2007-2011五年高考数学(全国二卷)分类汇编2
2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国卷Ⅱ) .doc
2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国卷Ⅱ)理科数学（必修+选修Ⅱ）注意事项：1． 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，总分150分，考试时间120分钟．2． 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上．3． 选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．4． 非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚5． 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效． 6． 考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n k n n P k C p p k n -=-=，，，…，一、选择题1．sin 210=（ ）AB ．C ．12D ．12-2．函数sin y x =的一个单调增区间是（ ） A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π⎪2⎝⎭，3．设复数z 满足12ii z+=，则z =（ ） A ．2i -+B ．2i --C ．2i -D ．2i + 4．下列四个数中最大的是（ ）A ．2(ln 2)B ．ln(ln 2)C ．lnD ．ln 25．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ） A ．23B ．13C ．13-D ．23-6．不等式2104x x ->-的解集是（ ） A ．(21)-，B ．(2)+∞，C ．(21)(2)-+∞，， D ．(2)(1)-∞-+∞，，7．已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等，则1AB 与侧面11ACC A 所成角的正弦值等于（ ）A B C D 8．已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．129．把函数e xy =的图像按向量(23)=，a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（ ） A ．3e2x -+ B ．3e2x +- C ．2e3x -+ D ．2e3x +-10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A ．40种 B ．60种 C ．100种 D ．120种11．设12F F ，分别是双曲线2222x y a b-的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=且123AF AF =，则双曲线的离心率为（ ）A B CD 12．设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0，则FA FB FC ++=（ ）A ．9B ．6C ．4D ．3第Ⅱ卷（非选择题）本卷共10题，共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．821(12)x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．（用数字作答）14．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1)(0)N σσ>，．若ξ在(01)，内取值的概率为0.4，则ξ在(02)，内取值的概率为 ．15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2．16．已知数列的通项52n a n =-+，其前n 项和为n S ，则2limnn S n ∞=→ ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值． 18．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =． （1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形， 侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点． （1）证明EF ∥平面SAD ；（2）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小．AEBCFSD20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线4x -=相切． （1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求PA PB 的取值范围．21．（本小题满分12分）设数列{}n a 的首项113(01)2342n n a a a n --∈==，，，，，，…． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n b a =1n n b b +<，其中n 为正整数． 22．（本小题满分12分） 已知函数3()f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案评分说明：1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3． 解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4． 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题 1．D 2．C 3．C 4．D 5．A 6．C 7．A 8．A 9．C 10．B 11．B 12．B 二、填空题 13．42- 14．0.815．2+16．52-三、解答题17．解：（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π<<3． 应用正弦定理，知sin 4sin sin sin BC AC B x x A ===3，2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭．因为y AB BC AC =++，所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<<⎪⎪3⎝⎭⎭，（2）因为14sin sin 2y x x x ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪2⎝⎭5x x ππππ⎛⎫⎫=++<+< ⎪⎪6666⎝⎭⎭，所以，当x ππ+=62，即x π=3时，y取得最大值 18．解：（1）记0A 表示事件“取出的2件产品中无二等品”， 1A 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．则01A A ，互斥，且01A A A =+，故01()()P A P A A =+012122()()(1)C (1)1P A P A p p p p =+=-+-=-于是20.961p =-．解得120.20.2p p ==-，（舍去）． （2）ξ的可能取值为012，，．若该批产品共100件，由（1）知其二等品有1000.220⨯=件，故2802100C 316(0)C 495P ξ===．1180202100C C 160(1)C 495P ξ===．2202100C 19(2)C 495P ξ===． 所以ξ的分布列为19．解法一：（1）作FG DC ∥交SD 于点G ，则G 为SD 的中点．连结12AG FG CD∥，，又CD AB ∥， 故FG AE AEFG∥，为平行四边形． EF AG ∥，又AG ⊂平面SAD EF ⊄，平面SAD ． 所以EF ∥平面SAD ．（2）不妨设2DC =，则42SD DG ADG ==，，△为等腰直角三角形．取AG 中点H ，连结DH ，则DH AG ⊥． 又AB ⊥平面SAD ，所以AB DH ⊥，而AB AG A =，所以DH ⊥面AEF ．取EF 中点M ，连结MH ，则HM EF ⊥． 连结DM ，则DM EF ⊥．故DMH ∠为二面角A EF D --的平面角AE BCFSDH G Mtan 1DH DMH HM ∠=== 所以二面角A EF D --的大小为． 解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D xyz -．设(00)(00)A a S b ，，，，，，则(0)(00)B a a C a ，，，，，，00222a a b E a F ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，， 02b EF a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，．取SD 的中点002b G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，则02b AG a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，． EF AG EF AG AG =⊂，∥，平面SAD EF ⊄，平面SAD ，所以EF ∥平面SAD ．（2）不妨设(100)A ，，，则11(110)(010)(002)100122B C S E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，． EF 中点111111(101)0222222M MD EF MD EF MD EF ⎛⎫⎛⎫=---=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，⊥ 又1002EA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，0EA EF EA EF =，⊥， 所以向量MD 和EA 的夹角等于二面角A EF D --的平面角．3cos 3MD EA MD EA MD EA<>==，． 所以二面角A EF D --的大小为arccos3． 20．解：（1）依题设，圆O 的半径r 等于原点O到直线4x =的距离，即 2r ==．得圆O 的方程为224x y +=．（2）不妨设1212(0)(0)A x B x x x <，，，，．由24x =即得(20)(20)A B -，，，．设()P x y ，，由PA PO PB ，，成等比数列，得2222(2)x x y -+=+，即 222x y -=． (2)(2)PA PB x y x y =-----，，22242(1).x y y =-+=-由于点P 在圆O 内，故222242.x y x y ⎧+<⎪⎨-=⎪⎩，由此得21y <．所以PA PB 的取值范围为[20)-，． 21．解：（1）由132342n n a a n --==，，，，…，整理得 111(1)2n n a a --=--．又110a -≠，所以{1}n a -是首项为11a -，公比为12-的等比数列，得1111(1)2n n a a -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭（2）方法一： 由（1）可知302n a <<，故0n b >．那么，221n n b b +-2211222(32)(32)3332(32)229(1).4n n n n n n n n n n a a a a a a a a aa ++=-----⎛⎫⎛⎫=-⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-又由（1）知0n a >且1n a ≠，故2210n n b b +->，因此1n n b b n +<，为正整数．方法二：由（1）可知3012n n a a <<≠，， 因为132nn a a +-=，所以1n n b a ++==由1n a ≠可得33(32)2n n n a a a -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即 223(32)2n nn n a a a a -⎛⎫-< ⎪⎝⎭两边开平方得32nn a a a -<．即 1n n b b n +<，为正整数．22．解：（1）求函数()f x 的导数；2()31x x f '=-． 曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为： ()()()y f t f t x t '-=-，即23(31)2y t x t =--．（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--．于是，若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根． 记 32()23g t t at a b =-++， 则 2()66g t t at '=-6()t t a =-．当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表：由()g t 的单调性，当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时，方程()0g t =最多有一个实数根；当0a b +=时，解方程()0g t =得302at t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2a t t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．综上，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即 ()a b f a -<<．2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）本试卷分第I 卷（选择题）和第II （非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第II 卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题 共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知cos tan 0θθ<，那么角θ是（ ） Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角 Ｃ．第三或第四象限角 Ｄ．第一或第四象限角 2．函数()3(02)xf x x =<≤的反函数的定义域为（ ） Ａ．(0)+∞，Ｂ．(19]，Ｃ．(01)，Ｄ．[9)+∞，3．函数()sin 2cos 2f x x x =-的最小正周期是（ ） Ａ．π2Ｂ．πＣ．2πＤ．4π4．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）Ａ．102⎛⎤⎥⎝⎦，Ｂ．02⎛ ⎝⎦，Ｃ．112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，Ｄ．1⎫⎪⎪⎣⎭5．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（ ） Ａ．()2142610CA 个 Ｂ．242610A A 个Ｃ．()2142610C 个Ｄ．242610A 个6．若不等式组502x y y a x -+0⎧⎪⎨⎪⎩≥，≥，≤≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ）Ａ．5a <Ｂ．7a ≥Ｃ．57a <≤Ｄ．5a <或7a ≥7．平面α∥平面β的一个充分条件是（ ） Ａ．存在一条直线a a ααβ，∥，∥Ｂ．存在一条直线a a a αβ⊂，，∥Ｃ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ Ｄ．存在两条异面直线a b a a b αβα⊂，，，∥，∥8．对于函数①()2f x x =+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =-，判断如下两个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（ ） Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．② Ｄ．③2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷） 第II 卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是 ．10．若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-=，，，，则此数列的通项公式为 ．11．已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是．12．在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB = ．13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于 ．14．已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出则[(1)]f g 的值为；当[()]2g f x =时，x =．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共12分）记关于x 的不等式01x ax -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ． （I ）若3a =，求P ；（II ）若Q P ⊆，求正数a 的取值范围． 16．（本小题共13分）数列{}n a 中，12a =1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列． （I ）求c 的值；（II ）求{}n a 的通项公式． 17．（本小题共14分）如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --的直二面角．D 是AB 的中点．（I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（II ）求异面直线AO 与CD 所成角的大小．18．（本小题共12分）某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求：（I ）这6位乘客在其不相同的车站下车的概率； （II ）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率； 19．（本小题共14分） 如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=点(11)T -，在AD 边所在直线上． （I ）求AD 边所在直线的方程； （II ）求矩形ABCD 外接圆的方程；（III ）若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程． 20．（本小题共14分）已知函数y kx =与22(0)y x x =+≥的图象相交于11()A x y ，，22()B x y ，，1l ，2l 分别是22(0)y x x =+≥的图象在A B ，两点的切线，M N ，分别是1l ，2l 与x 轴的交点．（I ）求k 的取值范围；（II ）设t 为点M 的横坐标，当12x x <时，写出t 以1x 为自变量的函数式，并求其定义域和值域；（III ）试比较OM 与ON 的大小，并说明理由（O 是坐标原点）．OCADB2007年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文史类）（北京卷）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ｂ 4．Ｄ 5．Ａ6．Ｃ7．Ｄ 8．Ｃ二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．310．211n -11．3-12．213．72514．11三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共12分） 解：（I ）由301x x -<+，得{}13P x x =-<<． （II ）{}{}1102Q x x x x =-=≤≤≤．由0a >，得{}1P x x a =-<<，又Q P ⊆，所以2a >， 即a 的取值范围是(2)+∞，． 16．（共13分）解：（I ）12a =，22a c =+，323a c =+， 因为1a ，2a ，3a 成等比数列， 所以2(2)2(23)c c +=+， 解得0c =或2c =．当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =． （II ）当2n ≥时，由于21a a c -=， 322a a c -=，1(1)n n a a n c --=-，所以1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-=． 又12a =，2c =，故22(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+=，，．当1n =时，上式也成立，所以22(12)n a n n n =-+=，，． 17．（共14分）解法一：（I ）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥， BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角， CO BO ∴⊥，又AO BO O =，CO ∴⊥平面AOB ， 又CO ⊂平面COD ．∴平面COD ⊥平面AOB ．（II ）作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则DE AO ∥， CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角．在Rt COE △中，2CO BO ==，112OE BO ==，CE ∴== 又12DE AO ==． ∴在Rt CDE △中，tan 3CE CDE DE ===． ∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为． 解法二：（I ）同解法一．（II ）建立空间直角坐标系O xyz -，如图，则(000)O ，，，(00A ，，(200)C ，，，(01D ，(00OA ∴=，，(2CD =-，cos OA CD OA CD OA CD∴<>=，64322==． ∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为 18．（共13分） 解：（I ）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率为OC ADBEx610661512.15121010A P ==0≥．（II ）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率为33666914580.014581010C P ⨯===． 19．（共14分）解：（I ）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为3-．又因为点(11)T -，在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+．320x y ++=．（II ）由36032=0x y x y --=⎧⎨++⎩，解得点A 的坐标为(02)-，，因为矩形ABCD 两条对角线的交点为(20)M ，． 所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．又AM ==从而矩形ABCD 外接圆的方程为22(2)8x y -+=．（III ）因为动圆P 过点N ，所以PN 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切，所以PM PN =+即PM PN -=故点P 的轨迹是以M N ，为焦点，实轴长为因为实半轴长a =2c =．所以虚半轴长b ==从而动圆P的圆心的轨迹方程为221(22x y x -=≤． 20．（本小题共14分） 解：（I ）由方程22y kx y x =⎧⎨=+⎩，消y 得220x kx -+=． ················· ①依题意，该方程有两个正实根，故212800k x x k ⎧∆=->⎨+=>⎩，，解得k > （II ）由()2f x x '=，求得切线1l 的方程为1112()y x x x y =-+，由2112y x =+，并令0y =，得1112x t x =- 1x ，2x 是方程①的两实根，且12x x <，故12k x ==，k >，1x 是关于k 的减函数，所以1x的取值范围是(0．t 是关于1x的增函数，定义域为(0，所以值域为()-∞，0，（III ）当12x x <时，由（II ）可知1112x OM t x ==-+． 类似可得2212x ON x =-．1212122x x x x OM ON x x ++-=-+． 由①可知122x x =． 从而0OM ON -=．当21x x <时，有相同的结果0OM ON -=． 所以OM ON =．。
2007年全国2卷理科数学含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷理科数学(必修+选修II)第I 卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=k n C k P (1－P )n k-一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。
1. sin2100 =(B)(C) 12 (D) -12 2.函数()|sin |f x x =的一个单调递增区间是(A)（4π-，4π） (B) （4π，34π） (C) （π，32π） (D) （32π，2π）3.设复数z 满足12ii z+=，则z =(A) -2+i (B) -2-i (C) 2-i (D) 2+i4.以下四个数中的最大者是 (A) (ln2)2(B) ln(ln2)(C) ln 2(D) ln25.在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若2AD DB =，13CD CA CB λ=+,则λ= (A)23(B)13(C) -13(D) -236.不等式:2104x x ->-的解集为 (A) (2,1)- (B) (2,)+∞ (C) (2,1)(2,)-⋃+∞ (D)(,2)(1,)-∞-⋃+∞7.已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱长是底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦等于(A)(B)(C)2(D)8．已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为 (A) 3(B) 2 (C) 1 (D)129．把函数xy e =的图象按向量a =(2,3)平移，得到()y f x =的图象，则()f x =球的表面积公式S=42R π 其中R 表示球的半径，球的体积公式 V=343R π， 其中R 表示球的半径(A) 32x e-+(B) 32x e+- (C) 23x e-+ (D) 23x e+-10.从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有 (A)40种(B) 60种(C) 100种(D) 120种11．设F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点。
2007年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷II)数学(文科)试卷参考答案
2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷II ）数学（文科）试卷参考解析一、选择题1．C 2．B3．C4．D 5．C6．A7．A 8．A 9．C 10．D 11．D 12．B二、填空题13．12014．252n n --15．2+三、解答题17．解:由题设知11(1)01n n a q a S q-≠=-，,则2121412(1)5(1)11a q a q a q q q⎧=-⎪=⨯⎨--⎪-⎩，． ②由②得4215(1)q q -=-,22(4)(1)0q q --=,(2)(2)(1)(1)0q q q q -+-+=,因为q <1,解得q =-1或q =-2。
当q =-1时,代入①得a 1=2,通项公式12(1)n n a -=⨯-；当q =-2时,代入①得112a =,通项公式11(2)2n n a -=⨯-。
18．解:（1）△ABC 地内角和A+B+C=π,由A π=3,B>0,C>0得20B π<<3。
应用正弦定理,知sin 4sin sin BC AC B x x A ===,2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭。
因为y=AB+BC+AC,所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<<⎪⎪3⎝⎭⎭,（2）因为14sin sin 2y x x x ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭5x x ππππ⎛⎫⎫=++<+< ⎪⎪6666⎝⎭⎭,所以,当x ππ+=62,即x π=3时,y取得最大值19．（1）记A 0表示事件"取出地2件产品中无二等品",A 1表示事件"取出地2件产品中恰有1件二等品"。
则A 0,互斥,且A= A 0+ A 1,故P （A ）=P （A 0+ A 1）= P （A 0）+P （A 1）212(1)C (1)p p p =-+-=1-p 2于是0.96=1-p 2。
2007年全国Ⅱ高考试题(理)
2007年普通高等数学招生全国统一考试（全国Ⅱ）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：其中R 表示球的半径()(1)k k n kn n P k C P P -=- 第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．sin 210=A B ． C ．12D ．12-2．函数sin y x =的一个单调增区间是A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π ⎪2⎝⎭， 3．设复数z 满足12ii z+=，则z =A ．2i -+B ．2i --C ．2i -D ．2i +4．下列四个数中最大的是A ．2(ln 2)B ．ln(ln 2)C ．D ．ln 25．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ= A ．23 B ．13 C ．13- D ．23-6．不等式2104x x ->-的解集是A ．(21)-，B ．(2)+∞，C ．(21)(2)-+∞ ，，D ．(2)(1)-∞-+∞ ，， 7．已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等，则1AB 与侧面11ACC A 所成角的正弦值等于A B C ．2D 8．已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为A ．3B ．2C ．1D ．129．把函数e xy =的图像按向量(23)=，a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =A ．3e2x -+ B ．3e2x +- C ．2e3x -+ D ．2e3x +-10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有A ．40种B ．60种C ．100种D ．120种11．设12F F ，分别是双曲线2222x y a b-的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠= 且123AF AF =，则双曲线的离心率为A B C D 12．设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0，则FA FB FC ++=A ．9B ．6C ．4D ．2第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．821(12)x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．（用数字作答）14．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1)(0)N σσ>，．若ξ在(01)，内取值的概率为0.4，则ξ在(02)，内取值的概率为 ． 15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2．16．已知数列的通项52n a n =-+，其前n 项和为n S ，则2limnn S n ∞=→ ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ．（1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值．18．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形， 侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点．（1）证明EF ∥平面SAD ；（2）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小．20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O为圆心的圆与直线4x =相切． （1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求PA PB 的取值范围．21．（本小题满分12分）设数列{}n a 的首项113(01)2342n n a a a n --∈==，，，，，，…． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n b a =1n n b b +<，其中n 为正整数．22．（本小题满分12分）已知函数3()f x x x =-． （1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．AEBCFSD数学试题参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧 13．42- 14．0.815．2+ 16．52- 三、解答题17．解：（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00AB C π=>>3，，得20B π<<3． 应用正弦定理，知sin 4sin sin sin BC AC B x xA ===3，2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭．因为y AB BC AC =++，所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<<⎪⎪3⎝⎭⎭，（2）因为14sin sin 2y x x x ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭5s i n 3x x ππππ⎛⎫⎫=++<+< ⎪⎪6666⎝⎭⎭，所以，当x ππ+=62，即x π=3时，y 取得最大值 18．解：（1）记0A 表示事件“取出的2件产品中无二等品”， 1A 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”． 则01A A ，互斥，且01A A A =+，故01()()P A P A A =+012122()()(1)C (1)1P A P A p p p p =+=-+-=-于是20.961p =-．解得120.20.2p p ==-，（舍去）．（2）ξ的可能取值为012，，． 若该批产品共100件，由（1）知其二等品有1000.220⨯=件，故2802100C 316(0)C 495P ξ===．1180202100C C 160(1)C 495P ξ===．2202100C 19(2)C 495P ξ===． 所以ξ的分布列为19．解法一：（1）作FG DC ∥交SD 于点G ，则G 为SD 的中点．连结12AG FG CD∥，，又CD AB∥， 故FG AE AEFG∥，为平行四边形． EF AG ∥，又AG ⊂平面SAD EF ⊄，平面SAD ． 所以EF ∥平面SAD ．（2）不妨设2DC =，则42SD DG ADG ==，，△为等 腰直角三角形．取AG 中点H ，连结DH ，则DH AG ⊥．又AB ⊥平面SAD ，所以AB DH ⊥，而AB AG A = ， 所以DH ⊥面AEF ．取EF 中点M ，连结MH ，则HM EF ⊥． 连结DM ，则DM EF ⊥．故DMH ∠为二面角A EF D --的平面角AEBCFSD H G Mtan 1DH DMH HM ∠=== 所以二面角A EF D --的大小为． 解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D xyz -．设(00)(00)A a S b ，，，，，，则(0)(00)B a a C a ，，，，，， 00222a a b E a F ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，， 02b EF a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，．取SD 的中点002b G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，则02b AG a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，．EF AG EF AG AG =⊂，∥，平面SAD EF ⊄，平面SAD ，所以EF ∥平面SAD ．（2）不妨设(100)A ，，，则11(110)(010)(002)100122B C S E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，．EF 中点111111(101)0222222M MD EF MD EF MD EF ⎛⎫⎛⎫=---=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，⊥又1002EA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，，0EA EF EA EF =，⊥，所以向量MD 和EA的夹角等于二面角A EF D --的平面角．cos MD EA MD EA MD EA<>==，． 所以二面角A EF D --的大小为arccos3． 20．解：（1）依题设，圆O 的半径r 等于原点O到直线4x =的距离，即2r ==．得圆O 的方程为224x y +=．（2）不妨设1212(0)(0)A x B x x x <，，，，．由24x =即得(20)(20)A B -，，，．设()P x y ，，由PA PO PB ，，成等比数列，得22x y =+，即 222x y -=． (2)(2)PA PB x y x y =-----，，22242(1).x y y =-+=-由于点P 在圆O 内，故222242.x y x y ⎧+<⎪⎨-=⎪⎩，由此得21y <．所以PA PB的取值范围为[20)-，． 21．解：（1）由132342n n a a n --==，，，，…， 整理得 111(1)2n n a a --=--．又110a -≠，所以{1}n a -是首项为11a -，公比为12-的等比数列，得1111(1)2n n a a -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭（2）方法一： 由（1）可知302n a <<，故0n b >．那么，221n n b b +-2211222(32)(32)3332(32)229(1).4n n n n n n n n n n a a a a a a a a aa ++=-----⎛⎫⎛⎫=-⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-又由（1）知0n a >且1n a ≠，故2210n n b b +->，因此1n n b b n +<，为正整数．方法二：由（1）可知3012n n a a <<≠，， 因为132nn a a +-=， 所以1n n b a ++==．由1n a ≠可得33(32)2n n n a a a -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即 223(32)2n n n n a a a a -⎛⎫-< ⎪⎝⎭两边开平方得32na a -<即 1n n b b n +<，为正整数．22．解：（1）求函数()f x 的导数；2()31x x f '=-．曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为： ()()()y f t f t x t '-=-，即23(31)2y t x t =--．（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--．于是，若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根． 记 32()23g t t at a b =-++， 则 2()66g t t at '=-6()t t a =-．当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表：由()g t 的单调性，当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时，方程()0g t =最多有一个实数根；当0a b +=时，解方程()0g t =得302at t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根； 当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2at t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．综上，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即 ()a b f a -<<．。
2011年高考题全国卷II数学试题(文科数学)
，则
f
(−
5 )
=
2
1
(A) -
2
1
1
1
(B) − (C) (D)
4
4
2
6
【思路点拨】解本题的关键是把通过周期性和奇偶性把自变量 − 5 转化到区间[0,1]上
2
进行求值。
【精讲精析】选 A.
先利用周期性，再利用奇偶性得:
f
(−
5 )
=
f
(−
1 )
=
−
f
1 ()
=
−
1
.
2
2
22
(11)设两圆 C1 、 C2 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离 C1C2 =
成角的余弦值为
.
【思路点拨】找出异面直线 AE 与 BC 所成的角是解本题的关键。只要在平面 A1B1C1D1
39
内过 E 作及 B1C1 的平行线即可。
【精讲精析】 2 取 A1B1 的中点 M 连接 EM，AM，AE，则 ∠AEM 就是异面直线 3
AE 与 BC 所成的角。在 ∆AEM 中， cos ∠AEM = 22 + 32 − 5 = 2 。 2×2×3 3
（C） 2 （D）1
【思路点拨】解决本题关键是找出此二面角的平面角，然后把要求的线段放在三角形
40
中求解即可。
【精讲精析】选 C. 在平面内过 C 作 CM //BD ，连接 BM，则四边形 CMBD 是平行
四边形，因为 BD ⊥ l ，所以 CM ⊥ l ，又Q AC ⊥ l ,∴∠ACM 就是二面角 α − l − β 的平面角。∴∠ACM = 90o.
.
2
2007年高考数学全国II文科详细解答
2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷文科数学（必修+选修Ⅰ）注意事项：1． 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，总分150分，考试时间120分钟．2． 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上．3． 选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．4． 非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚5． 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效． 6． 考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n k n n P k C p p k n -=-=，，，…， 一、选择题1．cos330=（ ）A ．12B ．12-C ．2D ．2-2．设集合{1234}{12}{24}U A B ===，，，，，，，，则()U A B = ð（ ）A ．{2}B ．{3}C ．{124}，，D ．{14}， 3．函数sin y x =的一个单调增区间是（ ）A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π⎪2⎝⎭， 4．下列四个数中最大的是（ ）A ．2(ln 2)B ．ln(ln 2)C ．D ．ln 25．不等式203x x ->+的解集是（ ） A ．(32)-， B ．(2)+∞， C ．(3)(2)-∞-+∞ ，， D ．(2)(3)-∞-+∞ ，， 6．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ）A ．23B ．13C ．13-D ．23-7．已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ）A ．6B ．4C ．2D ．28．已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．把函数e x y =的图像按向量(2)=，0a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（ ） A ．e 2x+B ．e 2x-C ．2ex -D ．2ex +10．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．25种 D ．32种11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A ．13B ．3C ．12D ．212．设12F F ，分别是双曲线2219y x +=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF = ，则12PF PF +=（ ）AB ．CD ．第Ⅱ卷（非选择题）本卷共10题，共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ．14．已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S = ．15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2．16．821(12)1x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）设等比数列{}n a 的公比1q <，前n 项和为n S ．已知34225a S S ==，，求{}n a 的通项公式． 18．（本小题满分12分） 在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值．19．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =． （1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B ：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B ．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，， 分别为AB SC ，的中点． （1）证明EF ∥平面SAD ；（2）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小．AEBCFSD21．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线4x =相切． （1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求PA PB的取值范围．22．（本小题满分12分） 已知函数321()(2)13f x ax bx b x =-+-+ 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且12012x x <<<<． （1）证明0a >；（2）若z=a+2b,求z 的取值范围。
2007年高考全国卷2(理科数学)
2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅱ）一、选择题本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．sin 210=A ．2 B ．2- C ．12 D ．12- 2．函数sin y x =的一个单调增区间是A ．()ππ-44，B ．3()ππ44，C ．()3ππ2，D ．3(2)ππ2，3．设复数z 满足12ii z+=，则z =A ．2i -+B ．2i --C ．2i -D ．2i + 4．下列四个数中最大的是A ．2(ln 2)B ．ln(ln 2)C ．ln ．ln 25．在ABC ∆中，已知D 是AB 边上一点，若2AD DB =，13CD CA CB λ=+，则λ=A ．23B ．13C ．13-D ．23-6．不等式2104x x ->-的解集是A ．(2,1)-B ．(2,)+∞C ．(2,1)(2,)-+∞D ．(,2)(1,)-∞-+∞7．已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等，则1AB 与侧面11ACC A 所成角的正弦值等于A ．2 D 8．已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为A ．3B ．2C ．1D ．129．把函数x y e =的图像按向量(2,3)a =平移，得到()y f x =的图像，则()f x = A ．32x e -+ B ．32x e +- C ．23x e -+ D ．23x e +- 10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有A ．40种B ．60种C ．100种D ．120种11．设12F F ，分别是双曲线2222x y a b -的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=且123AF AF =，则双曲线的离心率为A D 12．设F 为抛物线24y x =的焦点，,,ABC 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++= ，则FA FB FC ++=A ．9B ．6C ．4D ．3 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．281(12)()x x x+-的展开式中常数项为 ．（用数字作答）14．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1,)(0)N σσ>．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为 ．15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 2cm ． 16．已知数列的通项52n a n =-+，其前n 项和为n S ，则2limnn S n ∞=→ ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在ABC ∆中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ． （Ⅰ）求函数()y f x =的解析式和定义域； （Ⅱ）求y 的最大值．18．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =． （Ⅰ）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；（Ⅱ）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为AB ，SC 的中点． （Ⅰ）证明EF ∥平面SAD ；（Ⅱ）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小．20．（本小题满分12分）在直角坐标系xoy 中，以O为圆心的圆与直线4x =相切． （Ⅰ）求圆O 的方程；（Ⅱ）圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 使PA ，PO ，PB 成等比数列，求PA PB ⋅的取值范围． 21．（本小题满分12分）设数列{}n a 的首项1(01)a ∈，，132n n a a --=，2,3,4,n =.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；AEBCFSD（Ⅱ）设n b a =，证明1n n b b +<，其中n 为正整数． 22．（本小题满分12分） 已知函数3()f x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(,())M t f t 处的切线方程；（Ⅱ）设0a >，如果过点(,)a b 可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题 1．D 2．C 3．C 4．D5．A6．C7．A8．A9．C10．B 11．B 12．B二、填空题 13．42- 14．0.8 15．2+16．52-三、解答题17．解：（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π<<3． 应用正弦定理，知sin sin 4sin sin sin BC AC B x x A ===π3，2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭． 因为y AB BC AC =++，所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<< ⎪⎪3⎝⎭⎭，（2）因为14sin sin 2y x x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭5x x ππππ⎛⎫⎫=++<+< ⎪⎪6666⎝⎭⎭，所以，当x ππ+=62，即x π=3时，y取得最大值 18．解：（1）记0A 表示事件“取出的2件产品中无二等品”， 1A 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．则01A A ，互斥，且01A A A =+，故01()()P A P A A =+012122()()(1)C (1)1P A P A p p p p =+=-+-=-于是20.961p =-．解得120.20.2p p ==-，（舍去）． （2）ξ的可能取值为012，，．若该批产品共100件，由（1）知其二等品有1000.220⨯=件，故2802100C 316(0)C 495P ξ===．1180202100C C 160(1)C 495P ξ===．2202100C 19(2)C 495P ξ===． 所以ξ的分布列为19．解法一：（1）作FG DC ∥交SD 于点G ，则G 为SD 的中点．连结12AG FG CD ∥，，又CD AB ∥， 故FG AE AEFG∥，为平行四边形． EF AG ∥，又AG ⊂平面SAD EF ⊄，平面SAD ． 所以EF ∥平面SAD ．（2）不妨设2DC =，则42SD DG ADG ==，，△为等 腰直角三角形．取AG 中点H ，连结DH ，则DH AG ⊥． 又AB ⊥平面SAD ，所以AB DH ⊥，而AB AG A =，所以DH ⊥面AEF ．取EF 中点M ，连结MH ，则HM EF ⊥．AEBCFSD H G M连结DM ，则DM EF ⊥．故DMH ∠为二面角A EF D --的平面角tan DH DMH HM ∠=== 所以二面角A EF D --的大小为． 解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D xyz -．设(00)(00)A a S b ，，，，，，则(0)(00)B a a C a ，，，，00222a a b E a F ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，， 02b EF a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，．取SD 的中点002b G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，则02b AG a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，． EF AG EF AG AG =⊂，∥，平面SAD EF ⊄，平面SAD ，所以EF ∥平面SAD ．（2）不妨设(100)A ，，，则11(110)(010)(002)100122B C S E F ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，． EF 中点111111(101)0222222M MD EF MD EF MD EF ⎛⎫⎛⎫=---=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，⊥ 又1002EA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，0EA EF EA EF =，⊥， 所以向量MD 和EA 的夹角等于二面角A EF D --的平面角．3cos 3MD EA MD EA MD EA<>==，． 所以二面角A EF D --的大小为． 20．解：（1）依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线4x =的距离，即2r ==．得圆O 的方程为224x y +=．（2）不妨设1212(0)(0)A x B x x x <，，，，．由24x =即得 (20)(20)A B -，，，．设()P x y ，，由PA PO PB ，，成等比数列，得2222(2)x x y -+=+，即 222x y -=． (2)(2)PA PB x y x y =-----，，22242(1).x y y =-+=-由于点P 在圆O 内，故222242.x y x y ⎧+<⎪⎨-=⎪⎩，由此得21y <．所以PA PB 的取值范围为[20)-，． 21．解：（1）由132342n n a a n --==，，，，…，整理得 111(1)2n n a a --=--．又110a -≠，所以{1}n a -是首项为11a -，公比为12-的等比数列，得1111(1)2n n a a -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭（2）方法一： 由（1）可知302n a <<，故0n b >．那么，221n n b b +-2211222(32)(32)3332(32)229(1).4n n n n n n n n n n a a a a a a a a aa ++=-----⎛⎫⎛⎫=-⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-又由（1）知0n a >且1n a ≠，故2210n n b b +->，因此1n n b b n +<，为正整数．方法二：由（1）可知3012n n a a <<≠，，因为132nn a a +-=，所以1n n b a ++==由1n a ≠可得33(32)2n n n a a a -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即 223(32)2n n n n a a a a -⎛⎫-< ⎪⎝⎭两边开平方得32nn a a a -<．即 1n n b b n +<，为正整数．22．解：（1）求函数()f x 的导数；2()31x x f '=-． 曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-，即 23(31)2y t x t =--．（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--．于是，若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根． 记 32()23g t t at a b =-++， 则 2()66g t t at '=-6()t t a =-．当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表：由()g t 的单调性，当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时，方程()0g t =最多有一个实数根；当0a b +=时，解方程()0g t =得302at t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2at t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．综上，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即 ()a b f a -<<．。
2011年~2015年全国1、2卷高考数学真题分类汇编(理科)
2011年~2015年全国1、2卷高考数学真题分类汇编（理科）第一章 集合与常用逻辑用语第一节 集合题型1 集合的基本概念1. (2012全国理1)已知集合{}1,2,3,4,5A =，(){},,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则B中所含元素的个数为（ ）.A. 3B. 6C. 8D.10题型2 集合间的基本关系2．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )．A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝RC ．B ⊆AD ．A ⊆B 3.（2013全国Ⅱ理1）已知集合(){}{}21<410123M x x x N =-∈=-R ，，，，，，，则M N =I （ ）.A. {}012，，B. {}1012-，，，C. {}1023-，，，D. {}0123，，， 4.（2014全国Ⅰ理1）.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={}22x x -≤<，则A B ⋂=A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2）5.（2014全国Ⅱ理1）设集合{}0,1,2M =，{}2=320N x x x -+≤，则M N =I(A) {}1 (B) {}2 (C) {}0,1 (D) {}1,26. （2015全国Ⅱ理1）.已知集合{}2,1,0,2A =--，()(){}120B x x x =-+<，则A B =I （ ）．A.{}1,0-B.{}0,1C.{}1,0,1-D.{}0,1,2题型3 集合的运算第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件题型4 四种命题及关系题型5 充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明 题型6 充分条件、必要条件中的含参数问题第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词题型7 判断含逻辑联结词的命题的真假 题型8 全（特）称命题的否定7. （2015全国I 理3）设命题:p n ∃∈N ，22n n >，则p ⌝为（ ）. A ．n ∀∈N ，22n n > B ．n ∃∈N ，22n n „ C ．n ∀∈N ，22n n „ D ．n ∃∈N ，22n n =题型9 根据命题真假求参数的范围第一章 试题详解1.分析 利用集合的概念及其表示求解. 解析 因为(){},,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，{}1,2,3,4,5A =，所以2,1x y ==；3,1,2x y ==；4,1,2,3x y ==；5,1,2,3,4x y ==.所以()(){()()()()()2,1,3,1,3,2,4,1,4,2,4,3,5,1,B =()()()}5,2,5,3,5,4，所以B 中所含元素的个数为10.故选D. 2.答案：B解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2. ∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B.3.分析 先求出集合M ，然后运用集合的运算求解.解析：集合{}13,M x x x =-∈R <<，所以{}0,1,2M N =I ，故选A. 4.【答案】：A【解析】：∵A={x |2230x x --≥}={}13x x x ≤-≥或，B={}22x x -≤<， ∴A B ⋂={}21x x -≤≤，选A..5.解析：∵{}{}2=32012N x x x x x -+≤=≤≤，∴M N =I {}1,2 答案：D6. 解析对于B 集合，由已知得，{}21B x x =-<<，由数轴可得{}1,0A B =-I . 故选A.t1501401301201101000.0300.0250.0200.0150.010频率/组距评注常规考题，比较容易.考查不等式解集和集合的交运算，注意A 集合中的元素是数，B 集合是数的范围，用数轴较直观.7.解析 否命题是对原命题的条件与结论同时否定，因为存在的否定是任意，大于的否定是小于等于，所以:p n ⌝∀∈N ，22nn …．故选C ．第二章 函数第一节 函数的概念及其表示题型10 映射与函数的概念题型11 同一函数的判断 题型12 函数解析式的求法1.（2013全国II 理 19）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1t 亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品.以X （单位：t ，100150x ≤≤）表示市场需求量，T 表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.（1）将T 表示为X 的函数；题型13 函数定义域的求解 题型14 函数值域的求解第二节 函数的基本性质—奇偶性、单调性、周期性题型15 函数的奇偶性2.（2011全国理2）.下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（ ）. A.3y x = B.||1y x =+ C.21y x =-+ D.||2x y -=3．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图像关于直线x ＝－2对称，则f (x )的最大值为__________．4.(2014全国Ⅰ理3)设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数5.（2015全国Ⅰ理13）.若函数()()2ln f x x x a x =++为偶函数，则a = .题型16 函数的单调性(区间)6.（2011全国卷理2）下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（ ）. A.3y x = B.||1y x =+ C.21y x =-+ D.||2x y -=7．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n nb a +，则( )．A ．{S n }为递减数列B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列题型17 函数的周期性 题型18 函数性质的综合8.（2014全国Ⅱ理科15）已知偶函数()f x 在[0,)+∞单调递减，(2)0f =．若(1)0f x ->，则x 的取值范围是 ．第三节 二次函数与幂函数题型19 二次函数图像的应用题型20 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系 题型21 二次方程()200ax bx c a ++=≠的实根分布及条件 题型22 二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题 题型23 二次函数恒成立问题 题型24 幂函数的定义及其图像 题型25 幂函数性质的综合应用第四节 指数函数与对数函数题型26 指（对）运算及指（对）方程、不等式9.（2015全国Ⅱ理5） 设函数()()2111log 2,12,x x x f x x -⎧+-<⎪=⎨⎪⎩…，则()()22log 12f f -+=（ ）A.3B. 6C. 9D. 12题型27 指数函数、对数函数的图像及性质10.（2012全国理12）设点P在曲线1e2xy=上，点Q在曲线()ln2y x=上，则PQ的最小值为（）.A. 1ln2- B. ()21ln2- C. 1ln2+ D.()21ln2+11.（2013全国Ⅱ理8）设357log6log10log14a b c===，，则（）.A. >>c b a B. >>b c a C. >>a cb D. >>a b c题型28 指数函数与对数函数中的恒成立问题第五节函数的图像及应用题型29 知式选图(识图)题型30 函数图像的应用12.（2011全国理12）函数11yx=-的图像与函数2sinπy x=（24x-剟）的图像所有交点的横坐标之和等于（）.A.2B.4C.6D.813（2012全国理10）已知函数()1()ln1f xx x=+-，则()y f x=的图像大致为（）.A. B. C. D.14(2015全国Ⅱ理10) 如图，长方形ABCD的边2AB=，1BC=，O是AB的中点，点P 沿着边,BC CD与DA运动，记BOP x∠=.将动点P到,A B两点距离之和表示为x的函数()f x，则()y f x=的图像大致为（）．xPOD CBA2π3π4π2π4y O x2xO y π4π23π4π2xO y π4π23π4π2π3π4π2π4y O xA. B. C. D.第六节 函数的综合题型31 函数与数列的综合 题型32 函数与不等式的综合 题型33 函数中的创新题第二章 试题详解 第三章 导数与定积分第一节 导数的概念与运算题型34 导数的定义 题型35 求函数的导数 题型36 导数的几何意义15（2011全国理21）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=． （1）求a ，b 的值；16（2014全国Ⅱ理8）设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则a = (A) 0(B) 1(C) 2(D) 317（2015全国Ⅰ理20）在直角坐标系xOy 中，曲线2:4x C y =与直线():0l y kx a a =+>交于M ，N 两点.（1）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；18（2015全国Ⅰ理21）已知函数()314f x x ax =++，()ln g x x =-.（1） 当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；第二节 导数的应用题型37 利用导函数研究函数的图像19．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2.(1)求a ，b ，c ，d 的值； 20(2013全国Ⅱ理10) 已知函数()32f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）.A. ()000x f x ∃∈=R ，B. 函数()y f x =的图象是中心对称图形C. 若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间()0x -∞，单调递减D. 若0x 是()f x 的极值点，则()00f x '=题型38 利用导数研究函数的单调性21. (2012全国理21)已知函数()f x 满足121()'(1)e (0)2x f x f f x x -=-+.（1）求()f x 的解析式及单调区间；（2）若21()2f x x ax b ++…，求(1)a b +的最大值22（2013全国Ⅱ理10） 已知函数()32f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）.A. ()000x f x ∃∈=R ，B. 函数()y f x =的图象是中心对称图形C. 若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间()0x -∞，单调递减D. 若0x 是()f x 的极值点，则()00f x '=23（2013全国Ⅱ理16）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1015025S S ==，，则n nS 的最小值为 . 24. （本小题共12分）已知函数()()e ln xf x x m =-+.（1）设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性； （2）当2m ≤时，证明()>0f x .25设函数()'f x 是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，()10f -=，当0x >时， ()()'0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）． A. ()(),10,1-∞-U B. ()()1,01,-+∞U C. ()(),11,0-∞--U D. ()()0,11,+∞U26设函数()2emxf x x mx =+-.（1）证明：()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增； （1）证明：因为()2e mxf x x mx =+-，题型39 函数的极值与最值 (27)27．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2.(1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围． 28.已知函数()()e ln x f x x m =-+.（1）设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性；29.设函数()'f x 是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，()10f -=，当0x >时， ()()'0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）． A. ()(),10,1-∞-U B. ()()1,01,-+∞U C. ()(),11,0-∞--U D. ()()0,11,+∞U30.设函数()2emxf x x mx =+-.（1）证明：()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增；题型40 方程解(函数零点)的个数问题31． (2014全国Ⅰ理11)已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）32（2015全国Ⅱ理21）已知函数()314f x x ax =++，()ln g x x =-.（1）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（2）用{}min ,m n 表示m ，n 中的最小值，设函数()()(){}min ,h x f x g x =()0x >，讨论()h x 零点的个数.题型41 利用导数证明不等式33.设函数1(0ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >.题型42 不等式恒成立与存在性问题 (30)34（2015全国Ⅰ理12）设函数()()e21xf x x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x 使得()00f x <，则a 的取值范围是（ ）. A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭35（2015全国Ⅱ理21）设函数()2emxf x x mx =+-.（1）证明：()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增；（2）若对于任意[]12,1,1x x ∈-，都有()()121e f x f x --…，求m 的取值范围．题型43 导数在实际问题中的应用第三节 定积分和微积分基本定理题型44 定积分的计算36（2011全国理9）由曲线y x =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）.A.103B.4C.163D.6题型45 求曲边梯形的面积第三章 试题详解1.分析 （1）根据题意购进了130t ，应分两段进行求解；解析：解：（1）当[)100,130X ∈时，()50030013080039000T X X X =--=-. 当[]130,150X ∈时，50013065000T =⨯=.所以80039000,100130,65000,130150.X X T X -⎧=⎨⎩≤≤≤<2.【解析】四个选项中的偶函数只有B ，C ，D ，故排除A ，当x ∈(0,)+∞时，三个函数分别为1y x =+单调递增，21y x =-+单调递减，122xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭单调递减．故选择B ．3．答案：16解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称， ∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15. 由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0， 得x 1＝－2－5，x 2＝－2，x 3＝－2＋5.易知，f (x )在(－∞，－2－5)上为增函数，在(－2－5，－2)上为减函数，在(－2，－2＋5)上为增函数，在(－2＋5，＋∞)上为减函数．∴f (－2－5)＝[1－(－2－5)2][(－2－5)2＋8(－2－5)＋15] ＝(－8－45)(8－45) ＝80－64＝16.f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15] ＝－3(4－16＋15) ＝－9.f (－2＋5)＝[1－(－2＋5)2][(－2＋5)2＋8(－2＋5)＋15] ＝(－8＋45)(8＋45) ＝80－64＝16. 故f (x )的最大值为16. 4.【答案】：C【解析】：设()()()F x f x g x =，则()()()F x f x g x -=--，∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()()()()F x f x g x F x -=-=-，()F x 为奇函数，选C. 5.解析 由题意可知函数()2ln y x a x =++是奇函数，所以()2ln x a x +++()2ln 0x a x -++=，即 ()22ln ln 0a x x a +-==，解得1a =．6.【解析】四个选项中的偶函数只有B ，C ，D ，故排除A ，当x ∈(0,)+∞时，三个函数分别为1y x =+单调递增，21y x =-+单调递减，122xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭单调递减．故选择B ．综上可知：a ∈[－2,0]． 7.答案：B8.解析：∵()f x 是偶函数，∴(1)0(1)0(2)f x f x f ->⇔->=，又∵()f x 在[0,)+∞单调递减，∴12x -<，解之：13x -<< 答案：(1,3)-9. 解析 由题意可得，2(2)1log 4123f -=+=+=.又由22log 12log 21>=， 故有2222212log log 121log 12log 2log 622(log 12)22226f --=====，所以有2(2)(log 12)369f f -+=+=.故选C.评注 本题是一个涉及指数、对数和分段函数的综合题，考察面很广，但运算难度不大， 需要考生熟知基本的概念、性质和运算.10.分析 利用互为反函数的函数的图像性质结合导数求解. 解析 由题意知函数1e 2xy =与ln(2)y x =互为反函数,其图像关于直线y x =对称,两曲线上点之间的最小距离是y x =与1e 2x y =上点的最小距离的2倍,设1e 2x y =上点()00,x y 处的切线与y x =平行,有01e 12x =,0ln 2x =,01y =,所以y x =与1e 2xy =上点的最小距离是()21ln 22-,所求距离为()()21ln 2221ln 22-⨯=-.故选B. 11.分析 结合对数的运算性质进整理，利用对数函数的性质求解.解析：3333log 6log 3log 21log 2,a ==+=+5555log 10log 5log 21log 2,b ==+=+7777log 14log 7log 21log 2,c ==+=+因为357log 2log 2log 2,>>所以a b c >>，故选D.12.【解析】本题考查利用数形结合思想求解函数交点个数问题．在同一直角坐标系中画出两个函数的图像（注意利用函数图像变换观点求作函数图像！111(1)y x x ==---可看作由函数1y x=-向右平移一个单位得到）利用两个函数有共同的对称中心(1,0)，设8个交点的横坐标分别为1x ，2x ，…，8x ，结合函数图像，由对称性得18272,2,x x x x +=+=⋅⋅⋅，故所有交点的横坐标之和等于8．13分析 结合函数的图像，利用特殊函数值结合排除法求解. 解析 当1x =时，10ln 21y =<-，排除A ；当0x =时，y 不存在，排除D ；当x 从负方向无限趋近0时，y 趋向于-∞，排除C.故选B. 14. 解析 由已知可得，当P 点在BC 边上运动时，即π04x 剟时，2tan 4tan PA PB x x +=++； 当P 点在CD 边上运动时，即π3π44x 剎?，π2x ≠时， 22111111tan tan PA PB x x ⎛⎫⎛⎫+=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当π2x =时，22PA PB +=；当P 点在AD 边上运动时，即3ππ4x 剎?时，2tan 4tan PA PB x x +=+-.从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线π2x =对称，ππ42f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 且轨迹非直线型，故由此知选B.评注 本题以几何图形为背景考查了函数图像的识别与作法，特别是体现了分类讨论和数形结合的思想.15.解析（1）()()221ln 1x a x xb f x xx ⎛⎫⎪⎝⎭+-=-'+，由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点()1,1，故()()11112f f ⎧⎪⎨⎪⎩==-'，即1122b a b ⎧⎪⎨⎪⎩=-=-，解得1a =，1b = 16解析：∵1'1y a x =-+，且在点(0,0)处的切线的斜率为2，∴01'|201x y a ==-=+，即3a = 答案：D17.解析 （1）由题意知，0k =时，联立24y a x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得()2,M a a ，()2,N a a -．又2xy '=，在点M 处，M k a =，切线方程为()2y a a x a -=-，即0ax y a --=，在点N 处，N k a =-，切线方程为()2y a a x a -=-+，即0ax y a ++=．故所求切线方程为0ax y a --=和0ax y a ++=．18解析 （1）由题意知，0k =时，联立24y a x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得()2,M a a ，()2,N a a -．又2xy '=，在点M 处，M k a =，切线方程为()2y a a x a-=-，即0ax y a --=，在点N 处，N k a =-，切线方程为()2y a a x a -=-+，即0ax y a ++=．故所求切线方程为0ax y a --=和0ax y a ++=．19.分析 （1）利用所给的点及切线方程列出方程组求解字母的取值；（2）构造函数，利用导数求解函数的最大值，求解时需要注意分类讨论. 解：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4. 而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )， 故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4. 从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.20.分析 结合函数与导数的基础知识进行逐个推导.解析：A 项，因为函数()f x 的值域为R ，所以一定存在0x ∈R ，使()00f x =.A 正确.B 项，假设函数()32f x x ax bx c =+++的对称中心为(),m n ，按向量(),m n =--a 将函数的图象平移，则所得函数()y f x m n =+-是奇函数.所以()()20f x m f x m n ++-+-=，化简得()23230m a x m am bm c n +++++-=.上式对x ∈R 恒成立，故30m a +=，得3a m =-，323a n m am bm c f ⎛⎫=+++=- ⎪⎝⎭，所以函数()32f x x ax bx c =+++的对称中心为,33a a f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()y f x =的图象是中心对称图形.B 正确.C 项，由于()232f x x ax b '=++是二次函数，()f x 有极小值点0x ，必定有一个极大值点1x ，若10x x <，则()f x 在区间()0,x -∞上不单调递减.C 错误.D 项，若0x 是极值点，则一定有()00f x '=.故选C. 21解析 （1）由已知得1'()'(1)e(0)x f x f f x -=-+，所以'(1)'(1)(0)1f f f =-+，即(0)1f =.又1(0)'(1)e f f -=，所以'(1)e f =.从而21()e 2xf x x x =-+.由于'()e 1x f x x =-+，故当 (),0x ∈-∞时，'()0f x <；当()0,x ∈+∞时，'()0f x >.从而，()f x 单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞.（2）由已知条件得()e 1xa xb -+… ()*①若10a +<，则对任意实数b ，当0x <，且11b x a -<+时，可得()e 1xa xb -+<，因此()*式不成立.②若10a +=，则()10a b +=.③若10a +>，设()()g =e 1xx a x -+，则()()g'=e 1xx a -+.当(),ln(1)x a ∈-∞+时， '()0g x <；当()ln(1),x a ∈++∞时，'()0g x >.从而()g x 在(),ln(1)a -∞+上单调递减，在()ln(1),a ++∞上单调递增.故()g x 有最小值()ln(1)1(1)ln(1)g a a a a +=+-++.所以21()2f x x ax b ++…等价于1(1)ln(1)b a a a +-++„ ()**.因此22(1)(1)(1)ln(1)a b a a a ++-++„.设22()(1)(1)ln(1)h a a a a =+-++，则 ()'()(1)12ln(1)h a a a =+-+.所以()h a 在121,e 1⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在12e 1,⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，故()h a 在12e 1a =-处取得最大值.从而 ()h a e 2„，即()e 12a b +b?.当12e 1a =-，12e2=b 时，()**式成立，故21()2f x x ax b ++….综上得，(1)a b +的最大值为e 2. 22.分析 结合函数与导数的基础知识进行逐个推导.解析：A 项，因为函数()f x 的值域为R ，所以一定存在0x ∈R ，使()00f x =.A 正确.B 项，假设函数()32f x x ax bx c =+++的对称中心为(),m n ，按向量(),m n =--a 将函数的图象平移，则所得函数()y f x m n =+-是奇函数.所以()()20f x m f x m n ++-+-=，化简得()23230m a x m am bm c n +++++-=.上式对x ∈R 恒成立，故30m a +=，得3a m =-，323a n m am bm c f ⎛⎫=+++=- ⎪⎝⎭，所以函数()32f x x ax bx c =+++的对称中心为,33a a f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()y f x =的图象是中心对称图形.B 正确.C 项，由于()232f x x ax b '=++是二次函数，()f x 有极小值点0x ，必定有一个极大值点1x ，若10x x <，则()f x 在区间()0,x -∞上不单调递减.C 错误.D 项，若0x 是极值点，则一定有()00f x '=.故选C. 23.分析 先根据已知条件求出首项和公差，代入n nS 再运用导数知识进行求解.解析：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由等差数列前n 项和可得11109100,215141525,2a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩ 解得13,2.3a d =-⎧⎪⎨=⎪⎩所以()()222232311111032333n n n n nS n a d n n n n -=+=-+-=-， 所以()2203n n nS n '=-，令()0n nS '=，解得0n =（舍去）或203n =.当203n >时，n nS 是单调递增的；当2003n <<时，n nS 是单调递减的，故当7n =时， n nS 取最小值，所以()23min11077=4933n nS ⨯=⨯--.24.分析 （1）先根据极值点确定出m 的值，然后运用导数求出函数的单调区间，要注意定义域； 解析：（1）解：()1e xf x x m'=-+.由0x =是()f x 的极值点得()00f '=，所以1m =. 于是()()e ln 1x f x x =-+，定义域为()1,-+∞，()1e 1xf x x '=-+.函数()1e 1x f x x '=-+在()1,-+∞上单调递增，且()00f '=，因此当()1,0x ∈-时，()0f x '<；当()0,x ∈+∞时，()0f x '>.所以，()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,+∞上单调递增.25 解析 由题意，设函数()()f x g x x =，则''2()()()xf x f x g x x -=，因为当0x >时，'()()0xf x f x -<，故当0x >时，'()0g x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减；又因为函数()()f x x ∈R 是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞上单调递增，且有(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >. 综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-U ，故选A ． 评注 本题用导数来研究函数的性质，注意构造函数()g x ，然后用其对称性和奇偶性对单调性的影响，必要时可以用图像来辅助说明. 26解析：求导得，()'e2mxf x m x m =+-()e 12mx m x =-+.若0m …，则当(),0x ∈-∞时，e 10mx-„，()'0f x <；当()0,x ∈+∞时，e10mx-…，()'0f x >.若0m <，则当(),0x ∈-∞时，e 10mx ->>，()'0f x <； 当()0,x ∈+∞时，e 10mx -<<，()'0f x >. 所以()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增.27.分析 （1）利用所给的点及切线方程列出方程组求解字母的取值；（2）构造函数，利用导数求解函数的最大值，求解时需要注意分类讨论.解：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4. 而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )， 故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4. 从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋4x ＋2，g (x )＝2e x (x ＋1)． 设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2， 则F ′(x )＝2k e x (x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(k e x －1)． 由题设可得F (0)≥0，即k ≥1. 令F ′(x )＝0得x 1＝－ln k ，x 2＝－2.①若1≤k ＜e 2，则－2＜x 1≤0.从而当x ∈(－2，x 1)时，F ′(x )＜0；当x ∈(x 1，＋∞)时，F ′(x )＞0.即F (x )在(－2，x 1)单调递减，在(x 1，＋∞)单调递增．故F (x )在[－2，＋∞)的最小值为F (x 1)．而F (x 1)＝2x 1＋2－21x －4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0. 故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立． ②若k ＝e 2，则F ′(x )＝2e 2(x ＋2)(e x －e －2)．从而当x ＞－2时，F ′(x )＞0，即F (x )在(－2，＋∞)单调递增． 而F (－2)＝0，故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立． ③若k ＞e 2，则F (－2)＝－2k e －2＋2＝－2e －2(k －e 2)＜0. 从而当x ≥－2时，f (x )≤kg (x )不可能恒成立． 综上，k 的取值范围是[1，e 2]．28解析：先根据极值点确定出m 的值，然后运用导数求出函数的单调区间，要注意定义域； （1）解：()1e xf x x m'=-+.由0x =是()f x 的极值点得()00f '=，所以1m =. 于是()()e ln 1x f x x =-+，定义域为()1,-+∞，()1e 1xf x x '=-+.函数()1e 1x f x x '=-+在()1,-+∞上单调递增，且()00f '=，因此当()1,0x ∈-时，()0f x '<；当()0,x ∈+∞时，()0f x '>.所以，()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,+∞上单调递增.29解析 由题意，设函数()()f x g x x=，则''2()()()xf x f x g x x -=，因为当0x >时，'()()0xf x f x -<，故当0x >时，'()0g x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减；又因为函数()()f x x ∈R 是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞上单调递增，且有(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >. 综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-U ，故选A ． 评注 本题用导数来研究函数的性质，注意构造函数()g x ，然后用其对称性和奇偶性对单调性的影响，必要时可以用图像来辅助说明.【答案】：B31【解析1】：由已知0a ≠，2()36f x ax x '=-，令()0f x '=，得0x =或2x a =，当0a >时，()22,0,()0;0,,()0;,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞>∈<∈+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；且(0)10f =>，()f x 有小于零的零点，不符合题意。