2019年高考文科数学数列分类汇编
2019年高考数学试题分项版—数列(解析版)
2019年高考数学试题分项版——数列（解析版）一、选择题1．(2019·全国Ⅲ文，6)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3等于( )A ．16B ．8C ．4D ．2 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 5＝3a 3＋4a 1得q 4＝3q 2＋4，得q 2＝4，因为数列{a n }的各项均为正数，所以q ＝2，又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝a 1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a 1＝1，所以a 3＝a 1q 2＝4.2．(2019·浙江，10)设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝a n 2＋b ，n ∈N *，则( )A ．当b ＝12时，a 10＞10 B ．当b ＝14时，a 10＞10 C ．当b ＝－2时，a 10＞10 D ．当b ＝－4时，a 10＞10 答案 A解析 当b ＝12时，因为a n ＋1＝a n 2＋12，所以a 2≥12，又a n ＋1＝a n 2＋12≥√2a n ，故a 9≥a 2×(√2)7≥12×(√2)7＝4√2，a 10＞a 92≥32＞10.当b ＝14时，a n ＋1－a n ＝(a n −12)2，故当a 1＝a ＝12时，a 10＝12，所以a 10＞10不成立．同理b ＝－2和b ＝－4时，均存在小于10的数x 0，只需a 1＝a ＝x 0，则a 10＝x 0＜10，故a 10＞10不成立．3．(2019·全国Ⅰ理，9)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8n D ．S n ＝12n 2－2n答案 A解析 设等差数列{a n }的公差为d ，∵{S 4＝0，a 5＝5，∴{4a 1+4×32d =0,a 1+4d =5,解得{a 1=−3，d =2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋2(n －1)＝2n －5， S n ＝na 1＋n (n−1)2d ＝n 2－4n .故选A.4．(2019·全国Ⅲ理，5)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3等于( )A ．16B ．8C ．4D ．2 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 5＝3a 3＋4a 1得q 4＝3q 2＋4，得q 2＝4，因为数列{a n }的各项均为正数，所以q ＝2，又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝a 1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a 1＝1，所以a 3＝a 1q 2＝4. 二、填空题1．(2019·全国Ⅰ文，14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，S 3＝34，则S 4＝________.答案 58解析 设等比数列的公比为q ， 则a n ＝a 1q n －1＝q n －1. ∵a 1＝1，S 3＝34，∴a 1＋a 2＋a 3＝1＋q ＋q 2＝34， 即4q 2＋4q ＋1＝0，∴q ＝－12，∴S 4＝1×[1−(−12)4]1−(−12)＝58.2．(2019·全国Ⅲ文，14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 3＝5，a 7＝13，则S 10＝________. 答案 100解析 ∵{a n }为等差数列，a 3＝5，a 7＝13， ∴公差d ＝a 7−a 37−3＝13−54＝2，首项a 1＝a 3－2d ＝5－2×2＝1， ∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝100.3．(2019·江苏，8)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________． 答案 16解析 方法一 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2a 5＋a 8＝(a 1＋d )(a 1＋4d )＋a 1＋7d ＝a 12＋4d 2＋5a 1d ＋a 1＋7d ＝0，S 9＝9a 1＋36d ＝27，解得a 1＝－5，d ＝2，则S 8＝8a 1＋28d ＝－40＋56＝16.方法二 ∵S 9＝a 1+a 92×9＝27，∴a 1＋a 9＝6， ∴a 2＋a 8＝2a 5＝6， ∴a 5＝3，则a 2a 5＋a 8＝3a 2＋a 8＝0， 即2a 2＋6＝0， ∴a 2＝－3，则a 8＝9，∴其公差d ＝a 8−a 58−5＝2，∴a 1＝－5，∴S 8＝8×a 1+a82＝16.4．(2019·全国Ⅰ理，14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 42＝a 6，则S 5＝________.答案1213解析 设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 42＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5，所以a 1q ＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 1(1−q 5)1−q＝13×(1−35)1−3＝1213.5．(2019·全国Ⅲ理，14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1≠0，a 2＝3a 1，则s 10s 5＝________.答案 4解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2＝3a 1， 即a 1＋d ＝3a 1，得d ＝2a 1，所以s 10s 5＝10a1+10×92d 5a1+5×42d＝10a1+10×92×2a15a1+5×42×2a1＝10025＝4.6．(2019·北京理，10)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =-，510S =-，则5a = ，n S 的最小值为 ．【思路分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，能求出14a =-，1d =，由此能求出5a 的n S 的最小值．【解析】：设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =-，510S =-，∴113545102a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，解得14a =-，1d =，5144410a a d ∴=+=-+⨯=， 21(1)(1)19814()22228n n n n n S na d n n --=+=-+=--， 4n ∴=或5n =时，n S 取最小值为4510S S ==-．故答案为：0，10-．【归纳与总结】本题考查等差数列的第5项的求法，考查等差数列的前n 项和的最小值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 三、解答题1．(2019·全国Ⅰ文，18)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5. (1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 解 (1)设{a n }的公差为d . 由S 9＝－a 5，即9a 5＝－a 5，所以a5＝0，得a1＋4d＝0.由a3＝4得a1＋2d＝4.于是a1＝8，d＝－2.因此{a n}的通项公式为a n＝10－2n，n∈N*.(2)由(1)得a1＝－4d，故a n＝(n－5)d，.S n＝n(n−9)d2由a1>0知d<0，≥(n－5)d，化简得故S n≥a n等价于n(n−9)d2n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10，所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N*}．2．(2019·全国Ⅱ文，18)已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和．解(1)设{a n}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0，解得q＝－2(舍去)或q＝4.因此{a n}的通项公式为a n＝2×4n－1＝22n－1.(2)由(1)得b n＝log222n－1＝(2n－1)log22＝2n－1，因此数列{b n}的前n项和为1＋3＋…＋2n－1＝n2.3．(2019·北京文，16)设{a n}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)记{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值．解(1)设{a n}的公差为d.因为a1＝－10，所以a2＝－10＋d，a3＝－10＋2d，a4＝－10＋3d.因为a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列，所以(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6)．即(－2＋2d)2＝d(－4＋3d)．解得d＝2.所以a n＝a1＋(n－1)d＝2n－12.(2)由(1)知，a n＝2n－12.则当n≥7时，a n>0；当n≤6时，a n≤0.所以S n 的最小值为S 5＝S 6＝－30.4．(2019·天津文，18)设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，公比大于0.已知a 1＝b 1＝3，b 2＝a 3，b 3＝4a 2＋3.(1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)设数列{c n }满足c n ＝{1,n 为奇数，b n 2,n 为偶数.求a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n (n ∈N *)．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，q ＞0. 依题意，得{3q ＝3＋2d ，3q 2＝15＋4d ，解得{d ＝3，q ＝3，故a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝3×3n －1＝3n .所以{a n }的通项公式为a n ＝3n ，{b n }的通项公式为b n ＝3n . (2)a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＋(a 2b 1＋a 4b 2＋a 6b 3＋…＋a 2n b n ) ＝[n ×3+n(n−1)2×6]＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n ×3n )＝3n 2＋6(1×31＋2×32＋…＋n ×3n )． 记T n ＝1×31＋2×32＋…＋n ×3n ，① 则3T n ＝1×32＋2×33＋…＋n ×3n ＋1，② ②－①得，2T n ＝－3－32－33－…－3n ＋n ×3n ＋1 ＝－3(1−3n )1−3＋n ×3n ＋1＝(2n−1)3n+1+32.所以a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n ＝3n 2＋6T n ＝3n 2＋3×(2n−1)3n+1+32＝3(n−1)3n+2+6n 2+92(n ∈N *)．5．(2019·浙江，20)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝4，a 4＝S 3.数列{b n }满足：对每个n ∈N *，S n ＋b n ，S n ＋1＋b n ，S n ＋2＋b n 成等比数列． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记c n ＝√a n 2b n，n ∈N *，证明：c 1＋c 2＋…＋c n ＜2√n ，n ∈N *.(1)解 设数列{a n }的公差为d ，由题意得 a 1＋2d ＝4，a 1＋3d ＝3a 1＋3d ， 解得a 1＝0，d ＝2. 从而a n ＝2n －2，n ∈N *. 所以S n ＝n 2－n ，n ∈N *.由S n ＋b n ，S n ＋1＋b n ，S n ＋2＋b n 成等比数列得(S n ＋1＋b n )2＝(S n ＋b n )(S n ＋2＋b n )．解得b n ＝1a (S n+12－S n S n ＋2)．所以b n ＝n 2＋n ，n ∈N *.(2)证明 c n ＝√a n 2b n＝√2n−22n(n+1)＝√n−1n(n+1)，n ∈N *.我们用数学归纳法证明．①当n ＝1时，c 1＝0＜2，不等式成立； ②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时不等式成立，即 c 1＋c 2＋…＋c k ＜2√k . 那么，当n ＝k ＋1时，c 1＋c 2＋…＋c k ＋c k ＋1＜2√k ＋√k(k+1)(k+2)＜2√k ＋√1k+1＜2√k ＋√k+1+√k＝2√k ＋2(√k +1－√k )＝2√k +1.即当n ＝k ＋1时不等式也成立．根据①和②，不等式c 1＋c 2＋…＋c n ＜2√n 对任意n ∈N *成立．6．(2019·江苏，20)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”．(1)已知等比数列{a n }(n ∈N *)满足：a 2a 4＝a 5，a 3－4a 2＋4a 1＝0，求证：数列{a n }为“M －数列”； (2)已知数列{b n }(n ∈N *)满足：b 1＝1，1S n＝2b n －2b n+1，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数．若存在“M －数列”{c n }(n ∈N *)，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有c k ≤b k ≤c k＋1成立，求m 的最大值．(1)证明 设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由{a 2a 4=a 5,a 3−4a 2+4a 1=0,得{a 12q 4=a 1q 4,a 1q 2−4a 1q +4a 1=0,解得{a 1=1,q =2.因此数列{a n }为“M －数列”． (2)解 ①因为1S n＝2b n－2bn+1，所以b n ≠0.由b 1＝1，S 1＝b 1，得11＝21－2b 2，则b 2＝2.由2S n＝2b n－2bn+1，得S n ＝b nb n+12(b n+1−b n )，当n ≥2时，由b n ＝S n －S n －1， 得b n ＝b nb n+12(b n+1−b n)－b n−1bn2(b n−b n−1)， 整理得b n ＋1＋b n －1＝2b n .所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列．因此，数列{b n }的通项公式为b n ＝n (n ∈N *)． ②由①知，b k ＝k ，k ∈N *.因为数列{c n }为“M －数列”，设公比为q ，所以c 1＝1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k ＋1，所以q k －1≤k ≤q k ，其中k ＝1,2,3，…，m . 当k ＝1时，有q ≥1； 当k ＝2,3，…，m 时，有lnk k≤ln q ≤lnkk−1.设f (x )＝lnx x(x >1)，则f ′(x )＝1−lnx x 2(x >1)．令f ′(x )＝0，得x ＝e ，列表如下：因为ln22＝ln86<ln96＝ln33，所以f (k )max ＝f (3)＝ln33.取q ＝√33，当k ＝1,2,3,4,5时，lnk k≤ln q ，即k ≤q k ，经检验知q k －1≤k 也成立．因此所求m 的最大值不小于5.若m ≥6，分别取k ＝3,6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在．因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5.7．(2019·全国Ⅱ理，19)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0,4a n ＋1＝3a n －b n ＋4,4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式．(1)证明 由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )， 即a n ＋1＋b n ＋1＝12(a n ＋b n )．又因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8，即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2. 又因为a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)解 由(1)知，a n ＋b n ＝12n−1,，a n －b n ＝2n －1.所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12， b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12.8．(2019·北京理，20)（13分）已知数列{}n a ，从中选取第1i 项、第2i 项、⋯、第m i 项12()m i i i <<⋯<，若12m i i i a a a <<⋯<，则称新数列1i a ，2i a ，⋯，m i a 为{}n a 的长度为m 的递增子列．规定：数列{}n a 的任意一项都是{}n a 的长度为1的递增子列． （Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（Ⅱ）已知数列{}n a 的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a ．若p q <，求证：00m n a a <；（Ⅲ）设无穷数列{}n a 的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{}n a 的长度为s 的递增子列末项的最小值为21s -，且长度为s 末项为21s -的递增子列恰有12s -个(1s =，2，)⋯，求数列{}n a 的通项公式．【思路分析】()1I ，3，5，6．答案不唯一．()II 考虑长度为q 的递增子列的前p 项可以组成长度为p 的一个递增子列，可得0n a >该数列的第p 项0m a ，即可证明结论．()III 考虑21s -与2s 这一组数在数列中的位置．若{}n a 中有2s ，在2s 在21s -之后，则必然在长度为1s +，且末项为2s 的递增子列，这与长度为s 的递增子列末项的最小值为21s -矛盾，可得2s 必在21s -之前．继续考虑末项为21s +的长度为1s +的递增子列．因此对于数列21n -，2n ，由于2n 在21n -之前，可得研究递增子列时，不可同时取2n 与21n -，即可得出：递增子列最多有2s 个．由题意，这s 组数列对全部存在于原数列中，并且全在21s +之前．可得2，1，4，3，6，5，⋯⋯，是唯一构造． 【解析】：()1I ，3，5，6．()II 证明：考虑长度为q 的递增子列的前p 项可以组成长度为p 的一个递增子列，∴0n a >该数列的第p 项0m a ， ∴00m n a a <．()III 解：考虑21s -与2s 这一组数在数列中的位置．若{}n a 中有2s ，在2s 在21s -之后，则必然在长度为1s +，且末项为2s 的递增子列， 这与长度为s 的递增子列末项的最小值为21s -矛盾，2s ∴必在21s -之前． 继续考虑末项为21s +的长度为1s +的递增子列．对于数列21n -，2n ，由于2n 在21n -之前，∴研究递增子列时，不可同时取2n 与21n -， 对于1至2s 的所有整数，研究长度为1s +的递增子列时，第1项是1与2二选1，第2项是3与4二选1，⋯⋯，第s 项是21s -与2s 二选1，故递增子列最多有2s 个．由题意，这s 组数列对全部存在于原数列中，并且全在21s +之前．2∴，1，4，3，6，5，⋯⋯，是唯一构造． 即221k a k =-，212k a k -=，*k N ∈．【归纳与总结】本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力，属于难题．9．(2019·天津理，19)设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列．已知a 1＝4，b 1＝6，b 2＝2a 2－2，b 3＝2a 3＋4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c 1＝1，c n ＝{1,2k <n <2k+1,b k ,n =2k,其中k ∈N *. (ⅰ)求数列{a 2n (c 2n －1)}的通项公式；(ⅱ)求(n ∈N *)．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 依题意得{6q ＝6＋2d ，6q 2＝12＋4d ，解得{d ＝3，q ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4＋(n －1)×3＝3n ＋1， b n ＝b 1·q n －1＝6×2n －1＝3×2n .所以{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋1，{b n }的通项公式为b n ＝3×2n . (2)(ⅰ)a 2n (c 2n －1)＝a 2n (b n －1)＝(3×2n ＋1)(3×2n －1)＝9×4n －1. 所以数列{a 2n (c 2n －1)}的通项公式为a 2n (c 2n －1)＝9×4n －1. (ⅱ)a i c i ＝[a i ＋a i (c i －1)] ＝a i ＋a 2i (c 2i －1)＝[2n ×4+2n (2n −1)2×3]＋(9×4i －1) ＝(3×22n －1＋5×2n －1)＋9×4(1−4n )1−4－n＝27×22n －1＋5×2n －1－n －12(n ∈N *)．。
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2019高考数学分类汇编——数列1.(新课标1文6) 设首项为1，公比为32的等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则（ ） .A 12-=n n a S .B 23-=n n a S .C n n a S 34-= .D n n a S 23-=2. (新课标1理7)设等差数列}{n a 的前n 项和n S ，21-=-m S ，0=m S ，31=+m S ，在=m （ ）.A 3 .B 4 .C 5 .D 63. (新课标1理12) 设n n n C B A ∆的三边长分别为n n n c b a ,,，n n n C B A ∆的面积为n S ， ,2,1=n ，若11c b <，1112a c b =+，n n a a =+1，21n n n c a b +=+，21nn n b a c +=+，则（ ） .A }{n S 为递减数列 .B }{n S 为递增数列.C }{12-n S 为递增数列，}{2n S 为递减数列 .D }{12-n S 为递减数列，}{2n S 为递增数列4. (新课标1理14) 如数列}{n a 的前n 项和为3132+=n n a S ，则数列}{n a 的通项公式为 5. (新课标1文17) 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，03=S ，55-=S （1）求}{n a 的通项公式； （2）求数列}1{1212+-n n a a 的前n 项和；6. (新课标2文17) 已知等差数列}{n a 的公差不为零，251=a ，且1a ，11a ，13a 成等比数列。
（1） 求}{n a 的通项公式； （2）求23741-++++n a a a a7. (新课标2理3) 等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知12310a a S +=，95=a ，则=1a （ ）.A 31 .B 31- .C 91 .D 91- 8.(新课标2理16) 等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知010=S ，2515=S ，则n nS 的最小值为 。
2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列(综合题)(可编辑修改word版)
bn = sin(an) ，集合
．
当
，
33
S = { - ,0, }
集合
2 2．
蟺
（2）解： a1 = 2 ，数列 {bn} 满足 bn = sin(an) ，集合
恰
好有两个元素，如图：
3
根据三角函数线，①等差数列 {an} 的终边落在 y 轴的正负半轴上时，集合 S 恰好有两个元素，此时 d = 蟺 ， ② a1 终边落在 OA 上，要使得集合 S 恰好有两个元素，可以使 a2 ， a3 的终 边关于 y 轴对称，如图 OB ， OC ，
b1
1, 1 Sn
2 bn
2 bn1
，其中
Sn 为数列{bn}的前
n
项和．
①求数列{bn}的通项公式；
②设 m 为正整数，若存在“M－数列”{cn} n N* ，对任意正整数 k ， 当
k≤m 时，都有 ck bk ck1 成立，求 m 的最大值．
【答案】 （1）解：设等比数列{an}的公比为 q ， 所以 a1≠0，q≠0.
所以数列{bn}是首项和公差均为 1 的等差数列.
因此，数列{bn}的通项公式为 bn=n
.
②由①知，bk=k ， k鈭?mbrimbriN * .
1
因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为 q ， 所以 c1=1，q>0.
因为 ck≤bk≤ck+1 ， 所以
，其中 k=1，2，3，…，m.
当 k=1 时，有 q≥1；
，或者
an + 7d = 2k蟺 - an ，
， ，故 k = 1,2,3
当 k = 1 时，因为
对应着 3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着 3 个点，
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2009－2019 年全国各地高考文科数学试题分类汇编一、选择题：2x + 11. 【2009 年安徽理2】若集合A＝{x||2x－1|＜3}，B＝{x| 3－x ＜0}，则A∩B 是（）1（A）{x|－1＜x＜－2或2＜x＜3} （B）{x|2＜x＜3}1 1（C）{x|－2＜x＜2} （D）{x|－1＜x＜－2}2. 【2009 年安徽文.2】若集合A＝{x|（2x＋1）（x－3）＜0｝，B＝{x N＋|x≤5}，则A∩B 是（）（A）{1，2，3，} （B）{1，2，}（C）{4，5} （D）{1，2，3，4，5}13.【2009 年北京文.1】设集合A＝{x|－2＜x＜2} ，B＝{x|x2≤1}，A∪B＝（）1（A）{x|－1≤x＜2} （B）{x|－2＜x≤1}（C）{x|—x＜2} （D）{x|1≤x＜2}4. 【2009 年福建理.2】已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x＞0}，则C U A 等于（）（A）{ x |0≤x≤2} （B）{ x |0＜x＜2}（C）{ x |x＜0 或x＞2} （D）{ x |x≤0 或x≤2}5. 【2009 年福建文.1】若集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＜3}，则A∩B 等于（）（A）{x|x＜0} （B）{x|0＜x＜3} （C）{x|x＞4} （D）R6.【2009 年广东理.1】已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1，2，…}的关系的韦恩（Venn）图如图1 所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（）（A）3 个（B） 2 个（C）1 个（D）无穷多个7.【2009 年广东文.1】已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1，0，1} 和N＝{ x |x2＋x＝0} 关系的韦恩（Ve nn）图是（）８. 【2009 年江西理.3】已知全集U＝A∪B 中有m 个元素，C U A∪C U B 中有n 个元素．若A∩B 非空，则A∩B 的元素个数为（）（A）mn （B）m＋n （C）n－m （D）m－n9. 【2009 年辽宁理.1】已知集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|－5＜x＜5}，则集合M∩N＝（）（A）{x|－5＜x＜5} （B）{x|－3＜x＜5}（C）{x|－5＜x≤5} （D）{x|－3＜x≤5}10.【2009 年辽宁文.1】已知集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5 或x＞5}，则M∪N＝（）（A）{x|x＜－5 或x＞－3} （B）{x|－5＜x＜5}（C）{x|－3＜x＜5} （D）{x|x＜－3 或x＞5}11. 【2009 年宁夏海南理.1】已知集合A＝{1，3，5，7，9}，B＝{0，3，6，9，12}，则A∩C N B＝（）（A）{1，5，7} （B）{3，5，7}（C）{1，3，9} （D）{1，2，3}12. 【2009 年宁夏海南文.1】已知集合A＝{1，3，5，7，9}，B＝{0，3，6，9，12}，则A∩B＝（）（A）{3，5} （B）{3，6}（C）{3，7} （D）{3，9}13. 【2009 年全国1 理.1】设集合A＝｛4，5，7，9｝，B＝｛3，4，7，8，9｝，全集U＝A∪B，则集合C U(A∩B)中的元素共有（）（A）3 个（B）4 个（C）5 个（D）6 个x - 114.【2009 年全国2 理.2】设集合A＝{x|x＞3}，B＝{x|x - 4＜0}，则A∩B＝（）（A）∅（B）（3，4）（C）（－2，1）（D）（4，＋∞）15.【2009 年全国2 文.1】已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，M＝{1，3，5，7}，N＝{5，6，7}，则CU(M∪N) ＝（）（A）{5，7} （B）{2，4}（C）{2，4，8} （D）{1，3，5，7}16.【2009 年ft东理，文.1】集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为( )（A）0 （B）1 （C） 2 （D）417. 【2009 年陕西理，文.1】设不等式x2－x≤0 的解集为M，函数f(x)＝ln(1－|x|)的定义域为N，则M∪N 为( )（A）[0，1）（B）（0，1）（C）[0，1] （D）（－1，0] 18.【2009 年四川理.1】设集合S＝{x||x|＜5}，T＝{x|x2＋4x－21＜0}，则S∩T＝（）（A）{x|－7＜x＜－5} （B）{x|3＜x＜5}（C）{x|－5＜x＜3} （D）{x|－7＜x＜5}19.【2009 年四川文.1】设集合S＝{x||x|＜5}，T＝{x|(x＋7)(x－3)＜0}，则S∩T＝（）（A）{x|－7＜x＜－5} （B）{x|3＜x＜5}（C）{x|－5＜x＜3} （D）{x|－7＜x＜5}20. 【2009 年浙江理，文.1】设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩C U B ＝( )（A）{x|0≤x＜1} （B）{x|0＜x≤1} （C）{x|x＜0} （D）{x|x＞1} 21.【2019 浙江理数（1）】设P＝｛x︱x＜4｝，Q＝｛x︱x2＜4｝，则( )（A）P⊆Q （B）Q⊆P （C）P⊆C R Q （D）Q⊆C R P 22.【2019 陕西文数】集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∩B＝( )（A）{x|x＜1} （B）{x|－1≤x≤2}（C）{x|－1≤x≤1} （D）{x|－1≤x＜1}23.【2019 辽宁文数（1）】已知集合U＝{1，3，5，7，9}，A＝{1，5，7}，则C U A＝( )（A）{1，3} （B）{3，7，9} （C）{3，5，9} （D）{3，9}24.【2019 全国卷2 文数1】设全集U＝{x∈N*|x＜6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则C U(A∪B)＝( )（A）{1，4} （B）{1，5} （C）{2，4} （D）{2，5} 25.【2019 江西理数2.】若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R }，则A∩B ＝（）（A）{x|－1≤x≤1} （B）{x|x≥0}（C）{x|0≤x≤1} （D）∅26.【2019 安徽文数1】若A＝{x|x＋1＞0}，B＝{x|x－3＜0}，则A∩B ＝（）（A）(－1，＋∞)（B）(－∞，3) （C）(－1，3) （D）(1，3) 27.【2019 浙江文数（1）】设P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x2＜4}，则P∩Q ＝（）（A）{x|－1＜x＜2} （B）{x|－3＜x＜－1}（C）{x|1＜x＜－4} （D）{x|－2，x＜1}28.【2019 ft东文数（1）】已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则C U M＝（）（A）{x|－2＜x＜2} （B）{x|－2 ≤x≤2}（C）{x|x＜－2 或x＞2} （D）{x|x≤－2 或x≥2}29.【2019 北京文数（1）】集合P＝{x∈Z|0≤x＜3}，M＝{x∈Z|x2≤9}，则P∩M＝（）（A）{1，2} （B）{0，1，2}（C）{1，2，3} （D）{0，1，2，3}30.【2019 北京理数（1）】集合P＝{x∈Z|0≤x＜3}，M＝{x∈Z|x2≤9}，则P∩M＝（）（A）{1，2} （B）{0，1，2}（C）{x|0≤x＜3} （D）{x|0≤x≤3}31.【2019 天津文数(7)）设集合A＝{x||x－a|＜1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R }，若A∩B＝∅，则实数a 的取值范围是（）（A）{a|0≤a≤6} （B）{a|a≤2 或a≥4}（C）{a|a≤0 或a≥6} （D）{a|2≤a≤4}32．【2019 广东理数1.）若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，则集合A ∩ B＝（）（A）{x|－1＜x＜1} （B）{x|－2＜x＜1}（C）{x|－2＜x＜2} （D）{x|0＜x＜1}33.【2019 广东文数10.）在集合{a，b，c，d}上定义两种运算○＋和○* 如下，那么d (a c)＝（）（A）a （B） b （C）c （D） d34.【2019 广东文数1.）若集合A＝{0，1，2，3}，B＝{1，2，4}，则集合A∪B＝（）（A）{0，1，2，3，4} （B）{1，2，3，4}（C）{1，2} （D）{0}35.【2019 福建文数1】若集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＞2}，则A∩B 等于（）（A）{x|2＜x≤3} （B）{x|x≥1}（C）{x|2≤x＜3} （D）{x|x＞2}36.【2019 全国卷1 文数(2)）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{1，3，5}，则N∩C U M＝( )（A）{1，3} （B）{1，5} （C）{3，5} （D）{4，5} 37.【2019 四川文数1】设集合A＝{3，5，6，8}，集合B＝{4，5，7，8}，则A∩B 等于（A）{3，4，5，6，7，8} （B）{3，6}（C）{4，7} （D）{5，8}38.【2019 湖北文数1.）设集合M＝{1，2，4，8}，N＝{x|x 是2 的倍数}，则M∩N＝（A）{2，4} （B）{1，2，4}（C）{2，4，8} （D）{1，2，8}39.【2019 ft东理数1.）已知全集U＝R，集合M＝{x||x－1| 2}，则C U M＝( )（A）{x|－1＜x＜3} （B）{x|－1≤x≤3}（C）{x|x＜－1 或x＞3} （D）{x|x≤－1 或x≥3}40.【2019 上海文17．）若三角方程sin x＝0 与sin2x＝0 的解集分别为E 和F，则（）（A）E⊆F （B）E⊇F （C）E＝F （D）E∩F＝∅ 41.【2019 重庆文2】设U＝R，M＝{x|x2－2x＞0}，则C U M＝( )（A）[0，2] （B）(0，2)（C）(－∞，0)∪(2，＋∞) （D）(－∞，0]∪[2，＋∞)42.【2019 全国大纲文1】设集合U＝{1，2，3，4}，M＝{1，2，3}，N＝{2，3，4}，则C U(M∩N)＝( （A）{1，2} )（B）{2，3} （C）{2，4} （D）{1，4}43.【2019 辽宁文（1）】已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|－1＜x＜2}，则A∩B＝( )（A）{x|－1＜x＜2} （B）{x|x＞－1}（C）{x|－1＜x＜1} （D）{x|1＜x＜2}44.【2019 湖北文1】已知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5，7}，B＝{2，4，5}，则C U(A∪B)＝( )（A）{6，8} （B）{5，7}（C）{4，6，7} （D）{1，3，5，6，8}45.【2019 福建文1】若集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∩N 等于( )（A）｛0，1｝（B）｛－1，0，1｝（C）｛0，1，2｝（D）｛－1，0，1，2｝46.【2019 浙江文1.）若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞1}，则（）（A）P⊆Q （B）Q⊆P （C）P⊆C R Q （D）Q⊆C R P 47．若全集M＝{1，2，3，4，5}，N＝{2，4}，则C U N＝（）（A）∅（B）{1，3，5}（C）{2，4} （D）{1，2，3，4，5}48.【2019 ft东文1.）设集合M ＝{x|(x＋3)(x－2)＜0}，N ＝{x|1≤x≤3}，则M∩N ＝（）（A）[1，2) （B）[1，2] （C）( 2，3] （D）[2，3]49.【2019 全国大纲文1】设集合U＝{1，2，3，4}，M＝{1，2，3}，N＝{2，3，4}，则C U(M∩N)＝（）（A）{1，2} （B）{2，3} （C）{2，4} （D）{1，4} 50.【2019 江西文2.）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{2，3}，N＝{1，4} ，则集合{5，6}等于（）（A）M∪N （B）M∩N（C）C U M∪C U N （D）C U M∩C U N51.【2019 湖南文1】设全集U＝M∪N＝{1，2，3，4，5}，M∩C U N＝{2，4}，则N＝（）（A）{1，2，3} （B）{1，3，5}（C）{1，4，5} （D）{2，3，4}52.【2019 广东文2】已知集合A＝{(x，y)|x，y 为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y 为实数，且x＋y＝1}，则A∩B 的元素个数为（）（A）4 （B）3 （C）2 （D）153.【2019 北京文（1）】已知全集U＝R，集合P＝{x|x2≤1}，那么C U P＝( )（A）(－∞，－1) （B）(1，＋∞)（C）（－1，1) （D）(－∞，－1) ∪(1，＋∞)54.【2019 安徽文（2）】集合U＝{1，2，3，4，5，6}，S＝{1，4，5}，T＝{2，3，4}，则S∩C U T 等于( )（A）{1，4，5，6} （B）{1，5}（C）{4} （D）{1，2，3，4，5}55.【2019 高考安徽文2】设集合A＝{x|－3≤2x－1≤3}，集合B 为函数y＝lg(x－1)的定义域，则A∩B＝( )（A）（1，2）（B）[1，2] （C）[ 1，2）（D）（1，2 ]56.【2019 高考新课标文1】已知集合A＝{x|x2－x－2＜0}，B＝{x|－1＜x＜1}，则( )（A）A⊂≠B （B）B⊂≠A （C）A＝B （D）A∩B＝∅ 57.【2019 高考ft东文2】已知全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则C U A∪B 为( )（A）{1，2，4} （B）{2，3，4}（C）{0，2，4} （D）{0，2，3，4}58.【2019 高考全国文1】已知集合A＝{x|x 是平行四边形}，B＝{x|x 是矩形}，C＝{x|x 是正方形}，D＝{x|x 是菱形}，则( )（A）A⊆B （B）C⊆B （C）D⊆C （D）A⊆D59.【2019 高考浙江文1】设全集U＝{1，2，3，4，5，6} ，设集合P＝{1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则P∩（C U Q）＝（）（A）{1，2，3，4，6} （B）{1，2，3，4，5}（C）{1，2，5} （D）{1，2}60.【2019 高考四川文1】设集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则A∪B＝（）（A）{b} （B）{b，c，d}（C）{a，c，d} （D）{a，b，c，d}61.【2019 高考陕西文1】集合M＝{x|lg x＞0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝（）（A）(1，2) （B）[1，2) （C）(1，2] （D）[1，2] 【2019 高考辽宁文2】已知全集U＝｛0，1，2，3，4，5，6，7，8，9｝，集合A＝｛0，1，3，5，8｝，集合B＝｛2，4，5，6，8｝，则C U A∩C U B＝（）（A）{5，8} （B）{7，9} （C）{0，1，3} （D）{2，4，6} 62.【2019 高考江西文2】若全集U＝{x∈R|x2≤4}，A＝{x∈R||x＋1|≤1}的补集C U A 为（）（A）{x∈R |0＜x＜2} （B）{x∈R |0≤x＜2}（C）{x∈R |0＜x≤2} （D）{x∈R |0≤x≤2}63.【2019 高考湖南文1】设集合M＝{－1，0，1}，N＝{x|x2＝x}，则M∩N＝（）（A）{－1，0，1} （B）{0，1} （C）{1} （D）{0}64.【2019 高考湖北文1】已知集合A＝{x|x2－3x B＝{x|0＜x＜5，x∈N }，则满足条件A⊆C ⊆B 的集合C ＋2＝0，x∈R } ，的个数为（）（A）1 （B） 2 （C）3 （D） 465.【2019 高考广东文2】设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，5}，则C U M＝（）（A）{2，4，6} （B）{1，3，5}（C）{1，2，4} （D）U66.【2102 高考福建文2】已知集合M＝{1，2，3，4}，N＝{－2，2}，下列结论成立的是（）（A）N ⊆M （B）M∪N＝M（C）M∩N＝N （D）M∩N＝{2}67.【2102 高考北京文1】已知集合A＝{x∈R|3x＋2＞0} B＝{x∈R|（x＋1）(x－3)＞0} 则A∩B＝（）2 2（A）（－∞，－1）（B）（－1，－3）（C）（－3，3）（D）(3，＋∞) 68．【2019 年上海高考数学试】设常数a∈R，集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，则a 的取值范围为（）（A）（－∞，2）（B）（－∞，2] （C）(2，＋∞) （D）[2，＋∞)69.【2019 年高考重庆卷】已知集合U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则C U(A∪B) ＝（）（A）{1，3，4} （B）{3，4} （C）{3} （D）{4}70.【2019 年高考浙江卷（文）】设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则S∩T＝（）（A）[－4，＋∞)（B）(－2，＋∞)（C）[－4，1] （D）(－2，1]71.【2019 年高考天津卷（文）】已知集合A ＝{x∈R| |x|≤2}，B＝{x∈R| x≤1}，则A∩B＝（）（A）(－∞，2] （B）[1，2] （C）[－2，2] （D）[－2，1] 72.【2019 年高考四川卷（文）】设集合A＝{1，2，3}，集合B＝{－2，2}，则A∩B＝（）（A）∅（B）{2}（C）{－2，2} （D）{－2，1，2，3}73.【2019 年高考ft东卷（文）】已知集合A 与B 均为全集U＝{1，2，3，4}的子集，且C U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则A∩C U B＝（）（A）{3} （B）{4} （C）{3，4} （D）∅74.【2019 年高考辽宁卷（文）】已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x＜2}，则A∩B＝（）（A）{0} （B）{0，1} （C）{0，2} （D）{0，1，2} 75.【2019 年高考课标Ⅱ卷】已知集合M＝{x|－3＜x＜1}，N＝{－3，－2，－1，0，1}，则M∩N＝（）（A）{－2，－1，0，1} （B）{－3，－2，－1，0}（C）{－2，－1，0} （D）{－3，－2，－1 }76.【2019 年高考课标Ⅰ卷（文）】已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝（）（A）{0} （B）{－1，0}（C）{0，1} （D）{－1，0，1}77.【2019 年高考江西卷（文）】若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}其中只有一个元素，则a＝（）（A）4 （B）2 （C）0 （D）0 或4 78.【2019 年高考湖北卷（文）】已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则B∩C U A＝( ）（A）{2} （B）{3，4}（C）{1，4，5} （D）{2，3，4，5}79.【2019 年高考广东卷（文）】设集合S＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，T＝{x|x2－2x＝0}，则S∩T＝( ）（A）{0} （B）{0，2}（C）{－2，0} （D）{－2，0，2}80.【2019 年高考福建卷（文）】若集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3，4}，则A B 的子集个数为（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）1681.【2019 年高考大纲卷（文）】设集合U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，则C U A＝（）（A）{1，2} （B）{3，4，5}（C）{1，2，3，4，5} （D）∅82.【2019 年高考北京卷】已知集合A＝{－1，0，1} ，B＝{x|－1≤x＜1}，则A∩B＝（）（A）{0} （B）{－1，0}（C）{0，1} （D）{－1，0，1}83.【2019 年高考安徽】已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1，0，1}，则(C R A) ∩B＝（）（A）{－2，－1} （B）{－2}（C）{－1，0，1} （D）{0，1}二.填空题:x - 11.【2009 年湖北文.13】设集合A＝{x|log2x＜1}，B＝{x|x + 2＜1)，则A∩B＝.2.【2009 年湖南文.9】某班共30 人，其中15 人喜爱篮球运动，10 人喜爱乒乓球运动，8 人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为.3.【2019 陕西文14】设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0 有整数根的充要条件是n＝．4.【2009 年上海理，文.2】已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a 的取值范围是.5.【2009 年天津文.13】设全集U＝A∪B＝{x∈N*|lg x＜1}，若A∩C U B＝{m|m＝2n＋1，n＝0，1，2，3，4}，则集合B＝.6.【2009 年重庆理.11】若A＝{x∈R||x|＜3}，B＝{ x∈R|2x＞1}，则A∩B＝.7. 【2009 年重庆文.11】设U＝{n|n 是小于9 的正整数｝，A＝{n∈U|n 是奇数}，B＝{{n∈U|n 是3 的倍数｝，则C U(A∪B)＝.8.【2019 上海文数1】已知集合A＝{1，3，m}，B＝{3，4}，A∪B＝{1，2，3，4}，则m＝。
2019年高考数学真题分类汇编：专题(06)数列(文科)及答案
2019年高考数学真题分类汇编 专题06 数列 文1.【2018高考新课标1，文7】已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） （A ）172 （B ）192（C ）10 （D ）12 【答案】B【解析】∵公差1d =，844S S =，∴11118874(443)22a a +⨯⨯=+⨯⨯，解得1a =12，∴1011199922a a d =+=+=，故选B. 【考点定位】等差数列通项公式及前n 项和公式【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等差数列定义、性质、通项公式、前n 项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，利用等差数列性质可以简化计算.2.【2018高考陕西，文13】中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2018，则该数列的首项为________ 【答案】5【解析】若这组数有21n +个，则11010n a +=，212015n a +=，又12112n n a a a +++=，所以15a =；若这组数有2n 个，则1101022020n n a a ++=⨯=，22015n a =，又121n n n a a a a ++=+，所以15a =； 故答案为5【考点定位】等差数列的性质.【名师点睛】1.本题考查等差数列的性质，这组数字有可能是偶数个，也有可能是奇数个.然后利用等差数列性质m n p q m n p q a a a a +=+⇒+=+.2.本题属于基础题，注意运算的准确性.3.【2018高考广东，文13】若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中5a =+5c =-则b = ． 【答案】1【解析】因为三个正数a ，b ，c 成等比数列，所以(2551b ac ==+-=，因为0b >，所以1b =，所以答案应填：1． 【考点定位】等比中项．【名师点晴】本题主要考查的是等比中项，属于容易题．解题时要抓住关键字眼“正数”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是等比中项的概念，即若a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项，即2G ab =．4.【2018高考福建，文16】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于________． 【答案】9【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4b a=．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1a =，4b =；当4a 是等差中项时，82a a=-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=．【考点定位】等差中项和等比中项．【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项，其中分类讨论和逻辑推理是解题核心．三个数成等差数列或等比数列，项与项之间是有顺序的，但是等差中项或等比中项是唯一的，故可以利用中项进行讨论，属于难题．5.【2018高考浙江，文10】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a = ，d = ． 【答案】2,13- 【解析】由题可得，2111(2)()(6)a d a d a d +=++，故有1320a d +=，又因为1221a a +=，即131a d +=，所以121,3d a =-=. 【考点定位】1.等差数列的定义和通项公式；2.等比中项.【名师点睛】本题主要考查等差数列的定义和通项公式.主要考查学生利用等差数列的定义以及等比中项的性质，建立方程组求解数列的首项与公差.本题属于容易题，主要考查学生正确运算的能力.6.【2018高考新课标1，文13】数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = . 【答案】6【解析】∵112,2n n a a a +==，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，∴2(12)12612n n S -==-，∴264n =，∴n=6. 考点：等比数列定义与前n 项和公式【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等比数列定义、性质、通项公式、前n 项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公比的方程，解出首项与公比，利用等比数列性质可以简化计算. 7.【2018高考安徽，文13】已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于 . 【答案】27【解析】∵2≥n 时，21,21121+=+=-a a a a n n 且∴{}1a a n 是以为首项，21为公差的等差数列 ∴2718921289199=+=⨯⨯+⨯=S 【考点定位】本题主要考查等差数列的定义、通项公式和前n 项和公式的应用.【名师点睛】能够从递推公式判断数列的类型或采用和种方法是解决本题的关键，这需要考生平时多加积累，同时本题还考查了等差数列的基本公式的应用，考查了考生的基本运算能力. 8.【2018高考福建，文17】等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【答案】（Ⅰ）2n a n =+；（Ⅱ）2101． 【解析】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ． 由已知得()()11143615a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩．所以()112n a a n d n =+-=+． （II ）由（I ）可得2n n b n =+．所以()()()()231012310212223210b b b b +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅++()()2310222212310=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()()1021211010122-+⨯=+-()112255=-+ 112532101=+=．【考点定位】1、等差数列通项公式；2、分组求和法．【名师点睛】确定等差数列的基本量是1,a d ．所以确定等差数列需要两个独立条件，求数列前n 项和常用的方法有四种：（1）裂项相消法（通过将通项公式裂成两项的差或和，在前n 项相加的过程中相互抵消）； （2）错位相减法（适合于等差数列乘以等比数列型）；（3）分组求和法(根据数列通项公式的特点，将其分解为等差数列求和以及等比数列求和)；（4）奇偶项分析法（适合于整个数列特征不明显，但是奇数项之间以及偶数项之间有明显的等差数列特征或等比数列特征）．9.【2018高考北京，文16】（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ 【答案】（I ）22n a n =+；（II ）6b 与数列{}n a 的第63项相等. 【解析】试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（I ）利用等差数列的通项公式，将1234,,,a a a a 转化成1a 和d ，解方程得到1a 和d 的值，直接写出等差数列的通项公式即可；（II ）先利用第一问的结论得到2b 和3b 的值，再利用等比数列的通项公式，将2b 和3b 转化为1b 和q ，解出1b 和q 的值，得到6b 的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出n 的值，即项数.试题解析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d . 因为432a a -=，所以2d =.又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =. 所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n =.（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q . 因为238b a ==，3716b a ==， 所以2q =，14b =. 所以61642128b -=⨯=. 由12822n =+，得63n =. 所以6b 与数列{}n a 的第63项相等. 考点：等差数列、等比数列的通项公式.【名师点晴】本题主要考查的是等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，属于中档题．本题通过求等差数列和等比数列的基本量，利用通项公式求解．解本题需要掌握的知识点是等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，即等差数列的通项公式：()11n a a n d =+-，等比数列的通项公式：11n n a a q -=． 10.【2018高考安徽，文18】已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）12n n a -=（Ⅱ） 112221n n ++--【解析】（Ⅰ）由题设可知83241=⋅=⋅a a a a ，又941=+a a ， 可解的⎩⎨⎧==8141a a 或⎩⎨⎧==1841a a （舍去）由314q a a =得公比2=q ，故1112--==n n n q a a .（Ⅱ）1221211)1(1-=--=--=n n n n q q a S 又1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-所以1113221211111...1111...++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=n n nn n S S S S S S S S b b b T12111--=+n .【考点定位】本题主要考查等比数列的通项公式、性质，等比数列的前n 项和，以及利用裂项相消法求和. 【名师点睛】本题利用“若q p n m +=+，则q p n m a a a a =”，是解决本题的关键，同时考生发现1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-是解决本题求和的关键,本题考查了考生的基础运算能力. 11.【2018高考广东，文19】（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n ≥ 时，211458n n n n S S S S ++-+=+． （1）求4a 的值； （2）证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （3）求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）78；（2）证明见解析；（3）()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．【解析】试题分析：（1）令2n =可得4a 的值；（2）先将211458n n n n S S S S ++-+=+（2n ≥）转化为2144n n n a a a +++=，再利用等比数列的定义可证112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（3）先由（2）可得数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的通项公式，再将数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的通项公式转化为数列12n n a ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是等差数列，进而可得数列{}n a 的通项公式． 试题解析：（1）当2n =时，4231458S S S S +=+，即435335415181124224a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：478a =（2）因为211458n n n n S S S S ++-+=+（2n ≥），所以21114444n n n n n n S S S S S S ++-+-+-=-（2n ≥），即2144n n n a a a +++=（2n ≥），因为3125441644a a a +=⨯+==，所以2144n n n a a a +++=，因为()2121111111114242212142422222n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++-----====----，所以数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列（3）由（2）知：数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列，所以111122n n n a a -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭即1141122n n n na a ++-=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列12n n a ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是以1212a =为首项，公差为4的等差数列，所以()2144212nna n n =+-⨯=-⎛⎫⎪⎝⎭，即()()111422122nn n a n n -⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式是()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.【名师点晴】本题主要考查的是等比数列的定义、等比数列的通项公式和等差数列的通项公式，属于难题． 本题通过将n S 的递推关系式转化为n a 的递推关系式，利用等比数列的定义进行证明，进而可得通项公式，根据通项公式的特点构造成等差数列进行求解．解题时一定要注意关键条件“2n ≥”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是等比数列的定义、等比数列的通项公式和等差数列的通项公式，即等比数列的定义：1n na q a +=（常数），等比数列的通项公式：11n n a a q -=，等差数列的通项公式：()11n a a n d =+-． 12.【2018高考湖北，文19】设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）当1d >时，记nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】（Ⅰ）121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩；（Ⅱ）12362n n n T -+=-.【考点定位】本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和，属中档题.【名师点睛】这是一道简单综合试题，其解题思路：第一问直接借助等差、等比数列的通项公式列出方程进行求解，第二问运用错位相减法直接对其进行求和.体现高考坚持以基础为主，以教材为蓝本，注重计算能力培养的基本方向.13.【2018高考湖南，文19】（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121,2a a ==，且13n n a S +=*13,()n S n N +-+∈，（I ）证明：23n n a a +=； （II ）求n S 。
2019年高考数学真题专题12 数列
9．【2019 年高考江苏卷】已知数列{an}(n N*) 是等差数列， Sn 是其前 n 项和.若 a2a5 a8 0, S9 27 ，
则 S8 的值是__________．
【答案】16
【解析】由题意可得：
a2a5 S9
a8 a1 d
9a1
98 2
d
a1
27
4d
a1
7d
0
，
解得：
2
1 ( 1)
5． 8
2
【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的
计算，部分考生易出现运算错误．
一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算
S4
S3
a4
S3
a1q3
3 4
(
1 )3 2
5 8
，
避免繁分式计算．
8．【2019 年高考全国 III 卷文数】记 Sn 为等差数列an的前 n 项和，若 a3 5, a7 13 ，则
若公比 q 1 ，则 a1 a2 a3 a4 a1 1 q 1 q2 0, 但 ln a1 a2 a3 ln a1 1 q q2 lna1 0 ，即 a1 a2 a3 a4 0 ln a1 a2 a3 ，不合题意；
因此 1 q 0, q2 0,1 ，a1 a1q2 a3, a2 a2q2 a4 0 ，故选 B.
，
a10
a92
1 2
10
，
故 A 项正确.
（ⅱ）当 b
1 4
时，令
a1=a=0 ，则
a2
1 4
, a3
1 4
2
1 4
1 2
，
所以
a4
2019高考全国各地数学卷文科解答题分类汇编-数列
2019高考全国各地数学卷文科解答题分类汇编-数列1.〔天津文〕20、〔本小题总分值14分〕数列{}{}n na b 与满足1*1113(1)(2)1,,,2.2n nn n n n n b a b a b n N a -+++-+=-+=∈=且〔Ⅰ〕求23,a a 的值；〔Ⅱ〕设*2121,n n n c a a n N +-=-∈，证明{}n c 是等比数列；〔Ⅲ〕设n S 为{}na 的前n 项和，证明*21212122121().3n n n n S S S S n n N a a a a --++++≤-∈、【解析】〔20〕本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。
总分值14分。
〔Ⅰ〕解：由1*3(1),2n n b n N -+-=∈，可得2,,1,n n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数,又()1121nn n n n b a b a +++=-+，当121231,21,2,;2n a a a a =+=-==-时由可得当2332,25,8.n a a a =+==时可得〔Ⅱ〕证明：对任意*n N ∈ 21212221n n n a a --+=-+① 2221221n n n a a ++=+②②-①，得21211212132,32,4n n n n n n nc a a c c --++--=⨯=⨯=即于是所以{}nc 是等比数列。
〔Ⅲ〕证明：12a =，由〔Ⅱ〕知，当*2k N k ∈≥且时，2113153752123()()()()k k k a a a a a a a a a a ---=+-+-+-++-13523212(14)23(2222)23214k k k ----=+++++=+⨯=-故对任意*2121,2.k k k N a --∈=由①得212121*2212221,2,2k k k k ka a k N ---+=-+=-∈所以 因此，21234212()()().2k k k k S a a a a a a -=++++++=于是，21222112.2k k k kk S S a ---=-=+ 故21221221222121212121221.1222144(41)22k k k kk k k k k k k k kk kS S k k k a a ------+-++=+=-=----- 2.〔北京文〕20、〔本小题共13分〕假设数列12:,,,(2)n n A a a a n ⋅⋅⋅≥满足11(1,2,,1)k k a a k n +-==⋅⋅⋅-，那么称nA 为E数列，记12()n n S A a a a =++⋅⋅⋅+.〔Ⅰ〕写出一个E 数列A 5满足130a a ==； 〔Ⅱ〕假设112a =，n=2000，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是n a =2017；〔Ⅲ〕在14a =的E 数列n A 中，求使得()n S A =0成立得n 的最小值.【解析】〔20〕〔共13分〕解：〔Ⅰ〕0，1，0，1，0是一具满足条件的E 数列A 5.〔答案不唯一，0，—1，0，1，0；0，±1，0，1，2；0，±1，0，—1，—2；0，±1，0，—1，—2，0，±1，0，—1，0都是满足条件的E 的数列A 5〕 〔Ⅱ〕必要性：因为E 数列A 5是递增数列， 所以)1999,,2,1(11==-+k a ak k 、所以A 5是首项为12，公差为1的等差数列、 所以a 2000=12+〔2000—1〕×1=2017、 充分性，由于a 2000—a 1000≤1， a 2000—a 1000≤1 ……a 2—a 1≤1所以a 2000—a t ≤19999，即a 2000≤a 1+1999、 又因为a 1=12，a 2000=2017,所以a 2000=a 1+1999、故n n n A k a a即),1999,,2,1(011=>=-+是递增数列、综上，结论得证.〔Ⅲ〕对首项为4的E 数列A k ，由于,3112=-≥a a,2123≥-≥a a…….3175-≥-≥a a……所以)8,,3,2(021 =>+++k a a a k所以对任意的首项为4的E 数列A m ，假设,0)(=m A S那么必有9≥n .又41=a 的E 数列,0)(4,3,2,1,0,1,2,3,4:11=----A S A 满足所以n 是最小值是9.3.(全国大纲文)17、〔本小题总分值l0分〕〔注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．〕 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,26,a =13630,a a +=求n a 和n S【解析】17、解：设{}na 的公比为q ，由题设得12116,630.a q a a q =⎧⎨+=⎩ …………3分解得113,2,2, 3.a a q q ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 …………6分当113,2,32,3(21);n n n n a q a S -===⨯=⨯-时 当112,3,23,3 1.n n n n a q a S -===⨯=-时…………10分4.〔全国新文〕17、〔本小题总分值12分〕等比数列{}na 中，113a =，公比13q =、〔I 〕n S 为{}na 的前n 项和，证明：12n n a S -=〔II 〕设31323log log log n n b a a a =+++，求数列{}n b 的通项公式、【解析】〔17〕解：〔Ⅰ〕因为.31)31(311n n n a =⨯=- ,2311311)311(31n n n S -=--=所以,21n n a S -- 〔Ⅱ〕nn a a a b 32313log log log +++=)21(n +++-=2)1(+-=n n所以}{nb 的通项公式为.2)1(+-=n n b n5.〔江西文〕21、〔本小题总分值14分〕 〔1〕两个等比数列}{na ，}{nb ，满足(),,,aa ab a b a b a 1112233=>0-=1-=2-=3，假设数列}{na 唯一，求a 的值； 〔2〕是否存在两个等比数列}{na ，}{nb ，使得,,.n n b a ba b a b a 112233----成公差不．为0的等差数列？假设存在，求}{na ，}{nb 的通项公式；假设不．存在，说明理由、 【解析】21、〔本小题总分值14分〕解：〔1〕设{}n a 的公比为q ，那么21231,2,3b a b aq b aq =+=+=+ 由123,,b b b 成等比数列得22(2)(1)(3)aq a aq +=++即24310aq aq a -+-= 由20440a a a >∆=+>得， 故方程有两个不同的实根再由{}na 唯一，知方程必有一根为0，将q=0代入方程得1.3a =〔2〕假设存在两个等比数列{},{}n na b ，使11223344,,,b a b a b a b a ----成公差不为0的等差数列，设{}n a 的公比为1,{}n q b 的公比为2q那么221211b a b q a q -=-2233121133441211b a b q a q b a b q a q -=--=- 由11223344,,,b a b a b a b a ----成等差数列得 2212111112112233121112112112()()2()()b q a q b a b q a q b q a q b q a q b q q q ⎧-=-+-⎪⎨-=-+-⎪⎩即22121122122111(1)(1)0(1)(1)0b q a q b q q a q q ⎧---=⎪⎨---=⎪⎩①2q ⨯-②得21121()(1)0a q q q --= 由10a ≠得1211q q q ==或 i 〕当12q q =时，由①，②得11121b a q q ===或，这时2211()()0b a b a ---=与公差不为0矛盾ii 〕当11q =时，由①，②得10b =或21q =， 这时2211()()0b a b a ---=与公差不为0矛盾， 综上所述，不存在两个等比数列{},{}n na b ，使11223344,,,b a b a b a b a ----成公差不为0的等差数列。
专题18 数列综合-2019年高考文数母题题源系列(全国Ⅱ专版)(解析版)
专题18 数列综合【母题来源一】【2019年高考全国II 卷文数】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和．【答案】（1）212n n a -=；（2）2n .【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得22416q q =+，即2280q q --=．解得2q =-（舍去）或q =4．因此{}n a 的通项公式为121242n n n a --=⨯=．（2）由（1）得2(21)log 221n b n n =-=-， 因此数列{}n b 的前n 项和为21321n n +++-=．【名师点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题.【母题来源二】【2018年高考全国II 卷文数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．【答案】（1）a n =2n –9；（2）S n =n 2–8n ，最小值为–16． 【解析】（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15． 由a 1=–7得d =2．所以{a n }的通项公式为a n =2n –9． （2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16．所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16．【名师点睛】数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.（1）根据等差数列前n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果；（2）根据等差数列前n 项和公式得n S 关于n 的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值. 【母题来源三】【2017年高考全国II 卷文数】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11221,1,2a b a b =-=+=. （1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S .【答案】（1） ；（2）当 时， .当 时， . 【解析】设 的公差为d ， 的公比为q ，则 （ ） ， . 由 得d +q =3.①（1）由 得 ② 联立①和②解得， （舍去），，因此 的通项公式为 .（2）由 ， 得 . 解得 ， .当 时，由①得 ，则 . 当 时，由①得 ，则 .【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两种处理思路：一是利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确;二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.（1）根据等差数列及等比数列通项公式表示条件，得关于公差与公比的方程组，解方程组得公比，代入等比数列通项公式即可；（2）由等比数列前三项的和求公比，分类讨论，求公差，再根据等差数列前三项求和.【命题意图】考查等差、等比数列的基础知识为主，重点考查求数列的通项公式和数列的求和问题. 【命题规律】数列一直是高考的热点，尤其是等差、等比数列的求和公式、错位相减法求和及裂项相消法求和为考查的重点，常与函数、方程、不等式等联系在一起综合考查，考查内容比较全面，解题时要注意基本运算、基本能力的运用，同时注意函数与方程、转化与化归等数学思想的应用. 【方法总结】1.等差数列的判定与证明的方法：（1）定义法：1()n n a a d n +-=∈*N 或1(2,)n n a a d n n --=≥∈⇔*N {}n a 是等差数列；（2）定义变形法：验证是否满足11(2,)n n n n a a a a n n +--=-≥∈*N ；（3）等差中项法：{}122()n n n n a a a n a ++=+∈⇔*N 为等差数列；（4）通项公式法：通项公式形如(,n a pn q p q =+为常数)⇔{}n a 为等差数列；（5）前n 项和公式法：2(,n S pn qn p q =+为常数)⇔{}n a 为等差数列．注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项12,,n n n a a a ++，使得122n n n a a a ++≠+即可； （2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． 2.等比数列的判定与证明常用的方法： （1）定义法：1n na q a +=(q 为常数且0)q ≠⇔数列{}n a 是等比数列． （2）等比中项法：212(,0)n n n n a a a n a ++=⋅∈≠*N ⇔数列{}n a 是等比数列． （3）通项公式法：(0,)n n a tq tq n =≠∈*N ⇔数列{}n a 是等比数列．（4）前n 项和公式法：若数列的前n 项和nn S Aq A =-+(0,0,1)A q q ≠≠≠，则该数列是等比数列．其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． （2）只满足()10n n a qa q +=≠的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要10a ≠. 3.数列求和的常用方法（1）公式法：直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和；（2）倒序相加法：如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的；（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的；（4）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和； （5）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减；（6）并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 4.数列与函数综合（1）数列与函数的综合问题主要有以下两类：①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．（2）解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决． 5.数列与不等式综合与数列有关的不等式的命题常用的方法有：比较法(作差作商)、放缩法、利用函数的单调性，其中利用不等式放缩证明是历年命题的热点．6.以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解.1．【陕西省西安市2019届高三第三次质量检测数学试题】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21n n S a =-．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()()11211n n n n a b a a +++=--，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）12n n a -=（2）11121n n T +=--【解析】（1）因为21n n S a =-，①所以当1n =时，11121a S a ==-，得11a =； 当2n ≥时，1121n n S a --=-. ② ①②两式相减得122n n n a a a -=-，所以12nn a a -=. 所以数列{}n a 是以11a =为首项，2q =为公比的等比数列.所以1111122n n n n a a q ---==⨯=．（2）由（1）得()()()()111122111121212121n n n n n n n n n a b a a +++++===-------， 所以12223111111111121212121212121n n n n n T b b b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭．2．（陕西省咸阳市2019届高三模拟检测（三)数学试题）已知数列{}n a 是等差数列，n S 是前n 项和且2651630a a S +==，.（1）求数列{}n a 通项公式； （2）若数列{}n b 满足14n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）2n a n =；（2）1n nT n =+. 【解析】（1）由6251630a a S +=⎧⎨=⎩，得112616545302a d a d +=⎧⎪⎨⨯+⨯=⎪⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩，所以2n a n =. （2）由（1）可知()1411111n n n b a a n n n n +===-++， 则123n n T b b b b =++++111111112233411n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 3．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ．若113a b ==，42a b =，4212S T -=． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和．【答案】（1）21,3nn n a n b =+=；（2）()331(2)2n n n -++.【解析】（1）由11a b =，42a b =，则4212341223()()12S T a a a a b b a a -=+++-+=+=，设等差数列{}n a 的公差为d ，则231236312a a a d d +=+=+=，所以2d =. 所以32(1)21n a n n =+-=+，设等比数列{}n b 的公比为q ，由题249b a ==，即2139b b q q ===，所以3q =.所以3nn b =；（2）(21)3nn n a b n +=++，所以{}n n a b +的前n 项和为1212()()n n a a a b b b +++++++2(3521)(333)nn =++++++++(321)3(13)213n n n ++-=+-3(31)(2)2n n n -=++. 【名师点睛】本题主要考查等差数列与等比数列，熟记通项公式、前n 项和公式即可，属于常考题型.4．【重庆市2019届高三学业质量调研抽测（第二次)4月二诊数学试题卷】已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前3项和39S =，且125,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-；（2）(23)23nn T n =-⋅+.【解析】（1）∵()()311129S a a d a d =++++=，∴13a d +=① 又∵125,,a a a 成等比数列，∴()()21114a d a a d +=+，② ∵0d ≠，由①②解得：11a =，2d =， ∴()1121n a a n d n =+-=-. （2）∵()112212n n n n b a n --==-，1231n n n T b b b b b -=+++++，∴()()01221123252232212n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-+- ()()12312123252232212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-+-两式相减，得()231222212n n n T n -=++++--∴()2323nn T n =-⋅+.【名师点睛】本题考查了等差数列基本量的计算，错位相减法求和，属于中档题.5．【辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试数学试题】已知数列{}n a 是公比为q 的正项等比数列，{}n b 是公差d 为负数的等差数列，满足23111da a a -=，12321b b b ++=，123315b b b =. （1）求数列{}n a 的公比q 与数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前10项和10S . 【答案】（1）11122n q b n ==-，；（2）1050S =. 【解析】（1）由已知,3122321b b b b ++==，得27b =，又()()()()21232227773437315bb b b d b b d d d d =-+=-⋅+=-=⋅⋅⋅，得：2d =-或2（舍），1729,211n b b n =+==-+，于是231112a a a --=， 又{}n a 是公比为q 的等比数列，故2111112a q a q a --=， 所以，2210,1q q q +==--（舍）或12， 综上，1,2,1122n q d b n ==-=-. （2）设{}n b 的前n 项和为n T ，令01120n b n ≥-≥，，得5n ≤， 于是，15555()==252b b S =T +， 易知，6n >时，671067106710|, |)0(n b b b b b b b b b b <++⋯⋯+=---⋯⋯-=-++⋯⋯+()()10502525T T =--=--=，所以1050S =【名师点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前n 项和公式，考查含有绝对值的数列求和的方法，属于中档题.6．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试（二)数学试题】数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=++. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设141n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）2n a n =；（2）21n nT n =+. 【解析】（1）因为121n n a a n +=++，所以当2n ≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+-+ ()21321n n =+++-=.由于11a =满足2n a n =，所以求{}n a 的通项公式为2n a n =.（2）因为211114122121n b n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭，所以数列{}n b 的前n 项和为12111111123352121n n T b b b n n ⎛⎫=+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭ 11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 【名师点睛】本题考查了累和法求数列的通项公式、裂项相消法求数列前n 项和.解决此类问题的关键是掌握已知所给的通项公式、递推公式的特征.7．【内蒙古2019届高三高考一模试卷数学试题】等比数列{}n a 中，1752,4a a a ==． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若126m S =，求m ．【答案】（1）2nn a =或()2nn a =--；（2）12.【解析】（1）设数列{}n a 的公比为q ，2754a q a ∴==， 2q ∴=±，2n n a ∴=或(2)n n a =--.（2）2q =时，()12122212612n n nS +-==-=-，解得6n =；2q =-时，()21(2)21(2)126123n nnS --⎡⎤==--=⎣⎦+， n 无正整数解；综上所述6n =.【名师点睛】本题主要考查等比数列，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于基础题型. 8．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟数学试题】已知等差数列{}n a 中，374616,0a a a a =-+=，（1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）求{}n a 的前n 项和n S .【答案】（1）210n a n =-或210n a n =-+；（2）(9)n S n n =-或(9)n S n n =--.【解析】设{}n a 的公差为d ，则()()11112616350a d a d a d a d ⎧++=-⎪⎨+++=⎪⎩，即22111812164a da d a d ⎧++=-⎪⎨=-⎪⎩，解得182a d =-⎧⎨=⎩，或182a d =⎧⎨=-⎩，（1）210n a n =-，210n a n =-+.（2）()()819n S n n n n n =-+-=-，或()()819n S n n n n n =--=--. 【名师点睛】本题考查了等差数列基本量的求法、通项公式、等差数列前n 项和.9．【宁夏石嘴山市第三中学2019届高三下学期三模考试数学试题】已知等差数列{}n a 是递增数列，且140a a +=，231a a =-．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设43n a n b +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，是否存在常数λ，使得1n n T b λ+-为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）25n a n =-；（2）8.【解析】（1）设公差为d 的等差数列{}n a 是递增数列，且142301a a a a +==-，．则：()()11123021a d a d a d +=⎧⎪⎨++=-⎪⎩，解得：13,2a d =-=．所以：()1125n a a n d n =+-=-. （2）由于43n a n b +=，所以213n n b -=．数列{}n b 是以3为首项，9为公比的等比数列．则：()()319391198n nn T -==--，所以：()21339133319888n n n n n T b λλλλ+⎛⎫-=--⋅=-⋅- ⎪⎝⎭． 当108λ-=，即8λ=时，1n n T b λ+-恒为定值3-．【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及等比数列的前n 项和公式，考查转化能力、计算能力及方程思想，属于中档题.11 10．【新疆乌鲁木齐2019届高三第二次质量检测数学试题】记公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，4a 是2a 与8a 的等比中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 【答案】（1）2n a n =；（2）1n n T n =+. 【解析】（1）由已知2428a a a =⋅，得()()2(23)227d d d +=++，又0d ≠，解得2d =，()2212n a n n ∴=+-=.（2）由（1）得，()()12212n n n S n n n -⨯=+=+， ()111111n S n n n n ∴==-++， 11111111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋯+-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式及前n 项和，训练了裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．。
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专题08 数列
1．【2019年高考全国III 卷文数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =
A ．16
B ．8
C ．4
D ．2 【答案】C 【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则231111421
111534a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2
a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ． 2．【2019年高考浙江卷】设a ，
b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2+b ，n *∈N ，则
A ． 当101,102b a =>
B ． 当101,104b a =>
C ． 当102,10b a =->
D ． 当104,10b a =->
【答案】A 【解析】①当b =0时，取a =0，则0,n a n *=∈N .
②当<0b 时，令2x x b =+，即2
0x x b -+=.
则该方程140b ∆=->，即必存在0x ，使得2000x x b -+=，
则一定存在10 ==a a x ，使得21n n n a a b a +=+=对任意n *∈N 成立， 解方程20a a b -+=
，得12
a ±=，
10≤时，即90b -…
时，总存在a =，使得121010a a a ==⋯=≤， 故C 、D 两项均不正确.
③当0b >时，221a a b b =+≥，
则2232a a b b b =+≥+，
()2
2243a a b b b b =+++…. （ⅰ）当12b =时，2
2451111711,122216
2a a ⎡⎤⎛⎫++=>>+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥， 则26111112224a ⎛⎫>++=> ⎪⎝⎭
， 2719222a >+=， 28918310224
a ⎛⎫>+=> ⎪⎝⎭ ， 则2981102a a =+
>， 21091102
a a =+> ， 故A 项正确. （ⅱ）当14
b =时，令1==0a a ，则2231111,4442
a a ⎛⎫==+< ⎪⎝⎭， 所以2
24311114242
a a ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭，以此类推， 所以22
10911114242a a ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭， 故B 项不正确.
故本题正确答案为A.
3．【2019年高考全国I 卷文数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若13314
a S ==，，则S 4=___________． 【答案】58
【解析】设等比数列的公比为q ，由已知223111314S a a q a q q q =++=++=，即2104
q q ++=. 解得12
q =-， 所以441
411()(1)521181()2
a q S q ---===---． 4．【2019年高考全国III 卷文数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =。