初三培优专题18 圆的对称性

专题18 圆的对称性

阅读与思考

圆是一个对称图形．

首先，圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条；同时，圆又是一个中心对称图形，圆心就是对称中心，圆绕其圆心旋转任意角度，都能够与本身重合，这是圆特有的旋转不变性．

由圆的对称性引出了许多重要的定理：垂径定理及推论；在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、弦心距、弧之间的关系定理及推论．这些性质在计算和证明线段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面有广泛的应有．一般方法是通过作辅助线构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形相结合使用． 熟悉以下基本图形和以上基本结论．

我国战国时期科学家墨翟在《墨经》中写道：“圆，一中间长也．”古代的美索不达米亚人最先开始制造圆轮．日、月、果实、圆木、车轮，人类认识圆、利用圆，圆的图形在人类文明的发展史上打下了深深的烙印．

例题与求解

【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB ，AC 的长分别为3和2，则∠BAC 度数为_______． （黑龙江省中考试题）

解题思路：作出辅助线，解直角三角形，注AB 与AC 有不同位置关系．

由于对称性是圆的基本特性，因此，在解决圆的问题时，若把对称性充分体现出来，有利于圆的问题的解决．

【例2】如图，在三个等圆上各自有一条劣弧»

AB ，»D C ，»EF ．如果»AB +»D C =»EF ，那么AB +CD 与EF 的大小关系是（

）

A ．A

B +CD =EF

B ．AB +CD >EF

C ．AB +C

D

（江苏省竞赛试题）

A

B

C

D

E

F

解题思路：将弧与弦的关系及三角形的性质结合起来思考．

【例3】⑴ 如图1，已知多边形ABDEC 是由边长为2的等边三角形ABC 和正方形BDEC 组成， ⊙O 过A ，D ，E 三点，求⊙O 的半径．

⑵ 如图2，若多边形ABDEC 是由等腰△ABC 和矩形BDEC 组成，AB =AC =BD =2，⊙O 过A ，D ，E 三点，问⊙O 的半径是否改变？

（《时代学习报》数学文化节试题）

解题思路：对于⑴，给出不同解法；对于⑵，⊙的半径不改变，解法类似⑴．

等边三角形、正方形、圆是平面几何图形中最完美的图形，本例表明这三个完美的图形能合成一个从形式到结果依然完美的图形．

三个完美图形的不同组合可生成新的问题，同学们可参照刻意练习．

【例4】如图，已知圆内接△ABC 中，AB >AC ，D 为¼BAC 的中点，DE ⊥AB 于E ．求证：BD 2-AD 2=AB g AC ．

（天津市竞赛试题） 解题思路：从化简待证式入手，将非常规几何问题的证明转化为常规几何题的证明．

圆是最简单的封闭曲线，但解决圆的问题还要用到直线形的有关知识和方法．同样，圆也为解决直线形

A A

B

C O D

E

D E

C

B O 图1

图2

A B

C

D E

问题提供了新的途径和方法，善于促成同圆或等圆中的弦、弦心距、弧、圆周角、圆心角之间相等或不等关系的互相转化，是解圆相关问题的重要技巧．

【例5】在△ABC 中，M 是AB 上一点，且AM 2+BM 2+CM 2=2AM +2BM +2CM －3．若P 是线段AC 上的一个动点，⊙O 是过P ，M ，C 三点的圆，过P 作PD ∥AB 交⊙O 于点D ． ⑴ 求证：M 是AB 的中点；

⑵ 求PD 的长． （江苏省竞赛试题）

解题思路：对于⑴，运用配方法求出AM ，BM ，CM 的长，由线段长确定直线位置关系；对于⑵，促成圆周角与弧、弦之间的转化．

【例6】已知AD 是⊙O 的直径，AB ，AC 是弦，且AB =AC ．

⑴ 如图1，求证：直径AD 平分∠BAC ；

⑵ 如图2，若弦BC 经过半径OA 的中点E ，F 是»CD

的中点，G 是»FB 的中点，⊙O 的半径为1，求弦FG 的长；

⑶ 如图3，在⑵中若弦BC 经过半径OA 的中点E ，P 为劣弧上一动点，连结P A ，PB ，PD ，PF ，求证：

PA PF

PB PD

++的定值．

（武汉市调考试题）

解题思路：对于⑶，先证明∠BP A =∠DPF =300，∠BPD =600，这是解题的基础，由此可导出下列解题突破口的不同思路：①由∠BP A ==∠DPF =300，构建直角三角形；②构造P A +PF ，PB +PD 相关线段；③取

»BD

的中点M ，连结PM ，联想常规命题；等等． 本例实质是借用了下列问题：

⑴如图1，P A +PB =3PH ； ⑵如图2，P A +PB =PH ；

⑶进一步，如图3，若∠APB =α，PH 平分∠APB ，则P A +PB =2PHc o s

2

α

为定A

P C

D

B M

O

A

B

C

O 图1

D

D

A

O

E G

F

C

B B

A C O E P F

图2

图3

值．

能力训练

A 级

1．圆的半径为5cm ，其内接梯形的两底分别为6cm 和8cm ，则梯形的面积为_______cm 2．

2．如图，残破的轮片上，弓形的弦AB 长是40cm ，高CD 是5cm ，原轮片的直径是________cm ．

3．如图，已知CD 为半圆的直径，AB ⊥CD 于B ．设∠AOB =α，则

BA BD g ta n 2

=_________． （黑龙江省中考试题） 4．如图，在Rt △ABC 中，∠C =900，AC =2，BC =1，若BC =1，若以C 为圆心，CB 的长为半径的圆交AB 于P ，则AP =___________. （江苏省宿迁市中考试题）

5．如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿OA —»

AB —BO 的路径运动一周.设OP 长为s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画s 与t 之间的关系是（ ）

（太原市中考试题）

6．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点，AB =10cm ，CD =6cm ，那

么AC 的长为（ ） A ．0.5c m B ．1c m C ．1.5c m D ．2c m

第3题图

第2题图

C A

B

C

D

D

O B

A

图1

A

600

300

300

P

H

B

P

A

B

H

600

图2 P

A

B

H 图3

A

P

B

C

（第4题图）

t

s

O

A

t s O

B

t s O

C

t

s

O D