特殊三角形知识点总结
浙教版-8年级-上册-数学-第2章《特殊三角形》分节知识点
浙教版-8年级-上册-数学-第2章《特殊三角形》分节知识点一、轴对称要点一、轴对称图形1、轴对称图形的定义：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.要点二、轴对称1、轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点.要点诠释：（1）轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.2、轴对称与轴对称图形的区别与联系（1）轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.要点三、轴对称与轴对称图形的性质1、轴对称、轴对称图形的性质（1）在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等要点诠释：（1）若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．二、等腰三角形性质定理要点一、等腰三角形的定义1、等腰三角形（1）有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.（2）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2、等腰三角形的作法（1）已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1、作线段BC=a；2、分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3、连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三角形.3、等腰三角形的对称性（1）等腰三角形是轴对称图形；（2）∠B＝∠C；（3）BD＝CD，AD为底边上的中线.（4）∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4、等边三角形（1）三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°,等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.（2）用尺规作图时，画图的痕迹一定要保留，这些痕迹一般是画的轻一些,能看清就可以了，题目中要求作的图要画成实线，最后一定要点题，即“xxx即为所求”.（3）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.（4）等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是，面积是.要点二、等腰三角形的性质1、等腰三角形的性质（1）性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．（2）推论：等边三角形的各个内角都等于60°.（3）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2、等腰三角形的性质的作用（1）证明两条线段或两个角相等的一个重要依据．3、尺规作图：已知底边和底边上的高（1）已知线段a，h（如图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC＝a,BC边上的高线为h.作法：1、作线段BC=a.2、作线段BC的垂直平分线l,交BC与点D.3、在直线l上截取DA=h,连接AB,AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.三、等腰三角形的判定定理要点一、等腰三角形的判定定理1、等腰三角形的判定定理（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.2、等边三角形的判定定理（1）三个角相等的三角形是等边三角形.（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.要点诠释：（1）要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边边和角角关系.（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．（3）等边三角形是中考中常考的知识点，需要记住一下数据：边长为a的等边三角形它的高是，面积是.要点二、命题与逆命题，定理与逆定理（1）在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题．（2）如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理.要点诠释：（1）每一个定理不一定都有逆定理，如果它存在逆定理，那么它一定是正确的.要点三、线段垂直平分线定理的逆定理（1）到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.已知：AB是一条线段，P是一点，且PA=PB.求证：点P在线段AB的垂直平分线上．证明：（1）当点P在线段AB上时，结论显然成立．（2）当点P不在线段AB上时，作PC⊥AB于点O．PA=PB，PO⊥AB，∵OA=OB，∴PC是AB的垂直平分线．∴点P在线段AB的垂直平分线上．四、直角三角形要点一、直角三角形的概念（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”.要点诠释：（1）三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质.要点二、直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余.（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.要点诠释：（1）直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形.（2）含有30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半.要点三、直角三角形判定（1）两个角互余的三角形是直角三角形.（2）在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.如图：已知：CD为AB的中线，且CD=AD=BD，求证：△ABC是直角三角形．证明：∵AD=CD，∴∠A=∠1．同理∠2=∠B．∵∠2+∠B+∠A+∠1=180°，即2（∠1+∠2）=180°，∴∠1+∠2=90°，即：∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形．五、勾股定理要点一、勾股定理（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：，，.要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.要点三、勾股定理的作用（1）已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；（2）用于解决带有平方关系的证明问题；（3）利用勾股定理，作出长为的线段.六、勾股定理的逆定理要点一、勾股定理的逆定理（1）如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如）.（2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.要点诠释：（1）当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.要点三、互逆命题（1）如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.要点诠释：（1）原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.要点四、勾股数（1）满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.（1）熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）（是自然数）是直角三角形的三条边长；七、直角三角形全等判定要点一、判定直角三角形全等的一般方法（1）由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理（1）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“HL”时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△的条件.要点三、角平分线的第二个性质定理（1）角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.要点诠释：（1）这个性质定理和“角平分线上的点到角两边的距离相等”是互逆定理.它们的题设和结论交换了位置，运用的时候，一定要分清题设是什么，求证的结论又是什么.切不可发生混淆.。
三角形及特殊三角形知识点(经典完整版)
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三角形定义
三角形是一个由三条边和三个内角组成的图形。
根据边长关系，三角形可以分为以下三种情况：
1. 等边三角形：三条边的长度都相等。
2. 等腰三角形：两条边的长度相等。
3. 普通三角形：三条边的长度都不相等。
三角形内角和
三角形的三个内角之和始终为180度。
根据角度大小，三角形
可以进一步分类：
1. 直角三角形：一个内角为90度。
2. 钝角三角形：一个内角大于90度。
3. 锐角三角形：三个内角都小于90度。
三角形特性
三角形还有一些重要属性和特性：
1. 垂心：垂心是三角形三条高的交点，即垂直于三边的线段的交点。
2. 重心：重心是三角形三条中线的交点，即三角形三个顶点与对边中点的连线的交点。
3. 外心：外心是三角形外接圆的圆心，即可以过三角形三个顶点的圆的圆心。
4. 内心：内心是三角形内切圆的圆心，即可以切三角形三个边的圆的圆心。
特殊三角形
除了普通的三角形外，还有一些特殊的三角形：
1. 等边三角形：三条边的长度都相等，内角均为60度。
2. 等腰直角三角形：一个内角为90度，且两条直角边的长度相等。
3. 等腰钝角三角形：一个内角大于90度，且两条等腰边的长度相等。
4. 等腰锐角三角形：三个内角都小于90度，且两条等腰边的长度相等。
以上是关于三角形及特殊三角形的一些知识点。
掌握这些概念可以帮助我们更好地理解三角形的性质和特点。
特殊三角形基本知识点整理
特殊三角形基本知识点整理好嘞，以下是为您整理的关于特殊三角形基本知识点：在我们学习数学的道路上，三角形就像是一群性格各异的小伙伴，其中有几个特别的家伙，那就是特殊三角形。
今天咱们就来好好唠唠它们。
先来说说等腰三角形。
等腰三角形啊，就像是一个有两个“双胞胎”边的家伙。
这两条相等的边叫做腰，剩下的那条边叫做底边。
顶角呢，就是两腰的夹角，底角就是底边与腰的夹角。
而且等腰三角形有个很重要的特点，就是两底角相等。
我记得有一次在课堂上，老师让我们自己动手做一个等腰三角形。
我找了一张纸，小心翼翼地对折，然后沿着折痕剪下来，一个等腰三角形就出现在我眼前啦。
我拿着它，左看看右看看，心里别提多高兴了。
等腰三角形的性质在生活中也有很多应用呢。
比如说，我们常见的等腰三角形的衣架，它的两边长度相等，挂衣服的时候能保持平衡，不会让衣服歪歪扭扭的。
再来说说等边三角形。
等边三角形那可是三角形中的“小明星”，因为它的三条边都相等，三个角也都相等，每个角都是60 度。
想象一下，它就像一个完美的“三胞胎”，每一部分都一模一样。
有一次我在路上看到一个正六边形的地砖，我突然想到，把正六边形分成六个相等的部分，每个部分不就是一个等边三角形嘛！这让我更加深刻地理解了等边三角形的特点。
直角三角形也很特别。
它有一个角是直角，也就是 90 度。
直角所对的边叫做斜边，剩下的两条边叫做直角边。
著名的勾股定理就和直角三角形有关，那就是两条直角边的平方和等于斜边的平方。
我记得有一次在家里装修，爸爸要做一个直角的架子。
他就拿着尺子和笔，在木板上量来量去，嘴里还念叨着勾股定理。
我在旁边好奇地看着，感觉数学在这一刻变得特别实用。
直角三角形在建筑中可是经常出现的。
比如说那些高楼大厦的框架，很多都是由直角三角形组成的，这样才能保证建筑的稳固和安全。
等腰直角三角形就更特别啦，它既是等腰三角形，又是直角三角形。
它的两个底角都是 45 度，斜边的长度是直角边长度的根号 2 倍。
特殊三角形知识点
特殊三角形知识点三角形是几何学中最基本的形状之一，它由三条线段组成，这些线段分别称为三角形的边。
三角形的分类有很多种形式，其中特殊三角形是指具有特殊性质的三角形。
在本文中，我们将重点介绍三种特殊三角形：等腰三角形、等边三角形和直角三角形。
1. 等腰三角形等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
具体来说，等腰三角形的两条边的长度相等，而第三条边（底边）可以与两条相等的边不相等。
根据等腰三角形的定义，我们可以得出以下事实：- 等腰三角形的两个底角（底边所对应的两个角）的度数相等。
- 等腰三角形的高线（从底边的中点垂直上方的线段）与底边垂直，并且将底边分为两段长度相等的线段。
2. 等边三角形等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。
等边三角形拥有以下性质：- 所有的内角都为60度。
- 任意两个角的和为120度。
- 等边三角形的高线、角平分线和中位线都重合，同时也是三角形的对称轴。
等边三角形是一种特殊的等腰三角形，该三角形的三个角都是相等的，每个角是60度，因此也是一种特殊的等腰三角形。
3. 直角三角形直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
具体来说，直角三角形的两个边可以称为直角边，而第三条边称为斜边。
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，也就是著名的勾股定理。
直角三角形也可以通过三边的长度来进行分类：- 等腰直角三角形：两条直角边的长度相等。
- 等腰直角等边三角形：两条直角边的长度相等且等于斜边的长度。
总结：特殊三角形在几何学中具有重要的地位，它们的性质和特点可以帮助我们解决各种数学问题。
等腰三角形的两边相等，等边三角形的三边相等，直角三角形则具有特殊的角度和边长关系。
深入理解和熟练运用这些特殊三角形的知识对于数学学习和应用具有重要意义。
希望本文能够为读者提供有关特殊三角形的基本知识点，并帮助读者更好地理解和应用这些概念。
直角三角形知识点
直角三角形知识点直角三角形是一种特殊的三角形，其内部包含一个90度的直角。
本文将介绍直角三角形的定义、性质、勾股定理以及一些相关的例题。
一、直角三角形的定义直角三角形是指一个三角形内部有一个角度是90度的三角形。
在直角三角形中，较长的边称为斜边，与直角相邻的边称为直角边。
直角三角形的性质与常规三角形有着显著的不同。
二、直角三角形的性质1. 直角三角形中，直角边的长度相等。
2. 根据勾股定理，直角三角形中的斜边长度等于直角边长度的平方和的平方根。
3. 直角三角形的三个角度之和等于180度。
三、勾股定理勾股定理是直角三角形中最重要的定理之一，也是直角三角形应用最为广泛的原理。
勾股定理表述如下：直角三角形中，斜边的平方等于直角边的平方和。
公式表示为：c² = a² + b²其中，c表示斜边的长度，a和b分别表示直角三角形的两个直角边的长度。
勾股定理在日常生活中有许多应用，例如测量直角三角形的边长，计算三角形的角度等。
四、直角三角形的应用举例1. 求斜边长度：根据已知直角边的长度，可以利用勾股定理求出斜边的长度。
2. 求角度大小：已知两个直角边的长度，可以利用三角函数中的正弦、余弦和正切等函数求出各个角度的大小。
3. 判断三角形是否为直角三角形：通过测量三个角度的大小，如果发现其中一个角度为90度，则可以判断为直角三角形。
五、例题解析1. 已知一个直角三角形的直角边长为3cm和4cm，求斜边的长度。
根据勾股定理，斜边的长度c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5cm。
2. 已知一个直角三角形的斜边长为10cm，直角边的长度为6cm，求另一个直角边的长度。
根据勾股定理，直角边的长度a或b = √(c² - 直角边的长度²) = √(10² - 6²) = √(100 - 36) = √64 = 8cm。
特殊三角形(知识点汇总 浙教8上)
第2章特殊三角形一、轴对称图形1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
2. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。
这条直线叫做对称轴。
折叠后重合的点是对应点,叫做对称点34.轴对称的性质①关于某直线对称的两个图形是全等形。
①如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
①轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
①如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
二、线段的垂直平分线1.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。
2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等3.与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上三、角的平分线：1、（性质）角的平分线上的点到角的两边的距离相等.2、（判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
四、等腰三角形1.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等。
（等边对等角）（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
（三线合一）（3）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°①等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
①等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b<a ①等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为①A ，底角为①B 、①C ，则①A=180°—2①B ，①B=①C=2180A∠-︒ 2、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
（等角对等边）（1）三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 。
特殊三角形基本知识点整理
特殊三角形的定义、性质及判定等腰三角形1. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。
2. 等腰三角形的性质：〔1〕等腰三角形的两个底角相等；〔2〕等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
3. 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
4. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
5. 等边三角形的判定：〔1〕三个角都相等的三角形是等边三角形；〔2〕有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
6. 含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
等边三角形〔1〕等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形.〔2〕等边三角形的性质：①等边三角形的三个角都相等，并且每个角都是60°；②等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且每一条边上都有三线合一，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；而等腰三角形只有一条对称轴.〔3〕等边三角形的判定①三条边都相等的三角形是等边三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；③有两个角都等于60°的三角形是等边三角形；④三个角都相等的三角形是等边三角形.〔4〕两个重要结论①在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.②在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角等于30°.两个重要结论的数学解释：：如图4，在△ABC中，∠C＝90°，那么：①如果AB＝2BC，那么∠A＝30°；②如果∠A＝30°，那么AB＝2BC.直角三角形1. 认识直角三角形。
学会用符号与字母表示直角三角形。
按照角的度数对三角形进展分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。
等腰三角形与等边三角形的性质知识点总结
等腰三角形与等边三角形的性质知识点总结等腰三角形和等边三角形是我们在初中数学学习中经常遇到的两种特殊三角形。
它们具有一些独特的性质，这些性质对于我们理解三角形的性质和解题都有很大的帮助。
下面将对等腰三角形和等边三角形的性质进行总结和归纳，帮助大家更好地理解和应用这些知识点。
一、等腰三角形的性质1. 定义：等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
2. 底角和顶角：等腰三角形的两个底角（底边两侧的角）是相等的，称为底角；顶角是等腰三角形的顶点所对的角，也是两个底角。
3. 对称性质：等腰三角形具有对称性，即等腰三角形可以通过一条对称轴分成两个对称部分。
4. 高度：等腰三角形的高度是从顶点到底边的垂直距离，高度所在的线段与底边垂直，并且把底边分为两个相等的线段。
5. 角平分线：等腰三角形的顶角所在的角平分线同时也是底边的中线和高线。
6. 等腰定理：等腰三角形的两个底角相等。
7. 等腰三角形的面积：等腰三角形的面积可以通过高度和底边的长度来计算，公式为：面积 = 底边长度 ×高度 ÷ 2。
8. 等腰三角形的判定：当我们知道一个三角形的两边相等时，可以判断它是否为等腰三角形。
二、等边三角形的性质1. 定义：等边三角形是指三条边长度都相等的三角形。
2. 角度：等边三角形的三个角都是60度。
3. 高度：等边三角形的高度是从顶点到底边的垂直距离，高度所在的线段与底边垂直。
4. 三角形内角和：等边三角形的三个角的和为180度，因为每个角都是60度，所以三角形的三个角相加为180度。
5. 等边定理：如果一个三角形的三边相等，则它是等边三角形。
6. 等边三角形的面积：等边三角形的面积可以通过边长来计算，公式为：面积 = 边长的平方× √3 ÷ 4。
7. 等边三角形的判定：当我们知道一个三角形的三边相等时，可以判断它是否为等边三角形。
三、等腰三角形与等边三角形的关系1. 等腰三角形也可以是等边三角形：当等腰三角形的两个底角为60度时，它就是等边三角形。
特殊三角形
特殊三角形知识定位特殊三角形在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，不管三解形还是特殊三角形是平面几何中最重要的图形，它的有关知识是今后我们学习四边形、多边形乃至立体几何的重要基础。
特殊三角形的判定和性质是证明有关三角形问题的基础，必须熟练掌握。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中特殊三角形相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理三角形类型定义性质判定等腰三角形有两条边相等的三角形是等腰三角形，其中相等的两条边分别叫做腰，另一条边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰和底边的夹角为底角1.等腰三角形是对称图形，顶角平分线所在直线为它的对称轴2.等腰三角形两底角相等，即在同一个等腰三角形中，等边对等角3.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形的三线合一1.（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形2.如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，即，在同一个三角形中，等角对等边等边三角形三条边都相等的三角形是等边三角形，它是特殊的等腰三角形，也叫正三角形1.等边三角形的内角都相等，且为60°2.等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴3.等边三角形每条边上的中线，高线和所对角的角平分线三线合一，他们所在的直线都是等边三角形的对称轴1.三条边都相等的三角形是等边三角形2.三个内角都等于60°的三角形是等边三角形3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形直角三角形有一个角是直角的三角形是直角三角形，即“R t△”1.直角三角形的两锐角互余2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半3.直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半4.直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）1.有一个角是直角的三角形是直角三角形2.有两个角互余的三角形是直角三角形3.如果一个三角形中两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理逆定理）2、等腰三角形（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。
特殊三角形知识点(家教版)
特殊三角形三角形1、三角形的内角和是180°2、三角形的外角和是360°3、三角形的任意一个外角都等于和它不相邻的两个内角的和。
4、三角形的任意一个外角都大于和它不相邻的内角全等三角形●全等三角形的性质1、对应边相等2、对应角相等●三角形全等的判定1、三边对应相等的两个三角形全等（SSS或边边边）2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS或边角边）3、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（ASA或角边角）4、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS或角角边）5、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL或斜边、直角边）角平分线●角的平分线的性质1、角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
2、角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
（在三角形内部，到三边相等的点是三角形角平分线的交点）等腰三角形●等腰三角形的性质1、等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
●等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等。
（等角对等边）等边三角形●等边三角形的性质1、等边三角形的三个内角相等，并且每一个角都等于60°。
2、三个角都相等的三角形是等边三角形。
3、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
直角三角形●直角三角形的定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ● 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
● 勾股定理勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c 满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。
● 中位线三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
1、直角三角形的性质：⑴、在直角三角形中，两锐角 ； ⑵、在直角三角形中, 上的中线等于 的一半.⑶、在直角三角形中,如果一个锐角等于 ,那么 .⑷、在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么 .(定理⑵、⑶通常用于证明线段之间的倍分关系;定理⑷通常用于求三角形中角的度数) ⑸、勾股定理内容: . 2、直角三角形的判定：⑴、有一个角等于_________的三角形是直角三角形； ⑵、有两个角_____________的三角形是直角三角形；⑶、如果三角形一边上的中线等于这条边的________，那么这个三角形是直角三角形。
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特殊三角形
【等腰三角形】
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两
条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与
腰的夹角叫做底角。
1、等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴。
2、性质
性质定理1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）。
性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）。
3、判定
定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形。
判定定理：如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。
（等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理。
）
【等边三角形】
三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
等边三角形是特殊的等腰三角形，也叫正三角形。
1、性质
性质1：等边三角形的各个内角都等于60°。
性质2：等边三角形每条边上的中线、高线以及相应对角的平分线都重合，它们所在的直线都是等边三角形的对称轴。
2、判定
定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形。
判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
【直角三角形】
有一角是直角的三角形叫做直角三角形。
符号“Rt△”。
1、性质
性质1：直角三角形的两个锐角互余。
性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
2、判定
有一个角是直角的三角形是直角三角形。
有两个角互余的三角形是直角三角形。
如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
【勾股定理】
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
a2+b2=c2，变形式为c2-a2=b2或c2-b2=a2。