1-1质点运动的描述
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上海理工大学 大学物理 第一章 质点运动学(1)
0
k i
x
z
r x2 y2 z2
r xi y j z k
2. 运动方程
当质点运动时，其位置矢量随时间变化：
r r ( t ) x( t )i y( t ) j z( t )k
该式称质点的运动方程。其中x(t)、 y(t)、z(t)是运动方 程的分量式，也是质点运动轨迹的参数方程。
从上面分析可以看出，圆周运动的加速度可以分解为相互正 交的切向加速度和法向加速度;
dv v 2 at et ; an en dt R
dv 2 v 2 2 2 a at2 an ( ) ( ) dt R
vA
vA
et
vB
在曲线运动中，既有切向加速 度，也有法向加速度； 如果只有切向加速度，没有法 向加速度，就成为变速直线运动； 如果只有法向加速度，没有切 向加速度，就成为匀速圆周运动。
tggatvgtcos202?????????gatg1021yxx???13相对运动常见力和基本力131相对运动运动关系的相对性表明只有选择了合适的参考系才能对运动进行测量要研究质点的运动必须确定相应的参考系而参考系选择不同观测的结果会大相径庭
第一章 质点运动学
1-1 质点运动的描述
机械运动：一个物体相对于另一个物体的位置，或者一个物 体的某些部分相对于其它部分的位置，随之间变化的过程。 一、质点 参考系 1. 质点: 具有一定质量的点称质点。
运动学的重要任务之一就是找出各种具体运动的 运动 方程。 3. 位移 设在时间Δt = t2 - t1 内质点由A点运动到B点，其位移 为由A点指向B 点的矢量，称位移矢量。 位移和质点所经历的路程是有区别的，位移矢量表示 质点位置的变化，而路程是质点在位置变化过程中所经 历的移动轨迹。
第1章-质点运动学
述
位移
rrrBArxBxBAii
rA
yA
yB
j j
y
yB A r
r y A A
rB
B
yB yA
(xB xA)i ( yB yA) j
xi yj
o
xA
xB x
xB xA
若质点r 在 (三x维B 空x间A中)i运动( yB
yA)
j
(zB
z A )k
位移的大小为 r x2 y2 z2
23
1-2 求解运动学问题举例
例3 有 一个球体在某液体中竖直下落, 其初速度
为 v0 10 j , 它的加速度为 a 1.0v j. 问:（1）经
过多少时间后可以认为小球已停止运动, （2）此球体
在停止运动前经历的路程有多长？
解：由加速度定义
v dv 1.0
t
dt
,
v v0
0
a dv 1.0v dt
v v2
位矢量
t
0,
t 0
0,
tv
rv
a
dv dt
v2 r
en
2ren
法向单 位矢量
vB
r
o
en
v
vB
vA et r
vA
31
1-3 圆周运动
三alitlami tm 变00速litdmdv圆vvvt0tt周nt运vtavt动dvdttrev2ttleeit切mntv向a0nn加aaevn速tntneen度t 和法向v加2v速tove度2vnrevtv1vn1
一 圆周运动的角速度和角加速度
角坐标 (t)
角速度 (t) d (t)
dt
速率
位移
rrrBArxBxBAii
rA
yA
yB
j j
y
yB A r
r y A A
rB
B
yB yA
(xB xA)i ( yB yA) j
xi yj
o
xA
xB x
xB xA
若质点r 在 (三x维B 空x间A中)i运动( yB
yA)
j
(zB
z A )k
位移的大小为 r x2 y2 z2
23
1-2 求解运动学问题举例
例3 有 一个球体在某液体中竖直下落, 其初速度
为 v0 10 j , 它的加速度为 a 1.0v j. 问:（1）经
过多少时间后可以认为小球已停止运动, （2）此球体
在停止运动前经历的路程有多长？
解：由加速度定义
v dv 1.0
t
dt
,
v v0
0
a dv 1.0v dt
v v2
位矢量
t
0,
t 0
0,
tv
rv
a
dv dt
v2 r
en
2ren
法向单 位矢量
vB
r
o
en
v
vB
vA et r
vA
31
1-3 圆周运动
三alitlami tm 变00速litdmdv圆vvvt0tt周nt运vtavt动dvdttrev2ttleeit切mntv向a0nn加aaevn速tntneen度t 和法向v加2v速tove度2vnrevtv1vn1
一 圆周运动的角速度和角加速度
角坐标 (t)
角速度 (t) d (t)
dt
速率
大学物理——第1章-质点运动学
沿逆时针方向转动角位移取正, 沿顺时针方向转动角位移取负.
21
★ 角速度 ω 大小: ω = lim 单位:rad/s ★ 角加速度 β
v
θ dθ = t →0 t dt
v
ω dω d2θ 大小: β = lim = = 2 t →0 t dt dt
单位:rad/s2
22
★ 线量与角量的关系
dS = R dθ
16
取CF的长度等于CD
v v v v vτ vn v v v = lim + lim 加速度: a = lim = aτ + an t →0 t →0 t →0 t t t
v v 当 t →0 时,B点无限接近A点,vA与 vB v v 的夹角 θ 趋近于零,vτ 的极限方向与 vA v 相同,是A点处圆周的切线方向;vn的极 v 限方向垂直于 vA ,沿圆轨道的半径,指向
y
v v v r = r′ + R
v v v dr dr ′ dR 求导: = + dt dt dt
o
y′ M v u v v r′ r v o′ R
x′
z′
x
z v称为质点M的绝对速度, v称为质点M的相对速度, υ υ′
v 称为牵连速度. u
27
v v υ =υ′ +u
v
in 例1-6 一人向东前进,其速率为 υ1 = 50m/ m ,觉得风从 正南方吹来;假若他把速率增大为υ2 = 75m/ m , in
t
9
初始条件:t = 0 , x = 5m 【不定积分方法】
速度表达式是: v = 4+ 2t
x = ∫ vdt = ∫ (4 + 2t)dt = 4t + t 2 + C
21
★ 角速度 ω 大小: ω = lim 单位:rad/s ★ 角加速度 β
v
θ dθ = t →0 t dt
v
ω dω d2θ 大小: β = lim = = 2 t →0 t dt dt
单位:rad/s2
22
★ 线量与角量的关系
dS = R dθ
16
取CF的长度等于CD
v v v v vτ vn v v v = lim + lim 加速度: a = lim = aτ + an t →0 t →0 t →0 t t t
v v 当 t →0 时,B点无限接近A点,vA与 vB v v 的夹角 θ 趋近于零,vτ 的极限方向与 vA v 相同,是A点处圆周的切线方向;vn的极 v 限方向垂直于 vA ,沿圆轨道的半径,指向
y
v v v r = r′ + R
v v v dr dr ′ dR 求导: = + dt dt dt
o
y′ M v u v v r′ r v o′ R
x′
z′
x
z v称为质点M的绝对速度, v称为质点M的相对速度, υ υ′
v 称为牵连速度. u
27
v v υ =υ′ +u
v
in 例1-6 一人向东前进,其速率为 υ1 = 50m/ m ,觉得风从 正南方吹来;假若他把速率增大为υ2 = 75m/ m , in
t
9
初始条件:t = 0 , x = 5m 【不定积分方法】
速度表达式是: v = 4+ 2t
x = ∫ vdt = ∫ (4 + 2t)dt = 4t + t 2 + C
1-1 质点运动的描述
22
dv = adt
d r = vdt
∫ dv = ∫ adt ∫ d r = ∫ vdt
复习： 复习：不定积分和定积分 已知： 已知：dx 解：
= t dt 当：t = 0时，x = x0， 求x与t的关系
2
t （1）不定积分 ） ∫ dx = ∫ t dt x = 3 + c 3 t 当t = 0时，x = x0，⇒ c = x0 ∴ x = + x0 3
v0 r v0 h o l
α
解：建立直线坐标系Ox， 建立直线坐标系 ， 任意时刻t， 任意时刻 ，绳长为 该船的位置坐标为 x = x
l = l0 − v0t
(l0 − v0t )
2
−h
2
x
小船的运动方程
dx =− 小船的运动速度 v = dt
(l0 − v0t )v0 (l0 − v0t )2 − h 2
t = x/2
消去 t 得轨迹方程
x y = 2− 4
2
抛物线
8
3 . 位移矢量 位移）： 位移矢量(位移 位移）： 描述质点位置变动的大小和方向 定义： 定义：质点沿曲线运动
t 时刻：AБайду номын сангаас rA
t + ∆t 时刻 : B, rB
B A rA △r rB
∆t 时
位置变化的
果： 果：
O
AB = rB − rA = ∆r
第一章
质点运动学
运动学
质点和 刚体
参考系 坐标系
运动的 两类基 描述 本问题
相对 运动
中学基础上加入微积分 中学基础上加入微积分
1
重点： 重点：
1. 模型: 质点、质点系、刚体、 模型: 质点、质点系、刚体、 2. 概念：位矢、位移、速度、加速度； 概念：位矢、位移、速度、加速度； 角位置、角位移、角速度、角加速度； 角位置、角位移、角速度、角加速度； 惯性系、非惯性系（放到第四章讲）； 惯性系、非惯性系（放到第四章讲）； 3. 计算: 运动学的两类基本问题 计算:
dv = adt
d r = vdt
∫ dv = ∫ adt ∫ d r = ∫ vdt
复习： 复习：不定积分和定积分 已知： 已知：dx 解：
= t dt 当：t = 0时，x = x0， 求x与t的关系
2
t （1）不定积分 ） ∫ dx = ∫ t dt x = 3 + c 3 t 当t = 0时，x = x0，⇒ c = x0 ∴ x = + x0 3
v0 r v0 h o l
α
解：建立直线坐标系Ox， 建立直线坐标系 ， 任意时刻t， 任意时刻 ，绳长为 该船的位置坐标为 x = x
l = l0 − v0t
(l0 − v0t )
2
−h
2
x
小船的运动方程
dx =− 小船的运动速度 v = dt
(l0 − v0t )v0 (l0 − v0t )2 − h 2
t = x/2
消去 t 得轨迹方程
x y = 2− 4
2
抛物线
8
3 . 位移矢量 位移）： 位移矢量(位移 位移）： 描述质点位置变动的大小和方向 定义： 定义：质点沿曲线运动
t 时刻：AБайду номын сангаас rA
t + ∆t 时刻 : B, rB
B A rA △r rB
∆t 时
位置变化的
果： 果：
O
AB = rB − rA = ∆r
第一章
质点运动学
运动学
质点和 刚体
参考系 坐标系
运动的 两类基 描述 本问题
相对 运动
中学基础上加入微积分 中学基础上加入微积分
1
重点： 重点：
1. 模型: 质点、质点系、刚体、 模型: 质点、质点系、刚体、 2. 概念：位矢、位移、速度、加速度； 概念：位矢、位移、速度、加速度； 角位置、角位移、角速度、角加速度； 角位置、角位移、角速度、角加速度； 惯性系、非惯性系（放到第四章讲）； 惯性系、非惯性系（放到第四章讲）； 3. 计算: 运动学的两类基本问题 计算:
1-1 质点运动的描述
v v v v ∆r = ∆xi + ∆yj + ∆zk
z
A
∆s
v ∆r
B
v 2 2 2 ∆r = ∆x + ∆y + ∆z
x
O
v v rA r B
y
路程：质点在轨道上所经过的曲线长度∆s 曲线长度∆ 路程：质点在轨道上所经过的曲线长度 v v v lim∆s = lim∆r ds = dr ∆s ≠ ∆r
z
v z 大小： 大小： r = x 2 + y 2 + z 2 x z y 方向： 方向： α = v ， cos β = v ， cos γ = v cos r r r
oγ x
x
2. 运动方程： 运动方程：
v v v v 矢量形式： 矢量形式： r = x(t)i + y(t) j + z(t)k
位移矢量： 位移矢量：
x
v t时刻位于 点，位矢 rA 时刻位于A点 时刻位于
O
v v rA r B
y
v ∆r
B
时间内，位矢的变化量（ 在∆t 时间内，位矢的变化量（即A到B的 到 的 有向线段），简称位移 ），简称位移。 有向线段），简称位移。
在直角坐标系中
v v v ∆r = rB −rA = AB
2
t =2 dx vx = −4m s vx = = −2t dt t =2 dy 3 vy = −24m s vy = = −4t + 4t dt v v 2 2 v v = −4i − 24 j m/ s v = vx + vy = 4 37 m s
dvx d x −2 ax = s = 2 = −2m dt dt
z
A
∆s
v ∆r
B
v 2 2 2 ∆r = ∆x + ∆y + ∆z
x
O
v v rA r B
y
路程：质点在轨道上所经过的曲线长度∆s 曲线长度∆ 路程：质点在轨道上所经过的曲线长度 v v v lim∆s = lim∆r ds = dr ∆s ≠ ∆r
z
v z 大小： 大小： r = x 2 + y 2 + z 2 x z y 方向： 方向： α = v ， cos β = v ， cos γ = v cos r r r
oγ x
x
2. 运动方程： 运动方程：
v v v v 矢量形式： 矢量形式： r = x(t)i + y(t) j + z(t)k
位移矢量： 位移矢量：
x
v t时刻位于 点，位矢 rA 时刻位于A点 时刻位于
O
v v rA r B
y
v ∆r
B
时间内，位矢的变化量（ 在∆t 时间内，位矢的变化量（即A到B的 到 的 有向线段），简称位移 ），简称位移。 有向线段），简称位移。
在直角坐标系中
v v v ∆r = rB −rA = AB
2
t =2 dx vx = −4m s vx = = −2t dt t =2 dy 3 vy = −24m s vy = = −4t + 4t dt v v 2 2 v v = −4i − 24 j m/ s v = vx + vy = 4 37 m s
dvx d x −2 ax = s = 2 = −2m dt dt
1-1 质点运动的描述
x i y j z k
即
r x i y j z k
2 2 2 r x y z
说明
2.
r 与 r 的区别：
r rB rA rB rA
r r
rB 同方向时，取等号。 只当 rA 、
0
t
1 2 x x 0 v 0 t at 2
V V0 2aS
2 2
10
1-5 路灯高度为h,人高度为l,步行速度为 v0 .试求： （1）影子长度增长的速率。 （2）人影中头顶的移动速度。
l h 解： h b = l (x + b ) x +b = b 上式两边微分得到： x b d d b d x b d ( ) + h l =l +l = dt dt dt dt dx v 而 = 0 dt 影子长度增长速率为： l v db 0 = h l dt
直角坐标系中：
dv dv x d v y dv z a k i j dt dt dt dt d2 x d2 y d2 z 2 i 2 j 2 k axi a y j az k dt dt dt
加速度的大小： a
2 2 2 a ax a y az
运动的描述是相对其他物体而言的。
二、参考系和坐标系 参考系（reference frame）：描述物体运动时，被 选作参考的物体。
为了定量地描述物体的运动状态，还要在参 考系上建立一个坐标系。
2
常用的坐标系有直角坐标系(x, y, z)、球坐标系 (r,, )、柱坐标系(, , z )、平面极坐标系(r,)。
加速度的方向就是时间t趋近于零时，速度增量 v的
1-1质点运动的描述
(t)S b a ) (t+t)
r
rb
r = AB
(2)位移和位矢 z
ra
x
{
r = r( t ) = x (t )i + y (t ) + z (t )k j j rab = rb ra = xi + y + zk
(3) r r r 的意义不同. 的意义不同.
y
P 1
r
r2
P2
以汔车为参照
车站
1. 参考系 由于运动具有相对性, 由于运动具有相对性,所以为了描述运 运动具有相对性 动通常把被选做参照的物体或物体系称之为 参考系. 参考系.
地面参照系 : 方便 参考系 实验实参照系 : 精确
2. 质点 ( 理想模型 ) 理想模型:质点,刚体,理想气体,点电荷, 理想模型:质点,刚体,理想气体,点电荷, 点光源……. 点光源 . 定义:具有质量而无大小形状的理想物体, 定义:具有质量而无大小形状的理想物体, 称为质点. 称为质点. 适用情形: 适用情形:物体尺寸 << 运动范围 注意: 注意: a 能否将研究对象看成质点是相对 于所研究的问题而言的. 于所研究的问题而言的. b 不能看成质点的物体可看成质点 的集合. 的集合.
S v= t
y
S b(t+t) ) (t) ) a
R
z
r =0 v= t
x
2πR v= ≠0 t
讨论
一运动质点在某瞬 时位于位矢 r ( x , y ) 的端 点处, 点处,其速度大小为 (B) d r ) dt
y
y
(A) d r ) dt (C) )
r (t)
o
x
x
大学物理 1-1 质点运动学
∆θ υ (t ) o
R
∆υ a = lim ∆t →0 ∆t
∆υ n ∆υt = lim + lim ∆t → 0 ∆t ∆t → 0 ∆t
第一篇
速度三角形
∆υ
υ (t + ∆t )
力学
υ (t )
υ
∆υ n
24
∆υt
物理
自学考试
∆υ a = lim ∆t →0 ∆t ∆υ n ∆υt = lim + lim ∆t → 0 ∆t ∆t → 0 ∆t
从上式中消 去参数 t 得质点 轨迹方程． 的轨迹方程．
第一篇
y
y (t )
P
r (t )
x(t )
z
z (t )
o
x
力学
7
物理
自学考试
反映质点某段时间内位置的变化 位移矢量或位移矢量增量 平面运动 运动: 平面运动
3 位移: ∆ r 位移:
质点运动学
y
yB − yA
rA = x Ai + y A j ， A ∆r rA rB = xB i + y B j ， rB ∆ r = rB − rA = (xB − xA )i + ( yB − yA ) j o xB −xA
y
P 1
∆r
r2
P 2
∆ r = ∆ x i + ∆ yj + ∆ zk
∆r = ∆x + ∆y + ∆z
2 2 2
r1
O
∆r
z
2 1 2 1
x
∆ r = x + y +z − x + y + z
2 2 2 2 2 2
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x
若质点在三维空间中运动，其速度
v v xi v y j vzk
2 2
v v
v x v y vz
2
9
1-1
质点运动的描述
当 t 0 时, d r d s dr ds v et dt dt
(r s)
速度方向 速度大小
1-1
质点运动的描述
本章首先借助矢量语言对质点的运动给予
简洁而完备的描述， 然后利用微积分求解质点的运动学方程； 最终解决运动学中的两类问题。
1
1-1
质点运动的描述
一
1
参考系
质点
参考系 为描述物体运动而选的标准物．
2 坐标系 固定于参考系上的数学坐标系． 3 质点
物体大小和形状的变化对其运动的影 响可忽略时的理想模型．
y
P 1
路程 s P1 P2
位移与路程的区别 (1) 两点间位移是唯 z 一的． (2) 一般情况 Δ r s ．
O
r
s
P2
r ( t1 )
r (t 2 )
P1 ( x1 , y 1 , z 1 )
P2 ( x 2 , y 2 , z 2 )
x
(3) 位移是矢量，路程是标量．
r (t )
求导 积分
v (t )
求导 积分
a (t )
26
1. 第一类问题
1-1
质点运动的描述
已知运动学方程，求 v , a 2 例 已知一质点运动方程 r 2t i (2 t ) j
求 (1) t =1s 到 t =2s 质点的位移 (3) 轨迹方程
y 10 1 e （
解 a
dv
dt v dv t dt v 0 v 0 t v v0e
v dy dt v0e
t 0
1 .0 v
o
v0
t
y
0
dy v0 e dt
t
t
y
y 10 1 e ） （
30
1-1
质点运动的描述
1 .0 t
v v0e
v0
1 .0 t
x ( t ) 1 . 0 t 2 . 0，
y ( t ) 0 . 25 t 2 . 0，
2
式中x，y的单位为m(米)， t 的单位为s(秒)，
（1）求 t 3 s 时的速度． （2）作出质点的运动轨迹图．
13
1-1
质点运动的描述
已知：x ( t ) 1 . 0 t 2 . 0， y ( t ) 0 . 25 t 2 2 . 0， 解 (1) 由题意可得
v v xi v y j
vx vy
2
2
8
1-1
质点运动的描述
2 瞬时速度（简称速度）
dt dx d y v i j dt dt v xi v y j v lim r t
t 0
dr
y
vy
v
vx
o
速度 v 的值
切线向前
v ds dt
速率
平均速度大小? 平均速率
作曲线运动，判断下列说法的正误。
r r r r
s r
s r
s r
d r ds
dr ds
11
1-1
质点运动的描述
讨论 一运动质点在某瞬 y 时位于位矢 r ( x , y ) 的 y 端点处，其速度大小为 （A） （C） 注意
右, y 轴竖直向下, 如图所示。
u
o
l
x
l x y
19
h
h
x
1-1 质点运动的描述 设小船到坐标原点的距离为l , 任意时刻小船到
岸边的距离x总满足 x 2 = l 2 h 2 两边对时间t 求导数, 得 dx dl
2x dt 2l dt
dl dt 0
dl dt
u
拉动纤绳的速率, 纤绳在缩短, 故
dr dt v
r r0 8k
v
0
v
t dv 16dt j 0
v 6i 16t j
r
r
0
t dr (6i 16t j )dt 0
代入初始条件
r0 8k
2 r 6t i 8t j 8k
r r
2
2
2
7
三
速度
1-1
y
质点运动的描述
B
r (t t )
1 平均速度 在 t 时间内，质点 位移为
s
r
A r r (t t ) r (t ) r (t ) x x i y j o r x y i j v xi v y j v t t t
16
1-1
质点运动的描述
解
x y l
2 2
2
y
B
两边求导得
2x dx dt 2y dy dt 0
l
A
v
o
dx dt v
x
v A v xi
vx
dy vB vy j j dt
17
1-1
质点运动的描述
即
vB
dy dt
x dx y dt
2
1-1
质点运动的描述
二
1 位置矢量 r
大小：
r
位置矢量
运动方程
y
y
位移
r
r xi yj zk
*P
x y z
2 2
2
z
o
x
z cos r
x
方向：
x cos r
z
y cos r
3
1-1
质点运动的描述
2
运动方程 r ( t ) x ( t ) i y ( t ) j z ( t ) k
dv dt 0
O
v (t d t )
v (t ) dv
而
a a 0
所以
a
dv dt
25
1-1
质点运动的描述
质点运动学两类基本问题
一 由质点的运动方程可以求得质点在 任一时刻的位矢、速度和加速度； 二 已知质点的加速度以及初始速度和 初始位置, 可求质点速度及其运动方程．
d x dt
2 2
2
a axi a y j az k
加速度大小
d y dt
2 2
a
a a a
2 x 2 y
2 z
d z dt
2
22
1-1
质点运动的描述
2 x 2 y 2 z
加速度大小 a a
a a a
加速度方向
直线运动 a // v
28
1-1
质点运动的描述
例 有一个球体在某液体中竖 直下落, 其初速度 v 0 10 j ，它在 液体中的加速度为 1 . 0 v j ，问： a (1)经过多少时间后可以认为小球已 停止运动； (2)此球体在停止运动前经历的路程 有多长？
o
v0
y
29
1-1
质点运动的描述
O v cb v a c cb v n v t v n ac 速度方向变化 速度大小变化 v t cb
24
1-1
质点运动的描述
讨论
问
dv a a 吗？ dt
例 匀速率圆周运动
因为 所以
v (t ) v (t d t )
2 (瞬时)加速度
加速度
a dv dt d r
2
1-1
质点运动的描述
dt
2
加速度大小 a lim
v t
dv x dv y i j dt dt
t 0
2 ax
a
2 y
质点作三维运动时加速度为
ax ay az
dv x dt dv y dt dvz dt
vx dx dt 1 . 0， v y dy dt 0 .5t
速度 v 与 x 轴之间的夹角
arctan
1 .5 1 .0
t 3 s 时速度为 v 1 . 0 i 1 . 5 j
56 . 3
o
14
1-1
质点运动的描述
（2）运动方程
x ( t ) 1 . 0 t 2 . 0，
y
B
dy x dx j j dt y dt
dx v
l
A
v
dt v B v tan j
o
x
当 60 时， vB = 1.73 v
o
v B 沿 y 轴正向
18
1-1 质点运动的描述 例: 恒定的速率u拉动纤绳, 绞车定滑轮离水面的
高度为h, 求小船向岸边移动的速度。 解：以绞车定滑轮处为坐标原点, x 轴水平向
a2
曲线运动 指向凹侧
说明：矢量性 瞬时性 相对性
v1
a1
v2
23
1-1
质点运动的描述
v
v (t t )
v v 吗？ 讨论 v v (t t ) v (t )