分式的加法与减法
分式加减法则
242422++-=+--=a a a a a a 31))1)(1()1()1)(1(3222--⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++--+--x x x x x x x x x 3431)1)(1(44--=--•-+--x x x x x x 311131)1)(1()1)(3(--⨯-+---⨯-++-x x x x x x x x x x 343)1(33133--=-+--=-+---x x x x x x x x 1．分式加减法法则（1）通分：把异分母的分式化为同分母分式的过程，叫做通分（2）同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变．分子相加减．用字母表示为：bc a b c b a ±=± （3）异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分．变为同分母的分式后再加减．用字母表示为：bd bc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=± 问题：通分有哪些应注意的问题，通分与约分之间又有哪些区别与联系呢?探究：通分的关键是确定几个分式的最简公分母，其步骤如下：①将各个分式的分母分解因式；②取各分母系数的最小公倍数；③凡出现的字母或含有字母的因式为底的幂的因式都要取；④相同字母或含字母的因式的幂的因式取指数最大的；⑤将上述取得的式子都乘起来，就得到了最简公分母。
如分式223c a b ，c b a 35的最简公分母为15a 2b 3c 2，通分的结果为23242215a 53c b b c a b =老师：学习了通分和约分后，你能总结出通分和约分的区别和共同点吗?小明：通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形．小勇：约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，把各分式的分母统一起来． 小刚：通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，在变形中都保持分式的值不变．老师：一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式．分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备．yx y x y x x y x y x y x y x x y x y x y x y x y x y x y x x y x y x +=-+++--=-++-++--+-=-+--+2))((2)()())((2))(())((21122 例题22)44(42)2(42)2(241224224222+++-=++-=++-+=+-+=--+a a a a a a a a a a a a 名师点金：（1）异分母分式相加减步骤如下：分母能分解因式的分解因式；确定最简公分母；通分；同分母分式加减；化成最简形式．（2）分式与整式进行加减，要把整式当成分母为“1”的式子．与分式进行通分，再计算．（3）分式中的分数线有括号的作用，单个的分式分子、分母不用加括号，只要几个分式统一成一个分式时，原来隐藏的话号主写出来。
分式的加法和减法教案
分式的加法和减法教案
教案标题：探究分式的加法和减法
教学目标：
1. 理解分式的加法和减法的基本概念。
2. 掌握分式的加法和减法的计算方法。
3. 能够应用所学知识解决实际问题。
教学重点：
1. 分式的加法和减法的计算方法。
2. 分式的化简和通分。
教学难点：
1. 分式的加法和减法的应用。
2. 解决实际问题的能力。
教学准备：
1. 教师准备教学课件和相关教学素材。
2. 学生准备课堂笔记和相关教学工具。
教学过程：
一、导入
教师通过提问和引入实际问题，引发学生对分式的加法和减法的兴趣，激发学生的思考和探究欲望。
二、概念讲解
1. 分式的加法和减法的基本概念讲解。
2. 分式的加法和减法的计算方法讲解。
3. 分式的化简和通分的方法讲解。
三、示范演示
教师通过示范演示分式的加法和减法的计算过程，让学生理解和掌握计算方法。
四、练习训练
1. 学生进行分组练习，通过练习巩固所学知识。
2. 学生自主完成课堂练习和作业，巩固分式的加法和减法的计算方法。
五、拓展应用
教师设计一些实际问题，让学生运用所学知识解决问题，培养学生的实际应用
能力。
六、课堂总结
教师对本节课的重点内容进行总结，并强调分式的加法和减法的应用。
七、作业布置
布置相关作业，巩固学生对分式的加法和减法的掌握程度。
教学反思：
教师在教学过程中要注重引导学生思考和探究，培养学生的分析和解决问题能力。
同时要关注学生的学习情况，及时调整教学方法，确保教学效果。
分式的加减 课件
你认为
1 1 ? 2a 3a
1 1 ? x 1 x 1
异分母分式的加减法法则：
1、异分母的分式相加减：先通分，变为同分母的 分式，再加减
2、数学表达式：ba
c d
ad bd
bc bd
ad bc bd
例2 计算 ：
1
1
（1）2c2d 3cd 2
1
1
（2）2p 3q 2p 3q
（3）x22x-
4
x
1
2
1、判断题：
(1)
a
a
b
a
a
b
a
b
a
a
b
0
（X）
(2) 1 x 1 x x1 x1 x1
（X）
2.下列各式计算正确的是( D )
A. 1 1 1
a b ab
B. m m 2m
a b ab
C. b b 1 1
aa a
D. 1 1 0
ab ba
3、计算：
(1（) x
3x 1）2
(
x
3 1)
2
(2) 3y
2x 2y
2xy x 2 xy
课堂小结:
⑴ 分式加减运算的方法思路：
异分母 相加减
通分 转化为
同分母 相加减
分母不变 转化为
分子（整式） 相加减
（2）分子相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子 看成一个整体，用括号括起来，再运算。
（3）分式加减运算的结果要约分，化为最简分式 （或整式）。
分式的加减
计算：
(1) 1 8
3 8
(3) 1 5
3 20
(2) 1 8
3 8
3.5分式的加法与减法
课题：分式的加法与减法学习目标：1、经历探索分式的加减法运算法则的过程，通过与分数加减法法则的类比，发展学生的联想与合情推理能力。
2、能熟练地进行同分母的分式加减法的运算.学习重难点1．重点：熟练地进行同分母的分式加减法的运算.2．难点：熟练地进行同分母的分式加减法的运算.学习过程一、课前提升：1、请同学们说出2243291,31,21xyyxyx的最简公分母是什么？你能说出最简公分母的确定方法吗？2、完成课本64页（1）（2）题，同学交流。
3、你能举例说明分数的加法减法法则吗？仿照分数加法与减法的法则，你会做以下题目吗？（1）(2)4、分式的加减法的实质与分数的加减法相同，你能说出分式的加减法法则？归纳：同分母的分式相加减，二、例题讲解例1、计算[分析] 第（1）题是同分母的分式减法的运算，分母不变，只把分子相减，第二个多项式要变号的问题，应引起注意。
解：例2、计算（1）2222223223y x y x y x y x y x y x --+-+--+[分析] 第（1）题是同分母的分式加减法的运算，强调分子为多项式时，应把多项事看作一个整体加上括号参加运算，结果也要约分化成最简分式. 解：2222223223y x y x y x y x y x y x --+-+--+ =22)32()2()3(y x y x y x y x --++-+ =2222y x yx -- =))(()(2y x y x y x +-- =y x +2三、随堂练习1、计算 (1)b a a b b a b a ba b a 22255523--+++ （2）m n m n m n m n n m -+---+222、课本65页1、2题。
四、课堂小结谈谈你的收获。
五、自我测评计算 (1) 22233343365cba ba c ba ab bc a b a +--++ (2) 2222224323a b b a b a b a b a a b ----+--- (3) 122+++-+-ba ab a b a b六、布置作业课本68页习题A 组第一题。
分式的加法和减法
分式的加法与减法【要点梳理】要点一：同分母分式的加减★同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；上述法则可用式子表为：. 要点诠释： （1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 【例1】计算：（1）； （2）； （3）； （4）【变式1.1】化简：2221122a a a a a a --+--【变式1.2】化简m 2m−3−9m−3的结果是（ ）A ．m +3B ．m ﹣3C ．m−3m+3D ．m+3m−3【变式1.3】化简x 2x−1+x 1−x的结果是（ ）A ．x +1B ．x ﹣1C ．﹣xD ．x要点二：异分母分式的加减★异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.上述法则可用式子表为：. 要点诠释：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法.（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化a b a b c c c±±=22222333a b a b a b a b a b a b +--+-222422x x x x x +-+--2111x x x -+--222222222a ab b a b b a a b ++---a c ad bc ad bc b d bd bd bd±±=±=成最简分式. 【例2】计算：（1）；（2）；（3）． 【变式2.1】计算： （1）；（2）. 【变式2.2】化简4x x 2−4−xx−2的结果是（ ）A ．﹣x 2+2xB ．﹣x 2+6xC ．−xx+2D ．xx−2【变式2.3】计算：aa+2−4a 2+2a= ．要点三：分式的混合运算★分式的混和运算顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的. 要点诠释：（1）进行分式的混合运算，可以根据需要合理地运动运算律来简化运算，此时先将分式的乘除法统一成乘法，分式的加减法统一成加法，才能使用乘法运算律、加法运算律简化运算. （2）分式的混合运算的结果要化成最简分式或整式.典型例题题型一：分式的加减法 【练习1.1】化简x 2x−1+11−x的结果是（ ）A ．x +1B ．1x+1C ．x ﹣1D ．xx−1【练习1.2】如图，若x 为正整数，则表示(x+2)2x 2+4x+4−1x+1的值的点落在（ ）A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④【练习1.3】化简a 2a−1−1−2a 1−a的结果为（ ）A ．a+1a−1B ．a ﹣1C ．aD ．1【练习1.4】计算a 2a−1−a ﹣1的正确结果是（ ） A ．−1a−1B ．1a−1C ．−2a−1a−1D ．2a−1a−1【练习1.5】下列运算正确的是（ ）21132a ab +2312224x x x x +-+--211a a a ---212293m m ---112323x y x y++-A ．（2a 2）3＝6a 6B ．﹣a 2b 2•3ab 3＝﹣3a 2b 5C ．b a−b+a b−a=−1D ．a 2−1a•1a+1=−1【练习1.6】已知：1a−1b =13，则ab b−a的值是（ ）A ．13B ．−13C ．3D ．﹣3【练习1.7】化简1x+1−x +1，得（ ）A ．−x 2x+1B ．−x 2+2x x+1C ．2﹣x 2D ．2−x 2x+1【练习1.8】化简：xx−y−y x+y，结果正确的是（ ）A ．1B ．x 2+y 2x 2−y 2C ．x−y x+yD ．x 2+y 2【练习1.9】化简：a 2+1a+1−2a+1=（ ）A ．a ﹣1B ．a +1C ．a−1a+1D ．1a+1【练习1.10】计算2aa+1+2a+1的结果是（ ）A ．2B ．2a +2C ．1D ．4aa+1【练习1.11】计算x 2+2x+1x 2−1−x x−1的结果为（ ）A ．1B ．−1x−1C ．x x−1D ．1x−1【练习1.12】计算a 2a−1−a +1的正确结果是（ ） A ．2a−1a−1B ．−2a−1a−1C ．1a−1D ．−1a−1【练习1.13】已知1m−1n=1，则代数式2m−mn−2n m+2mn−n的值为（ ）A ．3B ．1C ．﹣1D ．﹣3【练习1.14】已知m 2﹣n 2＝mn ，则n m−m n的值等于（ ）A ．1B ．0C ．﹣1D ．−14【练习1.15】如果记y =x 21+x 2=f （x ），并且f （1）表示当x ＝1时y 的值，即f （1）=121+12=12；f （12）表示当x =12时y 的值，即f （12）=(12)21+(12)2=15，那么f （1）+f （2）+f （12）+f （3）+f （13）+…+f （n ）+f （1n）＝ ．（结果用含n 的代数式表示，n 为正整数）．【练习1.16】已知a −1a =3，那么a 2+1a 2= ． 【练习1.17】已知1a +1b=3，求5a+7ab+5b a−6ab+b= ．【练习1.18】若m +n ＝1，mn ＝2，则1m+1n的值为 ．【练习1.19】计算：x 2x+1−1x+1= ．【练习1.20】已知1x −1y=3，则代数式2x−14xy−2y x−2xy−y的值为 ．【练习1.21】化简：x 2+4x+4x 2−4−x x−2= ．【练习1.22】计算m m 2−1−11−m 2的结果是 ． 【练习1.23】计算：6a 2−9−1a−3= ．【练习1.24】已知实数a 、b 、c 满足a +b ＝ab ＝c ，有下列结论： ①若c ≠0，则1a +1b=1；②若a ＝3，则b +c ＝9；③若a 、b 、c 中只有两个数相等，则a +b +c ＝8．其中正确的是 ． （把所有正确结论的序号都填上） 【练习1.25】化简：x+1x−1x = ． 【练习1.26】计算2m−2+m2−m 的结果是 ． 【练习1.27】计算：2a a−2+42−a = ． 【练习1.28】计算：x x−1+11−x= ．【练习1.29】已知1a−1b =3，则分式2a+3ab−2b a−ab−b = ．【练习1.30】已知2x+1(x−1)(x+2)=A x−1+B x+2，求A 、B 的值．【练习1.31】计算： （1）x+2x+1−x−1x+1；（2）2a+1a 2−1•a 2−2a+1a 2−a−1a+1．【练习1.32】分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式4x+2，3x 2x 3−4x是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式x+1x−1，x 2x+1是假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和． 例如：x+1x−1=(x−1)+2x−1=1+2x−1（1）将假分式4x−32x+1化为一个整数与一个真分式的和；（2）利用上述方法解决问题：若x 是整数，且分式x 2x−3的值为正整数，求x 的值．【练习1.33】已知分式A ＝（a +1−3a−1）÷a 2−4a+4a−1． （1）化简这个分式；（2）当a ＞2时，把分式A 化简结果的分子与分母同时加上3后得到分式B ，问：分式B 的值较原来分式A 的值是变大了还是变小了？试说明理由．（3）若A 的值是整数，且a 也为整数，求出符合条件的所有a 值的和． 【练习1.34】计算：（1）（m ﹣2）（m +1）﹣（m +2）2． （2）4a 2−4a+1a 2−1+(2+1a−1)．【练习1.35】计算： （1）x 2x−2−4x−4x−2；（2）x 2x+1−x +1．【练习1.36】化简下列各式： （1）（2a ﹣1）2﹣4（a +1）（a ﹣1） （2）(x +1−4x−5x−1)÷(1x −1x 2−x ) 【练习1.37】阅读下列资料，解决问题：定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：4x+1，x+1x 2，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：x+2x−1，x 2−12x+1这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：x+2x−1=(x−1)+3x−1=1+3x−1．（1）分式x 22x是 （填“真分式”或“假分式”）；（2）将假分式3x+1x−1、x 2+3x+2分别化为带分式；（3）如果分式2x 2+3x−6x+3的值为整数，求所有符合条件的整数x 的值．【练习1.38】计算： （1）8x 2y 3÷（−4x 3y3） （2）2m 2−1−1m−1题型二：分式的混合运算【练习2.1】下列等式成立的是（ ） A ．1a +2b=3a+b B ．22a+b =1a+bC ．abab−b 2=aa−bD ．a−a+b=−a a+b【练习2.2】化简（1a+1b）÷(1a 2−1b 2)•ab ，其结果是（ ） A ．a 2b 2a−bB ．a 2b 2b−aC ．1a−bD ．1b−a【练习2.3】下列代数式变形正确的是（ ） A ．x−y x 2−y 2=1x−y B ．−x+y2=−x+y2C ．1xy÷（1x+1y）=1y +1x D ．x−y x+y=x 2−y 2(x+y)2【练习2.4】若分式x 2x−1□xx−1运算结果为x ，则在“□”中添加的运算符号为（ ）A ．+B ．﹣C ．+或×D ．﹣或÷【练习2.5】老师在黑板上写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图：则被遮住的部分是（ ） A ．x−12x+1B ．2x−1x−1 C ．x−12x−1D ．2x+1x−1【练习2.6】化简(a −1b )÷(b −1a )的结果是（ ） A ．1B ．baC ．abD ．−a b【练习2.7】小明的练习本上有如下四道题目，其中只有一道题他做对了，这道题目是（ ）A ．(2y 3x )2=4y 23x 2B ．1x−y −1y−x=2x−yC ．(−x 2y )3=−x 6x3D ．13x+13y=x+y 3y【练习2.8】下列计算正确的是（ ） A ．3b x+b x=2b xB ．aa−b−a b−a=0C ．bc a 2⋅2ab 2c=2abD ．(a 2−a)÷aa−1=a 2【练习2.9】如图，图①，图②中阴影部分的面积为S 1，S 2，a ＞b ＞0，设k =S 1S 2，则有（ ）A ．0＜k ＜12B ．12＜k ＜1C ．1＜k ＜2D ．k ＞2【练习2.10】如图，“优选1号”水稻的实验田是边长为am （a ＞1）的正方形去掉一个边长为1m 的正方形水池后余下的部分；“优选2号”水稻的实验田是边长为（a ﹣1）m 的正方形，若两块试验田的水稻都收了600kg ．则对于这两种水稻的单位面积产量说法正确的是（ ）A ．优选1号单位面积产量高B ．优选2号单位面积产量高C ．两种水稻单位面积产量相等D ．优选1号单位面积产量不大于优选2号单位面积产量 【练习2.11】下列计算正确的是（ ） A ．b •（a 4b ）3＝a 7b 4B ．x ﹣2y ﹣（2x +y ）＝﹣x ﹣yC ．（a ﹣5）2＝a 2﹣25D ．(1−2x+1)÷1x 2−1=(x −1)2 【练习2.12】下列计算正确的是（ ） A ．1+1a =2a B ．1a−b−1b−a=0C ．a ÷b •1b =aD ．−a−b a+b=−1【练习2.13】下列运算结果为a ﹣1的是（ ） A ．a 2−1a ⋅a a+1B ．1−1a C ．a+1a÷a a−1D ．a 2+2a+1a+1【练习2.14】计算(1+1x−1)÷(1+1x 2−1)的结果为（ ） A ．1B ．x +1C ．x+1xD ．1x−1【练习2.15】下列计算正确的是（ ）A ．（y2x）2=y 22x 2B ．b a−b+a b−a=−1C ．（−14）﹣2+（﹣1000）0＝1016D ．（y6x2）2÷（−y 24x ）2=4x 29y 2【练习2.16】已知x −1x=3，则4﹣x 2+3x 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【练习2.17】下列计算正确的是（ ） A ．m 2−2m 4−m 2=m 2+mB ．（−yx2）﹣3=−x 6y 3C ．a 2a−1+11−a =a ﹣1D ．3x 2y +x 32y =32x 5【练习2.18】x +1x=3，则x 2+1x 2= ． 【练习2.19】计算：（1−1x−1）÷x−2x 2−1= ． 【练习2.20】化简：2x−6x−2÷（5x−2−x −2）＝ ．【练习2.21】计算（1−1x+1）（x +1）的结果是 ．【练习2.22】（a +9−4a a−2）÷a 2−9a−2= ．【练习2.23】化简（1x−1y）⋅xyx 2−y 2的结果是．【练习2.24】化简：（3x−1+1x+1）•（x 2﹣1）＝ ． 【练习2.25】化简xx 2+2x+1÷（1−1x+1）的结果为 ．【练习2.26】已知：a 2﹣3a +1＝0，则a +1a−2的值为 ． 【练习2.27】计算：（1−1a ）•a a 2−1=【练习2.28】化简x 2+xx 2−2x+1÷（2x−1−1x）的结果是 ．【练习2.29】计算：x x+3−69−x 2÷2x−3= ．【练习2.30】计算：(3a−1−a −1)÷a 2−4a+4a−1= ．【练习 2.31】已知m ＞n ＞0，分式n m的分子分母都加上1得到分式n+1m+1，则分式n+1m+1n m．（填“＜、＞或＝”）【练习2.32】已知2+23=22×23，3+38=32×38，4+415=42×415，…10+a b =102×ab（a ，b 为正整数），则b ﹣a ＝ ．【练习2.33】已知x +x ﹣1＝3，则x 2+x ﹣2＝ ；x 4+x ﹣4＝【练习2.34】计算： ①(−3n2m )2= ； ②b a−b−a a−b= ．【练习2.35】已知x ，y ，z ，a ，b 均为非零实数，且满足xy x+y=1a 3−b3，yz y+z=1a3，xz x+z=1a 3+b3，xyz xy+yz+zx=281，则a 的值为 ．【练习2.36】计算：（x+8x 2−4−2x−2）÷x−4x 2−4x+4．【练习2.37】对x ，y 定义一种新运算T ，规定：T （x ，y ）=ax+by2x+y （其中a 、b 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T （0，1）=a×0+b×12×0+1=b ．（1）已知T （1，﹣1）＝﹣2，T （4，2）＝1． ①求a ，b 的值；②若关于m 的不等式组{T(2m ，5−4m)≤4T(m ，3−2m)＞p 恰好有3个整数解，求实数p 的取值范围；（2）若T （x ，y ）＝T （y ，x ）对任意实数x ，y 都成立（这里T （x ，y ）和T （y ，x ）均有意义），则a ，b 应满足怎样的关系式？ 【练习2.38】计算：（a +2−5a−2）•2a−43−a． 【练习2.39】化简：(2x−1x+1−x +1)÷x−2x 2+2x+1．【练习2.40】化简：（x 2x−1−x +1）÷4x 2−4x+11−x． 【练习2.41】化简（3a+2+a ﹣2）÷a 2−2a+1a+2．【练习2.42】计算：（x+2x 2−2x−x−1x 2−4x+4）÷x−4x ．【练习2.43】化简：1a−1−1a 2+a ÷a 2−1a 2+2a+1【练习2.44】计算：ba 2−b 2÷（aa−b−1）．题型三：分式的化简求值【练习3.1】已知：a ，b ，c 三个数满足ab a+b=13，bc b+c=14，ca c+a=15，则abcab+bc+ca的值为（ ） A ．16B ．112C ．215D ．120【练习3.2】如果a 、b 、c 是非零实数，且a +b +c ＝0，那么a |a|+b |b|+c |c|+abc|abc|的所有可能的值为（ ） A ．0B ．1或﹣1C ．2或﹣2D ．0或﹣2【练习3.3】如果a +b ＝2，那么代数（a −b2a ）•a a−b的值是（ ）A ．2B ．﹣2C ．12D ．−12【练习3.4】如果a ﹣3b ＝0，那么代数式（a −2ab−b 2a ）÷a 2−b2a的值是（ ）A ．12B ．−12C ．14D ．1【练习3.5】若a +2b ＝0，则分式（2a+ba 2−ab+1a）÷a a 2−b2的值为（） A ．32B ．92C ．−3b 2D ．﹣3b【练习3.6】已知1a−1b=12，则aba−b的值是（ ）A ．12B ．−12C ．2D ．﹣2 【练习3.7】若非零实数m ，n 满足m （m ﹣4n ）＝0，则分式m 2+1m 2−2mn−12mn的值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．13【练习3.8】若a +b ＝5，则代数式（b 2a−a ）÷（a−b a）的值为（ ）A ．5B ．﹣5C ．−15D ．15【练习3.9】如果m 2+2m ﹣2＝0，那么代数式（m +4m+4m ）•m2m+2的值是（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．2D ．3【练习3.10】已知x −1x =2，则x 2+1x 2的值为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8【练习3.11】如果a 2+3a ﹣2＝0，那么代数式（3a 2−9+1a+3）⋅a−3a 2的值为（ ） A ．1B ．12C ．13D ．14【练习3.12】已知1a −1b=4，则a−2ab−b2a−2b+7ab= ．【练习3.13】已知aba−b=13，则代数式2a+3ab−2b a−2ab−b的值是 ．【练习3.14】若a ＝2b ≠0，则a 2−b 2a 2−ab的值为 ．【练习3.15】已知1a +12b=3，则代数式2a−5ab+4b 4ab−3a−6b的值为 ．【练习3.16】若a +b ﹣3ab ＝0，则1a+1b = ．【练习3.17】已知x 为整数，且2x+3+23−x+2x+18x 2−9为整数，则所有符合条件的x 值的和为 ．【练习3.18】若a +b ＝5，ab ＝3，则a b+ba的值是 ．【练习3.19】已知x 2﹣5x +1＝0，那么x 2+1x 2= ． 【练习3.20】如果x +y ＝5，那么代数式(1+yx−y )÷xx 2−y 2的值是 ．【练习3.21】已知x 2−1x=3，那么x 2+1x 2−2的值为 ． 【练习3.22】已知x 2+y 2＝3，xy =12，则（1x −1y）÷x 2−y 2xy 的值为 ．【练习3.23】如果x 2+x ﹣5＝0，那么代数式（1+2x ）÷x+2x 3+x 2的值是 ． 【练习3.24】已知x 2﹣4x +1＝0，则x 2+1x 2= ． 【练习3.25】化简分式3a−3b (a−b)2的结果是 ．【练习3.26】已知1a +1b=1a+b，则ba+ab的值等于 ．【练习3.27】如果a 2﹣a ﹣1＝0，那么代数式（1−2a−1a 2）÷a−1a 3的值是 ． 【练习3.28】如果2a 2+4a ﹣1＝0，那么代数式(a −4a )÷2−aa 2的值是 ． 【练习3.29】先化简，再求值：（x 2−2x+4x−1+2﹣x ）÷x 2+4x+41−x，其中x 满足x 2﹣4x +3＝0．【练习3.30】先化简：(3a+1−a +1)÷a 2−4a+4a+1，并从0，﹣1，2中选一个合适的数作为a 的值代入求值．【练习3.31】先化简，再求值：（x ﹣2+8x x−2）÷x+22x−4，其中x =−12． 【练习3.32】先化简：（3a+1−a +1）÷a 2−4a+4a+1，并从0，﹣1，2中选一个合适的数作为a 的值代入求值．。
分式运算公式
分式运算公式分式是数学中常见的一种表示形式，由分子和分母组成的比值。
在运算中，我们常常需要对分式进行加减乘除等操作。
下面将介绍分式运算的公式以及具体的计算方法。
1. 分式加法公式：a/b + c/d = (ad + bc) / bd这个公式表示了两个分式相加后的结果。
要进行分式的加法，首先将两个分式的分母进行通分，然后将分子相加，最后将得到的结果的分子和分母写在一个新的分式中即可。
2. 分式减法公式：a/b - c/d = (ad - bc) / bd与分式加法公式类似，分式的减法也需要先通分，然后将分子相减，最后得到的结果写在一个新的分式中。
3. 分式乘法公式：(a/b) * (c/d) = ac / bd分式的乘法只需要将两个分式的分子相乘，分母相乘，然后将结果写在一个新的分式中。
4. 分式除法公式：(a/b) / (c/d) = ad / bc分式的除法可以转化为乘法，即将除法转化为被除数乘以倒数的形式，然后按照分式乘法的计算方法进行运算。
在进行分式运算时，我们还需要注意以下几点：1. 通分：在分式加法和减法中，通分是必要的。
要通分，需要找到两个分数的最小公倍数作为新分数的分母，并将分子按比例扩大或缩小。
2. 约分：在分式的结果中，如果分子和分母有公因数，可以进行约分化简，将它们的最大公因数约去。
3. 分母为零：在运算时，分母不能为零，否则分式将无意义。
下面通过一些例子来演示分式运算的具体过程：例题1：计算 1/2 + 1/3解：首先将两个分数进行通分，分母取2和3的最小公倍数6，将分子按比例扩大或缩小，得到 3/6 和 2/6。
然后将分子相加，得到 5/6，所以结果为 5/6。
例题2：计算 3/4 * 2/5解：将分子相乘，分母相乘，得到 6/20。
然后可以进行约分，将分子和分母同时除以它们的最大公因数2，得到 3/10，所以结果为 3/10。
通过以上的分式运算公式和例子，我们可以看到，掌握了分式的运算方法，就能够轻松地进行分式的加减乘除等运算。
分式的加法和减法运算
分式的加法和减法运算分式是数学中常见的表示形式，它由两个数的比值构成，其中一个数称为分子，另一个数称为分母。
在分式的运算中，我们需要掌握分式的加法和减法运算规则。
下面将详细介绍分式的加法和减法运算。
一、分式加法运算两个分式的加法运算规则如下：1. 分母相同的情况下，直接将分子相加，分母保持不变。
例如，计算1/3 + 2/3 = 3/3，即分子相加得到3，分母保持不变。
2. 分母不同的情况下，需要进行通分操作，即找到它们的最小公倍数作为新的分母，然后将分子按照对应关系乘上对应的倍数，最后将新的分子相加得到结果。
例如，计算1/4 + 2/3，首先找到4和3的最小公倍数为12，然后将1/4乘以3/3得到3/12，将2/3乘以4/4得到8/12，最后3/12 + 8/12 = 11/12。
在分式加法运算中，需要注意分子相加，而分母保持不变或找到最小公倍数进行通分操作。
二、分式减法运算两个分式的减法运算规则如下：1. 分母相同的情况下，直接将分子相减，分母保持不变。
例如，计算5/6 - 2/6 = 3/6，即分子相减得到3，分母保持不变。
2. 分母不同的情况下，需要进行通分操作，即找到它们的最小公倍数作为新的分母，然后将分子按照对应关系乘上对应的倍数，最后将新的分子相减得到结果。
例如，计算3/5 - 1/3，首先找到5和3的最小公倍数为15，然后将3/5乘以3/3得到9/15，将1/3乘以5/5得到5/15，最后9/15 - 5/15 =4/15。
在分式减法运算中，需要注意分子相减，而分母保持不变或找到最小公倍数进行通分操作。
综上所述，分式的加法和减法运算需要根据分母是否相同来进行不同的处理。
如果分母相同，直接将分子相加或相减；如果分母不同，需要进行通分操作，然后将分子相加或相减。
掌握了分式的加法和减法运算规则，我们就可以灵活运用分式进行数学计算，解决实际问题。
通过以上对分式的加法和减法运算规则的解释，相信您已经掌握了相关知识，并能够熟练进行分式的加减运算。
分式加减法运算法则
分式加减法运算法则分式加减法运算法则：1. 分式加法：分式加法是把分子相加或者相减，而分母保持不变，用一个新分式来表示和或差。
一般格式是：（分子1/分母）➕（分子2/分母）=（分子1+分子2/分母）。
2. 分式减法：分式减法也是把分子相减或者相加，而分母保持不变，用一个新分式来表示差。
一般格式是：（分子1/分母）➖（分子2/分母）=（分子1-分子2/分母）。
3. 分式整体乘法：分式整体乘法是将两个分式的分子相乘，而分母相乘。
一般格式是：（分子1/分母1）×（分子2/分母2）=（分子1×分子2/分母1×分母2）。
4. 分式整体除法：分式整体除法是将分式的分母相乘，而分子相乘。
一般格式是：（分子1/分母1）÷（分子2/分母2）=（分子1×分母2/分母1×分子2）。
5. 一般的分式的运算：在分式加减法和分式乘除法之后，还可以进行一般的计算，比如：（分子/分母）+（x/分母）+3=（分子+x+3×分母/分母）。
其中的 +x 和+3 就是一般的计算。
因此，在做分式加减法和乘除法的时候，我们首先要确定每个分式中分子和分母，然后根据其法则做整体或一般计算，得出正确结果。
此外，分母一般不能为0，否则会出现无穷大或者不可定义解答；分子和分母要使用相同的符号，否则会导致结果的正负不正确；如果分子和分母出现了负数，要根据实际情况将负号带到分子或者分母，以便能够得到正确的答案。
此外，分式的运算还有一个重要的技巧，即分数化简，就是用数学技巧找出分数的最简形式。
常用的分数化简诀窍就是先分子分母分别除以最大公约数，然后将分子和分母比较，可以将分母统一为最小值，再算出最终结果。
例如，有分式等式：（4/8）=（2/4），明显可以看出它们的最简形式应该为：（1/2）=（1/2），所以，我们只要在做分数运算的时候注意分数化简，就可以得出正确的答案。
总之，分式加减法和乘除法运算都要掌握其基本原理和规律，熟悉一般计算技巧，注意分数化简，以及分母不能为0，就可以得出正确的结果了。
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1.4.1同分母分式的加减法
学习目标：
1.类比同分母分数加减法的法则得出同分母分式加减法则；
2.会根据同分母分式的加法和减法法则进行分式的加减运算.
自主学习
1.计算：11
1++
+x x x = = . b a ab b a a ---222 = = . 2.计算：=---x x
x 111 = .
3.计算：a a a 5
32+--= = .
4.
2
2224334y x y
x y x y x --+--= = = .
同分母分式的加减法法则： .
基础演练
1. 121112+-++--++a a a a a a
2.x
y x x y y ---2
2
3.a b a b a b 24222-+-
4.mn n m mn n m 2
22)(+--
拓展延伸
1. 2
2432--
-++x x
x x x 2. 24213212-+-+-+--x x x x x x
3. 1+-+-a
b b
b a a 4. 222
2223223y x y x y x y x y x y x --+-+--+
当堂检测
1.
13212++-++a a a a 2. y
x y
x y x y x y x --
-+-+22
课后反思：
1.4.2异分母分式的加减法：通分
学习目标：
1.知道通分与最简公分母的意义；
2.会对异分母分式进行通分.
自主学习
1.计算：4
1
31+＝ ＝ .
2.最简公分母：
3.分式
y ，x 4331的最简公分母是 ；
xy 121，yz
x 292
的最简公分母是 . 4.学习例3、例4，将下列分式通分： （1）x 41 ，y 61 （2）281xy
，261x （3）y x +1， y x x
- （4）1+x x , 1
12-x
通分规律总结：
基础演练
1.通分：x 2 ， x x +21
2.通分：9
12-x ， 621-x
拓展延伸
1.通分：
mn m -21， m n -2 2.通分：a a 212-， 422-a ， a
a 21
2
+
当堂检测
1.通分：
x 2 ， 232y 2.通分：243xy ， y
x 232
3.通分：
)(32y x y x +， )(23y x x y + 4.通分：2
2x
xy - ，y x x
-
课后反思：
1.4.3异分母分式的加减法
学习目标：
1.掌握异分母分式加法和减法法则；
2.能熟练地进行异分母分式的加法和减法计算.
3.通过化异分母分式为同分母分式，渗透“转化”的思想.
自主学习
1.分式
221ab 、2
251b
a 的最简公分母为 ， 2.x 1+32
= = = . 3.计算：y x
4-x
y 3= = = . 4.计算：21+x -21-x 5.计算：31-x -9
22-x
基础演练
1.计算：y 43-x 35+x
2
2.计算：11-x -x x -22
3.计算：x 241-+422-x
4.计算：132--x x x
x x +-21
拓展延伸
1.计算：x -1+ 11+x
2.计算：（1+112-a ）÷1
-a a
规律总结：
当堂检测
1.计算：b a b -22+a
b a 242
- 2.计算：（x -12+x x )÷1122
2-+-x x x
3.先化简，再求值：（
x x 212--441
2
+-x x ）÷x
x 222-，其中x =1.
课后反思：。