差分方程在经济学中的几个应用
8.7微分方程、差分方程在经济学中的简单应用
少资金？每月要向银行存入多少钱？假设投资的月
利率为0.5%， 10年后子女大学毕业用完全部资金. 分析 该问题可分为两个阶段，第一阶段是在前面20年
每月向银行存入一定数量的资金，第二阶段是在
20 年后将所有资金用于子女教育，每月支取1000元， 10内用完所有资金. 解 设从现在到20年内共要筹措 x 元资金，第n个月 投资账户资金为In元， 每月存入资金 a 元. 同时 也设 20 年后第 n 个月投资帐户资金为Sn 元，于是， 20 年后，关于Sn的差分方程模型为
现以猪肉价格的变化与需求和供给关系来研究
上述振荡现象.
s 设第 n 个时期 (假定为一年) 猪肉的产量为 Q n , 价格为
Pn ,
产量与价格的关系为
Pn f ( Q n ),
s
d
本时期的价格又
决定下一时期的产量， 因此
Q n 1 g ( Pn ).
这种产销关系可用下述过程来描述：
Q1 P1 Q 2 P2 Q 3 P3
.
S n 1 1.005 S n 1000,
（9）
并且 S 120 0 , S 0 x . 解方程(9)，得通解
S n 1.005 C
n
1000 1 1.005
120
1.005 C 200000,
n
以及
S 120 1.005
C 200000 0,
x
所以原方程满足初始条件的特解为
a yt 2 r 12 x r 12 (1
r 12
) x
t
1
a 2
r 12
高数第七章(14)差分方程的简单应用
C
ac bd
可 得C
P0
ac bd
，
从 而Pt
P0
ac bd
d b
t
ac bd
.
2.分析市场趋向的种种形态
1 d 1
b
lim
t
Pt
ac bd
Pt
这说明市场价格趋于平衡，且特解Pt
ac bd
是一个平衡价格.
2 d 1
b
lim
t
Pt
这说明市场价格的波动越来越大，且呈发散状态.
3 d
bபைடு நூலகம்
生
产
者
在
下
一
时
期
愿
意提
供
给
市
场
的
产
量St
，
1
还 决 定 着 本 时 期 该 产 品的 需 求 量Dt， 因 此 有 Dt a bPt，St c dPt1
其 中a，b，c，d均 为 正 常 数
假设每一时期的价格总是确定在市场售清
的水平上，即St Dt .
1.求价格随时间变动的规律；
2.讨论市场价格的种种变化趋势.
这是一个二阶常系数线性非齐次差分方程.
易求其方程的通解为
C 1λ
t 1
C 2λ
t 2
G 1 α
(若Δ
0)
yt
(C 1
C 2 )λ t
G 1α
(若Δ
0)
γ
t
(C 1
cosθ
t
C2
s inθ
t)
G 1 α
(若Δ
0)
随着，的取值不同，国民收入随时间呈现不同的规律.
二、小结
差分方程在经济领域中的应用
例 ２ 某人 购买 一套新 房 ， 向银 行 申请 １ ０年 期 的 贷款 ２ ０万 元 ， 现约定贷款的月利率为 ０ ． ４ ％， 试 问 此
人 需 要每 月还 银行 多少 钱 ？ 解 先对 这类 问题 的 一 般情 况 进 行 分 析 ， 设 此 人
第ｔ ＋１个月 后还 需偿 还 的贷款 为
Ｙ ＋ １ ＝（ １＋ ｒ ） Ｙ 一 ，
即Ｙ ＋ １ 一（ １＋ ｒ ） Ｙ ＝一 ． （ ２ ． １ ）
几 个 常 见 的 经 济 问 题 阐 述 差 分 方 程 在 经 济 领 域 的
应用 。 １ 存款模 型 ‘ １
：Ｙ ｏ ．
（ ２ ． ４ ）
结 果表 明 ： 初始本金 ｓ 存 入银 行 之 后 ， 年 利 率 为
ｒ ， 按 年复 利计 息 ， ｔ 年末 的本利 和 为 Ｓ 。 （ １ ＋ｒ ） 。
２ 贷 款模 型 …
百 芒
（ ２ 厶 ． ５ ） ）
将Ｙ ｏ ＝２ ０ ０ ０ ０ ０， ｒ ＝ ０ ． ０ ０ ４， 凡＝１ ０代 人 （ ２ ． ５ ） 中， 得
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ４—０ ｌ 一 ０ ２
需要 每 月还银 行 元 ， 贷 款 总额 为 ， 月利 率 为 ｒ ， 则： 第 １个月 后还 需偿 还 的贷款 为
Ｙ ｌ ＝ Ｙ ｏ — ＋ｒ ｙ ｏ ＝（ １＋ｒ ） ｙ ｏ — ；
・
７６ ・
Ｊ与 供给 量及 需 求 量 之 差 Ｓ —Ｑ 按关系 Ｐ ＝Ｐ
中图分类号 ： Ｏ １ ７ ５ ． ７
文献标 识码 ： Ａ
第12.4节 差分方程在经济学中的应用
例题库
代入到
S a ( P ), D b ( P )
中得
.
L t 1 L t ( a b ) Pt 1 a b
于是代入方程(4)得
P t 2 [ c ( a b ) 2 ] P t 1 P t ( a b ) .
(5)
此方程为二阶常系数线性差分方程. 设其特解 为
Pt A
，代入方程得 A ；方程(5)对应的 的特征方程为 (6)
齐次方程
Pt 2 [ c ( a b ) 2 ] Pt 1 Pt 0
2
[ c ( a b ) 2 ] 1 0 .
例题库
Pt 2 Pt 1 c ( L L t 1 ) .
(3)
将(3)减去(2)得
Pt 2 2 Pt 1 Pt c ( L t 1 L t ) .
(4)
假设库存量 L t 的改变与商品销售状态有关，且在第
t1
时段商品的库存增加量等于该时段的供求量之差, 即
（
设 Q 和 P t 分别表示第t 期商品的产量和需求函数 例4 ） 与供给函数分别为P a bQ 与 Q t 1 c dP t ，那么参数满足 什么条件，经过若干年后该商品的产量与价格才能趋于稳定 呢？
t
（
t
t
解
将 P t a bQ t 代 入 Q t 1 c dP t ,
y 120 0
t
的特解为
.
y t 219 853 1 . 005
400 000
由此可得 y 180 147 ，即从现在算起，第20年结束 时投资帐户的资金需达到180 147元．
高等数学教学中差分方程的经济学拓展
高等数学教学中差分方程的经济学拓展随着经济学的发展，越来越多的经济现象需要通过数学方法进行分析和研究。
差分方程作为数学方法之一，可以描述经济系统中的动态变化和规律。
在高等数学教学中，差分方程也成为了重要的内容之一。
本文将从差分方程在经济学中的应用、差分方程在高等数学教学中的地位等方面进行探讨，并结合具体的例子进行说明。
一、差分方程在经济学中的应用差分方程是描述数列中相邻两项之间的关系的方程。
在经济学中，许多经济现象都可以用数列来描述，例如经济增长、通货膨胀、利率等。
差分方程可以用来描述这些现象的变化趋势和规律。
1. 经济增长经济增长是经济学中的一个重要概念，它描述的是一个国家或地区在一定时间内生产总值的增长情况。
经济增长可以用差分方程来描述。
假设一个国家的经济增长率为g，初始时刻的生产总值为y0，那么在下一个时刻，生产总值为y1=y0(1+g)。
同样，下一个时刻的生产总值为y2=y1(1+g)=y0(1+g)2。
以此类推，可以得到一个差分方程：y(t+1)=y(t)(1+g)其中，t表示时刻，y(t)表示时刻t的生产总值。
这个差分方程描述了在每个时刻，生产总值都会增加一个比例g。
2. 通货膨胀通货膨胀是指物价水平的持续上涨。
在经济学中，通货膨胀可以用价格指数来描述。
价格指数是一个数列，它表示某一商品或服务的价格在不同时期的变化情况。
假设某一商品的价格指数为p，初始时刻的价格为p0，那么在下一个时刻，价格为p1=p0(1+r)，其中r表示通货膨胀率。
同样，下一个时刻的价格为p2=p1(1+r)=p0(1+r)2。
以此类推，可以得到一个差分方程：p(t+1)=p(t)(1+r)其中，t表示时刻，p(t)表示时刻t的价格指数。
这个差分方程描述了在每个时刻，价格指数都会增加一个比例r。
3. 利率利率是指银行贷款或存款的利息率。
在经济学中，利率可以用复利公式来描述。
假设某一银行的利率为r，初始时刻的本金为P0，那么在下一个时刻，本金为P1=P0(1+r)。
差分方程方法总结
差分方程方法总结差分方程是用来描述离散时间系统行为的一种数学工具。
它们在许多领域中都有广泛的应用，包括物理学、工程学、经济学等。
本文将总结差分方程方法的基本原理和常见应用。
差分方程的基本原理是通过描述系统在不同时间点上的状态来推导出系统的动态行为。
差分方程可以应用于任何离散时间系统，这些系统的行为只在特定时间点上进行观察和量化。
差分方程的一般形式为：y(n+1)=f(y(n),y(n-1),...,y(n-k))其中，y表示系统在时间点n的状态，f是一个给定的函数，k表示差分方程的阶数，表示系统在过去k个时间点上的状态对当前状态的影响。
差分方程的解可以通过递归方法求得。
给定一个初始条件（通常是系统在初始时间点的状态），可以使用差分方程的递推关系式计算未来时间点上的状态。
例如，对于一个一阶差分方程：y(n+1)=a*y(n)+b其中a和b是常数，可以通过给定的初始条件y(0)求得差分方程的解。
根据递推关系式，可以计算y(1)、y(2)、y(3)等等。
在应用中，差分方程通常用于建模和预测。
通过观察系统在过去时间点上的行为，可以构建一个差分方程来描述系统的动态行为。
然后，可以使用差分方程来预测未来时间点上的系统状态。
这对于许多实际问题是非常有用的，例如经济学中的经济增长模型、工程学中的控制系统等。
此外，差分方程还可以用于分析系统的稳定性和收敛性。
通过分析差分方程的特征根（即差分方程的解的形式），可以得出系统是否稳定或收敛到一个特定的平衡点。
这对于控制系统设计和优化非常重要。
差分方程方法在许多领域中都有广泛的应用。
在物理学中，差分方程可以用于描述离散化的空间或时间系统，例如计算机模拟、粒子追踪等。
在工程学中，差分方程可以用于建模和控制系统，例如电路设计、机器人控制等。
在经济学中，差分方程可以用于经济增长模型、市场预测等。
总结起来，差分方程方法是一种描述离散时间系统行为的数学工具。
它具有简单的原理和应用广泛的特点，并且可以用于建模、预测和分析系统的稳定性和收敛性。
差分方程在经济中的应用举例
差分方程在经济中的应用举例作者：万祥兰来源：《科技视界》2019年第31期【摘要】差分方程是经济数学中的重要组成部分，为离散取值的变量研究提供了有力工具。
本文介绍了差分方程在经济中的三个应用案例。
【关键词】差分;差分方程;贷款模型;存款模型;蛛网模型中图分类号： F224 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2019）31-0104-001DOI：10.19694/ki.issn2095-2457.2019.31.0481 差分差分：设函数y=f（x），记为yx。
当x取遍非负整数时函数值可以排成一个数列：y0，y1，…，yx…，则称yx+1-yx称为函数yx的差分，也称为一阶差分，记为Δyx，即Δyx=yx+1-yx。
Δ（Δyx）记为Δ2yx，称为函数yx的二阶差分。
即Δ（Δyx）=Δyx+1-Δyx=（yx+2-yx+1）-（yx+1-yx）=yx+2-2yx+1+yx，同样可定义三阶、四阶差分。
二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分。
2 差分方程差分方程：含有未知函数差分或表示未知函数几个时期值的符号的方程称为差分方程。
方程中未知函数附标的最大值与最小值的差称为差分方程的阶。
n阶差分方程形式为F（x，yx，yx+1，…yx+n）=0或G（x，yx，yx-1，…yx-n）=0或H（x，yx，Δyx，Δ2yx，…，Δnyx）=0一阶常系数线性差分方程：形如yx+1-ayx=f（x）（a≠0，a是常数）的方程称为一阶常系数线性差分方程。
其中f（x）为已知函数，yx为未知函数。
3 差分方程的应用举例3.1 贷款模型例1：小周夫妇为买房需要向银行贷款100万元，月利率0.5%，贷款期限25年（300月），试建立数学模型并计算小周夫妇每月的还款金额。
如果小周夫妇每月节余8000元，是否可以去贷款买房呢？分析：在整个还款过程中，每月还款金额是固定的，而待还款数是变化的，找出这个变化规律是解决问题的关键。
差分方程的简单经济应用10-91市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
(P0
a c )( bd
a )t b
2.Pt
1 5
(P0
1 )( 5
3 )t 2
3.Pt
( P0
) (
)t
,
lim
t
Pt
,t
0,1,2,
易求其方程的通解为
yt C1 1
由y0已知，得到
t
ab
1
yt
y0
ab
1
1 1
t
ab
1
这就是t时期国民收入随时间 t变化的规律.
※例5 萨谬尔森乘数 — —加速数模型
设yt为t时期国民收入， Ct为t时期消费， It为t时期投资，G为政府支出（各期相同 ）. 著名经济学家萨谬尔森 建立了如下的经济模型
ac bd
Pt
这说明市场价格趋于平 衡，且特解Pt
ac bd
是一个平衡价格 .
2 d 1
b
lim
t
Pt
这说明市场价格的波动 越来越大，且呈发散状 态.
3 d
b
1
P2t
P0，P2t1 2Pt P0
这说明市场价格呈周期 变化状态.
例4 消费模型设yt为t时期国民收入，Ct为t时期
消费，It为t时期投资，他们之间有 如下的关系式
ab 其中 a , b, c 为正常数 .
三、国民收入旳稳定分析模型
本模型主要讨论国民收入与消费和积累之间旳关
系问题.
设第 n 期内的国民收入 yn 主要用于该期内的消费 Cn, 再生产投资 In 和政府用于公共设施的 开支 G (定 为常数), 即有
yn Cn In G
(10 37)
又设第 n 期的消费水平与前一期 的国民收入水平有
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差分方程在经济学中的几个应用
差分方程在经济学中有多个应用。
以下是其中几个例子：
1. 消费模型：差分方程可以用于建立消费者行为模型，例如动态消费模型。
这种模型可以用来解释消费者如何根据他们的财务状况和收入水平来做出消费决策。
2. 物价模型：差分方程可以用于建立物价动态变化的模型，例如通货膨胀模型。
这种模型可以用来解释通货膨胀的根本原因，并预测未来物价的变化。
3. 投资模型：差分方程可以用于建立投资决策的动态模型，例如资本品替换模型。
这种模型可以用来解释企业如何根据他们的制造成本、利润率等因素做出生产决策。
4. 就业模型：差分方程可以用于建立就业模型，例如菲利普斯曲线。
这种模型可以用于解释失业率和通胀率之间的关系。
总之，差分方程在经济学中有多个应用，这些应用可以帮助经济学家理解和预测经济现象。