中考数学专题讲座
中考数学专题讲座
最优化问题的解法 ：
数学应用问题中的最优化问题是历年中考命题的热点 。这类问题通常都有最大 、最小或至多 、至少等关键词 ，题型新颖 、背景陌生 ，解法分类如下 ：
一 、利用二次函数的极值公式
对于二次函数Y ＝a （X －h ）2＋R ，当a ＞0时 ，Y 最小＝R ；当a ＜0时 ，Y 最大＝R 。这是求二次函数的一般方法 。
例1某商场销售一批名牌衬衫 ，平均每天可售出20件 ，每件一概而论利40元 ，为扩大销售增加盈利 ，减少库存 ，商场决定适当降价 ，经调查发现 ，如果每件每降价1元 ，商场平均每天可多售出2件。
⑴ 若商场平均每天要盈利1200元 ，每件衬衫应降价多少元 ？
⑵ 每件衬衫降价多少元时 ，商场平均每天盈利最多 ？
解 ：⑴ 略 ⑵设每件衬衫应降价X 元 ，则每件盈利 （40－X ）元 ，平均每天可售出（20＋2X ）件 ，每天盈利Y ＝（40－X ）（20＋2X ）＝－2（X －15）2＋1250
故每件降价15元时 ，商场平均每天盈利最多为1250元 。
例2某房地产公司要在一块地（图中矩形OBCD ）上 ，规划建造一
个小区公园（矩形GHCK ），为了使文物保护区△OEF 不被破坏 ，矩
形公园的顶点G 不能在文物保护区内 。已知OB ＝200ｍ OD
＝160ｍ OE ＝60ｍ ＯＦ＝40ｍ 。问当点Ｇ在什么位置时 ，公
园面积最大 ？
解 ：建立如图的直角坐标系 ，则 ：Ｅ（60 ，0） Ｆ（0 ，40） ，故直线ＥＦ的方程为Ｙ＝－
3
2Ｘ＋40 。设Ｇ点坐标为（Ｘ ，Ｙ） ，则公园面积为Ｓ＝（200－Ｘ）（160－Ｙ）＝（200－Ｘ）〔160－（－32Ｘ＋40）〕＝－3
2（Ｘ－10）2＋3224066 ，故当Ｘ＝10 ，即ＧＨ＝190ｍ时 ，公园面积最大 ，约为3224066ｍ2 二 、利用函数的增减性
例3某童装厂现有甲种布料38ｍ ，乙种布料26ｍ ，现计划用这两种布料失生产Ｌ 、Ｍ两种型号的童装50套 。已知做一套Ｌ型号的童装需用甲种布料0.5ｍ 、乙种布料1ｍ ，可获利45元 ；做一套Ｍ型号的童装需用甲布料0.9ｍ 、乙种布料02ｍ ，可获利30元 ，设生产Ｌ型号童装Ｘ套 ，用这批布料生产这两种型号童装所获利润为Ｙ元
⑴ 写出Ｙ与Ｘ之间的函数关系式 ，并求出自变量Ｘ的取值范围
⑵ 该厂在生产这批童装中 ，当Ｌ型号的童装为多少套时 ，能使该厂所获利润最大 ？最大利
润是多少？
解 ：⑴ Y ＝45X ＋30（50－X ）＝15X ＋1500
∵ 0.5X ＋0.9（50－X ）≤38
X ＋0.2（
50－
X ）≤26
解之得 17.5≤X ≤20 ，又因为X 为整数 ，所以X 的取值范围是18 、19 、20
⑵ 函数Y ＝15X ＋1500是增函数 ，所以当X ＝20时 ，Y 最大＝15320＋1500＝1800 ，即工
厂安排生产L 型号的童装20套时 ，能获得最大利润1800元 。
三 、利用不等式求解
例4某车间有20名工人 ，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个 ，在这20名工人中 ，派X 人加工甲种零 、其余的加工乙种零件 ，已知每加工一个甲种零件可获利16元 、每加工
一个乙种零件可获利24元 ：⑴ 写出每天所获利润Ｙ元与Ｘ人之间的函数关系式 ⑵ 要
使每天所获利润不低于1800元 ，问至少要派多少人加工乙种零件 ？
解 ：⑴ Ｙ＝1635Ｘ＋2434（20－Ｘ）＝－16Ｘ＋1920
⑵ 要使每天获利不低于1800元 ，则Ｙ≥1800 ，即 －16Ｘ＋1920≥1800 ，所以Ｘ≤7.5
故 至多派7名工人加工甲种零件 ，至少派13人加工乙种零件 。
四 、利用方程知识求解
寻求最优化问题所满足的方程条件 ，将问题转化成求方程的解或使用判别式去求解
例5某工程由甲 、乙两队合作6天完成 ，厂家需付甲 、乙两队共8700元 ；乙 、丙两队合
做10天完成 ，厂家需付乙 、丙两队共9500元 ；甲 、丙两队合做5天完成全部工程的
3
2 ，厂家需付甲 、丙两队共5500元 。
⑴ 求甲 、乙 、丙各队单独完成全部工程各需多少天 ？
⑵ 若要求不超过15天完成全部工程 ，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少 ？说明理由 。 解 ：⑴ 设甲 、乙 、丙各队单独做分别需Ｘ 、Ｙ 、Ｚ天完成全部工程 ，有 6
111＝＋Y X Ｘ＝10 10
111＝＋Z Y 解之得 Ｙ＝15 Ｚ＝30
⑵ 设甲队 、乙队 、丙队做一天分别应付ａ元 、ｂ元 、ｃ元 ，有
6（ａ＋ｂ）＝8700 ａ＝800
10（ｂ＋ｃ）＝9500 解之得 ｂ＝650
513211 ＝＋Z X
5（ａ＋ｃ）＝5500 ｃ＝300
∵ 10ａ＝8000 （元） 15ｂ＝9750 （元）
∴ 由甲队单独完成此项工程花钱最少 。
练习题 ：
1 、某商品1993年比1992年提价5％ ，1994年又比1993年提价10％ ，1995年比1994年降
价12％ ，则1995年比1992年提价的百分比是多少 ？
2 、将进货单价为40元的商品按50元出售时 ，能卖500个 ，已知该商品每个涨价1元 ，销
售量要减少10个 ，问为了赚得8000元利润 ，售价应定为多少 ？这时应进货多少个 ？
3 、某蔬菜生产基地计划由25个劳动力承包60亩地 ，种植甲、乙、丙三种不同的蔬菜 ，且
甲种蔬菜必种 ，经测算这些不同品种的蔬菜每亩所需的劳动力和预计产值如下表 ：
应怎样安排才能使每亩地都能种上蔬菜 ，所有劳动力
都有工作 ，且预计总产值达到最高 ，最高产值是多
少 ？
4 、某商店钢笔每支25元 ，笔记本每本5元 ，该店
为促销制定了两种优惠方法 ：①买钢笔一支赠送笔记
本一本 ；②按购买总额的90％付款 ⑴ 若某单位需要钢笔10支 ，笔记本X 本（X ≥10） ，则每种付款方法的实际付款数Y 元
是X 的函数 ，表达式分别为 ：Y 1＝________________________ Y 2＝
_____________________________
⑵ 若该单位花495元购回了所需物品 ，问哪一种优惠方法比较划算 ？
⑶ 若可以任选一种方法购买 ，也可以同时用两种方法购买 ，还可以在一种优惠方法中只买
一种物品 ，请你就购买10支钢笔和60本笔记本设计一种最少钱的购买方法 。
动点问题
动点问题是近年来各地中考题中出现得较多的一种题型 ，这类集几何 、代数于一体的综合题 ，即能考查学生的实际水平和应变能力 。其解题策略是“动”中求“静” 、“一般”中见“特殊” ，抓住要害 ，各个击破 。
一 、点在直线上运动
例1如图 ，正方形OABC 的顶点O 在坐标原点 ，且OA 边和AB 边
所在直线的解析式为 ：
Y ＝43X 和Y ＝－3
2534＋X ，点D 、E 分别为边OC 和AB 的中点（点P 与O 不重合） ，连接DE 和CP ，其交点为Q 。
⑴ 求证 ：点Q 为△COP 的外心
⑵ 求正方形OABC 的边长
⑶ 当⊙Q 与AB 相切时 ，求点P 的坐标
解 ：⑴ 由题意知DE ∥OA ，又∵CP 是RT △COP 的斜边 ，∴点Q 为△COP 的外心
⑵ 解方程组
Y ＝
4
3X 解得 X ＝4 Y ＝－32534－X Y ＝3
∴点A 的坐标是（4 ，3）
过点A 作AF ⊥OX 轴 ，垂足为F ，则正方形OABC 的边长为OA ＝2243+＝5
⑶ 如图 ：当△COP 的外接圆与AB 相切时 ，E 为⊙Q 与AB 相切的切点 ，且有AE 2＝AP 2Ａ
Ｏ ，即（
52）2 ＝ＡＰ25 ∴ＡＰ＝45 ＯＰ＝5－45＝4
15 作ＰＨ⊥ＯＸ轴 ，垂足为Ｈ ，则有AF
PH OF OH OA OP ＝＝ ∴ ＯＨ＝354415＝＝ＯＡＯＦ??OP ＰＨ＝4
953415＝＝ＯＡＡＦＯＰ?? ∴ 点Ｐ的坐标为 （3 ，49） 二 、点在曲线上运动
例2已知如图 ，在平面直角坐标系中 ，以点A （4 、0）为圆心 ，AO 为半径的圆交X 轴于
点B ，设M 为X 轴上方的圆上一点 ，且弧OM 的长为3
1∏ ，点P 为弧OM 上任意一点（点P 与O 不重合） ，连接AP 并延长交Y 轴于点C 、连接BP 并延长交Y 轴于点D 。
⑴ 当点P 在弧OM 上运动时 ，设PC ＝X 、OC ＝Y 2OD ，求Y 与X 之间的函数关系式及
自变量X 的取值范围 ；
⑵ 当点P 运动到某一位置时 ，恰有OB ＝3OD ，求此时AC 所在直线的解析式 ；
解 ：⑴ 延长PA 交⊙A 于E ，连接OE ，则∠BOE ＝∠E 、∠PBO ＝∠E
∴ ∠BOE ＝∠PBO ∴OB ∥OE ∴
PE CE OD OC ＝ ∵ CE ＝CP ＋PE ＝X ＋8
∴ Y ＝18
88＋＝＋X X 易求自变量X 的取值范围是0＜X ≤4
⑵ 当点P 远动到恰使OB ＝3OD 时有OD ＝31 OB ＝3
8 ∵ Y OD OC ＝ ∴OC ＝OD 2Y ＝3
88838＋＝＋X X ? 在RT △AOC 中 ，（3
8＋X ）2 ＋42 ＝（X ＋4）2
解得X 1＝1 、 X 2＝－8（舍去）
∴ OC ＝
33
81＝＋ 即点C 的坐标为 （ 0 ，3） 易知直线AC 的解析式为Y ＝－43X ＋
3
三 、点在折线上运动
例3已知如图1 ，在△ABC 中 ，∠A ＝90° 、AB ＝6 、AC ＝8 、点P 从点A 开始沿AC 边向点C 移动 ，点Q 从点A 开始沿AB 边向B ，再沿BC 边向点C 匀速移动 ，若P 、Q 两点同时从A 出发 ，则可同时到达点C 。
⑴ 如果P 、Q 两点同时从点A 出发 ，以原速度按各自的移动路线移动到某一时刻时停止移动 ，当点Q 移动到BC 上（Q 与C 不重合）时 ，求作以tg ∠QCA 、tg ∠QPA 为根的一
元二次方程 ；
⑵ 如果P 、Q 两点同时从点A 出发 ，
以原速度按各自的移动路线到某一时
刻时停止移动 ，当 S △PBQ ＝
512时
，求PA 的长 。 图1 图 2
解 ：在RT △ABC 中 ，易知BC ＝10
∵ P 、Q 两点从A 点同时出发 ，可同时到达点C
∴ 2
11068＝＋＝CQ CP ⑴ 如图2 ，设P 点移动的路程为X ，则点Q 移动的路程为2X ∴ CP ＝8－X ， CQ ＝16－2X
作QH ⊥AC ，垂足为H ，则QH ∥AB
∴
CA
CH BC CQ AB QH ＝＝ ∴ QH ＝56（8－X ） ， CH ＝5
8（8－X ） ∴ tg ∠QPA ＝PH
QH ＝2 、 tg ∠QCH ＝AC AB ＝43 ∴ tg ∠QPA ＋tg ∠QCH ＝4
11 ∴ tg ∠QPA 2 tg ∠QCH ＝2
3 ∴ 所求方程为 ：Y 2－411Y ＋2
3＝0 ，即4Y 2－11Y ＋6＝0 ⑵ 当S △PBQ ＝512时 ，设PA ＝X ，点Q 的位置有两种情况 ① 当点Q 在AB 上时（图1），则AQ ＝2X ，BQ ＝6－2X
∴ S △BPQ ＝21PA 2 BQ ＝21（6－2X ）＝5
12
∴ X 2－3X ＋512＝0 ， △＝9－5
45＜0 ∴ 此方程无实根 ，故点Q 不能在AB 上 。
② 当点C 在BC 边上时（如图2） ，则QB ＝2X －6 ，作PG ⊥BC ，垂足为G ，所以 △PCG ∽△BCA
∴
BC PC BA PG ＝ ， PG ＝5
3（8－X ） ∴ S △PBQ ＝21QB 2PG ＝21（2X －6）253（8－X ）＝512 ∴ X 2－11X ＋28＝0 解得X 1＝4 X 2＝7 ，故当S △PBQ ＝5
12时 ，PA ＝4或PA ＝7 四 、点在平行直线上运动
例4如图 ：A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点 ，ＡＢ＝16ｃｍ 、 ＡＤ＝6ｃｍ ，动点Ｐ 、Ｑ分别从点Ａ 、Ｃ出发，点Ｐ以3ｃｍ／ｓ的速度向点Ｂ移动 ，一直到达Ｂ为止、点Ｑ以2
ｃｍ／ｓ的速度向点Ｄ移动 。
⑴ Ｐ 、Ｑ两点从出发开始几秒时 ，四边形ＰＢＣＱ的面积是33ｃｍ
2 ？
⑵ Ｐ 、Ｑ两点从出发开始几秒时 ，点Ｐ和Ｑ的距离是10ｃｍ ？
解 ：⑴ 设X 秒时 ，四边形PBCQ 的面积是33cm 2 ，则PB ＝16－3X
CQ ＝2X 、BC ＝6
∴ 2
1（16－3X ＋2X ）36＝33 解得X ＝5 故P 、Q 两点从出发开始到5秒时 ，四边形PBCQ 的面积是33cm 2
⑵ 设Y 秒时 ，点P 和Q 的距离是10cm ，过P 作PP /⊥CD ，垂足为P / ，则
P /Q ＝｜16－3Y －2Y ｜＝｜16－5Y ｜
∵ △PP /Q 为直角三角形 ，PP /＝6 、PQ ＝10
∴ P /Q ＝2/2PP PQ －＝22610－＝8
∴｜16－5Y ｜＝8解得Y 1＝
58 Y 2＝524 由题意知 ：0≤Y ≤316 ，所以Y 1 Y 2均付合题意 。故P 、Q 两点从出发开始到58或5
24秒时 ，点P 和Q 的距离是10cm 。
练习题 ：
⑴ 如图 ，正方形ABCD 的对角线交于点O ，点O 是正方形A /B /C /O 的顶点 ，如果两正方
形边长相等 ，那么正方形A /B /C /O 绕点O 无论怎样转动 ，两正方形重叠部份的面积总等于
一个正方形面积的4
1 ，想一想 ，为什么 ？（几何第二册P 159想 一想 ）
⑵ 如图 ：把RT △ABC 的斜边AB 放在定直线m 上 ，按顺
时针方向转动两次 ，使它转到△A /B /C /的位置 。设BC ＝1 AC ＝3 ，试计算顶点A 到
A /的轨迹与直线m 所围成的面积 。
⑶ 如图 ：△ABC 中 ，∠B ＝90° ，点P 从A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动 ，
点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动 。
① 如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发 ，经过几秒 ，使△PBQ 的面积等
于8cm 2 ？
② 如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发 ，并且P 到B 后又继续在BC 边上
前进 ，Q 到C 后又继续在CA 上前进 ，经过几秒 ，△PCQ 的面积为
12.6ｃｍ2（98年安徽省中考题 ）
⑷ 如图是抛物线拱桥 ，已知水位在AB 时 ，水面宽46m ，若洪水到
来时 ，水位以0.25m/h 的速度上升 ，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶 ？
⑸ 如图 ：⊙O 1和⊙O 2相交于点C 、D ，A 是⊙O 1上一点 ，直线AD
交⊙O 2于B 。
① 当点A 在弧CAD 上运动至A / 时 ，作A /D 交⊙O 2于点B / ，连接A /C 、
B /
C 。证明：
A /
B /
C ∽ABC
② 问点A /在弧CAD 上什么位置时 ，S △A /B /C 最大 ，说明理
由 。
③ 当O 1O 2＝11 、CD ＝9时 ，求S △A /B /C 的最大值 （99年
安徽中考题 ）
几种常见的开方题
开放题是指问题的结论不确定 ，或者条件不完备的数学题 ，解决此类问题需要学生有较强的
解决问题的能力 。为了帮助同学们熟悉并掌这类问题的解法 ，特将初中数学中几种常见的开
放性问题作一介绍 。
一 、由一些常归题改编而成的开放题
对一些常归题的条件和结论稍加改编 ，使问题得于推广 、深入 ，这样同学们不会感到陌生 、突然 ，能主动参与解签 ，符合学生的认识特点 。 一次数学竞赛 ，两个班学生成绩如下 ： 请根据所学过的统计知识 ，从不同的方面评价这两
个班的竞赛成绩。
分析 ：在学习统计初步知识后的应用 ，学生易求出两班的平均成绩等 ，但可用众数 、中位
数 、方差进行比较 ，也可直接从分数段情况进行评价 ，有利于训练学生多途径观察能力 、
综合分析能力 。这是一道结论开放题 。
简解 ：⑴ 从平均数 、中位数看 ：都是80分 ，成绩一样 。
⑵ 从众数看 ：甲班90分 ，乙班70分 。甲班比乙班众数成绩好 。
⑶ 从方差看 ：S 2甲＝172 、S 2乙＝256 ，S 2甲＜S 2乙 ，甲班成绩比乙班成绩波动小 ，差距不
大 。
二 、由常归命题的逆命题改编而成的开放题
由于大多数常归题的条件是充分的 ，但不一定必要 ，因而其逆命题的条件就不完备了 ，对之
进行讨论形成了开放题 。这类题可以全面培养学生从正反两面看问题 、分析问题的能力 。
已知△ABC 是等腰三角形 ，过△ABC 的一个顶点的一条直线 ，把△ABC 分成两个小三角形
也是等腰三角形 。问△ABC 的各内角度数可能是多少 ？
分析 ：这是一道策略开放题 。是由《几何》第二册P 75—P 75练习1 、2改编而成 。本题由
等腰三角形求各内角 ，问题相反 ，分别过对顶角 、底角作直线各自又有两解 ，因此有四种
情形 ：
图 1 图 2 图 3 图 4
简解 ：策略1 、过等腰△ABC 顶角A 作直线AD 分△ABD 和△ACD 为等腰三角形 。
⑴ 如图1 ：当AD ＝BD ＝CD 时 ，△ABC 是等腰直角三角形 ，三内角分别是90° 、45、
45°
⑵ 如图2 ：当AB ＝BD 、AD ＝DC 时 ，设∠BAC ＝X ° 、∠B ＝∠C ＝Y °，则有
X ＋2Y ＝180° 解之得 X ＝108°
X ＝3Y Y ＝36° ，三内角分别为108°、36°、
36°；
策略2 、过等腰△ABC 的底角B （或C ）作直线BD ，分△ABD 、△BCD 为等腰三角形 。
⑶ 如图3 ：仿上可得三内角为36°、72°、72°；
⑷ 如图4 ：当AD ＝BD 、BC ＝DC 时 ，可得三内角为7525°、7177°、7
177° 三 、由实际应用问题形成的开放题
课本中的应用题比较典型 ，而实际应用中情形则是多种多样的。
例1 现有含盐15％的盐水20克和含盐40％的盐水15克，另有足够的纯盐和水，要配制含盐
20％的盐水30克 ，请你设计至少四种配制方案 。
解 ：因为有两种不同含量的盐水供配制用 ，采用不同的配制方法 ，都能得到结果 。因此方
案有许多 ，现列四种 ：
⑴ 只用纯盐和水 ：设用纯盐X 克 、水Y 克 ，则
X ＋Y ＝30 解之得 X ＝6
X ＝30320％ Y ＝24
故可取纯盐6克 ，水24克 。
⑵ 将含盐15％的盐水全用上 ，并设用盐X 克 ，水Y 克 。
则有 20＋X ＋Y ＝30 解之得 X ＝3
20315％＋X ＝30320％ Y ＝7
故可取含盐15％的盐水20克 ，纯盐3克 ，水7克 。
⑶ 将含盐40％的盐水15克全用上 ，此时有盐 ：40％315 ＝6克 ，而要配制的含盐20％
的盐水30克 ，也是有盐 ：20％330＝6克 ，所以只需要水30－15＝15克即可 ，故可取含
盐40％的盐水15克和水15克 。
⑷ 取两种盐水各10克 ，并设用纯盐X 克 ，水Y 克 。
则有 10＋10＋X ＋Y ＝30 解之得 X ＝0.5
10315％＋10340％＋X ＝30320％ Y ＝9.5
故可取两种盐水各10克及纯盐0.5克 ，水9.5克 。
例2 如图表示一骑自行车和一骑摩托者在两城镇间行驶的函数图象 。根据图象 ，能得到关
于这两人在这一行程中哪些信息（尽可能多地找出来）
说明 ：本题只是用很简短的语言和图象摸述
了问题的背景 ，解题策略和讨论都呈现极大
的开放性 ，是一道综合开放题 。
解 ：由图象至少可得如下信息 ：
① 两城镇间距离为80km ；
② 整个路程骑自行车者用了6h ，骑摩托者
用了2h ；
③ 摩托车比自行车晚出发3h ，早1h 到达 ；
④ 骑自行车者在行驶3h 后休息了1 h ；
⑤ 摩托车与自行车在离出发点60km 时相遇 ，此时自行车已行驶4.5h 、摩托车行驶了1.5h ； ⑥ 摩托车的速度一路很平均 ，是40km/h ，自行车的平均速度（不计休息1h ）是16km/h ； ⑦ 自行车在前两2h 的速度为20km/h ，最后1h 的速度为10km/h ；
⑧ 两人相遇时按原速度行驶 ，没停留 。
请找找看 ，还有其它信息吗 ？
练习题 ：
如图 ，RT △ABC 中 ，CD 是斜边上的高 ，请就此图写出你能得到的结论 。
1、 在直角坐标系XOY 中 ，二次函数Y ＝21X 2＋4
3nX ＋2－m 的图象与X 轴交于A 、B 两点 ，与Y 轴交于点C ，其中点A 在B 的左边 ，若∠ACB ＝90°，
1＝＋CO BO AO CO ⑴ 求点C 的坐标及这个二次函数的解析式 ；
⑵ 设计两种方案 ，做一条与Y 轴不重合 、与△ABC 两条边相交的直线 ，使截得的三角形
与△ABC 相似 ，并且面积为△AOC 的4
1 ，求所截得的三角形三个顶点的坐标 。（98年北京海淀区中考题）
阅读理解题的类形及举例
一、分析思想方法
例1 阅读 ：由于我们已经学过相似三角形的性质 ，因此 ，我们可以过多边形的一个
顶点引对角线 ，将多边形分成三角形 ，先研究两个相似多边形的对应对角线的性
质 ，再利用相似三角形来研究相似多边形 。
填空 ：读了这段内容我们初步了解到多边形的问题转化成三角形的问题
的思想方法 ，了解到事物在一定条件下可以相互转化的辩证唯物主义
的观点 。（93年山西中考题 ）
二、分析问题实质
例2 某位老师在讲“实数”一课时 ，画了一个图 ，即“以数轴的单位长线段为边作一个正
方形 ，然后以O 点为圆心 ，正方形的对角线长为半径画弧交X 轴于点A ”。作这样的图是
用来说明：数轴上的点不仅可以表示有理数 、也可表示无理数 。（95年安徽中考题 ）
三、总结证题思路
例3 看图读切割线定理的证明 ：
已知点P 是⊙O 外的一点 ，PT 切⊙O 于T ，过P 到⊙O 的割线PA 交⊙O 于 A 、B 求证 ：PT 2＝PA 2PB
证明 ：连接TA 、TB
∠BPT ＝∠APT △BPT ∽△TPA
PA PT PT PB ＝ PT 2＝PA 2PB ∠PTB ＝∠A
读后填写切割线定理的证明思路是 ：⑴ 根据所证式（或其变式）找出需要证明的相似三角形； ⑵ 添加辅助线TA 、TB ，证明△BPT ∽△TPA ；⑶ 根据相似三角形的性质 ，写出所需比
例式 ，导出结论 。（94年山西中考题 ）
四、总结问题的规律性
例4 给出下面算式 ：32－12＝8＝831 ；52－32＝16＝832 ；72－52＝24＝833 ；92－72＝
32＝834 ；……
观察上面一系列等式你能发现什么规律 ？用代数式表示此规律 。（98年安徽中考题 ）
分析 ：经观察发现的规律是 ：两个连续奇数的平方差是8的倍数 。
用代数式表示 ：设n 是自然数 ，那么相邻的两个奇数为2n －1和2n ＋1 ，并且有（2n ＋1）
2－（2n －1）2＝8n
五、寻找错误
例5 阅读下面一题的解答过程 ，请判断是否正确 ？若不正确 ，请写出正确的解答 。
已知a 为实数 ，化简3a －－a a
1－ 解 ：3a －－a a 1－＝a a －－a 3a 1a －＝（a －1）a －（98年济南中考题 ）
分析以上解答过程忽略了隐含条件a ＜0 ，因此是错误的 ，正确解答是 ：原式＝－a a －－
a 3a －1
a －＝（a －1）a －＝（1－a ）a －
六、先阅读第一⑴题的解法 ，再解第⑵题
⑴ 已知P 2－P －3＝0 ，21Q －Q 1－3＝0 ，P 、Q 为实数 ，PQ ≠1 ，求P ＋Q
1的值 。 解 ：∵PQ ≠1 ，故P ≠
Q 1 ∵P 2－P －3＝0 ，21Q
－Q 1－3＝0
∴ P 和Q
1是方程X 2－X －3＝0的两个不等实根 由根与系数的关系知 ：P ＋Q
1＝－（－1）＝1 ⑵ 已知2m 2－3m －7＝0 、7n 2＋3n －2＝0 、m 、n 为实数 ，且mn ≠1 ，求m ＋
n 1的值 （98年江苏中考题 ）解 ：⑵原已知条件可变为2m 2－3m －7＝0 、
07322＝－－n n
∵mn ≠1 ∴m ≠
n
1 ∴m 和n
1是方程2X 2－3X －7＝0的两个不等实根 由根与系数的关系知 ：m ＋n 1＝23 例6 先阅读下面解方程X ＋2－X ＝2的过程然后填空 ：
解 ：（第一步）将方程整理为X －2＋
2－X ＝0 （第二步）设Y ＝2－X ，原方程可化为Y 2＋Y ＝0 ，
（第三步）解得Y 1＝0 、Y 2＝－1 （第四步）当Y ＝0时 ，2－X ＝0 ，解得X ＝2 ；当Y ＝－1时 ，2－X ＝－1 ，
无解
（第五步）∴X ＝2是方程的根
在以上解题过程中 ，第二步用的方法是换元法 ；第四步中 ，判定方程2－X ＝－1无解的
依据是根据算术平方根的意义 ，上述解题过程不完整 ，缺少的是一步是验根 （96年江西中考题）
习题 ：
先阅读下面的一段文字 ，然后解答问题 ：
某食品研究部门欲将甲 、乙 、丙三种食物混合研制成100kg 食品 ，并规定 ：研制成的食品
中至少需含44000单位的维生素A 和48000单位的维生素B ，三种食物维生素A 、B 含量如表1所示：
设所取甲 、乙 、丙三种食物的质量分别为X 、Y 、Z 千克
1、根据题意列出不等式和等式 ，并证明 ：⑴Y ≥20 ⑵ 2X －Y ≥40
2、设甲 、乙 、丙三种食物的生产成本如表2所示 ：
⑴ 试用含X 、Y 的代数式表示研制的混合食品的总成本P
⑵ 若限定混合食品中甲种食物的质量为40千克 ，试求此时总成本P 的取值范围 ，并确定
当P 取最小值时 ，所取乙 、丙两种食物的质量 （99年镇江市中考题 ）
2、 关于图形变化的探讨（99年吉林省中考题）
A ：⑴ 例题1 ，如图1 ，A
B 是⊙O 的直径 ，直线L 与⊙O 有一个公共点
C ，过A 、
B 个别做L 的垂线 ，垂足为E 、F ，则E
C ＝CF 。
⑵ 上题中 ，当直线L 向上平移时 ，与⊙O 有了；两个公共点C 1 、C 2 ，其它条件不变 ，
如图2 ，经推证 ，我们会得到与原题相应的结论 ：C 1E ＝C 2F
⑶ 把直线L 继续向上平移 ，使弦C 1C 2与AB 交于点P （P 不与A 、B 重合） ，其它条件不
变 ，请在图3的圆中变化后的图形画出来 ，标好对应的字母 ，并写出与⑴ 、⑵相应的结论等式 。判断你写出的结论是否成立 ，若不成立 ，说明理由 ；若成立 ，给于证明 。结论：__________________________________________________________________________________
证明结论成立或说明不成立的理由 ：
B ：⑴ 例题2 ，如图4 ，B
C 是⊙O 的直径 ，直线L 是过点C 的切线 ，N 是⊙O 上一
点 ，直线BN ∩L ＝M ，过点N 的切线交L 于P ，则PM 2＝PC 2
⑵ 把例2中的直线L 向上平移 ，使之与⊙O 相交 ，且与直线BN 交于B 、N 两点之间 ，
其它条件不变 ，请利用图5的圆把变化后的图形画出来 ，标好相应的字母 ，并写出
与⑴相应的结论等积式 。判断你写的结论是否成立 ，若不成立 ，说明理由 ；若成
立 ，给于证明 。结论
___________________________________________________________________
图 1 图2 图3 图4 图 5
证明结论成立或说明不成立的理由 ：
⑶ 总结 ：请你通过 ⑴和⑵的事实 ，用简略的语言 ，总结某
些几何图形的一个变化规律 。关于抛物线的综合题
一、抛物线与三角形的综合题
例1已知二次函数Y ＝X 2－（m 2＋8）X ＋2（m 2＋6）
⑴ 求证 ：不论m 为任何实数 ，此函数图 象都与X 轴有两个
交点 ，且两个交点都在X 轴的正半轴上 。
⑵ 设这个函数的图象与X 轴交于B 、C 两点 ，与Y 轴交于A
点 ，若△ABC 的面积为48 ，求m 的值 。
⑶ 设这个函数的顶点为P ， 是否存在实数m ，使△PBC 为等腰直角三角形 ，如存在 ，求出m 的值 ；如不存在 ，说明理由 。
分析 ：⑴ ∵ △＝（m 2＋8）－8（m 2＋6）＝（m 2＋4）2 ＞0
∴ 抛物线与X 轴有两个交点 ，设为B （X 1 ，0） C （X 2 ，0）
又因为X 1＋X 2＝m 2＋8＞0 ，X 1X 2＝2（m 2＋6）＞0
∴ X 1＞0 、X 2＞0
⑵ ∵ BC ＝212
214X X X X －）＋（＝）＋（－）＋（688222m m ＝224）＋（m ＝m 2＋4 ∴ S △ABC ＝21BC 2OA ＝2
1（m 2＋4）（2m 2＋12）＝48 即m 2＝2 ，解之得m ＝±2
⑶ 如图 ，假设存在满足条件的m ，则P 点坐标为（2
82＋m ，4422）＋－（m ） ，即可得到 2
444222＋＝）＋（m m ，解之得m 2＝－2 或m 2＝－4 ，显然无解 ，所以满之条件的m 值不存在 。
⑷ 例2如图 ，已知抛物线Y ＝aX 2＋bX ＋C 与X 轴交于A （1 ，0） ，B （3 ，0） ，两点
都过（－1 ，－16） ，抛物线的顶点为C ，对称轴与X 轴交于D 点 。若
Y 轴正半轴上有一点N ，使以A 、O 、N 三点为顶点
的三角形与以C 、A 、D 三点为顶点的三角形相似 。
求点N 坐标（96年济南中考题）
分析 ：由题设易知解析式为Y ＝2X 2－8X ＋6 ，顶点C （2 ，－2） ，
D （2 ，0） ，所以AD ＝1 、CD ＝2 ，又因为△NOA ∽△ADC ，
题目中没有指出对应点为A 或C ，故N 点可能的对应点为A 或
C 。不妨设N （0 ，y 0） ，y 0＞0 ，则有
DC OA DA ON ＝或DA OA DC ON ＝ ，即1
1221100＝或＝y y ， ∴ y 0＝21或y 0＝2 ，N 点坐标为（0 ，2
1）或（0 ，2） 例3已知抛物线Y ＝X 2
－（a ＋b ）X ＋42
C ，a 、b 、C 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边
⑴ 求证 ：该抛物线与X 轴必有两个交点 ；
⑵ 设抛物线与X 轴的两个交点为P 、Q ，顶点为R ，∠PQR ＝α ，若tan α＝5 ，
△ABC 的周长为10 ，求此抛物线的解析式 ；
⑶ 设直线Y ＝aX －bc 与抛物线交于点Ｅ 、Ｆ ，与Ｙ轴交于点Ｍ ，抛物线与Ｙ轴
交于点Ｎ ，若抛物线的对称轴为Ｘ＝a ，△MNE 与△MNF 的面积之比为5∶1 ，
试判断三角形的形状 ，并证明你的结论 。（97年苏州中考题）
分析：⑴ 设X 2
－（a ＋b ）X ＋42
c ＝0 ∵△＝（a ＋b ）2－c 2＝（a ＋b ＋c ）（a ＋b －c ）＞0
∴ 抛物线与X 轴必有两个交点
⑵ 由抛物线的解析式可得顶点Ｒ（2
b a ＋ ，4
22＋（ａ＋ｂ）ｃ） 由韦达定理可得 ＰＱ＝212
214x x x x －）＋（＝22c b a －）＋（
又 ∵ tag α＝5 所以5242
222＝－）＋（｜）＋－（｜＝c b a b a c DQ RD ，化简得5222＝－）＋（c b a 由a ＋b ＋c ＝10 ，可得c ＝4
∴ 抛物线的解析式为Ｙ＝X 2－6X ＋4
⑶ 由Y ＝X －（a ＋b ）X ＋4
2
c 知对称轴为 ：X ＝2b a ＝a 所以a ＝b 又因为a ＞0 ，bc ＞0∴ 酎线Y ＝aX －bc 经过一 、三 、四象限 ，设E （X 3 ，Y 3） 、F （X 4 ，Y 4）（X 3＞0 、
X 4＞0）由题意知 ：52
12143＝｜｜｜｜X MN X MN 所以543＝X X ∵ E 、F 为直线与抛物线的交点 ，即X 3 、X 4为方程X 2
－（a ＋b ）X ＋42
c ＝aX －bc 的两个不同的根 ，由韦达定理知 ：24
32434334－）＋（＝＋X X X X X X X X ，即526243622＝－＋bc c a ∴ （a －c ）（5a ＋c ）＝0 ∴ a ＝c 或5a ＝－c （舍去）
综上可知 ：a ＝b ＝c ，即△ABC 为等边三角形 。
例3 已知关于X 的二次函数Y ＝X 2＋（R 2－3R －4）X ＋2R 的图象
与X 轴从左至右交于A 、B 两点且这两点关于原点对称 。
⑴ 求R 的值 ；
⑵ 在⑴的条件下 ，若反比例函数Y ＝x
m 图象与二次函数的图象从左至右交于Q 、R 、S 三点 ，且点Q 的坐标为（－1 ，－1） ，
求四边形AQBS 的面积 ；
⑶ 在⑴和⑵的条件下 ，在X 轴的下方是否存在二次函数Y ＝X 2
＋
（R 2－3R －4）X ＋2R 的图象上的点P ，使S △PAB ＝2S △RAB ？若存在 ，求出P 点坐标 ，若不存在请说明理由 。
分析 ：⑴ 由A 、B 两点关于原点对称知X 1＋X 2＝0 ，即R 2－3R －4＝0 得R 1＝4或R 2＝－1
∵ 当R ＝4时 ，抛物线为Y ＝X 2＋8 ，此时△＜0 ，说明与X 轴无交点 ，故取R ＝－1 ∴ 抛物线为 ：Y ＝X 2－2
⑵ 由⑴得A （－2，0） 、B （2 ，0）
∵ Q （－1 ，－1）在双曲线上 ，故m ＝1
∴ 双曲线的解析式为 ：Y ＝
x 1
解方程组 ： Y ＝X 2－2 可得 ：R （251－ ，－2
51＋） Y ＝x 1 S （251＋ ，2
15－） ∴ S 四边形AQBS ＝S △ABQ ＋S △ABS ＝
21AB 2｜－1｜＋21AB 2215-＝2102+ ⑶ 又因为抛物线的顶点坐标为（0 ，－2） ，假设满足条件的点P 存在 ，则因为S △PAB ＝2S △RAB ，所以点P 的纵坐标为－15-＜－2 ，所以点P 不存在 。
二 、平面几何中的二次函数
例1 如图 ，在△ABC 中 ，BC ＝6 、AC ＝42 、∠C ＝45° ，在BC 边上有动点P ，过点P 作PD ∥BA 与AC 交于点D ，连结AP ，设 BP ＝X ，△APD 的面积为Y 。
⑴ 求Y 与X 之间的函数关系式 ，并指出自变量X 的取值范围 ；
２ P 点是否存在这样的位置 ，使△APD 的面积等于△ABP 的面积的
32 ？若存在 ，求出BP 的长 ，并说明理由 。（96年山东中考题）
解 ：⑴ ∵ PD ∥BA
∴ BC AC BP AD =
624=X AD ∴ AD ＝X 322
过点P 作PM ⊥AC ，垂足为M ，则PM ＝PC 2sinC ＝（BC －BP ）sin45°＝
)6(22-X ∴ S △APD ＝21AD 2PM ＝212322X 22
2（6－X ）＝－31X 2＋2X
即Y 与X 竹间的好数关系为Y ＝－3
1X 2＋2X
∵ 点P 可在线段BC 上移动 ，且不能与点B 、C 重合
∴ 自变量X 的取值范围是0＜X ＜6
⑵ 作 AN ⊥BC ，垂足为N ，则 ：AN ＝AC 2sinC ＝42sin45°＝4
∴ S △ABP ＝
2
1BP 2AN ＝2X ∴ S △APD ＝32S △ABP ，则－31X 2＋2X ＝3222X 解之 ：X 1＝2 、X 2＝0 （不合题意 ，舍去）
故在BC 上存在一点P ，即BP ＝2 ，△APD 的面积等于△ABP 的面积的3
2 例2 如图 ，已知△ABC 中 ，⊙O 1是它的外接圆 ，与⊙O 1内切于A 点的⊙ O 2交AB 于F ，交AC 于G ，EF ⊥BC ，GH ⊥BC ， 垂足分别为E 、F ，AD 是△ABC 的高 ，交FG 于M ，且AD ＝6 、BC ＝8 （97年山西省中考题 ）
⑴ 求证四边形FEHG 是矩形 ；
⑵ 设FE ＝X ，写出矩形FEHG 的面积Y 与X 之间的函数关系式 ，并指出自变量X 的取值 范围
⑶ 当矩形FEHG 的面积是△ABC 面积的一半时 ，两圆的半径有什么关系 ？并证明你的结论 。
证明 ⑴ 过点A 作两圆的公切线PQ
∵ ∠PAB ＝∠AGF 、∠PAB ＝∠ACB
∴ ∠AGF ＝∠ACB ，
∴ FG ∥BC
又FE ∥GH ，所以四边形FGHE 是平行四边形
∵ ∠FEC ＝90°
∴ 四边形FEGH 是矩形
⑵ 由题设FE ＝X 知 ，矩形FEGH 的面积为Y ，知AM ＝AD －MD ＝6－X
∴ BC ∥FG ∴ △AFG ∽△ABC
∴
BC FG AD AM = FG ＝）－（＝X AD BC AM 63
4? ∴ Y ＝FE 2FG ＝X 234（6－X ）＝－34X 2＋8X 自变量X 的取值范围是0＜X ＜6
⑶ 由△ABC 的面积是24 ，则－
3
4X 2＋8X ＝12 ，即当矩形FEGH 的面积是△ABC 面积的一半时 ，FE ＝MD ＝3 ， 则AM ＝21AD 连接O 2F 、O 1B 、AO 1 、则O 2必在AO 1上
∵ ∠AO 2F ＝∠AO 1B ∴ FO 2∥BO 1
∴ 2
112===AD AM AB AF B O F O ，即大圆半径为小圆半径 的2倍
三、习题
1 、设二次函数Y＝X2＋2mX－（2m＋1）的图象与X轴交于A 、B两点（A在B的左边），与Y轴交于点C ，连结AC 、BC ，图象的顶点为D ，坐标原点为O ，如果线段AO和OB 的长度的积为3 。（97年金市中都题）
⑴求点A和B的坐标；
⑵求sin∠ACB的值；
⑶如果点P在Y轴上，且△APD的面积与△ACB的面积相等，求点P的坐标。
2 、已知抛物线Y＝X2－6X＋m与X轴有两个不同的交点A和B ，以AB为直径作⊙C 。（98年南昌市中都题）
⑴求圆心C的坐标；
⑵是否存在实数m ，使抛物线的顶点在⊙上，若存在，求出m的值，若不存在，说明理由。
3 、已知a 、b 、c分别是△ABC的∠A 、∠B 、∠C的对边（a＞b），二次函数：
Y＝（X－2a）X－2b（X－a）＋c2的图象的顶点在X轴上，试判断△ABC的形状，并说明理由。（98年南昌市中都题）
4 、如图，RT△ABC中，∠C＝90°、CD＝6 ，以CD为直径的⊙O切AB于点M ，设AM2
＝Y 、AC＝X 。
⑴求Y与X 的函数关系式；
⑵当X＝8时，求△ABC的面积；（98年海南中考题）
5 、如图，已知正方形ABCD的边长为
6 ，E 、P 、F分别是AB 、
AD 、CD上的点（E 、F 、P不与正方形的顶点重合）且PE＝PF 、PE⊥PF 。
⑴求证：AE＋DF＝6 ；
⑵设AE＝X ，五边形EBCFP的面积为Y ，求Y与X的函数关系式，并求出Y的取值范围。
最新中考数学中的“新定义”
中考数学中的“新定义” 近年来的中考试题中，“新定义”的题目频频出现．此类题目的解决，可以很好地体现学生的临场发挥能力和知识的迁移能力．现结合具体题目加以分析． 一、定义新符号 例l (2014·新疆维吾尔自治区)规定用符号[ ]表示一个实数的整数部分，例如[3．69]=3， ]=l ，按此规定1]= 分析及解答本题涉及到无理数的估算，∵9<13<16，∴3<<4，∴1<3， ∴1]=2．故应填2． 二、定义新数 例2 (2010·杭州市)定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数．下面给出特征数为 [2m ，1一m ，一1一m ]的函数的一些结论： ①当m = 一3时，函数图象的顶点坐标是(18,33 )； ②当m >0时，函数图象截x 轴所得线段的长度大于 32； ③当m <0时，函数在x > 14 时，y 随x 的增大而减小； ④当m ≠O 时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论是 ( )． A ．①②③④ B ．①②④ C ．①③④ D ．②④ 分析及解答不妨把m = 一3代入知道，a = 一6，b =4，C =2， 22186426()33y x x x =-++=--+ ，所以函数图象的顶点坐标是(18,33 )．①正确排除选项D ；由于当m <0时，对称轴124b m x a m -=-=-大于14 ，所以③错误，排除A 、C ．综上可知，故选B ． 三、定义新图形 (1)定义新点 例3 (2014·北京市)在平面直角坐标系xOy 中，对于点P (,)x y ，我们把点P (1,1)y x -++叫做点P 的伴随点．已知点1A 的伴随点为2A ，点2A 的伴随点为3A ，点3A 的伴随点为4A ，…
2014年中考数学复习专题讲座(WORD)6：数学思想方法(二)
课件园https://www.360docs.net/doc/808036919.html, 2014年中考数学复习专题讲座六：数学思想方法（二） 一、中考专题诠释 数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。 抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识． 二、解题策略和解法精讲 数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。 三、中考考点精讲 考点四：方程思想 从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。 用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。 例1 （2012?广东）据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题： （1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率； （2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？ 考点：一元二次方程的应用。810360 专题：增长率问题。 分析：（1）设年平均增长率为x．根据题意2010年公民出境旅游总人数为5000（1+x）万人次，2011年公民出境旅游总人数5000（1+x）2 万人次．根据题意得方程求解； （2）2012年我国公民出境旅游总人数约7200（1+x）万人次． 解答：解：（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x．根据题意得5000（1+x）2 =7200． 解得x1 =0.2=20%，x2 =﹣2.2 （不合题意，舍去）． 答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%． （2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率， 则2012年我国公民出境旅游总人数为7200（1+x）=7200×120%=8640万人次． 答：预测2012年我国公民出境旅游总人数约8640万人次． 点评：方程是解决应用题、实际问题和许多方面的数学问题的重要基础知识，应用范围非常广泛。很多数学问题，特别是有未知数的几何问题，就需要用方程或方程组的知识来解决。具有方程思想就能够很好地求得问题中的未知元素或未知量，这对解决和计算有关的数学问题，特别是综合题，是非常需要的。 - 1 -
中考数学复习专题讲座
中考数学专题讲座一：选择题解题方法 一、中考专题诠释 选择题是各地中考必考题型之一，这说明选择题有它不可替代的重要性. 选择题具有题目小巧，答案简明；适应性强，解法灵活；概念性强、知识覆盖面宽等特征，它有利于考核学生的基础知识，有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养. 二、解题策略与解法精讲 选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做. 解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，又不要求写出解题过程. 因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略. 具体求解时，一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 事实上，后者在解答选择题时更常用、更有效. 三、中考典例剖析 考点一：直接法 从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础. 例1 方程的解是（） A．x=±1 B．x=1 C．x=﹣1 D．x=0 思路分析：观察可得最简公分母是（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 解：方程的两边同乘（x+1），得 x2﹣1=0， 即（x+1）（x﹣1）=0， 解得：x1=﹣1，x2=1． 检验：把x=﹣1代入（x+1）=0，即x=﹣1不是原分式方程的解； 把x=1代入（x+1）=2≠0，即x=1是原分式方程的解． 则原方程的解为：x=1． 故选B． 点评：此题考查了分式方程的求解方法．此题难度不大，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根． 对应训练 1．某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有（） A．7队B．6队C．5队D．4队 考点二：特例法 运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法。用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好.
专题讲座(数学思想方法与初中数学教学)
专题讲座(数学思想方法与初中数学教学)
数学活动的机会，帮助学生在自主探索和合作交流的过程中，真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力，从而为解决数学问题、进行数学思维起到很好的促进作用。因此，在初中数学教学中，教师必须重视对学生进行数学思想方法的渗透与培养。 二、几种常见的数学思想方法在初中数学教学中的应用 （一）渗透转化思想，提高学生分析解决问题的能力 所谓“转化思想”是指把待解决或未解决的问题，通过转化，归结到已经解决或比较容易解决的问题中去，最终使问题得到解决的一种思想方法。转化思想是初中数学中常见的一种数学思想，它的应用十分广泛，我们在数学学习过程中，常常把复杂的问题转化为简单的问题，把生疏的问题转化为熟悉的问题。数学问题的解决过程就是一系列转化的过程，转化是化繁为简，化难为
易，化未知为已知的有力手段，是解决问题的一种最基本的思想，对提高学生分析解决问题的能力有积极的促进作用。 我们对转化思想并不陌生，中学数学中常用的化高次为低次、化多元为一元，都是转化思想的体现。在具体内容上，有加减法的转化、乘除法的转化、乘方与开方的转化、数形转化等等。例如：初中数学“有理数的减法”和“有理数的除法”这两节教学内容中，教材是通过“议一议”的形式，使学生在自主探究和合作交流的过程中，经历把有理数的减法转化为加法、把有理数的除法转化为乘法的过程，“减去一个数等于加上这个数的相反数”，“除以一个数等于乘以这个数的倒数”，这个地方虽然很简单，但却充分体现了把“没有学过的知识”转化为“已经学过的知识”来加以解决，学生一旦掌握了这种解决问题的策略，今后无论遇到多么难、多么复杂的问题，都会自然而然地想到把“不会的”转化为“会的”、“已经掌握的”知识来加以解决，这符合学生原有认知规律，作为教师，我们不能因为简单而忽视它的教学，实践告诉我们，往往是越简单、越浅显的例子，越能引起学生的认同，
中考数学复习专题讲座10：方案设计型问题 (1)
精品“正版”资料系列，由本公司独创。旨在将“人教版”、”苏教版“、”北师 大版“、”华师大版“等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和 检测题分享给需要的朋友。 本资源创作于2020年8月，是当前最新版本的教材资源。包含本课对应 内容，是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最佳选择。 2013年中考数学专题讲座一：选择题解题方法 一、中考专题诠释 选择题是各地中考必考题型之一，2012年各地命题设置上，选择题的数目稳定在8～14题，这说明选择题有它不可替代的重要性. 选择题具有题目小巧，答案简明；适应性强，解法灵活；概念性强、知识覆盖面宽等特征，它有利于考核学生的基础知识，有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养. 二、解题策略与解法精讲 选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做. 解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，又不要求写出解题过程. 因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略. 具体求解时，一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 事实上，后者在解答选择题时更常用、更有效. 三、中考典例剖析 考点一：直接法 从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础. 例1 （2012?白银）方程的解是（） A．x=±1 B．x=1 C．x=﹣1 D．x=0 思路分析：观察可得最简公分母是（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 解：方程的两边同乘（x+1），得 x2﹣1=0， 即（x+1）（x﹣1）=0， 解得：x1=﹣1，x2=1． 检验：把x=﹣1代入（x+1）=0，即x=﹣1不是原分式方程的解； 把x=1代入（x+1）=2≠0，即x=1是原分式方程的解． 则原方程的解为：x=1． 故选B． 点评：此题考查了分式方程的求解方法．此题难度不大，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根． 对应训练
中考数学复习专题讲座：选择题的解题技巧
2015年中考数学复习专题讲座：选择题的解题技巧 一、中考专题诠释 选择题是河北省中考必考题型之一，这几年选择题的数目稳定在16个，分值42分。 选择题具有题目小巧，答案简明；适应性强，解法灵活；概念性强、知识覆盖面宽等特征，它有利于考核学生的基础知识，有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养. 二、解题策略与解法精讲 选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做. 解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，又不要求写出解题过程. 因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略. 具体求解时，一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 事实上，后者在解答选择题时更常用、更有效. 三、2014年河北省中考数学试卷 卷I （选择题，共42分） 一、选择题（本大题共16个小题，1-6小题，每小题2分；7-16小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1、-2是2的( ) A 、倒数 B 、相反数 C 、绝对值 D 、平方根 2、如图，△ABC 中，D,E 分别上边AB ，AC 的中点，若DE=2，则 BC= （ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 3、计算：852-152= ( ) A 、70 B 、700 C 、4900 D 、7000 4、如图，平面上直线a ，b 分别过线段OK 两端点（数据如图），则a ，b 相交 所成的锐角为（ ） A 、20° B 、30 ° C 、70° D 、80° 5、a ，b 是两个连续整数，若a ＜7＜b ，则a ，b 分别是（ ） A 、2,3 B 、3,2 C 、3,4 D 、6,8 6、如图，直线l 经过第二，三，四象限，l 的解析式是y=（m-2）x+n ，则 m 的取值范围则数轴上表示为（ ） 7、化简： 1x 2-x -1 x x -（ ） A 、0 B 、1 C 、x D 、1x x - A B C D
如何进行中考数学复习
如何进行初中数学中考复习 辽中县肖寨门九年一贯制学校董春艳 初三数学复习的内容面广量大，知识点多，要想在短暂的时间内全面复习初中三年所学的数学知识，形成基本技能，提高解题技巧、解题能力，并非易事。如何提高复习的效率和质量，是每位初三的教师和学生所关心的。为此，我谈一些自己的想法，供大家参考。 一、注重考法研究，把握中考动向 中考复习前，初三数学组要进行考法研究，研究近几年中考数学命题的走向，研究考纲，研究中考复习策略。每位数学老师都进行专题发言。中考考法研究的专题研讨会，将对初三老师的复习起到指导作用，对初三老师把握中考动向，纠正复习偏差，产生积极而深刻的影响。 平时考试中，教师可以模拟中考命题，试题来源于课本改编及自编，注重信息的收集和新题型的探索，着重考查学生基本的数学思想和方法。每次考完后教师与学生都要及时做总结，这样既让教师对中考复习的把握更深，又有利于学生寻找差距，奋力拼争。 二、制定合理的复习计划 切实可行的复习计划能让复习有条不紊地进行下去，起到事半功倍的效果。我们认为，中考的数学复习最好是分四轮进行。 第一轮，摸清初中数学内容的脉络，开展基础知识系统复习。近几年的中考题安排了较大比例（70％以上）的试题来考查“双基”。全卷的基础知识的覆盖面较广，起点低，许多试题源于课本，在课本中能找到原型，有的是对课本原型进行加工、组合、延伸和拓展。复习中要紧扣教材，夯实基础，同时关注新教材中的新知识，对课本知识进行系统梳理，形成知识网络，同时对典型问题进行变式训练，达到举一反三、触类旁通的目的，做到以不变应万变，提高应能力。 近几年的中考题告诉我们学好课本的重要性。在复习时必须深钻教材，在做题中应注意解题方法的归纳和整理，做到举一反三，有些中考题就在书上的例题和习题的基础上延伸、拓展，因此，教师要引导学生重视基础知识的理解和方法的学习。基础知识就是初中所涉及的概念、公式、公理、定理等，掌握基础知识之间的联系，要做到理清知识结构，形成整体知识，并能综合运用。例如：中考涉及的动点问题，既是方程、不等式与函数问题的结合，同时也常涉及到几何中的相似三角形、比例推导等等。 第二轮，针对热点，抓住弱点，开展难点知识专题复习。根据历年中考试卷命题的特点，精心选择一些新颖的、有代表性的题型进行专题训练，就中考的特点可以从以下几个方面收集一些资料，进行专项训练：①实际应用型问题；②突出科技发展、信息资源的转化的图表信息题；③体现自学能力考查的阅读理解题；④考查学生应变能力的图形变化题、开放性试题；⑤考查学生思维能力、创新意识的归纳猜想、操作探究性试题；⑥几何代数综合型试题等。 第三轮，综合训练（模拟练习）。这一阶段，重点是提高学生的综合解题能力，训练学生的解题策略，加强解题指导，提高应试能力。具体做法是：从往年中考卷、自编模拟试卷中精选十份进行训练，每份的练习要求学生独立完成，老师及时批改，重点讲评。
四川省木里县中学中考数学专题讲座抛物线及几何问题复习
抛物线与几何问题 【知识纵横】 抛物线的解析式有下列三种形式：1、一般式：2y ax bx c =++(a ≠0)；2、顶点式：y =a(x —h) 2-＋k ；3、交点式：y=a(x —x 1)(x —x 2 ) ，这里x 1、x 2 是方程ax 2 +bx+c=0 的两个实根。 解函数与几何的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。 【典型例题】 【例1】 (浙江杭州) 在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）。平移二 次函数2 tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B ，C 两点（∣OB∣<∣OC∣），连结A ，B 。 （1）是否存在这样的抛物线F ， OC OB OA ?=2 ？请你作出判断，并说明理由； （2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO=2 3 ，求抛物线F 对应的二次函数的解析式。 【思路点拨】（1）由关系式OC OB OA ?=2 来构建关于t 、b 的方程；(2)讨论 t 的取值范围，来求抛物线F 对应的二次函数的解析式。 【例2】(江苏常州)如图,抛物线2 4y x x =+与x 轴分别相交于点B 、O,它的顶点为A,连接AB,把AB 所的直线沿y 轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P 是直线l 上一动点.
（1）求点A 的坐标; （2）以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中,有菱形、等 腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标; （3）设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S, 点P 的横坐标为x,当462682S +≤≤+时,求x 的取值范围. 【思路点拨】（3）可求得直线l 的函数关系式是y=-2x ，所以应讨论①当点P 在第二象限时，x<0、 ②当点P 在第四象限是，x>0这二种情况。 【例3】（浙江丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为（2，4），直线2=x 与x 轴相交于点B ，连结OA ，抛物线2 x y =从点O 沿OA 方向平移，与直线2=x 交于点 P ，顶点M 到A 点时停止移动． （1）求线段OA 所在直线的函数解析式； （2）设抛物线顶点M 的横坐标为m , ①用m 的代数式表示点P 的坐标； ②当m 为何值时，线段PB 最短； （3）当线段PB 最短时，相应的抛物线上是否存在点Q ，使△QMA 的面积与△PMA 的面积相等，若存在，请求出点Q 的 坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（2）构建关于PB 的二次函数，求此函数的最小值；（3）分当点Q 落在直线OA 的下方时、当点Q 落在直线OA 的上方时讨论。 【例4】（广东省深圳市）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数 )0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝OC ，tan∠ACO＝3 1 ． （1）求这个二次函数的表达式． （2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ， 使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在， y B O A P M x 2x =
专题讲座 ——初中数学复习策略
专题讲座——初中数学复习策略 近几中考试题都体现了“立足基础、考查能力、加强应用”的中考指导思想，大致有以下特点：一是知识考查基础化；二是题材选择生活化；三是能力要求层次化；四是思维模式开放化；五是试卷结构格式化。这就要求我们必须扎实有序的开展复习工作，提高数学总复习的质量和效益。下面就初三数学总复习的有关问题谈一点个人的看法和体会： 第一轮复习全面复习基础知识，加强基本技能训练。 这个阶段的复习目的是让学生全面掌握初中数学基础知识，提高基本技能，掌握基本方法，做到全面、扎实、系统，形成知识网络，是总复习的重点。 在这一阶段复习中要充分体现“习、练、透”。 １．习，即温习。在每单元的复习之前，让学生事先依据要求进行温习，例如：要求他们根据考试大纲，温习所学过的知识，整理复习提纲，编写复习资料，各自编写单元或综合试题，互相考查，互相研究解题答卷的技巧，互评试卷的优劣性等等。同时，运用“讲演法”，让学生对现阶段复习进行回顾、思考及提高，以便指导下阶段的复习。所谓的“讲演法”不只是用语言表述，更主要是对复习的总结。 ２．练，就是在复习的基础上，通过教师的归纳总结、讲解，在每一个单元设计一些针对性强，有典型性和代表性的练习，进行数学思维的训练，形成严格又精确的思维习惯。运用数字化的处理方
式，进行建模训练，学会用数学知识方法解决实际问题；培养学生学会抓住事物表象之下的数量关系，提出带普遍意义的数学问题，达到强化、巩固复习效果。 ３．透，就是注重知识的内在联系，培养思维的深刻性，并贯穿复习的始终。在全面复习的基础上对各知识点之间的联系区别进行归纳总结。引导学生将繁杂的知识简约化，零散的知识系统化，交叉的知识立体化，横纵的知识网络化。这样才能循序渐进，逐步提高。学生按这个层次结构，挖掘知识的内涵和外延，能有效地提高学生复习质量和效 第二轮复习：综合运用知识，加强能力培养。 这个阶段的复习目的是构建初中数学知识结构，从整体上把握数学内容，侧重提高学生分析能力、解决问题的能力，是第一轮复习的延伸和提高。这一轮采取专题讲座、综合训练等形式。 分类复习，一一击破 分类复习的依据为内容分类和题型分类两种形式。根据不同要求，对相关内容分门别类的进行综合比较讲解等。下面谈谈题型分类复习中应注意的几点问题。 １．注重数学思想方法的概括，提高思维的灵活性。在复习课中，特别是在解题教学中，很多内容含有丰富的数学思想和方法，教师有意识地加以概括，对培养学生的思维能力会起到重要的作用。例如在分析一道综合题推理运算论证时，有意识展示数学思想方法的优越性，在哪里体现了数形结合，使问题得到转化，哪里体现方
2020年中考数学总复习满分方法技巧解读专题讲座(共十三个专题)
2020年中考数学总复习满分方法技巧解读专题讲座（共十三个专题） 2020年中考数学专题讲座一：选择题解题方法 一、中考专题诠释 选择题是各地中考必考题型之一，2019年各地命题设置上，选择题的数目稳定在8～14题，这说明选择题有它不可替代的重要性. 选择题具有题目小巧，答案简明；适应性强，解法灵活；概念性强、知识覆盖面宽等特征，它有利于考核学生的基础知识，有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养. 二、解题策略与解法精讲 选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做. 解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，又不要求写出解题过程. 因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略. 具体求解时，一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 事实上，后者在解答选择题时更常用、更有效. 三、中考典例剖析 考点一：直接法 从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础. 例1 （2019?白银）方程的解是（） A．x=±1 B．x=1 C．x=﹣1 D．x=0 思路分析：观察可得最简公分母是（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 解：方程的两边同乘（x+1），得 x2﹣1=0， 即（x+1）（x﹣1）=0， 解得：x1=﹣1，x2=1． 检验：把x=﹣1代入（x+1）=0，即x=﹣1不是原分式方程的解； 把x=1代入（x+1）=2≠0，即x=1是原分式方程的解． 则原方程的解为：x=1． 故选B． 点评：此题考查了分式方程的求解方法．此题难度不大，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根．
中考数学专题讲座 解选择题的策略
2009中考数学专题讲座解选择题的策略 概述： 1．选择题在中考中占的比例较大，题比较基础，做题时要细心认真，?失分很不合算，因为它只要一个答案，并不看你的解答过程，若在某个细节上出问题，全题就一分不得． 2．解选择题的方法大致有以下几种：综合法、分析法、验算法、?排除法（筛选法）等．典型例题精析 例1．在下列计算中，正确的是（） （A）（ab2）3=ab6（B）（3xy）3=9x3y3 （C）（-2a2）2=-4a4（D）（-2）-2=1 4 解：宜用排除法．（A）中，没有3次方，（B）中32≠9，（C）中（-2）2≠4． ∴应选D． 例2．二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则△ABC的面积为（） （A）6 （B）4 （C）3 （D）1 解：宜用综合法，令x2-4x+3=0，得x1=1，x2=3， ∴│AB│=│3-1│=2，令x=0得y=3．? ∴C（0，3），即△CAB中，AB边上的高为3， ∴S△ABC=1 2 ×2×3=3 故选（C）． 例3．若m
中考数学复习专题讲座精编含详细参考答案数学思想方法
2018年中考数学复习专题讲座：数学思想方法<2） 一、中考专题诠释 数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。 抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试卷中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识． 二、解题策略和解法精讲 数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。 三、中考考点精讲 考点四：方程思想 从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组>。这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。 例1 <2018?广东）据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2018年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2018年、2018年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题： <1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率； <2）如果2018年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2018年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？ 考点：一元二次方程的应用。专题：增长率问题。 分析：<1）设年平均增长率为x．根据题意2018年公民出境旅游总人数为 5000<1+x）万人次， 2018年公民出 2 境旅游总人数 5000<1+x）万人次．根据题意得方程求解； <2）2018年我国公民出境旅游总人数约7200<1+x）万人次． 2 解答：解：<1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x．根据题意得5000<1+x）=7200． 解得 x=0.2=20%，x=﹣2.2 <不合题意，舍去）．答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为 2 1 20%． <2）如果2018年仍保持相同的年平均增长率，则2018年我国公民出境旅游总人数为 7200<1+x）=7200×120%=8640万人次．答：预测2018年我国公民出境旅游总人数约8640万人次． 点评：方程是解决应用题、实际问题和许多方面的数学问题的重要基础知识，应用范围非常广泛。很多数学问题，特别是有未知数的几何问题，就需要用方程或方程组的知识来解决。具有方程思想就能够很好地求得问题中的未知元素或未知量，这对解决和计算有关的数学问题，特别是综合题，是非常需要的。
2019-2020年中考数学重难点专题讲座 第三讲 动态几何问题
2019-2020年中考数学重难点专题讲座 第三讲 动态几何问题 智康·刘豪 【前言】第一讲和第二讲我们探讨了有关中考几何综合题的静态问题，相信很多同学已经有所掌握了。但是静态问题的难度最多也就是中等偏上，真正让人抓狂的永远是动态问题。从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。在这一讲，我们着重研究一下动态几何问题的解法，代数方面的动态问题我们将在第七，第八讲来解决。由于有些题目比较难和繁琐，建议大家静下心来慢慢研究，在这些题上花越多时间，中考中遇到类似题目就会省下越多的时间。 第一部分 真题精讲 【例1】（xx ，密云，一模） 如图，在梯形中，，，，，梯形的高为．动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为（秒）． C M B （1）当时，求的值； （2）试探究：为何值时，为等腰三角形． 【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M ，N 是在动，意味着BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN//AB 时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。 【解析】 解：（1）由题意知，当、运动到秒时，如图①，过作交于点，则四边形是平行四边形． A B M C N E D ∵，． ∴． （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN 放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） ∴． （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键） ∴ ．解得．
中考数学重难点专题讲座-第三讲-动态几何
中考数学重难点专题讲座 第三讲 动态几何问题 【前言】 从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。在这一讲，我们着重研究一下动态几何问题的解法， 第一部分 真题精讲 【例1】（2010，密云，一模） 如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点 M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出 发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）． （1）当MN AB ∥时，求t 的值； （2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形． 【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M ，N 是在动，意味着BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN//AB 时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，
自然得出结果。 【解析】 解：（1）由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，如图①，过D 作DE AB ∥交BC 于E 点，则四边形ABED 是平行四边形． A B M C N E D ∵AB DE ∥，AB MN ∥． ∴DE MN ∥． （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN 放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） ∴MC NC EC CD =． （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键） ∴ 1021035t t -=-．解得50 17 t =． 【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC 即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN 这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解 【解析】 （2）分三种情况讨论： ① 当MN NC =时，如图②作NF BC ⊥交BC 于F ，则有2MC FC =即．（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质） ∵4 sin 5DF C CD ∠==， ∴3cos 5 C ∠= ， ∴310225 t t -=?， 解得258 t = ．
宁波地区中考数学复习专题讲座三开放性问题含详细参考答案
2013年中考数学复习专题讲座三：开放性问题 一、中考专题诠释 开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类． 二、解题策略与解法精讲 解开放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等。 三、中考考点精讲 考点一：条件开放型 条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求． 例1 （2012?义乌市）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD 及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．你添加的条件是．（不添加辅助线）． 考点：全等三角形的判定。810360 专题：开放型。 分析：由已知可证∠ECD﹦∠FBD，又∠EDC﹦∠FDB，因为三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．故添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或 ∠DEC=∠DFB等）； 解答：解：（1）添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）．
（2）证明：在△BDF和△CDE中 ∵ ∴△BDF≌△CDE． 点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 考点二：结论开放型： 给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍． 例2 （2012?宁德）如图，点E、F分别是AD上的两点，AB∥CD，AB=CD，AF=DE．问：线段CE、BF有什么数量关系和位置关系？并加以证明． 考点：全等三角形的判定与性质；平行线的性质；平行线的判定与性质。810360 专题：探究型。 分析：CE和BF的关系是CE=BF（数量关系），CE∥BF（位置关系），理由是根据平行线性质求出∠A=∠D，根据SAS证△ABF≌△DCE，推出CE=BF，∠AFB=∠DEC即可． 解答：CE和BF的数量关系是CE=BF，位置关系是CE∥BF， 证明：∵AB∥CD， ∴∠A=∠D， ∵在△ABF和△DCE中
2013年北京中考数学复习专题讲座六：数学思想方法(二)(含详细参考答案)
2013年中考数学复习专题讲座六：数学思想方法（二）一、中考专题诠释 数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。 抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识． 二、解题策略和解法精讲 数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。 三、中考考点精讲 考点四：方程思想 从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。 用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。 例1（2012?广东）据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题： （1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率； （2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？ 考点：一元二次方程的应用。810360 专题：增长率问题。 分析：（1）设年平均增长率为x．根据题意2010年公民出境旅游总人数为5000（1+x）万人次，2011年公民出境旅游总人数5000（1+x）2万人次．根据题意得方程求解； （2）2012年我国公民出境旅游总人数约7200（1+x）万人次． 解答：解：（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x．根据题意得5000（1+x）2=7200． 解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%． （2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率， 则2012年我国公民出境旅游总人数为7200（1+x）=7200×120%=8640万人次． 答：预测2012年我国公民出境旅游总人数约8640万人次． 点评：方程是解决应用题、实际问题和许多方面的数学问题的重要基础知识，应用范围非常广泛。很多数学问题，特别是有未知数的几何问题，就需要用方程或方程组的知识来解决。
2020年中考数学总复习满分方法技巧解读专题讲座(共七个专题)
2020年中考数学总复习满分方法技巧解读专题讲座（共七个专题） 2020年中考数学专题讲座一：选择题解题方法 一、中考专题诠释 选择题是各地中考必考题型之一，2019年各地命题设置上，选择题的数目稳定在8～14题，这说明选择题有它不可替代的重要性. 选择题具有题目小巧，答案简明；适应性强，解法灵活；概念性强、知识覆盖面宽等特征，它有利于考核学生的基础知识，有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养. 二、解题策略与解法精讲 选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做. 解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，又不要求写出解题过程. 因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略. 具体求解时，一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 事实上，后者在解答选择题时更常用、更有效. 三、中考典例剖析 考点一：直接法 从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此
种方法解题需要扎实的数学基础. 例1 （2019?白银）方程的解是（） A．x=±1 B．x=1 C．x=﹣1 D．x=0 思路分析：观察可得最简公分母是（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 解：方程的两边同乘（x+1），得 x2﹣1=0， 即（x+1）（x﹣1）=0， 解得：x1=﹣1，x2=1． 检验：把x=﹣1代入（x+1）=0，即x=﹣1不是原分式方程的解； 把x=1代入（x+1）=2≠0，即x=1是原分式方程的解． 则原方程的解为：x=1． 故选B． 点评：此题考查了分式方程的求解方法．此题难度不大，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根． 对应训练 1．（2019?南宁）某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有（）