2016年辽宁省大连八中、二十四中联考高考数学模拟试卷(文科)(解析版)
2016年辽宁省大连市高考数学一模试卷(文科)
2016年省市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）集合A={x|﹣1＜x＜3}，集合B={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B=（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，3）D．（﹣1，3）2．（5分）设复数z1，z2在复平面对应的点关于虚轴对称，且z1=2+i，则z2=（）A．2+i B．﹣2+i C．2﹣i D．﹣2﹣i3．（5分）已知向量=（2，﹣1），=（0，1），则|+2|=（）A．2B．C．2 D．44．（5分）已知函数，则=（）A．4 B．C．﹣4 D．5．（5分）某集团为了解新产品的销售情况，销售部在3月1日至3月5日连续五天对某个大型批发市场中该产品一天的销售量及其价格进行了调査，其中该产品的价格（元）与销售量y（万件）的统计资料如表所示：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日价格x（元）99.51010.511销售量y（万件）1110865已知销售量y（万件）与价格x（元）之间具有线性相关关系，其回归直线方程为：=x+40．若该集团将产品定价为10.2元，预测该批发市场的日销售量约为（）A．7.66万件B．7.86万件C．8.06万件D．7.36万件6．（5分）已知tanα=2，α为第一象限角，则sin2α的值为（）A． B．C．D．7．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是棱CD上一点，则三棱锥P﹣A1B1A的左视图可能为（）A．B．C．D．8．（5分）将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向右平移个单位后的图象关于y轴对称，则函数f（x）在上的最小值为（）A． B．C． D．9．（5分）见如图程序框图，若输入a=110011，则输出结果是（）A．51 B．49 C．47 D．4510．（5分）已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A． B．C．D．211．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间[0，+∞）上是增函数，则不等式＜f（1）的解集为（）A．（0，）B．（0，e）C．（，e）D．（e，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为．14．（5分）在椭圆+=1上有两个动点M、N，K（2，0）为定点，若=0，则的最小值为．15．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有顶点都在半径为1的球面上，当正三棱锥的体积最大时，该正三棱锥的高为．16．（5分）设G是一个非空集合，*是定义在G上的一个运算，如果满足下述四个条件（1）对于∀a，b∈G，都有a*b∈G；（2）对于∀a，b，c∈G，都有（a*b）*c=a*（b*c）；（3）对于∀a∈G，∃e∈G，使得 a*e=e*a=a；（4）对于∀a∈G，∃a′∈G，使得a*a′=a′*a=e则称G关于运算*构成一个群．现给出下列集合和运箅①G是整数集合，*为加法；②G是奇数集合，*为乘法；③G是平面向量集合，*为数量积运算；④G是非零复数集合，*为乘法，其中G关于运算*构成群的序号是（将你认为正确的序号都填上）．三、解答题（本题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知等差数列{an }的前n项和为Sn，且S4=4（a3+1），3a3=5a4，数列{bn }是等比数列，且b1b2=b3，2b1=a5．（Ⅰ）求数列{an }，{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|an |}的前n项和Tn．18．（12分）某小学为迎接校运动会的到来，在三年级招募了16名男志愿者和14名女志愿者．调查发现，男、女志愿者中分别各有10人和6人喜欢运动，其他人员不喜欢运动．（Ⅰ）根据以上数据完成以下2×2列联表：喜欢运动不喜欢运动总计男a=b=女c=d=总计n=（Ⅱ）判断性别与喜欢运动是否有关，并说明理由．（Ⅲ）如果喜欢运动的女志愿者中恰有4人懂得医疗救护，现从喜欢运动的女志愿者中抽取2名负责医疗救护工作，求抽出的2名志愿者都懂得医疗救护的概率．附：临界值表（部分）：P（χ2≥x）0.0500.0250.0100.001x3.841 5.024 6.63510.82819．（12分）已知等腰梯形ABCD（如图（1）所示），其中AB∥CD，E，F分別为AB和CD的中点，且AB=EF=2，CD=6，M为BC中点．现将梯形ABCD沿着EF所在直线折起，使平面EFCB⊥平面EFDA（如图（2）所示），N是线段CD上一动点，且CN=ND．（1）求证：MN∥平面 EFDA；（2）求三棱锥A﹣MNF的体积．20．（12分）已知动点P在抛物线x2=2y上，过点P作x轴的垂线，垂足为H，动点Q满足=．（1）求动点Q的轨迹E的方程；（2）点M（﹣4，4），过点N（4，5）且斜率为k的直线交轨迹E于A、B两点，设直线MA、MB的斜率分别为k1、k2，求k1•k2的值．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）若函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，数a的取值围；（Ⅱ）当a=1时，函数有两个零点x1，x2，且x1＜x2．求证：x 1+x2＞1．选做题（请考生在22、23中任选一题作答，如果多做.则按所做的第一题记分.作答时.用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.）[选修4-1：几何证明选讲][选修4-4:坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，巳知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，点F的极坐标为（2，π），且F在直线l上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点，求|FA|•丨FB丨的值；（Ⅱ）求曲线C接矩形周长的最大值．[选修4-5:不等式选讲]23．已知∃x∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，试求m+n的最小值．2016年省市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）（2016•一模）集合A={x|﹣1＜x ＜3}，集合B={x|﹣1＜x ＜2}，则A ∩B=（ ）A ．（1，2）B ．（﹣1，2）C ．（1，3）D ．（﹣1，3） 【分析】由A 与B ，求出两集合的交集即可．【解答】解：集合A={x|﹣1＜x ＜3}=（﹣1，3），集合B={x|﹣1＜x ＜2}=（﹣1，2），则A ∩B=（﹣1，2）， 故选：B ．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2016•三模）设复数z 1，z 2在复平面对应的点关于虚轴对称，且z 1=2+i ，则z 2=（ ）A ．2+iB ．﹣2+iC ．2﹣iD ．﹣2﹣i【分析】由z 1得到z 1在复平面对应的点的坐标，结合题意求得z 2在复平面对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：∵z 1=2+i ，∴z 1在复平面对应点的坐标为（2，1），由复数z 1，z 2在复平面对应的点关于虚轴对称，可知z 2在复平面对应的点的坐标为（﹣2，1）， ∴z 2=﹣2+i ， 选：B ．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．（5分）（2016•一模）已知向量=（2，﹣1），=（0，1），则|+2|=（ ）A．2B．C．2 D．4【分析】直接利用向量的坐标运算以及向量的模求解即可．【解答】解：向量=（2，﹣1），=（0，1），则|+2|=|（2，1）|=．故选：B．【点评】本题考查向量的坐标运算，向量的模的求法，考查计算能力．4．（5分）（2016•一模）已知函数，则=（）A．4 B．C．﹣4 D．【分析】由分段函数及复合函数知，从向外依次代入求值即可．=﹣2，【解答】解：f（）=log5=f（﹣2）=，故选：B．【点评】本题考查了分段函数与复合函数的应用及学生的化简运算能力的应用．5．（5分）（2016•一模）某集团为了解新产品的销售情况，销售部在3月1日至3月5日连续五天对某个大型批发市场中该产品一天的销售量及其价格进行了调査，其中该产品的价格（元）与销售量y（万件）的统计资料如表所示：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日价格x（元）99.51010.511销售量y（万件）1110865已知销售量y（万件）与价格x（元）之间具有线性相关关系，其回归直线方程为：=x+40．若该集团将产品定价为10.2元，预测该批发市场的日销售量约为（）A．7.66万件B．7.86万件C．8.06万件D．7.36万件【分析】求出样本中心，代入回归方程得出b，从而得出回归方程，令x=10.2计算销售量y．【解答】解：==10，=8，∴8=10+40，解得=﹣3.2．∴回归直线方程为=﹣3.2x+40．当x=10.2时，=﹣3.2×10.2+40=7.36．故选D．【点评】本题考查了线性回归方程的求解及应用，属于基础题．6．（5分）（2016•一模）已知tanα=2，α为第一象限角，则sin2α的值为（）A． B．C．D．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα、cosα的值，再利用二倍角公式，求得sin2α的值．【解答】解：由tanα=2=，α为第一象限角，sin2α+cos2α=1，∴，，所以，故选：C．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．7．（5分）（2016•一模）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是棱CD上一点，则三棱锥P﹣A1B1A的左视图可能为（）A．B．C．D．【分析】直接利用三视图的定义，判断选项即可．【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥P﹣A1B1A的左视图中，B1、A1、A的射影分别是C1、D1、D．故选D．【点评】本题考查三视图的作法，基本知识的考查，8．（5分）（2016•一模）将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向右平移个单位后的图象关于y轴对称，则函数f（x）在上的最小值为（）A． B．C． D．【分析】由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得，又图象关于y轴对称，结合围|φ|＜，解得φ，可得函数解析式，又由已知可得，利用正弦函数的图象和性质即可解得f（x）在上的最小值．【解答】解：∵由题，又∵图象关于y轴对称，∴依题，∴结合围|φ|＜，解得．这样，又∵x∈，∴，∴可得：，故选：D．【点评】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．9．（5分）（2016•三模）见如图程序框图，若输入a=110011，则输出结果是（）A．51 B．49 C．47 D．45【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，t=1，b=1，i=2，不满足退出循环的条件，第二次执行循环体后，t=1，b=3，i=3，不满足退出循环的条件，第三次执行循环体后，t=0，b=3，i=4，不满足退出循环的条件，第四次执行循环体后，t=0，b=3，i=5，不满足退出循环的条件，第五次执行循环体后，t=1，b=19，i=6，不满足退出循环的条件，第六次执行循环体后，t=1，b=51，i=7，满足退出循环的条件，故输出b值为51，故选：A．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10．（5分）（2016•一模）已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A． B．C．D．2【分析】设F（c，0），渐近线方程为y=x，运用点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为b，即为圆F的半径，再由MF垂直于x轴，可得a=b，运用a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用点到直线的距离公式，以及直线和圆相切的条件，考查运算能力，属于中档题．11．（5分）（2016•一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形【分析】根据正弦定理把等式acosA=bcosB的边换成角的正弦，再利用倍角公式化简整理得sin2A=sin2B，进而推断A=B，或A+B=90°答案可得．【解答】解：根据正弦定理可知∵bcosB=acosA，∴sinBcosB=sinAcosA∴sin2A=sin2B∴A=B，或2A+2B=180°即A+B=90°，即有△ABC为等腰或直角三角形．故选C．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，考查二倍角公式及诱导公式的运用，考查计算能力，属基础题．12．（5分）（2016•一模）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间[0，+∞）上是增函数，则不等式＜f（1）的解集为（）A．（0，）B．（0，e）C．（，e）D．（e，+∞）【分析】由f（x）为定义在R上的奇函数便可得到，从而由原不等式可得到|f（lnx）|＜f（1），进一步便得到f（﹣1）＜f（lnx）＜f（1），可以说明f（x）在R上单调递增，从而便得到﹣1＜lnx＜1，这样便可得出原不等式的解集．【解答】解：f（x）为定义在R上的奇函数；∴=f（lnx）+f（lnx）=2f（lnx）；∴由得，|f（lnx）|＜f（1）；∴﹣f（1）＜f（lnx）＜f（1）；即f（﹣1）＜f（lnx）＜f（1）；又f（x）在[0，+∞）上是增函数，∴f（x）在（﹣∞，0]上为增函数；∴f（x）在R上为增函数；∴﹣1＜lnx＜1；∴；∴原不等式的解集为．故选：C．【点评】考查奇函数的定义，对数的运算性质，以及绝对值不等式的解法，奇函数在对称区间上的单调性特点，以及增函数的定义，对数函数的单调性．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）（2016•一模）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为 4 ．【分析】画出满足条件的平面区域，结合图象求出z的最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，显然直线z=2x+y过（2，0）时，z最大，z的最大值是4．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．14．（5分）（2016•一模）在椭圆+=1上有两个动点M、N，K（2，0）为定点，若=0，则的最小值为．【分析】M在椭圆+=1上，可设M（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），则=•（﹣）=2﹣=2，运用两点的距离公式，配方运用余弦函数的值域，即可得到所求最小值．【解答】解：M在椭圆+=1上，可设M（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），则=•（﹣）=2﹣=2，由K（2，0），可得2=||2=（6cosα﹣2）2+（3sinα）2=27cos2α﹣24cosα+13=27（cosα﹣）2+，当cosα=时，2取得最小值，故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，考查椭圆的参数方程的运用，同时考查余弦函数的值域，属于中档题．15．（5分）（2016•一模）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有顶点都在半径为1的球面上，当正三棱锥的体积最大时，该正三棱锥的高为．【分析】设三棱柱的底面边长为a，用a表示三棱柱的底面边长和高，得出三棱柱的体积关于a的函数V（a），求出V的极大值点，计算棱柱的高．【解答】解：设正三棱柱的底面边长为a，则底面中心O到A的距离为OA==．∴棱柱的高h=2=2．∴正三棱柱的体积V=S△•h===≤1．ABC当且仅当即a=时取等号．此时h=2=2=．故答案为：．【点评】本题考查了棱柱与外接球的关系，棱柱的体积计算，基本不等式的应用，属于中档题．16．（5分）（2016•一模）设G是一个非空集合，*是定义在G上的一个运算，如果满足下述四个条件（1）对于∀a，b∈G，都有a*b∈G；（2）对于∀a，b，c∈G，都有（a*b）*c=a*（b*c）；（3）对于∀a∈G，∃e∈G，使得 a*e=e*a=a；（4）对于∀a∈G，∃a′∈G，使得a*a′=a′*a=e则称G关于运算*构成一个群．现给出下列集合和运箅①G是整数集合，*为加法；②G是奇数集合，*为乘法；③G是平面向量集合，*为数量积运算；④G是非零复数集合，*为乘法，其中G关于运算*构成群的序号是①④（将你认为正确的序号都填上）．【分析】逐一检验给出的集合与运算是否满足运算*构成群的定义中的两个条件，即可得出结论．【解答】解：①若G是整数集合，则（i）两个整数相加仍为整数；（ⅱ）整数加法满足结合律；（ iii）∃0∈G，∀a∈G，则）0+a=a+0=a；（ iv）∀a∈G，在整数集合中存在唯一一个b=﹣a，使a+（﹣a）=（﹣a）+a=0；故整数集合关于运算*构成一个群；②G是奇数集合，*为乘法，则e=1，不满足（ iv）；③G是平面向量集合，*为数量积运算，则不满足（i）a*b∈G；④G是非零复数集合，*为乘法，则（i）两个非零复数相乘仍为非零复数；（ⅱ）非零复数相乘符合结合律；（ iii）∃1∈G，∀a∈G，则）1×a=a×1=a；（ iv）∀a∈G，在G中存在唯一一个，使a×=×a=1．故答案为：①④．【点评】本题考查运算*构成群的定义，举反例可以证明命题为假，若证明命题为真，则需严格的证明．三、解答题（本题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）（2016•一模）已知等差数列{an }的前n项和为Sn，且S4=4（a3+1），3a3=5a4，数列{bn}是等比数列，且b1b2=b3，2b1=a5．（Ⅰ）求数列{an }，{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|an |}的前n项和Tn．【分析】（ I）通过令等差数列{an }的公差为d，联立S4=4（a3+1）、3a3=5a4，计算可得首项和公差，进而可得an =11﹣2n；通过令数列{bn}的公比为q，联立b 1b2=b3、2b1=a5，计算可知首项和公比，进而可得；（2）通过（I）知，，分n≤5与n≥6两种情况讨论即可．【解答】解：（ I）令等差数列{an}的公差为d，∵S4=4（a3+1），3a3=5a4，∴，解得，则an=11﹣2n；令数列{bn}的公比为q，∵b1b2=b3，2b1=a5，∴，解得，则；（2）通过（I）知，，于是．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（12分）（2016•一模）某小学为迎接校运动会的到来，在三年级招募了16名男志愿者和14名女志愿者．调查发现，男、女志愿者中分别各有10人和6人喜欢运动，其他人员不喜欢运动．（Ⅰ）根据以上数据完成以下2×2列联表：喜欢运动不喜欢运动总计男a=b=女c=d=总计n=（Ⅱ）判断性别与喜欢运动是否有关，并说明理由．（Ⅲ）如果喜欢运动的女志愿者中恰有4人懂得医疗救护，现从喜欢运动的女志愿者中抽取2名负责医疗救护工作，求抽出的2名志愿者都懂得医疗救护的概率．附：临界值表（部分）：）0.0500.0250.0100.001P（χ2≥x3.841 5.024 6.63510.828x【分析】（Ⅰ）根据2×2列联表可得表中的数据；（Ⅱ）求出χ2值，查表，与临界值比较，即可得出结论；（Ⅲ）列出所有的基本事件，由古典概型求概率．【解答】解：（Ⅰ）由已知得喜欢运动不喜欢运动总计男10616女6814总计161430（4分）（Ⅱ）假设：是否喜欢运动与性别无关，由已知数据可求得：χ2=≈1.1575＜3.841．（7分）因此，我们认为喜欢运动与性别无关．（8分）（Ⅲ）喜欢运动的女志愿者有6人，设分别为A、B、C、D、E、F，其中A、B、C、D懂得医疗救护，则从这6人中任取2人有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种取法，其中两人都懂得医疗救护的有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种．（10分）设“抽出的志愿者中2人都能胜任医疗救护工作”为事件A，则P（A）==．（12分）【点评】本题考查了独立性检验及古典概型的概率公式，考查学生的计算能力，属于基础题．19．（12分）（2016•一模）已知等腰梯形ABCD（如图（1）所示），其中AB∥CD，E，F分別为AB和CD的中点，且AB=EF=2，CD=6，M为BC中点．现将梯形ABCD 沿着EF所在直线折起，使平面EFCB⊥平面EFDA（如图（2）所示），N是线段CD 上一动点，且CN=ND．（1）求证：MN∥平面 EFDA；（2）求三棱锥A﹣MNF的体积．【分析】（1）由题意，得平面EFCB⊥平面EFDA，过M作MP⊥EF，得MP⊥平面EFDA，过点N作NQ⊥FD于点Q，连接PQ，由已知可得EF⊥平面CFD，进一步得到NQ⊥EF，而NQ⊥FD，得到NQ⊥平面EFDA，可得MP∥NQ，由CN=ND，求得NQ=MP，可得四边形MNQP 为平行四边形．则MN∥PQ，然后由线面平行的判定得MN∥平面EFDA；（2）延长DA，CB相交于一点H．由公理3可证DA，FE，CB交于一点H，求得，由平面几何知识得：，得到，利用等积法求得三棱锥A﹣MNF的体积．【解答】证明：（1）过点M作MP⊥EF于点P，过点N作NQ⊥FD于点Q，连接PQ 由题意，得平面EFCB⊥平面EFDA，又MP⊥EF，∴MP⊥平面EFDA，由EF⊥CF，EF⊥DF，CF∩DF=F，得EF⊥平面CFD，又NQ⊂平面CFD，∴NQ⊥EF，而NQ⊥FD，∴NQ⊥平面EFDA，∴MP∥NQ，又CN=ND，∴，，即MP∥NQ且MP=NQ，∴四边形MNQP为平行四边形．∴MN∥PQ，又∵MN⊄平面EFDA，PQ⊂平面EFDA，∴MN∥平面EFDA；解：（2）延长DA，CB相交于一点H．则H∈CB，H∈DA，又∵CB⊂平面FEBC，DA⊂平面FEAD，∴H∈平面FEBC，H∈平面FEAD，即H∈EF，∴DA，FE，CB交于一点H，∴，又由平面几何知识得：则，于是．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用等积法求棱锥的体积，训练了平面几何知识在求解立体几何问题中的应用，是中档题．20．（12分）（2016•一模）已知动点P在抛物线x2=2y上，过点P作x轴的垂线，垂足为H，动点Q满足=．（1）求动点Q的轨迹E的方程；（2）点M（﹣4，4），过点N（4，5）且斜率为k的直线交轨迹E于A、B两点，设直线MA、MB的斜率分别为k1、k2，求k1•k2的值．【分析】（1）设Q（x，y），则P（x，2y），代入x2=2y得出轨迹方程；（2）联立直线AB方程与Q的轨迹方程，得出A，B的坐标关系，代入斜率公式计算k1k2化简即可．【解答】解：（1）设点Q（x，y），由，则点P（x，2y），将点P（x，2y）代入x2=2y得x2=4y．∴动点Q的轨迹E的方程为x2=4y．（2）设过点N的直线方程为y=k（x﹣4）+5，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，得x2﹣4kx+16x﹣20=0，则．∵，∴=．【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，直线的斜率，属于中档题．21．（12分）（2016•宁城县模拟）已知函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）若函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，数a的取值围；（Ⅱ）当a=1时，函数有两个零点x1，x2，且x1＜x2．求证：x 1+x2＞1．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的单调性，分离参数a，问题转化为：当x＞1时恒成立，解出即可；（Ⅱ）求出个零点x1，x2，得到．构造函数，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（I）因为f（x）=lnx﹣ax，则，若函数f（x）=lnx﹣ax在（1，+∞）上单调递减，则1﹣ax≤0在（1，+∞）上恒成立，即当x＞1时恒成立，所以a≥1．（5分）（II）证明：根据题意，，因为x1，x2是函数的两个零点，所以，．两式相减，可得，（7分）即，故．那么，．令，其中0＜t＜1，则．构造函数，（10分）则．因为0＜t＜1，所以h'（t）＞0恒成立，故h（t）＜h（1），即．可知，故x1+x2＞1．（12分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查不等式的证明，是一道综合题．[选修4-4:坐标系与参数方程]23．（2016•一模）在平面直角坐标系中，巳知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，点F的极坐标为（2，π），且F在直线l上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点，求|FA|•丨FB丨的值；（Ⅱ）求曲线C接矩形周长的最大值．【分析】（I）求出曲线C的普通方程和焦点坐标，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程利用根与系数的关系和参数的几何意义得出；（II）设矩形的顶点坐标为，，由对称性可得椭圆C的接矩形的周长，求出此函数的最大值．【解答】解：（I）点F的极坐标为所以直角坐标为∴，∴曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，所以直角坐标方程为x2+3y2=12﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）将直线AB的参数方程是（t为参数）代入曲线C直角坐标方程中可得t2﹣2t﹣2=0所以|FA|•|FB|=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）设椭圆C的接矩形在第一象限的顶点为，由对称性可得椭圆C的接矩形的周长为=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）当时，即时椭圆C的接矩形的周长取得最大值16．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，函数的最值，参数方程的几何意义，属于中档题．[选修4-5:不等式选讲]24．（2016•宁城县模拟）已知∃x∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t 成立．（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，试求m+n的最小值．【分析】（Ⅰ）根据绝对值的几何意义求出t的围即可；（Ⅱ）根据级别不等式的性质结合对数函数的性质求出m+n的最小值即可．【解答】解：（I）令f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣2|≥|x﹣1﹣x+2|=1≥t，∴T=（﹣∞，1]；（Ⅱ）由（I）知，对于∀t∈T，不等式•≥t恒成立，只需•≥tmax，所以•≥1，又因为m＞1，n＞1，所以＞0，＞0，又1≤•≤=（=时取“=”），所以≥4，所以≥2，mn≥9，所以m+n≥2≥6，即m+n的最小值为6（此时m=n=3）．【点评】本题考查了绝对值的几何意义，考查对数函数以及级别不等式的性质，是一道中档题．。
2016年辽宁省大连市高考数学一模试卷(文科)
2016年辽宁省大连市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）集合A={x|﹣1＜x＜3}，集合B={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B=（）A．（1，2） B．（﹣1，2）C．（1，3） D．（﹣1，3）2．（5分）设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=2+i，则z2=（）A．2+i B．﹣2+i C．2﹣i D．﹣2﹣i3．（5分）已知向量=（2，﹣1），=（0，1），则|+2|=（）A．2 B．C．2 D．44．（5分）已知函数，则=（）A．4 B．C．﹣4 D．5．（5分）某集团为了解新产品的销售情况，销售部在3月1日至3月5日连续五天对某个大型批发市场中该产品一天的销售量及其价格进行了调査，其中该产品的价格（元）与销售量y（万件）的统计资料如表所示：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日价格x（元）99.51010.511销售量y（万件）1110865已知销售量y（万件）与价格x（元）之间具有线性相关关系，其回归直线方程为：=x+40．若该集团将产品定价为10.2元，预测该批发市场的日销售量约为（）A．7.66万件B．7.86万件C．8.06万件D．7.36万件6．（5分）已知tanα=2，α为第一象限角，则sin2α的值为（）A．B．C．D．7．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是棱CD上一点，则三棱锥P﹣A1B1A的左视图可能为（）A．B．C．D．8．（5分）将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向右平移个单位后的图象关于y轴对称，则函数f（x）在上的最小值为（）A．B．C．D．9．（5分）见如图程序框图，若输入a=110011，则输出结果是（）A．51 B．49 C．47 D．4510．（5分）已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．211．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间[0，+∞）上是增函数，则不等式＜f（1）的解集为（）A．（0，）B．（0，e） C．（，e）D．（e，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为．14．（5分）在椭圆+=1上有两个动点M、N，K（2，0）为定点，若=0，则的最小值为．15．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有顶点都在半径为1的球面上，当正三棱锥的体积最大时，该正三棱锥的高为．16．（5分）设G是一个非空集合，*是定义在G上的一个运算，如果满足下述四个条件（1）对于∀a，b∈G，都有a*b∈G；（2）对于∀a，b，c∈G，都有（a*b）*c=a*（b*c）；（3）对于∀a∈G，∃e∈G，使得a*e=e*a=a；（4）对于∀a∈G，∃a′∈G，使得a*a′=a′*a=e则称G关于运算*构成一个群．现给出下列集合和运箅①G是整数集合，*为加法；②G是奇数集合，*为乘法；③G是平面向量集合，*为数量积运算；④G是非零复数集合，*为乘法，其中G关于运算*构成群的序号是（将你认为正确的序号都填上）．三、解答题（本题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4（a3+1），3a3=5a4，数列{b n}是等比数列，且b1b2=b3，2b1=a5．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n|}的前n项和T n．18．（12分）某小学为迎接校运动会的到来，在三年级招募了16名男志愿者和14名女志愿者．调查发现，男、女志愿者中分别各有10人和6人喜欢运动，其他人员不喜欢运动．（Ⅰ）根据以上数据完成以下2×2列联表：喜欢运动不喜欢运动总计男a=b=女c=d=总计n=（Ⅱ）判断性别与喜欢运动是否有关，并说明理由．（Ⅲ）如果喜欢运动的女志愿者中恰有4人懂得医疗救护，现从喜欢运动的女志愿者中抽取2名负责医疗救护工作，求抽出的2名志愿者都懂得医疗救护的概率．附：临界值表（部分）：P（χ2≥x0）0.0500.0250.0100.001x0 3.841 5.024 6.63510.82819．（12分）已知等腰梯形ABCD（如图（1）所示），其中AB∥CD，E，F分別为AB和CD的中点，且AB=EF=2，CD=6，M为BC中点．现将梯形ABCD沿着EF所在直线折起，使平面EFCB⊥平面EFDA（如图（2）所示），N是线段CD上一动点，且CN=ND．（1）求证：MN∥平面EFDA；（2）求三棱锥A﹣MNF的体积．20．（12分）已知动点P在抛物线x2=2y上，过点P作x轴的垂线，垂足为H，动点Q满足=．（1）求动点Q的轨迹E的方程；（2）点M（﹣4，4），过点N（4，5）且斜率为k的直线交轨迹E于A、B两点，设直线MA、MB的斜率分别为k1、k2，求k1•k2的值．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）若函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，函数有两个零点x1，x2，且x1＜x2．求证：x1+x2＞1．选做题（请考生在22、23中任选一题作答，如果多做.则按所做的第一题记分.作答时.用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.）[选修4-1：几何证明选讲][选修4-4:坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，巳知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，点F的极坐标为（2，π），且F在直线l上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点，求|FA|•丨FB丨的值；（Ⅱ）求曲线C内接矩形周长的最大值．[选修4-5:不等式选讲]23．已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，试求m+n 的最小值．2016年辽宁省大连市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）（2016•大连一模）集合A={x|﹣1＜x＜3}，集合B={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B=（）A．（1，2） B．（﹣1，2）C．（1，3） D．（﹣1，3）【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：集合A={x|﹣1＜x＜3}=（﹣1，3），集合B={x|﹣1＜x＜2}=（﹣1，2），则A∩B=（﹣1，2），故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2016•南昌三模）设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=2+i，则z2=（）A．2+i B．﹣2+i C．2﹣i D．﹣2﹣i【分析】由z1得到z1在复平面内对应的点的坐标，结合题意求得z2在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：∵z1=2+i，∴z1在复平面内对应点的坐标为（2，1），由复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，可知z2在复平面内对应的点的坐标为（﹣2，1），∴z2=﹣2+i，选：B．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．（5分）（2016•大连一模）已知向量=（2，﹣1），=（0，1），则|+2|=（）A．2 B．C．2 D．4【分析】直接利用向量的坐标运算以及向量的模求解即可．【解答】解：向量=（2，﹣1），=（0，1），则|+2|=|（2，1）|=．故选：B．【点评】本题考查向量的坐标运算，向量的模的求法，考查计算能力．4．（5分）（2016•大连一模）已知函数，则=（）A．4 B．C．﹣4 D．【分析】由分段函数及复合函数知，从内向外依次代入求值即可．【解答】解：f（）=log5=﹣2，=f（﹣2）=，故选：B．【点评】本题考查了分段函数与复合函数的应用及学生的化简运算能力的应用．5．（5分）（2016•大连一模）某集团为了解新产品的销售情况，销售部在3月1日至3月5日连续五天对某个大型批发市场中该产品一天的销售量及其价格进行了调査，其中该产品的价格（元）与销售量y（万件）的统计资料如表所示：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日价格x（元）99.51010.511销售量y（万件）1110865已知销售量y（万件）与价格x（元）之间具有线性相关关系，其回归直线方程为：=x+40．若该集团将产品定价为10.2元，预测该批发市场的日销售量约为（）A．7.66万件B．7.86万件C．8.06万件D．7.36万件【分析】求出样本中心，代入回归方程得出b，从而得出回归方程，令x=10.2计算销售量y．【解答】解：==10，=8，∴8=10+40，解得=﹣3.2．∴回归直线方程为=﹣3.2x+40．当x=10.2时，=﹣3.2×10.2+40=7.36．故选D．【点评】本题考查了线性回归方程的求解及应用，属于基础题．6．（5分）（2016•大连一模）已知tanα=2，α为第一象限角，则sin2α的值为（）A．B．C．D．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα、cosα的值，再利用二倍角公式，求得sin2α的值．【解答】解：由tanα=2=，α为第一象限角，sin2α+cos2α=1，∴，，所以，故选：C．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．7．（5分）（2016•大连一模）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是棱CD 上一点，则三棱锥P﹣A1B1A的左视图可能为（）A．B．C．D．【分析】直接利用三视图的定义，判断选项即可．【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥P﹣A1B1A的左视图中，B1、A1、A的射影分别是C1、D1、D．故选D．【点评】本题考查三视图的作法，基本知识的考查，8．（5分）（2016•大连一模）将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向右平移个单位后的图象关于y轴对称，则函数f（x）在上的最小值为（）A．B．C．D．【分析】由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得，又图象关于y轴对称，结合范围|φ|＜，解得φ，可得函数解析式，又由已知可得，利用正弦函数的图象和性质即可解得f（x）在上的最小值．【解答】解：∵由题，又∵图象关于y轴对称，∴依题，∴结合范围|φ|＜，解得．这样，又∵x∈，∴，∴可得：，故选：D．【点评】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．9．（5分）（2016•商丘三模）见如图程序框图，若输入a=110011，则输出结果是（）A．51 B．49 C．47 D．45【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，t=1，b=1，i=2，不满足退出循环的条件，第二次执行循环体后，t=1，b=3，i=3，不满足退出循环的条件，第三次执行循环体后，t=0，b=3，i=4，不满足退出循环的条件，第四次执行循环体后，t=0，b=3，i=5，不满足退出循环的条件，第五次执行循环体后，t=1，b=19，i=6，不满足退出循环的条件，第六次执行循环体后，t=1，b=51，i=7，满足退出循环的条件，故输出b值为51，故选：A．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10．（5分）（2016•大连一模）已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【分析】设F（c，0），渐近线方程为y=x，运用点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为b，即为圆F的半径，再由MF垂直于x轴，可得a=b，运用a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用点到直线的距离公式，以及直线和圆相切的条件，考查运算能力，属于中档题．11．（5分）（2016•大连一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形【分析】根据正弦定理把等式acosA=bcosB的边换成角的正弦，再利用倍角公式化简整理得sin2A=sin2B，进而推断A=B，或A+B=90°答案可得．【解答】解：根据正弦定理可知∵bcosB=acosA，∴sinBcosB=sinAcosA∴sin2A=sin2B∴A=B，或2A+2B=180°即A+B=90°，即有△ABC为等腰或直角三角形．故选C．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，考查二倍角公式及诱导公式的运用，考查计算能力，属基础题．12．（5分）（2016•大连一模）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间[0，+∞）上是增函数，则不等式＜f（1）的解集为（）A．（0，）B．（0，e） C．（，e）D．（e，+∞）【分析】由f（x）为定义在R上的奇函数便可得到，从而由原不等式可得到|f（lnx）|＜f（1），进一步便得到f（﹣1）＜f（lnx）＜f（1），可以说明f（x）在R上单调递增，从而便得到﹣1＜lnx＜1，这样便可得出原不等式的解集．【解答】解：f（x）为定义在R上的奇函数；∴=f（lnx）+f（lnx）=2f（lnx）；∴由得，|f（lnx）|＜f（1）；∴﹣f（1）＜f（lnx）＜f（1）；即f（﹣1）＜f（lnx）＜f（1）；又f（x）在[0，+∞）上是增函数，∴f（x）在（﹣∞，0]上为增函数；∴f（x）在R上为增函数；∴﹣1＜lnx＜1；∴；∴原不等式的解集为．故选：C．【点评】考查奇函数的定义，对数的运算性质，以及绝对值不等式的解法，奇函数在对称区间上的单调性特点，以及增函数的定义，对数函数的单调性．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）（2016•大连一模）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为4．【分析】画出满足条件的平面区域，结合图象求出z的最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，显然直线z=2x+y过（2，0）时，z最大，z的最大值是4．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．14．（5分）（2016•大连一模）在椭圆+=1上有两个动点M、N，K（2，0）为定点，若=0，则的最小值为．【分析】M在椭圆+=1上，可设M（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），则=•（﹣）=2﹣=2，运用两点的距离公式，配方运用余弦函数的值域，即可得到所求最小值．【解答】解：M在椭圆+=1上，可设M（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），则=•（﹣）=2﹣=2，由K（2，0），可得2=||2=（6cosα﹣2）2+（3sinα）2=27cos2α﹣24cosα+13=27（cosα﹣）2+，当cosα=时，2取得最小值，故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，考查椭圆的参数方程的运用，同时考查余弦函数的值域，属于中档题．15．（5分）（2016•大连一模）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有顶点都在半径为1的球面上，当正三棱锥的体积最大时，该正三棱锥的高为．【分析】设三棱柱的底面边长为a，用a表示三棱柱的底面边长和高，得出三棱柱的体积关于a的函数V（a），求出V的极大值点，计算棱柱的高．【解答】解：设正三棱柱的底面边长为a，则底面中心O到A的距离为OA==．∴棱柱的高h=2=2．∴正三棱柱的体积V=S△ABC•h===≤1．当且仅当即a=时取等号．此时h=2=2=．故答案为：．【点评】本题考查了棱柱与外接球的关系，棱柱的体积计算，基本不等式的应用，属于中档题．16．（5分）（2016•大连一模）设G是一个非空集合，*是定义在G上的一个运算，如果满足下述四个条件（1）对于∀a，b∈G，都有a*b∈G；（2）对于∀a，b，c∈G，都有（a*b）*c=a*（b*c）；（3）对于∀a∈G，∃e∈G，使得a*e=e*a=a；（4）对于∀a∈G，∃a′∈G，使得a*a′=a′*a=e则称G关于运算*构成一个群．现给出下列集合和运箅①G是整数集合，*为加法；②G是奇数集合，*为乘法；③G是平面向量集合，*为数量积运算；④G是非零复数集合，*为乘法，其中G关于运算*构成群的序号是①④（将你认为正确的序号都填上）．【分析】逐一检验给出的集合与运算是否满足运算*构成群的定义中的两个条件，即可得出结论．【解答】解：①若G是整数集合，则（i）两个整数相加仍为整数；（ⅱ）整数加法满足结合律；（iii）∃0∈G，∀a ∈G，则）0+a=a+0=a；（iv）∀a∈G，在整数集合中存在唯一一个b=﹣a，使a+（﹣a）=（﹣a）+a=0；故整数集合关于运算*构成一个群；②G是奇数集合，*为乘法，则e=1，不满足（iv）；③G是平面向量集合，*为数量积运算，则不满足（i）a*b∈G；④G是非零复数集合，*为乘法，则（i）两个非零复数相乘仍为非零复数；（ⅱ）非零复数相乘符合结合律；（iii）∃1∈G，∀a∈G，则）1×a=a×1=a；（iv）∀a∈G，在G中存在唯一一个，使a×=×a=1．故答案为：①④．【点评】本题考查运算*构成群的定义，举反例可以证明命题为假，若证明命题为真，则需严格的证明．三、解答题（本题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）（2016•大连一模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4（a3+1），3a3=5a4，数列{b n}是等比数列，且b1b2=b3，2b1=a5．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n|}的前n项和T n．【分析】（I）通过令等差数列{a n}的公差为d，联立S4=4（a3+1）、3a3=5a4，计算可得首项和公差，进而可得a n=11﹣2n；通过令数列{b n}的公比为q，联立b1b2=b3、2b1=a5，计算可知首项和公比，进而可得；（2）通过（I）知，，分n≤5与n≥6两种情况讨论即可．【解答】解：（I）令等差数列{a n}的公差为d，∵S4=4（a3+1），3a3=5a4，∴，解得，则a n=11﹣2n；令数列{b n}的公比为q，∵b1b2=b3，2b1=a5，∴，解得，则；（2）通过（I）知，，于是．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（12分）（2016•大连一模）某小学为迎接校运动会的到来，在三年级招募了16名男志愿者和14名女志愿者．调查发现，男、女志愿者中分别各有10人和6人喜欢运动，其他人员不喜欢运动．（Ⅰ）根据以上数据完成以下2×2列联表：喜欢运动不喜欢运动总计男a=b=女c=d=总计n=（Ⅱ）判断性别与喜欢运动是否有关，并说明理由．（Ⅲ）如果喜欢运动的女志愿者中恰有4人懂得医疗救护，现从喜欢运动的女志愿者中抽取2名负责医疗救护工作，求抽出的2名志愿者都懂得医疗救护的概率．附：临界值表（部分）：P（χ2≥x0）0.0500.0250.0100.001x0 3.841 5.024 6.63510.828【分析】（Ⅰ）根据2×2列联表可得表中的数据；（Ⅱ）求出χ2值，查表，与临界值比较，即可得出结论；（Ⅲ）列出所有的基本事件，由古典概型求概率．【解答】解：（Ⅰ）由已知得喜欢运动不喜欢运动总计男10616女6814总计161430（4分）（Ⅱ）假设：是否喜欢运动与性别无关，由已知数据可求得：χ2=≈1.1575＜3.841．（7分）因此，我们认为喜欢运动与性别无关．（8分）（Ⅲ）喜欢运动的女志愿者有6人，设分别为A、B、C、D、E、F，其中A、B、C、D懂得医疗救护，则从这6人中任取2人有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种取法，其中两人都懂得医疗救护的有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种．（10分）设“抽出的志愿者中2人都能胜任医疗救护工作”为事件A，则P（A）==．（12分）【点评】本题考查了独立性检验及古典概型的概率公式，考查学生的计算能力，属于基础题．19．（12分）（2016•大连一模）已知等腰梯形ABCD（如图（1）所示），其中AB ∥CD，E，F分別为AB和CD的中点，且AB=EF=2，CD=6，M为BC中点．现将梯形ABCD沿着EF所在直线折起，使平面EFCB⊥平面EFDA（如图（2）所示），N是线段CD上一动点，且CN=ND．（1）求证：MN∥平面EFDA；（2）求三棱锥A﹣MNF的体积．【分析】（1）由题意，得平面EFCB⊥平面EFDA，过M作MP⊥EF，得MP⊥平面EFDA，过点N作NQ⊥FD于点Q，连接PQ，由已知可得EF⊥平面CFD，进一步得到NQ⊥EF，而NQ⊥FD，得到NQ⊥平面EFDA，可得MP∥NQ，由CN=ND，求得NQ=MP，可得四边形MNQP为平行四边形．则MN∥PQ，然后由线面平行的判定得MN∥平面EFDA；（2）延长DA，CB相交于一点H．由公理3可证DA，FE，CB交于一点H，求得，由平面几何知识得：，得到，利用等积法求得三棱锥A﹣MNF的体积．【解答】证明：（1）过点M作MP⊥EF于点P，过点N作NQ⊥FD于点Q，连接PQ由题意，得平面EFCB⊥平面EFDA，又MP⊥EF，∴MP⊥平面EFDA，由EF⊥CF，EF⊥DF，CF∩DF=F，得EF⊥平面CFD，又NQ⊂平面CFD，∴NQ⊥EF，而NQ⊥FD，∴NQ⊥平面EFDA，∴MP∥NQ，又CN=ND，∴，，即MP∥NQ且MP=NQ，∴四边形MNQP为平行四边形．∴MN∥PQ，又∵MN⊄平面EFDA，PQ⊂平面EFDA，∴MN∥平面EFDA；解：（2）延长DA，CB相交于一点H．则H∈CB，H∈DA，又∵CB⊂平面FEBC，DA⊂平面FEAD，∴H∈平面FEBC，H∈平面FEAD，即H∈EF，∴DA，FE，CB交于一点H，∴，又由平面几何知识得：则，于是．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用等积法求棱锥的体积，训练了平面几何知识在求解立体几何问题中的应用，是中档题．20．（12分）（2016•大连一模）已知动点P在抛物线x2=2y上，过点P作x轴的垂线，垂足为H，动点Q满足=．（1）求动点Q的轨迹E的方程；（2）点M（﹣4，4），过点N（4，5）且斜率为k的直线交轨迹E于A、B两点，设直线MA、MB的斜率分别为k1、k2，求k1•k2的值．【分析】（1）设Q（x，y），则P（x，2y），代入x2=2y得出轨迹方程；（2）联立直线AB方程与Q的轨迹方程，得出A，B的坐标关系，代入斜率公式计算k1k2化简即可．【解答】解：（1）设点Q（x，y），由，则点P（x，2y），将点P（x，2y）代入x2=2y得x2=4y．∴动点Q的轨迹E的方程为x2=4y．（2）设过点N的直线方程为y=k（x﹣4）+5，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，得x2﹣4kx+16x﹣20=0，则．∵，∴=．【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，直线的斜率，属于中档题．21．（12分）（2016•宁城县模拟）已知函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）若函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，函数有两个零点x1，x2，且x1＜x2．求证：x1+x2＞1．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的单调性，分离参数a，问题转化为：当x＞1时恒成立，解出即可；（Ⅱ）求出个零点x1，x2，得到．构造函数，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（I）因为f（x）=lnx﹣ax，则，若函数f（x）=lnx﹣ax在（1，+∞）上单调递减，则1﹣ax≤0在（1，+∞）上恒成立，即当x＞1时恒成立，所以a≥1．（5分）（II）证明：根据题意，，因为x1，x2是函数的两个零点，所以，．两式相减，可得，（7分）即，故．那么，．令，其中0＜t＜1，则．构造函数，（10分）则．因为0＜t＜1，所以h'（t）＞0恒成立，故h（t）＜h（1），即．可知，故x1+x2＞1．（12分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查不等式的证明，是一道综合题．[选修4-4:坐标系与参数方程]23．（2016•大连一模）在平面直角坐标系中，巳知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，点F的极坐标为（2，π），且F在直线l 上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点，求|FA|•丨FB丨的值；（Ⅱ）求曲线C内接矩形周长的最大值．【分析】（I）求出曲线C的普通方程和焦点坐标，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程利用根与系数的关系和参数的几何意义得出；（II）设矩形的顶点坐标为，，由对称性可得椭圆C的内接矩形的周长，求出此函数的最大值．【解答】解：（I）点F的极坐标为所以直角坐标为∴，∴曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，所以直角坐标方程为x2+3y2=12﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）将直线AB的参数方程是（t为参数）代入曲线C直角坐标方程中可得t2﹣2t﹣2=0所以|FA|•|FB|=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为，由对称性可得椭圆C的内接矩形的周长为=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）当时，即时椭圆C的内接矩形的周长取得最大值16．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，函数的最值，参数方程的几何意义，属于中档题．[选修4-5:不等式选讲]24．（2016•宁城县模拟）已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t 成立．（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，试求m+n 的最小值．【分析】（Ⅰ）根据绝对值的几何意义求出t的范围即可；（Ⅱ）根据级别不等式的性质结合对数函数的性质求出m+n的最小值即可．【解答】解：（I）令f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣2|≥|x﹣1﹣x+2|=1≥t，∴T=（﹣∞，1]；（Ⅱ）由（I）知，对于∀t∈T，不等式•≥t恒成立，只需•≥t max，所以•≥1，又因为m＞1，n＞1，所以＞0，＞0，又1≤•≤=（=时取“=”），所以≥4，所以≥2，mn≥9，所以m+n≥2≥6，即m+n的最小值为6（此时m=n=3）．【点评】本题考查了绝对值的几何意义，考查对数函数以及级别不等式的性质，是一道中档题．。
辽宁省大连八中大连二十四中2016届高三数学联合模拟考试试题理(扫描版)
辽宁省大连八中大连二十四中2016届高三数学联合模拟考试试题理(扫描版)7.就国曲秦九舒法可计算翔式"十备厂*…气曲值，它所反映的程序噸如聘所矜当八1时，多项式十十4卫+6#+4”1的值为（）A. 5 比出C. 15 f 11B. 已知菜几何体的三视團如團所示，其中怕视图中邀的直栓为盒该几何体幣表面枳为（）(8 + 4-72) JI丿S*!P満址的束杀件牛2工-].希片标函数玄二4加+y（口A O# A0）的最大刚◎*&的最小值为（）九$ U Gw己知实皿湘足'念亦妇hs+m “十站如心八野⑷则心c' &- 1心:!嵐二理衬试童兴b砸第2贝11. 过掀物线j? =4工的焦点F的克线交抛物线TA.月两点，分别过虫、仔两点作准线的A. (4 + 472) nB. (6 + 4^2)宾備为ILA, 2D. £ILt <SJ £ <«> ttS.护答遐〔年大軀井&小趣，共巾分•解咎应写出文字说阴、证胡过程或漁算步骤！ n'吕小嘶分L2分）在拥跖中’厲上疋分别迪馆扎& Q 的对近且满足竺二2二竺養一C CO'S CL«（［）求角｛:的大小：（I ）设 J\x ） - 2sin xcosxcosC4-2sin 7 xsinC -,求函数才（耳）在区何0兰〕上的值城-21S.（本小题満分12 #>荣市为了了解高二学生物理学习情况，在3叫所高中里选岀3所学校，躺机检取了近T 名塔生参加物理眉武.将折得数据整理后，绘制出频率分布自方图如隧所示"试的II 所于校 选取方泱是从随机嶽表第一斫的第&列和第7列数字开始”由左至［若依 次1&嚴曲个数字.则选出来的第4所学胶的编号是寥少辛49 54 4354 82 17 37 93 23 78 87 35 20册 43 （4426 34 91 64 57 24 55 06 88 7704 74 4767 21 76 33 50 25 83 92 12 06（II ）求频率分布直方图中口的道，试估计全市学生参加物浬考试的平均战绩； r 'lE ：加果从参加本次考試的冋学中随机选取;3名问学.这X 名冋学屮宠试成锁征80分 以上曲分」的人数记为X ，求X 的分布列及数学朗塑"〔讣：頻率可以观为胡应的梅率）r 34”用下閒的馳机数表选取庁粗鬣抽取参卽韦19.（當小18満井12分）口S -ABCD屮.[|£iff ABCD为平纭四边彫•删面駅Q丄而ABCD・J知^ABC - 45" "B —2, BC —2j2”SR = SC = V3（|）妆平go KD峙平面SAH的交拔対人求证匸I// AB \（ID蚁证：必丄BCj（I1D求和线SD比而豹目所成斛的正弦（1如.（本小題満分12分》已知li岡c£+斗=血"“）的离心率为f・顶点* SO）a1 b122B（O t/>）”中心O劭直絃丿占的距禹为肩（I ）求構風C*方稈；U1）设椭删C上▼动点尸鷹足* OP = lOM + 2pON氏戦OM与O臂的桝之积为—苏若£?（S为一动点・耐-孕町,町（蓼0）为两建乩求IQ&ZIQfJ的值.21 （本小題満分13设出竝fCO = H‘一#1舁（兀*2） *菖仗）二工"•貝/（H）曲匪两个段值点為、勺.其中x t < Xj .（!）卓实敷白的収便范啊；cn）求&（巧-x）j的届小值：（ni〉证剧不尊式；f（i,）+x,>o.A E予，甩卜iX塔先i hVi r. *1其中是椭EDC上的点.增老生在笫22,络24題中任选-砂答・如果寒斷划抹叮谄填涂題号.口、（木也題清分10）逸惟4一I：几啊诳明述讲曲⑷備今㈢。
辽宁省大连八中、二十四中联考高考数学模拟试卷(文.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作2016年辽宁省大连八中、二十四中联考高考数学模拟试卷（文科）一、选择题1．已知集合M={x|x2+2x﹣3＜0}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，求M∩N=（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣3，﹣2，﹣1，0}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣3，﹣2，﹣1}2．若=b+i，则复数a+bi在复平面内表示的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知条件p：f（x）=x2+mx+1在区间（，+∞）上单调递增，条件q：m≥﹣，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知向量，，||=1，||=，＜，＞=150°，则|2﹣|=（）A．1 B．13 C． D．45．函数f（x）=sin（x）cos（﹣x）的最小正周期是（）A．2πB．πC．D．4π6．在等比数列{a n}中，若有a n+a n+1=3•（）n，则a5=（）A．B．C．D．7．如图，在圆心角为120°的扇形OAB中，以OA为直径作一个半圆，若在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A． B．C．D．x n﹣1+…+a1x+a0的值，当多项式为8．我国古代秦九韶算法可计算多项式a n x n+a n﹣1x4+4x3+6x2+4x+1时，求解它的值所反映的程序框图如图所示，当x=1时输出的结果为（）A．15 B．5 C．16 D．119．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的表面积为（）A．（4+4）πB．（6+4）πC．（8+4）πD．（12+4）π10．设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为11，则a+b的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．811．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为A′、B′两点，以线段A′B′为直径的圆C过点（﹣2，3），则圆C的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣2）2=2 B．（x+1）2+（y﹣1）2=5 C．（x+1）2+（y+1）2=17 D．（x+1）2+（y+2）2=2612．已知定义在R上的函数f（x）和g（x）满足f（x）=e x﹣+x，且g（x）+g′（x）＜0，则下列不等式成立的是（）A．f（2）g B．f（2）gC．gg＞f（2）g若函数f（x）=，则f（7）+f（0）=______．14．已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≤0时，f（x）=x2+2x，那么，不等式f（x）＜3的解集是______．15．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD外接球表面积为______．16．设数列{a n}前n项和S n，且a1=1，{S n﹣n2a n}为常数列，则a n=______．三、解答题17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足=，（1）求角C的大小；（2）设函数f（x）=2sinxcosxcosC+2sin2xsinC﹣，求函数f（x）在区间[0，]上的值域．18．某高三文科班有A，B两个学习小组，每组8人，在刚刚进行的双基考试中这两组学生历史考试的成绩如图茎叶图所示：（1）这两组学生历史成绩的中位数和平均数分别是多少？（2）历史老师想要在这两个学习小组中选择一个小组进行奖励，请问选择哪个小组比较好，只说明结论，不用说明理由；（3）若成绩在90分以上（包括90分）的同学视为优秀，则从这两组历史成绩优秀的学生中抽取2人，求至少有一人来自B学习小组的概率．19．四棱锥S ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SB=SC ．（1）设平面SCD 与平面SAB 的交线为l ，求证：l ∥AB ； （2）求证：SA ⊥BC ．20．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，顶点A （a ，0），B （0，b ），中心O 到直线AB 的距离为．（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 上一动点P 满足：=λ+2μ，其中M ，N 是椭圆C 上的点，直线OM与ON 的斜率之积为﹣，若Q （λ，μ）为一动点，E 1（﹣，0），E 2（，0）为两定点，求|QE 1|+|QE 2|的值．21．设函数f （x ）=x 2﹣aln （x +2），g （x ）=xe x ，且f （x ）存在两个极值点x 1、x 2，其中x 1＜x 2．（1）求实数a 的取值范围；（2）求g （x ）在区间（﹣2，0）上的最小值；（3）证明不等式：＜﹣1．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，已知圆O 1与圆O 2相交于A ，B 两点，过点A 作圆O 1的切线交圆O 2于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交圆O 1，圆O 2于点D ，E ，DE 与AC 相交于点P ． （1）求证：AD ∥EC ；（2）若AD 是圆O 2的切线，且PA=3，PC=1，AD=6，求DB 的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，已知曲线C1：ρ=2cosθ，将曲线C1上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C，又已知直线l：（t是参数），且直线l与曲线C交于A，B两点．（1）求曲线C的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）设定点P（，0），求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=．（1）当m=4时，求函数f（x）的定义域M；（2）当a，b∈∁R M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．2016年辽宁省大连八中、二十四中联考高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知集合M={x|x2+2x﹣3＜0}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，求M∩N=（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣3，﹣2，﹣1，0}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣3，﹣2，﹣1}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合M，然后求解交集即可．【解答】解：集合M={x|x2+2x﹣3＜0}={x|﹣3＜x＜1}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，M∩N={﹣2，﹣1，0}．故选：C．2．若=b+i，则复数a+bi在复平面内表示的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简等式左边，再由复数相等的条件列式求得a，b 的值得答案．【解答】解：由=，得，即a=4，b=3．∴复数a+bi在复平面内表示的点的坐标为（4，3），所在的象限是第一象限．故选：A．3．已知条件p：f（x）=x2+mx+1在区间（，+∞）上单调递增，条件q：m≥﹣，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用二次函数的对称轴以及单调区间，推出条件p中m的范围，然后判断充要条件即可．【解答】解：因为条件p：f（x）=x2+mx+1在区间（，+∞）上单调递增，所以，可得m≥﹣1．条件q：m≥﹣，则p是q的充分不必要条件．故选：A．4．已知向量，，||=1，||=，＜，＞=150°，则|2﹣|=（）A．1 B．13 C． D．4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知求得，然后代入向量模的公式得答案．【解答】解：∵||=1，||=，＜，＞=150°，∴=．∴|2﹣|==．故选：C．5．函数f（x）=sin（x）cos（﹣x）的最小正周期是（）A．2πB．πC．D．4π【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由（x）与（﹣x）互为余角化余弦为正弦，然后利用二倍角的余弦降幂，再由周期公式求得周期．【解答】解：∵f（x）=sin（x）cos（﹣x）=，∴．故选：B．6．在等比数列{a n}中，若有a n+a n+1=3•（）n，则a5=（）A．B．C．D．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由数列递推式结合数列是等比数列列式求得首项和公比，代入等比数列的通项公式求得a5．【解答】解：∵数列{a n}是等比数列，且a n+a n+1=3•（）n，∴，，∴，解得．∴．故选：C ．7．如图，在圆心角为120°的扇形OAB 中，以OA 为直径作一个半圆，若在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】几何概型． 【分析】设圆心角为120°的扇形OAB 的半径为2，根据题意，易得圆心角为120°的扇形OAB 的面积，OA 为直径作一个半圆的面积，进而由几何概型公式计算可得答案． 【解答】解：设圆心角为120°的扇形OAB 的半径为2，根据题意，圆心角为120°的扇形OAB的面积为=，以OA 为直径作一个半圆的面积为则正在扇形OAB 内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为1﹣=，故选：B ．8．我国古代秦九韶算法可计算多项式a n x n +a n ﹣1x n ﹣1+…+a 1x +a 0的值，当多项式为x 4+4x 3+6x 2+4x +1时，求解它的值所反映的程序框图如图所示，当x=1时输出的结果为（ ）A．15 B．5 C．16 D．11【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得程序框图的功能是根据算法把多项式改写为（（（a n x+a n﹣1）x+a n ﹣2）x+…+a1）x+a0的形式，当x=1时，再由内到外计算多项式，即可得解．【解答】解：∵模拟执行程序，可得程序框图的功能是根据算法a n x n+a n﹣1x n﹣1+…+a1x+a0=（（（a n x+a n﹣1）x+a n﹣2）x+…+a1）x+a0求值．∴x4+4x3+6x2+4x+1=（（（x+4）x+6）x+4）x+1，∴x=1时，由内向外计算，可得多项式x4+4x3+6x2+4x+1的值为：（（（1+4）×1+6）×1+4）×1+1=16．故选：C．9．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的表面积为（）A．（4+4）πB．（6+4）πC．（8+4）πD．（12+4）π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体为圆柱挖去一个圆锥所得的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由圆柱、圆锥的表面积公式求出该几何体的表面积．【解答】解：由三视图知几何体为圆柱挖去一个圆锥所得的组合体，且圆锥与圆柱的底面直径都为4，高为2，则圆锥的母线长为=2，∴该几何体的表面积S==（12+4）π，故选：D．10．设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为11，则a+b的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】简单线性规划．【分析】根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为11，求出a，b的关系式，再利用基本不等式求出a+b 的最小值．【解答】解：满足约束条件，的区域是一个四边形，如图4个顶点是（0，0），（0，1），（，0），（2，3），由图易得目标函数在（2，3）取最大值35，即11=2ab+3，∴ab=4，∴a+b≥2=4，在a=b=2时是等号成立，∴a+b的最小值为4．故选：B．11．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为A′、B′两点，以线段A′B′为直径的圆C过点（﹣2，3），则圆C的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣2）2=2 B．（x+1）2+（y﹣1）2=5 C．（x+1）2+（y+1）2=17 D．（x+1）2+（y+2）2=26【考点】抛物线的简单性质．【分析】设AB的斜率为k，得出AB的方程，与抛物线方程联立方程组，根据根与系数的关系得出圆的圆心坐标和半径，把（﹣2，3）代入圆方程解出k，从而得出圆的方程．【解答】解：抛物线的准线方程为x=﹣1，焦点F（1，0）．设AB的方程为y=k（x﹣1），联立方程组，得y2﹣y﹣4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=﹣4．∴|y1﹣y2|==4．∴以A′B′为直径圆的圆C的圆心为（﹣1，），半径为2．圆C的方程为（x+1）2+（y﹣）2=4（+1）．把（﹣2，3）代入圆的方程得1+（3﹣）2=4（+1）．解得k=2．∴圆C的方程为：（x+1）2+（y﹣1）2=5．故选：B．12．已知定义在R上的函数f（x）和g（x）满足f（x）=e x﹣+x，且g（x）+g′（x）＜0，则下列不等式成立的是（）A．f（2）g B．f（2）gC．gg＞f（2）g求导，再令x=0，求出f（x），再求出f（2）的值，对于g（x）+g′（x）＜0，构造函数h（x）=e x g（x），利用导数和函数的单调性的关系得到h（x）单调递减，得到h，即e2015g，即gg=e x﹣+x，∴f′（x）=e x﹣x+，∴f′（0）=e0﹣0+，∴f′（0）=2，∴f（x）=e x﹣+x，∴f（2）=e2﹣×4+2=e2，∵g（x）+g′（x）＜0，设h（x）=e x g（x），∴h′（x）=e x g（x）+e x g′（x）=e x（g（x）+g′（x））＜0，∴h（x）单调递减，∴h，∴e2015g，∴g，∴gg若函数f（x）=，则f（7）+f（0）=5．【考点】分段函数的应用；函数的值．【分析】利用分段函数总结求解函数值即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（7）+f（0）=log39+30+2=2+1+2=5故答案为：5．14．已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≤0时，f（x）=x2+2x，那么，不等式f（x）＜3的解集是（﹣3，3）．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】求出x＞0时的解析式，f（x）＜3可化为|x|2﹣2|x|﹣3＜0，先解出|x|的范围，再求x范围即可．【解答】解：设x＞0，可得x＜0，所以f（﹣x）=x2﹣2x，因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（﹣x）=x2﹣2x，又f（3）=3，所以f（x）＜3可化为|x|2﹣2|x|﹣3＜0，所以|x|＜3，解得﹣3＜x＜3，所以不等式f（x+）＜3的解集是（﹣3，3）．故答案为：（﹣3，3）．15．正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为，此时四面体ABCD 外接球表面积为 5π ． 【考点】球的体积和表面积．【分析】三棱锥B ﹣ACD 的三条侧棱BD ⊥AD 、DC ⊥DA ，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积．【解答】解：根据题意可知三棱锥B ﹣ACD 的三条侧棱BD ⊥AD 、DC ⊥DA ，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的中，底面边长为1，1，，由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的外接球的球心为O ，外接球的半径为r ， 球心到底面的距离为1，底面中心到底面三角形的顶点的距离为：，∴球的半径为r==．外接球的表面积为：4πr 2=5π． 故答案为：5π．16．设数列{a n }前n 项和S n ，且a 1=1，{S n ﹣n 2a n }为常数列，则a n =．【考点】数列的应用．【分析】利用{S n ﹣n 2a n }为常数列，得到n ≥2时，S n ﹣n 2a n =S n ﹣1﹣（n ﹣1）2a n ﹣1，可得=，利用叠乘法，即可得出结论．【解答】解：∵{S n ﹣n 2a n }为常数列，∴n ≥2时，S n ﹣n 2a n =S n ﹣1﹣（n ﹣1）2a n ﹣1，∴=，∴a n =…••=．故答案为：．三、解答题17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足=，（1）求角C 的大小；（2）设函数f（x）=2sinxcosxcosC+2sin2xsinC﹣，求函数f（x）在区间[0，]上的值域．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知可得2sinAcosC=sinA，结合sinA≠0，可求2cosC=1，从而可求∠C的值．（2）利用三角函数恒等变换的应用化简可得f（x）=sin（2x﹣），由x∈[0，]，可求﹣≤2x﹣，利用正弦函数的性质即可求得f（x）在区间[0，]上的值域．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵，∴（2a﹣b）cosC=ccosB，∴2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC∴2sinAcosC=sin（B+C）=sinA，∵∠A是△ABC的内角，∴sinA≠0，∴2cosC=1，∴∠C=．（2）由（1）可知∠C=，∴f（x）=sin2x﹣（1﹣2sin2x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），由x∈[0，]，∴﹣≤2x﹣，∴﹣≤sin（2x﹣）≤1，∴函数f（x）的值域为[﹣，1]．18．某高三文科班有A，B两个学习小组，每组8人，在刚刚进行的双基考试中这两组学生历史考试的成绩如图茎叶图所示：（1）这两组学生历史成绩的中位数和平均数分别是多少？（2）历史老师想要在这两个学习小组中选择一个小组进行奖励，请问选择哪个小组比较好，只说明结论，不用说明理由；（3）若成绩在90分以上（包括90分）的同学视为优秀，则从这两组历史成绩优秀的学生中抽取2人，求至少有一人来自B学习小组的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图；极差、方差与标准差．【分析】（1）由茎叶图能求出A、B两组学生历史成绩的中位数和平均分．（2）因为两组学生的平均分相同，但是B组学生的成绩比A组学生的成绩更集中，从而选择B组学生奖励．（3）由题可知A组历史成绩优秀的学生有3人，B组历史成绩优秀的学生有2人，由此利用列举法能求出至少有一人来自B学习小组的概率．【解答】解：（1）A组学生历史成绩的中位数为84，B组学生历史成绩的中位数为83A组学生历史成绩的平均分为B组学生历史成绩的平均分为=85（2）选择B组学生奖励，因为两组学生的平均分相同，但是B组学生的成绩比A组学生的成绩更集中．（3）由题可知A组历史成绩优秀的学生有3人，分别设为a1，a2，a3，B组历史成绩优秀的学生有2人，分别设为b1，b2，因此两个学习小组历史成绩优秀的学生共有5人．从这5人中抽取2人共包含10种情况，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2），记“至少有一人来自B学习小组”为事件A，则事件A共包含7种情况，分别为：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2），因此P（A）=所以至少有一人来自B学习小组的概率为．19．四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SB=SC．（1）设平面SCD与平面SAB的交线为l，求证：l∥AB；（2）求证：SA⊥BC．【考点】直线与平面垂直的性质．【分析】（1）由已知可得AB∥CD，从而可证AB∥平面SCD，利用线面平行的性质即可证明l∥AB．（2）连接AC，由已知利用余弦定理得AC=2，可证AC=AB，取BC中点G，连接SG，AG，则AG⊥BC，通过证明BC⊥平面SAG，即可证明BC⊥SA．【解答】（本题满分为12分）解：（1）证明：∵底面ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∵AB⊊平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD，又∵平面SCD与平面SAB的交线为l，∴l∥AB．…（2）证明：连接AC，∵∠ABC=45°，AB=2，BC=2，由余弦定理得AC=2，∴AC=AB，取BC中点G，连接SG，AG，则AG⊥BC，∵SG∩AG=G，∴BC⊥平面SAG，∴BC⊥SA…20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，顶点A（a，0），B（0，b），中心O到直线AB的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C上一动点P满足：=λ+2μ，其中M，N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为﹣，若Q（λ，μ）为一动点，E1（﹣，0），E2（，0）为两定点，求|QE1|+|QE2|的值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）利用离心率为，中心O到直线AB的距离为．列出方程求出a，b，即可求解椭圆方程．（2）设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），利用=+2μ得，结合点P，M，N 在椭圆上，通过k QM•k QN==﹣，得到λ2+4μ2=1，由椭圆的定义，推出|QF1|+|QF2|=2即可．【解答】解：（1）因为直线AB的方程为ax+by﹣ab=0．所以=，由已知得=，故可解得a=2，b=；所以椭圆的方程为（2）设P （x ，y ），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则由=+2μ得，x=λx 1+2μx 2，y=λy 1+2μy 2因为点P ，M ，N 在椭圆上，所以x 12+2y 12=4，x 22+2y 22=4，x 2+2y 2=4故x 2+2y 2=λ2（x 12+2y 12）+4μ2（x 22+2y 22）+4λμ（x 1x 2+2y 1y 2）=4λ2+16μ2+4λμ（x 1x 2+2y 1y 2）=4设k QM ，k QN 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题意知，k QM •k QN ==﹣，因此x 1•x 2+2y 1y 2=0，所以λ2+4μ2=1，λ2+=1，可知表达式是椭圆，a=1，b=，c=，而E 1，E 2恰为椭圆的左右焦点，所以由椭圆的定义，|QF 1|+|QF 2|=2．21．设函数f （x ）=x 2﹣aln （x +2），g （x ）=xe x ，且f （x ）存在两个极值点x 1、x 2，其中x 1＜x 2．（1）求实数a 的取值范围；（2）求g （x ）在区间（﹣2，0）上的最小值；（3）证明不等式：＜﹣1．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值． 【分析】（1）令f ′（x ）=0在定义域（﹣2，+∞）上有两解，根据二次函数的性质列出不等式组解出a 的范围；（2）判断g ′（x ）在（﹣2，0）上的符号得出g （x ）在（﹣2，0）上的单调性，从而得出最小值；（3）利用根与系数的关系得出关于x 2的函数，令﹣x 2=x 得出新函数F （x ）及定义域，判断F （x ）的单调性得出结论．【解答】解：（1）f ′（x ）=2x ﹣（x ＞﹣2），∵f （x ）存在两个极值点x 1、x 2，其中x 1、x 2，其中x 1＜x 2．∴关于x 的方程2x ﹣=0即2x 2+4x ﹣a=0在区间（﹣2，+∞）内有两个不相等的实数根．∴，解得：﹣2＜a＜0，∴实数a的取值范围是（﹣2，0）（2）g′（x）=（x+1）e x，∴当x∈（﹣2，﹣1）时，g′（x）＜0，当x∈（﹣1，0）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣2，﹣1）单调递减，g（x）在（﹣1，0）单调递增．∴g min（x）=g（﹣1）=﹣．（3）由（1）知，∴．∴=x2+﹣2（x2+2）ln（﹣x2）+4，令﹣x2=x，则0＜x＜1且，令F（x）=﹣x﹣，则F′（x）=﹣1++2lnx+=令G（x）=，则G′（x）=﹣．∵0＜x＜1，∴G′（x）＜0，即F′（x）在（0，1）上是减函数，∴F′（x）＞F′（1）=1＞0，∴F（x）在（0，1）上是增函数，∴F（x）＜F（1）=﹣1，即．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，已知圆O1与圆O2相交于A，B两点，过点A作圆O1的切线交圆O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交圆O1，圆O2于点D，E，DE与AC相交于点P．（1）求证：AD∥EC；（2）若AD是圆O2的切线，且PA=3，PC=1，AD=6，求DB的长．【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．【分析】（1）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；（II）根据切割线定理得到AD2=DB•DE，利用AD是圆O2的切线，AD2=DB•DE，由此即可求DB的长．【解答】（1）证明：连接AB，∵AC是圆O1的切线，∴∠BAC=∠D，又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E，∴AD∥EC（2）解：设PB=x，PE=y，∵PA=3，PC=1，∴xy=3①，∵AD∥EC，∴，且DP=3y由AD是圆O2的切线，∴AD2=DB•DE，∴62=（3y﹣x）4y②由①②可得，，∴BD=3y﹣x=[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，已知曲线C1：ρ=2cosθ，将曲线C1上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C，又已知直线l：（t是参数），且直线l与曲线C交于A，B两点．（1）求曲线C的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）设定点P（，0），求|PA|+|PB|．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，化曲线C1的方程为（x﹣1）2+y2=1，再由图象变化吧的规律可得曲线C；（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程：中，得，运用韦达定理，参数的几何意义，即可求|PA|+|PB|．【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2﹣2x=0即（x﹣1）2+y2=1．∴曲线C的方程为∴曲线C表示焦点坐标为（，0），（，0），长轴长为4的椭圆（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程：中，得．设A、B两点对应的参数分别为t1，t2则t1+t2=﹣，t1t2=﹣，∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=．（1）当m=4时，求函数f（x）的定义域M；（2）当a，b∈∁R M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．【考点】分段函数的应用；函数的定义域及其求法．【分析】（1）由题意和二次根式的被开方数非负，可得|x+1|+|x﹣1|≥4，运用绝对值的意义和对x讨论，解不等式即可得到所求定义域；（2）可得﹣2＜a，b＜2，要证2|a+b|＜|4+ab|，可证4（a+b）2＜（4+ab）2，作差4（a+b）2﹣（4+ab）2，运用平方差和因式分解，即可得证．【解答】解：（1）当m=4时，由|x+1|+|x﹣1|≥4，等价于或或，解得x≤﹣2或x≥2或x∈∅．则不等式的解集为M={x|x≤﹣2或x≥2}；（2）证明：当a，b∈C R M时，即﹣2＜a，b＜2，所以4（a+b）2﹣（4+ab）2=4（a2+2ab+b2）﹣（16+8ab+a2b2）=4a2+4b2﹣16﹣a2b2=（a2﹣4）（4﹣b2）＜0，所以4（a+b）2＜（4+ab）2，即2|a+b|＜|4+ab|．2016年9月20日。
2016年辽宁省大连市高考数学二模试卷(文科)和答案
2016年辽宁省大连市高考数学二模试卷（文科）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A＝{1，2}，则A集合的子集个数有（）个．A．2B．3C．4D．52．（5分）复数z＝1+ai（a∈R）在复平面对应的点在第一象限，且||＝，则z的虚部为（）A．2B．4C．2i D．4i3．（5分）对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（）A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β4．（5分）执行如图的程序框图，如果输入x＝1，则输出t的值为（）A．6B．8C．10D．125．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3＝a1+3a2，a4＝8，则a1＝（）A．1B．2C．4D．86．（5分）已知函数f（x）＝﹣x2﹣x+2，则函数f（x）的图象为（）A．B．C．D．7．（5分）已知变量x与y负相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．＝﹣2x+9.5B．＝2x﹣2.4C．＝﹣0.3x﹣4.4D．＝0.4x+2.38．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．64B．C．16D．9．（5分）D是△ABC所在平面内一点，＝λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ＝1是点D在线段BC上的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）命题p：“∃x0∈[0，]，sin2x0+cos2x0＞a”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．a＜1B．a＜C．a≥1D．a≥11．（5分）过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l交C于A，B两点，点M（﹣1，2），若•＝0，则直线l的斜率k＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．212．（5分）函数f（x）＝e ax﹣lnx（a＞0）存在零点，则实数a的取值范围是（）A．0＜a≤B．0＜a≤C．a≥D．a≥二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。
【辽宁省大连市】2016届高三下学期第二次模拟考试文科数学试卷-答案
………………………………………………10分
∵
∴
∴ …………………………………………………..………12分
22．（1）证明：∵CA为圆O的切线，∴ ，
又∵ 为直径， ，∴ ．
又∵ ， ，
∴ ，
∴CD为 的平分线……………………………………………………………4分
∴椭圆方程为 …………………………………………………………………4分
（2）设 ， ，则 ，直线BD方程为 ，
令 ，则
∴
同理 …………………………………………………………………..7分
∵ 和 均为锐角，
∴
∴
…………………….10分
∴ 与 互余，
∴ ……………………………………………………………………………….12分
基本事件空间中共有基本事件15个，…………………………………………..8分
设恰有1位同学成绩在区间 中为事件A，
A中含基本事件8个，…………………………………………………………….10分
∴ ．………………………………………………………………………..12分
19．证明：（1）取MC中点，记为点D，连结PD，OD
∵
∴ ……………………………………………………………………12分
18．（1）由 得 ……………2分
…………………………………………………….…………….6分
（2）由数据知，6名同学中成绩在 之间的有两人，记为 ， ，成绩不在 之间的有4人，记为 ， ， ， ，从6位同学中随机抽取2名同学所有可能结果组成的基本事件空间可以为
（2）解：∵ ，∴ ，
又∵ ，
【全国校级联考】辽宁省大连市第八中学、大连市第二十四中学2016届高三联合模拟考试文数试题解析(
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知集合}032|{2<-+=x x x M ，}2,1,0,1,2,3{---=N ，则集合=N M （ ）A ．}1,0,1,2{--B ．}0,1,2,3{---C ．}0,1,2{--D ．}1,2,3{---【答案】C【解析】试题分析：2{|230}{|13}M x x x x x =+-<=>>- ，M N ∴= }0,1,2{--，故选C.考点：集合的交集运算.2. 若i b iai +=++12，则复数bi a +在复平面内表示的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A考点：1.复数的运算；2.复数的几何意义.3. 已知条件p ： 1)(2++=mx x x f 在区间),21(+∞上单调递增，条件q ：34-≥m ，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：因为条件p ：1)(2++=mx x x f 在区间),21(+∞上单调递增，所以11122m m -≤∴≥-；所以p 是q 的充分不必要条件.考点：充分、必要条件的判断.4. 已知向量a ，b ，1||=，3||=b ，>=<b a , 150，则=-|2|b a （ ）A ．1B ．13C ．13D ．4【答案】C【解析】试题分析：|2|a b -==== 考点：平面向量的数量积.5. 函数)6cos()3sin()(x x x f -+=ππ的最小正周期是（ ）A ．π2B ．πC ．2π D ．π4 【答案】B 考点：1.三角函数的性质；2.三角恒等变换.6. 在等比数列}{n a 中，若有n n n a a )21(31⋅=++，则=5a （ ）A ．41 B ．81 C ．161 D ．321 【答案】C【解析】 试题分析：1112113(),3()22n n n n n n a a a a +++++=⋅∴+=⋅∴ 公比12112n n n n a a q a a ++++==+，又 ()556551113()216a a a q a +=+=⋅∴=，故选C. 考点：等比数列的性质.7. 如图，在圆心角为 120的扇形OAB 中，以OA 为直径作一个半圆.若在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．π85B ．85C ．83 D ．π83【答案】B考点：几何概型.8. 我国古代秦九韶算法可计算多项式0111a x a x a x a n n n n ++++-- 的值，当多项式为1464234++++x x x x 时，求解它的值所反映的程序框图如图所示，当1=x 时输出的结果为（ ）A ．15B ．5C ．16D ．11【答案】D考点：程序框图.9. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的表面积为（ ）A ．π)244(+B ．π)246(+C ．π)248(+D ．π)2412(+【答案】D考点：1.空间几何体的三视图；2.空间几何体的表面积.10. 设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≥+≤0,0121y x x y x y ，则目标函数)0,0(>>+=b a y abx z 的最大值为11，则b a +的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】试题分析：满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≥+≤0,0121y x x y x y 的区域是一个四边形，如图4个顶点是()()()100010232⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，，，，，由图易得目标函数在()23，取最大值11，即1123ab =+∴4ab =，∴4a b +≥=，在2a b ==时是等号成立，∴a b +的最小值为4．考点：简单线性规划．【思路点睛】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≥+≤0,0121y x x y x y ，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数()00z abx y a b =+>>，的最大值为11，求出a b ，的关系式，再利用基本不等式求出a b +的最小值．11. 过抛物线x y 42=的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，分别过A 、B 两点作准线的垂线，垂足分别为'A ，'B 两点，以线段'A 'B 为直径的圆C 过点)3,2(-，则圆C 的方程为（ ）A ．2)2()1(22=-++y xB ．5)1()1(22=-++y xC ．17)1()1(22=+++y xD ．26)2()1(22=+++y x【答案】B考点：直线与抛物线的性质.【思路点睛】首先根据抛物线的性质，可以证明以线段'A 'B 为直径的圆C 过点(1,0)F ，又根据抛物线的性质可知直线AB 与圆C 相切，且切点为焦点F ,设'A 'B 的中点为()01,M y -，设直线AB 的方程 1x ky =+，所以0022y k y k =-⇒=-，又以线段'A 'B 为直径的圆C 过点)3,2(-，设(2,3)N -，则NF 的中点为13,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以ME FN ⊥，所以1ME FN k k ⋅=-，得12k =，所以圆心()1,1M -，所以半径为MF =.12. 已知定义在R 上的函数)(x f 和)(x g 满足x f x e x f x 2)0('21)(2+-=，且0)(')(<+x g x g ，则下列不等式成立的是（ ）A ．)2017()2015()2(g g f <B ．)2017()2015()2(g g f >C ．)2017()2()2015(g f g <D ．)2017()2()2015(g f g >【答案】D考点：1.导数的运算公式；2.导数在函数单调性中的应用.【思路点睛】因为x f x e f x f x )0(22)1(')(222-+⋅=-，所以22'()'(1)22(0)x f x f e x f -=⋅+-，将1x =代入导函数可得(0)1f =，又22'(1)(0)'(1)22f f e f e -=⋅⇒=，得()222()22x f x e x x f e =+-⇒=；然后再构造辅助函数，令()2()x x e g x ϕ=()22'2()'()x xx e g x e g x ϕ⇒=+，又因为0)(2)('<+x g x g ，所以()'0x ϕ<，所以()x ϕ在R 上单调递减；据此即可判断结果.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若函数⎩⎨⎧≥+<+=)1)(2(log )1(23)(3x x x x f x ，则=+)0()7(f f . 【答案】5【解析】试题分析：3log 6133(7)(log 6)log 9315f f -+=++=. 考点：分段函数.14. 已知)(x f 是定义域为R 的偶函数，当0≤x 时，x x x f 2)(2+=，那么，不等式3)(<x f 的解集是 . 【答案】{}15<<-x x考点：1.函数的奇偶性；2.解绝对值不等式.15. 已知正三角形ABC 边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为2，此时四面体ABCD 的外接球的表面积为 .【答案】5π【解析】试题分析：根据题意可知三棱锥B ACD -的三条侧棱BD AD DC DA ⊥⊥、，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱111ABC A B C -的中，底面边长为11，由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，∴三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心为O ，外接球的半径为r ，球心到底面的距离为1，底面中心到底面三角形的顶点的距离为：∴球的半径为r =．外接球的表面积为：245r ππ=． 考点：1.球内接多面体；2.球的体积和表面积．【思路点睛】本题考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，三棱锥B ACD -的三条侧棱 BD AD DC DA ⊥⊥、，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积．16. 设数列}{n a 前n 项和n S ，且11=a ，}{2n n a n S -为常数列，则=n a . 【答案】12+n n考点：数列递推式．【方法点睛】由已知求出112S a +=，由题意可得20n n S n a -=，当2n ≥时，()()111111n n n n a n n a n a a n ---+=-⇒=+，然后利用累乘法求，可得得 12332123421n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -------⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1234321112543n n n n n n n n ----=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+--，整理化简可得()21n a n n =+；然后再检验，即可求出结果．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且满足C B c b a cos cos 2=-. （1）求角C 的大小；（2）设函数23sin sin 2cos cos sin 2)(2-+=C x C x x x f ，求函数)(x f 在区间]2,0[π上的值域. 【答案】（1）3π；（2）]1,23[-由]2,0[π∈x ，32323πππ≤-≤-∴x ，1)32sin(23≤-≤-∴πx ∴函数()f x 的值域为]1,23[-.……………………………………12分. 考点：1.正弦定理；2.三角恒等变换；3.三角函数的值域.【方法点睛】本题考查三角函数的变换，三角函数的图象平移，三角函数在闭区间上的最值，属于中档题，求函数()()ϕω+=x A x f sin 在区间[]b a ,上值域的一般步骤：第一步：把三角函数式根据三角函数的有关公式进行化简，一般化成形如()k x A y ++=ϕωsin 的形式，第二步：由x 的取值范围确定ϕω+x 的取值范围，再确定()ϕω+x sin 的取值范围，第三步：求所给函数的值域（或最值)．18.某高三文科班有A，B两个学习小组，，每组8人，在刚刚进行的双基考试中这两组学生历史考试的成绩如下面茎叶图所示（1）这两组学生历史成绩的中位数和平均数分别是多少；（2）历史老师想要在这两个学习小组中选择一个小组进行奖励，请问选择哪个小组比较好，只说明结论，不用说明理由；（3）若成绩在90分以上（包括90分）的同学视为优秀，则从这两组历史成绩优秀的学生中抽取2人，求至少有一人来自B学习小组的概率.【答案】（1）中位数为84，83；平均分为85，85；（2）选择B组学生奖励；（3）7 10（2）选择B组学生奖励，因为两组学生的平均分相同，但是B组学生的成绩比A组学生的成绩更集中。
2016大连高三二模数学答案
【 - 高中作文】篇一:《大连市2016年第二次模拟考试参考答案及评分标准-数学(理科)》大连市2016年第二次模拟考试参考答案及评分标准数学（理科）说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题1.A2.A3.C4.B5.D6.D7.C8.D9.B 10.D 11.C 12.A 二．填空题13. 48 14. 2 15. (-1，2) 16.6 三．解答题17.解：(Ⅰ)b?acosCsinC sinAsinC............................................................ .............................2分 3sinAcosC?cosAsinC?sinAcosC?sinAsinC................................. ..........................4分33sinAsinC 即cosAsinC?3sinA 又sinC?0?cosA?3?即tanA?3?A?........................................................... .........................................................6分3?sinB?sinAcosC?222(Ⅱ)?a?b?c?2bccosA?22?b2?c2?bc?(b?c)2?3bc.......................................... ....................................................8分 ?b?c?2bc第1页（共7页）?(b?c)2?16，即b?c?4 又由题意知b?c?4，?b?c?4.(当b?c?2时等式成立.)................................................................ .........................10分1??S?ABC2?2?sin?................................................... ...............................................12分2318.解：（Ⅰ）设比赛局数分别为3,4,5时,甲获胜分别为事件A1,A2，A3，则由相互独立事件同时发生的概率乘法公式可得：28231823121622P(A1)?()3）?，P(A2)?C3?(),P(A3)?C4?()（，...........3分32733273381所以由互斥事件的概率加法公式可得，甲获胜的概率为P=P(A1)+P(A2)+P(A3)=（Ⅱ）由题意可知，X的取值为3,4,5，881664++=................................................6分 27278181 1391211210=，P(X?4)?C32()3?+C32()3,3273333327218P(X?5)?C42()2?()2?.................................................. ................................................9分3327所以，的分布列为108107（X）=3?+4?+5?=.......................................................... ....12分 ?X的数学期望E3272727则P(X?3)?()+()?32319.证明：(Ⅰ)取MC中点，记为点D,连结PD,QD?P为MA中点，D为MC中点 ?PD//AC11又?CD?DC1,BQ?QC1,33?QD//BC又?PD?QD?D?平面PQD//平面ABC...........................................4分又PQ?平面PQD第2页（共7页）?PQ//平面ABC.........................................................6分（Ⅱ）?BC,BA,BB1两两互相垂直，?建立如图所示空间直角坐标系B?xyz，设BC?a,BA?b,则各点的坐标分别为：C(a,0,0),A(0,b,0),A1(0,b,2),M(a,0,1)，?BA1?(0,b,2),BA?(0,b,0),BM?(a,0,1)............................... .....................................8分设平面ABM的法向量为n?(x,y,z)，则?n?BA?0n?BM?0,?by?0，?ax?z?0取x?1，则可得平面ABM?的一组法向量n?(1,0,?a)，?cos?n,BA122................................................................. ..10分又因为a?b?8，?a4?4a2?12?0,?a2?2或?6（舍）. 即a?2,?sin?BAC?21??,BAC?........................................................... .......12分622220.解：?e?c2?，?a?2c a2MF1?MF2?F1F2?2a?2c?22c?2c?4?22?c?2，a?2............................................................3分x2y2?1.............................................4分 ?椭圆方程为?42（Ⅱ）?PF1F2QF1F2?90?，..............................5分证明如下：设B(x0,y0)，D(x1,y1)，则A(?x0,y0), 直线BD方程为y?y1?y0?y1(x?x1)，x0?x1第3页（共7页）x0y1?y0x1x0?x1xy?yx?Q(00101)x0?x1xy?y0x1同理P(001).............................................................. .......................................................7分x0?x1PF1F2均为锐角， 1F2和?QFx0y1?y0x1x0?x1xy?y0x1?tan?PF1F201cc(x0?x1)令x?0，则y?tan?QF1F2?x0y1?y0x1c(x0?x1)2222x0y1?y0x1x0y1?y0x1x0y1?y0x1?tan?PF1F2?tan?QF1F2?22c(x0?x1)c(x0?x1)c(x0?x12)2x0x122x(2?)?x1(2?)2?x12)112(x0?1.................................................... ..............10分 222x0?x122x0?x122PF1F2互余, 1F2与?QFPF1F2QF1F2?90?................................................. .......................................................12分121.解：（Ⅰ）k1时，f(x)?lnx?x?f?(x)1?0?x?1，?f(x)在(0,1)单调x递增，在(1,)单调递减，故函数f(x)有唯一的极大值点x?1，无极小值点...................2分（Ⅱ）k?0时，f(x)?则g?(x)?bbb?a?lnxa，设g(x)?lnxa,(x?0)， xxx1bx?b2. xx2x当b?0时，则g?(x)?0，所以g(x)在(0,)单调递增，又x?0且x?0时，g(x)?与题意矛盾，舍.当b?0时，则g?(x)?0?x?b，所以g(x)在(b,)单调递增，(0,b)单调递减，第4页（共7页）所以g(x)min?g(b)?lnb?1?a，.............................................. ................................................5分所以lnb?1?a?0?a?1?lnb?e故ea?1a?1?b?ea?1?b?1?1，?b?1的最大值为1................................................................... ............................................7分a?1{2016大连高三二模数学答案}.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当e?b?1取最大值1时，ea?1?b?a?1?lnb?F(b)?记F(x)?lnb?m,(b?0)， blnx?m,(x?0)......................................................... ....................................................9分 x1方法一：F(x)?0?lnx?mx?0，设h(x)?lnx?mx，则h?(x)m，x若m?0，则h?(x)?0恒成立，所以函数h(x)在(0,)单调递增，与题意不符，舍.111，?h(x)在(0,)单调递增，在(,)单调递减，所以mmm若函数F(x)有两个零点，则只需h()?0，解得0?m?.me1不妨设x1?x2，则0?x1x2，m11111设G(x)?h(?x)?h(?x),(0?x?)，则G?(x)?h?(?x)?h?(?x),mmmmm若m?0，则h?(x)?0?x?2m3x21G(x)?0化简可得G?(x)?，所以函数在(0,)单调递增，1?m2x2m11G(x)?G(0)?h()?h()?0mm1112?0?x?时，h(?x)?h(?x)，?h(?x1)?h(x1)?h(x2)，又因为mmmm2112?x1,x2?(,+?），且函数h(x)在(,)单调递减，x1?x2，mmmm2?x1?x2mx1?mx2?2，即lnx1?lnx2?2，m所以x1x2?e成立.................................................................. .......................................................12分第5页（共7页）篇二:《大连市2016年第二次模拟考试参考答案及评分标准-数学(文科)》大连市2016年第二次模拟考试参考答案及评分标准数学（文科）说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题1. C2.A3. C4.B5.A6.D7.C8.D9.B 10.B 11.C 12.A二．填空题13. 0.6 14. 2 15. 6 16.（-1,2）三．解答题17.解：(Ⅰ)b?acosCsinC sinAsinC............................................................ .............................2分 3sinAcosC?cosAsinC?sinAcosC?sinAsinC................................. ..........................4分 33sinAsinC 即cosAsinC?3sinA 又sinC?0?cosA?3?即tanA?3?A?........................................................... .........................................................6分 3222(Ⅱ)解法一: ?a?b?c?2bccosA?22?b2?c2?bc?(b?c)2?3bc.......................................... . (8)分 ?sinB?sinAcosC?第1页（共7页）2?b?c4b?c4?23?(b?c)2?16，即b?c?4又由三角形边的性质知，?b?c?2，......................................................... .................................................................... .......10分................................................................. . (12)分 ?b?c2,4??解法二: abcsinAsinBsinC4343?b?sinB,c?sinC 33?b?c?43?sinB?sinC?............................................... .........................................................8分343?sinB?sin(A?B?) ?b?c?3b?c?4sin?B.......................................................... ......................................................10分 6?2B0, ?3??b?c2,4?......................................................... .................................................................... ....12分18.解：(Ⅰ)由x?110?124?130?x4?110?111?117得x4?117................................2分 6(110?117)2?(124?117)2?(130?117)2?(117?117)2?(110?117)2?(111?117)22S?6 17658.673................................................................. .................................................................... ........................6分word原文档,135)之间的有两人，记为a1，a2，成绩不在(120,11 / 11。
辽宁省大连24中高三数学考前模拟考试试题 文 新人教版
本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共l 50分，考试用时120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写住答题卡上，并住规定位置粘贴考试用条形码答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答案写在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设集合B A x y x B x x A 则},31|{},11||{-==<-==A ．[0，2）B ．（0，31） C ．（0，31] D ．（2，+∞）2．复数的虚部为A ．-2B ．-iC ．iD ．-13．已知向量等于A ．3B ．-3C ．D ．-4．设是等差数列的前n 项和，若S 7=35，则a 4等于A ．8B ．7C ．6D ．55．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，向上平移1个单位，得到新函数的一个对称中心是A ．B ．C ．D ．6．下列说法：①命题“”的否定是“”②若一个命题的逆命题为真，则它的否命题也一定为真③“矩形的两条对角线相等”的逆命题是真命题④“x ≠3”是|x|≠3成立的充分条件，其中错误的个数是A ．1B ．2C ．3D ．47．已知曲线的一条切线方程是y=4x-4，则m 的值为A ．B ．C ．D ．8．某程序框图下图所示，若输出的S=57，则判断框内应为 A ．k>5 B ．k>4 C ．k>7 D ．k>69．对于抛物线y 2=4x 上任意一点Q ，点P （a,0）都满足|PQ|≥|a|，则a 的取值范围是 A ．（-∞，0） B ． C ．【0，2】 D （0，2）．10．在三棱锥S-ABC 中，SA ⊥平面ABC ，SA=2．△ABC 边长为1的正三角形，则其外接球的表面积为A．B．C．D．11．若，则x2+y2的最小值A．B．C．D．12．若存在两条直线x=±m与双曲线相交于A,B,C,D，且四边形ABCD 为正方形，则双曲线的离心率的取值范围是A．（1，）B．（1，）C．D．第II卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。
2016届辽宁省大连八中、东北育才、鞍山一中等校联考高考数学模拟试卷(文科)(解析版)
2016年辽宁省大连八中、东北育才、鞍山一中等校联考高考数学模拟试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x（x﹣4）＜0}，则A∪B=（）A．（0，4）B．（﹣3，4）C．（0，3）D．（3，4）2．当1＜m＜时，复数（3+i）﹣m（2+i）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．在等差数列{a n}中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于（）A．40 B．42 C．43 D．454．在△ABC中，∠C=90°，=（k，1），=（2，3），则k的值是（）A．5 B．﹣5 C．D．﹣5．为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）．根据收集到的数据可知=20，由最小二乘法求得回归直线方程为=0.6x+48，则y1+y2+y3+y4+y5=（）A．60 B．120 C．150 D．3006．若点（a，16）在函数y=2x的图象上，则tan的值为（）A．B．C．﹣D．﹣7．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④8．已知△ABC为锐角三角形，命题p：不等式log cosC＞0恒成立，命题q：不等式log cosC＞0恒成立，则复合命题p∨q、p∧q、￢p中，真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．39．在平面区域内随机取一点，则所取的点恰好落在圆x2+y2=1内的概率是（）A．B．C．D．10．设f（x）=asin2x+bcos2x，且满足a，b∈R，ab≠0，且f（）=f（），则下列说法正确的是（）A．|f（）|＜|f（）|B．f（x）是奇函数C．f（x）的单调递增区间是[k]（k∈Z）D．a= b11．已知点A为抛物线C：x2=4y上的动点（不含原点），过点A的切线交x轴于点B，设抛物线C的焦点为F，则∠ABF为（）A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不确定12．已知函数f（x）=，方程f2（x）﹣bf（x）=0，b∈（0，1），则方程的根的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设函数f（x）=x3+2x2+bx﹣3在x1，x2处取得极值，且x=，则b=．14．在图中的算法中，如果输入A=2016，B=98，则输出的结果是．15．己知a（3﹣a）＞0，那么的最小值是．16．三棱锥S﹣ABC中，侧棱SA⊥平面ABC，底面ABC是边长为的正三角形，SA=2，则该三棱锥的外接球体积等于．三、解答题（共6小题，满分60分）17．在公比为2的等比数列{a n}中，a2与a5的等差中项是9．（1）求a1的值；（2）若函数y=a1sin（φ），0＜φ＜π的一部分图象如图所示，M（﹣1，a1），N（3，﹣a1）为图象上的两点，设∠MON=θ，其中O为坐标原点，0＜θ＜π，求cos（θ﹣φ）的值．18．某校一模考试数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下：试根据图表中的信息解答下列问题：（1）求全班的学生人数及分数在[70，80）之间的频数；（2）为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于[70，80），[80，90）和[90，100]分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选2人进行交流，求交流的2名学生中，恰有一名成绩位于[70，80）分数段的概率．19．定理：平面内的一条直线与平面的一条斜线在平面内的射影垂直，则这条线段垂直于斜线．试证明此定理：如图所示：若PA⊥α，A是垂足，斜线PO∩α=O，a⊂α，a⊥AO，试证明a⊥PO．20．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，试证明动点P在线段B1C上．21．椭圆C1：+y2=1，椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（，0），斜率为1的直线l与椭圆C2相交于A、B两点，线段AB的中点H的坐标为（2，﹣1）．（1）求椭圆C2的方程；（2）设P为椭圆C2上一点，点M、N在椭圆C1上，且=+2，则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．22．已知函数f（x）=（x＞0）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）证明：f（x）．[选修4-1：几何证明选讲]23．如图，PA、PC切⊙O于A、C，PBD为⊙O的割线．（1）求证：AD•BC=AB•DC；（2）已知PB=2，PA=3，求△ABC与△ACD的面积之比．[选修4-4：坐标系与参数方程]24．在直角坐标系xOy中，已知⊙O的方程x2+y2=4，直线l：x=4，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点作射线交⊙O于A，交直线l于B．（1）写出⊙O及直线l的极坐标方程；（2）设AB中点为M，求动点M的轨迹方程．[选修4-5：不等式选讲]25．不等式|x﹣|≤的解集为{x|n≤x≤m}（1）求实数m，n；（2）若实数a，b满足：|a+b|＜m，|2a﹣b|＜n，求证：|b|＜．2016年辽宁省大连八中、东北育才、鞍山一中等校联考高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x（x﹣4）＜0}，则A∪B=（）A．（0，4）B．（﹣3，4）C．（0，3）D．（3，4）【考点】并集及其运算．【分析】利用并集的性质求解．【解答】解：∵集合A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x（x﹣4）＜0}={x|0＜x＜4}，∴A∪B={x|﹣3＜x＜4}=（﹣3，4）．故选：B．2．当1＜m＜时，复数（3+i）﹣m（2+i）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义、不等式的性质即可得出．【解答】解：复数（3+i）﹣m（2+i）=（3﹣2m）+（1﹣m）i，∵1＜m＜，∴3﹣2m＞0，1﹣m＜0，在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D．3．在等差数列{a n}中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于（）A．40 B．42 C．43 D．45【考点】等差数列的性质．【分析】先根据a1=2，a2+a3=13求得d和a5，进而根据等差中项的性质知a4+a5+a6=3a5求得答案．【解答】解：在等差数列{a n}中，已知a1=2，a2+a3=13，得d=3，a5=14，∴a4+a5+a6=3a5=42．故选B4．在△ABC中，∠C=90°，=（k，1），=（2，3），则k的值是（）A．5 B．﹣5 C．D．﹣【考点】平面向量的坐标运算．【分析】先根据向量的坐标运算求出=﹣=（k﹣2，﹣2），再根据∠C=90°得到•=0，即可求出k的值．【解答】解：∵=（k，1），=（2，3），∴=﹣=（k﹣2，﹣2），∵∠C=90°，∴•=0，∴2（k﹣2）+3×（﹣2）=0，解得k=5，故选：A．5．为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）．根据收集到的数据可知=20，由最小二乘法求得回归直线方程为=0.6x+48，则y1+y2+y3+y4+y5=（）A．60 B．120 C．150 D．300【考点】线性回归方程．【分析】根据回归方程求出即可得出答案．【解答】解：将代入回归方程得=0.6×20+48=60．∴y1+y2+y3+y4+y5=5=300．故选D．6．若点（a，16）在函数y=2x的图象上，则tan的值为（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由条件求得a的值，再利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．【解答】解：∵点（a，16）在函数y=2x的图象上，∴16=2a，∴a=4，则tan=tan=﹣tan=﹣，故选：C．7．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④【考点】简单空间图形的三视图．【分析】利用三视图的作图法则，对选项判断，A的三视图相同，圆锥，四棱锥的两个三视图相同，棱台都不相同，推出选项即可．【解答】解：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，圆锥和正四棱锥的，正视图和侧视图相同，所以，正确答案为D．故选D8．已知△ABC为锐角三角形，命题p：不等式log cosC＞0恒成立，命题q：不等式log cosC＞0恒成立，则复合命题p∨q、p∧q、￢p中，真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】复合命题的真假．【分析】根据A、B、C的范围，求出sinB＞sin（﹣A）=cosA＞0，从而求出 d 的范围，进而判断出命题p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．【解答】解：由锐角三角形ABC，可得1＞cosC＞0，0＜A＜，0＜B＜，＜A+B ＜π，∴0＜﹣A＜B＜，∴sinB＞sin（﹣A）=cosA＞0，∴1＞＞0，∴log cosC＞0，故命题p是真命题，命题q是假命题；则复合命题p∨q真、p∧q假、￢p假，真命题的个数是1个；故选：B．9．在平面区域内随机取一点，则所取的点恰好落在圆x2+y2=1内的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型；简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△AB0及其内部．单位圆x2+y2=1位于△AB0内的部分为一个圆心角为的扇形，由此结合几何概型计算公式和面积公式，即可算出所求的概率．【解答】解：作出不等式组表示表示的平面区域如图，得到如图的△AB0及其内部，其中A（，0），B（0，），0为坐标原点∵单位圆x2+y2=1位于△AB0内的部分为一个扇形，其圆心角为∴在平面区域内任取一点P，点P恰好在单位圆x2+y2=1内的概率为P==；故选B．10．设f（x）=asin2x+bcos2x，且满足a，b∈R，ab≠0，且f（）=f（），则下列说法正确的是（）A．|f（）|＜|f（）|B．f（x）是奇函数C．f（x）的单调递增区间是[k]（k∈Z）D．a= b【考点】余弦函数的对称性；余弦函数的奇偶性．【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，由于θ的值不确定，故A、B、C不能确定正确，利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：∵f（x）=asin2x+bcos2x=sin（2x+θ），且满足a，b∈R，ab≠0，sinθ=，cosθ=，由于θ的值不确定，故A、B、C不能确定正确．∵f（）=f（），∴f（x）的图象关于直线x=对称，∴令x=，可得f（0）=f（），即b=a﹣，求得a=b，故选：D．11．已知点A为抛物线C：x2=4y上的动点（不含原点），过点A的切线交x轴于点B，设抛物线C的焦点为F，则∠ABF为（）A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不确定【考点】抛物线的简单性质．【分析】求导数，确定过A的切线方程，解出B的坐标，求出，的坐标，可得计算=0，即可得出结论．【解答】解：由x2=4y可得y=x2，∴y′=x，设A（x0，），则过A的切线方程为y﹣=x0（x﹣x0），令y=0，可得x=x0，∴B（x0，0），∵F（0，1），∴=（x0，），=（﹣x0，1），∴•=0，∴∠ABF=90°，故选：B．12．已知函数f（x）=，方程f2（x）﹣bf（x）=0，b∈（0，1），则方程的根的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】化简可得f（x）=0或f（x）=b，作函数f（x）=的图象，从而可得f（x）=0有两个不同的根，f（x）=b，（0＜b＜1）有三个不同的根；从而得到．【解答】解：∵f2（x）﹣bf（x）=0，∴f（x）=0或f（x）=b，作函数f（x）=的图象如下，，结合图象可知，f（x）=0有两个不同的根，f（x）=b，（0＜b＜1）有三个不同的根；且5个根都不相同；故方程的根的个数是5，故选D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设函数f（x）=x3+2x2+bx﹣3在x1，x2处取得极值，且x=，则b=﹣3．【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】由题意可得x1，x2为方程f′（x）=3x2+4x+b=0的两根，由韦达定理整体配方可得b的方程，解方程可得．【解答】解：∵函数f（x）=x3+2x2+bx﹣3在x1，x2处取得极值，∴x1，x2为方程f′（x）=3x2+4x+b=0的两根，由韦达定理可得x1+x2=﹣，x1x2=，∴x=（x1+x2）2﹣2x1x2=（﹣）2﹣2×=，解得b=﹣3故答案为：﹣314．在图中的算法中，如果输入A=2016，B=98，则输出的结果是14．【考点】循环结构．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的C，A，B的值，当B=0时不满足条件B 不等于零，退出循环，输出A的值为14，即可得解．【解答】解：模拟执行程序，可得A=2016，B=98满足条件B不等于零，执行循环体，C=56，A=98，B=56满足条件B不等于零，执行循环体，C=42，A=56，B=42满足条件B不等于零，执行循环体，C=14，A=42，B=14满足条件B不等于零，执行循环体，C=0，A=14，B=0不满足条件B不等于零，退出循环，输出A的值为14．故答案为：14．15．己知a（3﹣a）＞0，那么的最小值是．【考点】基本不等式．【分析】由题意变形已知式子可得原式=[a+（3﹣a）]（）=（10++），由基本不等式可得．【解答】解：∵a（3﹣a）＞0，∴=[a+（3﹣a）]（）=（10++）≥（10+2）=当且仅当=即a=时取等号，∴原式的最小值为，故答案为：．16．三棱锥S﹣ABC中，侧棱SA⊥平面ABC，底面ABC是边长为的正三角形，SA=2，则该三棱锥的外接球体积等于π．【考点】球的体积和表面积．【分析】由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC 为底面以SA为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，得球的半径R，然后求解体积．【解答】解：根据已知中侧棱SA⊥平面ABC，底面ABC是边长为的正三角形，SA=2，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以SA为高的正三棱柱的外接球，∵△ABC是边长为的正三角形，∴△ABC的外接圆半径r=×=1，球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=SA=，故球的半径R==2．三棱锥S﹣ABC外接球的体积为：π×23=π．故答案为：π．三、解答题（共6小题，满分60分）17．在公比为2的等比数列{a n}中，a2与a5的等差中项是9．（1）求a1的值；（2）若函数y=a1sin（φ），0＜φ＜π的一部分图象如图所示，M（﹣1，a1），N（3，﹣a1）为图象上的两点，设∠MON=θ，其中O为坐标原点，0＜θ＜π，求cos（θ﹣φ）的值．【考点】两角和与差的余弦函数；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）由条件利用等差中项、等比数列的定义，求得a1的值．（2）由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，△MON中，再利用余弦定理求得cosθ的值，再利用两角差的余弦公公式，求得cos（θ﹣φ）的值．【解答】解：（1）∵公比为2的等比数列{a n}中，a2与a5的等差中项是9，==9，∴a2=2=2a1，∴a1=．（2）若函数y=a1sin（φ）=sin（φ），0＜φ＜π的一部分图象如图所示，M （﹣1，），N（3，﹣）为图象上的两点，结合五点法作图可得•（﹣1）+φ=，求得φ=，故y=sin（）．△MON中，由∠MON=θ，其中O为坐标原点，利用余弦定理可得cosθ===﹣，再结合0＜θ＜π，可得θ=，求cos（θ﹣φ）=cos（﹣）=cos=cos（﹣）=cos cos+sin sin=．18．某校一模考试数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下：试根据图表中的信息解答下列问题：（1）求全班的学生人数及分数在[70，80）之间的频数；（2）为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于[70，80），[80，90）和[90，100]分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选2人进行交流，求交流的2名学生中，恰有一名成绩位于[70，80）分数段的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由茎叶图和直方图可知分数在[50，60）的频数为4人，可得频率为0.08，进而可得参数人数为50，计算50﹣（4+14+8+4）可得；（2）可得人数分别为5、2、1，分别记为1、2、3、4、5，a、b，A，列举可得总的基本事件共28个，其中恰有一名成绩位于[70，80）分数段的有15个，由概率公式可得．【解答】解：（1）由茎叶图和直方图可知分数在[50，60）的频数为4人，故频率为0.008×10=0.08，故参数人数为=50，∴分数在[70，80）之间的频数为50﹣（4+14+8+4）=20；（2）按分层抽样三个分数段的频数之比为5：2：1，可得人数分别为5、2、1，分别记为1、2、3、4、5，a、b，A，从中任选2人进行交流有（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，a）（1，b）（1，A）（2，3）（2，4）（2，5）（2，a）（2，b）（2，A）（3，4）（3，5）（3，a）（3，b）（3，A）（4，5）（4，a）（4，b）（4，A）（5，a）（5，b）（5，A）（a，b）（a，A）（b，A）共28个，其中恰有一名成绩位于[70，80）分数段的有（1，a）（1，b）（1，A）（2，a）（2，b）（2，A）（3，a）（3，b）（3，A）（4，a）（4，b）（4，A）（5，a）（5，b）（5，A）共15个，故交流的2名学生中，恰有一名成绩位于[70，80）分数段的概率P=．19．定理：平面内的一条直线与平面的一条斜线在平面内的射影垂直，则这条线段垂直于斜线．试证明此定理：如图所示：若PA⊥α，A是垂足，斜线PO∩α=O，a⊂α，a⊥AO，试证明a⊥PO．【考点】直线与平面垂直的判定；综合法与分析法(选修）．【分析】利用PA⊥a，a⊥AO，即可证明a⊥面PAO，即可证明a⊥PO．【解答】证明：∵PA⊥α，a⊂α，∴PA⊥a，∵a⊥AO，又∵PA∩AO=A，∴a⊥平面PAO，∵PO⊂平面PAO，∴a⊥PO．20．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，试证明动点P在线段B1C上．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】连接AC，BD，利用正方体的性质以及线面垂直的性质定理，结合点在平面内的判定方法证明．【解答】证明：连接AC，BD，∵AC⊥BD，∴AC⊥BD1，连接AB1，A1B，∵AB1⊥A1B，∴A1B⊥BD1，∴BD1⊥平面AB1C，∴AP⊥BD1，A∈平面AB1C，∴P∈平面AB1C，∵P∈平面BCC1B1，又平面AB1C∩平面BCC1B1，∴P在线段B1C上．21．椭圆C1：+y2=1，椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（，0），斜率为1的直线l与椭圆C2相交于A、B两点，线段AB的中点H的坐标为（2，﹣1）．（1）求椭圆C2的方程；（2）设P为椭圆C2上一点，点M、N在椭圆C1上，且=+2，则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．【分析】（1）求出椭圆C2的c，设出A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，运用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，得到a，b的方程，解方程解得a，b，即可得到所求椭圆方程；（2）设P（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），代入椭圆方程，再由向量的坐标相等，得到方程，代入整理，即可得到x1x2+2y1y2=0，再由斜率公式，即可得到斜率之积为定值．【解答】解：（1）椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（，0），则c=，即有a2﹣b2=5，①设A（x1，y1），B（x2，y2），则=1，=1，两式相减的，+=0，由于x1+x2=4，y1+y2=﹣2，则有k AB===1，②由①②解得，a=，b=．则椭圆C2的方程为=1；（2）设P（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），则x02+2y02=10，x12+2y12=2，x22+2y22=2，由=+2，可得：（x0，y0）=（x1，y1）+2（x2，y2），∴，∴x02+2y02=（x1+2x2）2+2（y1+2y2）2=x12+4x1x2+4x22+2y12+8y1y2+8y22=（x12+2y12）+4（x22+2y22）+4（x1x2+2y1y2）=10+4（x1x2+2y1y2）=10．∴x1x2+2y1y2=0，∴=﹣，即k OM•k ON=﹣，∴直线OM与直线ON的斜率之积为定值，且定值为﹣．22．已知函数f（x）=（x＞0）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）证明：f（x）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）根据导数和函数单调性的关系，以及导数和最值得关系即可求出；（2）令h（x）=ln（1+x）﹣，利用导数和最值得关系即可证明．【解答】解：（1）∵f（x）=（x＞0），∴f′（x）=（x＞0），设g（x）=﹣ln（1+x），x＞0，∴g′（x）=﹣=＜0，∴g（x）在（0，+∞）为减函数，∴g（x）＜g（0）=0，∴f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）为减函数，（2）令h（x）=ln（1+x）﹣，∴h′（x）=，x＞0时，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，∴h（x）＞h（0）=0，∴ln（1+x）＞，从而，x＞0时，f（x）＞得证．[选修4-1：几何证明选讲]23．如图，PA、PC切⊙O于A、C，PBD为⊙O的割线．（1）求证：AD•BC=AB•DC；（2）已知PB=2，PA=3，求△ABC与△ACD的面积之比．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）证明△PAB∽△PDA，可得=，同理可得=，问题得以证明，（2）根据圆内接四边形的性质和三角形的面积公式可得=，问题得以解决．【解答】证明：（1）∵PA是⊙O的切线，由弦切角定理得∠PAB=∠ADB，∵∠APB为△PAB与△PAD的公共角，∴△PAB∽△PDA，∴=，同理=，又PA=PC，∴，∴AD•BC=AB•DC；（2）由圆的内接四边形的性质得∠ABC+∠ADC=π，∴S△ABC=AB•BC•sin∠ABC，S△ADC=AD•DC•sin∠ADC，∴====[选修4-4：坐标系与参数方程]24．在直角坐标系xOy中，已知⊙O的方程x2+y2=4，直线l：x=4，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点作射线交⊙O于A，交直线l于B．（1）写出⊙O及直线l的极坐标方程；（2）设AB中点为M，求动点M的轨迹方程．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）根据极坐标方程与普通方程之间的转化公式，求得⊙O及直线l的极坐标方程．（2）设动点M（ρ，θ），A（ρ1，θ）、B（ρ2，θ），则由题意可得，化简可得动点M的轨迹方程．【解答】解：（1）∵⊙O的方程x2+y2=4，故它的极坐标方程为ρ2=4，即ρ=2；∵直线l：x=4，故它的极坐标方程为ρcosθ=4．（2）由于AB中点为M，设动点M（ρ，θ），A（ρ1，θ）、B（ρ2，θ），则，∴动点M的轨迹方程为ρ=1+．[选修4-5：不等式选讲]25．不等式|x﹣|≤的解集为{x|n≤x≤m}（1）求实数m，n；（2）若实数a，b满足：|a+b|＜m，|2a﹣b|＜n，求证：|b|＜．【考点】综合法与分析法(选修）．【分析】（1）根据绝对值不等式的解法进行求解即可．（2）根据绝对值不等式的性质进行转化证明．【解答】解：（1）由|x﹣|≤得﹣≤x﹣≤，即≤x≤，∵不等式|x﹣|≤的解集为{x|n≤x≤m}∴n=，m=，（2）证明：3|b|=|3b|=|2（a+b）﹣（2a﹣b）|≤2|a+b|+|2a﹣b|，∵|a+b|＜m，|2a﹣b|＜n，∴|a+b|＜，|2a﹣b|＜，则3|b|≤2|a+b|+|2a﹣b|＜2×+=，即|b|＜．2016年7月25日。
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2016年辽宁省大连八中、二十四中联考高考数学模拟试卷（文科）一、选择题1．已知集合M={x|x2+2x﹣3＜0}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，求M∩N=（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣3，﹣2，﹣1，0}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣3，﹣2，﹣1}2．若=b+i，则复数a+bi在复平面内表示的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知条件p：f（x）=x2+mx+1在区间（，+∞）上单调递增，条件q：m≥﹣，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知向量，，||=1，||=，＜，＞=150°，则|2﹣|=（）A．1 B．13 C． D．45．函数f（x）=sin（x）cos（﹣x）的最小正周期是（）A．2πB．πC．D．4π6．在等比数列{a n}中，若有a n+a n+1=3•（）n，则a5=（）A．B．C．D．7．如图，在圆心角为120°的扇形OAB中，以OA为直径作一个半圆，若在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A． B．C．D．x n﹣1+…+a1x+a0的值，当多项式为8．我国古代秦九韶算法可计算多项式a n x n+a n﹣1x4+4x3+6x2+4x+1时，求解它的值所反映的程序框图如图所示，当x=1时输出的结果为（）A．15 B．5 C．16 D．119．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的表面积为（）A．（4+4）πB．（6+4）πC．（8+4）πD．（12+4）π10．设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为11，则a+b的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．811．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为A′、B′两点，以线段A′B′为直径的圆C过点（﹣2，3），则圆C的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣2）2=2 B．（x+1）2+（y﹣1）2=5 C．（x+1）2+（y+1）2=17 D．（x+1）2+（y+2）2=2612．已知定义在R上的函数f（x）和g（x）满足f（x）=e x﹣+x，且g（x）+g′（x）＜0，则下列不等式成立的是（）A．f（2）g B．f（2）gC．gg＞f（2）g若函数f（x）=，则f（7）+f（0）=______．14．已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≤0时，f（x）=x2+2x，那么，不等式f（x）＜3的解集是______．15．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD外接球表面积为______．16．设数列{a n}前n项和S n，且a1=1，{S n﹣n2a n}为常数列，则a n=______．三、解答题17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足=，（1）求角C的大小；（2）设函数f（x）=2sinxcosxcosC+2sin2xsinC﹣，求函数f（x）在区间[0，]上的值域．18．某高三文科班有A，B两个学习小组，每组8人，在刚刚进行的双基考试中这两组学生历史考试的成绩如图茎叶图所示：（1）这两组学生历史成绩的中位数和平均数分别是多少？（2）历史老师想要在这两个学习小组中选择一个小组进行奖励，请问选择哪个小组比较好，只说明结论，不用说明理由；（3）若成绩在90分以上（包括90分）的同学视为优秀，则从这两组历史成绩优秀的学生中抽取2人，求至少有一人来自B学习小组的概率．19．四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SB=SC．（1）设平面SCD与平面SAB的交线为l，求证：l∥AB；（2）求证：SA⊥BC．20．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，顶点A （a ，0），B （0，b ），中心O 到直线AB 的距离为．（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 上一动点P 满足：=λ+2μ，其中M ，N 是椭圆C 上的点，直线OM与ON 的斜率之积为﹣，若Q （λ，μ）为一动点，E 1（﹣，0），E 2（，0）为两定点，求|QE 1|+|QE 2|的值．21．设函数f （x ）=x 2﹣aln （x +2），g （x ）=xe x ，且f （x ）存在两个极值点x 1、x 2，其中x 1＜x 2．（1）求实数a 的取值范围；（2）求g （x ）在区间（﹣2，0）上的最小值；（3）证明不等式：＜﹣1．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，已知圆O 1与圆O 2相交于A ，B 两点，过点A 作圆O 1的切线交圆O 2于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交圆O 1，圆O 2于点D ，E ，DE 与AC 相交于点P ． （1）求证：AD ∥EC ；（2）若AD 是圆O 2的切线，且PA=3，PC=1，AD=6，求DB 的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，已知曲线C 1：ρ=2cos θ，将曲线C 1上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C ，又已知直线l ：（t是参数），且直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．（1）求曲线C 的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）设定点P （，0），求|PA |+|PB |．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f （x ）=．（1）当m=4时，求函数f （x ）的定义域M ；（2）当a，b∈∁R M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．2016年辽宁省大连八中、二十四中联考高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知集合M={x|x2+2x﹣3＜0}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，求M∩N=（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣3，﹣2，﹣1，0}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣3，﹣2，﹣1}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合M，然后求解交集即可．【解答】解：集合M={x|x2+2x﹣3＜0}={x|﹣3＜x＜1}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，M∩N={﹣2，﹣1，0}．故选：C．2．若=b+i，则复数a+bi在复平面内表示的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简等式左边，再由复数相等的条件列式求得a，b 的值得答案．【解答】解：由=，得，即a=4，b=3．∴复数a+bi在复平面内表示的点的坐标为（4，3），所在的象限是第一象限．故选：A．3．已知条件p：f（x）=x2+mx+1在区间（，+∞）上单调递增，条件q：m≥﹣，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用二次函数的对称轴以及单调区间，推出条件p中m的范围，然后判断充要条件即可．【解答】解：因为条件p：f（x）=x2+mx+1在区间（，+∞）上单调递增，所以，可得m≥﹣1．条件q：m≥﹣，则p是q的充分不必要条件．故选：A．4．已知向量，，||=1，||=，＜，＞=150°，则|2﹣|=（）A．1 B．13 C． D．4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知求得，然后代入向量模的公式得答案．【解答】解：∵||=1，||=，＜，＞=150°，∴=．∴|2﹣|==．故选：C．5．函数f（x）=sin（x）cos（﹣x）的最小正周期是（）A．2πB．πC．D．4π【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由（x）与（﹣x）互为余角化余弦为正弦，然后利用二倍角的余弦降幂，再由周期公式求得周期．【解答】解：∵f（x）=sin（x）cos（﹣x）=，∴．故选：B．6．在等比数列{a n}中，若有a n+a n+1=3•（）n，则a5=（）A．B．C．D．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由数列递推式结合数列是等比数列列式求得首项和公比，代入等比数列的通项公式求得a5．【解答】解：∵数列{a n}是等比数列，且a n+a n+1=3•（）n，∴，，∴，解得．∴．故选：C ．7．如图，在圆心角为120°的扇形OAB 中，以OA 为直径作一个半圆，若在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】几何概型． 【分析】设圆心角为120°的扇形OAB 的半径为2，根据题意，易得圆心角为120°的扇形OAB 的面积，OA 为直径作一个半圆的面积，进而由几何概型公式计算可得答案． 【解答】解：设圆心角为120°的扇形OAB 的半径为2，根据题意，圆心角为120°的扇形OAB的面积为=，以OA 为直径作一个半圆的面积为则正在扇形OAB 内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为1﹣=，故选：B ．8．我国古代秦九韶算法可计算多项式a n x n +a n ﹣1x n ﹣1+…+a 1x +a 0的值，当多项式为x 4+4x 3+6x 2+4x +1时，求解它的值所反映的程序框图如图所示，当x=1时输出的结果为（ ）A．15 B．5 C．16 D．11【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得程序框图的功能是根据算法把多项式改写为（（（a n x+a n﹣1）x+a n ﹣2）x+…+a1）x+a0的形式，当x=1时，再由内到外计算多项式，即可得解．【解答】解：∵模拟执行程序，可得程序框图的功能是根据算法a n x n+a n﹣1x n﹣1+…+a1x+a0=（（（a n x+a n﹣1）x+a n﹣2）x+…+a1）x+a0求值．∴x4+4x3+6x2+4x+1=（（（x+4）x+6）x+4）x+1，∴x=1时，由内向外计算，可得多项式x4+4x3+6x2+4x+1的值为：（（（1+4）×1+6）×1+4）×1+1=16．故选：C．9．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的表面积为（）A．（4+4）πB．（6+4）πC．（8+4）πD．（12+4）π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体为圆柱挖去一个圆锥所得的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由圆柱、圆锥的表面积公式求出该几何体的表面积．【解答】解：由三视图知几何体为圆柱挖去一个圆锥所得的组合体，且圆锥与圆柱的底面直径都为4，高为2，则圆锥的母线长为=2，∴该几何体的表面积S==（12+4）π，故选：D．10．设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为11，则a+b的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】简单线性规划．【分析】根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为11，求出a，b的关系式，再利用基本不等式求出a+b 的最小值．【解答】解：满足约束条件，的区域是一个四边形，如图4个顶点是（0，0），（0，1），（，0），（2，3），由图易得目标函数在（2，3）取最大值35，即11=2ab+3，∴ab=4，∴a+b≥2=4，在a=b=2时是等号成立，∴a+b的最小值为4．故选：B．11．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为A′、B′两点，以线段A′B′为直径的圆C过点（﹣2，3），则圆C的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣2）2=2 B．（x+1）2+（y﹣1）2=5 C．（x+1）2+（y+1）2=17 D．（x+1）2+（y+2）2=26【考点】抛物线的简单性质．【分析】设AB的斜率为k，得出AB的方程，与抛物线方程联立方程组，根据根与系数的关系得出圆的圆心坐标和半径，把（﹣2，3）代入圆方程解出k，从而得出圆的方程．【解答】解：抛物线的准线方程为x=﹣1，焦点F（1，0）．设AB的方程为y=k（x﹣1），联立方程组，得y2﹣y﹣4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=﹣4．∴|y1﹣y2|==4．∴以A′B′为直径圆的圆C的圆心为（﹣1，），半径为2．圆C的方程为（x+1）2+（y﹣）2=4（+1）．把（﹣2，3）代入圆的方程得1+（3﹣）2=4（+1）．解得k=2．∴圆C的方程为：（x+1）2+（y﹣1）2=5．故选：B．12．已知定义在R上的函数f（x）和g（x）满足f（x）=e x﹣+x，且g（x）+g′（x）＜0，则下列不等式成立的是（）A．f（2）g B．f（2）gC．gg＞f（2）g求导，再令x=0，求出f（x），再求出f（2）的值，对于g（x）+g′（x）＜0，构造函数h（x）=e x g（x），利用导数和函数的单调性的关系得到h（x）单调递减，得到h，即e2015g，即gg=e x﹣+x，∴f′（x）=e x﹣x+，∴f′（0）=e0﹣0+，∴f′（0）=2，∴f（x）=e x﹣+x，∴f（2）=e2﹣×4+2=e2，∵g（x）+g′（x）＜0，设h（x）=e x g（x），∴h′（x）=e x g（x）+e x g′（x）=e x（g（x）+g′（x））＜0，∴h（x）单调递减，∴h，∴e2015g，∴g，∴gg若函数f（x）=，则f（7）+f（0）=5．【考点】分段函数的应用；函数的值．【分析】利用分段函数总结求解函数值即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（7）+f（0）=log39+30+2=2+1+2=5故答案为：5．14．已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≤0时，f（x）=x2+2x，那么，不等式f（x）＜3的解集是（﹣3，3）．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】求出x＞0时的解析式，f（x）＜3可化为|x|2﹣2|x|﹣3＜0，先解出|x|的范围，再求x范围即可．【解答】解：设x＞0，可得x＜0，所以f（﹣x）=x2﹣2x，因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（﹣x）=x2﹣2x，又f（3）=3，所以f（x）＜3可化为|x|2﹣2|x|﹣3＜0，所以|x|＜3，解得﹣3＜x＜3，所以不等式f（x+）＜3的解集是（﹣3，3）．故答案为：（﹣3，3）．15．正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为，此时四面体ABCD 外接球表面积为 5π ． 【考点】球的体积和表面积．【分析】三棱锥B ﹣ACD 的三条侧棱BD ⊥AD 、DC ⊥DA ，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积．【解答】解：根据题意可知三棱锥B ﹣ACD 的三条侧棱BD ⊥AD 、DC ⊥DA ，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的中，底面边长为1，1，，由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的外接球的球心为O ，外接球的半径为r ， 球心到底面的距离为1，底面中心到底面三角形的顶点的距离为：，∴球的半径为r==．外接球的表面积为：4πr 2=5π． 故答案为：5π．16．设数列{a n }前n 项和S n ，且a 1=1，{S n ﹣n 2a n }为常数列，则a n = ．【考点】数列的应用．【分析】利用{S n ﹣n 2a n }为常数列，得到n ≥2时，S n ﹣n 2a n =S n ﹣1﹣（n ﹣1）2a n ﹣1，可得=，利用叠乘法，即可得出结论．【解答】解：∵{S n ﹣n 2a n }为常数列，∴n ≥2时，S n ﹣n 2a n =S n ﹣1﹣（n ﹣1）2a n ﹣1，∴=，∴a n =…••=．故答案为：．三、解答题17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足=，（1）求角C 的大小；（2）设函数f（x）=2sinxcosxcosC+2sin2xsinC﹣，求函数f（x）在区间[0，]上的值域．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知可得2sinAcosC=sinA，结合sinA≠0，可求2cosC=1，从而可求∠C的值．（2）利用三角函数恒等变换的应用化简可得f（x）=sin（2x﹣），由x∈[0，]，可求﹣≤2x﹣，利用正弦函数的性质即可求得f（x）在区间[0，]上的值域．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵，∴（2a﹣b）cosC=ccosB，∴2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC∴2sinAcosC=sin（B+C）=sinA，∵∠A是△ABC的内角，∴sinA≠0，∴2cosC=1，∴∠C=．（2）由（1）可知∠C=，∴f（x）=sin2x﹣（1﹣2sin2x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），由x∈[0，]，∴﹣≤2x﹣，∴﹣≤sin（2x﹣）≤1，∴函数f（x）的值域为[﹣，1]．18．某高三文科班有A，B两个学习小组，每组8人，在刚刚进行的双基考试中这两组学生历史考试的成绩如图茎叶图所示：（1）这两组学生历史成绩的中位数和平均数分别是多少？（2）历史老师想要在这两个学习小组中选择一个小组进行奖励，请问选择哪个小组比较好，只说明结论，不用说明理由；（3）若成绩在90分以上（包括90分）的同学视为优秀，则从这两组历史成绩优秀的学生中抽取2人，求至少有一人来自B学习小组的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图；极差、方差与标准差．【分析】（1）由茎叶图能求出A、B两组学生历史成绩的中位数和平均分．（2）因为两组学生的平均分相同，但是B组学生的成绩比A组学生的成绩更集中，从而选择B组学生奖励．（3）由题可知A组历史成绩优秀的学生有3人，B组历史成绩优秀的学生有2人，由此利用列举法能求出至少有一人来自B学习小组的概率．【解答】解：（1）A组学生历史成绩的中位数为84，B组学生历史成绩的中位数为83A组学生历史成绩的平均分为B组学生历史成绩的平均分为=85（2）选择B组学生奖励，因为两组学生的平均分相同，但是B组学生的成绩比A组学生的成绩更集中．（3）由题可知A组历史成绩优秀的学生有3人，分别设为a1，a2，a3，B组历史成绩优秀的学生有2人，分别设为b1，b2，因此两个学习小组历史成绩优秀的学生共有5人．从这5人中抽取2人共包含10种情况，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2），记“至少有一人来自B学习小组”为事件A，则事件A共包含7种情况，分别为：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2），因此P（A）=所以至少有一人来自B学习小组的概率为．19．四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SB=SC．（1）设平面SCD与平面SAB的交线为l，求证：l∥AB；（2）求证：SA⊥BC．【考点】直线与平面垂直的性质．【分析】（1）由已知可得AB∥CD，从而可证AB∥平面SCD，利用线面平行的性质即可证明l∥AB．（2）连接AC，由已知利用余弦定理得AC=2，可证AC=AB，取BC中点G，连接SG，AG，则AG⊥BC，通过证明BC⊥平面SAG，即可证明BC⊥SA．【解答】（本题满分为12分）解：（1）证明：∵底面ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∵AB⊊平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD，又∵平面SCD与平面SAB的交线为l，∴l∥AB．…（2）证明：连接AC，∵∠ABC=45°，AB=2，BC=2，由余弦定理得AC=2，∴AC=AB，取BC中点G，连接SG，AG，则AG⊥BC，∵SG∩AG=G，∴BC⊥平面SAG，∴BC⊥SA…20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，顶点A（a，0），B（0，b），中心O到直线AB的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C上一动点P满足：=λ+2μ，其中M，N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为﹣，若Q（λ，μ）为一动点，E1（﹣，0），E2（，0）为两定点，求|QE1|+|QE2|的值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）利用离心率为，中心O到直线AB的距离为．列出方程求出a，b，即可求解椭圆方程．（2）设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），利用=+2μ得，结合点P，M，N 在椭圆上，通过k QM•k QN==﹣，得到λ2+4μ2=1，由椭圆的定义，推出|QF1|+|QF2|=2即可．【解答】解：（1）因为直线AB的方程为ax+by﹣ab=0．所以=，由已知得=，故可解得a=2，b=；所以椭圆的方程为（2）设P （x ，y ），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则由=+2μ得，x=λx 1+2μx 2，y=λy 1+2μy 2因为点P ，M ，N 在椭圆上，所以x 12+2y 12=4，x 22+2y 22=4，x 2+2y 2=4故x 2+2y 2=λ2（x 12+2y 12）+4μ2（x 22+2y 22）+4λμ（x 1x 2+2y 1y 2）=4λ2+16μ2+4λμ（x 1x 2+2y 1y 2）=4设k QM ，k QN 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题意知，k QM •k QN ==﹣，因此x 1•x 2+2y 1y 2=0，所以λ2+4μ2=1，λ2+=1，可知表达式是椭圆，a=1，b=，c=，而E 1，E 2恰为椭圆的左右焦点，所以由椭圆的定义，|QF 1|+|QF 2|=2．21．设函数f （x ）=x 2﹣aln （x +2），g （x ）=xe x ，且f （x ）存在两个极值点x 1、x 2，其中x 1＜x 2．（1）求实数a 的取值范围；（2）求g （x ）在区间（﹣2，0）上的最小值；（3）证明不等式：＜﹣1．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值． 【分析】（1）令f ′（x ）=0在定义域（﹣2，+∞）上有两解，根据二次函数的性质列出不等式组解出a 的范围；（2）判断g ′（x ）在（﹣2，0）上的符号得出g （x ）在（﹣2，0）上的单调性，从而得出最小值；（3）利用根与系数的关系得出关于x 2的函数，令﹣x 2=x 得出新函数F （x ）及定义域，判断F （x ）的单调性得出结论．【解答】解：（1）f ′（x ）=2x ﹣（x ＞﹣2），∵f （x ）存在两个极值点x 1、x 2，其中x 1、x 2，其中x 1＜x 2．∴关于x 的方程2x ﹣=0即2x 2+4x ﹣a=0在区间（﹣2，+∞）内有两个不相等的实数根．∴，解得：﹣2＜a＜0，∴实数a的取值范围是（﹣2，0）（2）g′（x）=（x+1）e x，∴当x∈（﹣2，﹣1）时，g′（x）＜0，当x∈（﹣1，0）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣2，﹣1）单调递减，g（x）在（﹣1，0）单调递增．∴g min（x）=g（﹣1）=﹣．（3）由（1）知，∴．∴=x2+﹣2（x2+2）ln（﹣x2）+4，令﹣x2=x，则0＜x＜1且，令F（x）=﹣x﹣，则F′（x）=﹣1++2lnx+=令G（x）=，则G′（x）=﹣．∵0＜x＜1，∴G′（x）＜0，即F′（x）在（0，1）上是减函数，∴F′（x）＞F′（1）=1＞0，∴F（x）在（0，1）上是增函数，∴F（x）＜F（1）=﹣1，即．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，已知圆O1与圆O2相交于A，B两点，过点A作圆O1的切线交圆O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交圆O1，圆O2于点D，E，DE与AC相交于点P．（1）求证：AD∥EC；（2）若AD是圆O2的切线，且PA=3，PC=1，AD=6，求DB的长．【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．【分析】（1）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；（II）根据切割线定理得到AD2=DB•DE，利用AD是圆O2的切线，AD2=DB•DE，由此即可求DB的长．【解答】（1）证明：连接AB，∵AC是圆O1的切线，∴∠BAC=∠D，又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E，∴AD∥EC（2）解：设PB=x，PE=y，∵PA=3，PC=1，∴xy=3①，∵AD∥EC，∴，且DP=3y由AD是圆O2的切线，∴AD2=DB•DE，∴62=（3y﹣x）4y②由①②可得，，∴BD=3y﹣x=[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，已知曲线C1：ρ=2cosθ，将曲线C1上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C，又已知直线l：（t是参数），且直线l与曲线C交于A，B两点．（1）求曲线C的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）设定点P（，0），求|PA|+|PB|．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，化曲线C1的方程为（x﹣1）2+y2=1，再由图象变化吧的规律可得曲线C；（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程：中，得，运用韦达定理，参数的几何意义，即可求|PA|+|PB|．【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2﹣2x=0即（x﹣1）2+y2=1．∴曲线C的方程为∴曲线C表示焦点坐标为（，0），（，0），长轴长为4的椭圆（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程：中，得．设A、B两点对应的参数分别为t1，t2则t1+t2=﹣，t1t2=﹣，∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=．（1）当m=4时，求函数f（x）的定义域M；（2）当a，b∈∁R M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．【考点】分段函数的应用；函数的定义域及其求法．【分析】（1）由题意和二次根式的被开方数非负，可得|x+1|+|x﹣1|≥4，运用绝对值的意义和对x讨论，解不等式即可得到所求定义域；（2）可得﹣2＜a，b＜2，要证2|a+b|＜|4+ab|，可证4（a+b）2＜（4+ab）2，作差4（a+b）2﹣（4+ab）2，运用平方差和因式分解，即可得证．【解答】解：（1）当m=4时，由|x+1|+|x﹣1|≥4，等价于或或，解得x≤﹣2或x≥2或x∈∅．则不等式的解集为M={x|x≤﹣2或x≥2}；（2）证明：当a，b∈C R M时，即﹣2＜a，b＜2，所以4（a+b）2﹣（4+ab）2=4（a2+2ab+b2）﹣（16+8ab+a2b2）=4a2+4b2﹣16﹣a2b2=（a2﹣4）（4﹣b2）＜0，所以4（a+b）2＜（4+ab）2，即2|a+b|＜|4+ab|．2016年9月20日第21页（共21页）。