不等式的性质2
不等式的性质(二)
P135
解:黄金的质量(克) ≥0.9a;白银的质量(克) ≤0.1a.
当首饰的质量为定值时,黄金含量越多,首饰的体积越小.
设首饰的体积为V cm3,
则
V≤
0.9a 0.1a 19.3 + 10.5
V ≤0.06a
答:这件首饰的体积不大于0.06a克.
P135
解:设李明的冲刺速度为x m/s,
则
∴原不等式的解是 x ≤5 在数轴上表示如Leabharlann 图：8x－7x≤3＋＋2 2
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 x
例２ 解不等式 3（1+x）＞2（1+2x）
3（1＋x）＞2（1＋2x）
解：去括号，得 3＋3x＞2＋4x
移项，得 3x-4x＞ 2－3
合并同类项，得 ∴ 原不等式的解是
-x＞-1 x＜1
或不答的共有(25-x)道题. 根据题意，得
解这个不等式，得 所以小明至少答对了22道题.
学到了哪些知识？ 在思想、方法上你有什么收获？ 在解不等式时，要注意什么问题？
P134
解: 39.98≤ V ≤40.02.
解:设蛋白质的含量为x g, 由题意,得 x ≥300×0.6%
x ≥1.8 答:蛋白质的含量不小于1.8 g.
P135
解:由题意,得 12x+40≤1000
12x ≤960 x ≤80
答:他们的平均体重x不大于80kg.
P135
解:若对调后得到的两位数比原来的两位数大, 则 (10a+b)-(10b+a)>0,即 9a-9b>0, a>b. 若对调后得到的两位数比原来的两位数小, 则(10a+b)-(10b+a)<0,即 a<b. 若对调后得到的两位数等于原来的两位数, 则(10a+b)-(10b+a)=0,即 a=b.
不等式的性质二
2 .选择
( 1 )已知四个条件:①b>0>a, ②0>a>b ,
③a>0>b,④a>b>0 ,能推出1/a<1/b成立的有[ C ]
A. 1个 B. 2 个 C. 3个 D. 4个
( 2 ) 若a>0>b,d<c<0.则下列各式中不成立
cb c
小结: 不等式的十大性质与法则
l 对称性: l 传递性 l 可加性 l 可乘性 l 移项法则
l 加法法则 l 乘法法则 l 乘方法则 l 开方法则 l 倒数法则
作业: 1.课本P8练习3, 习题6.1 5, 2.同步作业本P3
若a>b,c<0,则ac<bc(可乘性)
推论1.(乘法法则)若a>b>0,c>d>0,则ac>bd 推论2.(乘方法则)若a>b>0,则an >bn (n N , n 1)
定理5 若
证明: 假设 n a n b
(反证法)
(1) 若n a n b,则:a b
ห้องสมุดไป่ตู้
(2) 若n a n b,则:a b 这些都与a b 0矛盾.
C. a>b>0,c>d>0
a b
d
c
D. n a n b (n N且n 1) a b
4。若-14< x < y< -6 ,求 yx , y/x 的取值范围
三.性质应用举例:
例1. 已知 a >b >0, c < d < 0 ,比较下 列各式的大小,并说明理由.
( 1 ) ac 与 bd
(2) da 与 d
不等式的性质(2)
不等关系与不等式(理科)一、考点梳理1．两个实数大小关系的比较两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a －b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b ＜0⇔a ＜b.另外，若b ＞0，则有a b ＞1⇔a ＞b ；a b ＝1⇔a ＝b ；ab ＜1⇔a ＜b.2．不等式的性质(1)对称性：如果a>b ，那么b<a. (2)传递性：如果a>b ，b>c ，那么a>c. (3)可加性：如果a>b ，那么a ＋c>b ＋c.(4)可乘性：如果a>b ，c>0，那么ac>bc ；如果a>b ，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b ，c>d ，那么a ＋c>b ＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)可乘方性：如果a>b>0，那么a n >b n (n ∈N ，n ≥2)．(8)可开方性：如果a>b>0∈N ，n ≥2)． 3．不等式的一些常用性质 (1)倒数性质： ①a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b .②a ＜0＜b ⇒1a ＜1b .③a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a c ＞bd.④0＜a ＜x ＜b 或a ＜x ＜b ＜0⇒1b ＜1x ＜1a .(2)有关分数的性质 若a ＞b ＞0，m ＞0，则 ①真分数的性质：b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －m a －m (b －m ＞0)； ②假分数的性质：a b ＞a ＋m b ＋m ；a b ＜a －m b －m (b －m ＞0)． 二、例题解析 考向一 比较大小【例1】►已知a ，b ，c 是实数，试比较a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小．【训练1】 已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )． A ．M<N B ．M>N C ．M ＝N D ．不确定考向二 不等式性质的简单应用【例2】►(1)(2012·上海十三校联考)若1a <1b <0，有下面四个不等式：①|a|>|b|，②a<b ，③a＋b<ab ，④a 3>b 3，则不正确的不等式的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3(2)设a ，b 是实数，则“0＜ab ＜1”是“b ＜1a ”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【训练2】 已知三个不等式：①ab ＞0；②bc ＞ad ；③c a ＞db .以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3考向三 不等式性质的综合应用【例3】►已知函数f(x)＝ax 2＋bx ，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围．【训练3】 若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，试求α＋3β的取值范围．三、课后练习1．(2011·浙江)若a ，b 为实数，则“0<ab<1”是“a<1b 或b>1a ”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．(2013·保定模拟)已知a>b ，则下列不等式成立的是( )． A ．a 2－b 2≥0 B ．ac>bc C ．|a|>|b|D ．2a >2b3．(2012·晋城模拟)已知下列四个条件：①b>0>a ，②0>a>b ，③a>0>b ，④a>b>0，能推出1a <1b 成立的有( )． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．（2010江苏12）设实数x,y 满足3≤2xy ≤8，4≤y x 2≤9，则43yx 的最大值是_____▲____5.(2010辽宁文15)．已知－1＜x+y ＜4且2＜x －y ＜3，则z=2x －3y 的取值范围是6．若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是________．7．(13分)已知f(x)＝ax 2－c 且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．8．(2012·泉州一模)已知奇函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是单调减函数，α，β，γ∈R，且α＋β>0，β＋γ>0，γ＋α>0，则f(α)＋f(β)＋f(γ)与0的关系是________．9．(2011·安徽)(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy；(2)设1＜a≤b≤c，证明log a b＋log b c＋log c a≤log b a＋log c b＋log a c.基本不等式及应用（理科）一、知识归纳： 1．基本不等式：①重要不等式：如果R b a ∈,，则ab b a 222≥+，当且仅当b a =时，等号成立；②基本不等式0,0>>b a ，ab ba ≥+2，当且仅当b a =时，等号成立； 变形：ab b a 2≥+，ab b a ≥+2)2(，2≥+abb a两个正数的算术平均不小于它们的几何平均，即2a b+≥③三个正数的算术-几何平均不等式：如果,,a b c R +∈，则3a b c ++≥当b a ==c 时，等号成立；推广到一般情形：对于n 个正数12,,,n a a a 它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即12n a a a n+++≥ 12n a a a === 时，等号成立2．最值问题： 已知y x ,是正数，①如果积xy 是定值P ，则当y x =时，和y x +有最小值P 2； ②如果和y x +是定值S ，则当y x =时，积xy 有最大值241S . 利用基本不等式求最值时，要注意变量是否为正，和或积是否为定值，等号是否成立，以及添项、拆项的技巧，以满足均基本不等式的条件。
数学六年级下册第九章-不等式的性质(2)-课件与答案
数学
2.下列说法中错误的是
A.若a<b,c≠0,则ac2<bc2
B.若ac<bc,且c>0,则a>b
C.若a>b,且c<0,则ac<bc
D.若a>b,则a-c>b-c
( B )
七年级 下册
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第九章
9.1
数学
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3.不等式5x+10≤0的解集在数轴上表示为 ( C )
第九章
9.1
等式表示正确的是 ( B )
A.3×4+2x<24
B.3×4+2x≤24
C.3x+2×4≤24
D.3x+2×4≥24
数学
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9.已知不等式(m-2)x>1的解集为x<
,则
−
( A )
A.m<2
D. m<3
B.m>2
C. m>3
第九章
9.1
数学
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第九章
9.1
原不等式可化为2(2x-1)≤6-3(x+1),
去括号得4x-2≤6-3x-3,
合并同类项得7x≤5,
所以原不等式的解为x≤ .
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第九章
9.1
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第九章
9.1
【变式1】(1)(2022春·陆河县期末)已知m≥n,下列四个不等
式中不正确的是
( A )
A.3-m≥3-n
B.3m≥3n
C.-3m≤-3n
D.m+5≥n+5
第九讲 不等式性质二(同乘除)_1_
个性化辅导讲义，则有：①，则或。
或。
，且时，有。
课后作业1、判断下列各题是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”（1）不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变.（ ）（2）如果a ＞b ，那么3－2a ＞3－2b.（ ）(3)如果a 是有理数，那么－8a ＞－5a.（ ）(4)如果a ＜b ，那么a 2＜b 2.（ ）(5)如果a 为有理数，则a ＞－a.（ ）(6)如果a ＞b ，那么ac 2＞bc 2.（ ）(7)如果－x ＞８，那么x ＞－8.（ ）(8)若a ＜b ，则a ＋c ＜b ＋c.（ ）2、如果ab ＜0，那么下列判断正确的是 ( )A ．以＜0，b ＜0B ．a ＞0，b ＞0C ．以≥0，b≤0D ．a ＜0，b ＞0或a ＞0，b ＜03、若a ＜b ，则下列各式中一定成立的是 ( )A ．a －1＜b －1B ．3a ＞3b C ．－a ＜－b D ．ac 2＜bc 2 4、如果关于x 的不等式(a+1)x>a+1的解集为x<1,那么a 的取值范围是 ____________________________.5、由x<y,得ax ≥ay 的条件是（ ）.A ．a ≥0 B. a ≤0 C. a>0 D. a<06、如果0<x<1,则下列不等式成立的是（ ）.A ．2x ＞1x ＞x B. 1x ＞2x ＞x A ．x ＞1x ＞2x B. 1x ＞x ＞2x7、下列各不等式中，错误的是（ ）.A ．若a+b>b+c,则a>c B. 若a>b,则a －c>b －cC. 若ab>bc,则a>cD. 若a>b,则2c+a>2c+b8、设a ，b ，c 都是实数，且满足：用a 去乘不等式的两边，不等号方向不变；用b 去除不等式的两边，不等号方向改变；用c 去乘不等式的两边，不等号要变成等号．则a 、b 、c 的大小关系是 ( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c a b >>9、如果b a >，那么下列不．等式中不成立的是（ ） A.33a b ->- B.33a b ->- C.33a b > D.a b -<- 10、在下列各不等式中，错误．．的是（ ） A.若a b b c +>+，则a c > B.若a b >，则a c b c ->-C.若ab bc >，则a c >D.若a b >，则22c a c b +>+11、下列叙述正确的是（ ）A.a b >，则22ac bc >B.若03x -<，则3x >-C.当7x <时，3(7)x -是负数D.当0x <时，23x x <12、由y x >得到ay ax <，则a 的取值范围是( )A.0>aB.0<aC.0=aD.a 可以为任何实数13、已知将不等式mx ＞m 的两边都除以m ，得x ＜1，则m 应满足______________14、当x ，代数式1+x 的值不大于．．．3．15、若1x <，则22x -+_____0（用“>””<”或“＝”填空）。
9-1-2不等式的性质(第二课时)-七年级数学下册同步精品课件(人教版)
比赛，女老师赢了；
第三场：男老师加一个男同学为一方，女老师与三个女同学为
另一方进行比赛，男老师一方赢了．
问：女老师加两个男同学与男老师加上三个女同学进行比赛，
结果将会怎么样？为什么？
课堂练习
解：设男老师力量为x，女老师力量为y，男生力量为z，女生
位数的个位与十位上的数字对调，得到的两位数大于原来的两位数，那
么a与b哪个大？
解：根据题意，得
10b+a＜10a+b，
所以，9b＜9a，
所以，b＜a，即a＞b．
课堂练习
4．用不等式表示下列语句并写出解集，并在数轴上表示解集.
（1）x的3倍大于或等于1； （2）x与3的和不小于6；
（3）y与1的差不大于0；
D.a＜0
提示:考虑什么时候需要变号——两边同时除以负数时变号.
课堂练习
2.5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平
均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为
c米，后三名的平均身高为d米，则（ B
）
课堂练习
3.有一个两位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，如果把这个两
A．4
B．5
C．6
D．7
探究新知
单击此处添加大标题
9.如图，某班进行拔河比赛，一共有两个老师，一个男老师，
一个女老师，六个学生，三个男学生，三个女学生．其中每个
男学生的力量相同，每个女学生的力量相同．
如果有三场比赛的结果是：
第一场：一个男老师为一方，五个同学（两男三女）为另一方
进行比赛，男老师输了；
式表示出来.
解：设北京气温为x℃：
2.1(2)不等式的基本性质Ⅱ
n 1
n 1
iff = b时 号 立 a 等 成
ax>b
例4
ax<b
( 解:移项整理得: m 1) x < m ( )当m 1 = 0 即m = 1时, 0 x < 1 x ∈ φ Ⅰ
解关于 x的不等式 (1) m ( x + 2) < x + m
m (Ⅱ )当m 1 > 0 即m > 1时, x < 1 m m (Ⅲ )当m 1 < 0即m < 1时, x > 1 m 综上: m =1 , 等 解 为 当 时 不 式 集 φ
3,预习2.2节
�
b (2)a > 0 x > a b (3)a < 0 x < a
小结 1,掌握比较两个实数大小的基本方法——作差法. 2,会利用不等式的基本性质比较两实数的大小或 证明简单的不等式. 3,解带有参数的不等式(或方程),要对系数进行 分类讨论. 作业
1,习题2.1 A组ex6 ex8,B组(做在习题册上) 2,《一课一练》 1(2) 2.
性质7. 性质 . a > b > 0, 那么(0 < ) 1 < 1 如果 a b
证明: 证明:
1 1 ba = a b ab
∵ b a < 0, ab > 0 1 1 ∴ <0 a b
1 1 ∴ 0< < a b
1 1 如果a < b < 0, 那么 ____ (< 0) a b
(同号倒数性质 同号倒数性质) 同号倒数性质
性质1.如果 性质 如果 性质2.如果 性质 如果
1 性质3. 性质 . 2
(传递性 传递性) 传递性 (加法性质 加法性质) 加法性质 (乘法性质 乘法性质) 乘法性质 (同向相加 同向相加) 同向相加 (正数同向相乘) (正数同向相乘) 正数同向相乘 1) (乘方性质 乘方性质) 乘方性质 2) (开方性质 开方性质) 开方性质
不等式的性质2
不等式的性质
5.绝对值小于 的非负整数有 0，1，2 ； 绝对值小于3的非负整数有 ， ， 绝对值小于 6.下列选项正确的是（D） 下列选项正确的是（ 下列选项正确的是 A. a不是负数，则a＞0 不是负数， 不是负数 ＞ B. b是不大于0的数，则b＜0； b是不大于 的数， b＜0； 是不大于0的数 C. m不小于 ，则m＞-1； 不小于-1， 不小于 ＞ ； D. a+b是负数，则a+b＜０. 是负数， 是负数 ＜ 7.A市某天的最低气温是 ℃，最高气温 市某天的最低气温是-7℃ 市某天的最低气温是 是6℃，设这天气温为 ℃，则 t满足的 ℃ 设这天气温为t℃ 满足的 -7≤t≤6 . 条件是
若设物体A的重量为 克；某天的气温为t℃； 若设物体 的重量为x克 某天的气温为 ℃ 的重量为 本班某同学的年龄为a岁 本班某同学的年龄为 岁，上述不等关系能用式子 表示出来吗？ 表示出来吗？
不等式的性质
不等式的性质
x＞2，x ＜3，t≥-5，t≤10 ，a ＜17 ＞ ， ， ， -7＜-5，3+4＞1+4，5+3≠12-5 ＜ ， ＞ ， a+2＞a+1，x+3 ＜6 ，a≠0， ＞ ， ， (1)上述式子有哪些表示数量关系的符号 (1)上述式子有哪些表示数量关系的符号？ 上述式子有哪些表示数量关系的符号？ 表示不等关系） （表示不等关系） 这些符号表示什么关系？ 这些符号表示什么关系？ (2)这些符号两侧的代数式可随意交换 这些符号两侧的代数式可随意交换 位置吗？ 不可随意互换位置） 位置吗？ （不可随意互换位置） (3)什么叫不等式？ 什么叫不等式？ 什么叫不等式 用不等号表示不等关系的式子叫不等式） （用不等号表示不等关系的式子叫不等式）
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。
仿照下表，分组探讨
不等式的两 边都乘以 不等式 （或除以） 同一个负数 7＞4 －8＜4 乘以－5 除以－4
与原不等 式比较不 结 果 等号的方 向是否改 变了
由上面的探讨我们可以继续得出：
不等式的基本性质 3：
不等式的两边都乘以（或除以） 同一个负数，不等号的方向要改变。 这个性质可以用数学语言表示为：
仿照下表，分组探讨
不等式的两 边都加上 不等式 （或减去） 同一个数
7＞4 －3＜4 加上5 减去7
结果
与原不等 式比较不 等号的方 向是否改 变了
由上面的探讨我们可以得出：
不等式的性质1： 不等式的两边都加上（或减去） 同一个数，不等号的方向不变。 这个性质可以用数学语言表示为： 如果 a b ，那么
（1）掌握不等式的三条性质，尤其是性质3； 不等式的三条性质是： ① 、不等式的两边都加上（或减去）同一 个 数或同一个整式，不等号的方向不变； ② 、不等式的两边都乘以（或除以）同一 个 正数，不等号的方向不变； ③ 、*不等式的两边都乘以（或除以）同 一个负数，不等号的方向要改变 ； （2）能正确应用性质对不等式进行变形；
ac ＜ bc
如果 a b，那么 a c ＞ b c
仿照下表，分组探讨
不等式的两 边都乘以 不等式 （或除以） 同一个正数 7＞4 －8＜4 乘以5 除以4
与原不等 式比较不 结 果 等号的方 向是否改 变了
由上面的探讨我们可以继续得出：
不等式的基本性质 2： 不等式的两边都乘以（或除以） 同一个正数，不等号的方向不变。 这个性质可以用数学语言表示为：
这种解法对吗？如果正确，说出它 根据的是不等式的哪一条基本性质；如 果不正确，请就明理由。
答：这种解法不正确，因为字母 a的取值范 围我们并不知道。如果 a 0，那么 5a 3a ；
如果 a 0 ，那么 3a 5a 。
例 1 根据不等式的基本性质，把 下列不等式化成 x＜ a 或 x＞ a 的形式： （1） x －2＜ 3 （2） 6 x ＜ 5 x－1 1 （3） x ＞5 2 （4） －4 x ＞3
c 如果 a b， 0 ，那么 ac bc 如果 a b c 0，那么 ac bc ，
1、在不等式－8＜0的两边都除以－8可 得 。 2、在不等式－3 x＜3的两边都除以－3 可得 。 3、在不等式－3＞－4的两边都乘以－3 可得 。 4、在不等式 a b 的两边都乘以－1可 得 。
当不等式两边都乘以（或除以）同 一个数时，一定要看清是正数还是负 数；对于未给定范围的字母，应分情 况讨论。
作业： 完成教材和练 习册中的练习题。
如果 a
b ，那么： ① a 3 ＞ b 3（不等式的性质 2a ＞ 2b （不等式的性质 ② ③ 3a ＜ 3b （不等式的性质 （不等式的性质 ④ a b ＞ 0
1 与 3a 的大小。
解：∵ 5 ＞ 3 ∴ 5a 3a
c 如果 a b， 0，那么 ac bc
如果 a b c 0 ， ，那么 ac bc
1、如果x＋5＞4，那么两边都 得 x ＞－1 。 2、在－7＜8 的两边都加上9可得
3、在5＞－2 的两边都减去6可得 4、在－3＞－4 的两边都乘以7得
可
。
。
。
5、在－8＜0 的两边都除以8 可得
不等式的基本性质
2
教学目标
1、了解不等式的意义，掌握不等式的 基本性质，并能正确运用它们将不等式 变形； 2、提高学生观察、比较、归纳的能力 ，渗透类比的思维方法；
教学重点和难点
重点：掌握不等式的基本性质并能正确 运用它们将不等式变形。 难点：掌握不等式的基本性质并能正确 运用它们将不等式变形。 教法：尝试、讨论、引导、总结