基本不等式与绝对值不等式

教学过程

一、新课导入

前面我们已学过不等式的性质和证明方法，这一节我们再来研究算术平均数与几何平均数之间的关系及一些含有绝对值的不等式的证明问题.

二、复习预习

1.基本不等式的定理及推论.

2.如何运用基本不等式解决问题.

3.绝对值不等式的定理及推论.

4.如何运用绝对值不等式证明问题.

三、知识讲解

考点1 基本不等式

1．基本不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a . 2．定理：如果a,b 是正数，那么

).""(2

号时取当且仅当==≥+b a ab b

a 3.公式的等价变形：a

b ≤2

2

2b a +，ab ≤（2b a +）2.

4．若

b

a

a b +≥2（ab ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号. 5．定理：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）. 6．推论：如果+∈R c b a ,,，那么3

3

abc c b a ≥++ （当且仅当c b a ==时取“=”）. 7.关于“平均数”的概念

如果++∈>∈N n n R a a a n 且1,,,,21 则：n

a a a n

+++ 21叫做这n 个正数的算术平均数；n n a a a 21叫做这n 个正

数的几何平均数.

推广：

n

a a a n

+++ 21≥n n a a a 21n i R a N n i ≤≤∈∈+1,,*

语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数

考点2 绝对值不等式的定理及推论

1.定理：||||||||||b a b a b a +≤+≤-. 注意：

1? 左边可以“加强”同样成立，即||||||||||b a b a b a +≤+≤-.

2? 这个不等式俗称“三角不等式”—三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 3?a ,b 同号时右边取“=”，a ,b 异号时左边取“=”. 推论1：||21n a a a +++ ≤||||||21n a a a +++ . 推论2：||||||||||b a b a b a +≤-≤-.

四、例题精析

考点1基本不等式

例1 已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222.

【规范解答】 ∵ab b a 222>+

222b c bc +> ca a c 222>+

以上三式相加：ca bc ab c b a 222)(2222++>++ ∴ca bc ab c b a ++>++222.

【总结与反思】此题在证明过程中运用了基本不等式及不等式的性质，在证法上采用的是综合法.

例2已知a,b,c,d都是正数，求证：abcd

(≥

+

+．

)(

ab4

bd

ac

cd

)

【规范解答】

∵a,b,c,d 都是正数，∴ab ＞0，cd ＞0，ac ＞0，bd ＞0

得

0,2ab cd +≥>0.2

ac bd

+≥> 由不等式的性质定理4的推论1，得

()()

.4

ab cd ac bd abcd ++∴

≥

即abcd bd ac cd ab 4))((≥++.

【总结与反思】用均值不等式证明题时，要注意为达到目标可先宏观，而后微观；均值不等式在运用时，常需先凑形后运用；均值不等式和不等式的基本性质联合起来证题是常用的行之有效的方法.

例3 已知a , b , c ∈R ,

求证：1?9)1

11)((≥++++c b a c b a

2?2

9

)111)(

(≥+++++++a c c b b a c b a 3?

2

3≥+++++b a c a c b c b a .

【规范解答】

证明：1?法一：33abc c b a ≥++, 3

1

3111abc

c b a ≥++, 两式相乘即得9)111)((≥++++c b a c b a . 法二：左边)()()(3c

b

b c c a a c b a a b c c b a b c b a a c b a ++++++=++++++++=

≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9. 2?∵

3

))()((2

3222a c c b b a a c c b b a +++≥+++++ 3

)

)()((1

3111a c c b b a a c c b b a +++≥+++++ 两式相乘即得29

)111)(

(≥+++++++a c c b b a c b a . 3?由上题：2

9

)111)(

(≥+++++++a c c b b a c b a ∴29

111≥++++++++

a c

b

c b a b a c 即

2

3≥+++++b a c a c b c b a . 【总结与反思】基本不等式的灵活运用.

例4 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2米的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量份数与a、b的乘积ab成反比现有制箱材料60平方米，问a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量份数最小(A、B孔面积忽略不计).

【规范解答】

设y 为流出的水中杂质的质量份数，由题意可知：4b ＋2ab ＋2a ＝６0（a ＞0，b ＞0） ∴a ＋2b ＋ab ＝30 （a ＞0，b ＞0）,∴b ＝a

a

+-230 （0＜a ＜30） 由题设：y ＝ab

k

，其中k ＞0且k 是比例系数，依题只需ab 取最大值∴y ＝

264322302

+-+-=+-=a a k a a a k ab k ＝??????+++-264)2(34a a k ≥182

64)2(234k a a k =+?+- ∴当且仅当a ＋2＝

2

64

+a 时取“＝”号，即a ＝６，b ＝3时ab 有最大值18故当a ＝6米，b ＝3米时经沉淀后流出的水中杂质最少.

【总结与反思】均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程为：(1)先构造定值；(2)出现关系式；(3)验证“＝”号成立.

例5 求函数)0(,3

22>+=x x

x y 的最大值，下列解法是否正确？为什么？

解一： 33222432

12311232=??≥++=+

=x

x x x x x x x y ，∴3min 43=y 解二：x x

x x x y 623223222

=?≥+=当x x 322=即2123

=x 时， 633

min 324212322

12

62==?

=y .

【规范解答】

以上两种解法均有错误

解一错在取不到“=”，即不存在x 使得x

x x 2122==； 解二错在x 62

正确的解法是：

333222362

32932323232323232==??≥++=+

=x x x x x x x x y

当且仅当x x 2322

=即2

6

3

=x 时min =y 【总结与反思】基本不等式成立条件：一正、二定、三相等.

例6 若14<<-x ，求2

22

22-+-x x x 的最值.

【规范解答】])1(1

)1([21]11)1[(2111)1(21222222--+---=-+-=-+-?=-+-x x x x x x x x x

∵14<<-x ∴0)1(>--x ，

0)

1(1

>--x

从而2])

1(1

)1([≥--+

--x x ，

1])1(1)1([21-≤--+---x x 即1)2

22

2(

min 2-=-+-x x x . 【总结与反思】构造定值运用基本不等式求解.

例7 设+

∈R x 且12

2

2

=+y x ，求21y x +的最大值.

【规范解答】∵0>x

∴212

y x =+又2

321)2()221(22

22

=++=++y x y x ，

∴4

2

3)2321(212=?≤+y x

即 4

2

3)1(max 2=

+y x 【总结与反思】构造定值运用基本不等式求解.