二项式分布列与数学期望
北京市海淀区2023-2024学年高二下学期期末数学试卷(含答案)
北京市海淀区2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷本试卷共6页，共两部分。
19道题，共100分。
考试时长90分钟。
试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，请将答题卡交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.5(1)x -的展开式中，所有二项式的系数和为A.0B.52C.1D.622.已知函数sin (),cos xf x x=则(0)f '的值为A.0B.1C.1- D.π3.若等比数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则公比q =A.12B.12-C.2D.2-4.下列函数中，在区间[]1,0-上的平均变化率最大的时A.2y x = B.3y x = C.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.2xy =5.将分别写有2,0,2,4的四章卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数为A.9B.12C.18D.246.小明投篮3次，每次投中的概率为0.8，且每次投篮互不影响，若投中一次的2分，没投中得0分，总得分为X ，则A.() 2.4E X = B.() 4.8E X = C.()0.48D X = D.()0.96D X =7.已知一批产品中，A 项指标合格的比例为80%，B 项指标合格的比例为90%，A 、B 两项指标都合格的比例为60%，从这批产品中随机抽取一个产品，若A 项指标合格，则该产品的B 项指标也合格的概率是A.37B.23C.34D.568.已知等差数列n a 的前n 项和为n S ，若10a <、则“n S 有最大值”是“公差0d <”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.设函数()()ln 1sin f x x a x =-+.若()()0f x f ≤在()1,1-上恒成立，则A.0a =B.1a ≥C.01a <≤ D.1a =10.在经济学中，将产品销量为x 件时的总收益称为收益函数，记为()R x ，相应地把()R x '称为边际收益函数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平.假设一个企业的边际收益函数()1000R x x '=-(注:经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其看成连续函数来分析).给出下列三个结论:①当销量为1000件时，总收益最大;②若销量为800件时，总收益为T ，则当销量增加400件时，总收益仍为T ;③当销量从500件增加到501件时，总收益改变量的近似值为500.其中正确结论的个数为A.0B.1C.2D.3第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
贵州省遵义市凤冈二中2024届高三下学期第一次模拟考试(数学试题理)试题
贵州省遵义市凤冈二中2024届高三下学期第一次模拟考试（数学试题理）试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量0,2a ，()23,b x =，且a 与b 的夹角为3π，则x =（ ）A ．-2B ．2C ．1D ．-12．已知盒中有3个红球，3个黄球，3个白球，且每种颜色的三个球均按A ，B ，C 编号，现从中摸出3个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好不同时包含字母A ，B ，C 的概率为（ ） A ．1721B ．1928C ．79D ．23283．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ．B ．C ．1D ．24．已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在 1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭5．函数2()1cos 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．6．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知集合{}2230A x x x =--≤{}2B x x =＜，则A B =( )A ．()1,3B ．(]1,3C ．[)1,2-D ．()1,2-8．35(1)(2)x y --的展开式中，满足2m n +=的m nx y 的系数之和为（ ）A ．640B ．416C ．406D ．236-9．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为（ ）A 3B ．36C ．33D ．23310．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭个单位长度，得到的函数为偶函数，则ϕ的值为（ ） A ．12π B ．6π C ．3π D ．4π11．已知(),A A A x y 是圆心为坐标原点O ，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转23π到OB 交圆于点(),B B B x y ，则2AB yy +的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．3D ．512．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积222221()42a b c S ab ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）A ．2B ．22C ．6D ．23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【高考数学】利用二项式分布思想高考数学“秒杀”概率中的数学期望
二项分布：在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的
概率为 p，则称随机变量 X 服从二项分布.记为： X ~ B(n, p) .
很明显，二项分布需满足的条件为：独立性、重复性、试验的结果只有两个.
反观上题，我们再细细的分析一下：若记“担任领导岗位的男员工人数”为 ，相当于在领导岗
终的期望仍可以将三个两点分布的期望相加得到，即：EX
1
1
2
（三个两点分布的期望之和）.
223
通过上述两种解法的对比，我们可以进一步深入理解二项分布的概念，从而达到了一个新的层次.
问题启示：上述两则案例告诉我们，二项分布的期望等价于若干个两点分布的期望之和，或者等
价于若干个二项分布的期望之和，故我们可以将类似于上述案例中求期望的方法延伸到一般化，即：
球.现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球.假设每个球被取到的可能性相同，设 为取出的 4 个球中红球
的个数，则 E =______
参考解析： （一）、常规解法：
0
1
2
3
1
4
13
1
P
10
10
30
15
E 22 15
（二）、按“秒杀”思路分析：
记“从甲盒中取出红球的个数”为 1 ，“从乙盒中取出红球的个数”为 2
E(X1 X2 ... Xn ) E(X1) E(X2) ... E(Xn ) ；
注：其中 X 1、X 2 ...X n 都服从于两点分布或服从于二项分布.
读者不妨再用两种解法做一下练习 2. 练习 2：已知甲盒内有大小相同的 2 个红球和 3 个黑球，乙盒内有大小相同的 1 个红球和 2 个黑
北师大版高中数学选择性必修第一册 第六章 4.1 二项分布
变式训练3某种种子每粒发芽的概率为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽
的种子,每坑需再补种2粒,每个坑至多补种一次,补种的种子数记为X,则X
的数学期望为(
)
A.100 B.200 C.300 D.400
答案 B
解析 由题意可设,不发芽的种子数为Y,Y服从二项分布,即Y~B(1 000,0.1),所
Dξ=10×
课堂篇 探究学习
探究一
n重伯努利试验的概率
例1(1)某射手射击一次,击中目标的概率是0.9,他连续射击三次,且他每次
射击相互之间没有影响,有下列结论:
①他三次都击中目标的概率是0.93;
②他恰好在第三次击中目标的概率是0.9;
③他恰好2次击中目标的概率是2×0.92×0.1;
④他恰好2次未击中目标的概率是3×0.9×0.12.
∴P(AB+)=P(A)P(B)+P()P()
1 1
1
1 1
=2 × 2+(1-2)×(1-2)=2.
1 4-k
1
1 k
(2)随机变量 ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4,且 ξ~B(4,2).∴P(ξ=k)=C4 (2) (1-2)
1 4
=C4 (2) (k=0,1,2,3,4).
k=0,1,2,3,4,
25
P(η=5)=P(5 个均为绿灯)=(3) .
故η的分布列为
η
0
1
2
3
4
5
P
1
3
2
9
4
27
8
81
16
243
32
243
反思感悟 1.本例属于二项分布,当X服从二项分布时,应弄清X~B(n,p)中的
2021-2022学年重庆市名校联盟高二下学期5月联考数学试题(解析版)
2021-2022学年重庆市名校联盟高二下学期5月联考数学试题一、单选题1．已知两个正态密度函数()()()2221,1,22πx i i i i x e x i μσϕσ--=∈=R 的图象如图所示，则（ ）A ．12μμ<，12σσ<B ．12μμ>，12σσ<C ．12μμ<，12σσ>D ．12μμ>，12σσ>【答案】A【分析】正态曲线关于直线x μ=对称，且μ越大图象越靠右，所以1ϕ图象的均值比2ϕ图象的均值小，又由σ越小图象越“瘦高”，得到正确的结果. 【详解】正态曲线关于直线x μ=对称，且在x μ=2πσ 由题图易得12μμ<，因为()1x ϕ的图象更“瘦高”，()2x ϕ的图象更“矮胖”，则12σσ<. 故选：A.2．甲､乙､丙､丁四位同学各自对,x y 两变量的线性相关性做试验，分别求得样本相关系数r ，如下表：甲 乙 丙 丁r0.20 0.95- 0.12- 0.85则试验结果中,x y 两变量有更强线性相关性的是（ ）A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B【分析】由相关系数的绝对值的大小判断．【详解】由已知，乙的相关系数的绝对值为0.95r =，是四人中最大的，因此乙同学有更强的相关性． 故选：B ．3．6(12)x +的展开式中2x 的系数为（ ） A ．15 B ．60 C ．120 D ．240【答案】B【分析】根据二项展开式通项公式计算．【详解】()166C 2C 2rr rr r r T x x +==⨯， 所以2x 的系数是226C 260⨯=．故选：B ．4．从5名男同学和4名女同学中任选2名同学，在选到的都是同性别同学的条件下，都是男同学的概率是（ ） A ．13B ．514C ．1013 D ．58【答案】D【分析】根据已知条件及古典概型公式，结合条件概率的计算公式即可求解. 【详解】设“任选2名同学，都是男同学”的事件为A ， 设“任选2名同学，都是同性别同学”的事件为B ，所以()2529C 10C 45P AB ==，()225429C C 16C 45P B +==， 所以在选到的都是同性别同学的条件下，都是男同学的概率为()()()1054516845P AB P A B P B ===.故选：D.5．下表是某饮料专卖店一天卖出奶茶的杯数y 与当天气温x （单位：C ）的对比表，已知表中数据计算得到y 关于x 的线性回归方程为ˆˆ27ybx =+，则据此模型预计35C 时卖出奶茶的杯数为（ ） CA ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【分析】先求得ˆb的值，再据此模型计算出35C 时卖出奶茶的杯数. 【详解】由题可知1(510152025)155x =++++=，1(2620161414)185y =++++=，由ˆ181527b=+，可得3ˆ5b =-， 则3ˆ352765y=-⨯+= 则据此模型预计35C 时卖出奶茶的杯数为6. 故选：C6．函数()33f x x x =-在区间()m,2上有最小值，则m 的取值范围是( )A ．()2,1-B ．[)2,1-C ．()2,1--D ．(]1,1-【答案】B【分析】根据f (x )的导数求f (x )的单调性和极值，作出f (x )简图，数形结合即可求m 的范围.【详解】()()()233311f x x x x ==+'--，易知()f x 在(),1-∞-，()1,+∞单调递增，在()1,1-单调递减， 又()22f -=-，()12f -=，12f ，()2f x =，故f (x )图像如图：函数()33f x x x =-在区间()m,2上有最小值，则由图可知21m -≤<.故选：B.7．由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是（ ） A ．120B ．112C ．110 D ．16【答案】A【分析】首先根据已知条件“定位”中间数字，其次在剩余的四个数字中任取两个数字，放置在首或末位，则其余数字排列方式唯一确定.最后由古典概型计算公式即可得解【详解】由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共55A 120=个，前3个数字保持递减，后3个数字保持递增，说明中间数字为1；在剩余的四个数字中任取两个数字，按照递减顺序,仅有一种排列方式放置在首两位（或末两位），则剩余两位数字排列方式唯一确定，放置在最后两位（或首两位）.24C ?16=因此“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”的五位数有24C 6=个，所以所求的概率6112020P ==． 故选：A ．8．已知()()21ln f x x a x =-+在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恰有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，则()12f x x 的取值范围为（ ） A ．13,ln 22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1ln 2,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,ln 22⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．13ln 2,ln 224⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D【分析】由题意得导函数在区间1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭有两个零点，根据二次函数的性质可得3182a <<，由根与系数的关系可得121212x x a x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩以及21324x <<，求出()12f x x 的表达式，将1x 用2x 表示，表示为关于2x 的函数，利用导数与单调性的关系即可求出结果.【详解】由题意得()()222220a x x af x x x x x-+'=-+=>，令()0f x '=，得2220x x a -+=，由题意知2220x x a -+=在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有两个根1x ，2x ，∴20,1122044480a a a >⎧⎪⎪⎛⎫⨯-⨯+>⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪∆=->⎩，得3182a <<．由根与系数的关系得121212x x a x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，由求根公式得1,2x ==， ∵12x x <，∴2x =，∵3182a <<，∴21324x <<．则()()()()2211121212222221ln 2ln 21ln 1f x x a x x x x x x x x x x x -++===+--()()222213121ln 1124x x x x ⎛⎫=-+--+<< ⎪⎝⎭，令21t x =-，则1142t <<． 设()112ln 142g t t t t t ⎛⎫=-++<< ⎪⎝⎭，则()12ln g t t '=+，易知()g t '在11,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，∴()12ln 12ln 2ln 04eg t t '=+<-=<，∴当1142t <<时，函数()g t 为减函数， ∴()11132ln 1ln 24444g t <-+⨯+=-，且()11112ln ln 1ln 22222g t >-+⨯+=-，∴()1213ln 2,ln 224f x x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， 故选：D .【点睛】关键点点睛：（1）根据极值点的概念，结合根据系数的关系和二次函数的性质得到参数a 的取值范围，以及1x 与2x 之间的关系；（2）将题意转化为关于2x 的函数，构造出21t x =-，利用导数判断单调性.二、多选题9．已知随机变量,X Y 满足8X Y +=，若()10,0.6X B ，则下列选项正确的有（ ）A ．()6E x =B ．()6E Y =C ．() 2.4=D XD ．() 2.4D Y =【答案】ACD【分析】根据已知条件及二项分布的期望与方差公式，结合期望与方差的线性公式即可求解.【详解】因为()10,0.6XB ，所以()100.66E x =⨯=，故A 正确；所以()()100.610.6 2.4D X =⨯⨯-=，故C 正确； 又因为8X Y +=，所以8Y X =-,所以()()()88862E Y E X E X =-=-=-=，故B 不正确； 所以()()()()2811 2.4 2.4D Y D X D X =-=-=⨯=，故D 正确. 故选：ACD.10．已知(2)n a b +的展开式中第6项的二项式系数最大，则n 的值可以为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11【答案】BCD【分析】利用二次项系数的性质即可求解.【详解】因为(2)n a b +的展开式中第6项的二项式系数5C n 最大，则n 的值可以为9或10或11.当9n =时，(2)n a b +的展开式共有10项，其中第5项与第6项的二项式系数相等且最大，满足题意，当10n =时，(2)n a b +的展开式共有11项，只有第6项的二项式系数最大，满足题意， 当11n =时，(2)n a b +的展开式共有12项，其中第6项与第7项的二项式系数相等且最大，满足题意， 故选：BCD.11．从7名男生和5名女生中选4人参加夏令营，规定男、女生至少各有1人参加，则不同的选法种数应为( ) A ．1127510C C C B ．312213757575C C C C C C ++ C ．4441275C C C -- D ．()112112756464C C C C C C ++【答案】BC【分析】可以用两种方法求解：①分三类：3男1女，2男2女，1男3女；②用任选4人的方法数减去全部为男生或全部为女生的方法种数.据此几何判断求解.【详解】(1)分三类：3男1女，2男2女，1男3女，∴男、女生至少各有1人参加的选法种数为312213757575C C C C C C ++．(2)任选4人的方法种数为412C ，其中全部为男生或全部为女生的方法种数为4475C C +，所以男、女生至少各有1人参加的选法种数为4441275C C C --． 故选：BC ．12．记()f x 的导函数为()f x '，若()()()2f x xf x f x x '<<-对任意的正数都成立，则下列不等式中成立的有（ ） A ．()1122f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭B ．()()1122f f < C ．()11412f f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭D ．()()111242f f <+ 【答案】BC【分析】对于AB ，构造函数()()f x F x x=，求导，借助单调性比较大小即可；对于CD ，构造函数()2()=f x xh x x -，求导，借助单调性比较大小即可. 【详解】解：因为()()f x f x x <'，所以()()0f x x f x '->，则()()()()2=0f x f x x f x F x x x ''-⎡⎤'=>⎢⎥⎣⎦，所以()()f x F x x =在()0,x ∈+∞单调递增，所以()112F F ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()112112f f ⎛⎫⎪⎝⎭>，所以()1122f f⎛⎫> ⎪⎝⎭，故A 错误；同理()()21F F >，即()()2121f f >，所以()()1122f f <，故B 正确；因为()()2xf x f x x '<-，所以()()20xf x f x x '-+<，构造函数()2()=f x xh x x -，则()()()232()==0f x x xf x f x xh x x x ''--+⎡⎤'<⎢⎥⎣⎦，所以()2()=f x x h x x -在()0,x ∈+∞单调递减，所以1(1)()2h h <，即()111f -112214f ⎛⎫-⎪⎝⎭<，化简得()11412f f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，故C 正确；同理(2)(1)h h <，即()224f -()111f -<，化简得()()111242f f >+，故D 错误.故选：BC.三、填空题13．已知2()1f x x =-，则12f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭__________.【答案】1【分析】求出导函数，直接代入.【详解】因为2()1f x x =-，所以()2f x x '=，所以12f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭1.故答案为：114．已知随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，若()260.6P X <<=，()60.2P X ≥=，则μ=______． 【答案】4【分析】先求出()2P X ≤的概率，然后根据正态分布的特征求解即可. 【详解】解：由题意得：∵()()()()2162610.60.20.26P X P X P X P X ≤=-≥-<<=--==≥ ∴2与6关于x μ=对称 ∴4μ=． 故答案为：415．若方程：12348x x x x +++=，则方程的正整数解的个数为___________. 【答案】35【分析】将问题转化为将8个相同的小球装入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个小球，采用隔板法求解即可.【详解】解：原问题相当于将8个相同的小球装入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个小球，采用隔板法，将8个小球排成一排，在其中的7个空位上插入3个隔板即可，故共有37765C 35321⨯⨯==⨯⨯种.故答案为：35.16．已知函数()ln f x x m =-与()273g x x x =-+的图象在区间[]1,3上存在关于x 轴对称的点，则m 的取值范围为___________. 【答案】35ln32,ln 24⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【分析】()f x 与()g x 的图象在区间[]1,3上存在关于x 轴对称的点，即方程()()0f x g x -=在区间[]1,3内有解，即方程27ln 3m x x x =-+在区间[]1,3有解，所以构造函数()[]27ln 1,3,3h x x x x x =-+∈，利用导数的知识点求出()h x 的值域即可求出答案【详解】函数()ln f x x m =-与()273g x x x =-+的图象在区间[]1,3上存在关于x 轴对称的点，即方程27ln 03x x x m -+-=在区间[]1,3内有解， 所以方程27ln 3m x x x =-+在区间[]1,3有解. 令()[]27ln 1,3,3h x x x x x =-+∈， 所以()()()23123176732333x x x x h x x x x x+--++'=-+==-令()0h x '=，解得13x =-或32x =所以当[]1,3x ∈时，()h x '，()h x 随x 的变化情况如下表：由上表可知()413h =，()43ln 323h =-<，又335ln 224h ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以当[]1,3x ∈时，()h x ∈35ln 32,ln 24⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，故m 的取值范围是35ln 32,ln 24⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦.故答案为：35ln32,ln 24⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦四、解答题17．（1）若282828x x C C -=，求x 的值；（2）求3334510C C C +++的值.【答案】（1）8或12；（2）329.【分析】（1）根据组合数的定义及组合数的性质1即可求解； （2）根据组合数的定义及组合数的性质2即可求解；【详解】（1）由282828x x C C -=，得282828N 28x x x x x +⎧⎪⎪⎨≤-≤∈-=⎪⎪⎩或282828N 2828x x x x x +≤-≤∈-=-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得8x =或12x =；实数x 的值为8或12.（2）由组合数的性质知，333333451045410444C C C C C C C C =++++++-+44344446643413355101140C C C C C C C 329C C C =-=++-=-+++=+.所以3334510C C C +++的值为329.18．袋中有6个白球､3个黑球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球. (1)若每次抽取后都放回，设取到黑球的次数为X ，求X 的分布列和期望； (2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为Y ，求Y 的分布列和期望. 【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：23(2)分布列答案见解析，数学期望：23【分析】（1）根据题意X 满足二项分布，建立二项分布模型，得到X 的可能取值，利用二项分布计算概率，列出分布列即可；（2）根据题意可得Y 满足超几何分布，得出Y 的可能取值，分别计算其概率，列出分布列即可求得.【详解】(1)由题意，每次抽取后都放回，取得黑球的次数X 的可能取值为0,1,2， 其中每次抽取到黑球的概率均为13，所以2次取球可以看成2次的独立重复试验，则12,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，可得：()02021140C 1339P X ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()121141C 1339P X ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭， ()2221112C 1339P X ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以随机变量X 的分布列为：23E X； (2)若每次抽取后都不放回，取到黑球的个数Y 的可能取值为0,1,2，可得()()()21126633222999C C C C 5110,1,2C 12C 2C 12P Y P Y P Y =========，所以随机变量Y 的分别列为：()152********12E Y =⨯+⨯+⨯=. 19．已知函数()31443f x x x =-+.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若直线y a =与()f x 的图像有三个不同的交点，求实数a 的范围. 【答案】(1)增区间：（(),2),2,∞∞--+；减区间：（2,2)- (2)428,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）对函数求导，解导函数大于零得增区间，解导函数小于零得减区间；（2）根据()f x 单调性、极值画出函数()31443f x x x =-+的图像，结合图像，根据直线y a =与()f x 的图像有三个不同的交点，可求得实数a 的范围.【详解】(1)因为()31443f x x x =-+，所以()24=(2)(2)f x x x x '=-+-，由()0f x '>，解得2x >或2x <-，所以()f x 的增区间为(,2)-∞-，()2,+∞ 由()0f x '<，解得22x -<<，所以()f x 的减区间为(2,2)-， 综上，()f x 的增区间为(,2)-∞-，()2,+∞，减区间为(2,2)-； (2)由（1）知，当2x =-，函数取得极大值28(2)3f -=，当2x =，函数取得极小值4(2)3f =-，根据函数单调性，极值情况，其图像大致如图所示，结合图像知42833a -<<. 20．在二项式12nx x ⎛ ⎝的展开式中，______.给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数的和等于46； ②所有奇数项的二项式系数的和为256.试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题： (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式的常数项；(3)求展开式中项的系数最大的项. 【答案】(1)356316T x -=，326638T x -= (2)7212T =(3)7212T =【解析】（1）选择①：01246n n n C C C ++=，即()11462n n n -++=， 即2900n n +-=，即()()1090n n +-=，解得9n =或10n =-（舍去）.选择②：024...256n n n C C C +++=，即12256n -=，解得9n =.展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项，5452359163216T C x x x --⎛⎫== ⎪⎝⎭，45354226916328T C x x x --⎛⎫== ⎪⎝⎭.(2)展开式的通项为()93189922199122kk k k k k k k T C xx C x-----+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令31802k -=，得6k =，所以展开式中常数项为第7项，常数项为63792122T C -=⨯=； (3)由展开式的通项为()93189922199122kk k k kk k k T C xx C x-----+⎛⎫== ⎪⎝⎭，假设第1k +项系数最大，则910199981992222k k k k k k k k C C C C -----+⎧≥⎨≥⎩，解得172033k ≤≤，且0,1,,9k =，所以6k =，即系数最大项为7212T =. 21．第24届冬季奥林匹克运动会（ The XXIVO lympic WinterGames ），即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.2022年北京冬季奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目，延庆赛区承办雪车､雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车､雪橇､高山滑雪之外的所有雪上项目.为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某中学进行了一次抽样调查，统计得到以下22⨯列联表.(1)先完成22⨯列联表，并依据0.005α=的独立性检验，分析该校学生对冬季奥运会项目了解情况与性别是否有关；(2)①为弄清学生不了解冬季奥运会项目的原因，按照性别采用分层抽样的方法，从样本中不了解冬季奥运会项目的学生中随机抽取5人，再从这5人中抽取3人进行面对面交流，求“男､女生至少各抽到一名”的概率；②用样本估计总体，若再从该校全体学生中随机抽取40人，记其中对冬季奥运会项目了解的人数为X ，求X 的数学期望.附表：附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++ 【答案】(1)列联表答案见解析，该校学生对冬季奥运会项目了解情况与性别有关 (2)①910；②25【分析】（1）根据公式可求计算2χ的值，根据临界值表可得相应结论.（2）①根据古典概型的概率公式结合组合计数方法可求“男､女生至少各抽到一名”的概率；②根据二项分布的期望公式可求X 的数学期望.【详解】(1)零假设0H ：该校学生对冬季奥运会项目了解情况与性别无关（独立），根据所给数据得220.005400(1409011060)9.67.879250150200200x χ⨯-⨯==>=⨯⨯⨯， 并依据0.005α=的独立性检验，零假设0H 不成立，即该校学生对冬季奥运会项目了解情况与性别有关，该推断犯错误的概率不超过0.005. (2)①采用分层抽样的方法，从样本中不了解冬季奥运会项目的学生中随机抽取5人，由题可得不了解冬季奥运会项目的学生中男女比例为2:3，故这5人中包含3名女生，2名男生，再从这5人中抽取3人进行面对面交流，则“男､女生至少各抽到一名”的概率为3335C 1911C 1010-=-=； ②由题意得学生了解冬季奥运会项目的概率为25054008=，可知540,8XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()540258E X =⨯=.22．已知函数()x 2e 24f x mx mx =--，其中R m ∈．(1)若函数()f x 在[)1,+∞单调递增，求m 的取值范围； (2)已知函数()f x 存在两个极值点（1210x x -<<<），当211351x x +≤≤+时，求12x x +的取值范围．【答案】(1)e 8m ≤;(2)3ln 52ln 32,2]2[--.【分析】(1)求出函数的导数，由题意转化为不等式恒成立，分离参数，构造函数利用导数求最小值即可； （2）根据所给极值点得出21211e1x x x x -+=+，换元后可得12(1)ln 2,1t tx x t ++=--构造函数，利用导数研究函数单调性，由单调性求范围即可. 【详解】(1)()2e 24x f x mx mx =--，()e 44x f x mx m '∴=--，函数()f x 在[)1,+∞单调递增，()e 440x f x mx m '∴=--≥在[)1,+∞上恒成立， 即e 41xm x ≤+在[)1,+∞上恒成立，令e ()1x h x x =+，则[)1,x ∞∈+时，2e ()0(1)x x h x x '=>+， 所以e ()1xh x x =+在[)1,x ∞∈+时，单调递增，所以min e ()(1)2h x h ==，所以e42m ≤，即e 8m ≤.(2)因为函数()f x 存在两个极值点（1210x x -<<<），所以1212e 440e 440x x mx m mx m ⎧--=⎨--=⎩，可得21211e 1x x x x -+=+，令2111x t x +=+，则[]3,5t ∈，所以111e ,tx x t t -+-=取对数可得111ln ,tx x t t -+-=12ln ln 1,111t t t x x t t ∴+=+=--，12(1)ln 2,1t tx x t ++=-- 令(1)ln ()21t tm t t +=--，则212ln ()(1)t t t m t t --'=-， 令1()2ln n t t t t =--，则22221(1)()10t n t t t t -'=-+=>， 所以()n t 在[)1,t ∈+∞上单调递增，因为(1)0n =，所以()0n t >在[]3,5t ∈恒成立，所以()0m t '>在[]3,5t ∈恒成立，所以(1)ln ()21t tm t t +=--在[]3,5t ∈上单调递增， 所以(3)()(5)m m t m ≤≤，即3ln 52ln 32()22m t -≤≤-， 即 123ln 52ln 32,2]2[x x ∈-+- 【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于先根据极值点的定义得出21211e 1x x x x -+=+，进而换元2111x t x +=+，求出12(1)ln 2,1t t x x t ++=--构造函数，利用导数研究函数的单调性，由单调性求出12x x +的范围.。
二项式
排列组合二项式定理及概率高考复习建议本章知识结构一、排列与组合１.正确理解概念公式，明确五个２。
①两个原理关键是做一件事指的是什么?弄清是分类还是分步。
②两个定义 关键是弄清需要考虑顺序还是不需考虑顺序。
③两组公式 关键是根据题目特点合理选用。
④两个约定: 0n C =1 ,0!=1⑤两个性质：m n C = m n n C -，m n C +1m n C -=m 1n C + (m ≤n,m,n ∈N *)2.对排列组合知识的认识（1）问题实质：数数 （2）数数的方法⎧⎨⎩分类计数分步计数（3）题目模式：1234N M M M M =⨯+⨯（4）重点：⎧⎪⎨⎪⎩两个原理两个定义两个公式（5）难点：应用3.解题步骤；分类→ 分步→判断4. 解决问题的思维程序；做一件什么事？怎样才算把事情做完？用不用分类？怎样分类？例1.从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生则不同的选法有多少种?例2. 9名翻译中，6个懂英语，4个懂日语，从中选拔5人参加外事活动，要求其中3人担任英语翻译，2人担任日语翻译，选拔的方法有多少种？5.要善于退，足够地退，退到最简单而不失重要性的地方是解决数学问题的诀窍 例3（05北京理）北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为(A )（A ）124414128C C C （B ）124414128C A A （C ）12441412833C C C A（D ）12443141283C C C A6.掌握基本题型 (1)投信问题例: ①三封信投入到5个邮筒,有多少种投法? ②由{a,b,c,d}到{e,f}的映射共有多少个?(2)“在与不在”的问题例: 3位男生,5位女生坐在一排照相,共有多少种坐法?①甲、乙两人必须在两端,有多少种坐法?②甲不在排头乙不在排尾,有多少种坐法?(3)“邻与不邻”问题例1:3位男生,5位女生坐在一排照相①三位男生必须坐在一起,有多少种坐法? ②甲、乙相隔一人,有多少种坐法?例2 :3位男生5位女生坐在一排照相,三位男生中任意两人不能相邻,有多少种坐法? 例3: 4位男生,4位女生相间站队,有多少种站法? 例4: 4位男生,5位女生相间站队,有多少种站法?(4) “含与不含”问题例1: 100件产品中，正品97件，次品3件，现从中取出5件检验， （1）取出的5件全是正品的取法有___________种； （2）取出的5件中恰好有2次品的取法有___________种； （3）取出的5件中至少有2次品的取法有___________种. (5)顺序一定问题例: 3位男生,5位女生坐在一排照相①甲、乙、丙三人顺序一定,有多少种坐法?②甲、乙相邻且甲在乙的左边，有多少种坐法?⑹分组问题(注意有序均分和无序均分的区别) 例1: 把4人分成两组①两组人数分别为1、3,有多少种分法? ②平均分成第一、第二两组,有多少种分法? ③平均分成两组,有多少种分法?例2: 把6本不同的书①平均分给3人,有多少种分配方案? ②平均分成3堆,有多少种分配方案?③分给甲、乙、丙三人，甲3本,乙2本,丙1本,有多少种分配方案? ④分给三人，其中一人得3本,一人得2本,一人得1本,有多少种分配方案? ⑤分成三堆，其中一堆3本,一堆2本,一堆1本,有多少种分配方案? ⑥分成三堆，其中一堆4本,其余两堆各1本,有多少种分配方案?二、二项式定理1.(a+b)n ＝0n C a n +1n C a n-1 b+2n C a n-2b 2 +…+r n C a n-r b r +…+n n C b n特点:①展开式共有n+1项.②在每一项中, a 、b 的位置不能颠倒，a,b 的指数和为n 且b 的指数与组合数的上标相同.③二项式系数的上标从0增加到n,a 的指数从n 减少到0,b 的指数从0增加到n.性质:①二项式展开式中,与首尾两端等距离的两项的二项式系数相等. ②二项式展开式的二项式系数在中间位置取得最大值③0n C +1n C +2n C +…+n n C =2n (n ∈N); 0n 2C +2n 2C +4n 2C +…+n2n 2C =22n-1 (n ∈N) 1n 2C +3n 2C +5n 2C +…+1n 2n2C -=22n-1 (n ∈N) 通项公式： T r+1 = r n C an-rb r2．高考类型题（1）利用通项公式解题例1：求61)x①常数项 ②32x 项的系数 ③各项系数的和 ④写出所有的无理项 (2)根据恒等式意义解题例2：设9290129(13)x a a x a x a x -=++++①求0a =②求0129a a a a ++++ = ③求0129||||||||a a a a ++++ =（3）和二项式定理有关的问题例1在25(32)x x ++的展开式中x 的系数为（ ）A 、160 B 、240 C 、360 D 、800 例2：求(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+…+(1+x)n+2展开式中的含x 2的项的系数.(4)利用二项式的性质化简例1填空①0n C +2n C +4n C +…+n n C = ②18C +28C +38C +…+88C =③19C +39C +59C +…+99C = ④210242322C C C C ++++ =三、概率（一）求随机事件概率的基本方法1．随机试验法2．结果分析法(根据试验中各结果出现的等可能性求概率)（1）掌握等可能事件的概率计算公式P （A ）=m/n（2）掌握概率计算的三个步骤：用字母表示事件；求m 、n ；计算P （A ）。
二项分布-高二数学同步精讲课件(人教A版2019选择性必修第三册)
复习引入
前面我们学习了离散型随机变量的有关知识，本节将利用这些知识研究两类重
要的概率模型——二项分布和超几何分布.
在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两
个可能结果.例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医
学检验结果为阳性或阴性等.我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙
作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的
过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落
入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用
表示小球最后落入格子的号码，求的分布列.
解：设 =“向右下落”，则ҧ =“向左下落”，且
斥，每个结果都是3个相互独立事件的积.由概率的加法公式和乘法公式得：
新知探索
( = 0) = (1 2 3 ) = 0.23 ，
( = 1) = (1 2 3 ) + (1 2 3 ) + (1 2 3 ) = 3 × 0.8 × 0.22 ，
( = 2) = (1 2 3 ) + (1 2 3 ) + (1 2 3 ) = 3 × 0.82 × 0.2，
( = 3) = 2 . 均值和方差分别为
() = 0 × (1 − )2 +1 × 2(1 − ) + 2 × 2 = 2.
() = 02 × (1 − )2 +12 × 2(1 − ) + 22 × 2 − (2)2 = 2(1 − ).
新知探索
一般地，可以证明：如果~(，)，那么() = ，() = (1 − ).
(理科)专题训练(二项式定理、分布列、期望与方差)
高三数学（理科）专题训练（1）-----概率、二项式定理、分布列、数学期望1.如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平面线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A．60 B．48 C．36D．242.．甲、乙两人进行象棋比赛，甲获胜的概率是0.4，两人下成和棋的概率是0.2，则甲不输的概率是()A．0.6B．0.8C．0.2D．0.43．在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车)，有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为()A．0.20 B．0.60 C．0.80D．0.124．掷一颗质地均匀的骰子，观察所得的点数a，设事件A：a＝3；事件B：a＝4；事件C：a为奇数，则下列结论正确的是() A．A与B为互斥事件B．A与B为对立事件C．A与C为对立事件D．A与C为互斥事件5．某家庭电话在家里有人时，打进电话响第一声被接的概率为0.1，响第二声时被接的概率为0.3，响第三声时被接的概率为0.4，响第四声时被接的概率为0.1，那么电话在响前4声内被接的概率是()A．0.622 B．0.9 C．0.659 8 D．0.002 87.袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是对立事件的为()A．①B．②C．③D．④7.已知(x＋ax)6(a>0)的展开式中常数项为240，则(x＋a)(x－2a)2的展开式中x2项的系数为________．8．已知a＝π2(sin2x2－12)d x，则(ax＋12ax)9的展开式中，关于x的一次项的系数为________．9.自“钓鱼岛事件”以来，中日关系日趋紧张并不断升级．为了积极响应“保钓行动”，某学校举办了一场“保钓知识大赛”，共分两组．其中甲组得满分的有1个女生和3个男生，乙组得满分的有2个女生和4个男生．现从得满分的同学中，每组各任选2个同学，作为“保钓行动代言人”．(1)求选出的4个同学中恰有1个女生的概率；(2)设X为选出的4个同学中女生的个数，求X的分布列和数学期望．高三数学（理科）专题训练（2）-----概率、二项式定理、分布列、数学期望1.随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝( ) A.16B.13C.12D.23.2.设随机变量ξ的概率分布列为P (ξ＝i )＝i a )43(i，i ＝1,2,3，则a 的值是( )A.64111B.64101C.2764D.37643.设随机变量X 的概率分布列如下表所示：F (x )＝P (X ≤x )，则当x 的取值范围是[1,2)时，F (x )＝( )A.13B.16C.12D.564.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，且a 、b 、c ∈(0,1)，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分情况)，则ab 的最大值为________．5.．已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n 的展开式的二项式系数之和比(a ＋b )2n 的展开式的系数之和小240，求⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中系数最大的项．6.(2014·北京)把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有________种．7.离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝ann ＋1(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ()12＜X ＜52＝______.8.已知随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．9.(河南省信阳市2015届高中毕业班第二次调研检测数学理试题19).某高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿； （Ⅲ）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）X －1 0 1 PabcX 0 1 2 Pa1316【参考答案】高三数学（理科）专题训练-----概率、二项式定理、分布列、数学期望（1）1.【答案】B【解析】长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6＝36个，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2＝12个，共36＋12＝48个，故选B.2.【答案】A【解析】甲获胜的概率是0.4，两人下成和棋的概率是0.2，所以甲不输的概率为0.4＋0.2＝0.6.故选A.3.【答案】C【解析】由互斥事件的概率加法公式可得，该乘客在5分钟内能乘上所需的车的概率为0.20＋0.60＝0.80.故选C.4.【答案】A【解析】依题意，事件A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件，但A与B不是对立事件，显然，A与C既不是对立事件也不是互斥事件．故选A.5.【答案】B【解析】根据互斥事件的概率加法公式，电话在响前4声内被接的概率＝电话响第一声被接的概率＋响第二声时被接的概率＋响第三声时被接的概率＋响第四声时被接的概率，故电话在响前4声内被接的概率是0.1＋0.3＋0.4＋0.1＝0.9，故选B.6.【答案】B【解析】从7个球中任取3个球的所有可能为：1个白球2个黑球；2个白球1个黑球；3个白球；3个黑球．故①中的两事件互斥，但不对立；②中的两事件对立；③中的两事件中不互斥；④中的两事件不互斥，故选B.7.【答案】－6【解析】(x＋ax)6的二项展开式的通项T r＋1＝C r6x6－r(ax)r＝C r6362rax-，令6－3r2＝0，得r＝4，则其常数项为C46a4＝15a4＝240，则a4＝16，由a>0，故a＝2.又(x＋a)(x－2a)2的展开式中，x2项为－3ax2，故x2项的系数为(－3)×2＝－6.8.【答案】－6316【解析】a＝π2⎰(sin2x2－12)d x＝π20⎰(1－cos x2－12)d x＝π20⎰(－cos x2)d x＝－12sin xπ20|＝－12.此时二项展开式的通项为T r＋1＝C r 9(－12x )9－r (－1x )r ＝C r 9(－12)9－r (－1)r x 9－2r ，令9－2r ＝1，得r ＝4，所以关于x 的一次项的系数为C 49(－12)9－4(－1)4＝－6316. 9.【解析】(1)设“从甲组内选出的2个同学均是男生；从乙组内选出的2个同学中，1个是男生，1个是女生”为事件A ，“从乙组内选出的2个同学均是男生；从甲组内选出的2个同学中1个是男生，1个是女生”为事件B ，由于事件A ，B 互斥，且P (A )＝C 23C 12C 14C 24C 26＝415，P (B )＝C 13C 24C 24C 26＝15.所以选出的4个同学中恰有1个女生的概率为P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝415＋15＝715. (2)由条件知X 的所有可能值为0,1,2,3.；P (X ＝0)＝C 23C 24C 24C 26＝15，P (X ＝1)＝C 23C 12C 14＋C 13C 24C 24C 26＝715，P (X ＝3)＝C 13C 24C 26＝130，P (X ＝2)＝1－15－715－130＝310.[来源所以X 的分布列为 所以X 的数学期望为E (X )＝0×15＋1×715＋2×310＋3×130＝76.高三数学（理科）专题训练-----概率、二项式定理、分布列、数学期望（2）1.【答案】D 【解析】因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c .又a ＋b ＋c ＝1，得b ＝13，所以P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.故选D2.【答案】A 【解析】1＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝a ⎣⎡⎦⎤34＋()342＋()343，解得a ＝64111，选A. 3.【答案】D 【解析】∵a ＋13＋16＝1，∴a ＝12.[来源:学_科_网]∵x ∈[1,2)，∴F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝56.选D.4.【答案】124 【解析】由已知3a ＋2b ＋0×c ＝1，∴3a ＋2b ＝1，∴ab ＝16·3a ·2b ≤163a ＋2b24＝124，当且仅当a ＝16，b ＝14时等号成立． 5.【解析】由题意，得2n ＝22n －240，∴22n －2n －240＝0，即(2n －16)(2n ＋15)＝0.又∵2n ＋15＞0，∴2n －16＝0.∴n ＝4.∴⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x 4。
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二项式分布列与数学期望
二项式分布列（BinomialDistribution）是概率论中一种常见的概率分布。
它可以用来描述可以重复的试验的结果，且每次试验的结果只有两种可能：成功和失败。
该分布非常常用，在数学、统计学、投资学和金融学等领域都被广泛使用。
二项式分布列是由概率论家Jacob Bernoulli创立的，后来又有概率论家Pierre-Simon Laplace进一步完善。
与其他概率分布一样，二项式分布亦有属于自己的数学期望。
关于二项式分布的数学期望，它可以表示为：
数学期望，简称期望，是概率论中重要的概念。
它可以用来度量随机变量的长期期望值。
数学期望计算的结果取决于概率的变化，因此对于每一个可能的变量，都会得出一个固定的数学期望。
二项式分布期望可以用来解决众多实际问题，非常实用。
例如，给定一个具有特定概率的投掷正面朝上的硬币，我们就可以用二项式分布来估算其中可能发生的正面朝上的次数。
同时，二项式分布数学期望也可以用来评估投资者的投资组合的收益潜力，评估和估算投资者的投资组合所处的风险水平，以及确定建立有效的投资组合的最佳组合。
最后，二项式分布数学期望也可以用来评估大型企业或组织的财务活动，例如预测收入总额和盈利能力，以及估计组织的财务风险水平。
总之，二项式分布数学期望在解决实际问题方面发挥了重要作用，
因此它经常被应用于各个领域。
从概率论到企业或组织的财务管理，都会用到二项式分布数学期望特定的应用程序。