离散时间信号的谱分析
连续
抽样 还原(有条件)
离散
自然抽样 (矩形抽样)
时域
理想抽样 (冲激抽样)
抽样
频域
第5章 离散时间傅立叶变换
一. 用信号的样本表示连续时间信号，唯一性问题 模 模 1. 抽样的目的及所遇到的问题： 拟 拟 信 信 抽 量 号 号 样 化 输 输 出 入 A/ D 数字信号 D/ A
转换器
处理器
转换器
1 j j 则：x[n] h[n] X (e ) H (e ) 2
j
j
第5章 离散时间傅立叶变换
作业：5-2,5-3,5-5
第5章 离散时间傅立叶变换
*时域理想抽样的傅立叶变换
x( t )
FT
0
1
p( ) s
X ( )
时 域 抽 样
P(t ) (1)
0
T (t )
j
2
X ( e ) e
j
jn
d
n
x[n]e
jn
重要结论: 周期 离散 非周期 连续
第5章 离散时间傅立叶变换
有限长序列的离散傅立叶变换(DFT)
1 x[n] N
N 1 n 0
N 1 k 0
x[k ]e
2 jk n N
x[k ] x[n]e
第5章 离散时间傅立叶变换
1 X p (w) Ts
k
X ( w kw )
s
上式表明：由周期冲激串进行抽样所得抽样信号的 频谱 X p ( w ) 是以 s 为周期重复 X ( w ) 如下图所示：
X ( )
X p ( )
1 Ts
m
m
s
m
s
抽样前信号频谱
快速傅立叶变换(FFT)
2 jk n N
算法
第5章 离散时间傅立叶变换
时域卷积定理
若： x[n] X (e ), h[n] H (e ) 则： x[n] h[n] X (e ) H (e )
j j
j
j
第5章 离散时间傅立叶变换
频域卷积定理
若： x[n] X (e ), h[n] H (e )
Ts
s 2m
0
Ts
t
s m
1 Ts
0
m s
s 2m
X 1 ( )
x( t )
0
s
0
1 Ts
s X 2 ( )
s
Ts
t
s 2m
s
0
第5章 离散时间傅立叶变换
三.时域抽样定理：设x(t)为一有限带宽信号，即： w wm
1 时，X(w)=0, 若按 ws 2wm或 Ts 的间隔对信号进 2 fm
0 0
x(t kT )
频域中抽样相当于的时域中x(t)的周期重复。
第5章 离散时间傅立叶变换
*频域抽样后的时间函数
X ( )
0
IFT
1
x( t )
tm
T (t ) 0
T0
( )
(1)
IFT
tm 0
1
T0
t t
t
0
0
0
~ X ( )
0
0
0
相 乘
卷 积
抽样后信号频谱
抽样信号的频谱图示
第5章 离散时间傅立叶变换
1 a . 若：w s 2w m 或 Ts , 则相邻X( w kw s )之间不 2 fm 会产生频率重叠失真。
Ts w w c 且w m w c w s w m H (w) w wc 0 该滤波器的输出即为 x( t )。
n
(t nTs )
t
FT
m 0 m
n
s
( n )
xs (t )
Ts
t
相 乘 相 卷
s
0
s
FT
0
1 Ts
X s ( )
频 域 周 期 重 复
t
s
0
s
m 4
图c
第5章 离散时间傅立叶变换
例5-3 一带限信号x(t)的频谱如图(a)所示，若此信号通 过图(b)所示系统，请画出B、C二点处的信号频谱
B( jw) C ( jw) 理想低通滤波器的转移函数为：
H ( jw ) u( w 15) u( w 15)
k
(t 0.05k )
时域卷积定理：
x( t ) x p ( t ) * h( t )
c x( nTs ) Sa[ c ( t nTs )] n
第5章 离散时间傅立叶变换
X p ( )
xp(t)
h(t) Ts
t
卷积
H(w) 1
m s
相乘
Ts x(t)
t
X ( )
c
t
Ts
行抽样，则x(t)可以由其样本x(nTs)唯一确定。
x(t ) x( t ) p( t ) h( t ) x( t ) 低通滤波器 p( t ) 1 a. f m 信号本身固有的， Ts 人为取的。 2 fm
b. 2 f m Nyquist Samplingrate奈奎斯特抽样率
数字信号处理系统简单框图
抽样：按一定的时间间隔对连续时间信号抽取样本 值，得到一离散的抽样信号。
第5章 离散时间傅立叶变换
P172 以周期矩形脉冲进行抽样(图5-1)
以周期冲激串进行抽样(图5-2)
抽样间隔太大的情况(图5-3)
问题:
1) 抽样后离散信号的频谱是什么样的？它与未被 取样的连续信号的频谱有什么关系？ 2)连续信号被取样后，是否保留了原信号的所有信 息？即在什么条件下，可以从取样的信号还原成原 始信号？
f (2t ) F1 ( )
1/ 2
－ m
m＝16
图b
第5章 离散时间傅立叶变换
1 f ( t ) F2 ( ) 2F ( 2 ),其图如c 2
1 F[f ( t )] F2 () 2
频 带 宽 度 为 m 4rad / s Nyquist角 频 率 w s 2 m 2 4 8rad / s ws 8 4 Nyquist频 率f s Hz 2 2 1 Nyquist间 隔Ts S fs 4
1
0
x( t )
tm
T0
0
0
IFT
0
第5章 离散时间傅立叶变换
*频域抽样定理
若信号 x ( t )为时限信号，它集中在 t m
tm
m
的时间范围内，若在频域中，以不大于 1 2t 的
频率间隔对 x ( t )的频谱X ( ) 进行抽样，则抽样 ~ 后的频谱 X ( w ) 可以唯一地表示原信号。
第5章 离散时间傅立叶变换
二. 抽样信号的频谱 抽样过程可以看成由原信号x(t)和一个单位冲激串p(t)的乘 积来描述。(冲激抽样或理想抽样)
x p ( t ) x(t ) p(t ) x( t ) (t nTs ) x(nTs ) ( t nTs )
n n
第5章 离散时间傅立叶变换
例5-1 一余弦信号的周期为T0，用Ts= T0/12的时间间隔
对它进行理想抽样，求抽样信号的频谱。
cos 0 t [ ( 0 ) ( 0 )]
F ( )
0
Fs ( )
/ Ts
0
s
第5章 离散时间傅立叶变换
解: cos0t [ ( 0 ) ( 0 )]
,
,
第5章 离散时间傅立叶变换
周期离散信号的离散傅立叶级数(DTFS)
2 jk n N
x[n] 1 ck N
k N
c e
k
n N
x[n]e
2 jk n N
第5章 离散时间傅立叶变换
非周期离散信号的离散时间傅立叶变换(DTFT)
1 x[n] 2
X (e )
第5章 离散时间傅立叶变换
第五章 离散时间傅立叶变换 离散时间信号的谱分析
•时域抽样定理 •频域抽样定理 •离散傅立叶级数 •离散时间傅立叶变换及其性质(DTFT)
•离散傅立叶变换(DFT)，快速傅立叶变换(FFT)
•时域卷积定理，频域卷积定理
第5章 离散时间傅立叶变换
5-2 连续时间信号的离散化，时域抽样定理
结论：
b.将抽样信号x p ( t )通过一低通滤波器，该 滤波器的响应为：
c .抽样定理：一个连续信 号一般不能由其样本 唯一确定
，但在有限带宽的特定 情况下，按高于最高频 率两倍对
其进行抽样，则抽样后 的信号通过理想低通滤 波器后就
能恢复原始信号。
第5章 离散时间傅立叶变换
d.不满足抽样定理时产生频率混叠现象 X s ( ) 1 x( t )
s
) 频域周期 ( s )
2 时域周期 (T0 ) 频 域 离 散 ( 0 ) T0
第5章 离散时间傅立叶变换
抽样定理小结
时域对 x( t )抽样等效于频域对X ( 重复 )
时间间隔不大于
1 2 fm
。
x( t ) 重复 频域对 X ( 抽样等效于时域对 )
频率间隔不大于 1 2t 。 m 满足抽样定理，则不会产生混叠。
对它进行抽样，也就是 使其频谱进行以 T0 2π 24π ωs 12ω0(Ts ) Ts T0 12 为频域周期的周期性延 拓。
实验二FFT实现信号频谱分析
0
2
4
6
4
2
0
-2
-4
-6
-4
-20246四、试验环节
4. 试验内容2旳程序运营成果如下图所示：
60
30
40
20
20
10
0
0
-10 -5
0
5
10
-40 -20
0
20 40
30
80
60 20
40 10
20
0
-40 -20
0
20 40
0
-40 -20
0
20 40
四、试验环节
|X(k)| x(n)
5. 试验内容 3旳程序运营成果如下图所示：
fft 计算迅速离散傅立叶变换
fftshift
ifft
调整fft函数旳输出顺序，将零频 位置移到频谱旳中心
计算离散傅立叶反变换
fft函数：调用方式如下
y=fft(x)：计算信号x旳迅速傅立叶变换y。当x旳长度为 2旳幂时，用基2算法，不然采用较慢旳分裂基算法。
y=fft(x,n)：计算n点FFT。当length(x)>n时，截断x，不 然补零。
【例2-11】产生一种正弦信号频率为60Hz，并用fft函数 计算并绘出其幅度谱。
fftshift函数：调用方式如下 y=fftshift(x)：假如x为向量，fftshift(x)直接将x旳左右两 部分互换；假如x为矩阵（多通道信号），将x旳左上、右 下和右上、左下四个部分两两互换。 【例2-12】产生一种正弦信号频率为60Hz,采样率为1000Hz, 用fftshift将其零频位置搬到频谱中心。
以上就是按时间抽取旳迅速傅立叶变换
第三章 离散时间信号的频域分析_20111910119
-4-3-2-10123402468H(e j ω)的实部ω/π振幅-4-3-2-101234-4-2024H(e j ω)的虚部ω/π振幅-4-3-2-1123402468｜H(e j ω)｜幅度谱ω/π振幅-4-3-2-11234-2-1012相位谱[H(e j ω)]ω/π以弧度为单位的相位第三章 离散时间信号的频域分析学院:信息学院 专业：通信工程 姓名：马正智 学号：20111910119一、实验目的1、理解和掌握基于MATLAB 仿真研究离散时间傅里叶变换的时移性质；2、理解和掌握基于MATLAB 仿真研究离散时间傅里叶变换的频移性质；3、理解和掌握基于MATLAB 仿真研究离散时间傅里叶变换的卷积性质；4、理解和掌握基于MATLAB 仿真研究离散时间傅里叶变换的调制性质；5、理解和掌握基于MATLAB 仿真研究离散时间傅里叶变换的反转性质。
二、实验内容1、离散时间傅里叶变换Q3.1 在程序P3.1中，计算离散时间傅里叶变换的原始序列是什么？MATLAB 命令pause 的作用是什么？答：离散时间傅里叶变换的原始序列：ωωωj j j e e e H ---+=6.012)(；MATLAB 命令pause 的作用：程序执行到此命令时，图像显示到此停顿，点击键盘任意键，程序继续执行画出后面的图形。
Q3.2 运行程序P3.1，求离散时间傅里叶变换的实部、虚部以及幅度和相位普。
离散时间傅里叶变换是ω的周期函数吗？若是，周期是多少？描述这四个图形表示的对称性。
图Q3.2-1 图Q3.2-2答：离散时间傅里叶变换是ω的周期函数，周期为π2；四个图形表示偶—奇对称性。
Q3.3 修改程序P3.1，在范围πω≤≤0内计算如下序列的离散时间傅里叶变换：ωωωωωωω32327.05.03.013.05.07.0)(j j j j j j j e e e e e e e U ------+-+++-=0.10.20.30.40.50.60.70.80.911111｜H(e j ω)｜幅度谱ω/π振幅0.10.20.30.40.50.60.70.80.91-4-2024相位谱[H(e j ω)]ω/π以弧度为单位的相位0.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1-0.500.51H(e j ω)的实部ω/π振幅0.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1-0.500.51H(e j ω)的虚部ω/π振幅0.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1-0.500.51H(e j ω)的实部ω/π振幅0.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1-0.500.51H(e j ω)的虚部ω/π振幅0.10.20.30.40.50.60.70.80.911111｜H(e j ω)｜幅度谱ω/π振幅00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-6-4-20相位谱[H(e j ω)]ω/π以弧度为单位的相位并重做习题Q3.2。
数字信号处理-实验二-FFT频谱分析
实验三：用FFT对信号作频谱分析10.3.1实验指导1.实验目的学习用FFT对连续信号和时域离散信号进行谱分析的方法，了解可能出现的分析误差及其原因，以便正确应用FFT。
2.实验原理用FFT对信号作频谱分析是学习数字信号处理的重要内容。
经常需要进行谱分析的信号是模拟信号和时域离散信号。
对信号进行谱分析的重要问题是频谱分辨率D和分析误差。
频谱分辨率直接和FFT的变换区间N有关，因为FFT能够实现的频率分辨率是2 /N，因此要求2 /N D。
可以根据此式选择FFT的变换区间N。
误差主要来自于用FFT作频谱分析时，得到的是离散谱，而信号(周期信号除外)是连续谱，只有当N较大时离散谱的包络才能逼近于连续谱，因此N要适当选择大一些。
周期信号的频谱是离散谱，只有用整数倍周期的长度作FFT，得到的离散谱才能代表周期信号的频谱。
如果不知道信号周期，可以尽量选择信号的观察时间长一些。
对模拟信号进行谱分析时，首先要按照采样定理将其变成时域离散信号。
如果是模拟周期信号，也应该选取整数倍周期的长度，经过采样后形成周期序列，按照周期序列的谱分析进行。
3•实验步骤及内容(1)对以下序列进行谱分析。
X1 (n) RHn)n 1, 0 n 3X2 (n) 8 n, 4 n 70 ,其它n4 n, 0 n 3X3( n) n 3, 4 n 70, 其它n选择FFT的变换区间N为8和16两种情况进行频谱分析。
分别打印其幅频特性曲线。
并进行对比、分析和讨论。
(2)对以下周期序列进行谱分析。
x4(n) cos—n44x5(n) cos( n/4) cos( n/8)选择FFT的变换区间N为8和16两种情况分别对以上序列进行频谱分析。
分别打印其幅频特性曲线。
并进行对比、分析和讨论。
(3)对模拟周期信号进行谱分析x6(t) cos8 t cos16 t cos20 t选择采样频率F s 64Hz ，变换区间N=16,32,64 三种情况进行谱分析。
MATLAB离散信号的产生和频谱分析实验报告
MATLAB离散信号的产⽣和频谱分析实验报告实验⼀离散信号的产⽣和频谱分析⼀、实验⽬的仿真掌握采样定理。
学会⽤FFT 进⾏数字谱分析。
掌握FFT 进⾏数字谱分析的计算机编程实现⽅法。
培养学⽣综合分析、解决问题的能⼒，加深对课堂内容的理解。
⼆、实验要求掌握采样定理和数字谱分析⽅法；编制FFT 程序；完成正弦信号、线性调频信号等模拟⽔声信号的数字谱分析；三、实验内容单频脉冲（CWP ）为)2e xp()()(0t f j T t rec t t s π=。
式中，)(Ttrect 是矩形包络，T 是脉冲持续时间，0f 是中⼼频率。
矩形包络线性调频脉冲信号（LFM ）为)]21(2exp[)()(20Mt t f j Ttrect t s +=π。
式中，M 是线性调频指数。
瞬时频率Mt f +0是时间的线性函数，频率调制宽度为MT B =。
设参数为kHz f 200=，ms T 50=，kHz B 10=，采样频率kHz f s 100=。
1．编程产⽣单频脉冲、矩形包络线性调频脉冲。
2．编程实现这些信号的谱分析。
3．编程实现快速傅⽴叶变换的逆变换。
四、实验原理1、采样定理所谓抽样，就是对连续信号隔⼀段时间T 抽取⼀个瞬时幅度值。
在进⾏模拟/数字信号的转换过程中，当采样频率fs ⼤于信号中最⾼频率f 的2倍时(fs>=2f)，采样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息，⼀般实际应⽤中保证采样频率为信号最⾼频率的5～10倍；采样定理⼜称奈奎斯特定理。
2、离散傅⾥叶变换（FFT ）长度为N 的序列()x n 的离散傅⽴叶变换()X k 为：10()(),0,....,1N nkN n X k x n W k N -===-∑N 点的DFT 可以分解为两个N/2点的DFT ，每个N/2点的DFT ⼜可以分解为两个N/4点的DFT 。
依此类推，当N 为2的整数次幂时（2MN =），由于每分解⼀次降低⼀阶幂次，所以通过M 次的分解，最后全部成为⼀系列2点DFT 运算。
离散时间信号与离散时间系统
§7-1 概述一、 离散时间信号与离散时间系统离散时间信号：只在某些离散的时间点上有值的信号。
离散时间系统：处理离散时间信号的系统。
混合时间系统：既处理离散时间信号，又处理连续时间信号的系统。
二、 连续信号与离散信号连续信号可以转换成离散信号，从而可以用离散时间系统（或数字信号处理系统）进行处理：三、 离散信号的表示方法：1、 时间函数：f(k)<——f(kT)，其中k 为序号，相当于时间。
例如：)1.0sin()(k k f =2、 （有序）数列：将离散信号的数值按顺序排列起来。
例如：f(k)={1,0.5,0.25,0.125,……,}时间函数可以表达任意长（可能是无限长）的离散信号，可以表达单边或双边信号，但是在很多情况下难于得到；数列的方法表示比较简单，直观，但是只能表示有始、有限长度的信号。
四、 典型的离散时间信号1、 单位样值函数：⎩⎨⎧==其它001)(k k δ下图表示了)(n k -δ的波形。
连续信号离散信号 数字信号 取样量化这个函数与连续时间信号中的冲激函数)(t δ相似，也有着与其相似的性质。
例如：)()0()()(k f k k f δδ=， )()()()(000k k k f k k k f -=-δδ。
2、 单位阶跃函数：⎩⎨⎧≥=其它001)(k k ε这个函数与连续时间信号中的阶跃函数)(t ε相似。
用它可以产生（或表示）单边信号（这里称为单边序列）。
3、 单边指数序列：)(k a k ε比较：单边连续指数信号：)()()(t e t e t a at εε=，其底一定大于零，不会出现负数。
4、 单边正弦序列：)()cos(0k k A εφω+(a) 0.9a = (d) 0.9a =-(b) 1a = (e) 1a =-(c) 1.1a = (f) 1.1a =-双边正弦序列：)cos(0φω+k A五、 离散信号的运算1、 加法：)()()(21k f k f k f +=<—相同的k 对应的数相加。
《信号与系统》离散信号的频域分析实验报告
信息科学与工程学院《信号与系统》实验报告四专业班级电信 09－班姓名学号实验时间 2011 年月日指导教师陈华丽成绩实验名称离散信号的频域分析实验目的1. 掌握离散信号谱分析的方法：序列的傅里叶变换、离散傅里叶级数、离散傅里叶变换、快速傅里叶变换，进一步理解这些变换之间的关系；2. 掌握序列的傅里叶变换、离散傅里叶级数、离散傅里叶变换、快速傅里叶变换的Matlab实现；3. 熟悉FFT算法原理和FFT子程序的应用。
4. 学习用FFT对连续信号和离散信号进行谱分析的方法，了解可能出现的分析误差及其原因，以便在实际中正确应用FFT。
实验内容1.对连续信号)()sin()(0tutAetx taΩα-=（128.444=A，πα250=，πΩ250=）进行理想采样，可得采样序列50)()sin()()(0≤≤==-nnunTAenTxnx nTaΩα。
图1给出了)(txa的幅频特性曲线，由此图可以确定对)(txa采用的采样频率。
分别取采样频率为1KHz、300Hz和200Hz，画出所得采样序列)(nx的幅频特性)(ωj eX。
并观察是否存在频谱混叠。
图1 连续信号)()sin()(0tutAetx taΩα-=2. 设)52.0cos()48.0cos()(nnnxππ+=（1）取)(nx（100≤≤n）时，求)(nx的FFT变换)(kX，并绘出其幅度曲线。
（2）将(1)中的)(nx以补零方式加长到200≤≤n，求)(kX并绘出其幅度曲线。
（3）取)(nx（1000≤≤n），求)(kX并绘出其幅度曲线。
（4）观察上述三种情况下，)(nx的幅度曲线是否一致？为什么？3. （1）编制信号产生子程序，产生以下典型信号供谱分析用。
11,03()8,470,n nx n n nn+≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其它2()cos4x n nπ=3()sin8x n nπ=4()cos8cos16cos20x t t t tπππ=++10.80.60.40.20100200300400500xa(jf)f /Hz（2）对信号1()x n ，2()x n ，3()x n 进行两次谱分析，FFT 的变换区间N 分别取8和16，观察两次的结果是否一致？为什么？（3）连续信号4()x n 的采样频率64s f Hz =，16,32,64N =。
离散时间傅立叶变换(DTFT)
| X (e j ) | sin(N / 2) sin( / 2)
arg[ X (e j )] (N 1) arg[sin(N / 2)]
2
sin( / 2)
当N＝4时，序列x(n)及其幅度谱与相位谱如下图示。
程序清单
clc; clear; y=[1 1 1 1]; x=0; n=[0:3]; w=0:0.01:2*pi; subplot(311); stem(n,y); xlabel('n'); ylabel('x(n)'); for n=0:3
xe (n) xe (n)
xo (n) xo(n)
xe (n)
1 2
[x(n)
x(n)]
xo (n)
1 2
[x(n)
x(n)]
（4）对序列x(n)旳X(ejω)
X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)
Xe(ejω)=X*e(e-jω) Xo(ejω)=-X*o(e-jω)
X e (e j
)
对比上面两公式， 左边相等， 所以得到 xer(n)=xer(-n) xei(n)=-xei(-n)
（2）共轭反对称序列： 若满足下式： xO(n)=-x*O(-n) 则称xO(n)为共轭反对称序列。
共轭反对称序列旳性质：实部是奇函数， 虚部是偶函数。
例：共轭对称序列 共轭反对称序列
5－j －5＋j
d
5、时域卷积定理
设
y(n)=x(n)*h(n),
则 Y(ejω)=X(ejω)·H(ejω)
时域卷积， 频域乘法
证明：
令k=n-m
y(n) x(m)h(n m)
m
Y (e j ) FT[ y(n)]
离散傅里叶变换DFT分析信号频谱
1 X (e j ) X [ j ( nsam )] T n
综合两式，连续信号的频谱与DFT的关系为：
sam m 1 1 ~ ~ DFT{xN [k ]RN (k )} X [ j ( nsam )] X sam ( j ) T n T N
表明，DFT计算出的频谱是连续信号频谱周期化后的抽样值， 其抽样间隔为 sam / N
DFT分析信号频谱
利用DFT分析连续非周期信号的频谱
X ( j )
A
m
m
~[m ] X
A T
X[m]与X(jw)对应关系： sam 0m(N/21)， N m m 0,1,, N / 2 1; sam sam m sam (m N ) N/2mN-1， N N m N / 2，N / 2 1 ， ，N 1.
e
j
N 1 2
WN (e jΩ )
主瓣
N
Δ w 2 π / N
旁瓣
Δ 4 π / N
旁瓣
π
2π N
0
2π N
4π N
π
Ω
1 0 k N 矩形窗：w[k ] 0 其他
在主瓣处有一个峰值，表示其主要是由直流分量 组成。由于矩形窗函数在其两个端点的突然截断， 使得频谱中存在许多高频分量。
时域波形
20 15
幅度频谱
10 5 0 -1 -0.5 0 0.5 1
DFT分析信号频谱
混叠现象、泄漏现象、栅栏现象
2. 泄漏现象：选择合适的窗函数 窗函数三： 汉明窗（Hamming）
0.54 0.46 cos(2πk / N ) w[k ] 0
实验四 离散时间系统的频域分析
实验四 离散时间系统的频域分析1.实验目的（1）理解和加深傅里叶变换的概念及其性质。
（2）离散时间傅里叶变换(DTFT)的计算和基本性质。
（3）离散傅里叶变换(DFT)的计算和基本性质。
2.实验原理对离散时间信号进行频域分析，首先要对其进行傅里叶变换，通过得到的频谱函数进行分析。
离散时间傅里叶变换(DTFT ，Discrete-time Fourier Transform)是傅立叶变换的一种。
它将以离散时间nT （其中，T 为采样间隔）作为变量的函数（离散时间信号）f (nT )变换到连续的频域，即产生这个离散时间信号的连续频谱()iw F e ，其频谱是连续周期的。
设连续时间信号f (t )的采样信号为：()()()sp n f t t nT f nT d ¥=-=-å，并且其傅里叶变换为：()()(){}sp n iwt f t f nT t nT dt e d ¥¥-=---=åòF 。
这就是采样序列f(nT)的DTFT:：()()iwTinwT DTFT n F ef nT e ¥-=-=å,为了方便，通常将采样间隔T 归一化，则有：()()iwinw DTFT n F ef n e ¥-=-=å，该式即为信号f(n)的离散时间傅里叶变换。
其逆变换为：()1()2iw DTFT inw F e dw f n e ppp-=ò。
长度为N 的有限长信号x(n)，其N 点离散傅里叶变换为：1()[()]()knNN n X k DFT x n x n W -===å。
X(k)的离散傅里叶逆变换为：101()[()]()knN N k x n IDFT X k X k W N --===å。
DTFT 是对任意序列的傅里叶分析，它的频谱是一个连续函数；而DFT 是把有限长序列作为周期序列的一个周期，对有限长序列的傅里叶分析，DFT 的特点是无论在时域还是频域都是有限长序列。
数字信号处理实验三：离散时间信号的频域分析
实验三：离散时间信号的频域分析一．实验目的1．在学习了离散时间信号的时域分析的基础上，对这些信号在频域上进行分析，从而进一步研究它们的性质。
2．熟悉离散时间序列的3种表示方法：离散时间傅立叶变换（DTFT）,离散傅立叶变换（DFT）和Z变换。
二．实验相关知识准备1．用到的MATLAB命令运算符和特殊字符：< > .* ^ .^语言构造与调试：error function pause基本函数：angle conj rem数据分析和傅立叶变换函数：fft ifft max min工具箱：freqz impz residuez zplane三．实验内容1．离散傅立叶变换在MATLAB中，使用fft可以很容易地计算有限长序列x[n]的离散傅立叶变换。
此函数有两种形式：y=fft(x)y=fft(x,n) 求出时域信号x的离散傅立叶变换n为规定的点数，n的默认值为所给x的长度。
当n取2的整数幂时变换的速度最快。
通常取大于又最靠近x的幂次。
（即一般在使用fft函数前用n=2^nextpow2(length(x))得到最合适的n)。
当x的长度小于n时，fft函数在x的尾部补0，以构成长为n点数据。
当x的长度大于n时，fft函数将序列x截断，取前n点。
一般情况下，fft求出的函数多为复数，可用abs及angle分别求其幅度和相位。
注意：栅栏效应，截断效应（频谱泄露和谱间干扰），混叠失真例3－1：fft函数最通常的应用是计算信号的频谱。
考虑一个由100hz和200hz正弦信号构成的信号，受零均值随机信号的干扰，数据采样频率为1000hz。
通过fft函数来分析其信号频率成分。
t=0:0.001:1;%采样周期为0.001s，即采样频率为1000hzx=sin(2*pi*100*t)+sin(2*pi*200*t)+1.5*rand(1,length(t));%产生受噪声污染的正弦波信号subplot(2,1,1);plot(x(1:50));%画出时域内的信号y=fft(x,512);%对x进行512点的fftf=1000*(0:256)/512;%设置频率轴（横轴）坐标，1000为采样频率subplot(2,1,2);plot(f,y(1:257));%画出频域内的信号实验内容3－2：频谱泄漏和谱间干扰假设现有含有三种频率成分的信号x(t)=cos(200πt)+sin(100πt)+cos(50πt)用DFT分析x(t)的频谱结构。