2023年包头市中考数学试卷及答案

2023年内蒙古包头市中考数学真题试卷

注意事项：

1．本试卷共6页,满分120分．考试时间为120分钟．

2．答题前,考生务必先将自己的考生号、姓名、座位号等信息填写在试卷和答题卡的指定位置．请认真核对条形码上的相关信息后,将条形码粘贴在答题卡的指定位置．

3．答题时,将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

4．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本大题共有10小题,每小题3分,共30分．每小题只有一个正确选项,请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．

1. 下列各式计算结果为5a 的是（ ）

A. ()23a

B. 102a a ÷

C. 4a a ⋅

D. 15(1)a -- 2. 关于x 的一元一次不等式1x m -≤的解集在数轴上的表示如图所示,则m 的值为（ ）

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

3. 定义新运算“⊗”,规定：2||a b a b ⊗=-,则(2)(1)-⊗-的运算结果为（ ）

A. 5-

B. 3-

C. 5

D. 3 4. 如图,直线a b ,直线l 与直线,a b 分别相交于点,A B ,点C 在直线b 上,且CA CB =．若132∠=︒,则2∠的度数为（ ）

A. 32︒

B. 58︒

C. 74︒

D. 75︒

5. 几个大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示,图中小正方形中数字表示对应位置小正方体的个数,该几何体的主视图是（ ）

A. B. C. D. 6. 从1,2,3这三个数中随机抽取两个不同的数,分别记作m 和n ．若点A 的坐标记作(),m n ,则点A 在双曲线

6y x

=上的概率是（ ） A. 13 B. 12 C. 23 D. 56

7. 如图是源于我国汉代数学家赵爽的弦图,它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为α,则cos α的值为（ ）

A. 34

B. 43

C. 35

D. 45

8. 在平面直角坐标系中,将正比例函数2y x =-的图象向右平移3个单位长度得到一次函数

(0)y kx b k =+≠的图象,则该一次函数的解析式为（ ）

A. 23y x =-+

B. 26y x =-+

C. 23y x =--

D. 26y x =-- 9. 如图,O 是锐角三角形ABC 的外接圆,,,OD AB OE BC OF AC ⊥⊥⊥,垂足分别为,,D E F ,连接,,DE EF FD ．若 6.5,DE DF ABC +=△的周长为21,则EF 的长为（ ）

A. 8

B. 4

C. 3.5

D. 3

10. 如图,在平面直角坐标系中,OAB 三个顶点的坐标分别为(0,0),O A B OA B '△与

OAB 关于直线OB 对称,反比例函数(0,0)k y k x x

=>>的图象与A B '交于点C ．若A C BC '=,则k 的值为（ ）

A.

B.

C.

D. 二、填空题：本大题共有6小题,每小题3分,共18分．请将答案填在答题卡上对应的横线上． 11. 若,a b 为两个连续整数,

且a b <<,则a b +=________．

12. 若12,x x 是一元二次方程228=0x x --的两个实数根,则

1212x x x x +=________． 13. 如图,正方形ABCD 的边长为2,对角线,AC BD 相交于点O ,以点B 为圆心,对角线BD 的长为半径画弧,交BC 的延长线于点E ,则图中阴影部分的面积为________．

14. 已知二次函数223(0)y ax ax a =-++>,若点(,3)P m 在该函数的图象上,且0m ≠,则m 的值为________．

15. 如图,在Rt ABC △中,90,3,1ACB AC BC ∠=︒==,将ABC 绕点A 逆时针方向旋转90︒,得到AB C ''△．连接BB ',交AC 于点D ,则AD DC

的值为________．

16. 如图,,,AC AD CE 是正五边形ABCDE 的对角线,AD 与CE 相交于点F ．下列结论：

①CF 平分ACD ∠; ①2AF DF =; ①四边形ABCF 是菱形; ①2AB AD EF =⋅

其中正确的结论是________．（填写所有正确结论的序号）

三、解答题：本大题共有7小题,共72分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置．

17. （1）先化简,再求值：2(2)(2)(2)a b a b a b +++-,其中11,4a b =-=

． （2）解方程：33511x x x

=+--． 18. 在推进碳达峰、碳中和进程中,我国新能源汽车产销两旺,连续8年保持全球第一．图为我国某自主品牌车企2022年下半年新能源汽车的月销量统计图．

请根据所给信息,解答下列问题：

（1）通过计算判断该车企2022年下半年的月均销量是否超过20万辆;

（2）通过分析数据说明该车企2022年下半年月销量的特点（写出一条即可）,并提出一条增加月销量的合理化建议．

19. 为了增强学生体质、锤炼学生意志,某校组织一次定向越野拉练活动．如图,A 点为出发点,途中设置两个

检查点,分别为B 点和C 点,行进路线为A B C A →→→．B 点在A 点的南偏东25︒方向处,C 点在A 点的北偏东80︒方向,行进路线AB 和BC 所在直线的夹角ABC ∠为45︒．

（1）求行进路线BC 和CA 所在直线的夹角BCA ∠的度数;

（2）求检查点B 和C 之间的距离（结果保留根号）．

20. 随着科技的发展,扫地机器人已广泛应用于生活中,某公司推出一款新型扫地机器人,经统计该产品2022年每个月的销售情况发现,每台的销售价格随销售月份的变化而变化、设该产品2022年第x （x 为整数）个月每台的销售价格为y （单位：元）,y 与x 的函数关系如图所示（图中ABC 为一折线）．

（1）当110x ≤≤时,求每台的销售价格y 与x 之间的函数关系式;

（2）设该产品2022年第x 个月的销售数量为m （单位：万台）,m 与x 的关系可以用1110m x =

+来描述,求哪个月的销售收入最多,最多为多少万元？（销售收入=每台的销售价格⨯销售数量）

21. 如图,AB 是O 的直径,AC 是弦,D 是AC 上一点,P 是AB 延长线上一点,连接,,AD DC CP ．

（1）求证：90ADC BAC ∠-∠=︒;（请用两种证法解答）

（2）若ACP ADC ∠=∠,O 的半径为3,4CP =,求AP 的长．

22. 如图,在菱形ABCD 中,对角线,AC BD 相交于点O ,点,P Q 分别是边BC ,线段OD 上的点,连接,,AP QP AP 与OB 相交于点E ．

（1）如图1,连接QA ．当QA QP =时,试判断点Q 是否在线段PC 的垂直平分线上,并说明理由; （2）如图2,若90APB ∠=︒,且BAP ADB ∠=∠,

①求证：2AE EP =;

①当OQ OE =时,设EP a ,求PQ 的长（用含a 的代数式表示）．

23. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线231y x x =-++交y 轴于点A ,直线123

y x =-

+交抛物线于,B C 两点（点B 在点C 的左侧）,交y 轴于点D ,交x 轴于点E ．

（1）求点,,D E C 的坐标;

（2）F 是线段OE 上一点()OF EF <,连接,,AF DF CF ,且2221AF EF +=．

①求证：DFC △是直角三角形;

①DFC ∠的平分线FK 交线段DC 于点,K P 是直线BC 上方抛物线上一动点,当3tan 1PFK ∠=时,求点P 的坐标．

2023年内蒙古包头市中考数学真题试卷答案

一、选择题．

1. C

2. B

3. D

4. C

5. D

6. A

7. D

8. B

9. B

解：①O 是锐角三角形ABC 的外接圆,,,OD AB OE BC OF AC ⊥⊥⊥.

①点D ,E ,F 分别是AB BC AC 、、的中点. ①111,,222

DF BC DE AC EF AB ===. ① 6.5,DE DF ABC +=△的周长为21.

①21CB CA AB ++=即22221DF DE EF ++=.

①4EF =.

故选：B ．

10. A

解：如图所示,过点B 作BD x ⊥轴.

①(0,0),O A B .

①1,BD OD ==

①AD OD ==,tan 3

BD BOA OD ∠==

①2OB AB ===,30BOA BAO ∠∠==︒.

①60OBD ABD ∠∠==︒,120OBA ∠=︒.

①OA B '与OAB 关于直线OB 对称.

①120OBA '∠=︒.

①180OBA OBD '∠+∠=︒.

①A ',B ,D 三点共线.

①2A B AB '==.

①A C BC '=.

①1BC =.

①2CD =.

①)

2C .

将其代入(0,0)k y k x x

=>>得：k = 故选：A ．

二、填空题．

11. 3 12. 14-

13. π

14. 2

15. 5

解：过点D 作DF AB ⊥于点F .

①90ACB ∠=︒,3AC =,1BC =.

①

AB ==

①将ABC 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到AB C ''△.

①==AB AB '90BAB '∠=︒.

①ABB '是等腰直角三角形.

①45ABB '∠=︒.

又①DF AB ⊥.

①45FDB ∠=︒.

①DFB △是等腰直角三角形.

①DF BF =. ①1122

ADB S BC AD DF AB =⨯⨯=⨯⨯,

即=AD . ① 90C AFD ∠=∠=︒,CAB FAD ∠=∠.

①AFD ACB . ①DF AF BC AC

=,即3AF DF =. 又

①=AF DF .

①=DF

①5==2

AD ,51=3=22CD -. ①5

2==51

2

AD CD . 故答案为：5．

16. ①①①

三、解答题．

17. （1）224a ab +,1;（2）4x =

18. （1）该车企2022年下半年的月均销量超过20万辆

（2）2022年下半年月销量的特点：月销量呈递增趋势;12月的销量最大;有三个月的销量超过了20万辆;中位数为20.5万辆;月均销量超过20万辆等

建议：充分了解客户需求,及时处理客户反馈,提供优质的售后服务

19. （1）行进路线BC 和CA 所在直线的夹角为60︒

（2）检查点B 和C

之间的距离为(3+

20. （1）1503000y x =-+

（2）第5个月的销售收入最多,最多为3375万元 21.（1）证明见解析

（2）8

【小问1详解】

证法一：如图,连接BD .

①BC BC =.

①BDC BAC ∠=∠.

①AB 是O 的直径.

①90ADB ∠=︒.

①ADC ADB BDC ∠=∠+∠

①BAC BDC ∠=∠.

①90ADC BAC ∠=︒+∠.

①90ADC BAC ∠-∠=︒.

证法二：如图,连接BC .

①四边形ABCD 是O 的内接四边形. ①180ADC ABC ∠+∠=︒.

①180ABC ADC ∠=︒-∠.

①AB 是O 的直径.

①90ACB ∠=︒.

①90BAC ABC ∠+∠=︒.

①18090BAC ADC ∠+︒-∠=︒.

①90ADC BAC ∠-∠=︒.

【小问2详解】

解：如图,连接OC .

①ACP ADC ∠=∠,90ADC BAC ∠-∠=︒. ①90ACP BAC ∠-∠=︒.

①OA OC =.

①BAC ACO ∠=∠.

①90ACP ACO ∠-∠=︒.

①90OCP ∠=︒．

①O 的半径为3.

①3AO OC ==.

在Rt OCP 中,222OP OC CP =+.

①4CP =.

①2223425OP =+=.

①5OP =.

①8AP AO OP =+=.

22. （1）点Q 在线段PC 的垂直平分线上

（2）①证明见解析,①=PQ

【小问1详解】

解：如图,点Q 在线段PC 的垂直平分线上．

理由如下：连接QC ．

①四边形ABCD 是菱形,对角线,AC BD 相交于点O . ,BD AC OA OC ⊥=∴

QA QC ∴=．

QA QP =.

QC QP ∴=.

①点Q 在线段PC 的垂直平分线上．

【小问2详解】

①证明：如图,①四边形ABCD 是菱形. AB BC CD DA ∴===.

ABD ADB ∴∠=∠,CBD CDB ∠=∠. BD AC ⊥.

ADO CDO ∴∠=∠.

ABD CBD ADO ∴∠=∠=∠．

BAP ADB ∠=∠.

BAP ABD CBD ∴∠=∠=∠．

AE BE ∴=.

90APB ∠=︒.

90BAP ABP ∴∠+∠=︒.

30BAP ABD CBD ∴∠=∠=∠=︒． 在Rt BPE △中,90,30EPB PBE ∠=︒∠=︒. 12

EP BE ∴=． AE BE =．

12

EP AE ∴=.

2AE EP ∴=;

①如图,连接QC ．

,60AB BC ABC =∠=︒. ①ABC 是等边三角形． ①90APB ∠=︒.

①BP CP EP a ==，.

2,3AE a AP a ∴==

在Rt APB 中,90APB ∠=︒.

tan AP ABP BP ∠==.

BP ∴=．

CP BP ∴==

AO CO =,,AOE COQ OE OQ ∠=∠=.

AOE COQ ∴△≌△.

2,AE CQ a EAO QCO ∴==∠=∠． AE CQ ∴∥.

90APB ∠=︒.

90QCP ∴∠=︒．

在Rt PCQ △中,90QCP ∠=︒. 由勾股定理得222PQ PC CQ =+.

2222)(2)7PQ a a ∴=+=

PQ ∴=．

23. （1）(3,1)C ,(0,2)D ,(6,0)E

（2）①证明见解析,①点P 的坐标为(1,3)或6)

【小问1详解】

解：①直线123

y x =-+交y 轴于点D ,交x 轴于点E . 当0x =时,2y =

()0,2D ∴.

当0y =时,6x =

()6,0E ∴．

①直线123

y x =-+交抛物线于,B C 两点. 213123

x x x ∴-++=-+. 231030x x ∴-+=,解得121,33

x x ==． ①点B 在点C 的左侧.

①点C 的横坐标为3.

当3x =时,1y =．

)1(3,C ∴;

【小问2详解】

如图.

①抛物线231y x x =-++交y 轴于点A . 当0x =时,1y =．

(0,1)A ∴

1OA ∴=

在Rt AOF 中,90AOF ∠=︒. 由勾股定理得222AF OA OF +=. 设(,0)F m

OF m ∴=

221AF m ∴=+.

(6,0)E ．

6OE ∴=

6EF OE OF m ∴=-=-. 2221AF EF +=

221(6)21m m ∴++-= 122,4m m ∴==.

OF EF <

2m ∴=

2OF ∴=

(2,0)F ∴．

(0,2)D

2OD ∴=.

OD OF ∴=．

DOF ∴是等腰直角三角形. 45OFD ∴∠=︒．

过点C 作CG x ⊥轴,垂足为G ． (3,1)C

1,3CG OG ∴==.

1GF OG OF =-=

CG GF ∴=

CGF ∴是等腰直角三角形. 45GFC ∴∠=︒

90DFC ∴∠=︒

DFC ∴是直角三角形． ①FK 平分,90DFC DFC ∠∠=︒ 45DFK CFK ∴∠=∠=︒

90OFK OFD DFK ∴∠=∠+∠=︒ FK y ∴∥轴．

3tan 1PFK ∠=.

1tan 3

PFK ∴∠=． 设点P 的坐标为()2,31t t t -++,根据题意得133

t <<． （i ）当点P 在直线KF 的左侧抛物线上时,111tan ,233

PFK t ∠=<<． 过点1P 作1

PH x ⊥轴,垂足为H ． 111

,PH KF HPF PFK ∴∠=∠∥. 11tan 3

HPF ∴∠=． HF OF OH =-

2HF t ∴=-.

在1

Rt PHF △中.

111tan 3HF HPF PH ∠== 1

3PH HF ∴=. 21

31PH t t =-++. 2313(2)t t t ∴-++=- 2650t t ∴-+= 121,5t t ∴==（舍去）． 当1t =时,2313t t -++= 1(1,3)P ∴

（ii ）当点P 在直线KF 的右侧抛物线上时,21tan ,233P FK t ∠=<<． 过点2P 作2P M x ⊥轴,垂足为M ． 2P M KF ∴∥ 22MP F P FK ∴∠=∠. 21tan 3MP F ∴∠= MF OM OF =- 2MF t ∴=- 在2Rt P MF △中. 221tan 3MF MP F P M ∠== 23P M MF ∴=. 2231P M t t =-++. 2313(2)t t t ∴-++=- 27t ∴=

34t t ∴==．

当t=时,2316

t t

-++=

26)

P

∴

①点P的坐标为(1,3)或6)．