届高三数学月综合练习题有答案

2

俯视图

左视图

2

1 2

江苏省盐城市田家炳中学09届高三数学12月综合练习

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1.设集合A 是函数2

32)

1(--=x y 的定义域，?

???

??>==1,)2

1(x y y B x

，则A

B = 。

2.若函数)0)(sin(3)(>+=ω?ωx x f 的图象的相邻两条对称轴的距离是π2，则ω的值

为 .

3．某篮球学校的甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图如下．则罚球命中率较高的是 ． 4．设等比数列{}n a 的公比q =2，前n 项和为S n ， 则

2

4

a S =______________ 5.已知31)3

sin(=

-

π

α，则)6

cos(πα+=___________. 6．如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是 ________ 2

cm 。

7．若命题“?x ∈R,使x 2+(a －1)x+1<0”是假命题，

则实数a 的取值范围为 8．曲线21x y C -=：在点)2

3

,21(P 处 的切线方程是 ______________ 9．若复数12z a i =+, 234z i =-，且1

2

z z 为纯虚数，则实数a 的值为 。 10.已知向量a b

P a b

=

+，其中a 、b 均为非零向量，则P 的取值范围是 ． 11．若函数2

()ln(1)f x x x

=+-的零点在区间(,1)()k k k Z +∈上,则k 的值为 .

12．设椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的四个顶点A 、B 、C 、D , 若菱形

ABCD 的内切圆恰好经过椭圆的焦点, 则椭圆的离心率为 ．

13.若函数2

()x

f x x a

=

+(0a >)在[)1,+∞3,则a 的值为 .

14.设集合{,1},{,1,2},,,{1,2,3,,9}P x Q y P Q x y ==?∈，且在直角坐标平面内，从所

有满足这些条件的有序实数对(,)x y 所表示的点中任取一个，其落在圆2

2

2

x y r +=内的概率恰为2

7

，则2r 的一个可能的正整数值是________（只需写出一个即可）．

盐城市田家炳中学高三数学答题卷

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，满分共计70分）

1．_____________;2____________;3_____________; 4．_____________;5____________;6_____________; 7．_____________;8____________;9_____________; 10．____________;11____________;12____________; 13．____________;14.____________.

二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

___________ 考试号___________________

15. 已知复数ααsin cos 1i z +=， ββsin cos 2i z +=， 55

2

21=-z z ， 求：（1）求)cos(βα-的值；

（2）若2

02π<α<<β<π-,且135sin -=β,求αsin 的值．

16. 已知平面区域00240x y x y ≥??≥??+-≤?

恰好被面积最小的圆222

:()()C x a y b r -+-=及其内

部所覆盖．(1)试求圆C 的方程.

(2)若斜率为1的直线l 与圆C 交于不同两点,.A B 满足CA CB ⊥,求直线l 的方程.

17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=?，N 是PB

中点，过A 、N 、

D 三点的平面交PC 于M ． (1) 求证：//DP ANC 平面 （2）求证：M 是PC 中点； （3）求证：平面PBC ⊥平面ADMN

18.某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB 至少长2.8m ，C 为AB 的中点，B 到D 的距离比CD 的长小0.5m ，060BCD ∠=，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计,AB CD 的长，可使建造这个支架的成本最低？ 19．（本小题满分15分）

已知函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数,x a x x g -=)(在(0,1)为减函数.

B

A

C

D 地面

（I ）求)(x f 、)(x g 的表达式；

（II ）求证:当0>x 时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解； (III ）当1->b 时,若2

1

2)(x bx x f -≥在x ∈]1,0(内恒成立,求b 的取值范围. 20．（本小题满分18分）

设数列{}n a 的前n 项和为n S ，d 为常数，已知对*

∈?N m n ,，当m n >时，总有

d m n m S S S m n m n )(-+=--

⑴ 求证：数列｛n a ｝是等差数列；

⑵ 若正整数n , m , k 成等差数列，比较k n S S +与m S 2的大小，并说明理由！

⑶ 探究 ： :p “对*

∈?N m n ,，当m n >时，总有d m n m S S S m n m n )(-+=--”

是:q “数列｛n a ｝是等差数列”的充要条件吗？并给出证明！由此类比，你能给出数列｛n b ｝是等比数列（公比为q ，且0≠q ）的充要条件吗？

参考答案 1.)21,0(;2.

21;3.甲;4.215;5.3

1-;6.2420+;7.]3,1[-; 8.03233=-+y x ;9.

3

8

;10.]2,0[;11.1±;12.215-; 13.13-;14.32,31,30

15.解：（１）∵)sin (sin )cos (cos 21βαβα-+-=-i z z ，

∵55

2

21=-z z ，

5

5

2)sin (sin )cos (cos 22=

-+-∴βαβα， ∴cos(α-β)=5

3254

2=-

. （２）∵-

2

02π

<

α<<β<π,∴0<α-β<π,由（1）得cos(α-β)=53, ∴sin(α-β)=

54. 又sin β=-135,∴cosβ= 13

12

. ∴ sin α=sin ［(α-β)+β］

=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β =54×6533)135(5

31312=-?+．

16.解:(1)由题意知此平面区域表示的是以(0,0),(4,0),(0,2)O P Q 构成的三角形及其内部,且△OPQ 是直角三角形,

所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),, 所以圆C 的方程是2

2

(2)(1)5x y -+-=. (2)设直线l 的方程是:y x b =+.

因为CA CB ⊥,所以圆心C 到直线l ,

=

解得:1b =-±

所以直线l 的方程是

:1y x =-± 17.证明：（1）连结BD ，AC ，设AC

BD O =，连结NO

∵ABCD 是的菱形 ∴O 是BD 中点，又N 是PB 中点

∴PD//NO 又,NO ANC PD ANC ??平面平面

∴//DP ANC 平面 （2）依题意有//AD BC ∴//BC 平面ADMN 而平面PBC 平面ADMN MN = ∴//BC MN

∴//AD MN

（或证AD ∥平面PBC ） ∴//MN BC

又N 是PB 中点 ∴M 是PC 中点 （3）取AD 中点E ，连结PE 、BE 、BD 、如右图

∵ABCD 为边长为2的菱形，且60BAD ∠=? ∴ABD ?为等边三角形，又E 为AD 的中点 ∴BE AD ⊥ 又∵PE AD ⊥ ∴AD ⊥面PBE

∴AD ⊥PB

又∵PA AB =，N 为PB 的中点

∴AN PB ⊥

∴PB ⊥平面ADMN 而PB ?平面PBC ∴平面PBC ⊥平面ADMN 18.解：设(1,4),.BC am a CD bm =≥= 连结BD .

则在CDB ?中，2221()2cos60.2

b b a ab -=+-

214.1a b a -

∴=

- 21

422.1

a b a a a -

∴+=+-

设 2.8

1,10.4,2

t a t =-≥

-= 则21

(1)3422(1)347,4t b a t t t t

+-

+=

++=++≥ 等号成立时0.50.4, 1.5, 4.t a b =>==

答：当3,4AB m CD m ==时，建造这个支架的成本最低.

19．解: （I ）,2)(x

a

x x f -

='依题意]2,1(,0)(∈>'x x f ,即22x a <,]2,1(∈x . ∵上式恒成立,∴2≤a ①

又x

a

x g 21)(-=',依题意)1,0(,0)(∈<'x x g ,即x a 2>,)1,0(∈x .

∵上式恒成立,∴.2≥a ② 由①②得2=a .

∴.2)(,ln 2)(2x x x g x x x f -=-=

（II ）由(1)可知,方程2)()(+=x g x f ,.022ln 22=-+--x x x x 即 设22ln 2)(2-+--=x x x x x h ,,1

122)(x

x x x h +--

='则 令0)(>'x h ,并由,0>x 得,0)222)(1(>+++-x x x x x 解知.1>x 令,0)(<'x h 由.10,0<<>x x 解得

知)(x h 在1=x 处有一个最小值0, 当10≠>x x 且时,)(x h ＞0,

∴0)(=x h 在(0,+∞)上只有一个解.

即当x ＞0时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解.

（III ）设2

'

23122()2ln 2()220x x x bx x x b x x x

??=--+

=---<则, ()x ?∴在(0,1]为减函数min ()(1)1210x b ??∴==-+≥ 又1b >-

所以：11≤<-b 为所求范围.

20. ⑴证明：∵当m n >时，总有d m n m S S S m n m n )(-+=--

∴ 当2≥n 时，d n S S S n n )1(11-+=--即,)1(1d n a a n -+=

且1=n 也成立

∴ 当2≥n 时，d d n a d n a a a n n =----+=--)2()1(111 ∴数列｛n a ｝是等差数列 ⑵解： ∵正整数n , m , k 成等差数列，∴,2m k n =+

∴)2

)

1((22)1(2)1(2111d m m ma d k k ka d n n na S S S m k n -+--++-+=-+ ))2(

2(2)2(222

2222k n k n d m k n d +-+=-+= 2

)(4

k n d -=

∴ ① 当0>d 时，k n S S +m S 2≥

② 当0

③ 当0=d 时，k n S S +m S 2=

⑶ 由⑴充分性已经得证，下面证必要性

∵ 数列｛n a ｝是等差数列

∴当m n >时，n m m m n m n a a a S S S +++=--++- 21m n S --

d m n m n a m n m 2)1)(()(1---+

-=+]2

)

1)(()[(1d m n m n a m n ---+--

))((11a a m n m --=+d m n m )(-= ∴ d m n m S S S m n m n )(-+=--

∴ :p “对*

∈?N m n ,，当m n >时，总有d m n m S S S m n m n )(-+=--”

是:q “数列｛n a ｝是等差数列”的充要条件 “数列｛n b ｝是等比数列（公比为q ，且0≠q ）”的充要条件是

“对*

∈?N m n ,，当m n >时，总有m n m m n S q S S -?=-”