《线性代数》(理工类)(第四版)(吴赣昌)完整版内容简介
《线性代数》（理工类，第四版）内容简介
本书根据高等院校理工类本科专业线性代数课程的最新教学大纲及考研大纲编写而成，并在第三版的基础上进行了修订和完善，注重数学概念的实际背景与几何直观的引入，强调线性的思想和方法，紧密联系实际，服务专业课程，精选了许多实际应用案例并配备了相应的应用习题，增补并调整了部分例题与习题，书中还融入了线性模型的教育和数学软件Mathematica的简单应用实例。
本次升级改版的另一重大特色是：每本教材均配有网络账号，通过它可登录作者团队为用户专门建设的网络学习空间，与来自全国的良师益友进行在线交流与讨论。
该空间包含了课程论坛、学习问答、学习软件、教学视频、名师导学、教学博客、科学搜索等功能栏目，并全面支持文字、公式与图形的在线编辑、修改与搜索。
本书内容涵盖了行列式、矩阵、线性方程组、矩阵的特征值、二次型、线性空间与线性变换等知识。
本书可作为高等学校理科、工科和技术学科等非数学类本科专业的线性代数教材，并可作为上述各专业领域读者的教学参考书。
3.1高斯消元法—线性代数(吴赣昌-第四版).
（2）
am1x1 + am2x2 + + amnxn = 0
则称（2）为齐次方程组（或（1） 的导出组）.
《线性代数》
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一、基本概念
２．线性方程组的矩阵表示
n元非齐次线性方程组
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2
， x=
x2
am1 am2 amn
xn
b1
0
，b=
b2
0 ，O =
bm
0
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a11 a12 a1n
A=
a21
a22
a2n
a11 a12
A
=
(
A
b)
=
a21
a22
a1n b1
a2n
b2
例3 解线性方程组
42
x1 x1
-
x2 + 3x3 = 1 2x2 + 5x3 = 4
解
6x1 - 3x2 + 8x3 = 4
2 -1 3 1
2 -1 3 1
A
=
4
6
-2 -3
5 8
4
初等行变换
4
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4、Gauss消元法解方程组过程
例1．解线性方程组
+3x1-5x2+14x3=12 + x1-2x2+ 4x3= 3
(完整版)线性代数吴赣昌第二章
使 AB BA成立，必须满足一定的条件。
（2）由这个例子还可知，A O ，B O ，
但却有 AB O，所以由 AB O，不能得
出 A O 或 B O的结论。若 A O，而 A(X Y ) O，不能得出 X Y 的结论。
例3： 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵
a11 a12 a13 a14 A a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
这四个产品的单价及单位重量可列成矩阵
b11
B
b21
b31 b41
b12
b22
b32 b42
求 AB ，并指出 AB 的含义。
2、线性方程组的矩阵表示
对线性方程组
a11x1 a12 x2
三、 矩阵与矩阵相乘 1、定义
定义5： 设 A (aij )是一个 m s 矩阵，B (bij )
是一个 s n 矩阵，那么规定矩阵 A 与
B 矩阵的乘积是一个 m n矩阵 C (cij )，
s
其中 cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj aikbkj k 1
一、矩阵的加、减法 1、定义
定义1： 设有两个 m n矩阵 A (aij ) 和 B (bij ) ，
规定 A 和 B 的和为
a11 b11 a21 b21 am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
a21x1
a22 x2
am1x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
amn xn bm
a11 a12
线性代数第四版课件 4-1,2
P{X=k}= 1/n , k=1,2,…,n
于是
1 1 (1 n)n n 1 E(X) k 2 2 n n k 1
n
２．常见r.v离散型的数学期望 (1)若 X ~ ( ) , 则 E ( X ) , (2)若 X ~ b(n, p) , 则 E ( X ) np.
二、连续型随机变量的数学期望 1.定义 设X是连续型随机变量，其密度函数为 f (x), 如果积分
xf ( x)dx
绝对收敛,则称此积分值为X的数学期望, 即
E ( X ) x f ( x )dx
注意 : 连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的 积分.
例2 设Ｘ的概率密度为
例5 设随机变量 X , Y 的联合概率密度为
6 xy, f x, y 0, 0 x 1,0 y 21 x ， 其它。
试计算 解
E X 和 E XY 。
EX
1
由定义
xf x, y dxdy
y 4000 1 1 (4 x y ) dx 3 y dx 2000 y 2000 2000 1 (2 y 2 14000y 8(4 y 14000) 0, dy 2000
d 2 E (Y ) 4 显然 0 2 2000 dy
4 x 3 , 0 x 1 f ( x) 其它 0,
求E(Ｘ). 解 E(X)
xf ( x)dx x 4 x 3 dx
1 0
4 x 4 dx
0
1
4 5
２．常见r.v连续型的数学期望
ab （1）若X ~ U (a, b), 则E ( X ) 2 (2) 若 Ｘ服从指数分布, 其概率密度为
43相似矩阵—线性代数(吴赣昌-第四版)
注意：mi 为方程组 ( A j E ) x 0 的基础解
系所含解向量个数 .
A可对角化
m1 m2 ms n
A不可对角化 m1 m2 ms n
推论2 n 阶矩阵 A 相似于对角矩阵的充要条件是 A 的每一个 ni
,n ) (1,2 ,L
,
n
)
2
O
n
因而, Ai ii ,i 1, 2,L , n,
因为P (1,2 ,L
,n )可逆,故1,2 ,L
,
线性无关且
n
它们分别是A对应于特征值1,2,L ,n的特征向量。
设矩阵A有n个线性无关的特征向量 1,2 ,L ,n 它们对应的特征值分别为1，2，L ，n,则Ai ii ,
1
A(1 ,2 ,L
,n ) (1,2 ,L
,
n
)
2
O
n
即 AP PΛ
又1,2 ,L ,n线性无关 ,故P (1,2 ,L ,n )可逆
从而 P1AP Λ, 即A与Λ相似.
推论１若n阶方阵A有n个相异的特征值1, 2 ,L n， 则A可对角化，且A相似于diag(1, 2 ,L n ).
当A的特征方程有重根时，它不一定有n个线性无关 的特征向量，从而不一定能对角化。
设 1, 2 ,L , s是矩阵A的所有特征值，重数分别为 m1, m2 ,L , ms ,
xj1, xj2 ,L , xjmj 是方程组
(A jE)x 0
的一个基础解系, j=1, 2, …, s, A的特征向量组为
(i=1，2，…，s) 重特征值i对应有 ni 个线性无关的特征向量.
线性代数 吴赣昌 教案--第一章--行列式
专业层次
授课班级
授课教师
年月日
《线性代数》教案
任课教师
授课班级
1
授课时间
教学时间安排
2学时
授课题目
（章节）
第一章行列式
第一节二阶与三阶行列式
教学目的、要求（教学目标）
⑴了解行列式的概念
⑵掌握二阶、三阶行列式的计算方法
教学重点
与难点
二阶、三阶行列式的计算
教学方式、方法与手段
讲授与练习相结合、板书与多媒体相结合
例1解方程组
例2计算三阶行列式
例3求解方程
例4解三元线性方程组
本学期要求叙述5分钟
课程介绍20分钟
理论讲解35分钟，习题选讲25分钟，练习、答疑5分钟
提问：行列式是什么？是否具有几何意义？
注：沙路法则是对角线发则的变形，仅适用于要条件.
2.求一个二次多项式 ，使
张天德线性代数习题精选精解山东科学技术出版社2009课后小结这节课介绍了行列式的性质知道了当对行列式的行或列进行了某些变换如行与列互换交换两行列位置某行列乘以某个数某行列乘以某数后加到另一行列等后变换前后两个行列式的值仍保持着线性关系们可以利用这些关系大大简化高阶行列式的计算
学年度第学期
线性代数课堂教学方案
P5 2⑵⑶3
课外阅读
资料或自主学习体系安排
1.《经济应用数学基础》编写组编，线性代数与线性规划学习指导，同心出版社，1995
2.张天德，线性代数习题精选精解，山东科学技术出版社，2009
3./special/opencourse/daishu.html，麻省理工公开课：线性代数
内容要点
一、行列式按一行(列)展开
定义1在 阶行列式 中,去掉元素 所在的第 行和第 列后,余下的 阶行列式,称为 中元素 的余子式,记为 ,再记 称 为元素 的代数余子式.
(完整版)高数第一章例题及答案(终)理工类吴赣昌
第一章函数、极限与连续内容概要课后习题全解习题1-1★1．求下列函数的定义域：知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x 的取值的集合； 思路：常见的表达式有 ① a log □,（ □0>） ② /N □, （ □0≠） ③(0)≥W④ arcsin W （W[]1,1-∈）等解：（1）[)(]1,00,11100101122⋃-∈⇒⎩⎨⎧≤≤-≠⇒⎩⎨⎧≥-≠⇒--=x x x x x x x y ；（2）31121121arcsin≤≤-⇒≤-≤-⇒-=x x x y ； （3）()()3,00,030031arctan 3⋃∞-∈⇒⎩⎨⎧≠≤⇒⎩⎨⎧≠≥-⇒+-=x x x x x x x y ；（4）()()3,11,1,,1310301lg 3⋃-∞-∈⇒⎩⎨⎧-<<<⇒⎩⎨⎧-<-<⇒-=-x x or x x x x x y x；（5）()()4,22,11601110)16(log 221⋃∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-≠-<⇒-=-x x x x x y x ； ★ 2．下列各题中，函数是否相同？为什么？（1）2lg )(x x f =与x x g lg 2)(=；（2）12+=x y 与12+=y x知识点：函数相等的条件；思路：函数的两个要素是f （作用法则）及定义域D （作用范围），当两个函数作用法则f 相同（化简后代数表达式相同）且定义域相同时，两函数相同；解：（1）2lg )(x x f =的定义域D={}R x x x ∈≠,0，x x g lg )(=的定义域{},0R x x x D ∈>=，虽然作用法则相同x x lg 2lg 2=，但显然两者定义域不同，故不是同一函数；（2）12+=x y ，以x 为自变量，显然定义域为实数R ；12+=y x ，以x 为自变量，显然定义域也为实数R ；两者作用法则相同“2□1+”与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数；★ 3．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=3,03,sin )(ππϕx x x x ，求)2()4()4()6(--ϕπϕπϕπϕ，，，，并做出函数)(x y ϕ=的图形知识点：分段函数；思路：注意自变量的不同范围； 解：216sin)6(==ππϕ，224sin 4==⎪⎭⎫⎝⎛ππϕ，224sin 4=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππϕ()02=-ϕ；如图：★ 4．试证下列各函数在指定区间内的单调性 ：（1）()1,1∞--=xxy （2）x x y ln 2+=，()+∞,0 知识点：单调性定义。
31高斯消元法线性代数吴赣昌 第四版
??6 x1 - 3 x2 + 8 x3 = 4
解
?2 - 1 3 1?
?2 - 1 3 1 ?
-
22xxx222+++
4x3 2x3 5x3
= = =
3 3 8
x1 -
2xx22++42xx33 x3
= = =
3 3 2
返回
3 - 5 14 12 (A b)= 1 - 2 4 3
-1 4 1 5
—r1?—r?2
1 -2 4 3 3 - 5 14 12
-1 4 1 5
—rr2—3-+3r?r11
? ? ?
4 2
?
以?A6%1
-1 3 -2 5
1?
4
? ? 初等行变换
??1 ?
-
1 2
?0 0
0
-
5?
2
? ?
1 2?
- 1 4 - 1?
-3
? 5 11?
????00
ห้องสมุดไป่ตู้
0 0
0 0
0 0
? ???
的非零行为增广矩阵的线性方程组为
=
A%1
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?? ?
x1
-
1 2
x2
=
-
5 2
??? + ??? + ??-? ??? = ???
（2）
am1x1 + am2x2 + ??+? amnxn = 0
则称（2）为齐次方程组（或（1） 的导出组）.
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3.2 向量的线性组合—线性代数(吴赣昌-第四版)
结束
பைடு நூலகம்
三. 向量组的线性表示 1. 线性表示 设有两个向量组
1 , 2 , , s
1 , 2 , , t
如果A中每一向量都可由组B线性线性表示, 则称向量组A可由向量组B线性表示. 2. 若向量组B能由向量组A线性表示，则存在
(A) (B)
k1 j , k2 j ,
使得
《线性代数》
, ksj ( j 1,2,
k12 k22 ks 2
系数矩阵
k1t k2 t k st
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3. 引理 若 C sn Ast Bt n ， （1）则称矩阵C的列向量能由A的列向量线性表示， B为该表示的系数矩阵； （2）矩阵C的行向量能由B的行向量线性表示， A为该表示的系数矩阵； 4. 定理 如果向量组A可由向量组B表示, 而向量组B又可由向量组C表示, 则向量组A也可由向量组C表示.
向量组 1 , 2 ,
, m T为矩阵Ａ的行向量组．
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反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个 矩阵. ｎ个ｍ维列向量.所组成的向量组 构成一个m n 矩阵.
1 , 2 , , n
n
A 1 2
ｍ个ｎ维行向量.所组成的向量组
1T , 2T , , mT
an bn an bn
称为α与β的和向量. 称为α与β的差向量. （2）数乘
( ) a1 b1 a2 b2
a1 a2
an , k R ka2 kan
规定 k k ka1 称为数ｋ与向量α的数量积.
线性代数（经管类完整版）教学大纲
《线性代数》（经管类）课程教学大纲学时数：36学分数：2适用专业：经济类本科执笔：吴赣昌编写日期：2009年6月课程的性质、目的和任务本课程是高等学校经济类本科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量建设人才服务的。
通过本课程的学习，要使学生获得行列式、矩阵、线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次型等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为后续课程的学习奠定必要的代数基础。
在课程的教学过程中，要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、数学运算能力、综合解题能力、数学建模与实践能力以及自学能力。
课程教学的主要内容与基本要求一、行列式主要内容：二阶行列式与三阶行列式，n阶行列式的定义；行列式的性质，行列式按行（列）展开法则；克莱姆法则。
基本要求：1、会求n元排列的逆序数；2、深入领会n阶行列式的定义；3、熟练掌握行列式的性质，并且会正确使用行列式的有关性质化简行列式，利用“三角化”计算行列式；4、理解行列式元素的子式、余子式和代数余子式的概念，灵活掌握行列式按行（列）展开法则（降价法）；5、理解克莱姆法则，并会用克莱姆法则判定线性方程组解的存在性、唯一性及求出方程组的解。
二、矩阵主要内容：矩阵的概念及应用，熟悉几种特殊矩阵：行矩阵、列矩阵、对角矩阵、单位矩阵数量矩阵；矩阵的运算：线性运算、乘法、线性变换、转置及其运算规律，方阵的幂，对称矩阵与共轭矩阵；逆矩阵的概念，伴随矩阵及其与逆矩阵的关系，逆矩阵的运算性质，矩阵方程及其解法，*矩阵多项式及其运算；分块矩阵的概念，分块矩阵的运算；矩阵的初等变换，初等矩阵，求逆矩阵的初等变换法；矩阵的秩及其求法。
基本要求：1、深入理解矩阵的概念及应用；2、了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、共轭矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质；3、掌握矩阵的线性运算、乘法运算、线性变换、转置运算，以及它们的运算规律，了解方阵的幂、方阵的行列式；4、理解逆阵的概念，掌握逆阵的性质，以及矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆阵；5、了解分块矩阵及其运算；6、了解共轭矩阵；7、掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念；8、清楚矩阵秩的概念，重点掌握用矩阵的初等变换求矩阵的秩和逆矩阵。
线性代数 第3讲 中国人民大学 吴赣昌
x1 - x2 3 x4 - 1
x2 2 x3 - 2 x4 0 x3 - 3x4 -1
x4 0
x1 - x2 3x4 -1
x2 2x3 -2x4 0 x3 -3x4 -1
x4 0
(2.2)
由(2.2)易知x4=0, 将其代入第3方程得x3-1,再 回代前两个方程, 分别得x2=2, x1=1. 所以(1,2,1,0)是原方程组(2.1)的解. 形如(2.2)的方程组称为阶梯形线性方程组.
-x3 -x3
2x4 4x4
4x5 5x5
-2, -3,
2 3
(2.6)
x1 -x2 x3 x4 8x5 2. 4
的增广矩阵
1 -1 -1 0 3 -1 1
[A,b]2 -2 -1 2 4 -2 2 3 -3 -1 4 5 -3 3
1 -1
1
18
2
4
1 -1 -1 0 3 -1 1
[A,b]2 -2 -1 2 4 -2 2 3 -3 -1 4 5 -3 3
例2 求解线性方程组
x1 - x2 -x3 3x5 -1, 1
23xx11
-2x2 -3x2
-x3 -x3
2x4 4x4
4x5 5x5
-2, -3,
2 3
x1 -x2 x3 x4 8x5 2. 4
(2.6)
解 写出方程
x1 - x2 -x3 3x5 -1, 1
23xx11
-2x2 -3x2
方程的全部解就表示为: x1=1+k1-7k2, x2=k1, x3=2-4k2, x4-1+3k2, x5=k2, 其中k1,k2为任意 常数. 以后常把方程组的解写成下面的形式: