充要条件的判定
充要条件的探求与判定
[解析] 由 2 x (a 1) (a 1)
2
2
(a 1) 2 x (a 1) (a 1)
2 2
2
2a x a 1
2
由x 4( a 1) x 3( 4a 1) 0
2
( x 3)[ x ( 4a 1)] 0 设集合A { x | 2a x a 1},
即 x|xa|+b= x|x+a| b成立.
比较等式两边函数式结 构可得： a a 2 2 , 即a b 0, 即a b 0. b b
[考点搜索]
1. 根据已知，探求使一个命题成立 的充分不必要条件，必要不充分条件， 充要条件等.
2. 探求充要条件常用三种思维方法: ① 先求必要条件，再验证充分性； ② 先求充分条件，再验必要性； ③ 将命题作条件转化后再作探求， 化难为易.
1, a n 1 2a n 1 an ( n N *), 设bn an p an
( p 0为常数), 求数列{bn }为等比数列的 充要条件.
[解]
bn
an p an
, a n
p bn 1
,
又a n 1 从而
2a n 1 an p
,
[解析] 命题p为真命题 对任意实数
a 0 a 2 2 x都有ax x 0成立 a 16 0 1 4 a 2.
命题q为真命题 当x 0时不等式 2 x 1 1 ax恒成立, 即a 2x 1 1 x
恒成立 当x 0时, a 恒成立. 当x 0时 2 x 1 1, 2 x 1 1 2, 从而0 2 2x 1 1 1.
充分条件与必要条件的四种判定方法
充分条件与必要条件的四种判定方法充分条件与必要条件是逻辑学中的重要概念，用于描述一个命题的条件关系。
充分条件指的是一个条件成立可以推导出另一个条件成立，而必要条件则是一个条件成立可以推导出另一个条件成立。
关于充分条件与必要条件的判定有四种方法，分别是充分性原则、必要性原则、充要条件等价原则和等价条件原则。
首先是充分性原则，充分性原则指的是如果一个命题P蕴含另一个命题Q，也就是P成立可以推导出Q成立，那么就说P是Q的充分条件，或者说Q是P的必要条件。
在判定中，我们可以根据已知的P成立推导出Q成立，以此证明P是Q的充分条件。
其次是必要性原则，必要性原则指的是如果一个命题P成立可以推导出另一个命题Q成立，那么就说P是Q的必要条件，或者说Q是P的充分条件。
在判定中，我们可以根据已知的P成立推导出Q成立，以此证明P是Q的必要条件。
接下来是充要条件等价原则，充要条件等价原则指的是如果两个命题P和Q相互蕴含，也就是P成立可以推导出Q成立且Q成立可以推导出P成立，那么就说P是Q的充要条件。
在判定中，我们可以根据已知的P成立推导出Q成立，并且根据已知的Q成立推导出P成立，以此证明P是Q的充要条件。
最后是等价条件原则，等价条件原则是充分性原则和必要性原则的结合，通过充分性和必要性的双向推导来判定条件关系。
在判定中，我们既要根据已知的P成立推导出Q成立，又要根据已知的Q成立推导出P成立，以此证明P是Q的等价条件。
综上所述，充分条件与必要条件的判定有四种方法，包括充分性原则、必要性原则、充要条件等价原则和等价条件原则。
在使用这些方法进行判定时，需要根据已知的条件进行推导和证明，以确定条件之间的关系。
这些方法在数学推导、逻辑推理以及证明论中有着广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和分析命题之间的条件关系。
充要条件的理解及判定方法
x－1 由｜1－ |≤2，得 p：－2≤x≤10， 3
解得 m≥9为所求．
另法：¬q是¬p 的充分而非必要条 件等价于p是q的充分而非必要条件，
则[-2，10]就是[1-m，1+m]的真子集.
二、重难点讲解 例5 判断:“b2-4ac=0”是“一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的 实根”的什么条 件？并证明结论。 解：是充要条件. 1。充分性 ：设b2-4ac=0 将ax2+bx+c=0(a≠0)配方得： a(x+b/2a)2=(b2-4ac)/4a, (x+b/2a)2=(b2-4ac)/4a2 ∵ b2-4ac=0 ∴ (x+b/2a)2=0 ∴ x1=x2= -b/2a 即方程有两个相等的实数根.
p
q 则说p是q的充要条件；
q是p的必要条件.
q，则说p是q的充分条件； p，则说p是q的必要条件； 如果既有p q，又有q p，就记作
q，则说p是q的顾
2.从集合角度理解以上的定义： q，相当于P Q ，即 P Q 或 P、Q 有它就行
①p
②q
p
p，相当于Q
P ，即
Q
P 或 P、Q
缺它丌行
同一事物
q，相当于P=Q ，即
P、Q
一、知识点回顾
3.三种条件的理解，可以通过下列电路图来说明 对于电路通
A
B C D E
①
②
③
① A、B仅充分
② C、D仅必要
③ E充要
一、知识点回顾
4.判别步骤： ① 认清条件和结论。 ② 考察p q和q p的真假。 注意： ①在句型： A是B的 ？ 条件中，A是条件，B是结论. ②在句型：A的 ？ 条件是B中，B是条件，A是结论. 5.判别技巧： ① 可先简化命题. ② 否定一个命题只要举出一个反例即可. ③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断.
充分条件、必要条件的判断与证明
A. x 1
B. x －6
D.x 0或x 0
C.x 1或x －6
下列各题中，p是q的什么条件？
1.p : A
x | log1(x
2
3) 0,q : B
x | x 2
5 6
x
1 6
0
2.p : A
x | log1(x
2
3)
0,q : B
x
|
x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5 6
x
1 6
0
3.p : ax 2 ax 1 0的解集是R；q : 0 a 4.
②从集合角度看
设：A {x | x满足条件p} B {x | x满足条件q} 1）若A B且B A，则称p是q的充分不必要条件
2）若A B且B A，则称p是q的必要不充分条件
1)
B
A
2) A
B
3）若 A且B，B则A称p是q的既不充分也不必要条件 4）若A B且B A，既A=B，则称p是q的充要条件
条件。
2
6
5．设p、r都是q的充分条件，s是q的充分必要条件，t是s 的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的__充__分___条件， r是t的___充__要___条件。
习题1.2
4.求圆(x-a)2+(y-b)2=r2经过原点的充要条件。
2.求证：△ABC是等边三角形的充要条件是 a2+b2+c2=ab+ac+bc， 这里a,b,c是△ABC的三条边。
+ 3．转换法：当所给命题的充要条件不易判定时， 可对命题进行等价转换，例如改用其逆否命题进 行判断．
A
B
3)
A =B 4)
充要条件
充分条件与必要条件知识点梳理要点一、充分条件与必要条件 充要条件的概念符号p q ⇒与p q ⇒/的含义“若p ，则q ”为真命题，记作：p q ⇒； “若p ，则q ”为假命题，记作：p q ⇒/.充分条件、必要条件与充要条件①若p q ⇒，称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.②如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔，这时p 是q 的充分必要条件，称p 是q 的充要条件.要点诠释：对p q ⇒的理解：指当p 成立时，q 一定成立，即由p 通过推理可以得到q .①“若p ，则q ”为真命题； ②p 是q 的充分条件； ③q 是p 的必要条件以上三种形式均为“p q ⇒”这一逻辑关系的表达.要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题“若p ，则q ”，其条件p 与结论q 之间的逻辑关系①若p q ⇒，但q p ⇒/，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件； ②若p q ⇒/，但q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件； ③若p q ⇒，且q p ⇒，即p q ⇔，则p 、q 互为充要条件；④若p q ⇒/，且q p ⇒/，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 从集合与集合间的关系看 若p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； ②若A 是B 的 真子集，则p 是q 的充分不必要条件； ③若A=B ，则p 、q 互为充要条件；④若A 不是B 的子集且B 不是A 的子集，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 要点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：①确定哪是条件，哪是结论； ②尝试用条件推结论， ③再尝试用结论推条件，④最后判断条件是结论的什么条件. 要点三.充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立） 要点诠释：对于命题“若p ，则q ”①如果p 是q 的充分条件，则原命题“若p ，则q ”与其逆否命题“若q ⌝，则p ⌝”为真命题；②如果p 是q 的必要条件，则其逆命题“若q ，则p ”与其否命题“若p ⌝，则q ⌝”为真命题；③如果p 是q 的充要条件，则四种命题均为真命题.类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定例1.指出下列各题中，p 是q 的什么条件？ (1) p : (2)(3)0x x --=， q : 2x =； (2) p : 0c =，q : 抛物线2y ax bx c =++过原点 (3) p : 一个四边形是矩形，q : 四边形的邻边相等【答案】(1)∵p : 2x =或3x =, q : 2x =∴p q ⇒/且q p ⇒,∴p 是q 的必要不充分条件； (2)∵p q ⇒且q p ⇒,∴p 是q 的充要条件；(3)∵p q ⇒/且q p ⇒/，∴p 是q 的既不充分条件也不必要条件.例2. “x <－1”是“x 2－1>0”的________条件．【解析】2101,1x x x ->⇒<->，故2110x x <-⇒->，但2101x x ->⇒<-/， ∴“x <－1”是“x 2－1>0”的充分而不必要条件．例3.判断下列各题中p 是q 的什么条件.（1）p :0a >且0b >, q :0ab > （2）p :1>yx, q : x y >. 【答案】（1）p 是q 的充分不必要条件. ∵0a >且0b >时，0ab >成立；反之，当0ab >时，只要求a 、b 同号即可. ∴必要性不成立.（2）p 是q 的既不充分也不必要条件 ∵1>yx在0y >的条件下才有x y >成立. ∴充分性不成立，同理必要性也不成立.例4 设甲，乙，丙是三个命题，如果甲是乙的充要条件，丙是乙的充分非必要条件，那么丙是甲的（ ）.A 、充分非必要条件B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件【答案】A ；【解析】由已知有甲⇔乙，丙⇒乙且乙⇒/丙.于是有丙⇒乙⇒甲，且甲⇒/丙（否则若甲⇒丙，而乙⇒甲⇒丙，与乙⇒/丙矛盾）故丙⇒甲且甲⇒/丙，所以丙是甲的充分非必要条件.练习题1.设x R ∈，则条件“2x >”的一个必要不充分条件为（ ）A.1x >B.1x <C.3x >D.3x <2．已知x 1，x 2∈R ，则“x 1>1且x 2>1”是“x 1＋x 2>2且x 1·x 2>1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下面四个条件中，使a >b 成立的必要不充分条件是( )A ．a －1>bB ．a ＋1>bC ．|a |>|b |D ．a 3>b 3 4．“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设p ，r 都是q 的充分条件，s 是q 的充要条件，t 是s 的必要条件，t 是r 的充分条件，那么p 是t 的________条件，r 是t 的________条件．(用“充分”“必要”或“充要”填空)6．设x ∈R ，则“x －12<12”是“x 3<1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7. 设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件8.已知p ：0<x<3，q ：|x-1|<2，则p 是q 的（ ）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件9.下列叙述中正确的是( )A．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β10．已知a>0，b∈R，那么a＋b>0是a>|b|成立的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件类型二：充要条件的探求与证明例1. 设x、y∈R，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.【解析】（1）充分性：若xy=0，那么①x=0，y≠0；②x≠0，y=0；③x=0，y=0，于是|x+y|=|x|+|y|如果xy＞0，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，当x＞0，y＞0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|.当x＜0，y＜0时，|x+y|=－(x+y)=－x+(－y)=|x|+|y|.总之，当xy≥0时，有|x+y|=|x|+|y|.（2）必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x、y∈R，得(x+y)2=(|x|+|y|)2，即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2，|xy|=xy，∴xy≥0.综上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.判断命题的充要关系有三种方法：（1）定义法；（2）等价法，即利用A B⌝⇒⌝；A B⇔与⌝⇒⌝；B A⇒与B A⇒与A B⌝⇔⌝的等价关系，对于条件或结论是不等关系（否定式）的命题，一般运A B用等价法.⊆，则A是B的充分条件或B是A的（3）利用集合间的包含关系判断，若A B必要条件；若A=B，则A是B的充要条件.例2.已知a, b, c 都是实数，证明ac<0是关于x 的方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件. 【答案】（1）充分性:若ac<0，则Δ=b 2-4ac>0，方程ax 2+bx+c=0有两个相异实根，设为x 1, x 2,∵c<0, ∴x 1·x 2=ac<0，即x 1,x 2的符号相反，即方程有一个正根和一个负根. （2）必要性:若方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根，设为x 1,x 2,且x 1>0, x 2<0，则x 1·x 2=ac<0，∴ac<0综上可得ac<0是方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.例3. 求关于x 的方程ax 2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件. 【答案】 （1）a=0时适合.（2）当a ≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则必须满足100440a aa ⎧⎪<⇒<⎨⎪∆=->⎩； 若方程有两个负的实根，则必须满足10201440a a aa ⎧>⎪⎪⎪-<⇒<≤⎨⎪∆=-≥⎪⎪⎩ 综上知，若方程至少有一个负的实根，则a ≤1； 反之，若a ≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x 的方程ax 2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a ≤1类型三：充要条件的应用 例1.已知221:|1|2,:210(0),3x p q x x m m --≤-+-≤>若p 是q 的充分不必要条件，求m 的取值范围.【答案】9m ≥【解析】由22210(0)x x m m -+-≤>解得11m x m -≤≤+ 又由1|1|23x --≤解得210x -≤≤ p 是q 的充分不必要条件，所以012,110m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪+>⎩或012,110m m m >⎧⎪-<-⎨⎪+≥⎩解得9m ≥例2.已知命题p ：1－c <x <1＋c (c >0)，命题q ：x >7或x <－1，并且p 是q 的既不充分又不必要条件，则c 的取值范围是________．【答案】0<c ≤2【解析】命题p 对应的集合A ＝{x |1－c <x <1＋c ，c >0}，同理，命题q 对应的集合B ＝{x |x >7或x <－1}．因为p 是q 的既不充分又不必要条件，所以A B ⋂=∅或A 不是B 的子集且B 不是A 的子集，所以1117c c -≥-⎧⎨+≤⎩，①或1117c c +≥-⎧⎨-≤⎩，②，解①得c ≤2，解②得c ≥－2，又c >0，综上所述得0<c ≤2.例3.已知p ：A ＝{x ∈R |x 2＋ax ＋1≤0}，q ：B ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2≤0}，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】－2≤a ≤2【解析】B ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}， ∵p 是q 的充分不必要条件， ∴p q ⇒，即AB ，可知A =∅或方程x 2＋ax ＋1＝0的两根要在区间[1,2]内∴Δ＝a 2－4<0或01224210110a a a ∆≥⎧⎪⎪≤-≤⎪⎨⎪++≥⎪++≥⎪⎩，得－2≤a ≤2.综合练习1. 设x 为实数，则0x <“”是 “12x x+≤-”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2. 设a 是实数，则1a >“”是11"a<“的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3. 设,0M N >，01a <<，则“log log a b M N >”是“1M N <+”的( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件4.“512m =π”是“函数()cos(2)6f x x π=+的图象关于直线x m =对称”的( ) (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件5.设 ,,,a b c d 为实数，则“ ,a b c d >>”是“a c b d +>+”的( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件6. 写出“12x x+-≤”的一个充分不必要条件______7.已知函数()a f x x= ，则“a <0”是“函数()f x 在区间(,)+∞0上存在零点”的( )（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件8.已知a b <，则下列结论中正确的是( ) (A) 0,c a b c ∀<>+ (B) 0,c a b c ∀<<+ (C) 0,c a b c ∃>>+ (D) 0,c a b c ∃><+ 9．设命题p ：(0,),ln 1x x x ∀∈+∞-≤，则p ⌝为( ) （A ）(0,),ln 1x x x ∀∈+∞>- （B ）000(0,),ln 1x x x ∃∈+∞-≤ （C ）(0,),ln 1x x x ∀∉+∞>-（D ）000(0,),ln 1x x x ∃∈+∞>-10 已知平面向量(,2),(1,1),a k b k ==∈R ，则2k =是a 与b 同向的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件11. 设 ,,a b m 均为正数，则“b a >”是“a m ab m b+>+”的( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件12.不等式组1,24x y x y +⎧⎨-⎩≤≥表示的平面区域为D ，则( )(A) (,),22x y D x y ∀∈+≥ (B) (,),22x y D x y ∀∈+≤ (C)(,),22x y D x y ∃∈+-≥(D) (,),22x y D x y ∃∈+-≤13.设,a b 是非零向量，则“存在实数λ，使得=λa b ”是“||||||+=+a b a b ”的( ) (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件14. 已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差0d ≠.则“139,,a a a 成等比数列” 是“1a d =”的( )A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件15.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则“n n S na >对2n ≥恒成立”是“34a a >”的( )(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 16．已知i 是虚数单位，a ∈R ，则“1a =”是“2(i)a +为纯虚数”的( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件17.已知函数()sin (0)f x x ωω=>，则“函数()f x 的图象经过点（4π，1）”是“函数()f x 的图象经过点（,02π）”的( ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件18.设函数()f x 的定义域为R ，则“函数()y f x =的图像关于y 轴对称”是“函数()f x 为奇函数”的( )(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 19.“m m >3”是“关于x 的方程sin x m =无解”的( )（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件20.“2a >”是“函数()log (0,1)a f x x a a =>≠且的图象与函数2()44f x x x =-+的图象的交点个数为2个的( )（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 21.已知命题:(0,)p x ∀∈+∞，21x >，则p ⌝为 .22.已知平面向量,,a b c 均为非零向量，则“()()⋅=⋅a b c b c a ”是“向量,a c 同向”的( )（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件23．已知a b ,为非零向量，则“0a b >⋅”是“a 与b 夹角为锐角”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件24.已知a ，b 为正实数，则“1a >，1b >”是“lg lg 0a b +>”的( ) (A)充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C)充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件25.设,a b ∈R ，则“a b >”是“a a b b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 26. “1a b >>”是“log 3log 3a b <”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件27．设函数2()f x x bx c =++．则“()f x 有两个不同的零点”是“0x ∃∈R ，使0()0f x <”的( )（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件28.设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件29.设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 30.设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件31.已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件32.设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件33.能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a >b >c ，则a ＋b >c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为________．34.命题“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤535.设a >0且a ≠1，则“log a b >1”是“b >a ”的( )A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．既不充分也不必要条件D ．充分不必要条件36．已知m ，n 为两个非零向量，则“m ·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件37.设p ：ln (2x －1)≤0，q ：(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，若q 是p 的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．0，12B ．0，12C ．(－∞，0]∪12，＋∞D ．(－∞，0)∪12，＋∞38. 设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，a ∈R ；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0．若a <0且非p 是非q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．39.已知条件p：|5x－1|>a(a>0)和条件q：12x2－3x＋1>0，请选取适当的实数a 的值，分别利用所给出的两个条件作为A，B构造命题：“若A则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题．则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题．充分条件与必要条件练习题答案1.【答案】A2.答案 A解析 由x 1>1且x 2>1得x 1＋x 2>1＋1＝2，x 1·x 2>1×1＝1，所以x 1>1且x 2>1是x 1＋x 2>2且x 1·x 2>1的充分条件；设x 1＝3，x 2＝12，则x 1＋x 2＝72>2且x 1·x 2＝32>1，但x 2<1，所以不满足必要性．故选A ． 3.答案 B解析 寻找使a >b 成立的必要不充分条件，若a >b ，则a ＋1>b 一定成立，a 3>b 3也一定成立，但是当a 3>b 3成立时，a >b 也一定成立，故选B ． 4.答案 B解析 “若a ＋b ＝3，则a ＝1且b ＝2”显然是假命题，所以“若a ≠1或b ≠2，则a ＋b ≠3”是假命题．因为“若a ＝1且b ＝2，则a ＋b ＝3”是真命题，所以“若a ＋b ≠3，则a ≠1或b ≠2”是真命题，故“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3”的必要不充分条件．故选B ． 5.答案 充分 充要解析 由题知p ⇒q ⇔s ⇒t ，又t ⇒r ，r ⇒q ，q ⇒s ⇒t ，故p 是t 的充分条件，r 是t 的 6.答案 A解析 由x －12<12得－12<x －12<12，解得0<x <1．由x 3<1得x <1．当0<x <1时能得到x <1一定成立；当x <1时，0<x <1不一定成立．所以“x －12<12”是“x 3<1”的充分而不必要条件．故选A ．7.【答案】A【解析】|2|1x -<的解集为（1，3），220x x +->的解集为(,2)(1,)-∞-+∞，故|2|1x -< 是220x x +->的充分不必要条件。
充要条件讲义
充要条件讲义
充要条件是数学中的一个重要概念，也应用于逻辑学和其他领域。
它指的是一个条件语句中的两个条件，互相依赖，并且同时满足时，该条件语句才成立。
下面将介绍充要条件的定义和应用。
充要条件的定义
设 A 和 B 是两个陈述，A -> B 是一个条件语句。
如果 A 是 B 的充分条件且 B 是 A 的必要条件，我们可以说 A <-> B 是一个充要条件。
要满足充要条件，必须同时满足两个条件：
1. 当 A 成立时，B 也一定成立；
2. 当 B 成立时，A 也一定成立。
这意味着 A 和 B 是相互依赖的，没有其中一个条件的成立，整个充要条件都不成立。
充要条件的应用
充要条件在数学推理和逻辑推理中有着重要的应用。
它能够帮
助我们推断出各种陈述之间的关系，并且在证明中起到关键作用。
充要条件的应用可以归纳如下：
1. 判定两个数（对象）是否等价。
如果两个数（对象）之间满
足充要条件，那么它们可以被视为等价的。
2. 在构建证明时，可以通过确定充要条件的成立来推断出结论。
3. 在逻辑推理中，可以使用充要条件来分析陈述之间的关系。
充要条件在数学和逻辑中具有广泛的应用，它可以帮助我们理
解和解决各种问题。
通过掌握充要条件的概念和应用，我们可以更
好地进行推理和分析。
以上是充要条件的讲义，希望对您有所帮助。
充要条件的判定方法
充要条件的判定方法充要条件是数学中的一个重要概念，是正确进行逻辑推理必不可少的基础知识.高考对充要条件的考查主要以其他知识为载体进行两类问题的考查：一类是充要条件的判别；一类是有关充要性命题的证明，尤以考查充要条件的判别为主.要正确判断“充分且不必要条件”、“必要且不充分条件”、“充要条件”、“非充分非必要条件”，应该明确：①条件是什么，结论是什么；②条件是结论的什么条件；尝试从条件推导结论，从结论推导条件.下面就介绍几种充要条件的判定方法.一、直接用定义判定能够保证一个事件一定发生的条件，叫做这个事件发生的充分条件；一个事件要发生必须具备的条件叫做这个事件发生的必要条件；一个条件既能保证某个事件发生，同时又是这个事件发生必须具备的条件，就叫做这个事件发生的充要条件.在实际应用中，体现充要条件的文字还有“当且仅当”、“有且仅有”、“必需且只需”等语句.用逻辑符号表示为：(1)若p ⇒q ，且q ⇒/p ，则p 是q 的充分且不必要条件，q 是p 的必要且不充分条件；(2)若q ⇒p ，且p ⇒/q ，则p 是q 的必要且不充分条件，q 是p 的充分且不必要条件；(3)若p ⇒q ，且q ⇒p(或⌝p ⇒⌝q)，则p 是q 的充要条件(此时q 也是p 的充要条件)；(4)若p ⇒/q ，且q ⇒/p ，则p 是q 的非充分非必要条件.例1（2004年辽宁高考）已知α、β是不同的两个平面，直线a ⊂α，直线b ⊂β，命题p ：a 与b 无公共点；命题q:α∥β，则p 是q 的 ( )A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件解析：若α与β相交，设交线为c ，若a ∥c ，b ∥c ，则a ∥b ，此时a 与b 无公共点，所以p ⇒/q ；若α∥β，则a 与b 的位置关系是平行或异面，a 与b 无公共点，所以q ⇒p ，由此可知p 是q 必要而不充分的条件.故选B .例2（2004年浙江高考题）“sinA=12”是“A=30º”的 （ ） A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：记条件是p ：sinA=12，结论为q ：A=30º.由条件P 得A=k ·360º+30º或A=k ·360º+150º(k ∈Z)，因此A=30º仅为其中的一个值，则p ⇒/q ，但是，当A=30º时，sinA=12成立，∴q ⇒p ，∴“sinA=12”是“A=30º”必要非充分的条件.故选B.二、利用命题的四种形式进行判定(1)如果原命题成立，逆命题不成立，则原命题的条件是充分非必要的；(2)如果原命题不成立，逆命题成立，则原命题的条件是必要非充分的；(3)如果原命题和它的逆命题都成立，则原命题的条件充要的；(4)如果原命题和它的逆命题都不成立，则原命题的条件是非充分非必要的.例3(2004年天津高考题)已知数列{a n}，那么“对任意的n∈N*，点P n(n，a n)都在直线y=2x+1上”是“{a n}为等差数列”的（）A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：构造原命题：“若对任意的n∈N*，则点P n(n，a n)都在直线y=2x+1上，则{a n}为等差数列”.此命题为真.其逆命题：“若{a n}为等差数列，则对任意的n∈N*，点P n(n，a n)都在直线y=2x+1上”.此命题为假，所以“对任意的n∈N*，点P n(n，a n)都在直线y=2x+1上”是“{a n}为等差数列”的充分不必要条件.故选B.三、利用双箭头的传递性判定由于逻辑联结符号“⇒”、“⇐”、“⇔”具有传递性，因此可根据几个条件的关系，经过若干次的传递，判断所要判断的两个条件之间的依存关系.例4（2004年重庆高考文科）已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件．那么p是q成立的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件解析：用双箭头符号表示p、q、r、s的关系：p⇒r，s⇐r，q⇐s，即p⇒r，r⇒s，s⇒q，∴p⇒r⇒s⇒q，即p⇒q，又r⇒/p，则q⇒/p，故p是q的充分非必要条件.故选A.四、利用集合的子集判定(1)若A⊂__B，就是x∈A则x∈B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；(2)若A≠⊂B，就是x∈A则x∈B，且A中至少有一个元素不在B中，则A是B的充分非必要条件，B是A的必要非充分条件.(3)若A=B，就是A⊂__B且A⊃__B，则A是B的充分条件，同时A是B的必要条件，即A是B的充要条件.(4)若A⊄B，A/⊃B，则A是B的既不充分也不必要条件.例5（2004上海春季高考）若非空集合M≠⊂N，则“a∈M或a∈N”是“a∈M∩N”的（B ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件解析：由于M≠⊂N，所以M∪N=N，M∩N=M，又由并集的定义知：a∈M或a∈N⇔a∈M∪N=N⇔a∈N，a∈M∩N=M⇔a∈M，而M≠⊂N，所以“a∈M或a∈N”⇐“a∈M∩N”，所以“a∈M或a∈N”是“a∈M∩N”例6 已知真命题“a ≥b c ＞d ”和“a ＜b e ≤f ”，则“c ≤d ”是“e ≤f ”的________条件． 分析 ∵a ≥b c ＞d(原命题)，∴c ≤d a ＜b(逆否命题)．而a ＜b e ≤f ，∴c ≤d e ≤f 即c ≤d 是e ≤f 的充分条件．答 填写“充分”．说明：充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法．已知p 、q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么s ，r ，p 分别是q 的什么条件？分析 画出关系图1－21，观察求解．解 s 是q 的充要条件；(s r q ，q s)r 是q 的充要条件；(r q ，q s r)p 是q 的必要条件；(q s r p)说明：图可以画的随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系．例7 关于x 的不等式|x |x 3(a 1)x 2(3a 1)0A B A B 1a 3a 12－≤与－＋＋＋≤的解集依次为与，问“”是“≤≤或＝－”的充要条件吗？()()a a +-⊆121222分析 化简A 和B ，结合数轴，构造不等式(组)，求出a ．解 A ＝{x|2a ≤x ≤a 2＋1}，B ＝{x|(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}当≤＋即≥时，23a 1a 13B ＝{x|2≤x ≤3a ＋1}．A B 2a 2a +13a +11a 323a 1a 2⊆⇔⎧⎨⎩⇔≥≤≤≤当＞＋即＜时，13B ＝{x|3a ＋1≤x ≤2}A B 2a 3a +1a +12a 1A B a 11a 3A B 1a 3a 12⊆⇔⎧⎨⎩⇔⊆⇔⊆≥≤＝－．综上所述：＝－或≤≤．∴“”是“≤≤或＝－”的充要条件．说明：集合的包含关系、命题的真假往往与解不等式密切相关．在解题时要理清思路，表达准确，推理无误．。
黄冈中学高考数学典型例题2：充要条件的判定
黄冈中学高考数学典型例题详解充要条件的判定充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p和结论q之间的关系.本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定给定的两个命题的充要关系.●难点磁场(★★★★★)已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β，证明：|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要条件.●案例探究［例1］已知p：|1－31x|≤2,q:x2－2x+1－m2≤0(m>0),若⌐p是⌐q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.命题意图：本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性.知识依托：本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化，使考生对充要条件的难理解变得简单明了.错解分析：对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，对否命题，学生本身存在着语言理解上的困难.技巧与方法：利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决.解：由题意知：命题：若⌐p是⌐q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p是q的充分不必要条件.p:|1－31-x|≤2⇒－2≤31-x－1≤2⇒－1≤31-x ≤3⇒－2≤x ≤10q :x 2－2x +1－m 2≤0⇒［x －(1－m )］［x－(1+m )］≤0 *∵p 是q 的充分不必要条件，∴不等式|1－31-x |≤2的解集是x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)解集的子集.又∵m >0∴不等式*的解集为1－m ≤x ≤1+m∴⎩⎨⎧≥≥⇒⎩⎨⎧≥+-≤-9110121m m m m ，∴m ≥9， ∴实数m 的取值范围是［9，+∞).［例2］已知数列{a n }的前n 项S n =p n +q (p≠0,p ≠1),求数列{a n }是等比数列的充要条件.命题意图：本题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性.知识依托：以等比数列的判定为主线，使本题的闪光点在于抓住数列前n 项和与通项之间的递推关系，严格利用定义去判定.错解分析：因为题目是求的充要条件，即有充分性和必要性两层含义，考生很容易忽视充分性的证明.技巧与方法：由a n =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n 关系式去寻找a n 与a n +1的比值，但同时要注意充分性的证明.解：a 1=S 1=p +q .当n ≥2时，a n =S n －S n －1=p n －1(p －1)∵p ≠0,p ≠1,∴)1()1(1---p p p p n n =p若{a n }为等比数列，则n n a a aa112+==p ∴q p p p +-)1(=p , ∵p ≠0，∴p －1=p +q ，∴q =－1这是{a n }为等比数列的必要条件.下面证明q =－1是{a n }为等比数列的充分条件.当q =－1时，∴S n =p n －1(p ≠0,p ≠1)，a 1=S 1=p －1当n ≥2时，a n =S n －S n －1=p n －p n －1=p n －1(p－1)∴a n =(p －1)p n －1 (p ≠0,p ≠1)211)1()1(-----=n n n n p p p p a a =p 为常数∴q =－1时，数列{a n }为等比数列.即数列{a n }是等比数列的充要条件为q =－1.●锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有：(1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念：当“若p 则q ”形式的命题为真时，就记作p ⇒q ，称p 是q 的充分条件，同时称q 是p 的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假.(2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“⇔”要熟悉它的各种同义词语：“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“……，反之也真”等.(3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质.(4)从集合观点看，若A ⊆B ，则A 是B的充分条件，B 是A 的必要条件；若A =B ，则A、B互为充要条件.(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是( )A.ab=0B.a+b=0C.a=bD.a2+b2=02.(★★★★)“a=1”是函数y=cos2ax －sin2ax的最小正周期为“π”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分条件也不是必要条件二、填空题3.(★★★★)a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a－1)y=a－7平行且不重合的_________.4.(★★★★)命题A ：两曲线F (x ,y )=0和G (x ,y )=0相交于点P (x 0,y 0),命题B ：曲线F (x ,y )+λG (x ,y )=0(λ为常数)过点P (x 0,y 0),则A 是B 的__________条件.三、解答题5.(★★★★★)设α，β是方程x 2－ax +b =0的两个实根，试分析a >2且b >1是两根α、β均大于1的什么条件？6.(★★★★★)已知数列{a n }、{b n }满足：b n =n na a an+++++++ 321221,求证：数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列.7.(★★★★★)已知抛物线C ：y =－x 2+mx －1和点A (3，0)，B (0，3)，求抛物线C 与线段AB 有两个不同交点的充要条件.8.(★★★★★)p :－2<m <0,0<n <1;q :关于x 的方程x 2+mx +n =0有2个小于1的正根，试分析p 是q 的什么条件.(充要条件)参考答案难点磁场证明：(1）充分性：由韦达定理，得|b |=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4.设f (x )=x 2+ax +b ,则f (x )的图象是开口向上的抛物线.又|α|＜2,|β|＜2,∴f (±2)>0.即有⇒⎩⎨⎧>+->++024024b a b a 4+b >2a >－(4+b ) 又|b |＜4⇒4+b >0⇒2|a |＜4+b(2)必要性：由2|a |＜4+b ⇒f (±2)>0且f (x )的图象是开口向上的抛物线.∴方程f (x )=0的两根α，β同在(－2，2）内或无实根.∵α，β是方程f (x )=0的实根，∴α，β同在(－2，2）内，即|α|＜2且|β|＜2.歼灭难点训练一、1.解析：若a2+b2=0,即a=b=0,此时f(－x)=(－x)|x+0|+0=－x·|x|=－(x|x+0|+b)=－(x|x+a|+b)=－f(x).∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的充分条件，又若f(x)=x|x+a|+b是奇函数，即f(－x)= (－x)|(－x)+a|+b=－f(x),则必有a=b=0,即a2+b2=0.∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的必要条件.答案：D2.解析：若a=1,则y=cos2x－sin2x=cos2x,此时y的最小正周期为π.故a=1是充分条件，反过来，由y=cos2ax－sin2ax=cos2ax.故函数y的最小正周期为π,则a=±1,故a=1不是必要条件.答案：A二、3.解析：当a=3时，直线l1:3x+2y+9=0;直线l2:3x+2y+4=0.∵l1与l2的A1∶A2=B1∶B2=1∶1，而C1∶C2=9∶4≠1,即C1≠C2,∴a=3 l1∥l2.答案：充要条件4.解析：若P (x 0,y 0)是F (x ,y )=0和G (x ,y )=0的交点，则F (x 0,y 0)+λG (x 0,y 0)=0，即F (x ,y )+λG (x ,y )=0，过P (x 0,y 0);反之不成立.答案：充分不必要三、5.解：根据韦达定理得a =α+β,b =αβ.判定的条件是p :⎩⎨⎧>>12b a 结论是q :⎩⎨⎧>>11βα(注意p 中a 、b 满足的前提是Δ=a 2－4b ≥0)(1)由⎩⎨⎧>>11βα，得a =α+β>2,b =αβ>1,∴q ⇒p(2)为证明p q ,可以举出反例：取α=4,β=21,它满足a =α+β=4+21>2,b =αβ=4×21=2>1,但q 不成立.综上讨论可知a >2,b >1是α>1,β>1的必要但不充分条件.6.证明：①必要性：设{a n }成等差数列，公差为d ,∵{a n }成等差数列.d n a n n n n d n a n na a a b n n 32)1(1])1(3221[)21(32121121⋅-+=+++-++⋅+⋅++++=+++++++=∴从而b n +1－b n =a 1+n ·32d －a 1－(n －1)32d =32d 为常数. 故{b n }是等差数列，公差为32d . ②充分性:设{b n }是等差数列，公差为d ′,则b n =(n －1)d∵b n (1+2+…+n )=a 1+2a 2+…+na n①b n －1(1+2+…+n －1)=a 1+2a 2+…+(n －1)a n②①－②得：nan =2)1(2)1(--+n n b n n nb n －1∴a n =d n b d n b n d n b n b n b n n n '⋅-+='-+--'-++=--+-23)1(])2([21])1([2121211111,从而得a n +1－a n =23d ′为常数，故{a n }是等差数列.综上所述，数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列.7.解：①必要性： 由已知得，线段AB 的方程为y =－x +3(0≤x ≤3)由于抛物线C 和线段AB 有两个不同的交点，所以方程组⎩⎨⎧≤≤+-=-+-=)30(312x x y mx x y *有两个不同的实数解.消元得：x 2－(m +1)x +4=0(0≤x ≤3)设f (x )=x 2－(m +1)x +4,则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<≤<⇒≥++-=≥=>⨯-+=∆3210310304)1(39)3(04)0(044)1(2m m m f f m②充分性： 当3＜x ≤310时， x 1=2)1(1216)1(122+-+>-+-+m m m m >03216)1310(1310216)1(1222=-+++≤-+-+=m m x∴方程x 2－(m +1)x +4=0有两个不等的实根x 1,x 2,且0＜x 1＜x 2≤3,方程组*有两组不同的实数解.因此，抛物线y =－x 2+mx －1和线段AB 有两个不同交点的充要条件3＜m ≤310.8.解：若关于x 的方程x 2+mx +n =0有2个小于1的正根，设为x 1,x 2.则0＜x 1＜1,0＜x 2＜1,有0＜x 1+x 2＜2且0＜x 1x 2＜1,根据韦达定理：⎩⎨⎧<<<-<⎩⎨⎧=-=+10202121n m n x x m x x 得 有－2＜m ＜0;0＜n ＜1即有q ⇒p .反之，取m =－21491,02131,21,312⨯-=∆=+-=x xn ＜0方程x 2+mx +n =0无实根，所以p q综上所述，p 是q 的必要不充分条件.再三体会下解题思路哈。
充要条件ppt课件
2．设p：“两个三角形相似”，q：“两个三角形的三边对应成比 例”，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C. 充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：C
解析：两个三角形相似⇔两个三角形的三边对应成比例，即p⇔q， 故p是q的充要条件．
3．在△ABC中，AB>AC是∠C>∠B的________条件( ) A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
答案：C
解析：因为在△ABC中，边大则角大，角大边也大， 所以AB>AC是∠C>∠B的充要条件．
4．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的_充__要_条__件__条件．
解析：因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r， 所以p是r的充要条件．
1.充要条件的定义； 2.命题条件的充要性的判定及证明方法；
PQ
P (Q)
则p是q的充分不必要条件 .
PQ
PQ
(2)若pq , QPFra bibliotek则p是q的必要条件 . x∈Qx∈P
QP
P (Q)
若pq ,且pq, QP
则p是q的必要不充分条件 . QP
命题 “若p,则q”的逆命题是“若q,则p”
下列 “若p,则q”形式的命题中,哪些命题与它们的逆命题都 是真命题？
(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等,则 这两个三角形全等;
• 思考 下列若p则q的命题中： • 1.若两个三角形的两个和其中一个角的对边分别相
等，则这两个三角形全等
• 2.若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等 • 3.若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等实根，则
ac<0 • 4.若AUB是空集，则A和B都是空集
怎样判断充分条件与必要条件
判断充分条件与必要条件的问题比较常见，此类题目的难度虽然不大，但对同学们的逻辑思维能力和分析推理能力要求较高.要想准确判断出充分条件与必要条件，我们需熟练掌握以下三种方法.一、定义法充分条件和必要条件是《简易逻辑用语》中的两个重要概念.一般地，若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.定义法是指借助充分、必要条件的定义进行判断的方法.这是判断充分条件和必要条件的基本方法.一般地，若p ⇒q 且q p ，则p 是q 的充分不必要条件；若pq 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；若p ⇔q ，则p 是q 的充要条件；若pq 且qp ，则p 是q 的既不充分也不必要条件.例1.已m ，n ∈R ，则“（m -n ）m 2<0”是“m <n ”的.（填充分而不必要条件、必要而不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件）解析：若(m -n )m 2<0，则m ≠0，可知m <n ，所以“（m -n ）m 2<0”是“m <n ”的充分条件；若m <n ，则m-n <0，但当m =0时，（m -n ）m 2=0，所以“（m-n ）m 2<0”不是“m <n ”的必要条件.综上所述，“（m -n ）m 2<0”是“m <n ”的充分而不必要条件.在利用定义法判定充分条件与必要条件时，首先要注意明确条件和结论各是什么，然后弄清由命题p 能否推出命题q ，判定命题的充分性；再看由命题q 能否推出命题p ，判定命题的必要性，最后综合归纳得出最终结论即可.二、传递法我们知道，⇒、⇐、⇔等符号具有传递性，在判断充分条件和必要条件时，我们可以根据命题之间的这些关系得出相关结论，进而判断出命题的真假.例如，若p ⇒r ，r ⇒s ，s ⇒q ，则p ⇒q ；若p ⇔r ，r ⇔s ，则p ⇔s .值得注意的是，在解题时，同学们要注意先判断命题的充分性和必要性，这样便于准确识别充分条件和必要条件.例2.已知a 是b 的充分不必要条件，n 是a 的充分条件，b 是a 的必要条件，n 是b 的必要条件，现有下列命题：①b 是n 的必要条件；②m 是n 的充分不必要条件；③a 是n 的必要不充分条件；④a 是b 的充分不必要条件.其中真命题的个数是.解析：由于m 是a 的充分不必要条件，则m ⇒a ，但a 不能推出m ；n 是a 的充分条件，即n ⇒a ；b 是a 的必要条件，即a ⇒b ；n 是b 的必要条件，即b ⇒n .可以画出m ，a ，n ，b 之间的关系图，如图所示.结合关系图可知，n ⇒a ，a ⇒b ，则n⇒b ，又b ⇒n ，所以n ⇔b ，故b 是n 的必要条件成立，所以命题①为真命题.由a ⇒b ，b ⇒n ，则a ⇒n ，又m ⇒a ，所以m ⇒n ，但n 无法推出m ，故m 是n 的充分不必要条件，所以命题②为真命题.由a ⇒b ，b ⇒n 可知a ⇒n ，又n ⇒a ，所以a ⇔n ，故a 是n 的充要条件，所以命题③为假命题.由b ⇒n ，n ⇒a ，则b ⇒a ，又a ⇒b ，所以a ⇔b ，故a 是b 的充要条件，所以命题④为假命题，故真命题的个数为2.对于条件较多且关系复杂的问题，若能通过传递法来判断充分、必要条件，则可以化繁为简，直观快捷地解答问题.三、集合法集合法即利用集合间的包含关系进行判断的方法.通常来说，命题p 、q 能够用集合A =｛x |p (x )｝、集合B =｛x |q (x )｝的形式表示.若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；若A =B ，即A ⊆B ，B ⊆A ，则p 是q 的充分必要条件；若上述三种关系都不成立，则p 是q 的既不充分也不必要条件.例3.x 2+y 2≤1是|x |+|y |≤1的.(填充分而不必要条件、必要而不充分条件、充分必要条件、既不充分又不必要条件)解析：设A =｛(x ，y )|x 2+y 2≤1｝，B =｛(x ，y )|x |+|y |≤1｝，则A 表示的是以原点为圆心、1为半径的圆周及其内部的点，而B 表示的是以（0，1）、（1，0）、（0，-1）为顶点的正方形边界及其内部的点，所以B ⊂A ，所以x 2+y 2≤1是|x |+|y |≤1的必要非充分条件.利用集合法可以将问题转化为集合间的运算问题来求解，我们根据集合运算法则和Veen 图便可判断出充分和必要条件.总之，在平时的学习中，同学们既要透彻理解和掌握充分、必要条件的概念，又要注意总结和归纳判断充分、必要条件的方法，并结合实际问题灵活运用，这样便能准确、快速地解题.（作者单位：江苏省上冈高级中学）知识导航38。
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难点2 充要条件的判定充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p 和结论q 之间的关系.本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定给定的两个命题的充要关系.●难点磁场(★★★★★)已知关于x 的实系数二次方程x 2+ax +b =0有两个实数根α、β，证明：|α|<2且|β|<2是2|a |<4+b 且|b |<4的充要条件.●案例探究［例1］已知p ：|1－31-x |≤2,q :x 2－2x +1－m 2≤0(m >0),若⌐p 是⌐q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围.命题意图：本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性.知识依托：本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化，使考生对充要条件的难理解变得简单明了.错解分析：对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，对否命题，学生本身存在着语言理解上的困难.技巧与方法：利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决.解：由题意知：命题：若⌐p 是⌐q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p 是q 的充分不必要条件.p :|1－31-x |≤2⇒－2≤31-x －1≤2⇒－1≤31-x ≤3⇒－2≤x ≤10 q :x 2－2x +1－m 2≤0⇒［x －(1－m )］［x －(1+m )］≤0 *∵p 是q 的充分不必要条件， ∴不等式|1－31-x |≤2的解集是x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)解集的子集. 又∵m >0∴不等式*的解集为1－m ≤x ≤1+m∴⎩⎨⎧≥≥⇒⎩⎨⎧≥+-≤-9110121m m m m ，∴m ≥9， ∴实数m 的取值范围是［9，+∞).［例2］已知数列{a n }的前n 项S n =p n +q (p ≠0,p ≠1),求数列{a n }是等比数列的充要条件. 命题意图：本题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性. 知识依托：以等比数列的判定为主线，使本题的闪光点在于抓住数列前n 项和与通项之间的递推关系，严格利用定义去判定.错解分析：因为题目是求的充要条件，即有充分性和必要性两层含义，考生很容易忽视充分性的证明.技巧与方法：由a n =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n关系式去寻找a n 与a n +1的比值，但同时要注意充分性的证明.解：a 1=S 1=p +q .当n ≥2时，a n =S n －S n －1=p n －1(p －1)∵p ≠0,p ≠1,∴)1()1(1---p p p p n n =p若{a n }为等比数列，则nn a a a a 112+==p ∴qp p p +-)1(=p , ∵p ≠0，∴p －1=p +q ，∴q =－1 这是{a n }为等比数列的必要条件.下面证明q =－1是{a n }为等比数列的充分条件. 当q =－1时，∴S n =p n －1(p ≠0,p ≠1)，a 1=S 1=p －1当n ≥2时，a n =S n －S n －1=p n －p n －1=p n －1(p －1)∴a n =(p －1)p n －1 (p ≠0,p ≠1)211)1()1(-----=n n n n p p p p a a =p 为常数 ∴q =－1时，数列{a n }为等比数列.即数列{a n }是等比数列的充要条件为q =－1. ●锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有： (1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念：当“若p 则q ”形式的命题为真时，就记作p ⇒q ，称p 是q 的充分条件，同时称q 是p 的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假.(2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“⇔”要熟悉它的各种同义词语：“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“……，反之也真”等.(3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质.(4)从集合观点看，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件；若A =B ，则A 、B 互为充要条件.(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)函数f (x )=x |x +a |+b 是奇函数的充要条件是( ) A.ab =0 B.a +b =0 C.a =b D.a 2+b 2=02.(★★★★)“a =1”是函数y =cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为“π”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分条件也不是必要条件 二、填空题3.(★★★★)a =3是直线ax +2y +3a =0和直线3x +(a －1)y =a －7平行且不重合的_________.4.(★★★★)命题A ：两曲线F (x ,y )=0和G (x ,y )=0相交于点P (x 0,y 0),命题B ：曲线F (x ,y )+λG (x ,y )=0(λ为常数)过点P (x 0,y 0),则A 是B 的__________条件.三、解答题5.(★★★★★)设α，β是方程x 2－ax +b =0的两个实根，试分析a >2且b >1是两根α、β均大于1的什么条件？6.(★★★★★)已知数列{a n }、{b n }满足：b n =nna a a n+++++++ 321221,求证：数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列.7.(★★★★★)已知抛物线C ：y =－x 2+mx －1和点A (3，0)，B (0，3)，求抛物线C 与线段AB 有两个不同交点的充要条件.8.(★★★★★)p :－2<m <0,0<n <1;q :关于x 的方程x 2+mx +n =0有2个小于1的正根，试分析p 是q 的什么条件.(充要条件)参考答案难点磁场证明：(1）充分性：由韦达定理，得|b |=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4. 设f (x )=x 2+ax +b ,则f (x )的图象是开口向上的抛物线. 又|α|＜2,|β|＜2,∴f (±2)>0.即有⇒⎩⎨⎧>+->++024024b a b a 4+b >2a >－(4+b )又|b |＜4⇒4+b >0⇒2|a |＜4+b (2)必要性：由2|a |＜4+b ⇒f (±2)>0且f (x )的图象是开口向上的抛物线. ∴方程f (x )=0的两根α，β同在(－2，2）内或无实根. ∵α，β是方程f (x )=0的实根，∴α，β同在(－2，2）内，即|α|＜2且|β|＜2. 歼灭难点训练一、1.解析：若a 2+b 2=0,即a =b =0,此时f (－x )=(－x )|x +0|+0=－x ·|x |=－(x |x +0|+b ) =－(x |x +a |+b )=－f (x ).∴a 2+b 2=0是f (x )为奇函数的充分条件，又若f (x )=x |x +a |+b 是奇函数，即f (－x )= (－x )|(－x )+a |+b =－f (x ),则必有a =b =0,即a 2+b 2=0.∴a 2+b 2=0是f (x )为奇函数的必要条件. 答案：D2.解析：若a =1,则y =cos 2x －sin 2x =cos2x ,此时y 的最小正周期为π.故a =1是充分条件，反过来，由y =cos 2ax －sin 2ax =cos2ax .故函数y 的最小正周期为π,则a =±1,故a =1不是必要条件.答案：A二、3.解析：当a =3时，直线l 1:3x +2y +9=0;直线l 2:3x +2y +4=0.∵l 1与l 2的A 1∶A 2=B 1∶B 2=1∶1，而C 1∶C 2=9∶4≠1,即C 1≠C 2,∴a =3⇔l 1∥l 2.答案：充要条件4.解析：若P (x 0,y 0)是F (x ,y )=0和G (x ,y )=0的交点，则F (x 0,y 0)+λG (x 0,y 0)=0，即F (x ,y )+λG (x ,y )=0，过P (x 0,y 0);反之不成立.答案：充分不必要三、5.解：根据韦达定理得a =α+β,b =αβ.判定的条件是p :⎩⎨⎧>>12b a 结论是q :⎩⎨⎧>>11βα(注意p 中a 、b 满足的前提是Δ=a 2－4b ≥0)(1)由⎩⎨⎧>>11βα，得a =α+β>2,b =αβ>1,∴q ⇒p(2)为证明pq ,可以举出反例：取α=4,β=21,它满足a =α+β=4+21>2,b =αβ=4×21=2>1,但q 不成立. 综上讨论可知a >2,b >1是α>1,β>1的必要但不充分条件. 6.证明：①必要性：设{a n }成等差数列，公差为d ,∵{a n }成等差数列.dn a n n n n d n a n na a a b n n 32)1(1])1(3221[)21(32121121⋅-+=+++-++⋅+⋅++++=+++++++=∴ 从而b n +1－b n =a 1+n ·32d －a 1－(n －1) 32d =32d 为常数.故{b n }是等差数列，公差为32d .②充分性:设{b n }是等差数列，公差为d ′,则b n =(n －1)d ′ ∵b n (1+2+…+n )=a 1+2a 2+…+na n ①b n －1(1+2+…+n －1)=a 1+2a 2+…+(n －1)a n②①－②得：na n =2)1(2)1(--+n n b n n n b n －1 ∴a n =d n b d n b n d n b n b n b n n n '⋅-+='-+--'-++=--+-23)1(])2([21])1([2121211111,从而得a n +1－a n =23d ′为常数，故{a n }是等差数列.综上所述，数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列. 7.解：①必要性：由已知得，线段AB 的方程为y =－x +3(0≤x ≤3) 由于抛物线C 和线段AB 有两个不同的交点，所以方程组⎩⎨⎧≤≤+-=-+-=)30(312x x y mx x y *有两个不同的实数解.消元得：x 2－(m +1)x +4=0(0≤x ≤3) 设f (x )=x 2－(m +1)x +4,则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<≤<⇒≥++-=≥=>⨯-+=∆3210310304)1(39)3(04)0(044)1(2m m m f f m ②充分性： 当3＜x ≤310时， x 1=2)1(1216)1(122+-+>-+-+m m m m >0 3216)1310(1310216)1(1222=-+++≤-+-+=m m x∴方程x 2－(m +1)x +4=0有两个不等的实根x 1,x 2,且0＜x 1＜x 2≤3,方程组*有两组不同的实数解.因此，抛物线y =－x 2+mx －1和线段AB 有两个不同交点的充要条件3＜m ≤310.8.解：若关于x 的方程x 2+mx +n =0有2个小于1的正根，设为x 1,x 2. 则0＜x 1＜1,0＜x 2＜1,有0＜x 1+x 2＜2且0＜x 1x 2＜1,根据韦达定理：⎩⎨⎧<<<-<⎩⎨⎧=-=+10202121n m n x x m x x 得 有－2＜m ＜0;0＜n ＜1即有q ⇒p . 反之，取m =－21491,02131,21,312⨯-=∆=+-=x x n ＜0 方程x 2+mx +n =0无实根，所以p q综上所述，p 是q 的必要不充分条件.。