浅谈培养学生的空间想象能力

浅谈培养学生的空间想象能力1 引言空间想象能力在认识现实世界空间形式的过程中有着重要作用，而且在对知识进行描述、分类、整理等学习活动的过程中也发挥着重要作用．几何教学的主要任务是运用逻辑推理的方法研究图形的性质，认识和理解我们所处的现实世界的几何空间，形成空间观念，培养空间想象能力和逻辑推理能力．2 空间想象能力及其结构2.1 空间想象能力恩格斯说过，一切存在的基本形式是时间和空间．任何一个东西的形状是它的空间形状．我们按知觉对象的空间和时间存在形式来对知觉分类，一类是空间知觉，一类是时间知觉．空间想象能力的形成便源于对空间知觉的培养[]()3251P ．空间想象能力是形成客观事物的大小、形状、位置、相互关系的表象以及对其进行加工、改造、创新的能力，是顺利有效地处理几何图形，探明它们关系特征所需要的一种特殊的数学能力．良好的空间想象能力需要良好的空间感．空间感的建立，实际上是一种特殊的思维活动，就是想象．心理学认为：想象是人脑在感性形象的基础上创造出新形象的心理过程．感知和记忆是想象的基础，记忆表象是想象的素材，而想象是对记忆表象的改组和重建．空间想象不可能完全脱离现实凭空产生，构造新形象的一切材料来源于生活，取自于大脑中的记忆表象，并且空间想象受需要和动机的推动，具有目的性和计划性，因而空间想象可以进行操作．2.2 空间想象能力的结构我国数学教育界对空间想象能力的结构进行了研究，结合数学知识的学习，考虑到空间想象能力的层次性，把空间想象能力分为四个基本成分．2.2.1 空间观念．空间观念包括以下三个方面的内容：对事物形状、位置、相互关系等属性的直接认识．例如能比较物体的长度、面积、体积的大小；能分辨出不同物体所具有的形状特征等．空间的定向能力．这种能力是指能针对物体的位置画出它的几何图形，或者能根据语言描述或文字语言作出或画出图形，或以某一固定物体为参照点确定其他物体的相对空间位置．例如在不熟悉的环境中辨认方向，能准确的描述熟悉的空间情况等．实物几何化．即根据形状相对简单的实物想象出其对应的几何图形．2.2.2 形成几何表象的几个能力．这种能力主要指在语言或图形的刺激下，在头脑中形成表象，或者在头脑中重新构建的几何表象．其特点是建立表象的过程中必须以空间观念为基础，必须在语言的指导下进行，图形的刺激仅起到辅助作用．比如：若告诉学生，图中的两条直线是异面直线，学生头脑中便会形成异面直线的表象，如果没有语言提示，学生可以把它看成平面内的两条线段．(1) (2)2.2.3 对几何图形的变换、加工能力．在空间观念与建立表象的基础上，对表象与图形的变换加工能力，要求对大脑中的表象或视觉中的图形进行平移、旋转、翻折、分解和组合等操作活动，以建立表象．例如：在如图（3）三角形 ABC 是直角三角形．固定AC ,使其旋转．求所得的立体图形的体积．AC B(3)图形本身不能旋转，学生在做题的过程中对其进行心理旋转，可知得到的是以BC 为底面半径,AB 为母线的圆锥．2.2.4 数学问题形象化、直观化的能力．几何直觉，对所有的数学分科的研究工作，甚至对于最抽象的工作有着重大的意义．将数学问题从几何上形象化、直观化，也是空间想象能力的一个基本成分．3 数学教学对空间想象能力的培养数学中的平面是从具体事物中抽象出来的，给一个平面，我们可以用直观图来表示，反过来，给出直观图，我们可以想象出所对应的平面（即识图想象出平面的位置及无限延展性）．通过这样， 学生脑海中就建立了平面的空间感．进一步的，如图(4)，按照不同的角度打开我们手中的书，引导(4)b ab学生画出相应的直观图，再根据直观图，让学生将手中的书打开到对应的位置．根据平面是无限延展的，引导学生将图中的各平面延展．经过实物→画直观图→识图的过程，就建立了平面的空间感．立体的空间感也是如此．在数学教学中培养学生的空间想象能力应该按照以下几个方面进行：3.1 加强数学教学与实际的联系以培养空间观念空间想象能力的基础是空间观念，而空间观念基于对我们所生活的现实世界的直接感知和认识．所以，应加强数学教学与实际生活的联系，帮助学生将具体的显示空间和抽象的数学概念统一起来，培养和发展空间观念．数学教学加强与实际联系的具体措施有：①运用生活实例或实际问题引入数学概念，探讨数学概念的性质．②给予学生动手操作、实践活动的机会，以发展空间观念．③重视数学知识在实际中的应用．比如在讲解对称图形的概念时，可以让学生列举出生活中具有对称性质的事物或现象，或者让学生动手设计图案，通过这些实践活动帮助学生加深对对称概念的理解．又例如学习全等三角形时,可以提供一个问题让学生考虑：有一块三角形的玻璃被打碎成如图（5）所示的两块12（5）现在要上街去配一块和原来一样大小的玻璃，要不要将两块都带去？引起学生的讨论后可以引导出只要带其中一块就行了，在让学生思考片刻后启发学生，带1不行，因为1不能确定原三角形的形状和大小，故应该带2去，2可以确定原三角形的形状和大小．这个问题的提出与思考，可以促使学生把对问题的直观、感性认识转化为对图形性质的理性分析，虽然学生一般不知道其原因，但却处于一种迫切寻找答案的状态．这时应该分析，一个三角形有六个元素（三条边，三个角），如果将1带去，则带去了原三角形的一个角，一个角不能确定原三角形的大小，如果将2带去，则带去原三角形的一条边及此边相邻的两角，而一边及两个角可以唯一地确定三角形的形状和大小．在上述讨论的基础上让学生思考，在三角形三条边和三个角这六个元素中，还有哪些元素是唯一地确定三角形的形状和大小的．这样就把全等三角形判定的定义、目的、方法等纯形式的数学内容和实际生活紧密结合起来．3.2 处理好实物（或模型）、几何图形与文字语言的关系在数学中的几何学习中，特别是在立体几何的学习中，学生所获得的空间信息主要来源于实物（模型）几何图形，语言描述以及它们之间的相互转化．它们之间的关系为：文字信息−−−→转换图形信息−−−→转换符号信息−−−→转换文字信息． 因此要培养空间想象能力，主要通过下列途径处理上面的关系：① 恰当的运用实物模型进行直观教学．② 借助实物模型，进行画图训练，由“型”到“形”．③ 增强对图形的加工、变换能力．例如在“三垂线定理”的教学过程中，如图（6），一条直线l 与平面α垂直，则根据直线与平面垂直的定义知道，l 与平面内所有的直线垂直．lα（6）那么当与l 平面α斜交时，l 与平面α内的直线有何种关系呢？此时教师可和学生一起演示自制教具（用三角板、桌面当平面，教鞭、铅笔当直线），用运动的方式展现当l 与平面α斜交时，l 与平面内直线的不同位置关系，使学生在头脑中形成相应的表象，然后提出在什么情况下l 与平面α内的直线垂直．边演示边讨论，便可得出问题的猜想，然后画出相应的直观图．必须提出，在教学过程中使用直观模型本身不是目的，过分依赖模型的使用可能会引起不良后果，如前所述，在引入几何概念或发现性质、定理时，应用各种模型是非常有益的，但这种模型的直观性应逐步地让位于“图形”的直观性，否则会阻碍空间想象的进一步发展．3.3 进行抽象问题形象化的训练以培养几何直觉力将抽象问题形象化的几何直觉力是空间想象能力结构中的最高层次．因此要培养空间想象能力，进行抽象问题形象化的几何能力的训练也是一个不可忽视的方面．结合我国中学数学内容的特点，培养与训练数学问题形象化的几何知觉能力从以下三方面进行：3.3.1 利用函数的图像函数解析式给了变量之间的制约关系，而函数图像则直观的显示了该函数的性质．当遇到函数问题或可能转化为与函数有关的问题时，利用函数图像将问题形象化是训练几何知觉能力的一种有效途径．例1 方程2log 2x x +=和3log 2x x +=的根分别为a 、 b ,试确定a 、 b 的大小关系． 分析 通过2log 2a a +=和3log 2b b +=比较a 、 b 的大小似乎有点困难，不妨借助对数函数图来解决．在同一坐标系中作函数2y x =-,2log y x =, 3log y x =的图像，如图（7）．由图像可知 a ＜b ．（7） 3.3.2 利用代数表达式的几何意义 在解决数学问题时，联想到有关代数表达式所表示的几何意义及相应的直观图形，从而利用图形的性质来反应问题中的数量关系．这种代数式几何意义的再现不仅有助于解题，而且给出了问题形象化、直观化的目标与方向，从而有益于抽象问题几何直觉化的培养．例2 如图（8）所示．直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截，试求截得楔 形体的体积． （8）解法1 如图（9）所示建立直角坐标系，则椭圆柱面的方程为11610022=+y x ，斜面的方程为2x z =． 用平面t x =截这个立体，得到一个长方形，其边长是100182t -，2t ． cm 8cm 10cm 5a b2log y x =2y x =-3log y x=所以 2210014)(cm x x x A -= 得 dx x x V ⎰-=100210014 33400cm =．（9）解法 2 如图（10）所示建立直角坐标系，则椭圆柱面的方程为11610022=+y x ，斜面的方程为2x z =．用平面t y =截这个立体，得到一个直角三角形，两条直角边分别为216100100t -， 21216100100t -． 所以 22)16100100(41)(cm y y A -=得 dy y V )16100100(41244-=⎰-33400cm =． （10）3.3.3 构造图形揭示数学问题的本质关系构造一个图形或图解表现问题的本质关系，则是几何直觉能力的直接体现．例如七桥问题[]()1893P ，哥尼斯堡位于普雷格尔河畔，河中有两个小岛，在小岛与小岛之间以及小岛与两岸之间假设了7座桥，把两岸和两岛连接起来，如图（11），人们从任何一个地点出发走过7座桥只走一次，最后又回到出发点，是否有可能？欧拉在研究这个问题时，首先用顶点（C B D A ,,,）表示陆地（两岛和两岸）,用边表示桥，问题转化为从图中任一点出发一笔画出这个图并且回到出发点．欧拉证明了这是不可能的．这个问题的研究舍弃了问题中的小岛、河流河岸的大小，用图刻画了与解决问题有关的关键因素之间的位置关系，转化为人们所熟悉的几何图形问题．在数学的学习过程中应该养成善于应用直观图来分析、探索、解决数学问题的思维方法与习惯，从而培养数形结合与转换的数学意识．（11）3.4 几何教学对空间想象能力的培养立体几何是高中数学的重要组成部分．掌握立体几何的基础知识,培养学生逻辑思维能力和空间想象能力,是立体几何教学和训练的主要着眼点．几何想象，或如同平常人们所说的几何直觉，对于几乎所有的数学分科的研究工作，甚至对于最抽象的工作，也有着重大的意义．在中学，空间形状的直观想象是特别困难的一件事．例如，如果闭上眼睛，不用图形就能很清楚的想象一个正方体被一个穿过正方体中心又垂直于它的一条对角线的平面所截得的图形是什么样子，这该算是很高的数学水平了．在几何教学中广泛的采用直观教具（尤其是立体图）并进行大量的空间想象能力的训练，可以发展学生的空间想象能力．初学立体几何的学生总感觉到立体几何题目太难，苦于找不到解题方法，分析不清解题思路，寻找不到解决问题的途径．空间想象能力是创造力的源泉，同时也是学生理解数学知识，掌握计算公式，提高应用题解题能力不可忽视的素质．因此空间想象能力是几何教学必须培养的基本教学能力之一．在几何的教学过程中，培养学生的空间想象能力，给予学生良好的学习方法，学生学习几何就会觉得很轻松快捷．在学习中充分的利用空间想象能力，可使几何问题迎刃而解．但是，如何在基础的几何教学中培养学生的空间想象能力呢？3.4.1 培养学生的空间知觉形成空间观念在认识几何图形的教学中，空间知觉是形成空间观念的基础，应该首先重视学生空间知觉的获得．例如，在平行线知识的教学中，“同一平面”和“不相交”这两个概念的理解是学生掌握平行线特征的关键，也是形成平行线空间观念的开始．教学时，除了举出学生熟悉的事物：如练习本上的横线、马路上的横道线、双杠的两根直杠以外，重点要引导学生看一看，横线、横道线、直杠的位置和方向，组织他们量一量两线之间的距离，再启发他们想一想，如果沿着横线、横道线、直杠的两端延长直线，这两条直线会不会产生相交的情况．在观察、实践和想象的基础上让学生获得“同一平面”、“不相交”的空间知觉，建立具有这种特点的两条直线的表象，为理解平行线的空间观念打下基础．3.4.2 建立几何概念时努力形成空间观念建立周长、面积、体积的概念时，必须运用直观演示和实践的方法，让学生获得周长、面积的大小感和体积的立体感，真正明确周长、面积、体积的意义．例如，在体积概念的教学中，应该让学生首先搞清“空间”、“空间大小”的实际意义，再理解物体所占空间大小．教学时，必须充分发挥直观演示的作用，使学生具体的看到：由一个一个面围成的木箱或纸箱占据了一定的位置，箱子所占的位置可以说成“空间”．如果把箱子放在地上，旁边再放一个较大的长方形纸片，让学生走一走，使学生知道箱子占据了空间，我们只能绕道走，长方形的面再大，没有占据空间，不需要绕道走．在对比中获得空间知觉．在这个基础上进一步引导学生观察物体所占空间有大有小，这就是物体的体积．这样做不仅正确的理解了几何的基础知识，而且使学生获得了空间知觉，培养了学生的空间观念．3.4.3 在推导计算公式中发展空间现象能力学生计算面积、体积时，往往容易搞不清单位名称，大部分学生是由于概念模糊造成的．因为他们只知道用公式计算周长、面积和体积，但不知道为什么要这样算．他们认为，求面积要用面积单位，求体积要用体积单位，那是规定了的．其实，只有通过培养学生的空间想象能力，才能顺利的推导出计算公式，理解公式的意义．例如，在长方形面积计算的教学中，应先指导学生拼方块数面积，画方格数面积，并结合测量长方形的长和宽等实践活动，引导学生进行想象．假如长方形的长越长，则面积个数越多；假如长方形的宽越宽，表示排数越多．通过这些计算公式的推导，使学生结合动手操作而获得空间知觉，发展学生的空间想象能力．3.4.4 在解决问题的过程中发展学生的空间想象学生的空间想象能力还应该在引导学生运用几何知识解决实际问题的联系中进一步得到发展．例如，在学习长方体和正方体表面积的计算公式后，可以先让学生用橡皮泥捏出一个正方体，让学生说一下为什么捏出的是正方体，再让学生算一下捏出正方体的表面积是多少．如果要求用刀沿着上表面的高把正方体垂直切一刀，切出来的两个形体是什么图形？先启发学生进行想象，然后再动手操作．通过充分的想象使学生的头脑中建立起表象．4 提高学生的综合素质并全面培养学生的能力学生空间想象能力的发展与其数学思维品质的完善程度相结合．可以说，培养学生的数学思维品质是提高学生空间想象能力的突破点．为提高学生的综合素质，在教学中应该从以下两方面入手：4.1 培养学生思维的深刻性和敏捷性在学习几何的过程中，如果没有思维的深刻性，就不可能准确的解释图形信息和正确地进行推理判断；没有思维的灵活性和敏捷性，就不可能对非图形信息与视觉信息进行灵活的转换与操作，无法想象运动变化的空间．4.2 培养学生的创造性思维培养学生的思维创造性，应当增强数学教学的变化性，为学生提供思维的广泛联想空间，使学生在面临问题时能够从多种角度进行考虑，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“举一反三”．教学实践表明，变式教学对于培养学生思维的灵活性有很大作用，在概念教学中，使学生用等值语言叙述概念，在数学公式教学中，要求学生掌握公式的各种变形，都有利于培养思维的灵活性．另外，思维的灵活性与思维的敏捷性是相互依存的，因此数学教学中采取措施（如编制口答练习题）加快学生的思维节奏，对于培养学生的思维灵活性也是很有好处的．。