第6章 正弦稳态电路分析 (2)

R 电流线圈
单相功率表原理：
电流线圈中通电流i1=i；电压线圈串一大电阻R(R>>ωL)
后，加上电压u，则电压线圈中的电流近似为i2≈u/R2。
设 i1 = i = 2I sin(ωt −φ u ),
i2
=
u R
=
2
U R
sin(ωt
−
φ
i
)
则 M = K U I cosφ = K'UI cosφ = K' P R
| Z |2 −R2
=1 314
502 − 302 = 0.127(H)
第6章 正弦稳态电路分析
三、无功功率 (reactive power) Q p(t) = UI[cos φ − cos(2ωt − φ)] = UI cos φ(1− cos 2ωt) −UI sinφ sin 2ωt UIcosϕ(1-cos2ω t)表示网络中电阻所消耗的功率； UIsinϕ sin2ω t表示电抗与电源的能量交换。
电感、电容的无功补偿作用
iR
L
+
+ uL - +
u -
C
uC -
O
pL pC
i uC
uL ω t
当L发出功率时，C刚好吸收功率，则与外电路交换功率 为pL+pC。因此，L、C的无功具有互相补偿的作用。
四、视在功率S(表观功率)
def
S = UI
单位 : VA (伏安)
反映电气设备的容量。
第6章 正弦稳态电路分析
= 8.3(Var)
S = UI S = 152 + (5 / 3)2 × 5 = 75.5(VA) cos φ = 0.993
第6章 正弦稳态电路分析
例：如图电路中，已知 is = 5 2 sin 2（t A），求电源提供的P、 Q，并计算电源的视在功率S和功率因素cosϕ 。
2Ω
解法二： 采用阻抗Z计算；
P2
=
I
2 2
R2
=
22
×3
= 12（W）
或：
P2
=
US
I2
cos
φ 2
=10
×
2
×
cos
53.1
= 12（W）
有功守恒；同理，无功也守恒。
第6章 正弦稳态电路分析
例：如图 电路中，已知 R1=R2=R3， I1=I2=I3，功率表的读数P=
1500W，电压表的读数U=150V，求 解：令 I=I1=I2=I3， R=R1=R2=R3
第6章 正弦稳态电路分析
瞬时功率实用意义不大，一般讨论所说的功率指一个周期 平均值。
二、有功功率P (平均功率) (average power) ：
∫ ∫ P = 1 T pdt = 1
T0
T
T
[UI cosφ −UI cos(2ωt −φ )]dt
0
= UI cosφ
P 的单位：W（瓦）
ϕ =ψu-ψi：功率因数角。对无源网络，为其等效阻抗的阻抗 角。
1，纯电阻 cosϕ
0，纯电抗
一般地，有 0≤cosϕ≤1
X>0, ϕ >0，感性， 滞后功率因数 X<0, ϕ <0，容性， 超前功率因数
例： cosϕ =0.5 (滞后)， 则ϕ =60o (电流滞后电压60o)。
第6章 正弦稳态电路分析
交流电路功率的测量：
i
﹡
+ ﹡W
u
Z
i1
_
i2 电压线圈
ωCU
=
U
P cos φ1
sin φ1
−U
P cos φ2
sin φ2
=
P U
(tgφ1
−
tgφ2
)
补偿容 量不同
欠
C
=
P ωU
2
(tgφ1
−
tgφ2 )
全——不要求(电容设备投资增加,经济效果不明显)
过——使功率因数又由高变低(性质不同)
·I2
+ uS(t)_
R1 5Ω R2 3Ω
·+
L 1H C 0.05F
US_
·I1 5Ω j5Ω
3Ω -j4Ω
解：Us = 10∠0°V I1 = 2∠ − 45（° A） I2 = 2∠53.1（° A）
P1 = I12R1 =（ 2）2 × 5 = 10（W） 或： P1 = USI1 cos φ1=10 × 2 × cos 45 = 10(W )
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例：三表法测线圈参数。
I·
﹡
+
A ﹡W
U· V
_
R Z
L
已 知 f=50Hz ， 且 测 得 U=50V，I=1A，P=30W。
解： P = I 2R
R= P I2
= 30 = 30(Ω) 12
|Z| = U / I = 50(Ω) |Z| = R2 + (ωL)2
L= 1 ω
= UI[cos φ − cos(2ωt − φ)]
p
恒定分量：UIcosϕ
正弦分量：- UIcos(2ω t−ϕ ) p有时为正，有时为负。 p>0，电路吸收功率； O
u UIcosϕ i
ωt
p<0，电路发出功率。
- UIcos(2ω t−ϕ )
第6章 正弦稳态电路分析
瞬时功率 表达式： p(t ) = UI[cosφ− cos(2ωt −φ)]
S
P=UIcosϕ
负载
cosϕ =1, P=S=75kW
75kVA
cosϕ =0.7, P=0.7S=52.5kW
一般用户： 异步电机 日光灯
空载cosϕ =0.2~0.3 满载cosϕ =0.7~0.85
cosϕ =0.45~0.6
功率因数低带来的问题：
(1) 设备不能充分利用，电流到了额定值，但功率容量还有；
第6章 正弦稳态电路分析
指针偏转角度与P成正比，由偏转角(校准后)即可测 量平均功率P 。
使用功率表应注意： (1) 同名端：在负载u, i关联方向下，电流i从电流线圈“*”号
端流入，电压u与电流i端关联时，此时P表示负载吸收的 功率。 (2) 量程：P的量程= U的量程× I的量程×cosϕ
测量时，P、U、I均不能超量程。
代入得：Z = R + Z23 = 3R
正弦稳态电路只有电阻消耗功率。
· · 120° I1
P = 3I 2 R = 1500(W )
I = 10Α
U23
U = 3IR = 150(V )
R = 5Ω
XL＝ XC=8.66(Ω)
·
I2
第6章 正弦稳态电路分析
五、复功率
为了用相量 U和I来计算功率，引入“复 功率”
例：电路如图，已知 us (t) = 10 2 sin 5（t V） ，求电阻R1，R2
消耗的功率，并分析功率关系。
·I2
+ uS(t)_
R1 5Ω R2 3Ω
·+
L 1H C 0.05F
US_
·I1 5Ω j5Ω
3Ω -j4Ω
解：U s = 10∠0°V X L = ωL = 5×1＝5（Ω）
XC = 1/ (ωC) =1/ (5× 0.05) = 4（Ω）
第6章 正弦稳态电路分析
§6-7 正弦稳态电路的功率
无源一端口网络吸收的功率( u, i 关联)
i +
u(t ) = 2U sinωt
u _
无 源
i(t ) = 2I sin(ωt −φ )
φ 为u和i的相位差φ = Ψu −Ψi
一、瞬时功率 (instantaneous power)
p(t) = ui = 2U sin ωt ⋅ 2I sin(ωt − φ)
R、L、C元件的瞬时功率 i
+
R元件(ϕ =0)，pR =UI(1-cos2ωt)
u -
R pR对总大于零，电阻消耗能量。
i
+
L元件(ϕ = 90°)，pL =－UIsin2ωt
u -
L pL时正时负，和外界交换能量。
i
+
C元件(ϕ =－ 90°)，pC =UIsin2ωt
u -
C pC时正时负，和外界交换能量。
-j1Ω
= 3 + j 1 (Ω)
3
Z
•
U
=
ZIS
=
(3 +
j 1) × 5∠0 3
=
(15 +
j 5)(V ) 3
P = UIS cos φ =
152 + (5 / 3)2 × 5×
3 32 + (1/ 3)2
= 75(W )
Q = UIS sin φ =
152 + (5 / 3)2 × 5×
1/ 3 32 + (1/ 3)2
u
R 对电阻，u, i 同相，故QR=0 。
-
i
+
QL =UIsinϕ =UIsin90° =UI
u
L 对电感， i 滞后u 90°，QL>0，故电感吸收无功
-
功率。
i
+
QC =UIsinϕ =UIsin (-90°)= -UI
u
C 对电容，i 超前 u 90°，QC<0，故电容发出无功
-
功率。
第6章 正弦稳态电路分析
第6章 正弦稳态电路分析
例：如图电路中，已知 is = 5 2 sin 2（t A），求电源提供的P、 Q，并计算电源的视在功率S和功率因素cosϕ 。