26.2用函数观点看一元二次方程第2课时
初中数学 26.2 用函数观点看一元二次方程 教案2
26.2 用函数的观点看一元二次方程教学目标：1．复习巩固用函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象求方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解。
2．让学生体验函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 的交点的横坐标是方程x 2＝bx ＋c 的解的探索过程，掌握用函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 图象交点的方法求方程ax 2＝bx ＋c 的解。
3．提高学生综合解题能力，渗透数形结合思想。
重点难点：重点；用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力是教学的重点。
难点：提高学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点。
教学过程：一、复习巩固1．如何运用函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象求方程ax 2＋bx ＋c 的解?2．完成以下两道题：(1)画出函数y ＝x 2＋x －1的图象，求方程x 2＋x －1＝0的解。
(精确到0.1)(2)画出函数y ＝2x 2－3x －2的图象，求方程2x 2－3x －2＝0的解。
教学要点1．学生练习的同时，教师巡视指导， 2．教师根据学生情况进行讲评。
解：略函数y ＝2x 2－3x －2的图象与x 轴交点的横坐标分别是x 1＝－12和x 2＝2，所以一元二次方程的解是x 1＝－12和x 2＝2。
二、探索问题问题1：(问题4)育才中学初三(3)班学生在上节课的作业中出现了争论：求方程x 2＝12x 十3的解时，几乎所有学生都是将方程化为x 2－12x －3＝0，画出函数y ＝x 2－12x －3的图象，观察它与x 轴的交点，得出方程的解。
唯独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数y ＝x 2和y ＝12x ＋2的图象，如图(3)所示，认为它们的交点A 、B 的横坐标－32和2就是原方程的解． 提问： 1. 这两种解法的结果一样吗? 2．小刘解法的理由是什么?让学生讨论，交流，发表不同意见，并进行归纳。
3．函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 的图象一定相交于两点吗?你能否举出例子加以说明? 4，函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 的图象的交点横坐标一定是一元二次方程x 2＝bx ＋c 的解吗?5．如果函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 图象没有交点，一元二次方程x 2＝bx ＋c 的解怎样?三、做一做利用图26．3．4(见P24页)，运用小刘方法求下列方程的解，并检验小刘的方法是否合理。
26.2用函数观点看一元二次方程_(2课时)
●请你把这节课你学到了东西告诉你的同 请你把这节课你学到了东西告诉你的同 讨 论 然后告诉老师？ 桌，然后告诉老师？
这节课应有以下内容： 节课应有以下内容：
二次函数与一 元二次方程的 关系
二 次 函 数 与
当二次函数y=ax2+bx+c中y的值 当二次函数 中 的值 确定， 的值时， 确定，求x的值时，二次函数就变 的值时 为一元二次方程。即当y取定值时 取定值时， 为一元二次方程。即当 取定值时， 二次函数就为一元二次方程。 二次函数就为一元二次方程。
y
y = x2 + x − 2
O
y = x2 − 6x + 9
y
(a)
O
(b)
(c)
对应二次函数(1)-(3)得到图象(a)-(c)。
x
O
x y
y = x2 − x + 1
x
y
O
y = x + x−2
2
y = x2 − 6 x + 9
y y
O O
y = x2 − x + 1
y = x 2 + x − 2 的函数图象与 轴的公共点的横坐标是 和1， 的函数图象与x轴的公共点的横坐标是 轴的公共点的横坐标是-2和 ， （1） ）
两个交点
轴 的 交 点
交 一个交点 点 没有交点 的交点的
b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 一元二次方程的
二次函数与x 二次函数与
x
练习:看谁算的又快又准。 练习 看谁算的又快又准。 看谁算的又快又准 1.不与 轴相交的抛物线是 D ) 不与x轴相交的抛物线是 不与 轴相交的抛物线是( A y=2x2 – 3 B y= - 2 x2 + 3 D y=-2(x+1)2 - 3 C y= - x2 – 2x 2.如果关于 的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实 如果关于x的一元二次方程 如果关于 有两个相等的实 1 数根,则 ＿＿ ＿＿,此时抛物线 轴有＿ 数根 则m=＿＿ 此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有＿ 个 与 轴有 1 交点. 交点 16 3.已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴上 则c=＿＿＿＿ 已知抛物线 轴上,则 ＿＿＿＿ ＿＿＿＿. 的顶点在 轴上 (0,2) 4.抛物线 抛物线y=x2-3x+2 与y轴交于点＿＿＿＿ 与x轴交 轴交于点＿＿＿＿ 抛物线 轴交于点＿＿＿＿,与 轴交 (1,0) 于点＿＿＿ 于点＿＿＿ (2,0) . ＿
高中数学《从函数观点看一元二次方程》教学课件
数，分别得到6=3×2和2=(－2)×(－1)．当然，还有其他的分解，分解之后还需 检验交叉相乘后能否得到一次项系数.我们用下面的算式予以体现：
(a)3 －2(b)
(c)2 －1(d) 3×(－1)+2×(－2)= －7 因此可得a=3，b=－2，c=2，d=－1，则6x2－7x+2=(3x－2)(2x－1).
(1)2x2－3x+1＝0；
(2)9x2+12x+4＝0;
(3) －x2+2x－4＝0.
2.已知二次函数y=x2+ax+b的两个零点分别是2和3，求a，b的值.
3.(1)求二次函数y=x2+px+p－2的零点个数；
(2)已知二次函数y=x2+2x+a在区间［－2，1］上的最小值大于0，求该函数
的零点个数.
一 从函数观点看一元二次方程
(1)
(2)
(3)
图2.2-1
容易知道，一元二次方程x2－4x+3=0有两个实数根x1=1，x2=3；二次函数y=x2－ 4x+3 的 图 象 与 x 轴 有 两 个 交 点 (1 ， 0) ， (3 ， 0) ， 如 图 2.2-1(1) ． 这 样 ， 方 程 x2 － 4x+3=0的两个实数根就是函数y= x2－4x+3的图象与x轴交点的横坐标．
一 从函数观点看一元二次方程
一元二次方程x2－4x+4=0有两个相等的实数根x1=x2=2；二次函数y=x2－4x+4的 图象与x轴有唯一的交点(2，0)，如图2.2-1(2)．这样，方程x2－4x+4=0的实数根就 是函数y=x2－4x+4的图象与x轴交点的横坐标．
人教版初三下册数学教案：用函数观点看一元二次方程
人教版初三下册数学教案：用函数观点看一元二次方
程
教案普通包括教材简析和先生剖析、教学目的、重难点、教学预备、教学进程及练习设计等外容。
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教学目的
(一)知识与技艺
1.阅历探求二次函数与一元二次方程的关系的进程，体会方程与函数之间的联络.
2.了解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，了解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根.
3.了解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标.
(二)进程与方法
1.阅历探求二次函数与一元二次方程的关系的进程，培育先生的探求才干和创新肉体.
2.经过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的状况，进一步培育先生的数形结合思想.
3.经过先生共同观察和讨论.培育大家的协作交流看法.
(三)情感态度与价值观
1.阅历探求二次函数与一元二次方程的关系的进程，体验数
学活动充溢着探求与发明.感受数学的严谨性以及数学结论确实定性，
2.具有初步的创新肉体和实际才干.
教学重点
1.体会方程与函数之间的联络.
2.了解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根.
3.了解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标.
教学难点
1.探求方程与函数之间的联络的进程.
2.了解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.
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26.2用函数观点看一元二次方程
第九课时、用函数观点看一元二次方程【教学内容】用函数观点看一元二次方程【教学目标】知识与能力：从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质，使学生理解二次函数与一元二次方程的相互关系。
探索二次函数的变化觃律,掌握函数的最大(或最小值)值及函数的增减性的概念,会求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性。
过程与方法：使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识。
情感与态度：迚一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想。
语言积累：函数观点、一元二次方程。
【教学重点】二次函数的最大值,最小值及增减性的理解和求法。
【教学难点】二次函数的性质的应用。
【教学用具】课件、学具。
【教学过程】一、复习引入：二次函数: y=ax2 +bx + c (a 0)的图象是一条抛物线,它的开口由什么决定呢?补充: 当a的绝对值相等时,其形状完全相同,当a的绝对值越大,则开口越小,反之成立。
如图四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2。
则a、b、c、d的大小关系为（A ）A a＞b＞c＞dB a＞b＞d＞cC b＞a＞c＞dD b＞a＞d＞c二次函数cbxaxy++=2的图象如图，则点M（b，ac）在（D）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限将抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线，其解析式是( A )A y=2(x+1)2+3B y=2(x－1)2－3C y=2(x+1)2－3D y=2(x－1)2+3方法：课件出示题目；指名回答，集体订正。
二、新课教学：1、探索填空:根据下边已画好抛物线y= -2x2的顶点坐标是, 对称轴是，在侧，即x_ _0时，y随着x的增大而增大；在侧，即x____0时，y随着x的增大而减小。
当x= 时，函数y最大值是__ __. 当x___ _0时,y<0.方法：课件出示题目；指名回答，集体订正。
26.2用函数观点看一元二次方程课件PPT文档38页
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❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
26.2用函数观点看一元二次 方程课件
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
初中数学用函数的观点看一元二次方程课件
三、拓展应用
例题1、若方程x2+bx+c=0的两个根是－3和1，那么二 次函数 y=x2+bx+c 的图象位于x轴上方时，自变量x的 取值范围是多少？若位于x轴下方呢？
y
上方：x<-3或x>1
下方： -3 < x<1
不等式-x+3> x2+2x的解是：-3.8<x<0.8
说一说你能根据图像得到哪些信息？
思考：
你能根据方程组：
y＝x2
y＝bx＋c
的解的情况，来判定函数y＝x2与y＝bx＋c
图象交点个数吗?请说说你的看法。
又怎样判定方程组： 的解的情况呢？
y＝x2 y＝bx＋c
观察函数y=x2-2x-3的图象,利用图象回答:
y
-1 01
x
下列情形时,如果a＜a>00,,抛物线y=ax2+bx+c的顶点在 什么位置? (1)方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根; 顶点在x轴下方 (2)方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根; 顶点在x轴 (3)方程ax2+bx+c=0没有实数根. 顶点在x轴上方
y
-1 01
x
欲求y x2 4x 3与x轴的交点，令y=__0_,化为
方程__x_2___4_x___3___0__,解得x 1
__-_1_,
x2Leabharlann __-_3_,y x2 4x 3与x轴交点坐标为_（__-_1_,0_）____（_-_3_,0_）
九年级数学下册课件：26.2用函数观点看一元二次方程1
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由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元 二次方程的根．由于作图或观察可能存在误差，由图象 将得的根，一般是近似的．
例 利用函数图象求方程x2－2x－2=0 的实数根．
解：作y = x2－2x－2的图象，它与x轴的公共点的横坐标大约
是－0.7，2.7. 所以方程x2－2x－2＝0的实数根为
zxxkw zxxkw zxxkw
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85 =1.8t+0.064t2
解方程得
t1=25ຫໍສະໝຸດ t2 = －53.125（不符合实际舍 去）
他通过这段山坡需要25秒的时间
x1≈－0.7，x2≈2.7
8
6
y = x2－2x－2
4
(－0.7, 0 ) 2
－4 －2 －2
( 2.7, 0 ) 24
－4
1. 汽车刹车后的距离S（单位：m）与行驶时间t（单位 为：s）的函数关系式S=15t－6t2，汽车刹车后停下来行 驶5米，求汽车刹车后停下来的时间是多少？ 解：由函数关系可得：
5 =15t－6t2
解方程得 x1≈0.98 x2≈28.75（不符合实际舍去）
所以汽车刹车后停下来的时间为0.98s．
2. 一个滑雪者从85m长的山坡滑下，滑行的距离为S（单位： m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是
S=1.8t+0.064t2，他通过这段山坡需要多长时间？
解：由函数关系可得：
九年级数学下册 26.2《用函数观点看一元二次方程》(第
《26.2用函数观点看一元二次方程》讲课教师：学科：数学课时：第二课时总课时数：47教学目标知识与技能加强对二次函数与一元二次方程之间关系的理解，会利用二次函数的图象求相应一元二次方程的近似解。
过程与方法经历利用图像求一元二次方程的过程，掌握数形结合的思想方法。
情感态度与价值观进一步加深对一元二次方程根的认识，加深对二次函数图象意义的理解，体会它的实际意义。
教材分析教学重点理解二次函数与一元二次方程之间的关系，利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。
教学难点利用图像求近似根的方法。
教学过程教师活动学生活动备注（教学目的、时间分配等）导;回忆二次函数与一元二次方程有怎样关系？动：利用二次函数y=ax²+bx+c的图象求方程ax²+bx+c=0的近似根探究(1)利用函数y=x²-2x-2的图象，求方程x²-2x-2=0的实数根的一般步骤是什么呢？用计算器计算探究（2）利用函数y=-x ²+2x-3的图象，求方程-x ²+2x-3=-8的近似解学生回答学生分组讨论一人发言（1）用描点法画y=x ²-2x-2函数图象(2)确定抛物线与横轴交点的位置，估计方程x²-2x-2=0两个根的范围-1＜x＜-0.5,2.5＜x＜3x=-0.7或x=2.7学生画出图象并回答解的近似值温故而知新3分10分培养学生动手操作的能力总：利用函数图象求方程的近似根步骤 落： 1.已知抛物线m x m x y +-+=)1(52与x 轴两交点在y 轴同侧，它们的距离的平方等于2549，则m 的值为（ ） A 、－2 B 、12 C 、24 D 、－2或24 2、已知二次函数c bx ax y ++=21（a ≠0）与一次函数m kx y +=2（k ≠0）的图像交于点A （－2，4），B （8，2），如图所示，则能使21y y >成立的x 的取值范围是（ ） A 、2-<x B 、8>x C 、82<<-x D 、2-<x 或8>xyx第2题图B AO学生总结（1） 作出二次函数图象并由图象确定方程解的个数（2） 图象与y=m 的交点位置确定交点的横坐标范围（3） 利用计算器估算方程的近似解学生独立完成培养学生归纳总结的能力 3分15分yx第3题图EBAOyx第4题图BAO3、如图，抛物线c bx ax y ++=2与两坐标轴的交点分别是A 、B 、E ，且△ABE 是等腰直角三角形，AE ＝BE ，则下列关系：①0=+c a ；②0=b ；③1-=ac ；④2c S ABE =∆其中正确的有（ ）A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个 4、设函数1)1(22++-+-=m x m x y 的图像如图所示，它与x 轴交于A 、B 两点，线段OA 与OB 的比为1∶3，则m 的值为（ ） A 、31或 2 B 、31 C 、1 D 、2教师活动学生活动备注（教学目的、时间分配等）。
华师版九年级数学下册_26.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
(h，k)
(h，0) (0，k) (0，0)
直线x=h
y轴
感悟新知
特别解读
知4－讲
1. 抛物线y=ax2，y=ax2+k，y=a(x－h)2，y=a(x－h)2+k中a
的值相等，所以这四条抛物线的形状、开口方向完全
一样，故它们之间可通过互相平移得到.
2. 抛物线的平移规律是“左加右减，上加下减”，不同的
而减小. 其中正确结论有__①__③__④__.
解题秘方：紧扣二次函数y=a(x－h)2+k 的图象和 性质逐一判断.
感悟新知
知3－练
解：∵ a=－1<0，∴抛物线的开口向下，故①正确； 对称轴为直线x=－1，故②错误；顶点坐标为 (－1，3)，故③正确；当x>1 时，y 随x 的增大 而减小，故④正确.
y轴
当x＜0 时，y随x的 当x＜0 时，y 随x 的
增大而减小；当x＞ 增大而增大；当x＞
0 时，y随x的增大而 0 时，y 随x的增大
增大
而减小
当x=0 时，y最小值=k 当x=0 时，y最大值=k
感悟新知
知1－讲
3. 二次函数y=ax2+k 的图象的画法 (1)描点法：即按列表→描点→连线的顺序作图. (2)平移法：将二次函数y=ax2 的图象，向上(k ＞ 0)或向 下(k ＜ 0)平移|k| 个单位，即可得到二次函数y=ax2+k 的图象.
解：由图象知，对于一切x的值，总有y ≤ 2.
感悟新知
知4－练
4-1. [中考·湖州] 将抛物线y=x2 向上平移3 个单位，所得抛 物线的表达式是( A ) A. y=x2+3 B. y=x2－3 C. y=(x+3)2 D. y=(x－3)2
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(1)证明：b 4ac (m) 4 2 (m ) 9m 2 9m 0,二次函数的图像与x轴总有公共点。 2 2 (2) (1,0)在该二次函数y=2x -mx-m 的图像上， 2 2 0=2-m-m ,即m m 2 0,(m 2)(m 1) 0 m1 2, m2 1
4.已知二次函数 y 2 x m x m . (1)求证 : 对于任意实数 m, 该二次函数的图象与 x轴总有公共点 ; (2)若该二次函数的图象与 x轴有两个公共点 A、B, 且或（ ， 2 2 2 2 2
2
2
速度的速度从C出发, 沿C D运动.同时, 点Q以每秒1个单位长度的速度
2
① 当m=-2时，二次函数y=2x2+2x-4， 当y=0时，2x2+2x-4=0，x2+x-2=0，(x+2)(x-1)=0, x1=-2,x2=1, ∴ B点坐标为(-2,0) ②当m=1时，二次函数y=2x2-x-1， 当y=0时，2x2-x-1=0，,x1=-0.5,x2=1,∴ B点坐标为(-0.5,0)
5.在ABC中, B 90, 点P从点A开始沿AB边向点B 以1cm / s的速度移动 , 点Q从点B开始沿BC的边向点C 以2cm / s的速度移动，设 PBQ的面积为y cm 运动 时间为xs，如果P、Q分别从A、B同时出发：
2 2
（ 1 ）写出y与x的函数关系式；
（2）几秒后PBQ的面积等于 8c m ？
6.已知抛物线y x ax a 2与x轴交于A、B两点, 与y轴交于点D(0,8), 直线DC平行于x轴, 交抛物线于另一点 C.动点P以每秒2个单位长度的 从点A出发, 沿A B运动.连接PQ、CB，设点P的运动时间t秒. (1)求a的值; (2)当t为何值时, PQ平行于y轴; (3)当四边形PQBC的面积等于 14时, 求t的值.