巨正则分布的热力学热力学
第九章 系综理论
第九章 系综理论1.教学内容（1） 相空间 刘维尔定理； （2） 微正则分布（3） 微正则分布的热力学公式 （4） 正则分布（5） 正则分布的热力学公式 （6） 实际气体的物态方程 （7） 固体的热容量（8） 液4He 的性质和朗道超流理论 （9） 伊辛模型的平均场理论 （10） 巨正则分布的热力学公式 （11） 巨正则分布的简单应用 2.本章重难点（1） 本章重点是正则分布、正则分布、巨正则分布的热力学公式； （2） 本章难点是实际气体的物态方程及固体的热容量 1. 例题例题 1 证明在正则分布中熵可表为∑-=ss skS ρρln 其中sE s e Zβρ-=1是系统处在s 态的概率 解证: )ln (ln ββ∂∂-=Z Z k S 多粒子配分函数)1(1ss E s E e Z e Z ββρ--=⇒=∑)2(ln ∑∑---=∂∂k E kE k kkee E Zβββ由(1)知[]s s s s s E Z E Z E Z esρβρβρβln ln 1;ln ln +=-+=-⇒=-代至(2)得[]∑∑+=+=∂∂ss ss s s Z Z Z ρρββρρββln 1ln 1ln ln 1ln ;于是∑-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=s s s k Z Z k S ρρββln ln ln 例题2 试用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程，内能和熵解证：()222121;iz iy ix Ni s sE p p p mE eZ s++==∑∑=-β 符号∏=i iz iy ixdp dp dpdp符号∏=iiiidzdy dx dq()()2/33)(232332!!!!1222122212222N NNNp p p m N N p p p m NNp p pN m h N V Z dp e h N V dpeh N Vdpdq e hN Z z y x Ni iziy ix Ni iziy ix m⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑=∑=⎰⎰⎰∞+∞-++-∞+∞-++-++-==βπβββ利用式（9.5.3）VNTkV Z Z Z P =∂∂=∂∂=⇒βββ1ln 1类似求S U ,例题3 体积内盛有两种组元的单原子混合理想气体，其摩尔数为1n 和2n ，温度为T 。
量子统计力学中的巨正则系综
量子统计力学中的巨正则系综量子统计力学是研究微观粒子的统计行为的物理学分支，它描述了由大量粒子组成的系统的性质。
在量子统计力学中，我们通常使用系综来描述这些系统。
巨正则系综是量子统计力学中的一种重要的系综，它描述了与外界热库和粒子库交换粒子和能量的系统。
本文将介绍巨正则系综的基本概念和数学表达式，并讨论其在研究物理系统中的应用。
巨正则系综是一种描述粒子数和能量都可以变化的系统的统计系综。
在巨正则系综中，系统与外界热库和粒子库交换粒子和能量，从而使得系统的粒子数和能量可以发生变化。
这种交换使得巨正则系综在描述开放系统中的粒子统计行为时非常有用。
巨正则系综的基本概念可以通过巨正则配分函数来描述。
巨正则配分函数是巨正则系综的核心概念，它描述了系统在给定温度、化学势和体积下的统计行为。
巨正则配分函数可以通过对系统的能量本征态进行求和得到，每个能量本征态的权重由玻尔兹曼因子决定。
巨正则配分函数的数学表达式如下：\[\Xi = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{i} e^{-\beta(E_i-\mu N_i)}\]其中，$\Xi$是巨正则配分函数，$n$是粒子数，$i$是能量本征态的标记，$E_i$是能量本征态的能量，$N_i$是能量本征态的粒子数，$\beta=1/kT$是玻尔兹曼因子，$T$是系统的温度，$\mu$是系统的化学势。
巨正则系综的基本概念和数学表达式为我们研究物理系统提供了一个强大的工具。
通过巨正则系综，我们可以计算系统的各种热力学量，如平均粒子数、平均能量和熵等。
这些热力学量可以通过巨正则配分函数的导数来计算，例如：\[\langle N \rangle = \frac{1}{\beta} \frac{\partial \ln \Xi}{\partial \mu}\]\[\langle E \rangle = -\frac{\partial \ln \Xi}{\partial \beta}\]\[S = k(\ln \Xi - \beta \frac{\partial \ln \Xi}{\partial \beta} - \mu \frac{\partial \ln\Xi}{\partial \mu})\]其中，$\langle N \rangle$是平均粒子数，$\langle E \rangle$是平均能量，$S$是熵，$k$是玻尔兹曼常数。
巨正则系综
− α − βε
i
)
i
ni
ni = 0
n !
i − α − βε i
= ∏ exp( ω e
) = ∏ Ξ
i
i
( 10 . 18 . 15 )
其中
Ξ i = exp(ω i e
ε
−α − βε i
)
(10.18.16)
能级 i 上的平均粒子数为
∂ ln Ξ i −α − βε i ni = − = ωie ∂α
将(10.18.14)式代入(10.18.4)式，得巨正则分布 函数
ω ∏ e Ξ = ∑ ∏ n ! (ω e ) = ∑ ∏ n !
∞ ni i ni = 0 i i i ∞ − α − βε
i
(
− ( α + βε
i
) ni
)
ni
i
ni
i
i
= ∏ ∑
i i
∞
(ω e
例题:由巨正则分布导出近独立子的M-B能 级分布
• 第4章导出近独立子的M-B统计分布律时，假设ωi >> 1, ni >>1，并使用了Stirling近似公式。实际上所作的假设未必能 满足，因此这是严重的缺陷。采用巨正则分布导出所述的分布 律则不存在数学上人为假设的缺点，而且还为它们的正确性提 供了坚实的理论基础。 • 考虑全同独立子体系构造的巨正则系综，其分布函数为
平衡态统计热力学
独立子体系平衡统计
相依粒子系平衡态统计热
经典统计
量子统计
系综统计
Maxwell 速 率分布 速度空间
Boltzmann 高度分布 位形空间
M-B 能 量 状态分布 相空间 非简并系
热力学答案
《热力学?统计物理》复习材料答案一、填空题：1. 热力学中所特有的状态参量为温度，它是实现两系统达到热平衡的充分且必要条件。
2. 整个系统在物理、化学性质上都均匀一致的系统称为均匀系统。
3. 热力学第一定律的数学表达式是为 dU=dQ+dW 。
4．热力学第二定律的数学表达式是。
5. 体系由液体和饱和蒸汽组成，此系统包含二相。
6．当独立变量为S、p时，特性函数是 H 。
7. 一个孤立系统有相和相，若系统已达到热平衡和力学平衡，但相物质迁移到相，则化学势满足关系相化学势大于相化学势（）。
8．一个系统在压强和温度不变的情况下，为了判别此系统是否已达到平衡态，可采用的判据为 G（吉普斯函数）。
9.判断一个孤立系统是否已达到平衡态，可采用的判据为 S（熵）。
10．一个系统在体积和温度不变的情况下，为了判别此系统是否已达到平衡态，可采用的判据为自由能。
11．固相、液相之间的转变为_____一_______级相变。
12．气液在临界点的转变为_____二____级相变。
13．体系由三种气体按任意比例混合而成，该系统的独立强度参量数目为 4 。
14. 根据吉布斯相律，3元二相系的自由度为 3 。
15. 一级相变的克拉珀龙方程的表达式为。
16. 对于费米系统，给定分布对应的微观状态数为。
17. 对于玻色系统，给定分布对应的微观状态数为。
18. 对于玻尔兹曼系统，给定分布对应的微观状态数为。
19. 等概率原理的内容是对于处在平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率都是相等的。
20. 两个全同粒子分布在相同能级的三个不同状态a、b和c中，一个粒子处在状态a，一个粒子处在状态b，如果它们是费米粒子，则这一分布出现的概率是 1/3 。
21．两个全同粒子分布在相同能级的三个不同状态a、b和c中，一个粒子处在状态a，一个粒子处在状态b，如果它们是玻耳兹曼粒子（即经典粒子），则这一分布出现的概率是 1/9 。
22. 两个全同粒子分布在相同能级的三个不同状态a、b和c中，一个粒子处在状态a，一个粒子处在状态b，如果它们是玻色子，则这一分布出现的概率是 1/6 。
热力学与统计物理教学大纲
《热力学与统计物理》教学大纲课程名称：《热力学与统计物理》英文名称：Thermodynamics and statistic p hysics课程性质：学科教育必修课课程编号：E121015所属院部：光电工程学院周学时:3学时总学时:45学时学分:3学分教学对象(本课程适合的专业和年级） :物理学专业(本科）2012级学生预备知识:高等数学、概率统计、普物课程在教学计划中的地位作用：《热力学·统计物理》课是物理专业学生的专业基础课,与理论力学、量子力学、电动力学共同构成物理专业重要的四门必修课，通常称为物理专业的四大力学课。
热力学和统计物理的任务是研究热运动的规律，研究与热运动有关的物性及宏观物质系统的演化.本课程的作用是使学生掌握热力学与统计物理的基本原理和处理具体问题的一些重要方法，并初步具有用这些方法解决较简单问题的能力。
教学方法:以板书手段为主要形式的课堂教学。
在课堂教学中，教师应精心组织教学内容,注重发挥学生在教学活动中的主体作用和教师的主导作用，注重采用多种教学形式提高课程教学质量。
注意在学习中调动学生积极性和创造性，注重各种教学方法的灵活应用。
教学目标与要求：要求学生初步掌握与热现象有关的物质宏观物理性质的唯象理论和统计理论，并对二者的特点与联系有一个较全面的认识同时注重对学生逻辑思维能力的培养，强调学生物理素养的生成和提高.课程教材:汪志诚主编. 热力学统计物理（第四版).北京：高等教育出版社，2010年参考书目：[1] 苏汝铿主编. 统计物理学。
上海:复旦大学出版社，2004年[2] 王竹溪主编。
热力学简程. 北京：高等教育出版社，1964[3] 王竹溪主编。
统计物理学导论. 北京：高等教育出版社，1956考核形式：考核方式为考试。
综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定，平时成绩不超过30%，期末成绩不少于70％。
编写日期：2012年5月制定课程内容及学时分配(含教学重点、难点):本课程内容主要包括：热力学的基本规律麦克斯韦关系及其应用,气体的节流膨胀与绝热膨胀,基本热力学函数，特性函数，平衡辐射热力学，磁介质热力学等。
“热学”与“热力学统计物理”课程整合探索
“热学”与“热力学统计物理”课程整合探索［摘要］文章分析了“热学”与“热力学统计物理”课程整合的必要性和可能性，并提出了初步的整合方案，以优化配置教学资源。
［关键词］热学热力学统计物理课程整合“热学”与“热力学统计物理”（以下简称“热统”）课程是物理学专业必修的两门主干课程，两者承前启后，存在着密切关系。
在高等教育改革不断推进的今天，怎样整合两门课程，优化设置，以达到高效的教与学的目的，是我们面临和必须考虑的问题。
一、整合的必要性党的十六届六中全会通过的《中共中央关于构建社会主义和谐社会若干重大问题的决定》中强调指出：“保持高等院校招生合理增长，要注重增强学生的实践能力、创造能力和就业能力、创业能力”，这为我国高等教育人才培养提出了明确的目标，也为高等教育改革与发展指明了方向。
为不断深化高等教育教学改革，全面提高高等教育质量，2007年2月17日《教育部关于进一步深化本科教学改革全面提高教学质量的若干意见》又指出：“推进人才培养模式和机制改革，着力培养学生创新精神和创新能力。
要采取各种措施，通过推进学分制、降低必修课比例、加大选修课比例、减少课堂讲授时数等，增加学生自主学习的时间和空间，拓宽学生知识面，增强学生学习兴趣，完善学生的知识结构，促进学生个性发展。
”理论物理学专业主要是培养学生掌握物理学的基本理论、基本知识和实践技能，具备较高科学素养和创新能力，能够胜任物理学或相关科学与技术领域的科研、教学、技术开发等工作，也可以继续攻读本学科或其他相关学科的硕士学位。
可见，在新的社会市场需求和高等教育教学改革形势下的今天，原来的理论物理学专业的课程设置、各内容设计以及教学模式等已凸显出其不合理性。
部分课程的重复性建设比较严重，有些课程内容相近或者基本相同，却分别在同一专业不同的课程中开设；不同院系、专业之间信息不够畅通，统筹规划比较少，各专业按照自己的需要开设课程，造成不同院系、专业之间课程的重复性建设。
热力学统计物理教学大纲
《热力学·统计物理》课程教学大纲课程名称：热力学·统计物理课程编码：学时：72 学分：4开课学期：第四学期课程类别：学科平台课程课程性质：必修课适用专业：应用物理学先修课程：力学、热学、原子物理，高等数学一、课程的性质、目的与任务热力学与统计物理是研究物质热现象和热运动规律理论的物理课程。
它是微观理论研究和宏观应用之间的一座桥梁，前者采用宏观的研究方法，后者采用微观的研究方法。
两种方法相辅相成，取长补短。
本门课程的学习内容主要有：热力学的基本规律；均匀物质的热力学性质；单元系的相变；多元系的复相平衡和化学平衡；；近独立粒子的最概然分布；玻耳兹曼统计；玻色统计和费米统计；系综理论；。
通过本门课程的学习，使学生能够掌握这两种研究方法，为今后的进一步学习与研究打下必要的基础。
二、教学内容及基本要求第一章热力学的基本规律教学目的和要求：了解热力学系统的平衡态及其描述、热平衡定律和温度、理想气体的内能和绝热过程、理想气体的卡诺循环、自由能和吉布斯函数理解物态方程、功、热力学第二定律、热容量和焓、热力学温标掌握热力学第一定律、卡诺定律、克劳修斯等式和不等式、熵和热力学基本方程、理想气体的熵、热力学第二定律的普遍表述、熵增加原理的的简单应用教学重点和难点：热力学第一定律和物态方程，克劳修斯等式与不等式，热力学基本方程。
教学方法与手段：传统教学与学生自学相结合第一节热力学系统的平衡状态及其描述第二节热平衡定律和温度第三节物态方程第四节功第五节热力学第一定律第六节热容量和焓第七节理想气体的内能第八节理想气体的绝热过程第九节理想气体的卡诺循环第十节热力学第二定律第十一节卡诺定理第十二节热力学温标第十三节克劳修斯等式与不等式第十四节熵和热力学基本方程第十五节理想气体的熵第十六节热力学第二定律的表述第十七节熵增加原理的简单应用第十八节自由能和吉布斯函数复习与作业要求：完成课后相关习题。
考核知识点：熵增加原理的应用，理想气体的熵。
热力学名词解释（2）
热力学名词解释（2）热力学名词解释普朗特数Pr：由流体物性参数组成的一个无因次数（即无量纲参数）群，表明温度边界层和流动边界层的关系，反映流体物理性质对对流传热过程的影响，它的表达式为：Pr=ν/α雷诺数Re：一种可用来表征流体流动情况的无量纲数，以Re表示，Re=ρvr/η，其中v、ρ、η分别为流体的流速、密度与黏性系数，r为一特征线度。
例如流体流过圆形管道，则r为管道半径。
热力学名词解释2017-04-09 12:44 | #2楼系统：我们所研究的宏观物体成为系统。
外界：与系统相互作用着的周围环境成为外界。
开系：系统与外界既可以有能量交换，又可以有物质交换。
封闭系：系统与外界可以有能量交换，但没有物质交换。
孤立系：系统与外界无任何相互作用。
平衡态是指这样一种状态:在没有外界影响的条件下，物体的各部分在长时间内宏观性质不发生任何变化。
李学忠的平衡态只是单纯合外力为零的问题，在热力学中的平衡态不但如此，而且要所有能观察到的宏观性质都不随时间变。
物体处于平衡态时，其中的微观粒子仍处于杂乱无章的运动之中，故也称为热动平衡。
当没有外界影响时，一个物体在足够长的时间内必将趋于平衡态。
平衡态四类变数：几何变数、力学变数、电磁变数、化学变数。
温度是热力学中特有的物理量。
广延量：将处于平衡态的系统（均匀系）按质量分为相等的两部分，如果一个热力学量对其中一部分的数值等于对整个系统数值的一半，则这个量叫广延量。
强度量：将处于平衡态的系统（均匀系）按质量分为相等的两部分，如果一个热力学量对其中一部分的数值与整个系统的数值相等，则这个量叫强度量。
热力学第一定律：系统在终态和初态的内能之差等于过程中外界对系统所做的功，加上系统从外界吸收的热量。
热力学第二定律：（克劳修斯）不可能把热从低温物体传到高温物体而不引起其他变化；（开尔文）不可能从单一热源吸热使之完全变为有用的功而不引起其他变化。
卡诺循环1，由A绝热膨胀到B；2，由B等温压缩到C；3，由C绝热压缩到D；4由D等温膨胀到A。
关于热力学的几个问题
2，数学含义 我们说这些函数都是特性函数，包含了热力学系统的全部性质，但是前提 是使用自然变量。并且这些特性函数是彼此等价的。 从数学上讲，他们实际上是通过勒让德变换得到彼此的，也就是说用不同 的变量叙说同一件事情的不同函数。从这个角度讲，纯粹是为了数学上的方便。 所以不同热力学函数使用相应的自然变量就变得非常重要，否则会出现信 息丢失。在最后一堂课中，我们在《由巨正则分布推导玻耳兹曼分布的热力学 公式》一节中根据全同粒子是否可分辨曾得到：
ln ln N 1
ln ln N
的结论，巨配分函数是特性函数，但是我们对上面的表达式运用热力学公式 什么也求不出来，我问为什么，但当时没有给出答案，实际上原因就是没有 使用自然变量。
二，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ平衡
膜平衡的平衡条件是温度相等，可以通过膜的组元化学势相等，分压相等。 总压强可以不等，原因是膜可以承受两边的压强差。
第二是绝热条件下，两种气体等温等压条件下混合（扩散），由于中间 态的不平衡，所以也不是准静态过程（想象一下把墨水与水混合的过程）， 这是一个熵增的过程。不可逆过程。 同种气体等温等压条件下混合，是准静态过程，根本原因是全同粒子不 可分辨。熵不变。
但是需要特别强调的是，同种气体不是在等温等压条件下的混合，也是 不可逆过程，因为温差或者压强差将导致中间态的不平衡，非准静态过程。 同样是熵增的。
膜平衡是如此地重要，我们正是通过膜平衡的性质，得到了混合理想气体 的热力学函数——混合气体某组元的化学势（摩尔吉布斯函数）等于它单独存 在时的化学势，从而得到混合理想气体的吉布斯函数，进而得到混合理想气体 其他所有的热力学函数。
三，绝热过程、准静态过程、等熵过程与可逆过程
我们常常会说绝热过程是等熵过程，进而也是可逆过程。这句话实际上 暗含前提：这个绝热过程是指准静态绝热过程。 也就是说不是所有的绝热过程都是等熵的，或者说可逆的，关键看是否 是准静态过程，即中间态也要是平衡态。 举两个绝热过程不是准静态的例子。 一是书中22页焦耳的自由膨胀实验，它是在绝热的条件下进行的，但是 它不是一个准静态过程，中间态是不平衡的。简单计算一下你会发现这个过 程是熵增的，不可逆过程。
热力学统计物理(A参考答案)
宝鸡文理学院试题课程名称中学物理教育理论适用时间2011年7月与实践研究试卷类别 A 适用专业、年级、班专升本一. 填空题（本题共7 题，每空3 分，总共21 分）1. 假设一物质的体涨系数和等温压缩系数经过实验测得为：，则该物质的物态方程为：。
2. 1 mol 理想气体，保持在室温下（K）等温压缩，其压强从1 准静态变为10 ，则气体在该过程所放出的热量为：焦耳。
3. 计算机的最底层结构是由一些数字逻辑门构成的，比如说逻辑与门，有两个输入，一个输出，请从统计物理的角度估算，这样的一个逻辑与门，室温下（K）在完成一次计算后，产生的热量是：焦耳。
4. 已知巨热力学势的定义为，这里是系统的自由能，是系统的粒子数，是一个粒子的化学势，则巨热力学势的全微分为：。
5. 已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为，其中是常数，则粒子的平均能量为：。
6. 温度时，粒子热运动的热波长可以估算为：。
7. 正则分布给出了具有确定的粒子数、体积、温度的系统的分布函数。
假设系统的配分函数为，微观状态的能量为，则处在微观状态上的概率为：。
二. 简答题(本题共 3 题，总共30 分)1. 请从微观和统计物理的角度解释：热平衡辐射的吉布斯函数为零的原因。
(10分)2. 请说说你对玻耳兹曼分布的理解。
(10分)3. 等概率原理以及在统计物理学中的地位。
(10分)三. 计算题(本题共 4 题，总共49 分)1. 一均匀杆的长度为L，单位长度的定压热容量为，在初态时左端温度为T1，右端温度为T2，T1 < T2，从左到右端温度成比例逐渐升高，考虑杆为封闭系统，请计算杆达到均匀温度分布后杆的熵增。
（你可能要用到的积分公式为）(10分)2. 设一物质的物态方程具有以下形式：，试证明其内能和体积无关。
(10分)3. 表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作是二维气体。
请用经典统计理论计算：（1）二维气体分子的速度分布和速率分布。
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Fermi分布
知识回顾： §8.5金属中的自由电子气体
T=0K下自由电子的性质
Fermi能级
2 N (0) 3 2m V U ( 0) 3 ( 0) N 5 2 U ( 0) 2 p ( 0) n ( 0) 3 V 5
2
2/3
0K时电子气体的压强为3.8×1010帕。这是一个极大 的数值．它是泡利不相容原理和电子气体具有高密 度的结果．常称为电子气体的简并压.
经过相空间任何一点轨迹只能有一条 系统从某一初态出发，代表点在相空间的轨道或者 是一条封闭曲线，或者是一条自身永不相交的曲线。 当系统从不同的初态出发，代表点沿相空间中不同 的轨道运动时，不同的轨道也互不相交。
2 2 2/3 2.临界温度（凝聚温度）： Tc n 2/3 (2.612) m k
3. T<Tc时：
1/ 2 2 d n0 (T ) 3 (2m)3 / 2 n 0 h e kT 1
4. Bose-Einstein 凝聚
T<Tc时，就有宏观量级的粒子在能级ε=0凝聚， 这一现象称为Bose-Einstein凝聚，简称Bose凝聚。 Bose凝聚体的E=0; P动量=0; S=0; P压强=0
s s H H H H dH q p p q dt 1
qi
H pi
H H t t
H pi qi
若H不显含t，则H＝h（积分常数） 稳定约束的情况下：
H ( p, q, t ) L p q (T V )
k (ln N U )
S k ln
J U TS N kT ln
知识回顾： §8.2弱简并理想玻色和费米气体
Chap.8 玻色统计和费米统计 Chap.7中的经典极限条件（非简并条件）：
e 1
(e
1)
l
al
1
所谓“弱简并条件”即气体的
H pi qi
i 1,2,, f （9.1.1）
H ( p, q, t ) L p q
1
s
L L L dL dq dq dt q 1 q t s L p dq p dq dt t 1
知识回顾
Chap.7 玻尔兹曼统计 粒子的配分函数Z1
基本热力学函数、内能、 物态方程、熵、自由能
系统的全部平衡性质
知识回顾
N e
U e
e
l l
l l
l
e Z1
N ln Z1
S k ln
e
l
l
Z1 l e l
s
H H H dH q dq p dp t dt 1
s
dH p dq q dp
1
s
L dt t
§9.1 相空间 刘维尔定理
H H H dH dq dp t dt p 1 q s H H dH H q q p p t dt 1 件：
n 2.612
3
知识回顾：§8.4 光子气体
V D( )d 2 3 2 d c
3
l
al
1 e
l
1
V d U ( , T )d 2 3 / kT 普朗克公式 c e 1
V U ( , T )d 2 3 2 kTd 低频极限： c 瑞利(1900)-金斯(1905)公式 V 3 / kT d 高频极限： U ( , T )d 2 3 e c 维恩(1896)公式
知识回顾： §8.5金属中的自由电子气体
T>0K时金属中自由电子的性质 T>0K时电子气体热容量的估计（能量均分定理，N有效） 金属中自由电子对热容量的贡献约为：
3 kT 3 T CV Nk Nk 2 2 TF
知识回顾： §8.5金属中的自由电子气体
3. T>0K时自由电子气体热容量的定量计算 4V 1/ 2 在体积V内，在ε - ε +d ε 3/ 2 (2m) d 3 ( ) / kT h e 1 能量范围内的电子数为： 电子数N 内能U
§9.1 相空间 刘维尔定理
系统在相空间中的运动轨迹 当系统的运动状态随时间变化时，代表点相应地在 相空间中移动，其轨道由式(9.1.1)确定． H H qi i 1,2,, f （9.1.1） pi pi qi
轨道的运动方向完全由(qi和pi)决定 哈密顿量和它的微商是单值函数
§9.1 相空间 刘维尔定理
一、相空间 如何描述系统的微观（力学）运动状态 ？ 说明： a）当粒子间的相互作用不能忽略时，应把系统当作 一个整体考虑; b）本节主要讨论经典描述
假设系统由N 个全同粒子组成，粒子的自由度为r 则：系统的自由度为f = Nr 如果系统包含多种粒子，第i 种粒子的自由度 为ri ，粒子数为Ni ，则系统的自由度为：
Chap.8 玻色统计和费米统计 §8.1 热力学量的统计表达式 抛弃粒子轨道的概念 （1）微观粒子的能量和动量是不连续的 （2）微观全同粒子不可分辨 （3）微观粒子的行为要满足不确定关系 （4）费米子受泡利不相容原理的限制
知识回顾：玻色和费米系统的巨配分函数和热力学公式
Bose 系统
l [1 e
系统在某一时刻的运动状态：q1, q2 ,q f ; p1, p2 , p f
可用相空间中的一点表示，称为系统运动状态的代表点。
§9.1 相空间 刘维尔定理
（2）系统的运动状态随时间的演化 系统的运动状态随时间而变，遵从哈密顿正则方程
H qi pi
保守力系
L(q, qi , t ) T V
1
s
T q 1 q
s
H (T V ) 2T T V
§9.1 相空间 刘维尔定理
H T V
孤立系统: 哈密顿量就是它的能量，包括 1) 粒子的动能; 2) 粒子相互作用的势能; 3) 粒子在保守力场中的势能 它是 q1, q2 ,q f ; p1, p2 , p f 的函数,存在外场时 还是外场参量的函数, 不是时间t 的显函数。
（1）第一项是根据Boltzmann分布得到的内能 （2）第二项是量子统计关联所导致的附加内能， 弱简并的情况下附加内能很小； Fermi气体附加内能为正 —等效的排斥作用 Bose 气体附加内能为负 ---等效的吸引作用
知识回顾：§8.3 Bose –Einstein 凝聚
1.理想Bose气体的化学势 0
5 2 kT 2 2 U C 5 / 2 1 5 8
将Fermi积分 求出后得：
进一步化简得：
5 2 kT 2 3 U N (0) 1 (0) 5 12
1 p u 3
4 2k 3 V 4 S k ln ln T 3 3 45 c
T 0; S 0
知识回顾：§8.5金属中的自由电子气体
讨论强简并的 Fermi气体的特性
T>0K时自由 电子的性质
e 1
n3 1
低温极限（T＝0K） 时自由电子的性质
热力学〃统计物理
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新课
Chap.7 玻尔兹曼统计 Chap.8 玻色统计和费米统计 §8.1 热力学量的统计表达式 §8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体 §8.3 Bose –Einstein 凝聚 §8.4 光子气体 §8.5金属中的自由电子气体 Chap.9 系综理论 §9.1 相空间 刘维尔定理 §9.2微正则分布 §9.3微正则分布的热力学公式 §9.10 巨正则分布 §9.11 巨正则分布的热力学公式
e 1
n3 1
e
Z1 V 2mkT 3 / 2 ( ) 2 N N h
很大
n3 很小，但不可忽略！
知识回顾： §8.2弱简并理想玻色和费米气体
Bose气体 Fermi气体 Boltzmann气体
弱简并条件下的系统 内能的差异
3 1 3 U NkT 1 n 2 4 2g
知识回顾：§8.4 光子气体
空窖辐射的内能
V 3d U 2 3 / kT c 0e 1
k U VT 4 15c 3 3
2 4
u aT 4
V d U ( , T )d 2 3 / kT c e 1
3
斯特藩-玻耳兹曼定律
x m / kT 2.822
l
N p ln Z1 V S Nk (ln Z1 ln Z1 )
S Nk (ln Z1 ln Z1 ) k ln N!
F NkT ln Z1
满足经典极限条件 的玻色和费米系统
F NkT ln Z1 kT ln N!
知识回顾
f Ni ri
i
§9.1 相空间 刘维尔定理
（1）相空间（Γ 空间） 系统在任一时刻的的微观运动状态 ： f 个广义坐标 q1, q2 ,q f f 个广义动量 p1, p2 , p f
f Ni ri
i
以 q1, q2 ,q f ; p1, p2 , p f 共2f个变量为直角坐标 构成一个2f 维空间, 称为相空间(Γ空间)
知识回顾： §8.5金属中的自由电子气体
T>0K时，自由电子气体热容量
2 kT U CV 0T Nk 2 (0) T V