几何证明举例课件第1课时
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几何证明选讲PPT课件
3．(2011·广州测试(一))如图所示，CD 是圆 O 的切线，切点为 C，点 A、B 在圆 O 上， BC＝1，∠BCD＝30°，则圆 O 的面积为________． 解析 连接 OC，OB，依题意得，∠COB＝2∠CAB＝2∠BCD＝ 60°，又 OB＝OC， 因此△BOC 是等边三角形， OB＝OC＝BC＝1，即圆 O 的半径为 1， 所以圆 O 的面积为 π×12＝π. 答案 π
m
(2)有 EF 使分得的上下两个梯形相似？若有则相似比 n 的值为
多少？
解析（1）法一、由 AE m，设AE=mx,
EB=nx,又 PA
a
EB n
，所以
AB b a
a
PA a PA a(m n)x
mx
(m n)x b a
b a nx
所以
b
PE PB
EF b
②切线的判定定理
过半径外端且与这条半径 垂直 的直线是圆的切线．
(3)切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线长 相等 ．
4．弦切角 (1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切 ，另一边与圆相交的角． (2)弦切角定理及推论 ①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的 一半．
②推论：同弧(或等弧)上的弦切角 相等 ，同弧(或等弧)上的弦 切角与圆周角 相等 ．
割线定 理
(1)求PA、PB、PC、
PA·PB=PC·PD
PD、AB、CD
(2)应用相似求AC、
BD
例题
1．如图所示，△ABC 中，∠C＝90°， AB＝10，AC＝6，以 AC 为直径的圆 与斜边交于点 P，则 BP 长为________． 解析 连接 CP.由推论 2 知∠CPA＝90°，即 CP⊥AB，由射影
《几何证明举例》PPT课件
出要使结论成立所需要的条件，再把这样的“条件”看作“结
论”，一步一步逆推，直至归结为已知条件。
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21
等腰三角形的判定方法有下列几 种： ①定义，②判定定理 。
等腰三角形的判定定理与性质定理的区别 是 条件和结论刚好相反。 。
运用等腰三角形的判定定理时，应注 意 在同一个三角形中 。
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C 60
A B C 精6选0课件p（pt 等式的性质 ）
17
交流与探索
思考：等边三角形的每个内角都等于600的逆命题是什 么？这个逆命题是真命题吗？
逆命题是真命题： 如果一个三角形的每个内角都等于600 ，那么这个三
角形是等边三角形。
你能把这个逆命题的条件适当减少,使它仍然是真命题吗？
4.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角
为3_5_°__，3_5__°。
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2
学习目标
1.进一步掌握证明的基本步
骤和书写格式。
2.能用“公理”和“已经证
明的定理”为依据，证明等
腰三角形的性质定理和判定
定理。
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3
回顾与思考 ☞
1.我们学习了证明的相关知识，你还记得我们依据
7
Ａ
已知：△ABC中，AB＝AC
求证：∠Ｂ＝ ∠Ｃ
证明：作BC边上的中线 AD
∴ BD = CD (中线定义)
∵在 △BAD与 △CAD中
AB = AC (已知)
Ｂ DＣ
BD = CD （已证） AD = AD (公共边)
∴ △BAD≌△CAD( SSS )
∴ ∠B = ∠ C (全等三角形对应角相等)
符号表示：
中考数学专题三 几何证明(共40张PPT)
BG 2 AE1， AFAE， AB 2 BG AB
又∵∠EAF=∠ABG,∴△AEF∽△BAG,
∴∠AEF=∠BAG,
∵∠BAG+∠EAO=90°,∴∠AEF+∠EAO=90°,
∴∠AOE=90°,∴EF⊥AG.
25
(3)过点O作MN∥AB,交AD于点M,交BC于点N,如图 所示,则MN⊥AD,MN=AB=4, ∵P是正方形ABCD内一点,S△PAB=S△OAB, ∴点P在线段MN上,当P为MN的中点时,△PAB的周长 最小,此时PA=PB,P1 M= MN=2,
15
(3)两头凑法:将分析与综合法合并使用,比较起来,分 析法利于思考,综合法易于表达,因此,在实际思考问 题时,可合并使用,灵活处理,以利于缩短题设与结论 的距离,最后达到证明目的.
16
2.掌握构造基本图形的方法:复杂的图形都是由基本 图形组成的,因此要善于将复杂图形分解成基本图形. 在更多时候需要构造基本图形,在构造基本图形时往 往需要添加辅助线,以达到集中条件、转化问题的目 的.
32
【自主解答】如图,把△ABE逆时针旋转90°得到
△ADG,
∴BE=GD,AE=AG,
∵∠EAF=45°,ຫໍສະໝຸດ ∴∠FAG=90°-45°=45°,
∴∠EAF=∠FAG,
在△AEF和△AGF中,
33
AE AG,
E
A
F
FAG，
A F A F,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴EF=GF,
即EF=GD+DF,
专题三 几何证明
1
几何证明是平面几何中的一个重要问题,它对培养 学生逻辑思维能力有着很大作用.几何证明有两种基本 类型:一是平面图形的数量关系;二是有关平面图形的 位置关系.这两类问题常常可以相互转化,如证明平行 关系可转化为证明角相等或角互补的问题.
又∵∠EAF=∠ABG,∴△AEF∽△BAG,
∴∠AEF=∠BAG,
∵∠BAG+∠EAO=90°,∴∠AEF+∠EAO=90°,
∴∠AOE=90°,∴EF⊥AG.
25
(3)过点O作MN∥AB,交AD于点M,交BC于点N,如图 所示,则MN⊥AD,MN=AB=4, ∵P是正方形ABCD内一点,S△PAB=S△OAB, ∴点P在线段MN上,当P为MN的中点时,△PAB的周长 最小,此时PA=PB,P1 M= MN=2,
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(3)两头凑法:将分析与综合法合并使用,比较起来,分 析法利于思考,综合法易于表达,因此,在实际思考问 题时,可合并使用,灵活处理,以利于缩短题设与结论 的距离,最后达到证明目的.
16
2.掌握构造基本图形的方法:复杂的图形都是由基本 图形组成的,因此要善于将复杂图形分解成基本图形. 在更多时候需要构造基本图形,在构造基本图形时往 往需要添加辅助线,以达到集中条件、转化问题的目 的.
32
【自主解答】如图,把△ABE逆时针旋转90°得到
△ADG,
∴BE=GD,AE=AG,
∵∠EAF=45°,ຫໍສະໝຸດ ∴∠FAG=90°-45°=45°,
∴∠EAF=∠FAG,
在△AEF和△AGF中,
33
AE AG,
E
A
F
FAG，
A F A F,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴EF=GF,
即EF=GD+DF,
专题三 几何证明
1
几何证明是平面几何中的一个重要问题,它对培养 学生逻辑思维能力有着很大作用.几何证明有两种基本 类型:一是平面图形的数量关系;二是有关平面图形的 位置关系.这两类问题常常可以相互转化,如证明平行 关系可转化为证明角相等或角互补的问题.
3.3.2抛物线的简单几何性质(第一课时)课件(人教版)(1)
析 :| AC | | BD | 16 4(k 2 1 ) 16
k2
抛物线的焦点弦长
k 1时, (| AC | | BD |)min 16 p2
[例1]过抛物线y2 2 px( p 0)的焦点F,引两条互相垂直的弦AC
和BD,求四边形ABCD面积的最小值. [变] | AC | | BD | 的最小值为 __8_p__
3.3.2 抛物线的简单几何性质 （第一课时）
环节一：创设情境，引入课题
思考：类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法, 你认为应研究抛物线y2 2 px ( p 0)的哪些几何性质 ? 如何研究这些性质 ?
1. 范围 抛物线 y2 2 px ( p 0)
①
2.代数角度
因为p 0,由方程可知, 对于抛物线上的点M ( x, y), x ≥ 0, y R,当x 0时, 抛物线在y轴的右侧,
162 2 py, y 162 , 又FP平行于准线, 162 p , p 16,
2p
2p 2
抛物线的标准方程为x2 32 y.
2．在同一坐标系中画出下列抛物线，视察它们开口的大小，并说明 抛物线开口大小与方程中的x系数的关系：
(1) y2 1 x; 2
(3) y2 2x;
(2) y2 x; (4) y2 4x.
抛物线的焦点弦
[引例1]已知过抛物线y2 6x的焦点F的直线l与抛物线交于A, B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60,求 AB 的值.
(2)若 AB 9,求线段AB的中点M到准线的距离.
解 : (1) F ( 3 ,0),l : y 3(x 3)
2
2
联立
y
y2
3(x 6x
3 2
k2
抛物线的焦点弦长
k 1时, (| AC | | BD |)min 16 p2
[例1]过抛物线y2 2 px( p 0)的焦点F,引两条互相垂直的弦AC
和BD,求四边形ABCD面积的最小值. [变] | AC | | BD | 的最小值为 __8_p__
3.3.2 抛物线的简单几何性质 （第一课时）
环节一：创设情境，引入课题
思考：类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法, 你认为应研究抛物线y2 2 px ( p 0)的哪些几何性质 ? 如何研究这些性质 ?
1. 范围 抛物线 y2 2 px ( p 0)
①
2.代数角度
因为p 0,由方程可知, 对于抛物线上的点M ( x, y), x ≥ 0, y R,当x 0时, 抛物线在y轴的右侧,
162 2 py, y 162 , 又FP平行于准线, 162 p , p 16,
2p
2p 2
抛物线的标准方程为x2 32 y.
2．在同一坐标系中画出下列抛物线，视察它们开口的大小，并说明 抛物线开口大小与方程中的x系数的关系：
(1) y2 1 x; 2
(3) y2 2x;
(2) y2 x; (4) y2 4x.
抛物线的焦点弦
[引例1]已知过抛物线y2 6x的焦点F的直线l与抛物线交于A, B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60,求 AB 的值.
(2)若 AB 9,求线段AB的中点M到准线的距离.
解 : (1) F ( 3 ,0),l : y 3(x 3)
2
2
联立
y
y2
3(x 6x
3 2
第一章几何证明选讲
(1)证明：由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD. 因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角， 所以∠AEB＝∠ACD. 故△ABE∽△ADC. (2)解：因为△ABE∽△ADC， 所以AAEB＝AADC，即AB·AC＝AD·AE. 又S△ABC＝12AB·ACsin∠BAC，且S△ABC＝12AD·AE，故AB·ACsin∠BAC＝ AD·AE. 则sin∠BAC＝1， 又∠BAC为三角形内角， 所以∠BAC＝90°.
1．圆周角定理 (1)圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 __一__半___． (2)圆心角定理 圆心角的度数等于 _它__所__对__弧__的__度__数____． 推论1 同弧或等弧所对的圆周角 ___相__等_____；同圆或等圆中，相等的圆周角 所对的弧也 ___相__等_____． 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是 ___直__角_____；90°的圆周角所对的弦是 ___直__径_____．
(2)两个直角三角形相似的判定 定理 ①如果两个直角三角形的一个锐角对应 ___相__等_____，那么它们相似． ②如果两个直角三角形的两条直角边对应 __成__比__例____，那么它们相似． ③如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条 直角边对应 __成__比__例____，那么这两个直角三角形相似． (3)相似三角形的性质 性质定理 ①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等 于 __相__似__比____； ②相似三角形周长的比等于 __相__似__比____； ③相似三角形面积的比等于 __相__似__比__的__平__方___； ④相似三角形外接圆(或内切圆)的直径比、周长比等于相似比，外接圆(或内切 圆)的面积比等于 __相__似__比__的__平__方___．
几何证明(1)
演绎证明：怎样才算严格的数学证明？例1：我们分别用下列三种方法来导出“对顶角相等”一、是直观说明，即凭眼睛看到的结果就加以认定。
二、是操作确认，可以用量角器度量两个对顶角，也可以把两个对顶角剪下来相叠，由度量所得数据基本相同或叠在一起基本重合就加以确认。
三、是推理论证（演绎推理）表述如下：因为∠1与∠2、∠2与∠3分别是邻补角（已知），所以∠1+∠2 = 180°，∠2+∠3 = 180°（邻补角的意义）得∠1+∠2 =∠2+∠3（等量代换）所以∠1=∠3（等量代换）问：三种方法中，哪一种最可靠、最有说服力？小结：1、演绎推理是数学证明的一种常用的、完全可靠的方法，演绎证明是一种严格的数学证明，是我们现在要学习的证明方式，在本书中，演绎证明简称证明（proof）2、推理的依据，可以是已知条件和已证事项（简称为已知和已证），也可以是已有的概念、性质等3、整个证明由一段一段的因果连接而成例2：几种不同类型的因果关系：1、一因一果例如：∵∠1与∠2是对顶角（已知）∴∠1 = ∠2（）又如：∵∠1与∠2互为余角（已知）∴∠1+∠2 = 90°（互余的定义）2、一因多果如图，两条平行线a与b被第三条直线c所截∵a // b∴∠2 = ∠4 （）∠1 = ∠4 （）∠3 + ∠4 = 180°（）3、多因一果如图，∵AB⊥EF于G，CD⊥EF于H （）∴AB // CD （）总结：通常证明是由若干个推理组成，即有多层因果关系，从整体上看，前一段中的果为后一段提供了因，一连串这样连贯、有序的因果关系组成了完整的证明。
练习:：你能通过自己的思考，各举出一个“一因一果”、“一因多果”及“多因一果”的例子吗？例3：如果，∠1 = 60°，∠2 = 60°，∠3 = 57°，则∠4 = 57°，下面四种推理过程，你认为正确的是（）A ∵∠1 = 60°=∠2B ∵∠4 = 57°=∠3C ∵∠2 =∠5∴a // b ∴a // b 又∠1 =60°，∠2 = 60°∴∠4 = ∠3 = 57°∴∠1 =∠2 = 60°∴∠1 =∠5 = 60°∴∠4 =∠3 = 57°D ∵∠1 = 60°，∠2 = 60°，∠3 = 57°∴∠1 —∠3 =∠2 —∠4 = 60°—57°= 3°∴∠4 = 57°练习：阅读下面的证明过程，在括号内填写适当的理由，并在横线部分说明因果关系如图，已知∠B = 50°，∠1 = 50°，AB = AC，求证∠1 = ∠2证明：①∵∠B = 50°，∠1 = 50°（）_____________∴∠B = ∠1（）________________②∵∠B = ∠1（）________________∴AE // BC（）________________③∵AE // BC（）________________∴∠C =∠2（）________________④∵AB = AC（）________________∴∠B =∠C（）________________⑤∵∠B =∠C，∠B =∠1，∠C =∠2（）________________∴∠1 = ∠2（）________________提示：初学证明时，为了更好地掌握推理的方法，并且保证推理有根有据，层次分明，要把每一段推理的因果关系都明确无误地写出来，若能经常这样思考，无疑对提高思维的条理性、证题的准确性是十分有帮助的。
几何证明PPT教学课件
规律方法总结 1．几何证明的难度应严格控制，在解决同一个问题的过
程中，相似三角形(或全等三角形)的使用不宜超过 2 次，添置的辅助线不超过 3 条． 2．相似三角形是平面几何中极为重要的内容．从概念上 看，相似是全等的拓展，全等只是相似的特殊情形， 而且研究有关全等的各种问题几乎都可以平行地研 究有关各种相似问题． 3．圆是轴对称图形，利用这一点可研究垂径定理和圆心 角、弧、弦、弦心距的关系定理．关系定理使我们在 圆心角、弧、弦、弦心距的证明中得以相互转化；垂 径定理又可与等腰三角形的性质定理相沟通．
4．直线和圆的相切的位置关系，以及由它引伸出来的 一系列知识，如切线长定理、弦切角定理和圆有关 的比例线段定理又是本节的重点，利用上述定理可 很方便地证明角相等、线段相等、以及线段的比例 问题.
知能提升演练
一、选择题
1．若三角形三边上的高为 a、b、c，这三边长分别为
6、4、3，则 a∶b∶c 等于
取 BC 的中点 P， 作 PQ∥DH 交 EH 于 Q，如图， 则 PQ 是梯形 ADHE 的中位线， ∴PQ＝21(AE＋DH)＝12(12＋16)＝14. 同理：CG＝21(PQ＋DH)＝12(14＋16)＝15.
答案 4 15
变式训练 1 如右图，在梯形 ABCD 中，
AB∥CD，且 AB＝2CD，E、F 分别是
4．在 Rt△ABC 中，∠C 为直角，CD⊥AB，垂足为 D，
则下列说法不正确的是
(C )
A．CD2＝AD·DB
B．AC2＝AD·AB
C．AC·BC＝AD·BD
D．BC 是△ACD 外接圆的切线
解析 由射影定理知 A、B 正确，因为 CD⊥AB，所 以△ACD 外接圆 O 中，AC 是直径，又 AC⊥BC，故 BC 是圆 O 的切线．D 正确．
高考数学一轮复习 几何证明选讲 第1课时 相似三角形的判定及有关性质课件 理(选修41)
______第三边． •平推分论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线_____
另一腰．
平分
• 2．平行线分线段成比例定理 • 三条平行线截两条直线，所得的___对__应线段成比例． • 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长
线)所得的对应线段成_______． • 3．相似三角形的判定 比例 • 判定定理1：两角对应_____，两三角形相似． • 判定定理2：两边对应___相__等___且夹角______，两三角形相 • 似判．定定理3：三边对应___成__比__例_，两三角形相相等似．
【解析】 (1)证明：∵OE∥BC， ∴AAEB＝AAOC.又∠BAC＝∠CAB，∴△EAO∽△BAC. ∴OBCE＝AAEB，同理OBCF＝DDCF. ∵AD∥EF∥BC，∴AABE＝DDCF，∴OBCE＝OBCF. ∴OE＝OF.
(2)∵OE∥AD，∴BBOD＝BBEA，∴△EBO∽△ABD. ∴OADE＝BBOD，同理OBCE＝AAOC. 又 AD∥BC，∴BBOD＝CAOC，∴OADE＋OBCE＝CAOC＋AAOC＝1. • 【答案】 (1)略 (2)1
• 答案 6
解析 由直角三角形射影定理，得 AC2＝AD·AB. ∴AB＝AACD2＝422＝8，∴BD＝AB－AD＝8－2＝6.
授人以渔
题型一 平行线分线成比例
例1 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，EF 经过梯形对角线 的交点 O，且 EF∥AD. (1)求证：OE＝OF； (2)求OADE＋OBCE的值．
即6－3x＝3
x
，所以 3
x2－6x＋9＝0，解得
x＝3.
(2)若△ADP∽△BCP，则ABDC＝BAPP，
即 3
33＝6－x x，解得 x＝23.
另一腰．
平分
• 2．平行线分线段成比例定理 • 三条平行线截两条直线，所得的___对__应线段成比例． • 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长
线)所得的对应线段成_______． • 3．相似三角形的判定 比例 • 判定定理1：两角对应_____，两三角形相似． • 判定定理2：两边对应___相__等___且夹角______，两三角形相 • 似判．定定理3：三边对应___成__比__例_，两三角形相相等似．
【解析】 (1)证明：∵OE∥BC， ∴AAEB＝AAOC.又∠BAC＝∠CAB，∴△EAO∽△BAC. ∴OBCE＝AAEB，同理OBCF＝DDCF. ∵AD∥EF∥BC，∴AABE＝DDCF，∴OBCE＝OBCF. ∴OE＝OF.
(2)∵OE∥AD，∴BBOD＝BBEA，∴△EBO∽△ABD. ∴OADE＝BBOD，同理OBCE＝AAOC. 又 AD∥BC，∴BBOD＝CAOC，∴OADE＋OBCE＝CAOC＋AAOC＝1. • 【答案】 (1)略 (2)1
• 答案 6
解析 由直角三角形射影定理，得 AC2＝AD·AB. ∴AB＝AACD2＝422＝8，∴BD＝AB－AD＝8－2＝6.
授人以渔
题型一 平行线分线成比例
例1 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，EF 经过梯形对角线 的交点 O，且 EF∥AD. (1)求证：OE＝OF； (2)求OADE＋OBCE的值．
即6－3x＝3
x
，所以 3
x2－6x＋9＝0，解得
x＝3.
(2)若△ADP∽△BCP，则ABDC＝BAPP，
即 3
33＝6－x x，解得 x＝23.
初中数学_5.6几何证明举例第一课时《全等三角形》教学课件设计
回顾与思考 ☞
1.全等三角形的判定方法有哪些？ 它有什么性质？ 其中哪些是基本事实？
SAS ASA AAS SSS
2.几何证明的步骤是什么？
学习目标
• １、证明并掌握定理：两角分别相等 且其中一组等角的对边也相等的两个 三角形全等。
• ２、利用三角形全等的判定的知识判 断三角形全等，进而推证有关线段或 角相等。
证明：在△ABD与△ACD中，
AB=AC（ 已知 ），
D
BD=CD（ 已 知 ） ，
B
C
AD=AD（ 公 共 边 ），
隐含条件：公共边相等
∴ △ABD≌△ACD（ SSS）.
预习检测 ☞
A
已知：如图，AE=AD，∠B=∠C.
求证：△ABD≌△ACE.
E
D
证明：在△ABD和△ACE中， B
C
∠B=∠C（已知）， ∠A=∠A（ 公 共 角 ） ， AD=AE（ 已 知 隐）含，条件：公共角相等
例１. 已知：如图，AB=AC，DB=DC. 求证：∠B=∠C.
A
B
C
D
变式１. 已知：如图，AB=AC，DB=DC. 求证：∠B=∠C.
A
1
B3
2C
4
D
拓展延伸
已知：如图，AB=AC，∠B=∠C. 求证： DB=DC.
A
B
?
C
?
D
对点训练1
如图，已知AB=AD，AC=AE，∠1=∠2，
求证：BC=DE
预习检测 ☞
D
B
已知：AB与CD相交于点O，
∠A=∠C，OA=OC，
O
求证：△AOD≌△COB.
A
证明：在△AOD与△COB中，
第七章 第六节 第一课时 证明平行与垂直
则 A(0， 3 ，0)，D(0，0，0)，E(1，0，t)，B(－1，0，0)，B1(－1，0，2t)，
A，
3
，0)，D→E
＝1，0，t
，
→ A1N
＝(－1，－
3
，
2λt－2t)，
设平面 ADE 的法向量 n＝(x，y，z)，
则nn··DD→→AE＝＝x＋3yt＝z＝00 ，取 z＝1，得 n＝(－t，0，1)，
z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意可知 D(0，0，0)，B(1，2，0)，A(1，0，0)，C(0，
2，0)，S(0，0， 3 )，
→ BS
＝(－1，－2，
3 )，D→C ＝(0，2，0)，
假设存在 M，N 满足 MN⊥CD 且 MN⊥SB.
∵M 在线段 CD 上，可设B→M ＝λB→S ＝(－λ，－2λ， 3 λ)(λ∈[0，1]). ∵D→M ＝D→B ＋B→M ＝(1，2，0)＋(－λ，－2λ， 3 λ)＝(1－λ，2－2λ， 3 λ)， ∴M 的坐标(1－λ，2－2λ， 3 λ)，
N 在线段 SB 上，可设 N(0，y，0)，y∈[0，2]，
则N→M ＝(1－λ，2－2λ－y， 3 λ).
要使 MN⊥CD 且 MN⊥SB，则NN→ →MM· ·DB→→SC＝＝00，，
又B→S ＝(－1，－2， 3 )，D→C ＝(0，2，0)， 可得2－（（2－1－2λλ－）y－）2＝（02－2λ－y）＋3λ＝0 ， 解得 λ＝14 ∈[0，1]，y＝32 ∈[0，2]. 故存在 M，N 使 MN⊥CD 且 MN⊥SB， 其中 M 是线段 SB 靠近 B 的四等分点，N 是线段 CD 靠近 C 的四等分点．
∵PB⊄平面 EFG，∴PB∥平面 EFG.