矩阵的初等变换与矩阵的秩课堂 ppt课件
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矩阵的秩与初等变换课件
基的唯一性
如果一个向量空间的基所张成的 子空间的秩等于整个向量空间的 秩，则该基是唯一的。
子空间的性质
通过研究矩阵的秩，可以得出关 于子空间的性质，如子空间的维 数、子空间的正交补空间等。
向量空间与初等变换的关系
初等变换
交换矩阵的两行、两列，或者用一个非零常数乘以矩阵的一行或一列。
向量空间与初等变换的关系
03
通过将线性方程组转化为增广矩阵，利用初等行变换化简，可
以得到方程组的解。
04
矩阵的秩与线性方程组的关系
线性方程组的解与矩阵的秩的关系
线性方程组的解与矩阵的秩有密切关 系，矩阵的秩决定了线性方程组解的 个数和性质。
若矩阵的秩等于未知数的个数，则线 性方程组有唯一解；若矩阵的秩小于 未知数的个数，则线性方程组有无穷 多解或无解。
通过矩阵的秩判断线性方程组解的情况
通过计算矩阵的秩，可以判断线性方 程组的解的情况，从而确定解的个数 和性质。
VS
若矩阵的秩小于未知数的个数，可以 通过增加或减少方程来使矩阵变为满 秩，从而得到唯一解。
线性方程组的解与初等变换的关系
01
初等变换是矩阵的一种基本操作，它可以改变矩阵的
秩和行列式值。
矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩。
矩阵的秩与初等变换在解题中的应用
利用矩阵的秩判断方程组是否有解
01
当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，方程组有解；否则，方
程组无解。
利用初等变换化简矩阵
02
通过初等行变换或初等列变换可以将一个复杂的矩阵化简为一
个简单的矩阵，从而方便计算。
利用矩阵的秩和初等变换求解线性方程组
秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足以下性质：若$A$是$m times n$矩阵，$B$是$n times p$矩阵，则$AB$的秩不大于$A$的秩和$B$的秩，即$text{rank}(AB) leq text{rank}(A) + text{rank}(B)$。
2.4矩阵的秩 第二章矩阵的初等变换与线性方程组 线性代数 课件
r3 5 r4 r3
1 2 2 1 1 0 0 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
R ( A ) 2 , R ( B ) 3 .
三、小结
1. 矩阵秩的概念 2. 求矩阵秩的方法 (1)利用定义 (即寻找矩阵中非零子式的最高阶数); (2)初等变换法
(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行 阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).
1.5、矩阵秩的概念
任何矩A阵 mn ,总可经过有限次变初换等 把它变为梯 行形 阶，行 梯阶 形矩阵中非零行 数是唯一确. 定的
定义1 在mn矩阵A中任取k行k列（km, kn），位于这些行列交叉处的k2 个元素,不改 变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式， 称为矩阵A的k阶子式.
m n矩A 阵 的 k阶子C m k 式 •C n k个 共 .
例1
求矩阵 A12
2 3
35的秩 .
4 7 1
解
在 A 中，1
2 0.
23
又 A的 3阶子式只 A， 且 有A一 0，个
R (A )2.
Байду номын сангаас另解
对矩A 阵
1 0
3 2
2 1
32做初等变换
2 0 1 5
1 3 2 2 1 3 2 2 0 2 1 3~0 2 1 3,
2 0 1 5 0 0 0 0
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
1 6 4 1 4
r3 3r2
0
4
3
1 1
r4 4r2
0 0
0 0
0 0
4 8 4 8
r4 r3
矩阵的初等变换与矩阵的秩
对于 AT， 显有 R( AT ) R( A).
15
例3
求矩阵
A
1 2
2 3
3 5
的秩.
4 7 1
解
在 A 中，1
2 0.
23
又 A的 3 阶子式只有一个 A，且 A 0，
R( A) 2.
16
2 1 0 3 2
例4
求矩阵
B
0 0
3 0
1 0
2 4
5 3
的秩.
0 0 0 0 0
ri rj;
ri
(1) k
或
ri
k;
ri (k)rj 或 ri krj .
3
定义 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A B． 等价关系的性质： （1） 反身性 A A；
（2）对称性 若 A B ,则 B A; （3）传递性 若 A B,B C,则 A C.
k n），位于这些行列交叉 处的个 k 2 元素,不改
变它们在 A中所处的位置次序而得 的k阶行列式，
称为矩阵 A 的 k 阶子式.
1 2 3 0
12 3 2 3 0
例如
A
2 4
3 7
5 1
2 4
，
则
2 4
3 7
5 ，3 17
－5 1
－2 4
1 3 0 12 0 2 －5 －2 ，2 3 －2 都是A的全部4个3阶子式. 4 1 4 47 4
Br13 r4
22r1 332r1
01 03 06
21 51 39
12 15 73
2 2 23 9 4
r3 r4
36032rr11
15
例3
求矩阵
A
1 2
2 3
3 5
的秩.
4 7 1
解
在 A 中，1
2 0.
23
又 A的 3 阶子式只有一个 A，且 A 0，
R( A) 2.
16
2 1 0 3 2
例4
求矩阵
B
0 0
3 0
1 0
2 4
5 3
的秩.
0 0 0 0 0
ri rj;
ri
(1) k
或
ri
k;
ri (k)rj 或 ri krj .
3
定义 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A B． 等价关系的性质： （1） 反身性 A A；
（2）对称性 若 A B ,则 B A; （3）传递性 若 A B,B C,则 A C.
k n），位于这些行列交叉 处的个 k 2 元素,不改
变它们在 A中所处的位置次序而得 的k阶行列式，
称为矩阵 A 的 k 阶子式.
1 2 3 0
12 3 2 3 0
例如
A
2 4
3 7
5 1
2 4
，
则
2 4
3 7
5 ，3 17
－5 1
－2 4
1 3 0 12 0 2 －5 －2 ，2 3 －2 都是A的全部4个3阶子式. 4 1 4 47 4
Br13 r4
22r1 332r1
01 03 06
21 51 39
12 15 73
2 2 23 9 4
r3 r4
36032rr11
0831矩阵的初等变换PPT课件
程 学
其中行最简形矩阵所对应的线性方程组是
院 最简单的 而且是最容易求解的.
③2
③2
2x1 x2 x3 x4 2
23xxx111
x2 3x2 6x2
2x3 x3 9x3
7
x4 x4 x4
4 2 9
增广矩阵的比较
B 4231
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
9442
1 1 2 1 4
B2
2 2 3
1 3
6
1 1
9
1 1 7
922
显然 把B的第3行乘以(1/2)即得B2.
矩阵A与B行等价 记作 A ~r B.
生 物
如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B 就称
医 学
矩阵A与B列等价 记作 A ~c B.
工
如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B 就称矩
程
学 阵A与B等价 记作 A ~ B.
院 ❖等价关系的性质
(i)反身性 A~A
(ii)对称性 若A~B 则B~A
(iii)传递性 若A~B B~C 则A~C .
一个元素为非零元，即非零行的第一个非零
元．
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
行阶梯形矩阵：
•各非零行首非零元素分布在不同列
生
物 医
•当有零行时，零行在矩阵的最下端
学
工 程 学 院
3 2
2 0
5 1
131
1 4 9
0 5
0 0
3 1 2 5
0 1 6 7
0 0
5 0
3 2
4 1
0 2 6 0 0 3
物
第三章 初等矩阵与矩阵的秩
解（续）：B 还有其它 3 阶非零子式，例如
2 0
3
2 1 2 0 0 3 0 5 18 3
2 0 2 0 1 5 6 0 0 3
0 1 2 8 0 0 4
结论：行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数．
二、用初等变换求矩阵的秩
为求矩阵的秩，只要用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩． 1 2 1 0 2 2 4 2 6 6 的秩。 例3：求矩阵 A 2 1 0 2 3 3 3 3 4 3 解：对A施行初等行变换化成行阶梯形矩阵。
r1 3r3 r2 r3 r1 2r2
1 2 0 14 3 9 0 1 0 6 1 4 0 0 1 5 1 3 1 0 0 2 1 1 0 1 0 6 1 4 0 0 1 5 1 3
故
1 0 0 2 1 1 r3 (1) 0 1 0 6 1 4 0 0 1 5 1 3
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
r1 r4 r2 r4 r3 2r1 r4 3r1
6 4 1 4 1 3 1 1 0 4 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
1 1 0 1 1 1 0 1 r3 3 r2 r2 r1 0 1 1 1 0 1 1 1 r3 r1 0 3 3 3 0 0 0 0 A1
行阶梯矩阵
行阶梯形矩阵：
1 1 0 1 0 1 1 1 A 1 0 0 0 0
高等数学(下) 第3版课件-矩阵的初等变换与矩阵的秩
事物的现象是外在的表现形式，可能是正确的，也可能是歪 曲的。——马克思
美丽的外表，并不一定有美丽的内在；台上的光辉，台下的 汗水；地球是一个球体，并非天圆地方；苹果落地的表象蕴含着 万有引例定律的奥秘。
透过生活的表象，认识其本质的真相，这会令我们更清晰、 的人，发现真正真、善、美的东西，建立正确的世界观。
0 0
3 0
1 0
所以 rA 3
思政小课堂 矩阵的秩是矩阵的基本性质，不论对矩阵做怎样的初等变换
矩阵的秩不变。——这就是透过现象看本质。 同学们要养成透过现象看本质的习惯，不要被事物的表象所
蒙蔽，要多看、多听、多思考、多看书、多学习，做一个大格局 的人，发现真正真、善、美的东西，建立正确的世界观。
1 0 0 8
0 1 0 3
如：
C
0
0
1
5
0 0 0 0
0
0
0
0
结论：
（1）矩阵A通过初等行（列）变换为行阶梯形矩阵B，则 rA rB n ；
（2）因为线性方程组与它的增广矩阵 A 一 一对应，当 A经初等行变换 变为行最简形矩阵 C 时，有rA rC n(n为C中不为零的行的个数），
2 2 1
解
A
E
1 1
1 1
1 2
1 0
0 1
0 0
1 ((32))2(1)(1) 0
1 2
1 3
1 1
0 1
0 0
2 2 1 0 0 1
0 0 3 2 0 1
13(3)
1 0
0
1 2 0
1 3 1
1
1 2
3
1 0 0 5
1 ( 2 )
6
美丽的外表，并不一定有美丽的内在；台上的光辉，台下的 汗水；地球是一个球体，并非天圆地方；苹果落地的表象蕴含着 万有引例定律的奥秘。
透过生活的表象，认识其本质的真相，这会令我们更清晰、 的人，发现真正真、善、美的东西，建立正确的世界观。
0 0
3 0
1 0
所以 rA 3
思政小课堂 矩阵的秩是矩阵的基本性质，不论对矩阵做怎样的初等变换
矩阵的秩不变。——这就是透过现象看本质。 同学们要养成透过现象看本质的习惯，不要被事物的表象所
蒙蔽，要多看、多听、多思考、多看书、多学习，做一个大格局 的人，发现真正真、善、美的东西，建立正确的世界观。
1 0 0 8
0 1 0 3
如：
C
0
0
1
5
0 0 0 0
0
0
0
0
结论：
（1）矩阵A通过初等行（列）变换为行阶梯形矩阵B，则 rA rB n ；
（2）因为线性方程组与它的增广矩阵 A 一 一对应，当 A经初等行变换 变为行最简形矩阵 C 时，有rA rC n(n为C中不为零的行的个数），
2 2 1
解
A
E
1 1
1 1
1 2
1 0
0 1
0 0
1 ((32))2(1)(1) 0
1 2
1 3
1 1
0 1
0 0
2 2 1 0 0 1
0 0 3 2 0 1
13(3)
1 0
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1 2 0
1 3 1
1
1 2
3
1 0 0 5
1 ( 2 )
6
线性代数课件第三章矩阵的秩课件
VS
矩阵的秩可以用于判断两个矩阵是否相似。如果两个矩阵相似，则它们的秩相同。
特征值和特征向量
矩阵的秩还可以用于确定矩阵的特征值和特征向量的个数。对于给定的矩阵，其秩等于其非零特征值的个数。
矩阵相似
矩阵的秩可以用于矩阵分解，如奇异值分解（SVD）和QR分解等。这些分解方法将一个复杂的矩阵分解为几个简单的、易于处理的矩阵，有助于简化计算和解决问题。
1 2 3 | 0 0 -3
7 8 9 | 0 0 0`
```
由于非零行的行数为2，所以矩阵B的秩为2。
题目3
求矩阵C=[1 -2 3; -4 5 -6; 7 -8 9]的秩。
解答
首先，将矩阵C进行初等行变换，得到行阶梯矩阵
```
继续进行初等行变换，得到
1 -2 3 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0
矩阵秩的应用
03
线性方程组的解
矩阵的秩可以用来判断线性方程组是否有解，以及解的个数。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组有唯一解；否则，方程组无解或有无数多个解。
最小二乘法
矩阵的秩还可以用于最小二乘法，通过最小化误差平方和来求解线性方程组。最小二乘法的解就是使残差矩阵的秩等于其行数或列数的最小二乘解。
(精品课件)研究生教材《矩阵理论》PPT演示文档
列和第
行， x ( x1 , x2 ,, xn ) ,则有
( 2) ( n)
Ax x1 A x2 A xn A
这就是说，矩阵乘一个列向量，其结果是将该矩 阵的列向量进行线性组合，组合系数即是该列向量 的对应系数。 若令 y ( y1 , y2 ,, ym ), 则有：
yA y1 A(1) x2 A( 2) xm A( m)
其余元素均为0的矩阵。借助这些矩阵，任意 矩阵 A aij , 均能唯一地表示成： A
m n
n ij ij
a E .
i 1 j 1
m
对矩阵乘法的表达，可以利用下述性质：
Eij Ekl jk Eil ,1 i, j, k , l n,
其中 jk 是Kronecker符号，即当
.函数与极限
5
【定义1.1.4 】 一个 一个
m p
pn
p
矩阵 B bij
m n
矩阵 C cij , 其中
矩阵 A aij
与
的乘积是一个
cij aik bkj ,1 i m,1 j n.
j 1
★矩阵的乘法有下述性质： （M1)结合律：( AB)C A( BC);
并将其分块成
P Q1P2 ,
P 11 P P 21
.函数与极限
P 12 P22
26
其中
P 11 , P 12 , P 21 , P 22
分别为
r1 r2 ,
r1 ( p r2 ), ( p r1 ) r2 , ( p r1 ) ( p r2 )
A( E pq Eqp ) (aii Eii E pq aii Eii Eqp ) a pp E pq aqq Eqp ;
2-5 矩阵的秩与矩阵的初等变换
（1）Dr中不含第i行； （2）Dr中同时含第i行和第j行； （3）Dr中含第i行但不含第j行；
12 上一页 下一页 返 回
对 (1),(2) 两种情形，显然B 中与 Dr 对应的 子式 Dr Dr 0,故 R(B) r.
对情形 (3)，
Dr ri rj ri rj Dr Dˆ r ,
定义5.5 由单位矩阵 E经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 互换两行或两列；
2.以数 0 乘某行或某列； 3.以数 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
29 上一页 下一页 返 回
1、互换两行或两列
互换 E 中第 i, j 两行，即(ri rj )，得初等方阵
证 由矩阵 A的所有k 1阶子式全为零， 故A的任一k 2阶子式按行（或列）展 开后知其必为零进，而全部高于k 1阶 子式皆为零，所以由定义有 R( A) k .
注：按定义求矩阵的秩需要计算行列式，故只 适用行、列较少的矩阵，对行、列较多的矩阵 比较困难，为此下面介绍一个简便方法。
8 上一页 下一页 返 回
r1 r4
0
4
3
1 1
r2 r4
2 3
0 2
1 0
5 3 5 0
26 上一页 下一页 返 回
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
r1 r4 r2 r4 r3 2r1 r4 3r1
4 8 4 8
r4 r3
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0
12 上一页 下一页 返 回
对 (1),(2) 两种情形，显然B 中与 Dr 对应的 子式 Dr Dr 0,故 R(B) r.
对情形 (3)，
Dr ri rj ri rj Dr Dˆ r ,
定义5.5 由单位矩阵 E经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 互换两行或两列；
2.以数 0 乘某行或某列； 3.以数 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
29 上一页 下一页 返 回
1、互换两行或两列
互换 E 中第 i, j 两行，即(ri rj )，得初等方阵
证 由矩阵 A的所有k 1阶子式全为零， 故A的任一k 2阶子式按行（或列）展 开后知其必为零进，而全部高于k 1阶 子式皆为零，所以由定义有 R( A) k .
注：按定义求矩阵的秩需要计算行列式，故只 适用行、列较少的矩阵，对行、列较多的矩阵 比较困难，为此下面介绍一个简便方法。
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r1 r4
0
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r2 r4
2 3
0 2
1 0
5 3 5 0
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3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
r1 r4 r2 r4 r3 2r1 r4 3r1
4 8 4 8
r4 r3
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0
线性代数课件chap25初等矩阵与矩阵的秩(2020)
2.矩阵秩的性质:
(1) 一个矩阵的秩数是唯一的;
(2) 若矩阵 A ( aij )mn 则 0 r ( A) min{m , n};
(3) 若矩阵A有一个r阶子式不为零， 则 r ( A) r;
(4) 若矩阵A的所有r阶子式都为零， 则 r ( A) r;
(5)若B是A的一个子阵,则 r ( B) r ( A)
a jn
amn
a1n
矩阵的初等行变换与列变换统称为矩阵的初等变换
注：三种初等变换都是可逆的，且其逆变
换是同一类型的初等变换．
初
等
变
换 逆
变
换
r i r j (c i c j )
r i r j (c i c j )
r i k (c i k )
1
1
r i (c i )
A
0 1 1 0 0 0
1 3 6 1 0 0
1 0 3 3 0 0
0
1
0
0
0
0
5
1
1
0
0
0
则
r ( A) 3
定理
对任何m×n 阶矩阵 A , 则
(1) 存在m阶初等方阵 R1 , R2 , , Rs
使得 Rs
如果r(A)=n, 则称 A为列满秩阵；
如果r(A)=m=n,则称 A为满秩阵；
定理：初等变换不改变矩阵的秩
3.求矩阵的秩数的一种方法:
将矩阵A用初等行变换化为阶梯形阵
则,
例
阶梯形的非零行数为A的秩数.
0 1 1 1 1 3
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2 1 1 1 2
1
4
1 6
2 2
1 2
4 4
B
3
6 9
7
9
1
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铃
第四节 矩阵的初等变换与矩阵的秩
一.矩阵的初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换，称为初等行变换。 (1)交换矩阵的两行； (2)以数k0乘矩阵的某一行； (3)把矩阵的某一行的k倍加到另一行上。 交换第i行与第j行记为rirj。 例如
用数k乘以第i列记为cik。例如
1 5 1 1 1 2 1 3 3 8 1 1 1 9 3 7
c34
———
1 5 4 1 1 2 4 3 3 8 4 1 1 9 12 7
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结束
铃
一.矩阵的初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换，称为初等列变换。
(1)交换矩阵的两列；
(2)以数k0乘矩阵的某一列；
② 所有非零行（元素不全为0的行）的首元，它的“列标” 随着“行标”的增大而严格增大。
1 1 2 1 4
0
0
1 0
1 0
1 1
0
3
B4
0
0
00
0
行阶梯形矩阵： 1. 可画出一条阶梯线，线的下
方全为零； 2. 每个台阶只有一行； 3. 阶梯线的竖线后面是非零行
的第一个非零元素.
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备注
• 带有运算符的矩阵运算，用“ = ”．例如：
矩阵加法
＋
数乘矩阵、矩阵乘法
×
矩阵的转置
T（上标）
方阵的行列式
|∙|
• 不带运算符的矩阵运算，用“～”．例如：
初等行变换 初等列变换
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10
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三、用初等变换将矩阵化为阶梯形和标准阶梯形矩阵 （1）阶梯形矩阵 定义：适合下列两个条件的矩阵称为阶梯形矩阵 ①零行（元素全为0的行）位于矩阵的下方
A
1 2
0 1
1 0
—rr23—+23rr11
101 0 1 2
—r3—2r1
3 2 5
0 2 2
r30.5
——
1 0 1 r2+2r3 1 0 0 0 1 2 —r1—r3 0 1 0
001
001
101 0 1 2 002
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例2．用初等行变换把矩阵化为阶梯形和行简化阶梯形
1 1 1 1 0
(3)把矩阵的某一列的k倍加到另一列上。
第j列11的k5倍2 加11到第31i列记c3+为c1ci+kcj11。例如52
0 2
1 3
3 8 1 1 ——— 3 8 2 1
1 9 3 7
1 9 4 7
矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵初等变换
若矩阵A经过初等行变换后变为B,用
A
B
表示,并称矩阵 A与B是行等价的
①每个非零行的首元为1 ②首元所在的“列”除首元以外，其余元素均为零。
1 0 5 0
例A 定理2：
0 0 0
1 0 0
0 0 0
0 1 0
任何一个矩阵
A
为行简化阶梯形矩阵
一系列初 等行变换
阶梯形矩阵B
（不唯一）
一系列初 等行变换
行简化阶梯形矩阵C （唯一）
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例1．用初等变换把矩阵化为阶梯形和行简化阶梯形
0
0
1 0
1 0
0 1
3
3
B5
0
0
00
0
行阶梯形矩阵： 1. 可画出一条阶梯线，线的下
方全为零； 2. 每个台阶只有一行； 3. 阶梯线的竖线后面是非零行
的第一个非零元素.
行最简形矩阵： 4. 非零行的第一个非零元为1; 5. 这些非零元所在的列的其它
元素都为零.
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（2）行简化阶梯形矩阵 定义：适合下列两个条件的阶梯形矩阵称为行简化阶梯形矩阵
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1 3 5 7
1 3 5 7
例
A
0 0 0
2 0 0
0 0 0
0
1 0
B
0
0 0
2 4 0
3 0 0
0
1 0
A为阶梯形矩阵， B不是阶梯形矩阵
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1 1 2 1 4
0
0
1 0
1 0
1 1
0
3
B4
0
0
00
0
r1 r2
r2 r3
1 0 1 0 4
交换第i列与第j列记为cicj。例如
1 5 1 1 1 2 1 3 3 8 1 1 1 9 3 7
c1c3
———
1 5 1 2 1 8 3 9
1 1 13 31 17
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一.矩阵的初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换，称为初等列变换。 (1)交换矩阵的两列； (2)以数k0乘矩阵的某一列； (3)把矩阵的某一列的k倍加到另一列上。
第j行的k倍加到第i行记为ri+krj。例如
1 5 1 1 1 2 1 3 3 8 1 1 1 9 3 7
r33r1
———
1 5 1 1 1 2 1 3 0 7 2 4 1 9 3 7
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一.矩阵的初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换，称为初等列变换。 (1)交换矩阵的两列； (2)以数k0乘矩阵的某一列； (3)把矩阵的某一列的k倍加到另一行列上。
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二、矩阵之间的等价关系
有限次初等行变换
A
有限次初等列变换
r
行等价，记作 A ~ B
B c 列等价，记作 A ~ B
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矩阵 A 与矩阵 B 等价，记作 A ~ B
有限次初等变换
A
B
矩阵之间的等价关系具有下列性质：
反身性 A~；A 对称性 若 A ，~ B则 B；~ A 传递性 若 A~B,，B则~C． A ~ C
用数k乘以第i行记为rik。例如
1 5 1 1 1 2 1 3 3 8 1 1 1 9 3 7
r24
———
1 5 1 1 4 8 4 12 3 8 1 1 1 9 3 7
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一.矩阵的初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换，称为初等行变换。 (1)交换矩阵的两行； (2)以数k0乘矩阵的某一行； (3)把矩阵的某一行的k倍加到另一行上。
A1 1 1 3 1
2 2 4 6 1
解：A11
1 1
1 1
1 3
0 1
一系列初 等行变换
2 2 4 6 1
1 0
1 0
1 2
1 4
0 1
=
B为阶梯形矩阵
（不唯一）
0
0
0
1
0
1
0
0 1
一系列初
等行变换
0
0
1 2
0 0 0 0
1
2
1 = C为行简化阶梯形矩阵
1 5 1 1 1 2 1 3 3 8 1 1 1 9 3 7
r2r4
———
1 5 1 1 1 9 3 7 3 8 1 1 1 2 1 3
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ结束
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一.矩阵的初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换，称为初等行变换。 (1)交换矩阵的两行； (2)以数k0乘矩阵的某一行； (3)把矩阵的某一行的k倍加到另一行上。
1
4
1 6
2 2
1 2
4 4
B
3
6 9
7
9
1
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第四节 矩阵的初等变换与矩阵的秩
一.矩阵的初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换，称为初等行变换。 (1)交换矩阵的两行； (2)以数k0乘矩阵的某一行； (3)把矩阵的某一行的k倍加到另一行上。 交换第i行与第j行记为rirj。 例如
用数k乘以第i列记为cik。例如
1 5 1 1 1 2 1 3 3 8 1 1 1 9 3 7
c34
———
1 5 4 1 1 2 4 3 3 8 4 1 1 9 12 7
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一.矩阵的初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换，称为初等列变换。
(1)交换矩阵的两列；
(2)以数k0乘矩阵的某一列；
② 所有非零行（元素不全为0的行）的首元，它的“列标” 随着“行标”的增大而严格增大。
1 1 2 1 4
0
0
1 0
1 0
1 1
0
3
B4
0
0
00
0
行阶梯形矩阵： 1. 可画出一条阶梯线，线的下
方全为零； 2. 每个台阶只有一行； 3. 阶梯线的竖线后面是非零行
的第一个非零元素.
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备注
• 带有运算符的矩阵运算，用“ = ”．例如：
矩阵加法
＋
数乘矩阵、矩阵乘法
×
矩阵的转置
T（上标）
方阵的行列式
|∙|
• 不带运算符的矩阵运算，用“～”．例如：
初等行变换 初等列变换
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三、用初等变换将矩阵化为阶梯形和标准阶梯形矩阵 （1）阶梯形矩阵 定义：适合下列两个条件的矩阵称为阶梯形矩阵 ①零行（元素全为0的行）位于矩阵的下方
A
1 2
0 1
1 0
—rr23—+23rr11
101 0 1 2
—r3—2r1
3 2 5
0 2 2
r30.5
——
1 0 1 r2+2r3 1 0 0 0 1 2 —r1—r3 0 1 0
001
001
101 0 1 2 002
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例2．用初等行变换把矩阵化为阶梯形和行简化阶梯形
1 1 1 1 0
(3)把矩阵的某一列的k倍加到另一列上。
第j列11的k5倍2 加11到第31i列记c3+为c1ci+kcj11。例如52
0 2
1 3
3 8 1 1 ——— 3 8 2 1
1 9 3 7
1 9 4 7
矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵初等变换
若矩阵A经过初等行变换后变为B,用
A
B
表示,并称矩阵 A与B是行等价的
①每个非零行的首元为1 ②首元所在的“列”除首元以外，其余元素均为零。
1 0 5 0
例A 定理2：
0 0 0
1 0 0
0 0 0
0 1 0
任何一个矩阵
A
为行简化阶梯形矩阵
一系列初 等行变换
阶梯形矩阵B
（不唯一）
一系列初 等行变换
行简化阶梯形矩阵C （唯一）
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例1．用初等变换把矩阵化为阶梯形和行简化阶梯形
0
0
1 0
1 0
0 1
3
3
B5
0
0
00
0
行阶梯形矩阵： 1. 可画出一条阶梯线，线的下
方全为零； 2. 每个台阶只有一行； 3. 阶梯线的竖线后面是非零行
的第一个非零元素.
行最简形矩阵： 4. 非零行的第一个非零元为1; 5. 这些非零元所在的列的其它
元素都为零.
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（2）行简化阶梯形矩阵 定义：适合下列两个条件的阶梯形矩阵称为行简化阶梯形矩阵
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1 3 5 7
1 3 5 7
例
A
0 0 0
2 0 0
0 0 0
0
1 0
B
0
0 0
2 4 0
3 0 0
0
1 0
A为阶梯形矩阵， B不是阶梯形矩阵
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1 1 2 1 4
0
0
1 0
1 0
1 1
0
3
B4
0
0
00
0
r1 r2
r2 r3
1 0 1 0 4
交换第i列与第j列记为cicj。例如
1 5 1 1 1 2 1 3 3 8 1 1 1 9 3 7
c1c3
———
1 5 1 2 1 8 3 9
1 1 13 31 17
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一.矩阵的初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换，称为初等列变换。 (1)交换矩阵的两列； (2)以数k0乘矩阵的某一列； (3)把矩阵的某一列的k倍加到另一列上。
第j行的k倍加到第i行记为ri+krj。例如
1 5 1 1 1 2 1 3 3 8 1 1 1 9 3 7
r33r1
———
1 5 1 1 1 2 1 3 0 7 2 4 1 9 3 7
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一.矩阵的初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换，称为初等列变换。 (1)交换矩阵的两列； (2)以数k0乘矩阵的某一列； (3)把矩阵的某一列的k倍加到另一行列上。
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二、矩阵之间的等价关系
有限次初等行变换
A
有限次初等列变换
r
行等价，记作 A ~ B
B c 列等价，记作 A ~ B
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矩阵 A 与矩阵 B 等价，记作 A ~ B
有限次初等变换
A
B
矩阵之间的等价关系具有下列性质：
反身性 A~；A 对称性 若 A ，~ B则 B；~ A 传递性 若 A~B,，B则~C． A ~ C
用数k乘以第i行记为rik。例如
1 5 1 1 1 2 1 3 3 8 1 1 1 9 3 7
r24
———
1 5 1 1 4 8 4 12 3 8 1 1 1 9 3 7
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一.矩阵的初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换，称为初等行变换。 (1)交换矩阵的两行； (2)以数k0乘矩阵的某一行； (3)把矩阵的某一行的k倍加到另一行上。
A1 1 1 3 1
2 2 4 6 1
解：A11
1 1
1 1
1 3
0 1
一系列初 等行变换
2 2 4 6 1
1 0
1 0
1 2
1 4
0 1
=
B为阶梯形矩阵
（不唯一）
0
0
0
1
0
1
0
0 1
一系列初
等行变换
0
0
1 2
0 0 0 0
1
2
1 = C为行简化阶梯形矩阵
1 5 1 1 1 2 1 3 3 8 1 1 1 9 3 7
r2r4
———
1 5 1 1 1 9 3 7 3 8 1 1 1 2 1 3
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一.矩阵的初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换，称为初等行变换。 (1)交换矩阵的两行； (2)以数k0乘矩阵的某一行； (3)把矩阵的某一行的k倍加到另一行上。