第三节单位冲激函数 (2)
单位冲激函数.
同理， 将δ’(t)换成δ’(t-t0)， 重复上述推导过程
f (t ) ' (t t0 ) f (t0 ) ' (t t0 ) f ' (t0 ) (t t0 )
f (t ) '(t t0 )dt f ' (t0 )
单位冲激偶 的性质之二
性质4 设常数a≠0，按照广义函数尺度变换和微分运算的定义，可 将δ(n)(at)表示为
根据广义函数相等的定义， 可得到
(n)
1 1 (n) (at) n (t ) a a 1 1 ' (at) ' (t ) a a
当n=0和1时，分别有
1 (at) (t ) a
性质5 奇偶性
在尺度变换式中，若取 a= -1， 则:
(n) n
(n)
1 1 (n) (at) n (t ) a a
f (t ) (t )dt f (0) f (t ) (t t0 )dt f (t0 )
例 试化简下列各信号的表达式。
f (t ) (t ) f (0) (t ) f (t ) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 )
思考？
试证明 1 (at ) = (t ) |a|
(n) (n)
例 1.4 – 2 计算下列各式：
解：
(t ) δ( t) (的偶阶导数是 1) (t )t 的偶函数， 表明：单位冲激函数 而其奇阶导数是 显然， 当n为偶数时， 有 t 的奇函数。
(n)
(t ) (t )
(n) (n)
n 0,2,4, n 1,3,5,
单位冲激函数
单位冲激函数单位冲激函数，也被称为狄拉克δ函数（Dirac delta function），是一种特殊的数学函数，其特性是在零点处取无穷大的值，而在其他点上则等于零。
单位冲激函数在信号处理、概率论、物理学等领域都有广泛的应用。
一、定义单位冲激函数可以定义为：δ(t) = 0, t ≠ 0δ(t) = ∞, t = 0其中，t是时间变量。
这个函数的图形是一个垂直线段，其长度等于1，起点在原点上。
这个函数在除了原点之外的所有点上的值都是零，而在原点上的值则无穷大。
二、性质1.积分的性质：对于任何函数f(t)，如果在其定义域内某点t=a上有一个单位冲激函数，那么该函数在a点的积分等于f(a)。
2.期望的性质：如果一个随机变量的概率分布函数在原点处有一个单位冲激函数，那么这个随机变量的期望值就等于0。
3.微分的性质：单位冲激函数的导数等于零。
三、应用1.信号处理：在信号处理中，单位冲激函数被用来表示一个瞬时的、幅值无穷大的信号，这个信号在时间上无限接近于零时刻。
这种信号通常被称为“脉冲信号”。
2.概率论：在概率论中，单位冲激函数被用来描述随机事件在某一时刻发生的概率。
例如，在泊松分布中，单位冲激函数被用来描述在每个固定时间间隔内事件发生的概率。
3.物理学：在物理学中，单位冲激函数被用来描述某个物理量在某个时刻突然发生变化的情况。
例如，在连续介质力学中，单位冲激函数被用来描述液体在某个时刻突然出现或突然消失的情况。
四、总结单位冲激函数是一种非常重要的数学函数，它具有非常独特的性质和应用。
它是一种描述瞬时事件或突然变化的工具，被广泛应用于信号处理、概率论、物理学等领域。
虽然它的定义和性质看起来非常奇特，但是它在很多实际应用中都有着非常重要的意义。
通过对单位冲激函数的深入研究和学习，我们可以更好地理解和掌握各种领域中的基础知识和技能，提高自身的学术水平和实践能力。
单位冲激函数的性质
证 明 ： ＇ ｒ ， （ ￡ ） （ ￡ ） 出 一 』 ｆ （ ｔ ） （ ） 出 ＋ 』 ， （ ￡ ） （ ￡ ） ｄ ｚ ＋ Ｊ ， （ ￡ ） （ ￡ ） 出 一 － ｒ ｌ ｉ 一 ｍ 。 ｆ （ ￡ ） （ ￡ ）
Ｏ ∞
一
厂 （ ｏ ） Ｉ ８ ０ ） ｄ ｔ ：厂 （ ０ ） ． 同 理可得 Ｉ （ ￡ 一ｔ 。 ） 厂 （ ￡ ） ｄ ｔ ＝ｆ （ ｔ ｏ ） ．
１ 单 位 冲 激 函数 的 性 质
单 位 冲 激 函 数 或 狄 拉 克 （ Ｄ ｉ ｃ ） 函 数 为 （ ￡ ） 一 ｛ 。 ， 王 （ ） 一 １ ． 单 位 冲 激 函 数 （ ￡ ） 是 一 种 广 义
函数 ， 它 的 幅值 为无穷 大 ， 图象 只能用 带箭 头 的射线 表示 ． 但通 常不 标 出其 幅值ｏ 。 ， 而是 只用 括号 标 出其 冲激
证明： ｔ ： ／ ： Ｏ ， （ ￡ ） ＝０ ， ， （ ￡ ） （ ￡ ） 一０ ＝厂 （ ０ ） （ ￡ ） ； ￡ ＝０ ， ８ ０） ≠Ｏ ， 厂 （ ￡ ） （ ） 一厂 （ ０ ） （ ） ，
ｆ ｃ ｚ ｃ ｚ 一 ｛ ； 三 ≠ 。 ＝ ， ｃ 。 ， ｃ ． 同 理 可 得 ， ｃ ｚ ｃ 一 一 ｆ ｃ ｃ ｔ 一 ．
第 １ ４卷
第 １期
太 原 师 范 学 院 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ Ｏ ＵＲ ＮＡＬ ＯＦ ＴＡ Ｉ ＹＵＡＮ Ｎ ＯＲ ＭＡＬ ＵＮＩ ＶＥ Ｒ Ｓ Ｉ Ｔ Ｙ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
Ｖｏ １ ． １ ４ Ｎ ｏ ． １
一
８ （ ｔ ） ｄ ｔ 一 １ ，
单位冲激函数(图)
单位冲激函数（图）上一回说到，单个矩形脉冲的时域波形如下图：图1 单个矩形脉冲信号根据傅里叶变换可求出其频谱函数（1）频谱函数的图像（频域分布曲线）如下图：图2 单个矩形脉冲的频谱函数一、特殊的单个矩形脉冲信号如果我们令单个矩形脉冲信号的脉幅在数值上取（2）则无论脉宽τ怎样变化，函数图象下面的面积恒等于1，即（3）如下图所示：图3 特殊的单个矩形脉冲这个特殊的单个矩形脉冲信号的数学表达式为（4）因而其傅立叶变换由式（1）得（5）这是一种最大幅值为1的抽样函数，其频域曲线如下图图4 特殊的单个矩形脉冲的频谱二、单位冲激函数的定义对图3和式（4）表示的特殊的单个矩形脉冲，如果我们令脉宽τ趋于0，取极限，则单个矩形脉冲变成在t＝0处持续时间无限小、幅度无限大、面积仍为1的特殊信号（或广义函数）。
科学界把这个广义函数叫做单位冲激函数或狄拉克（Dirac）函数。
记为（6）单位冲激函数的图象如下图所示图5 单位冲激函数的图象单位冲激函数是一种广义函数，它的幅值为无穷大，图象只能用带箭头的射线表示。
但通常不标出其幅值∞，而是只用括号标出其冲激强度（S），即面积。
由式（3）和（6）可知其面积（冲激强度）为1，所以称之为“单位”冲激函数。
此外，单位冲激函数的自变量不仅仅限于时间t，可以是任何物理量x。
实际上还常用延迟的单位冲激函数，数学表达式如下：（7）其图象为图6 延迟的单位冲激函数的图象三、单位冲激函数的性质根据单位冲激函数的定义，它具有下列最基本的性质：1、广义积分归一性：（8）2、筛分性质：单位冲激函数与任意函数乘积，等于只筛选出t=t0时刻f（t）的值作为冲激强度。
（9）3、抽样性质：（10）更一般地，有（11）即通过与δ函数（或延时的δ函数）乘积的积分，把任意的连续函数f（t）抽样为t＝t0处的一个函数值。
4、微积分性质：δ函数的累计积分等于单位阶跃函数ε（t）。
（12）反过来单位阶跃函数的微商等于单位冲激函数：（13）其中单位阶跃函数为（14）其图象为图7 单位阶跃函数的图象四、单位冲激函数的频谱由单位冲激函数的定义和抽样性质，其频谱密度函数（傅里叶变换）为：（15）频谱如下图：图8 单位冲激函数的频谱实际上，由式（5）和图5可以看出，当特殊的单个矩形脉冲信号的持续时间τ趋于无穷小时，频谱图5中的零点趋于无穷远处，即（16）则很容易看出图5的频谱曲线就转化成图8的水平线。
单位冲击函数
单位冲击函数单位冲击函数是一种特殊的函数形式，通常表示为δ(t)，其中t表示时间。
这个函数在t=0时取值为1，而其他时间的取值均为0。
简单来说，单位冲击函数在t=0时突然“冲击”，之后又迅速降为零。
这种函数形式在数学和工程学中广泛应用，特别是在信号处理、控制理论和电路分析方面。
单位冲击函数的定义是因为它具有强大的数学特性，并且可以被用作抽象的数学对象，使我们能够推导出一系列的数学定理和性质。
例如，单位冲击函数可以被用来定义导数、积分和微分方程的解等。
此外，在实际工程应用中，单位冲击函数也具有重要的作用。
例如，它可以被用来模拟地震、炮击、风暴等过程中局部的破坏行为，以及电路中瞬态响应的变化过程等。
在控制理论中，单位冲击函数被广泛地应用于系统的动态分析和设计。
单位冲击函数可以用来表示系统对外界的激励，通常被称为“系统的输入”。
当我们对一个控制系统施加一个单位冲击函数作为输入时，系统的输出将会是一个特定的响应函数，这个响应函数被称为“系统的脉冲响应”。
系统的脉冲响应可以被用来分析系统的动态特性，例如系统的稳定性、快速响应能力、阻尼特性等等。
在控制系统设计中，我们通常希望系统的脉冲响应能够达到一定的性能指标，例如快速响应、无超调等。
因此，单位冲击函数可以被用来设计控制系统的结构和参数，从而满足设计要求。
在电路分析中，单位冲击函数也是一个非常有用的工具。
通常，在电路中施加一个脉冲电压或电流，系统的响应往往不是一个简单的线性函数，而是一个带有复杂非线性特性的函数。
在这种情况下，我们可以用单位冲击函数来代替脉冲激励，然后计算电路的脉冲响应。
通过分析电路的脉冲响应，我们可以了解电路的传输特性、滤波特性、幅频特性等等。
最后，需要指出的是，单位冲击函数在现代科学和工程领域中是非常基础和重要的一个概念。
通过研究和应用单位冲击函数，我们可以更加深入地理解自然界和工程系统中的一系列现象和行为，推导出一系列的数学模型和定理，并应用到实际问题中去解决各种困难和挑战。
冲击函数
1、单位阶跃函数单位阶跃函数用符号表示，其定义式如下（1）此函数的图形如图l所示。
图1 单位阶跃函数的图单位阶跃函数的定义式表明：该函数在t<0 时，其值为0；t>0时，其值1;当t＝0时,发生跳变，其值未定(可取为)；当t由负值(或正值)趋近于0时，其值则是确定的，即其中t=0-是t由负值趋近于零的极限，t=0+则是t由正值趋近于零的极限。
函数称为移位的单位阶跃函数。
因为若令，则根据式(1)有图2 移位的单位阶跃函数的图形此函数的图形表示在图2a中（仅向右平移）。
由此可见，函数在时，其值为0；时，其值为时，发生跳变。
与此类似，移位的单位阶跃函数表示在图2(b)中，此函数在时发生跳变。
对任一函数f(t)与单位阶跃函数的乘积f(t)而言，当t<0时，其值为0；当t>0时，等于f(t)。
也就是f(t)只存在于t>0的区间。
类似地, f(t)只存在于t＞的区间。
图3 用单位阶跃函数表示电路的输入示例图3(a)表示的网络在t<0时，A、B两端问的电压为零；在t>0时，接入一个电压为的直流电压源。
此电路用单位阶跃函数等效地表示于图3(b)。
2、单位冲激函数1、单位冲激函数单位冲激函数用符号表示，其定义式如下（2）图5 单位冲激函数的图形这表明单位冲激函数只存在于t=0时，其图形与t轴之间所限定的面积等于1，如图5(a)所示(图中括号内的数值表示函数图形的面积)。
2、移位的单位冲激函数:令其图如5（b）3、冲激函数：——常数A与的乘积。
单位冲击函数与单位阶跃函数之间的关系：图6 冲激函数Aδ（t）的图形。
复变函数与积分变换 第三节单位冲激函数 (2)
t 0
t
t0 t
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数 能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电流强度,
引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记成d-函数:
d
t
0
t0 t0
5
第三节单位冲激函数
第
七 一. 单位冲激函数的概念
章
傅 定义 单位冲激函数 d (t ) 满足：
里
(1) 当 t 0 时，d (t) 0;
变 换
(2)
d(t
t0)dt
1.
称为延迟单位冲激函数 d(t t0)
10
第三节单位冲激函数
第
七 二. 单位冲激函数的性质
章
傅 性质 (1) 抽样性质
里
设函数 f (t) 是定义在 ( , ) 上的连续函数，
叶 变 换
则
d (t) f (t)d t f (0).
d (t t0 ) f (t )d t f (t0 ) .
第
七
章
解 (1) F1()
傅
[ f1(t)]
1 e j td t
里
2π d ( ) 2π d ( ) .
叶
变 换
(2)
将等式
e j td t
2π d ( )
的两边对
求导，有
( jt )e j td t
2πd (),
t e j td t
2π jd (),
即得 F2() [ f2(t)] 2π jd ().
13
第三节单位冲激函数
第 (4) 微分性质
七 章
若对任意紧支集函数f (t)，有
傅
f (t)d tdt f (t)d tdt
《单位冲激函数》课件
单位冲激函数具有可分离性，即它可以表示为其 他函数的乘积或组合。
单位冲激函数与其他函数的区别
与普通函数相比，单位冲激函数具有 无穷大的值和积分为1的特性，这使 得它在某些数学分析和物理问题中具 有特殊的应用价值。
与脉冲函数相比，单位冲激函数更为 理想化，其值在零点处为无穷大，而 在其他点处为零，这使得它在描述某 些理想化的情况时更为精确。
冲激响应与系统特性
在物理学中，单位冲激函数可以用于描述系 统的冲激响应，从而分析系统的特性。
波动方程的求解
在物理学中的波动方程求解中，单位冲激函数可以 用于表示波前的传播和扩散。
其他物理现象的模拟与解 释
单位冲激函数还可以用于模拟和解释其他物 理现象，如电磁波的传播、量子力学的波函 数等。
05
单位冲激函数的扩展与展望
单位冲激函数的扩展
01
定义域扩展
将单位冲激函数的定义域从实数 轴扩展到复数域，以便更好地处 理复数信号和系统。
离散化
02
03
多维扩展
将单位冲激函数离散化，以适应 数字信号处理和计算机模拟的需 求。
将单位冲激函数从一维扩展到多 维，以处理更复杂的多维信号和 系统。
单位冲激函数的研究展望
深入研究单位冲激函数的性质
起源
单位冲激函数的概念最初由英国物理学家和数学家狄拉克提出， 用于描述量子力学中的粒子状态。
发展
随着数学和物理学的发展，单位冲激函数在各个领域得到了广泛的 应用，如信号处理、控制系统、概率论等。
现代应用
在现代科学和技术中，单位冲激函数在处理瞬态信号、解决奇异积 分方程以及量子力学等领域仍然发挥着重要的作用。
单位冲激函数的重要性
详细版单位冲击函数_卷积.ppt
像平面分布
设：物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x)
f(x)
x x1 0 x2
成像
f(0)h(x) f(x 1)h(x-x 1)
f(x 2)h(x-x 2) x
像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以
后的结果. 需用卷积运算来.新.描述
13
§0-3 卷积 convolution
一、概念的引入
5. 卷积的缩放性质 Scaling
若f(x)*h(x) = g(x), 则
f x h x b g x
b .新. b
b
23
§0-3 卷积 convolution
五、包含脉冲函数的卷积
根据 1. d-函数是偶函数, 2. d-函数的筛选性质, 有:
f (x) d (x) f (x )d (x x )dx f (x)
§0-2 单位冲击函数 d -Function
一、定义
定义1. d (x) 0, x 0
d (x)dx 1
-
可描述: 单位质量质点的密度,
定义2. 基于函数系列的极限
若存在函数系列满:足:
lnim fn ( x) 0, x 0
- fn (x)dx 1
则 lim n
fn
( x)
d
( x)
即任意函数与d(x) 卷积后不变
利用卷积的位移不变性可得: f(x)*d(x - x0) = f (x - x0)
任意函数与脉冲函数卷积的结果, 是将该函数平 移到脉冲所在的位置. f(x)与脉冲阵列的卷积可在每个脉冲位置产生f(x) 的函数波形,用于描述各种重复性的结构.
a
a
b
= .新.
a
单位冲激函数
单位冲激函数单位冲激函数是信号与系统课程中的重要概念之一。
它在信号处理和系统分析中起到了至关重要的作用。
本文将从单位冲激函数的定义、性质和应用等方面进行详细介绍，帮助读者更好地理解和运用单位冲激函数。
单位冲激函数是一种理想化的信号，通常用符号δ(t)表示。
在数学上，单位冲激函数可以看作是在t=0时刻瞬间取得无限大值，其它时刻取值为0的函数。
单位冲激函数不是一个可测函数，但在信号处理中却有广泛的应用。
这是因为单位冲激函数具有许多重要的性质。
首先，单位冲激函数是一个偶函数。
也就是说，δ(t) =δ(-t)。
这个性质非常重要，它使得我们可以通过对单位冲激函数的一个半区进行分析，来得到整个函数的性质。
其次，单位冲激函数在任意时刻t≠0处的值都是0。
这个性质使得单位冲激函数在很多应用中能够起到集中能量的作用。
比如，如果我们用单位冲激函数来描述一个物体的冲击力作用，那么冲击力就只在短暂的瞬间时间内起作用，其他时间段力为0。
此外，单位冲激函数还具有面积为1的性质。
即∫δ(t)dt = 1。
这个性质使得单位冲激函数能够在频域中起到“单位”作用，即在频域上的响应等于输入信号在该频点上的幅度。
单位冲激函数在信号处理和系统分析中有着广泛的应用。
首先，单位冲激函数可以用来表示理论上的完美观测和测量。
在实际应用中，我们无法获得真正的冲激信号，但可以通过对实际信号进行采样来近似地获得冲激响应。
其次，单位冲激函数可以用来表示线性时不变系统（LTI系统）的冲激响应。
在信号和系统分析中，我们经常使用冲激响应来描述系统的性质。
当输入一个单位冲激函数时，系统的输出即为系统的冲激响应。
此外，单位冲激函数还可以用来求解微分方程和差分方程。
通过将微分方程转化为积分方程或差分方程，我们可以使用单位冲激函数来求解方程的解。
在频域分析中，单位冲激函数是非常重要的工具。
通过对输入信号和系统的冲激响应进行傅里叶变换，我们可以得到系统的频域响应。
而单位冲激函数则可以用来计算系统的频率特性、幅度频率响应和相位频率响应等。
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d (t ) f (t ) d t
f ( 0) . f (t0 ) .
d (t t0 ) f (t ) d t
证：
f(t)d (t ) f (0)d (t ) 若f (t )在t t0连续，则有： f(t)d (t t0 ) f (t0 )d (t t0 )
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数 能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电流强度,
引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记成d-函数:
0 t 0 d t t 0
有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技 术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的 量那样, 以统一的方式加以解决. 3
i t0
1 1 i0 t i0 t F [sin 0 t ] F e F e 2i 2i
i d ( 0 ) d ( 0 ) .
18
第三节单位冲激函数 第 七 章 傅 里 叶 变 换
2 F 2sin 3t 例7.7 计算 .
1 1 i0 t i0 t F [sin 0 t ] F e F e 2i 2i
19
第三节单位冲激函数 第 七 章 傅 里 叶 变 换 四 Fourier变换的应用
前面已经通过一些例子介绍了Fourier 变换在 频谱分析中的应用. 下面再给出一个讨论在信息传 输中不失真问题的例子. 例7.8 任何信息的传输, 不论电话、电视或无 线电通信, 一个基本问题是要求不失真地传输信号, 所谓信号不失真是指输出信号与输入信号相比, 只 是大小和出现时间不同，而没有波形上的变化.
e
j 0 t
e j t d t
j ( 0 ) t e d t 2 π d ( 0 ) 2 π d ( 0 ) .
1 j 0 t j 0 t (2) 由 cos 0 t (e e )， 2
F2 ( ) π
0
F [cos 0t ] 和 F [sin 0 t ]. 解： 利用 例7.6 ,计算 可得
2 F 2sin 3t(1) [1 dFourier cos6 t] F [1]变换的 F [cos6 t] 函数 Fourier d根据 函数 变换的时移和 频移性质 解： F
21
第三节单位冲激函数 第 七 章 傅 里 叶 变 换
设F()和G()分别是输入信号f (t)和输出信号
(5) 时移性质 可得 设 F ( g(t)的Fourier变换. 由Fourier变换的
i t0 F [ d ( t t )] e [d(.t )], 2d ( ) d ( 06) i d ( F 6) 1 1 0 t i0 t F [cos 0 t ] F e F e 2 2 i0t F [1 e ] 2d ( 0 ). d ( 0 ) d ( 0 )
Байду номын сангаас
f (t )d t dt f 0
n
f (t )d n t dt 1 f n 0
10
第三节单位冲激函数 第 七 章 傅 里 叶 变 换
(5) 积分性质
d d u(t )
t
t
1 t 0 其中 u (t ) 0 t 0
1 d at d t a
8
第三节单位冲激函数 第 七 章 傅 里 叶 变 换
(3) 奇偶性质
d 函数为偶函数，即 d (t ) d (t ) .
证：
对任意f (t)
f (t )d t dt f (0)
f (t )d t dt f ( x)d x dx f (0)
重要公式
j t e d 2 π d (t ) .
注 在 d 函数的 Fourier 变换中，其广义积分是根据 d 函数的 性质直接给出的，而不是通过通常的积分方式得出来的，
称这种方式的 Fourier 变换是一种广义的Fourier变换。
14
第三节单位冲激函数 第 七 章 傅 里 叶 变 换
故
f (t )d t dt f (t )d t dt
9
第三节单位冲激函数 第 七 章 傅 里 叶 变 换
(4) 微分性质
若对任意紧支集函数f (t)，有
f (t )d t dt f (t )d t dt
称d t 为导数 也称 d t 为单位冲激偶 微分性质
第三节单位冲激函数 第 七 章 傅 里 叶 变 换 一. 单位冲激函数的概念 定义 单位冲激函数 d ( t ) 满足： (1) 当 t 0 时，d (t ) 0 ; (2)
d (t ) d t 1 .
单位冲激函数 d ( t )又称为 Dirac 函数或者 d 函数。
4
第三节单位冲激函数 第 七 章 傅 里 叶 变 换 注 (1) 单位冲激函数 d ( t ) 并不是经典意义下的函数，而是一 个广义函数(或者奇异函数)，它不能用通常意义下的 “值的对应关系”来理解和使用，而总是通过它的性质 来使用它。 (2) 单位冲激函数有多种定义方式，前面给出的定义方式 是由 Dirac(狄拉克)给出的。
第三节单位冲激函数 第 七 章 傅 里 叶 变 换
在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满足 傅氏积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件
| f (t ) | d t
例如常数, 符号函数, 单位阶跃函数以及正, 余弦函
数等, 然而它们的广义傅氏变换也是存在的, 利用单
位脉冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅氏变
dFourier 函数Fourier 变换的 , 可得 解： (1) d根据 函数 变换的时移和频移性质
F [d (1 t t0 )] e F 1 [d ( t )], i0 t i0 t F [cos 0 t ] F e F e 2 i0t 2 F [1 e ] 2d ( 0 ). d ( 0 ) d ( 0 ) ,
20
第三节单位冲激函数 第 七 章 傅 里 叶 变 换
设输入信号为f (t), 输出信号为g(t), 信号不失 真的条件就是
g( t ) Kf ( t t0 ),
其中K为常数，t0是滞后时间. 从频率响应来看, 为 了使信号不失真. 应该对电路的传输函数H()提出 一定的条件. f ( t) 传输函数 H() g ( t)
当t0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从而在普通 导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的.
2
第三节单位冲激函数 第 七 章 傅 里 叶 变 换
如果我们形式地计算这个导数, 则得
q(0 t ) q(0) 1 i (0) lim lim t 0 t 0 t t
证：
显然
1 t 0 d d 0 t 0
11
第三节单位冲激函数 第 七 章 傅 里 叶 变 换 性质6
f (t ) d (t ) f (t )
证：
12
第三节单位冲激函数 第 三、单位冲激函数的 Fourier 变换 七 利用筛选性质，可得出 d 函数的 Fourier 变换： 章 傅 里 叶 变 换 [ d ( t ) ] d ( t ) e j t d t e j t
5
第三节单位冲激函数 第 附：单位冲激函数的其它定义方式 七 1 / , 0 t , 章 方式一 令 d ( t ) 其它 , 0, 傅 里 则 d ( t ) lim d ( t ) . 叶 0 变 换 方式二 (20 世纪 50 年代，Schwarz) 单位冲激函数 d ( t ) 满足
证：
f (t )d at dt 1
at x
a f ( 0) a
x 0 f (0) 1 f ( )d x dx f( ) a a a a
1
a
f (t )d t dt
故对任意f (t)
f (t )d atdt 1
a
f (t )d t dt
t
1 得 U ( ) ( 2
[ sgn t ]
1 [ 1] ) π δ(ω) . jω
注 称 u( t ) 为单位阶跃函数，也称为 Heaviside 函数， 它是工程技术中最常用的函数之一。 16
第三节单位冲激函数 第 七 章 傅 里 叶 变 换
解 (1) F1 ( )
[ f1 ( t ) ]
1
d (t )
t
d (t ) (t ) d t (0) ,
其中， ( t ) C 称为检验函数。
6
第三节单位冲激函数 第 七 章 傅 里 叶 变 换 二. 单位冲激函数的性质
性质 (1) 筛选性质
设函数 f (t ) 是定义在 ( , ) 上的连续函数， 则
[ f 2 ( t )] 2 π j d ( ) . 15
即得 F2 ( )
第三节单位冲激函数 第 七 章 傅 里 叶 变 换 解 已知
2 [ sgn t ] , jω
[ 1 ] 2 π d ( ) ,
1
u( t )
1 又 u( t ) (sgn t 1) , 2