有的一
元二次方程吗？
提示：一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式只适合于方程有根时使用，即： 当根的判别式 Δ＝b2－4ac≥0 时适用．
2．一元二次方程根与系数的关系
若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，则有x1＋x2
利用根与系数的关系求代数式值的三个步骤 (1)算：计算出两根的和与积． (2)变：将所求的代数式表示成两根的和与积的形式． (3)代：代入求值．
1．下列方程中，无实数根的方程是( )
A．x2＋1＝0
B．x2＋x＝0
C．x2＋x－1＝0 D．x2＝0
【解析】选 A.A.因为 Δ＝－4×1×1＝－4＜0，
【补偿训练】 用配方法求方程 3x2－6x＋4＝0 的解集． 【解析】移项，得 3x2－6x＝－4. 二次项系数化为 1，得 x2－2x＝－43 . 配方，得 x2－2x＋12＝－43 ＋12，(x－1)2＝－13 . 因为实数的平方不会是负数，所以 x 取任何实数时，(x－1)2 都是非负数，上式都不 成立，即原方程的解集为∅.
第二章 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
教材拓展补遗 [微判断]
1.ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数)叫做一元二次方程.( ×) 提示 当a＝0时，不是一元二次方程.
2.一元二次方程均可化为(x－k)2＝t的形式.(√ ) 3.一元二次方程解的情况由一元二次方程的系数完全确定.( √ )
[微训练] 1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是( )
D.2，3
解析 由根与系数的关系，得22＋ ×11＝ ＝－ q，p，∴pq＝ ＝－ 2. 3，
答案 A
[微思考] 一元二次方程(系数均为实数)有两个根，它的解集是否一定有两个元素？ 提示 当一元二次方程的判别式为零时，方程有两个相等的实数根，其解 集只有一个元素.
题型一 一元二次方程判别式的应用 【例1】 试证明：不论m为何值，方程2x2－(4m－1)x－m2－m＝0总有两个不相等的
4.已知关于x的方程x2－kx＋k－2＝0有两个正实根，则k的取值范围是________.
解析
（－k）2－4（k－2）≥0，
由题意得k＞0，
解得 k＞2.
k－2＞0，
答案 (2，＋∞)
5.求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程6x2－3x－2＝0的两根的平方.
解 设方程6x2－3x－2＝0的两根为x1，x2，
实数根.
证明 ∵Δ＝[－(4m－1)]2－4×2×(－m2－m)＝24m2＋1＞0， ∴不论m为何值时，方程2x2－(4m－1)x－m2－m＝0总有两个不相等的实数根.
规律方法 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R且a≠0)的实数根的情况可 由Δ＝b2－4ac加以判定，即Δ＞0时，有两不相等的实数根；当Δ＝0时，有两个 相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根.
利用恒等式的变形，推导一元二次方程根与系数的关系如下 设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)两根为x1，x2， 令ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)＝ax2－a(x1＋x2)x＋ax1x2， ∴bc＝＝a－x1ax（2，x1＋x2），即xx11＋ x2＝x2a＝c. －ba，
九年级数学上册 第二章 一元二次方程 2 用配方法求解一元二次方程 解一元二次方程课标解读素材 (新
解一元二次方程课标解读一、课标要求包括配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程．?义务教育数学课程标准〔 2022年版〕?对解一元二次方程一节相关内容提出的要求如下。
1．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程．2．会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等．3．了解一元二次方程的根与系数的关系．二、课标解读1．学生已经学习一元一次方程的解法和实际应用，知道可以利用运算律、等式的根本性质，通过去括号、移项、合并同类项等求出它的解．学生还学过二元一次方程组以及三元一次方程组的解法和实际应用，知道可以通过消元，将它们转化为一元一次方程．从数学知识的内部开展看，二元、三元一次方程组可以看成是对一元一次方程在“元〞上的推广．自然地，如果在次数上做推广，首先就是一元二次方程．类比二〔三〕元一次方程组的解法，可以想到：能否将一元二次方程转化为一元一次方程？如何转化？因此，利用什么方法将“二次〞降为“一次〞，这是本章学习的另一条主线．与一元一次方程、二元一次方程组的解法相比，一元二次方程的解法涉及更多的知识，可以根据方程的具体特点，选择相关的知识和方法，对方程进行求解．这是培养学生的思维品质，特别是思维的敏捷性、灵活性、深刻性的时机．根据?课程标准〔 2022年版〕?的规定，教科书着重介绍了配方法、公式法和因式分解法等一元二次方程的解法，而且限定解数字系数的一元二次方程．2．解一元二次方程的根本策略是降次，即通过配方、因式分解等，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．具体地，根据平方根的意义，可得出方程和的解法；通过配方，可将一元二次方程转化为的形式再解；一元二次方程的求根公式，就是对方程配方后得出的．如能将分解为两个一次因式的乘积，那么可令每个因式为0来解．一元二次方程的三种解法——配方法、公式法和因式分解法各有特点．一般地，配方法是推导一元二次方程求根公式的工具．掌握了公式法，就可以直接用公式求一元二次方程的根了．当然，也要根据方程的具体特点，选择适当的解法，因式分解法就显示了这样的灵活性．配方法是一种重要的、应用广泛的数学方法，如后面研究二次函数时也要用到它．在推导求根公式的过程中，从到再到，是方程形式的不断推广，表达了从特殊到一般的过程；而求解方程的过程那么是将推广所得的方程转化为已经会解的方程，表达了化归思想．显然，这个过程对于培养学生的推理能力、运算能力等都是很有作用的．3．与?课程标准〔实验稿〕?相比，?课程标准〔 2022年版〕?重新强调了一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系的重要性，要求“会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等〞，“了解一元二次方程的根与系数的关系〞，这是需要注意的一个变化．这里不仅是为了一元二次方程理论的完整性，更重要的是为了解决初高中衔接问题．实际上，一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系在高中数学中有着广泛的应用，是学习高中数学的必备根底．教科书先以一个设计人体雕像的实际问题作为开篇，并在第一节中又给出两个实际问题，通过建立方程，并引导学生思考这些方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念、一般形式，给出一元二次方程根的概念．在这个过程中，通过归纳具体方程的共同特点，定义一元二次方程的概念，表达了研究代数学问题的一般方法；一般形式也是对具体方程从“元〞〔未知数的个数〕、“次数〞和“项数〞等角度进行归纳的结果；a ≠0的规定是由“二次〞所要求的，这实际上也是从不同侧面理解一元二次方程概念的契机．一元二次方程的解法，包括配方法、公式法和因式分解法等，是全章的重点内容之一．教科书在第二节中，首先通过实际问题，建立了一个最简单的一元二次方程，并利用平方根的意义，通过直接开平方法得到方程的解；然后将它一般化为，通过分类讨论得到其解的情况，从而完成解一元二次方程的奠基．接着，教科书安排“探究〞栏目，自然引出解并总结出“降次〞的策略，从而为用配方法解比拟复杂的一元二次方程做好铺垫，然后教科书重点讲解了配方的步骤，并归纳出通过配方将一元二次方程转化为后的解的情况．以配方法为根底，教科书安排了“探究〞栏目，引导学生自主地用配方法解一般形式的一元二次方程(a≠0)，得到求根公式．最后，通过实际问题，获得一个显然可以用“提取公因式法〞而到达“降次〞目的的方程，从而引出因式分解法解一元二次方程，并在“归纳〞栏目中总结出几种解法的根本思路、各自特点和适用范围等．上述过程的思路自然，表达了从简单的、特殊的问题出发，通过逐步推广而获得复杂的、一般的问题，并通过将一般性问题化归为特殊问题，获得这一类问题的解．这是具有普适性的数学思想方法．由于限定在实数范围，因此对求根公式，首先要关注判别式的讨论．这是使学生领悟分类讨论数学思想方法的契机．另一方面，求根公式不仅直接反映了方程的根由系数唯一确定〔系数a，b，c确定，方程就确定，其根自然就唯一确定〕，而且也反映了根与系数的联系．这里表达了一种多角度看问题的思想观点，而根与系数的联系表达非常简洁．教科书仍然采用从特殊到一般的方法，先讨论“将方程化为的形式，，与p，q之间的关系〞，在“+，〞的启发下，利用求根公式求和，进而得到根与系数的关系．让学生学习根与系数的关系，不仅能深化对一元二次方程的理解，提高用一元二次方程分析和解决问题的能力，而且也是培养学生发现和提出问题的能力的时机．根与系数的关系是求根公式的自然延伸，得出它的过程并不复杂，而其中蕴含的思想很重要．所以，对于根与系数的关系，教科书着重在其数学思想的启发和引导上，而对用根与系数的关系去解决问题，严格地控制了难度．。
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点梳理(带答案)
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点梳理单选题1、已知x >0，则下列说法正确的是（ ）A ．x +1x −2有最大值0B ．x +1x −2有最小值为0C ．x +1x −2有最大值为－4D ．x +1x −2有最小值为－4 答案：B分析：由均值不等式可得x +1x ≥2√x ×1x =2，分析即得解由题意，x >0，由均值不等式x +1x ≥2√x ×1x =2，当且仅当x =1x ，即x =1时等号成立 故x +1x −2≥0，有最小值0故选：B2、在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm ，人跑开的速度为每秒4 m ，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m 以外的安全区，导火索的长度x （cm ）应满足的不等式为（ ）A ．4×x 0.5≥100B ．4×x 0.5≤100 C ．4×x 0.5>100D ．4×x 0.5<100答案：C分析：为了安全，则人跑开的路程应大于100米，路程=速度×时间，其中时间即导火索燃烧的时间. 导火索燃烧的时间x 0.5秒，人在此时间内跑的路程为4×x 0.5m ．由题意可得4×x 0.5>100．故选：C.3、若不等式(ax −2)(|x |−b )≥0对任意的x ∈(0,+∞)恒成立，则（ ）A ．a >0，ab =12B ． a >0，ab =2C ．a >0，a =2bD ．a >0，b =2a答案：B分析：由选项可知a >0，故原不等式等价于(x −2a)(|x |−b )≥0，当b ≤0时，不满足题意，故b >0，再由二次函数的性质即可求解 由选项可知a >0，故原不等式等价于(x −2a )(|x |−b )≥0，当b ≤0时，显然不满足题意，故b >0，由二次函数的性质可知，此时必有2a =b ，即ab =2，故选：B4、已知正数x ，y 满足2x+3y +13x+y =1，则x +y 的最小值（ ）A ．3+2√24B ．3+√24C ．3+2√28D ．3+√28答案：A分析：利用换元法和基本不等式即可求解.令x +3y =m ，3x +y =n ，则2m +1n =1，即m +n =(x +3y )+(3x +y )=4(x +y )，∴x +y =m+n 4=(m 4+n 4)(2m +1n )=12+m 4n +2n 4m +14≥2√m 4n ⋅2n 4m +34=2×2√2+34=2√2+34，当且仅当m 4n =2n4m ，即m =2+√2，n =√2+1时，等号成立，故选：A.5、若不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}，则ax +b >0的解集为（）A ．(−∞,−16)B ．(−∞,16)C ．(−16,+∞)D ．(16,+∞)答案：A分析：利用根于系数的关系先求出a,b ，再解不等式即可.不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}则根据对应方程的韦达定理得到：{(−12)+13=−b a(−12)⋅13=2a，解得{a =−12b =−2，则−12x −2>0的解集为(−∞,−16)故选：A6、已知2<a <3，−2<b <−1，则2a −b 的范围是（ ）A ．(6,7)B ．(5,8)C ．(2,5)D ．(6,8)答案：B分析：由不等式的性质求解即可.，故4<2a <6，1<−b <2，得5<2a −b <8故选：B7、要使关于x 的方程x 2+(a 2−1)x +a −2=0的一根比1大且另一根比1小，则实数a 的取值范围是（）A ．{a |−1<a <2}B ．{a |−2<a <1}C ．{a |a <−2}D ．{a |a >1}答案：B分析：根据二次方程根的分布可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围.由题意可得1+(a 2−1)+a −2=a 2+a −2<0，解得−2<a <1.故选：B.8、不等式1+x 1−x ≥0的解集为（ ）A ．{x|x ≥1或x ≤−1}B ．{x ∣−1≤x ≤1}C ．{x|x ≥1或x <−1}D ．{x|−1≤x <1}答案：D分析：不等式等价于x+1x−1≤0，即(x +1)(x −1)≤0，且x −1≠0，由此求得不等式的解集．不等式等价于x+1x−1≤0，即(x +1)(x −1)≤0，且x −1≠0，解得−1≤x <1，故不等式的解集为{x|−1≤x <1}， 23,21<<-<<-a b故选：D ．多选题9、已知a >b ⩾2，则（ ）A ．b 2<3b −aB ．a 3+b 3>a 2b +ab 2C ．ab >a +bD ．12+2ab >1a +1b 答案：BC解析：根据不等式的性质，逐一判断即可．解：a >b ⩾2，A 错误，比如a =3，b =2，4>3不成立；B ，a 3+b 3−(a 2b +ab 2)=a 2(a −b)−b 2(a −b)=(a −b)2(a +b)>0成立；C ，由ab −a −b =a(b −1)−b =(b −1)(a −b b−1)=(b −1)[a −(1+1b−1)]>0，故C 成立， D ，12+2ab −1a −1b =(a−2)(b−2)2ab ⩾0，故D 不成立，故选:BC . 小提示：本题考查不等式比较大小，常利用了作差法，因式分解法等．10、若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（ ）A ．若且a <b ，则1a >1bB ．若0<a <1，则a 2<aC ．若a >b >0且c >0，则b+c a+c >b aD ．a 2+b 2+1≥2(a −2b −2)答案：BCD分析：由不等式的性质逐一判断即可.解：对于A ，当a <0<b 时，结论不成立，故A 错误；对于B ，a 2<a 等价于a (a −1)<0，又0<a <1，故成立，故B 正确；对于C ，因为a >b >0且c >0，所以b+c a+c >b a 等价于ab +ac >ab +bc ，即(a −b )c >0，成立，故C 正确； 对于D ，a 2+b 2+1≥2(a −2b −2)等价于(a −1)2+(b +2)2≥0，成立，故D 正确.故选：BCD. 0ab11、下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（）A．3x+4<0B．x2+mx-1>0C．ax2+4x-7>0D．x2<0答案：BD分析：利用一元二次不等式的定义和特征对选项逐一判断即可.选项A是一元一次不等式，故错误；选项B，D，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当a=0时，选项C是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误.故选：BD.12、已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−12<x<2}，则下列结论正确的是（）A．a>0B．b>0C．c>0D．a+b+c>0答案：BCD分析：对A，根据一元二次方程与一元二次函数的关系即可判断；对B，C，利用韦达定理即可判断；对D，根据韦达定理以及b>0，即可求解.解：对A，∵不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−12<x<2}，故相应的二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，即a<0，故A错误；对B，C，由题意知：2和−12是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根，则有ca =2×(−12)=−1<0，−ba=2+(−12)=32>0，又∵a<0，故b>0,c>0，故B，C正确；对D，∵ca=−1，∴a+c=0，又∵b>0，∴a+b+c>0，故D正确.故选：BCD.13、某辆汽车以xkm/ℎ的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为15(x −k +4500x )L ，其中k 为常数．若汽车以120km/h 的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L ，欲使每小时的油耗不超过．．．9L ，则速度x 的值可为（ ） A ．60B ．80C ．100D ．120答案：ABC解析：先利用120km/h 时的油耗，计算出k 的值，然后根据题意“油耗不超过9L ”列不等式，解不等式求得x 的取值范围.由汽车以120km/h 的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L ，∴15(120−k +4500120)=11.5，解得：k =100，故每小时油耗为15(x +4500x )−20， 由题意得15(x +4500x )−20≤9，解得：45≤x ≤100，又60≤x ≤120，故60≤x ≤100，所以速度x 的取值范围为[60,100].故选：ABC小提示：关键点点睛：本题考查利用待定系数法求解析式，考查一元二次不等式的解法，解题的关键是先利用120km/h 时的油耗，计算出k 的值，然后代入根据题意解不等式，考查实际应用问题，属于中档题. 填空题14、已知实数x ，y ，满足{−1≤x +y ≤4,2≤x −y ≤3,则z =2x −3y 的取值范围是________．（用区间表示） 答案：[3,8]分析：直接用x +y,x −y 表示出2x −3y ，然后由不等式性质得出结论．2x −3y =m(x +y)+n(x −y)=(m +n )x +(m −n )y ,则{m +n =2m −n =−3解得{m =−12n =52，则2x −3y =−12(x +y)+52(x −y)， 又−1≤x +y ≤4,2≤x −y ≤3，−2≤−12(x +y )≤12,5≤52(x −y )≤152∴5−2≤2x −3y ≤12+152，即3≤2x −3y ≤8，所以答案是：[3,8]．15、已知实数x 、y 满足−2≤x +2y ≤3，−2≤2x −y ≤0，则3x −4y 的取值范围为______．答案：[−7,2]分析：设3x −4y =m(x +2y)+n(2x −y)，利用待定系数法求出m,n 的值，然后根据不等式的性质即可求解.解：设3x −4y =m(x +2y)+n(2x −y)，则{m +2n =32m −n =−4，解得{m =−1n =2， 所以3x −4y =−(x +2y)+2(2x −y)，因为−2≤x +2y ≤3，−2≤2x −y ≤0，所以−3≤−(x +2y)≤2，−4≤2(2x −y)≤0，所以−7≤3x −4y ≤2，所以答案是：[−7,2].16、已知三个不等式：①ab >0，②c a >d b ，③bc >ad ，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成______个真命题．答案：3分析：根据题意，结合不等式性质分别判断①、②、③作为结论的命题的真假性即可.由不等式性质，得{ab >0c a >d b ⇒{ab >0bc−ad ab>0⇒bc >ad ；{ab >0bc >ad ⇒c a >d b ； {c a >d b bc >ad ⇒{bc−ad ab >0bc >ad ⇒ab >0．故可组成3个真命题．所以答案是：3.解答题17、销售甲种商品所得利润是P 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式P =at t+1；销售乙种商品所得利润是Q 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式Q =bt ．其中a ，b 为常数．现将3万元资金全部投入甲，乙两种商品的销售，若全部投入甲种商品，所得利润为94万元；若全部投入乙种商品．所得利润为1万元．若将3万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售．则所得利润总和为y 万元（1）求利润总和y 关于x 的表达式：（2）怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值．答案：（1）y =3x x+1+13(3−x),0≤x ≤3；（2）对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为73万元．分析：（1）由题意得y =ax x+1+b(3−x)，代入数值计算即可求出结果；（2）转化成可以利用基本不等式的形式，最后利用基本不等式即可求出结果.（1）因为对甲种商品投资x 万元，所以对乙种商品投资为3−x 万元，由题意知：y =P +Q =ax x+1+b(3−x)，当x =3时，f(x)=94，当x =0时，f(x)=1， 则{3a 4=94,3b =1,解得a =3,b =13， 则y =3x x+1+13(3−x),0≤x ≤3． （2）由（1）可得f(x)=3x x+1+13(3−x)=3(x+1)−3x+1+1−13x =133−[3x+1+13(x +1)]≤133−2√3x+1⋅x+13=73，当且仅当x =2时取等号，故对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为73万元．18、已知函数f (x )=x 2+ax −2，f (x )>0的解集为{x |x <−1或x >b }．(1)求实数a 、b 的值；(2)若x ∈(0,+∞)时，求函数g (x )=f (x )+4x 的最小值．答案：(1)a =−1，b =2(2)2√2−1分析：（1）分析可知−1、b 是方程x 2+ax −2=0的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系可求得a 、b 的值；（2）求得g (x )=x +2x −1，利用基本不等式可求得g (x )在(0,+∞)上的最小值.（1）解：因为关于x 的不等式x 2+ax −2>0的解集为{x |x <−1或x >b }，所以，−1、b 是方程x 2+ax −2=0的两个根，所以，{1−a −2=0−1⋅b =−2，解得{a =−1b =2.（2）解：由题意知g(x)=f(x)+4x =x2−x+2x=x+2x−1，因为x>0，由基本不等式可得g(x)=x+2x −1≥2√x⋅2x−1=2√2−1，当且仅当x=2x时，即x=√2时，等号成立故函数g(x)的最小值为2√2−1.。
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结全面整理(带答案)
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结全面整理单选题1、已知x>0，y>0，x+2y=1，则1x +1y的最小值为（）A．3+2√2B．12C．8+4√3D．6答案：A分析：根据基本不等中“1”的用法，即可求出结果. 因为x>0，y>0，x+2y=1，所以(1x +1y)(x+2y)=3+2yx+xy≥3+2√2，当且仅当2yx =xy，即x=√2−1,y=2−√22时，等号成立.故选：A.2、当0<x<2时，x(2−x)的最大值为（）A．0B．1C．2D．4答案：B分析：利用基本不等式直接求解.∵0<x<2，∴2−x>0，又x+(2−x)=2∴x(2−x)≤[x+(2−x)]24=1，当且仅当x=2−x，即x=1时等号成立，所以x(2−x)的最大值为1故选：B3、已知x∈R，则“(x−2)(x−3)≤0成立”是“|x−2|+|x−3|=1成立”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要答案：C分析：先证充分性，由（x−2）(x−3）≤0求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简|x−2|+|x−3|即可，再证必要性，若|x−2|+|x−3|=1，即|x−2|+|x−3|=|（x−2）−（x−3）|，再根据绝对值的性质可知（x−2）(x−3）≤0．充分性：若（x−2）(x−3）≤0，则2≤x≤3，∴|x−2|+|x−3|=x−2+3−x=1，必要性：若|x−2|+|x−3|=1，又∵|（x−2）−（x−3）|=1，∴|x−2|+|x−3|=|（x−2）−（x−3）|，由绝对值的性质：若ab≤0，则|a|+|b|=|a−b|，∴（x−2）(x−3）≤0，所以“（x−2）(x−3）≤0成立”是“|x−2|+|x−3|=1成立”的充要条件，故选：C．4、若非零实数a，b满足a<b，则下列不等式成立的是（）A．ab <1B．ba+ab>2C．1ab2<1a2bD．a2+a<b2+b答案：C分析：举出符合条件的特例即可判断选项A，B，D，对于C，作出不等式两边的差即可判断作答.取a=−2,b=−1，满足a<b，而ab=2>1，A不成立；取a=−2,b=1，满足a<b，而ba +ab=−12+(−2)=−52<2，B不成立；因1ab2−1a2b=a−ba2b2<0，即有1ab2<1a2b，C成立；取a=−2,b=−1，满足a<b，而a2+a=2,b2+b=0，即a2+a>b2+b，D不成立．故选：C5、对∀x∈R，不等式(a−2)x2+2(a−2)x−4<0恒成立，则a的取值范围是（）A．−2<a≤2B．−2≤a≤2C．a<−2或a≥2D．a≤−2或a≥2答案：A分析：对a讨论，结合二次函数的图象与性质，解不等式即可得到a的取值范围.不等式(a−2)x2+2(a−2)x−4<0对一切x∈R恒成立，当a −2=0，即a =2时，−4<0恒成立，满足题意；当a −2≠0时，要使不等式恒成立，需{a −2<0Δ<0，即有{a <24(a −2)2+16(a −2)<0 ， 解得−2<a <2.综上可得，a 的取值范围为(−2,2].故选：A.6、已知实数x ，y 满足x 2+y 2=2，那么xy 的最大值为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2答案：C分析：根据重要不等式x 2+y 2≥2xy 即可求最值，注意等号成立条件.由x 2+y 2=2≥2xy ，可得xy ≤1，当且仅当x =y =1或x =y =−1时等号成立.故选：C.7、设a >b >c >0，则2a 2+1ab +1a(a−b)−10ac +25c 2取得最小值时，a 的值为（ ）A ．√2B ．2C ．4D ．2√5答案：A解析：转化条件为原式=1ab +ab +1a(a−b)+a(a −b)+(a −5c)2，结合基本不等式即可得解.2a 2+1ab +1a (a −b )−10ac +25c 2 =1ab +ab +1a(a −b)+a(a −b)−ab −a(a −b)+2a 2−10ac +25c 2 =1ab +ab +1a(a −b)+a(a −b)+a 2−10ac +25c 2 =1ab +ab +1a(a −b)+a(a −b)+(a −5c)2 ≥2√1ab ⋅ab +2√1a(a−b)⋅a(a −b)+0=4，当且仅当{ab =1a(a −b)=1a =5c ，即a =√2，b =√22，c =√25时，等号成立.小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.8、若x<0，则x+14x−2有（）A．最小值−1B．最小值−3C．最大值−1D．最大值−3答案：D分析：根据基本不等式，首先取相反数，再尝试取等号，可得答案.因为x<0，所以x+14x −2=−(−x+1−4x)−2≤−2√−x⋅1−4x−2=−3，当且仅当−x=1−4x，即x=−12时等号成立，故x+14x−2有最大值−3．故选：D.多选题9、对于任意实数a，b，c，d，则下列命题正确的是（）A．若ac2>bc2，则a>b B．若a>b，c>d，则a+c>b+dC．若a>b，c>d，则ac>bd D．若a>b，则1a >1b答案：AB分析：可由性质定理判断A、B对，可代入特例判断选项C、D错.解：若ac2>bc2，两边同乘以1c2则a>b，A对，由不等式同向可加性，若a>b，c>d，则a+c>b+d，B对，当令a=2，b=1，c=﹣1，d=﹣2，则ac=bd，C错，令a=﹣1，b=﹣2，则1a <1b，D错.10、关于x的一元二次不等式x2−2x−a≤0的解集中有且仅有5个整数，则实数a的值可以是（）A．2B．4C．6D．8答案：BC解析：求出不等式的解，分析其中只有5个整数解，得a的不等式，解之，然后判断各选项可得．易知Δ=4+4a≥0，即a≥−1，解原不等式可得1−√1+a≤x≤1+√1+a，而解集中只有5个整数，则2≤√1+a<3，解得3≤a<8，只有BC满足．故选：BC．11、已知实数a，b，c满足c<b<a，且ac<0，则下列不等式一定成立的是（）A．ab>ac B．c(b−a)>0C．ac(a−c)<0D．cb2<ab2答案：ABC分析：根据c<b<a，且ac<0，得到a>0,c<0，然后利用不等式的基本性质，逐项判断.因为实数a，b，c满足c<b<a，且ac<0，所以a>0,c<0，由b>c,a>0，得ab>ac，故A正确；由b<a,c<0，得c(b−a)>0，故B正确；由a>c,ac<0，得ac(a−c)<0，故C正确；由a>c,b2≥0，得cb2≤ab2，当b=0时，等号成立，故D错误；故选：ABC填空题12、若不等式x2−2>mx对满足|m|≤1的一切实数m都成立，则x的取值范围是___________答案：x<−2或x>2分析：令f(m)=mx−x2+2，依题意可得−1≤m≤1时f(m)<0恒成立，则{f(1)<0f(−1)<0，即可得到关于x 的一元二次不等式组，解得即可；解：因为x2−2>mx，所以mx−x2+2<0令f(m)=mx−x2+2，即f(m)<0在|m|≤1恒成立，即−1≤m≤1时f(m)<0恒成立，所以{f(1)<0f(−1)<0，即{x−x 2+2<0−x−x2+2<0，解x−x2+2<0得x>2或x<−1；解−x−x2+2<0得x>1或x<−2，所以原不等式组的解集为x∈(−∞,−2)∪(2,+∞)所以答案是：(−∞,−2)∪(2,+∞)13、已知−1<x+y<4,2<x−y<4，则3x+2y的取值范围是_____．答案：(−32,12)解析：利用换元法，结合不等式的性质进行求解即可.设x+y=m,x−y=n，因此得：x=m+n2,y=m−n2，−1<m<4,2<n<4，3x+2y=3⋅m+n2+2⋅m−n2=5m2+n2，因为−1<m<4,2<n<4，所以−52<5m2<10,1<n2<2，因此−32<5m2+n2<12，所以−32<3x+2y<12.所以答案是：(−32,12)14、关于x的不等式x2−4x+4a≥a2在[1,6]内有解，则a的取值范围为________．答案：[−2,6]分析：根据不等式有解可得当x∈[1,6]时，a2−4a≤(x2−4x)max，结合二次函数的最值可求得结果. ∵x2−4x+4a≥a2在[1,6]内有解，∴a2−4a≤(x2−4x)max，其中x∈[1,6]；设y=x2−4x(1≤x≤6)，则当x=6时，y max=36−24=12，∴a2−4a≤12，解得：−2≤a≤6，∴a的取值范围为[−2,6].所以答案是：[−2,6].解答题15、若0<a<b，则下列不等式哪些是成立的？若成立，给予证明；若不成立，请举出反例.（1）a+1b <b+1a；（2）a2+1a2≥a+1a；（3）a2b +b2a>a+b.答案：（1）正确，证明见解析；（2）正确，证明见解析；（3）正确，证明见解析. 解析：(1)作差分解因式，即可得出答案；(2)作差分解因式，即可得出答案；(3)用基本不等式，即可得出答案.（1）正确a+1b −b−1a=(a−b)(1+1ab)<0（2）正确a2+1a2−(a+1a)=(a+1a)2−(a+1a)−2=(a+1a−2)(a+1a+1)≥0（3）正确a2b +b>2a,b2a+a>2b∴a2b+b2a+a+b>2a+2b∴a2b+b2a>a+b小提示：本题考查证明不等式，一般采用作差法、作商法、基本不等式，属于容易题.。
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式典型例题(带答案)
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式典型例题单选题1、已知a,b为正实数，且a+b=6+1a +9b，则a+b的最小值为（）A．6B．8C．9D．12答案：B分析：根据题意，化简得到(a+b)2=(6+1a +9b)(a+b)=6(a+b)+10+ba+9ab，结合基本不等式，即可求解.由题意，可得(a+b)2=(6+1a +9b)(a+b)=6(a+b)+10+ba+9ab≥6(a+b)+16，则有(a+b)2−6(a+b)−16≥0，解得a+b≥8，当且仅当a=2，b=6取到最小值8.故选：B.2、某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位(x+600x−30)元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（）A．60单位B．70单位C．80单位D．90单位答案：D分析：设生产每单位试剂的成本为y，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出y，然后利用基本不等式求解最值即可．解：设每生产单位试剂的成本为y，因为试剂总产量为x单位，则由题意可知，原料总费用为50x元，职工的工资总额为7500+20x元，后续保养总费用为x(x+600x−30)元，则y=50x+7500+20x+x2−30x+600x =x+8100x+40≥2√x⋅8100x+40=220，当且仅当x=8100x，即x=90时取等号，满足50≤x≤200，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．故选：D．3、不等式−x2+3x+18<0的解集为（）A．{x|x>6或x<−3}B．{x|−3<x<6}C．{x|x>3或x<−6}D．{x|−6<x<3}答案：A分析：根据二次不等式的解法求解即可.−x2+3x+18<0可化为x2−3x−18>0，即(x−6)(x+3)>0，即x>6或x<−3．所以不等式的解集为{x|x>6或x<−3}.故选：A4、已知正实数a、b满足1a +1b=m，若(a+1b)(b+1a)的最小值为4，则实数m的取值范围是（）A．{2}B．[2,+∞)C．(0,2]D．(0,+∞)答案：B分析：由题意可得(a+1b )(b+1a)=ab+1ab+2≥2√ab1ab+2=4，当ab=1ab，即ab=1时等号成立，所以有b=1a ，将1a+1b=m化为a+1a=m，再利用基本不等式可求得m的范围.解：因为a,b为正实数，(a+1b )(b+1a)=ab+1ab+2≥2√ab1ab+2=4，当ab=1ab，即ab=1时等号成立，此时有b=1a，又因为1a +1b=m，所以a+1a=m，由基本不等式可知a+1a≥2（a=1时等号成立），所以m ≥2. 故选：B.5、已知a,b ∈R 且满足{1≤a +b ≤3−1≤a −b ≤1，则4a +2b 的取值范围是（ ）A ．[0,12]B ．[4,10]C ．[2,10]D ．[2,8] 答案：C分析：设4a +2b =A (a +b )+B (a −b )，求出A ，B 结合条件可得结果. 设4a +2b =A (a +b )+B (a −b )，可得{A +B =4A −B =2，解得{A =3B =1，4a +2b =3(a +b )+a −b ，因为{1≤a +b ≤3−1≤a −b ≤1可得{3≤3(a +b )≤9−1≤a −b ≤1，所以2≤4a +2b ≤10. 故选：C.6、关于x 的不等式(x −a )(x −3)>0成立的一个充分不必要条件是−1<x <1，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≤−1B ．a <0C ．a ≥2D ．a ≥1 答案：D分析：由题意可知，(−1,1)是不等式(x −a )(x −3)>0解集的一个真子集，然后对a 与3的大小关系进行分类讨论，求得不等式的解集，利用集合的包含关系可求得实数a 的取值范围. 由题可知(−1,1)是不等式(x −a )(x −3)>0的解集的一个真子集.当a =3时，不等式(x −a )(x −3)>0的解集为{x |x ≠3}，此时(−1,1){x |x ≠3}； 当时，不等式(x −a )(x −3)>0的解集为(−∞,3)∪(a,+∞)， ∵(−1,1)(−∞,3)，合乎题意；当a <3时，不等式(x −a )(x −3)>0的解集为(−∞,a )∪(3,+∞)， 由题意可得(−1,1)(−∞,a )，此时1≤a <3. 综上所述，a ≥1. 故选：D.3a小提示：本题考查利用充分不必要条件求参数，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于中等题.7、已知函数y =ax 2+2bx −c(a >0)的图象与x 轴交于A (2,0)、B (6,0)两点，则不等式cx 2+2bx −a <0 的解集为（ ）A ．(−6,−2)B ．(−∞,16)∪(12,+∞) C ．(−12,−16)D ．(−∞,−12)∪(−16,+∞)答案：D解析：利用函数图象与x 的交点，可知ax 2+2bx −c =0(a >0)的两个根分别为x 1=2或x 2=6，再利用根与系数的关系，转化为b =−4a ，c =−12a ，最后代入不等式cx 2+2bx −a <0，求解集. 由条件可知ax 2+2bx −c =0(a >0)的两个根分别为x 1=2或x 2=6， 则2+6=−2b a，2×6=−ca，得b =−4a ，c =−12a ，∴cx 2+2bx −a <0⇔−12ax 2−8ax −a <0， 整理为：12x 2+8x +1>0⇔(2x +1)(6x +1)>0， 解得：x >−16或x <−12，所以不等式的解集是(−∞,−12)∪(−16,+∞).故选：D小提示：思路点睛：本题的关键是利用根与系数的关系表示b =−4a ，c =−12a ，再代入不等式cx 2+2bx −a <0化简后就容易求解. 8、a,b,c 是不同时为0的实数，则ab+bc a 2+2b 2+c 2的最大值为（ ）A ．12B ．14C ．√22D ．√32答案：A分析：对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可. 若要使ab+bc a 2+2b 2+c 2最大，则ab,bc 均为正数，即a,b,c 符号相同，不妨设a,b,c 均为正实数，则ab+bc a 2+2b 2+c 2=a+c a 2+c 2b+2b≤2√a 2+c 2b×2b=(22)=12√a 2+2ac+c 22(a 2+c 2)=12√12+ac a 2+c 2≤12√12+2√a 2×c2=12， 当且仅当a 2+c 2b=2b ，且a =c 取等，即取等号，即则ab+bca 2+2b 2+c 2的最大值为12， 故选：A ．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致. 多选题9、下列函数中最大值为12的是（ ） A ．y =x 2+116x 2B ．y =x ⋅√1−x 2,x ∈[0,1]C ．y =x 2x 4+1D ．y =x +4x+2,x >−2 答案：BC解析：利用基本不等式逐项判断即可. 解：对A ，y =x 2+116x2≥2√x 2⋅116x 2=12，当且仅当x 2=116x2，即x =±12时取等号，故A 错误；对B ，y =x ⋅√1−x 2=√x 2⋅(1−x 2)≤x 2+1−x 22=12，当且仅当x 2=1−x 2，又∵x ∈[0,1]，即x =√22时取等号，故B 正确；对C ，y =x 2x 4+1=1x 2+1x2≤12，a b c ==当且仅当x2=1x2，即x=±1时等号成立，故C正确；对D，y=x+4x+2=x+2+4x+2−2≥2√(x+2)⋅4x+2−2=2，当且仅当x+2=4x+2，又∵x>−2，∴x=0时取等号，故D错误.故选：BC.10、设正实数m、n满足m+n=2，则下列说法中正确的是（）A．2m−n>14B．mn的最大值为1C．√m+√n的最小值为2D．m2+n2的最小值为2答案：ABD分析：利用不等式的性质以及指数函数的性质可判断A选项的正误，利用基本不等式可判断BCD选项的正误. 对于A选项，因为正实数m、n满足m+n=2，则0<m<2，m−n=m−(2−m)=2−2m∈(−2,2)，故2m−n>2−2=14，A对；对于B选项，由基本不等式可得mn≤(m+n2)2=1，当且仅当m=n=1时，等号成立，B对；对于C选项，由基本不等式可得(√m+√n)2=m+n+2√mn≤2(m+n)=4，因为√m+√n>0，故√m+√n≤2，当且仅当m=n=1时，等号成立，C错；对于D选项，∵2(m2+n2)=(m2+n2)+(m2+n2)≥m2+n2+2mn=(m+n)2=4，可得m2+n2≥2，当且仅当m=n=1时，等号成立，D对.故选：ABD.11、已知a，b，c∈R+，则下列不等式正确的是（）A．1a +1b≥4a+bB．a+b≤√a2+b2C．b2a +a2b≥a+b D．a2+b22≥a+b−1答案：ACD分析：对AC，利用基本不等式可求解；对B，根据(a+b)2=a2+b2+2ab>a2+b2可判断；对D，利用(a−1)2+(b−1)2≥0可判断.对A ，因为(1a +1b )(a +b )=b a +a b +2≥2√b a ⋅a b +2=4，当且仅当b a =a b 时等号成立，所以1a +1b ≥4a+b ，故A正确；对B ，(a +b )2=a 2+b 2+2ab >a 2+b 2，所以a +b >√a 2+b 2，故B 错误； 对C ，b 2a+a +a 2b+b ≥2√b 2a⋅a +2√a 2b⋅b =2a +2b ，当且仅当a =b 等号成立，所以b 2a+a 2b≥a +b ，故C正确；对D ，因为(a −1)2+(b −1)2≥0，所以a 2+b 2−2a −2b +2≥0，所以a 2+b 22≥a +b −1，当且仅当a =b =1等号成立，故D 正确. 故选：ACD.12、对任意两个实数a,b ，定义min{a ，b}={a,a ≤b,b,a >b,若f (x )=2−x 2，g (x )=x 2，下列关于函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的说法正确的是（ ） A ．函数F (x )是偶函数 B ．方程F (x )=0有三个解C ．函数F (x )在区间[−1,1]上单调递增D ．函数F (x )有4个单调区间 答案：ABD分析：结合题意作出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，进而数形结合求解即可.解：根据函数f (x )=2−x 2与g (x )=x 2，，画出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，如图． 由图象可知，函数F (x )=min {f (x ),g (x )}关于y 轴对称，所以A 项正确； 函数F (x )的图象与x 轴有三个交点，所以方程F (x )=0有三个解，所以B 项正确；函数F (x )在(−∞,−1]上单调递增，在[−1,0]上单调递减，在上单调递增，在[1,+∞)上单调递减，所以C 项错误，D 项正确． 故选：ABD[0,1]13、已知a >0,b >0，且a +2b =1，则（ ） A ．ab 的最大值为19B ．1a +2b 的最小值为9C ．a 2+b 2的最小值为15D ．(a +1)(b +1)的最大值为2答案：BC分析：对A ，直接运用均值不等式2√2ab ≤a +2b 即可判断； 对B ，1a +2b =(1a +2b)⋅(a +2b )=5+2b a+2a b，运用均值不等式即可判断；对C ，a 2+b 2=(1−2b )2+b 2，讨论二次函数最值即可；对D ，(a +1)(b +1)=2(a +b )(a +3b )=2[(a +2b )2−b 2]=2(1−b 2)，讨论最值即可. a >0,b >0，2√2ab ≤a +2b =1⇒ab ≤18，当a =2b 时，即a =12,b =14时，可取等号，A 错；1a+2b =(1a +2b )⋅(a +2b )=5+2b a+2a b≥5+2√2b a ⋅2a b=9，当2b a =2ab时，即a =b =13时，可取等号，B 对； a 2+b 2=(1−2b)2+b 2=5b 2−4b +1=5(b −25)2+15≥15，当a =15,b =25时，可取等号，C 对；(a +1)(b +1)=2(a +b )(a +3b )=2(a 2+4ab +3b 2)=2[(a +2b )2−b 2]=2(1−b 2)<2，D 错. 故选：BC 填空题14、若一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，设p =12(a +b +c )，则该三角形的面积S =√p (p −a )(p −b )(p −c )，这就是著名的“秦九韶-海伦公式”若△ABC 的周长为8，AB =2，则该三角形面积的最大值为___________. 答案：2√2分析：计算得到p =4，c =2，a +b =6，根据均值不等式得到ab ≤9，代入计算得到答案. p =12(a +b +c )=4，c =2，a +b =6，a +b =6≥2√ab ，ab ≤9，当a =b =3时等号成立.S =√p (p −a )(p −b )(p −c )=√8(4−a )(4−b )=√128−32(a +b )+8ab ≤2√2. 所以答案是：2√2.15、若关于x 的二次方程x 2+mx +4m 2−3=0的两个根分别为x 1，x 2，且满足x 1+x 2=x 1x 2，则m 的值为______ 答案：分析：先求出方程有两根时m 的范围，再由根与系数关系将x 1,x 2用m 表示，建立关于m 的方程，求解即可. 关于x 的二次方程x 2+mx +4m 2−3=0有两个根， 则Δ=m 2−4(4m 2−3)=−3(5m 2−4)≥0， ∴−2√55≤m ≤2√55,x 1+x 2=−m,x 1⋅x 2=4m 2−3，又∵x 1+x 2=x 1x 2,∴−m =4m 2−3，即4m 2+m −3=0， 解得m =34或m =−1（舍去），∴m 的值为.小提示：本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，要注意两根存在的条件，属于基础题.16、若关于x 的不等式x 2−(m +2)x +2m <0的解集中恰有3个正整数，则实数m 的取值范围为___________． 答案：(5，6]分析：不等式化为(x −m)(x −2)<0，根据解集中恰好有3个正整数即可求得m 的范围. x 2−(m +2)x +2m <0可化为(x −m)(x −2)<0， 该不等式的解集中恰有3个正整数，∴不等式的解集为{x|2<x <m}，且5<m ⩽6； 所以答案是：(5，6]． 解答题343417、求实数m 的范围，使关于x 的方程x 2+2(m −1) x +2m +6=0. (1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小； (2)有两个实根α ， β，且满足0<α<1<β<4； (3)至少有一个正根. 答案：(1)m <−1 (2)−75<m <−54(3)m ≤−1分析：设y =f (x )=x 2+2(m −1)x +2m +6，一元二次方程根的分布主要从对称轴、判别式、端点值、开口方向这几个方面来确定. （1）设y =f (x )=x 2+2(m −1)x +2m +6．依题意有f (2)<0，即4+4(m −1)+2m +6<0，得m <−1． （2）设y =f (x )=x 2+2(m −1)x +2m +6．依题意有{f (0)=2m +6>0f (1)=4m +5<0f (4)=10m +14>0，解得−75<m <−54．（3）设y =f (x )=x 2+2(m −1)x +2m +6． 方程至少有一个正根，则有三种可能：①有两个正根，此时可得{Δ≥0f (0)>02(m−1)−2>0，即{m ≤−1或m ≥5m >−3m <1.∴−3<m ≤−1． ②有一个正根，一个负根，此时可得f (0)<0，得m <−3． ③有一个正根，另一根为0，此时可得{6+2m =02(m −1)<0，∴m =−3．综上所述，得m ≤−1．18、阅读材料：我们研究了函数的单调性､奇偶性和周期性，但是这些还不能够准确地描述出函数的图象，例如函数y=x2和y=√x，虽然它们都是增函数，图象在上都是上升的，但是却有着显著的不同.如图1所示，函数y=x2的图象是向下凸的，在上任意取两个点M1,M2，函数y=x2的图象总是在线段M1M2的下方，此时函数y=x2称为下凸函数；函数y=√x的图象是向上凸的，在上任意取两个点M1,M2，函数y=√x的图象总是在线段M1M2的上方，则函数y=√x称为上凸函数.具有这样特征的函数通常称做凸函数.定义1：设函数y=f(x)是定义在区间I上的连续函数，若∀x1,x2∈I，都有f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2，则称y=f(x)为区间I上的下凸函数.如图2.下凸函数的形状特征：曲线上任意两点M1,M2之间的部分位于线段M1M2的下方.定义2：设函数y=f(x)是定义在区间I上的连续函数，若∀x1,x2∈I，都有f(x1+x22)≥f(x1)+f(x2)2，则称y=f(x)为区间I上的上凸函数.如图3.上凸函数的形状特征：曲线上任意两点M1,M2之间的部分位于线段M1M2的上方.上凸（下凸）函数与函数的定义域密切相关的.例如，函数y=x3在(−∞,0]为上凸函数，在[0,+∞)上为下凸函数.函数的奇偶性和周期性分别反映的是函数图象的对称性和循环往复，属于整体性质；而函数的单调性和凸性分别刻画的是函数图象的升降和弯曲方向，属于局部性质.关于函数性质的探索，对我们的启示是：在认识事物和研究问题时，只有从多角度､全方位加以考查，才能使认识和研究更加准确.结合阅读材料回答下面的问题：(1)请尝试列举一个下凸函数：___________；(2)求证：二次函数f(x)=−x2+bx+c是上凸函数；(3)已知函数f(x)=x|x−a|，若对任意x1,x2∈[2,3]，恒有f(x1+x22)≥f(x1)+f(x2)2，尝试数形结合探究实数a的取值范围.答案：(1)y=1x，x∈(0,+∞)；(2)证明见解析；(3)a≥3.[0,1][0,1][0,1]分析：（1）根据下凸函数的定义举例即可；（2）利用上凸函数定义证明即可；（3）根据（2）中结论，结合条件，函数满足上凸函数定义，根据数形结合求得参数取值范围.（1）y =1x ，x ∈(0,+∞)； （2）对于二次函数f(x)=−x 2+bx +c ，∀x 1,x 2∈R ，满足f (x 1+x 22)−f (x 1)+f (x 2)2=−(x 1+x 22)2+b ⋅x 1+x 22+c −−x 12+bx 1+c −x 22+bx 2+c 2=−x 12+x 22+2x 1x 24+x 12+x 222=(x 1−x 2)24≥0， 即f (x 1+x 22)≥f (x 1)+f (x 2)2，满足上凸函数定义，二次函数f(x)=−x 2+bx +c 是上凸函数.（3）由（2）知二次函数f(x)=−x 2+bx +c 是上凸函数，同理易得二次函数f(x)=x 2+bx +c 为下凸函数，对于函数f(x)=x |x −a |={x 2−ax,x >a −x 2+ax,x ≤a，其图像可以由两个二次函数的部分图像组成，如图所示，若对任意x 1,x 2∈[2,3]，恒有f (x 1+x 22)≥f (x 1)+f (x 2)2，则函数f(x)=x|x −a|满足上凸函数定义，即[2,3]⊆(−∞,a]，即a ≥3.。
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式基础知识点归纳总结(带答案)
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式基础知识点归纳总结单选题1、若实数a、b满足a>b>0，下列不等式中恒成立的是（）A．a+b>2√ab B．a+b<2√ab C．a2+2b>2√ab D．a2+2b<2√ab答案：A分析：利用作差法可判断各选项中不等式的正误.因为a>b>0，则a+b−2√ab=(√a−√b)2>0，故a+b>2√ab，A对B错；a 2+2b−2√ab=a2+2b−2√a2⋅2b=(√a2−√2b)2≥0，即a2+2b≥2√ab，当且仅当a2=2b时，即当a=4b时，等号成立，CD都错. 故选：A.2、已知1a <1b<0，则下列结论正确的是（）A．a<b B．a+b<abC．|a|>|b|D．ab>b2答案：B分析：结合不等式的性质、差比较法对选项进行分析，从而确定正确选项.因为1a <1b<0，所以b<a<0，故A错误；因为b<a<0，所以a+b<0,ab>0，所以a+b<ab，故B正确；因为b<a<0，所以|a|>|b|不成立，故C错误；ab−b2=b(a−b)，因为b<a<0，所以a−b>0，即ab−b2=b(a−b)<0，所以ab<b2成立，故D错误.故选：B3、已知x>0，则下列说法正确的是（）A．x+1x −2有最大值0B．x+1x−2有最小值为0C．x+1x −2有最大值为－4D．x+1x−2有最小值为－4答案：B分析：由均值不等式可得x+1x ≥2√x×1x=2，分析即得解由题意，x>0，由均值不等式x+1x ≥2√x×1x=2，当且仅当x=1x，即x=1时等号成立故x+1x−2≥0，有最小值0故选：B4、不等式(x+1)(x+3)<0的解集是（）A．R B．∅C．{x∣−3<x<−1}D．{x∣x<−3，或x>−1}答案：C分析：根据一元二次不等式的解法计算可得；解：由(x+1)(x+3)<0，解得−3<x<−1，即不等式的解集为{x∣−3<x<−1}；故选：C5、实数a,b满足a>b，则下列不等式成立的是（）A．a+b<ab B．a2>b2C．a3>b3D．√a2+b2<a+b答案：C分析：利用不等式的性质逐一判断即可.A，若a=1,b=0，则a+b>ab，故A错误；B，若a=1,b=−2，则a2<b2，故B错误；C，若a>b，则a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)=(a−b)[(a+b2)2+3b24]>0，所以a3>b3，故C正确；D，若a=1,b=−2，则√a2+b2>a+b，故D错误. 故选：C6、若a,b,c∈R，则下列命题为假命题的是（）A．若√a>√b，则a>b B．若a>b，则ac>bcC ．若b >a >0，则1a >1bD ．若ac 2>bc 2，则a >b 答案：B分析：根据不等式的性质逐一分析各选项即可得答案.解：对A ：因为√a >√b ，所以a >b ≥0，故选项A 正确；对B ：因为a >b ，c ∈R ，所以当c >0时，ac >bc ；当c =0时，ac =bc ；当c <0时，ac <bc ，故选项B 错误；对C ：因为b >a >0，所以由不等式的性质可得1a >1b >0，故选项C 正确；对D ：因为ac 2>bc 2，所以c 2>0，所以a >b ，故选项D 正确.故选：B.7、若x >53，则3x +43x−5的最小值为（ ）A ．7B ．4√3C ．9D ．2√3答案：C分析：利用基本不等式即可求解.解：∵x >53， ∴3x −5>0，则3x +43x−5=(3x −5)+43x−5+5≥2√(3x −5)⋅43x−5+5=9，当且仅当3x −5=2时，等号成立，故3x +43x−5的最小值为9，故选：C ．8、已知2<a <3，−2<b <−1，则2a −b 的范围是（ ）A ．(6,7)B ．(5,8)C ．(2,5)D ．(6,8)答案：B分析：由不等式的性质求解即可.， 23,21<<-<<-a b故4<2a <6，1<−b <2，得5<2a −b <8故选：B多选题9、已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝2，下列式子中，最小值为2的有（ ）A ．2abB ．a 2＋b 2C ．1a ＋1bD ．2ab 答案：BCD分析：利用基本不等式“一正二定三相等”的步骤进行判断﹒∵a ，b ＞0，∴2＝a ＋b ≥2√ab ，∴0＜ab ≤1，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．由ab ≤1，得2ab ≤2，∴2ab 的最大值为2，A 错误；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥4－2＝2，B 正确；1a+1b =a+b ab =2ab ≥2，C 正确； 2ab ≥2，D 正确．故选：BCD ．10、解关于x 的不等式：ax 2+(2−4a)x −8>0，则下列说法中正确的是（ ）A ．当a =0时，不等式的解集为{x |x >4}B ．当a >0时，不等式的解集为{x|x >4或x <−2a }C ．当a <0时，不等式的解集为{x |−2a <x <4}D ．当a =−12时，不等式的解集为∅ 答案：ABD分析：讨论参数a ，结合一元二次不等式的解法求解集即可判断各选项的正误.A ：a =0，则2x −8>0，可得解集为{x |x >4}，正确；B ：a >0，则(ax +2)(x −4)>0，可得解集为{x|x >4或x <−2a }，正确；C ：a <0，当−2a <4时解集为{x |−2a <x <4}；当−2a =4时无解；当−2a >4时解集为{x |4<x <−2a }，错误；D ：由C 知：a =−12，即−2a =4，此时无解，正确.11、已知函数y =x 2+ax +b （a >0）有且只有一个零点，则（ ）A ．a 2−b 2≤4B ．a 2+1b ≥4C ．若不等式x 2+ax −b <0的解集为{x |x 1<x <x 2}（x 1<x 2），则x 1x 2>0D ．若不等式x 2+ax +b <c 的解集为{x |x 1<x <x 2}（x 1<x 2），且，则c =4 答案：ABD解析：因为y =x 2+ax +b （a >0）有且只有一个零点，故可得Δ=a 2−4b =0，即a 2=4b >0， 再利用基本不等式和不等式的性质对四个选项逐一分析即可得到答案.因为y =x 2+ax +b （a >0）有且只有一个零点，故可得Δ=a 2−4b =0，即a 2=4b >0，对A ：a 2−b 2≤4等价于b 2−4b +4≥0，显然(b −2)2≥0，故A 正确；对B ：a 2+1b =4b +1b ≥2√4b ×1b =4，故B 正确；对C ：因为不等式x 2+ax −b <0的解集为(x 1,x 2)，故可得x 1x 2=−b <0，故C 错误；对D ：因为不等式x 2+ax +b <c 的解集为(x 1,x 2)，且，则方程x 2+ax +b −c =0的两根为x 1，x 2，故可得√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√a 2−4(b −c )=√4c =2√c =4，故可得c =4，故D 正确.故选：ABD .小提示：本题主要考查一元二次方程、不等式的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，属于常考题.12、下面所给关于x 的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（ ）A ．3x +4<0B ．x 2+mx -1>0C ．ax 2+4x -7>0D ．x 2<0 124x x -=124x x -=分析：利用一元二次不等式的定义和特征对选项逐一判断即可.选项A是一元一次不等式，故错误；选项B，D，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当a=0时，选项C是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误.故选：BD.13、下列说法正确的是（）A．x+1x(x>0)的最小值是2B．2√x2+2的最小值是√2C．2√x2+4的最小值是2D．2−3x−4x的最小值是2−4√3答案：AB分析：利用基本不等式直接判断A,利用根式判断B,利用等号不成立判断C,利用特值判断D当x>0时，x+1x ≥2√x⋅1x=2（当且仅当x=1x，即x=1时取等号），A正确；2√x2+2=√x2+2，因为x2≥0，所以2√x2+2=√x2+2≥√2，B正确；2√x2+4=2√x2+4=√x2+4√x2+4≥2，当且仅当√x2+4=√x2+4，即x2=−3时，等号成立，显然不成立，故C错误；当x=1时，2−3x−4x=2−3−4=−5<2−4√3，D错误.故选:AB.填空题14、若一个直角三角形的面积为4cm2，则此三角形周长的最小值是________cm.答案：4+4√2分析：设两条直角边长分别为xcm、8xcm，利用勾股定理结合基本不等式可求得此三角形周长的最小值.设两条直角边长分别为xcm、8xcm，则该直角三角形的周长为x+8x +√x2+64x2≥2√x⋅8x+√2√x2⋅64x2=4√2+4(cm)，当且仅当{x=8xx2=64x2x>0时，即当x=2√2时，等号成立. 所以答案是：4√2+4.15、已知正实数x，y满足1x +1y=1，则x+4y最小值为______．答案：9分析：利用基本不等式的性质直接求解即可.∵正数x，y满足：1x +1y=1，∴x+4y=(x+4y)⋅(1x +1y)=5+4yx+xy≥5+2√4yx⋅xy=9，当且仅当4yx =xy，即x=2y，x=3，y=32时“=”成立，所以答案是：9.16、若x>−1，则x+3x+1的最小值是___________. 答案：2√3−1分析：由x+3x+1=x+1+3x+1−1，结合基本不等式即可.因为x>−1，所以x+1>0，所以x+3x+1=x+1+3x+1−1≥2√3−1，当且仅当x+1=3x+1即x=√3−1时，取等号成立.故x+3x+1的最小值为2√3−1，所以答案是：2√3−1解答题17、某旅游公司在相距为100km的两个景点间开设了一个游船观光项目．已知游船最大时速为50km/ℎ，游船每小时使用的燃料费用与速度的平方成正比例，当游船速度为20km/ℎ时，燃料费用为每小时60元．其它费用为每小时240元，且单程的收入为6000元．（1）当游船以30km/ℎ航行时，旅游公司单程获得的利润是多少？（利润=收入−成本）（2）游船的航速为何值时，旅游公司单程获得的利润最大，最大利润是多少？答案：（1）4750元；（2）游轮的航速应为40km/ℎ，最大利润是4800元．分析：（1）设游船的速度为v(km/ℎ)，旅游公司单程获得的利润为y（元)，根据利润=收入−成本建立函数关系式，所以y=6000−15v−24000v(0<v⩽50)，代入v=30km/ℎ即可求得；（2）利用基本不等式求出最大利润即可．解：（1）设游船的速度为v(km/ℎ)，旅游公司单程获得的利润为y（元)，因为游船的燃料费用为每小时k·v2元，依题意k·202=60，则k=320．所以y=6000−(320v2·100v+240·100v)=6000−15v−24000v(0<v⩽50)．v=30km/ℎ时，y=4750元；（2）y=6000−15v−24000v ⩽6000−2√15v×24000v=4800，当且仅当15v=24000v，即v=40时，取等号．所以，旅游公司获得最大利润，游轮的航速应为40km/ℎ，最大利润是4800元．18、某旅店有200张床位．若每张床位一晚上的租金为50元，则可全部租出；若将出租收费标准每晚提高10x元（x为正整数），则租出的床位会相应减少10x张．若要使该旅店某晚的收入超过12600元，则每张床位的出租价格可定在什么范围内？答案：每个床位的出租价格应定在70元到180元之间（不包括70元，180元）分析：由题意可知该旅店某晚的收入为y元，可知(50+10x)(200−10x)>12600，解不等式可求解.设该旅店某晚的收入为y元，则y=(50+10x)(200−10x),x∈N∗由题意y>12600，则(50+10x)(200−10x)>12600即10000+1500x−100x2>12600，即x2−15x+26<0，解得：2<x<13，且x∈N∗所以每个床位的出租价格应定在70元到180元之间（不包括70元，180元）。
人教版高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式全套PPT课件
【变式探究】
已知 且 ，求 的取值范围．
[解析] 令 ， ，则 ， ．由 解得 ,又 ， ， ， ．
方法总结 不等式具有可加性（需同向）与可乘性（需同正），但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意等价变形．
方法总结 应用基本不等式时，注意下列常见变形中等号成立的条件：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
学习目标
1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.（数学建模）
2.会运用作差法比较两个数或式子的大小.（数学运算）
3.梳理等式的性质，掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.（逻辑推理）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
（2）已知 ， .求证： ．
②
[解析] （1）对于①，若 ， ， ， ，则 ，①错误；对于②，对于正数 ， ， ，若 ，则 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，②正确．综上，正确结论的序号是②．（2）因为 ，所以 .所以 ．又因为 ，所以 .所以 ，即 ，所以 ．
探究2 重要不等式
设 ， ，记 ， ， 分别为 ， 的算术平均数、几何平均数、调和平均数.古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过 时， ， ， 的大小关系.
问题1：.你能探究 ， ， 的大小关系吗？
[答案] 能,因为 ， ， ，所以 ，即 ； ，即 .所以 .所以 ， ， 中最大的为 ，最小的为 .
问题1：.小明的说法正确吗？用什么性质判断小明的说法是否正确？
[答案] 不正确，用等式的性质.当 时， 一定成立，反过来，当 时，不能推出 ，如当 时， 成立， 不成立.故“ 是 成立的充要条件”是错误的.
湘教版九年级数学 2.2 一元二次方程的解法(学习、上课课件)
2.2 一元二次方程的解法
第1课时 配方法学习Leabharlann 标1 课时讲解 2 课时流程
一元二次方程的解（根） 直接开平方法 配方法
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 一元二次方程的解（根）
知1－讲
概念
使一元二次方程左、右两边相等的未知数 的值叫作一元二次方程的解 . 一元二次方 程的解也叫作一元二次方程的根 .
知1－练
感悟新知
1-1.判断下列方程后面括号内的数是不是方程的解． 知1－练 (1) x2 － 5x － 6 ＝ 0(－ 1， 2， 6)； 解：当x＝－1时，x2－5x－6＝1＋5－6＝0，所以 x＝－1为方程x2－5x－6＝0的解； 当x＝2时，x2－5x－6＝4－10－6＝－12≠0，所以 x＝2不是方程x2－5x－6＝0的解； 当x＝6时，x2－5x－6＝36－30－6＝0，所以x＝6 为方程x2－5x－6＝0的解．
感悟新知
知2－讲
特别警示 直接开平方法利用的是平方根的意义，所以要注意两点： ◆不要只取正的平方根而遗漏负的平方根； ◆只有非负数才有平方根，所以直接开平方法的前提是
x2＝p中p ≥ 0.
感悟新知
例2 [月考·西安莲湖区]解方程： (1) 16x2 ＝ 25； (2) 3( x ＋ 1) 2 － 108 ＝ 0；
知2－讲
2. 方程x2＝p 的解(根)的情况： (1)当p>0时，方程有两个不等的实数根x1＝－ p，x2＝ p； (2)当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝0； (3)当p<0时，方程没有实数根.
感悟新知
知2－讲
3. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤： 步骤1：将方程变成左边是( ax+b) 2，右边是非负数的 形式(如果方程右边是负数，那么这个方程无 实数根). 步骤2：开平方，将方程转化为两个一元一次方程. 步骤3：解这两个一元一次方程，则得出的两个解即为 一元二次方程的两个根.
一元二次方程知识点总结
一元二次方程知识点总结标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-第二章 一元二次方程本章中考动向：会用因式分解法、公式法、配方法解简单系数的一元二次方程；了解一元二次方程根的判别式和根与系数的关系并能进行简单运用；能根据具体问题中的数量关系列方程，能根据具体问题的实际意义检验方程的解的合理性。
一. 知识点：1. 一元二次方程的概念只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化成20ax bx c ++=（a ，b ，c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
注：（①整式方程，含有一个未知数；②整理后未知数的最高次数是2）2. 一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，化成：20ax bx c ++=（a ≠0）。
这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项。
关键：（1）a ≠0；（2）系数带上符号3.一元二次方程的解（根）能使一元二次方程两边的值相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根。
应用：若是方程的解（根），则代入方程，可使其成立。
通常结合恒等变形来求一些式子的值。
例：已知a 是方程2310x x -+= 的一个根，试求3222511a a a a --++ 的值。
4. 配方法解一元二次方程：将一元二次方程转化成()2x m n += （n ≥0）的形式。
通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根。
()2x m n += （n ≥0）。
x m =- 关键：将二次项系数化为1的方程的两边同时加上一次项系数一半的平方注：在求解一些式子的最值问题时，我们是将式子配成完全平方，再利用完全平方式子的非负性来解决。
例如：当x 取何值时，代数式2267x x -+ 的值最小求出这个最小值5. 公式法解一元二次方程对于一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0），当24b ac -≥0时，利用配方法可算出它的根是2b x a-±= 关键步骤：（1）将方程化为一般形式，确定公式中a ，b ，c 的值；（2）先求出 24b ac -的值，再考虑是否用公式。
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赵中2010级2、5班九年级上学期期末复习题第二章 一元二次方程测试题 （试卷编辑：徐斯亮）姓名 班级 分数一、填空题1、一元二次方程3x 2－23＝－10x 的二次项系数为： ，一次项系数为：____ ，常数项为： ___。
2、已知m 是方程022=--x x 的一个根，则代数式mm-2的值等于 .3、已知方程（x+a ）（x-3）=0和方程x 2-2x-3=0的解相同，则a=_______________。
4、一元二次方程x 2+2x+4=0的根的情况是（ ）A 、有一个实数根B 、有两个相等的实数根C 、有两个不相等的实数根D 、没有实数根 5、若单项式10422+-n n ba 和n nb a 25的次数相等，则n 等于（ ）A 、1B 、3或4C 、0D 、27、关于x 的一元二次方程kx 2+3x －1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）A 、k ≤49-B 、k ≥49-且k ≠0 C 、k ≥49-D 、k ＞49-且k ≠0A 、2或3-B 、3或2-C 、2D 、3- 12、若x 2－6x －a 满足完全平方公式，则a=13、设b a ,是一个直角三角形两条直角边的长，且12)1)((2222=+++b a b a ，则这个直角三角形的斜边长为14、已知实数x 满足+++x xx 22101=x,那么x x 1+的值为15、若方程x 2+px+q=0的两个根是-2和3，则p ＝ q ＝16、我国政府为解决老百姓看病难问题，决定下调药品的价格。
某种药经过两次降价，由每盒60元调至52元。
若设每次降价的百分率为x ，则由题意义可列方程___ 17、已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方程可以是 （填上你认为正确的一个方程即可）18等腰三角形的底和腰是方程x 2-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长是19、已知x 2+3x+5的值为11，则代数式3x 2+9x+12的值为 20、方程：33-=-y y y )(的解为：____________________。
21、已知关于x 的方程032112=-+-+x x m m )(是一元二次方程,则m 的值为：___________。
22、在实数范围内定义一种运算“﹡”，其规则为a ﹡b=a 2-b 2,根据这个规则，方程(x+2) ﹡5=0的解为二、选择题(每小题3分，共30分)23、若21,x x 是一元二次方程01322=+-x x 的两个根，则2221x x +的值是（ ）A 、45 B 、49 C 、411 D 、724、若232622---+x x x x 的值为0，则x 的值是（ ）A 、2或3-B 、3或2-C 、2D 、3-25、如果一元二次方程3x 2-2x =0的两根为x 1，x 2，则x 1·x 2的值等于（ ） A 、0 B 、2 C 、32 D 、32-26、方程x(x+2)=2(x+2)的解是 （ ） A. 2和-2B. 2C. -2D. 无解27、工厂技术革新，计划两年内使成本下降51%，则平均每年下降百分率为（ ） A ．30% B ．26.5% C ．24.5% D ．32%28、如果关于x 的一元二次方程x 2+px +q =0的两根分别为x 1＝3、x 2＝1，那么此一元二次方程是 （ ） A. x 2+3x +4=0 B. x 2-4x +3=0 C. x 2+4x -3=0 D. x 2+3x -4=029、若2x 2+1与4x 2－2x －5的值互为相反数，则x 的值是（ ）A 、1-或32 B 、1或32-C 、1或23-D 、1或2330、某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185元降到了580元，设平均每次降价的百分率为x ，列出方程正确的是（ ）A 、580（1+x ）2=1185B 、1185（1+x ）2=580C 、580（1－x ）2=1185D 、1185（1－x ）2=580ACB31、若关于x 的一元二次方程0962=+-x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围（ ）A 、 k ＜1B 、 k ≠0C 、 k ＜1且k ≠0D 、 k ＞132、如果方程022=++m x x 有两个同号的实数根，则m 的取值范围是 （ ）A 、 m ＜1B 、 0＜m ≤1C 、 0≤m ＜1D 、 m ＞ 33、如图，菱形ABCD 的边长是5，两条对角线交于O 点，且AO 、BO 的长分别是关于x 的方程3)12(22=++-+m x m x 的根，则m 的值为（ ）A ． -3B ． 5C ． 5 或-3D ． -5或334、关于x 的一元二次方程x 2+nx+m=0的两根中只有一个等于0，则下列条件正确的是 （ ）A ．m=0,n=0B ．m=0,n ≠0C ．m ≠0,n=0D ．m ≠0,n ≠0 35、已知6522=+-y xy x ，则x y :等于 （ ）A. 161或 B. 16或 C. 2131或 D. 32或36、若方程0112=-+-x m x m )(是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）。
A 、m = 0 B 、m ≠ 1 C 、m ≥0且m ≠ 1 D 、m 为任意实数37、如图，在矩形ABCD 中，AB=1，BC=2，将其折叠，使AB 边落在对角线AC 上，得到折痕AE ，则点E 到点B 的距离为 A212- B213- C215- D216-三、解下列方程（每题4分，共16分）38、 01862=--x x （配方法） 39、3x 2+5(2x+1)=0 （公式法）40、x 2－2x －99=0 （因式分解法） 41、()()752652x x x +=+（因式分解法）四、解答题：42、阅读例题：（8分）解方程：022=--x x解：（1）当x ≥0时，得,022=--x x （2）当x ＜0时，得,022=-+x x 解得x 1 = 2 , x 2 = －1＜0（舍去）。
解得x 1 = 1 （舍去）, x 2 =－2。
∴原方程的根为解得x 1 = 2 , x 2 = －2。
请参照例题的方法解方程0112=---x x43、（6分）设方程x 2+3x -5=0的两个实数根为x 1、x 2，求2111x x +的值.44、（8分）已知关于x 的方程x 2+2(2-m)x+3-6m=0(1) 求证:无论m 取什么实数,方程总有实数根；（2）如果方程的两个实数根x 1、x 2满足x 1=3x 2，求实数m 的值.45、已知关于x 的一元二次方程032422=-+++k k x x 的一个根为0，求k 的值和方程的另外一个根。
46、（8分）已知关于x 的方程0)2(4122=+--mx m x 是否存在正数m ,使方程的两个实数根的平方和等于224 ？若存在,求出满足条件的m 的47、（6分）我校团委准备举办学生绘画展览，为美化画面，在长30cm 、宽为20cm 的矩形画面的四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，求彩纸的宽度。
48、一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小9，如果把个位数字与十位数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，求原来的这个两位数。
（7分）49、某钢铁厂今年1月份钢产量为4万吨，第一季度共生产钢13.24万吨,问2、3月份平均每月的增长率是多少?50、有一面积为150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35 m，求鸡场的长与宽各为多少？51、某商店将进货为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现在采用提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品按每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？52、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出5件。
若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？53、如图，在宽为20m，长为32m的矩形地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小不等的六块，要使耕地面积为570m2，求道路的宽为多少米?（7分）54、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500kg，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，每涨价1元，日销售量将减少20kg，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（7分）55、对于二次三项式x2-10x+36，小颖同学作出如下结论：无论x取什么实数，它的值一定大于零。
你是否同意她的说法？说明你的理由.56、（8分）如图，甲、乙两人分别从正方形ABCD的顶点C，B两点同时出发，甲由C向D 运动，乙由B向C运动。
若一人达到目的地，另一人随之停止，甲的速度为1千米/分，乙的速度为2千米/分。
正方形的周长为40千米，问几分钟后，两人相距57、美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容，我市近几年来，通过拆迁旧房、植草、栽树、修公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如下图所示）（1）根据图中提供的信息回答下列问题:我市2005年年底的绿地面积为公顷，比2004年增加了公顷,在2003年、2004年、2005年三年中绿地面积增加最多的一年是年。
（3分）（2）为了满足城市发展的需要，计划到2007年年底使城区绿地面积达到72.6公顷，请您求出2006年和2007年两年我市绿地面积的年平均增长率是多少？(6分)四、勇敢闯一闯：（列方程解应用题）（本大题共 2小题，每小题 8分，共16分。
）58、某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利40元。
为了迎接“六一”儿童节和扩大销售，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多售出2件，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，那么每件童装应降价多少元？。