积的变化规律

积的变化规律

薛铮（北京市西城区黄城根小学）

教学内容：人教版《义务教育课程标准实验教科书〃数学》四年级上册第三单元第58页例4。

教学目标：

1.探索积的变化规律，尝试用数学语言进行描述，并进行简单运用。

2.经历“积的变化规律”的发现、表达和应用的过程，初步获得探索规律的方法和经验，发展概括、推理能力。

3.感受探索、运用规律的乐趣。

教学过程：

一、从生活中来

1.一只小熊乘着热气球以同样的速度上升。

教师分别问：小熊飞2秒、4秒、6秒、8秒，能飞多高？

【引导学生在具体情境中感悟：速度不变时，上升的高度随着时间的变化而变化。】

二、探索规律

1.发现规律。

观察两组算式，借助学习建议，寻找积的变化规律，并全班交流。2×6=12 5×2=10

10×6=60 5×4=20

100×6=600 5×12=60

请学生再举一组符合这样规律的算式。

【引导学生从若干组不同的的算式中，自己探索积的变化与谁的

变化有关、有什么关系，并把它们表示出来，从而初步感悟积的变化规律，为抽象、概括规律打好基础。】

2.表达规律。

师：请你把发现的规律记录下来。

全班交流不同的记录方式，教师借此整理板书，得到积的变化规律。

【引导学生个性化的表达，使内隐的认识外显化，并在全班交流中，逐渐完善对规律的认识，发展概括、推理能力。】

3.应用规律。

小青蛙“吃”数：吃进的数与嘴里的数相乘，得到“吐”出来的数。已知：6×□=222

抢答：24×□=？

3×□=？

问：方块里的数不知道，怎么知道结果的呢？

三、到生活中去

1.回顾学习过程。

引导学生“回头看”，回顾整个学习过程。

【引导学生有意识的回顾学习过程，初步获得探索规律的一般方法。】

2.借助图，编故事。

隐去热气球的单位名称等，请学生编故事。

【拓展对积的变化规律的认识，感悟“变”与“不变”存在的广泛性，为进一步探索商不变性质等规律积累相关经验。】

垂直与平行

章雅玲（上海市静安区第一中心小学）

学习目标：

知识与技能：

1.结合具体情境，通过动手操作，了解同一平面内两条直线的位置关系。

2.知道“互相平行”、“互相垂直”、“垂线”、“垂足”的含义。

3.能正确判断互相平行和互相垂直。

过程与方法：

1.培养周密思考的习惯，渗透数学推理。

2.在比较、分析、综合的观察与思维中渗透分类的思想方法。

情感、态度与价值观：

1.养成学以致用的习惯。

2.体会数学的应用与美感。

学习过程：

一、复习与导入

1.了解关系。

（1）知道什么是关系吗？

（2）人和人之间存在关系，数学中也有关系。

（3）今天要来研究数学中的一种特殊关系。先来猜个

谜。

【设计意图】新课的导入，以“关系”一词的讨论开始。人

与人之间的关系是学生所熟悉的，数学中也有关系，比如“6

和2”之间，就有倍数关系、相差关系等等。今天研究的数学

关系又是什么呢？老师在此埋下伏笔，请同学们猜个谜语。

新课伊始，通过谈话师生关系进一步拉近，猜谜语的噱头又

充分调动了学生的学习兴趣。

2.认识“同一平面”。

师：我用长方形的纸张折了一个长方体纸筒，每个面上面写了一个字（无始无终）。你们看到了吗？现在打开这张纸，你们发现了什么？

生：几个字都到了同一个平面上。

师：用“无始无终”打一个我们学过的图形。（直线）为什么是

直线？

今天我们就来研究同一平面内两条直线的位置关系。

【评析：这个环节是非常精心设计的一个环节，没有一点多余的地方，从同一平面到直线，设计的非常到位。长方体的四个侧面展开变成了一个平面，引出了同一个平面，并展开了今天研究的在同一个平面内两条直线的位置关系，非常好地让学生感受了今天要研究的内容。】

【设计意图】谜语的谜面“无始无终”写在了一个长方体的4 个侧面上，打一个几何图形。通过谜语引出了直线及其特点。同时把这个长

方体展开，引出“同一平面”的概念，并导入今天的课题：研究同一平面上两条直线的位置关系。

二、探究与归纳

1.学生主动探究

把纸看着平面，用两种不同颜色的笔画两条直线；看看，同一平面内的两条直线的位置是怎样的？

学生动手画出同一平面内两条直线，师提醒孩子：还有其他画法吗？画好的同学看看小组内同学画的，交流交流。

2.交流反馈，进行分类。

师：画完了吗？哪位同学愿意上来把你的想法展示给大家看看？（个人展示，将画好的图拿上来交流）

师：仔细观察，你画的跟他一样吗？有不一样的，可以上来补充。师：同学们的想象力可真丰富，画出来这么多种情况。你能把他们分分类吗？为了叙述方便，我们可以先给这些作品编上号。

出示7组直线，

①②③

④⑤⑥⑦

师：你能根据直线的位置关系把这七组直线分类吗？

生1：①和④交叉了分为一类

②③⑤⑥⑦没有交叉分为一类。

（1）认识相交

师：刚才老师听到一个词“交叉”，两条直线“交叉”了，也就是两

条直线相碰了，用数学语言应表述为两条直线“相交”了。

生2：①②③④⑥相交了分为一类

⑤⑦没有相交分为一类，因为③⑥两条直线无限延长后也会相交。师：③⑥两条直线无限延长后真的会相交吗？学生动用验证。

师：③⑥两条直线无限延长后真的相交了，③⑥两条直线也可以和①⑤分为一类。

师：两条直线相交的点，叫着交点，有几个交点？

（2）认识平行。

思考：剩下的⑤⑦，想象一下，延长后会不会相交？有没有交点？像这样，在同一平面内不相交的两条直线就叫平行线。

总结：同一平面内两条直线的位置关系，除了相交，就是

平行。

【设计意图】对于解决同一平面内两条直线位置关系这一问题，首先让学生自己动手操作，把纸看做平面，在纸上任意画两条直线，并思考会有哪些不同情况。接着对各种情况进行分类。在分类过程中学生的不同观点不断碰撞，通过师生谈话交流，最终解决同一平面内两条直线的位置关系就是相交与平行两种情况。这一概念的建立过程，从画图到交流，学生通过自己的探究活动，生成了新知识。

三、深化对垂直与平行的理解

三、深化对垂直与平行的理解

1、揭示垂直的概念

师：咱们再来看看两条直线相交的情况。刚才有同学说，两条直线相交形成了角，有哪些角?(锐角、钝角、直角……)

师：从体育器材双杠中，你可以找到多少组平行的木条？

生1：双杠的两条横杠互相平行。

生2：双杠的横杠和支架互相垂直。

生3：对角支架

生4：……

2.长方体中的垂直与平行

师：长方体你们认识吗？请你在长方体里找找互相平行和垂直的线段，前提是先确定一个平面。

学生边找边说。

师：同学们说的很好，那这样两条线段，你能说说他们的位置关系吗？

实物演示。

师：他们相交吗？平行吗？

生：不相交，也不平行。

师：刚才我们说不相交的两条直线叫做平行，那么他们又为什么不平行呢？

5.道路图中的平行与垂直。

从中你能找到互相垂直与平行的道路吗？

师：要注意，刚才同学们说的两条直线的位置关系都是在同一个平面内，而这两条直线不在同一个平面内。所以，我们要给今天的内容加上一个前提：同一平面。

【设计意图】练习的设计从概念的巩固到知识的运用，从抽象的几何图形走向生活实践，从观察到动手，运用不同的典型事例帮助学生巩固垂直与平行的概念，加深理解。尤其是在双杠中找互相平行的木条，给予学生较大的思考空间，以充分激发学生的数学潜能。最后一道练习，作为机动，可以留作回家作业。

五、课堂总结

师：这节课，你有什么收获？

长方体和正方体的认识

吴冬冬（江苏省南通师范学校第二附属小学）

教学内容：苏教版《义务教育课程标准实验教科书〃数学》六年级上册第10～11页。

教学目标：

1.使学生通过观察、操作等活动认识长方体、正方体，知道长方体和正方体的面、棱、顶点以及长、宽、高（或棱长）的含义，掌握长方体

和正方体的基本特征。

2.使学生在活动中进一步积累空间与图形的学习经验，增强空间

观念，发展数学思考。

3.使学生进一步体会图形学习与实际生活的联系，感受图形学习

的价值，提高数学学习的兴趣和学好数学的自信心。

教学重点：帮助学生掌握长方体和正方体的基本特征；增强空间

观念。

教学难点：使学生认识长方体、正方体的特征。

教具准备：长方体和正方体教具各一个、长方体框架一个、课件；学具准备：正方体、长方体的物体各一个、土豆和小刀、若干小棒和三通接头。

教学过程：

一、切物成形，导入新课

学生动手切土豆，认识“面”、“棱”、“顶点”。

先切一刀。摸一摸新切的面，比较和切之前有什么变化。再切一刀，观察发生了什么变化。指一指新增的边，并想一想它是怎么形成的。揭示：两个面相交的线叫做棱。切第三刀，观察又有什么新变化。指一指新增的点，并数一数它是由几条棱相交而成的。揭示：三条棱相交的点叫做顶点。继而通过屏幕演示，将土豆切成一个长方体。

二、循序渐进，探究特征

1.自主观察，了解“面”、“棱”、“顶点”的数量。

（1）独立数一数长方体“面”、“棱”、“顶点”的数量。

（2）交流结果和数法。

发现：长方体有6个面、12条棱、8个顶点。

交流：长方体面的个数你们是怎么数的？长方体棱的条数你们又是怎么数的？

（3）提出研究角度：这堂课将从面、棱、顶点三个方面继续研究长方体。

2.渐次展开，探究长方体的特征。

（1）动手操作，探究“棱”的特征。

以高楼大厦的建造一般是以长方体框架为基础引入，提出让我们也来

当一回“小小建筑师”，试着用小棒来制作长方体框架，从中寻找长方体更多的奥秘。

①活动提示。

●材料说明：材料中配有颜色不同的小棒和连接小棒的接头。

●学会合作：四人小组合作完成一个长方体框架。

●自主探究：仔细观察完成的作品，结合活动单在小组内交流你的发现。

②动手操作。

③汇报交流。

通过交流发现：长方体相对的棱长度相等。

（2）直觉判断，认识直观图。

①初步认识。

相机出示直观图，引导学生观察图中的“面”和“棱”。

②直觉判断。

寻找看不见的棱，知道在直观图中用虚线来表示看不见的棱。

③形成表象。

在观察了解的基础上，闭上眼睛在脑海里想象长方体的样子。（3）变式呈现，理解长、宽、高。

①逐次擦去棱，想象长方体。

先擦去一条，展开想象。

再擦去三条，继续想象。

最后，发现最少保留三条不同方向的棱就可以想象出长方体原

来的样子。

相机揭示：长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫做它的长、宽、高。

②辨认长、宽、高。

变换教具的摆放位置，指出长方体的长、宽、高分别是哪些棱的长度。

（4）展开想象，探究“面”的特征。

①根据长、宽、高想象长方体的6个面，选择合适的长方形配面。

②交流演示，引导发现面的特征：这个长方体的6 个面都是长方形，相对的面完全相同。

③变化棱的长度，认识特殊的长方体。

动态演示变化过程。

观察发现：长方体也可能有两个相对的面是正方形，其余四个面

完全相同。

寻找身边这样的特殊长方体。

3.自主探究，发现正方体的特征。

（1）继续变化棱长，得到正方体。

（2）引导学生从面、棱、顶点三个方面自主探究正方体。

（3）讨论交流正方体的特征：

6个面，都是正方形，完全相同；12条棱，长度都相等；8个顶点。相机揭示棱长的定义。

（4）比较发现：正方体是特殊的长方体。并说一说理由。

相机出示集合图。

4.概括总结，揭示课题。

揭示课题：通过前面的研究，我们从面、棱、顶点三个方面进一步

认识了长方体和正方体。

下面我们就运用所学的知识来解决一些生活问题。

三、巩固练习，发展能力

1.链接生活，运用新知。

出示冰箱的外形尺寸（cm）：70×60×180。

思考：看到这组数据，你知道这台冰箱的哪些信息？你还知道这台冰箱哪些面的面积呢？

2.展开想象，正确选择。

根据所给数据选择对应物体。

（1）长、宽、高分别是10 米、2.5 米、3 米教室公共汽车家用冰箱（2）长、宽、高分别是6 厘米、6 厘米、6 厘米魔方粉笔盒骰子（3）长、宽、高分别是20 厘米、15 厘米、1 厘米数学书新华字典文具盒

（4）当长、宽、高分别是20 厘米、15 厘米、0.1 毫米，猜猜是什么物体？

四、畅谈收获，总结课堂

谈话：通过今天的学习，有收获吗？现在，如果请你来介绍长方

体和正方体，你有什么话想说呢？

小结：本节课同学们经过自主探索，在操作中探究了棱的特征，

又由棱联想到面，进一步认识了长方体，并独立探究出正方体的特征。

真分数和假分数

张国良（浙江省湖州市南浔区锦绣实验学校）

教学内容：人教版《义务教育课程标准实验教科书〃数学》五年级下册第65～70页。

教学目标：

1.结合具体情境，让学生经历假分数的产生过程，能正确辨认真、假分数；

2.采用数形结合方式，帮助学生从不同层面准确把握真、假分数

的本质特征，进一步建构分数概念；

3.感受数学知识理解的递进过程，积累画图、分类等数学经验。

教学重点：

1.通过分数单位的不断叠加，体验假分数的产生；

2.在比较辨析中理解真、假分数的意义。

教学难点：理解假分数的意义。

教学设想：

“真分数与假分数”的教学，几套教材一般都安排在“分数的意义”、“分数与除法关系”内容的教学之后，编排上很少涉及假分数如何产生的内容，学生只是知道分子等于或大于分母的叫假分数，但许多学生由于分数意义的负迁移，心存疑惑：如5/4,平均分成4份，怎么可以取出5 份呢。所以，本节课试图借助“平均分”，沟通“分数与除法”，用除法算式表示平均分的过程，用分数表示平均分的结果，在分数单位不断累加的过程中，让学生初步理解假分数的产生，

为以后分子大于100的百分数的学习打下基础。

1.直面学生学习的难点，加强教学针对性。

“分数意义”的概念，无论是一个物体还是一群物体作为单位“1”，学生看到的都是部总关系的问题，所以呈现的分数都是小于1的。如果以此为基础，学生对假分数的理解就会产生负迁移。对于5/4是不是分数？多数学生感到疑惑：把单位“1”平均分成4 份，怎么能取出5份？这一认知冲突便是学生学习本节课真实的起点，也是教学中的一个难点。所以本节课设计的核心问题是：如何能找到合适的问题和材料让学生体验假分数的产生过程？因此，我们不回避问题，导入时开门见山地抛出问题，提出：5/4究竟是不是分数？如果是分数，那是怎么来的？以此为展开的问题，有针对性地设计整个教学进程。

2.整体着眼重组教材，以“分数单位累加的方式”突破难点。

纵观几套教材的整体结构，除法含义的编排只涉及被除数大于等于除数的，分数意义的编排只涉及分子小于分母的。而本节课试图在理清“分数与除法”的关系时，以“平均分”为基础，不再受被除数与除数大小关系的影响，更突显了概念的普适性和一般性。把“真分数与假分数”的概念与“分数与除法”内容进行整合，仅仅把真假分数

作为分数概念的丰富和完善，是对“部总关系”基础上认识分数的拓展。本课借助“分圆饼”这一活动，在不知道圆饼总数的前提下，才有可能把圆饼一个一个地平均分。如果已知了圆饼的总数，学生借助于二、三年级除法的基础，那就很自然地变成了有余数的除法，只是把余数部分再平均分，这样产生的一定是带分数。所以在本节课的

设计中采用了总数不告知的办法，一个一个呈现，每个圆饼都要平均分给4 个小朋友，一直到9 个为止。每个人依次分别分得多少个？”让学生在活动中发现：分饼的过程可以用除法表示，分得的结果可以用分数表示；每多分一个圆饼，每人分得的结果就会增加一个1/4，增加到一定的个数，就产生了5/4。以此为路径，让学生看到：分了N 个圆饼，每个人就分到N 个1/4, 写成分数就是n/4.引导学生感知假分数的产生和含义，从而突破了教学难点。

3.暴露学生思维过程，力求构建诊断处方型的课堂。

经过课前调查，大部分学生对假分数的认知是茫然的。如果把课本的例2 或课后练习（如下图），让学生用分数表示出阴影部分，学生基本上填的是真分数。本课在设计中以5/4为载体，分几个层次对假分数意义进行建构。一是学生发表5/4是不是分数的认识，充分暴露原有认知对假分数产生和意义理解带来的负面迁移；二是用图或其它方式表示学生心目中的5/4,（经试教调查，大部分学生不会表示或表示不到位）；三是通过“分饼”活动，体验分数单位叠加，感知5/4的产生过程；四是学生对先前所表示的5/4的作品进行重新评析和修改完善。如果课堂时间允许的话，最后还可以借助数轴，沟通真、假分数（带分数）联系。整个构建过程力图做到充分展示学生思维，暴露学生困惑，由表及里、层层递进，促使学生对假分数的产生和意义理解由茫然困惑逐渐走向清晰完整，对数学知识理解的递进过程有所感受。

教学过程：