导数求切线方程的四种类型试题资料讲解
导数求切线方程的四种类型试题
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用导数求切线方程的四种类型
类型一：已知切点，求曲线的切线方程
此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．
例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+
Ｄ．45y x =-
类型二：已知斜率，求曲线的切线方程
此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ）
Ａ．230x y -+=
Ｂ．230x y --=
Ｃ．210x y -+=
Ｄ．210x y --=
类型三：已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．
例3 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程．
类型四：已知过曲线外一点，求切线方程
此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 例4 求过点(20)，且与曲线1
y x
=相切的直线方程．
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例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．。
用导数求切线方程(精品)
例6 已知点P在曲线C : x2 4 y上, 直线l : x y 4 0,求P到直线l 的距离小值。
巩固练习： 3.曲线y ln x上的点到直线x y 3 0 的最短距离是
练习 在曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中， 求斜率最小的切线方程．
[解] y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3， ∴当x＝－1时，切线的斜率最小，最小斜率为3， 此时，y＝f(-1)＝－14，∴切点为(－1，－14)． ∴切线方程为3x－y－11＝0.
练习．已经曲线C：y sin x。 求曲线C在点x=0处的切线方程。
类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 例2 与直线 2x y 4 0 的平行的抛物线 y x2 的切线方程是
类型三：已知切线过一点，求切线方程 例4. 求过点 P(2，0)且与曲线 y 1 相切的直线方程．
x
• 例3 曲线 y x3 的过点（1，1） 的切线方程．
初等函数的导数公式
第一章 导数及其应用
(1)f(x)＝c，f′(x)＝______. (2)f(x)＝xn，f′(x)＝______.
f(x)＝kx+b，f′(x)＝______.
f(x) 1 x
，f′(x)＝______. f(x)
x
，f′(x)＝______.
(3)f(x)＝sin x，f′(x)＝____. (4)f(x)＝cos x，f′(x)＝______.
A．1
B．2
C．3
D．4
第一章 导数及其应用
1.函数 y＝ 2x2＋1的导数为________． 2. 函数 y＝ln2x 的导数为________． 3.函数 y＝ln（3-2x）的导数为________． 4. y＝sin3x 的导数为________．
考点36 利用导数求切线方程(解析版)
考点36 利用导数求切线方程一．在型求切线方程()0000)1k f x 2y f x f x x ()()()()x (''求斜率:求该点处的导数值：＝求切线:点斜式对应的直线方程：－＝－二．过型求切线方程00'0'000000'00(1)x ,y )(2)f (x )y-y f (x )=x-x (3x y f (x )(4)y-y f (x )⎧⎪⎨⎪=⎩=设点：设切点的坐标（求导：求导函数）列式：求点斜式：三.已知切线求参数1.切点处的导函数为切线斜率2.切点在切线上也是曲线上考向一 在某点处的切线方程【例1-1】（2020·江苏期中）曲线1y x =-在点1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线方程为（ ） A ．4y x = B ．44y x =- C ．()41y x =+ D ．24y x =-【答案】B【解析】由函数1y x =-，则21y x'= 所以曲线1y x =-在点1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线的斜率为12|4x k y ='== 所以切线方程为：1242y x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，即44y x =- 知识理解考向分析故选：B【例1-2】（2020·广东深圳市·明德学校高三月考）函数()ln 1f x x x =+-在点(1,(1))f 处的切线方程为（ ） A ．1y x =-+ B ．22y x =-C ．32y x =-D ．33y x =-+【答案】B【解析】由1(1)0,()1f f x x='=+，有(1)2f '=，则所求切线方程为2(1)y x =-． 故选：B. 【举一反三】1．（2020·北京市第十三中学高三期中）曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程为（ ） A ．20x y --= B ．20x y +-= C ．450x y +-= D ．50x y --=【答案】B【解析】求导得斜率1-，代点检验即可选B.21(21)y x -'=-，1k ∴=-，20x y ∴+-=故选：B2．（2021·辽宁高三其他模拟）已知函数()323f x x x =-++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为_______． 【答案】570x y +-= 【解析】()323f x x x =-++，()261f x x '∴=-+，()15f '∴=-，即切线斜率为5-，又()12132f =-++=，∴切线方程为()251y x -=--，即570x y +-=.故答案为：570x y +-=.3．（2021·江西吉安市·高三期末（文））曲线sin 2cos 1y x x =+-在点,02π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为_________． 【答案】20x y π+-=【解析】cos 2sin ,22y x x f π''⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，曲线sin 2cos 1y x x =+-在点,02π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为22y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即20x y π+-=．故答案为：20x y π+-=考向二 过某点处的切线方程【例2】（2021·山东聊城市）过点(2,2)P -且与曲线33y x x =-相切的直线方程是（ ） A ．916y x =-+ B ．920y x =- C ．2y =- D ．916y x =-+或2y =-【答案】A【解析】因为33y x x =-所以233y x '=-，曲线33y x x =-在(2,2)P -处的切线斜率为－2，故由直线方程的点斜式得曲线方程为916y x =-+，选A ． 【举一反三】1．（2020·沙坪坝区·重庆一中高三月考）函数()ln f x x =过点()0,0的切线方程为（ ） A ．y x = B ．y x e2=C ．12y x =D ．1y x e=【答案】D【解析】设切点为11(,ln )x x 因为()()1ln f x x f x x'=∴=11111ln 01ln 10x x x e x x -∴=∴=∴=- 因此切线方程为1y x e= 故选：D2．（2020·河南高三月考）过点()0,1-且与曲线11e xy x =-+相切的直线方程为______. 【答案】()e 110x y -++=【解析】设切点为()00,x y ，因为11e x y '=-，所以0011e x x x y ==-'， 所以过切点()00,x y 的切线方程为()00011e x y y x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.因为切线过点()0,1-，所以()0001110e x y x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，即00111e x x --+-=()0011e x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，解得01x =-，所以所求切线方程为()()()11e 0y x --=--，即切线方程为()e 110x y -++= 故答案为：()e 110x y -++=3．（2021·全国课时练习）已知某曲线的方程为22y x =+，则过点()2,3B -且与该曲线相切的直线方程为______．【答案】210x y +-=或10230x y --= 【解析】【解析】设直线与曲线切于点（x 0，y 0）（x 0≠2），则k=0032y x +-，∵y 0=x 02+2，且∵k=y ′0|x x ==2x 0，∴0032y x +-=2x 0，∴x 02﹣4x 0﹣5=0， ∵x 0=-1，或x 0=5，∴k=2x 0=-2或10，故直线l 的方程210x y +-=或10230x y --=. 故答案为：210x y +-=或10230x y --=．4．（2020·海林市朝鲜族中学）过点（2,0）且与曲线y ＝1x相切的直线的方程为________ 【答案】20x y +-=. 【解析】设切点为()0000220000111,2y x y y y x x x x -∴==-'∴-=-，所以切点为()1,1，由点()2,0可知直线方程为20x y +-=考向三 求参数【例3】（2021·山西晋中市·高三二模（理））曲线ln y x ax =+与直线21y x =-相切，则a =______． 【答案】1【解析】由题意，函数ln y x ax =+，可得1y a x'=+， 设切点为()00,P x y ，则01y a x '=+，因为曲线ln y x ax =+与直线21y x =-相切，可得12a x +=，即0021ax x =-，① 又由000ln y x ax =+，即切点为000(,ln )x x ax +，可得0002n 1l x ax x =-+，② 联立①②，可得01,1x a ==． 故答案为：1 【举一反三】1．（2021·广西南宁市·南宁三中高三开学考试（理））已知直线2y x b =+是曲线ln 3y x =+的一条切线，则b =_________． 【答案】2ln 2-．【解析】对ln 3y x =+，1y x '=，由12y x '==，得12x =时， 1ln 33ln 22y =+=-， 所以13ln 222b -=⨯+，2ln 2b =-． 故答案为：2ln 2-．2．（2021·山西吕梁市·高三一模（理））已知曲线32y x ax =+-与x 轴相切，则a =___________.【答案】3-【解析】设曲线上切点坐标为()300,2x x ax +-，因为23'=+y x a ，所以203003020k x a x ax ⎧=+=⎨+-=⎩，解得01x =-，3a =-.故答案为：3-3．（2021·江西赣州市·高三期末（文））若曲线ln 1y x x =+在1x =处的切线与直线2(1)30ax a y --+=垂直，则a =______. 【答案】13； 【解析】由题意得，()ln 1f x x '=+，所以(1)1f '=， 因为切线与直线2(1)30ax a y --+=垂直， 所以10a -≠，且2111aa ⨯=--，解得13a =. 故答案为：13． 4．（2021·云南昆明市·昆明一中高三月考（文））若直线l ：2y ex b =+是曲线2ln y x =的切线，则实A ．-4B ．-2C ．2e D ．e【答案】A【解析】设l ：2y ex b =+与曲线2ln y x =相切于点()00,2ln x x ， 则()002f x x '=， 所以的方程为()00022ln y x x x x -=-， 则0022ln 2x y x x =+-，故022e x =，解得01x e=，则直线l ：24y ex =-，所以4b =-， 故选：A.1．（2021·安徽芜湖市·高三期末（理））已知1()ln 2f x x =-21(1)4f x x '++，则曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为（ ） A ．10x y --= B ．410x y --= C ．410x y --= D ．4410x y --=【答案】D【解析】由题意得：1()(1)1f x f x x''=-+， 令1x =，可得(1)1(1)1f f ''=-+，解得(1)1f '=，根据导数的几何意义可得，在点(1,(1))f 处切线斜率(1)1k f '==，又1()ln 2f x x =-214x x ++，所以113(1)ln11244f =-++=，即切点为3(1,)4，所以切线方程为3(1)4y x -=-，整理得：4410x y --=.故选：D2．（2021·内蒙古包头市·高三期末（理））若直线2y x b =-+为曲线xy x e =-的一条切线，则实数b 的强化练习A ．ln33-B ．3ln33+C ．ln33+D ．3ln33-【答案】D【解析】设切点为000(,)xx x e -， 由xy x e =-得1xy e '=-，所以012x e -=-，得03x e =，得0ln 3x =， 所以切点为(ln 3,ln 33)-，所以ln332ln3b -=-+，得3ln33b =-. 故选：D3．（2020·全国高三月考）曲线1axy x =-在点()2,2a 处的切线方程为30x y b -+=，则（ ）． A ．3a =，12b =- B ．3a =-，0b = C ．3a =，0b = D ．3a =-，12b =-【答案】D【解析】由题意得()()()22111a x axay x x --'==---，所以()2221x ay a ==-=--'，因为直线30x y b -+=的斜率为3， 所以3a -=，故3a =-，故切点为()2,6-，代入切线方程为30x y b -+=得12b =-． 故选：D.4（2021·全国高三专题练习）已知函数2()ln f x a x x =+，0a >，若曲线()y f x =在点(1,1)处的切线是曲线()y f x =的所有切线中斜率最小的，则a =（ ）A ．12B ．1CD ．2【答案】D【解析】因为2()ln f x a x x =+，定义域为()0,∞+，所以()2a f x x x'=+， 由导数的几何意义可知：当1x =时()f x '取得最小值， 因为0a >，0x >，所以()2a x f x x '=+≥= 当且仅当2ax x=即22a x =时()f x '取得最小值， 又因为1x =时()f x '取得最小值，所以2212a =⨯=， 故选：D5．（2020·全国高三专题练习（文））曲线()ln 21y x =-上的点到直线280x y -+=的最短距离是（ ） A．B ．2C．D【答案】A【解析】如图所示，将直线280x y -+=平移至与函数()()ln 21f x x =-图象相切时， 切点到直线280x y -+=的距离最短,设切点坐标为()()00,x f x ，()221f x x ='-,令()02f x '=得，01x =，则切点坐标为()1,0， 所以切点()1,0到直线280x y -+=的距离为：()22211082521d ⨯-⨯+==+-.故选：A.6．（多选）（2020·全国高三专题练习）曲线3()3f x x x =-+在点P 处的切线平行于21y x =-，则点P 的坐标为（ ） A ．()1,3 B ．()1,3-C ．()1,3--D ．()1,3-【答案】AB【解析】因()231f x x '=-，令()2f x '=，故23121x x -=⇒=或1-，所以()1,3P 或()1,3-，经检验，点()1,3，()1,3-均不在直线21y x =-上， 故选：AB7．（2021·全国高三开学考试（文））曲线ln y a x =-在点()1,a 处的切线与曲线e x y =-相切，则a =___________. 【答案】2-【解析】由ln y a x =-求导得1y x'=-， ∴曲线ln y a x =-在点()1,a 处的切线方程为()1y a x -=--，即1y x a =-++. 设1y x a =-++与e x y =-相切于点()00,e x x -，由e x y =-求导得e xy '=-， ∴0e 1x -=-，∴00x =，即切点为()0,1-. 它在切线1y x a =-++上， ∴11a +=-， ∴2a =-. 故答案为：-28．（2021·安徽安庆市·高三一模（文））函数2()x f x x e =在点()()1,1f 处的切线方程为________. 【答案】320ex y e --= 【解析】因为2()x f x x e =， 所以()2'()2xf x exx =+，则()'13f e =，()1f e =，所以在()()1,1f 处的切线方程为320ex y e --=.9．（2021·内蒙古包头市·高三期末（文））曲线ln 32y x x x =++的一条切线的斜率为4，则该切线的方程是______． 【答案】41y x =+【解析】因为ln 32y x x x =++， 所以ln 4y x '=+， 设切点为()00,x y ， 因为切线的斜率为4， 所以0ln 44x +=， 解得001,5x y ==，所以该切线的方程是()541y x -=-，即41y x =+ 故答案为：41y x =+10．（2021·安徽安庆市·高三一模（理））函数1()(1)x f x x e a -=++在(1,(1))f 处的切线经过点()3,7 ，则实数a =___________. 【答案】1-【解析】由1()(1)x f x x e a -=++，得()()12x f x ex -'=+，()13f '=，()12f a =+，而切线过点()3,7，从而有()72331a -+=-，解得1a =-， 故答案为：1-.11．（2021·宁夏吴忠市·高三一模（文））曲线()e cos xf x x x =-在()0,1-处的切线方程为_________．【答案】1y x =-【解析】由()e cos xf x x x =-得：()e (1)sin x f x x x '=++，()00e sin01f '=+=，因为切点()0,1-在曲线上，所以所求切线方程为1y x +=，即1y x =-． 故答案为：1y x =-.12．（2021·山西吕梁市·高三一模（文））曲线31233y x =+在点()1,1处的切线方程为________．【答案】0x y -=【解析】()1,1为切点时，由2y x '=时，斜率k =1，所以切线方程：y -1=x – 1; 故答案为：0x y -=13．（2021·六盘山高级中学高三期末（文））曲线1xy xe x =++在点()0,1处的切线方程为______. 【答案】21y x =+【解析】1x x y e xe '=++，∴切线的斜率为00|12x k y e ='==+=则切线方程为12y x -=，即21y x =+故答案为：21y x =+14．（2020·湖北高三月考）函数2()2x f x x-=+在点()0,(0)f 处的切线方程为________. 【答案】10x y +-= 【解析】因为2()2x f x x -=+，所以()2(24)f x x -'=+，(0)1f '=-， 因为(0)1f =，所以切线方程为10y x ，即10x y +-=，故答案为：10x y +-=.15．（2021·江苏泰州市·高三期末）函数()e x f x x =+(其中e 为自然对数的底数)的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为________.【答案】21y x =+【解析】因为()e 1x f x '=+，所以()()00012,001f e f e '=+==+=， 所以切线方程为：()120y x -=-，即21y x =+，故答案为：21y x =+.16．（2020·贵州铜仁伟才学校高三月考（文））曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为________.【答案】2210x y +-π+=【解析】由2sin cos y x x =+，得2cos sin y x x '=-，则x π=时2cos sin 2y ππ'=-=-， 即切线斜率2k =-，故切线方程为()12y x π+=--，即2210x y +-π+=.故答案为：2210x y +-π+=.17．（2020·吉林油田第十一中学高三月考（文））曲线3y x x =-在点()1,0处的切线方程为______．【答案】220x y --=【解析】因为()3f x x x =-， 所以()231f x x '=-。
导数求切线方程的练习题及答案
导数求切线方程的练习题及答案精品文档导数求切线方程的练习题及答案类型一:已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数f?，并代入点斜式方程即可( 例1 曲线y?x3?3x2?1在点处的切线方程为 ,(y?3x?4,(y??3x?,(y?4x?5类型四:已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解( 例求过点且与曲线y?例已知函数y?x3?3x，过点A作曲线y?f的切线，切线方程(1x相切的直线方程(,(y??4x?3类型二:已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决(例与直线2x?y?4?0的平行的抛物线y?x的切线方程是2,(2x?y?3?0 ,(2x?y?1?0,(2x?y?3?0 ,(2x?y?1?01 / 6精品文档类型三:已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法(例求过曲线y?x3?2x上的点的切线方程(高二数学第1页共2页高二数学第2页共2页学校数学学科导学案编制人: 审核人: 授课日期: 月日姓名: 班级: 编号:第周号运用导数求切线方程的专项训练11.对任意x，有f?=4x3，f=,1，则此函数为A.f=x4,2C.f=x3B.f=x4+D.f=,x42.如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=s时的瞬时速度为A. B.1C.5 D.813(曲线y=x3,3x2+1在点处的切线方程为A.y=3x,4B.y=,3x+2C.y=,4x+D.y=4x,54.函数f=的导数是A.x2,x+1B.C.3xD.3x2+15.曲线y=f在点)处的切线方程为3x+y+3=0，则A. f?>0B. f? 6. 曲线y?x在点?1,1?处的切线方程为2x?12 / 6精品文档A. x?y?2?0B. x?y?2?0C.x?4y?5?0D. x?4y?5?07. 在平面直角坐标系xoy中，点P在曲线C:y?x?10x?3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为.8. 曲线f?lnx?x在点处的切线的倾斜角为_______.9(曲线y?xe?2x?1在点处的切线方程为。
考点49 利用导数求切线方程(讲解)(解析版)
考点49：利用导数求切线方程【思维导图】【常见考法】考点一：求切线的斜率或倾斜角1．曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于 . 【答案】2【解析】由1x y xe -=，得，故，故切线的斜率为.2．点P在曲线y =α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围为 . 【答案】2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】根据题意可知：''1xy e ==+⎝⎭ 则()()()221111'111x xxx e y e e e ⎫+-⎪=-=-⎪+++⎝⎭令()1,0,11x t t e =∈+所以)()2',0,1y t t t =-∈可知)'y ⎡∈⎣ 曲线在点P 处的切线的斜率范围为)⎡⎣，所以)tan α⎡∈⎣故2,3παπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭3．已知函数()()21,.f x g x xx==若直线l 与曲线()f x ，()g x 都相切，则直线l的斜率为 . 【答案】4-【解析】设直线l 的斜率为k ，则()21'k f x x ==-，解得x =，切点为⎛⎝；且()'2kg x x ==，解得2kx =，切点为2,24k k ⎛⎫⎪⎝⎭； 因为l 与曲线()f x ，()g x 都相切，所以2k k +=，解得4k =-．考法二：在某点处求切线方程1．设曲线3ln(1)y x x =-+ 在点(0,0)处的切线方程_________________. 【答案】20x y -=【解析】由题意，函数3ln(1)y x x =-+的导数为131y x '=-+， 可得曲线3ln(1)y x x =-+在点(0,0)处的切线斜率为312-=，即切线的斜率为2， 则曲线在点(0,0)处的切线方程为02(0)y x -=-，即为2y x =，即20x y -=． 故答案为：20x y -=．2．函数3()2ln 2f x x x =-+的图象在1x =处的切线方程为______________________. 【答案】20x y -+=【解析】由题3(1)12ln123f =-+=,又22'()3f x x x=-,故3()2ln 2f x x x =-+在(1,3)处的斜率为2'(1)311f =-=,故在(1,3)处的切线方程为31(1)20y x x y -=⨯-⇒-+= 故答案为：20x y -+= 3．已知函数()2()1xf x x x e =++，则()f x 在(0, (0))f 处的切线方程为 .【答案】210x y -+=【解析】因为()2()32x f x e x x '=++，所以(0)2f '=，又因为(0)1f =，所以切点为(0)1，， 所以曲线()f x 在(0, (0))f 处的切线方程为210x y -+=.4．已知()()221f x x xf '=+，则曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程为 .【答案】40x y +=【解析】由题：()()221f x x xf =+'，所以()()'221f x x f +'=，()()'1221f f =+'，所以()'12f =-，所以()24f x x x =-，()24f x x '=-，()00f =，()04f '=-所以切线方程为40x y +=.5．设a 为实数，函数()()322f x x ax a x =++-的导函数是fx ，且fx 是偶函数，则曲线()y f x =在原点处的切线方程为 . 【答案】2y x =-【解析】由()()322f x x ax a x =++-所以()()2'322f x x ax a =++-，又()f x '是偶函数，所以20a =，即0a =所以()2'32f x x =-则()'02f =-，所以曲线()y f x =在原点处的切线方程为2y x =-考法三：过某点求切线方程1．曲线ln y x =过点(0,1)-的切线方程为_________． 【答案】10x y --= 【解析】由题, 1'y x=,设切点为()00,ln x x ,则在切点处的切线斜率为01x ,又切线过点(0,1)-,故0000ln (1)11x x x x --=⇒=.故切点为()1,0. 故切线方程为()101101x y y x -=---=⇒.故答案为：10x y --= 2．求函数()32f x x x x =-+的图象经过原点的切线方程为 . 【答案】0x y -=【解析】由函数()32f x x x x =-+，则()2321f x x x '=-+，所以()01f '=，所以函数()32f x x x x =-+的图象经过原点的切线方程为()010y x -=-，即0x y -=.3．若过原点的直线l 与曲线2ln y x =+相切，则切点的横坐标为 . 【答案】1e【解析】设切点坐标为()00,2ln x x +，由1y x'=，切线方程为00012ln ()y x x x x --=-， 原点坐标代入切线方程，得02ln 1x +=，解得01ex =.4．已知函数()3f x x x =-，则曲线()y f x =过点()1,0的切线条数为 .【答案】2【解析】设切点坐标 3000(,)P x x x -,由()3f x x x =-，得2()31x f x '=-，∴切线斜率2031k x =-，所以过3000(,)P x x x -的切线方程为320000(31)()y x x x x x -+=--，即2300(31)2y x x x =--，切线过点()1,0，故32002310x x -+=，令()32000231h x x x =-+,则()200066h x x x '=-，由()00h x '=，解得00x =或01x =，当0(,0),(2,)x ∈-∞+∞时，()00h x '>，当0(0,2)x ∈时，()00h x '<，所以()0h x 的极大值极小值分别为 h (0)10=>，(1)0h =， 故其图像与x 轴交点2个，也就是切线条数为2.考法四：已知切线求参数1．已知函数()()e xf x x a =+的图象在1x =和1x =-处的切线相互垂直，则a = .【答案】-1 【解析】因为'()(1)xf x x a e =++ ，所以1'(1)(2)'(1)af a e f aee，-=+-==，由题意有(1)'(1)1f f -=- ，所以1a =-.2．已知在曲线()21ax f x x =+在点()()1,1f 处切线的斜率为1，则实数a 的值为 .【答案】43【解析】当0x >时，()()2221ax axf x x +'=+，()11f '=，即314a=，得43a =.. 3．已知函数()ln f x x x ax =+，过点()1,1P 可作两条直线与()f x 的图象相切，则a 的取值范围是 。
利用导数求曲线的切线和公切线知识讲解
利用导数求曲线的切线和公切线一. 求切线方程【例1】.已知曲线f(x)=x 3-2X12+1.(1) 求在点P( 1,0 )处的切线l i的方程；⑵ 求过点Q( 2,1 )与已知曲线f(x)相切的直线丨2的方程.提醒：注意是在某个点处还是过某个点！二. 有关切线的条数【解答】解：(I)由 f (x) =2x3- 3x 得f'( x) =6x2- 3,令f，( x) =0 得, x= - ■-或x= ■-,2 2•- f (-2) =- 10, f (-二)=",f ( = ) =- ", f (1) =- 1,••• f (x)在区间［-2, 1］上的最大值为二.(n)设过点P (1, t)的直线与曲线y=f (x)相切于点(X0, y°),则y o=2・” -3x。
，且切线斜率为k=6 ：匚-3,•••切线方程为y-y o= (6：,二-3)(x -x o),••• t - y°= (6 ：,二-3)( 1 - x o),即卩4- 6 . F +t+3=0，设g (x) =4x? - 6x?+t+3 , 则“过点P (1, t)存在3条直线与曲线y=f (x)相切”，等价于“ g (x)有3 个不同的零点”.T g'(x) =12x2- 12x=12x (x- 1),•g (0) =t+3是g (x)的极大值，g (1) =t+1是g (x)的极小值.•g (0)> 0 且g (1)v 0,即-3v t v- 1,•当过点过点P (1, t)存在3条直线与曲线y=f (x)相切时，t的取值范围是(-3,- 1).(rn)过点A (- 1, 2)存在3条直线与曲线y=f (x)相切；过点B (2, 10)存在2条直线与曲线y=f (x)相切；过点C (0, 2)存在1条直线与曲线y=f (x)相切.【作业1】.(2017?莆田一模)已知函数 f (x) =2x3- 3x+1, g (x) =kx+1 - Inx .(fM y<1(1)设函数hW二’、，当k v 0时，讨论h (x)零点的个数；g lx)』x^l(2)若过点P (a,- 4)恰有三条直线与曲线y=f (x)相切，求a的取值范围.三. 切线与切线之间的关系【例4】.(2018?绵阳模拟)已知a, b, c€ R,且满足b2+c2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f (x) =ax+bcosx+csinx的图象都相切，则a+/HW：c 的取值范围是.解：f '(x) = a + b cos x—c sin x = a +c' cos(x + ^?) = a +cos(x + p)令H + e = 则码 + 0 =环巧+e = g. f\x) ~+dtj题意’存在x r x2E R使得厂(xj厂(兀)= T* 0p(a+cos^X fl + cos^)=_l»即关于。
高中：利用导数求切线方程含解析
利用导数求切线方程一．选择题（共8小题）1．曲线y=1xx过（1，0）点的切线方程为（）A．y＝﹣4x+4B．y＝4x﹣4C．y＝﹣x+1D．y＝x﹣12．抛物线y＝x2上横坐标为3的点的切线方程（）A．3x﹣y﹣9＝0B．6x﹣y﹣9＝0C．3x+y﹣9＝0D．6x+y﹣9＝0 3．经过点P（2，4）且与曲线y=13x3+43相切的直线方程为（）A．y＝x+2B．y＝4x﹣4C．y＝x+2或y＝4x﹣4D．y＝﹣x+2或y＝﹣4x+44．过点Q（1，0）且与曲线yy=1xx相切的切线方程是（）A．y＝﹣2x+2B．y＝﹣x+1C．y＝﹣4x+4D．y＝﹣4x+25．曲线yy=−1xx在点(12，−2)处的切线方程是（）A．y＝﹣4x B．y＝4x﹣4C．y＝4x+4D．y＝﹣4x+46．曲线y＝（x﹣1）•e x（e为自然对数的底数）在点（1，0）处的切线方程为（）A．y＝ex﹣e B．y＝ex+e C．y＝x﹣1D．y＝x+17．已知函数f（x）＝sin2x﹣xf'（0），则该函数的图象在xx=ππ2处的切线方程为（）A．3x+y﹣π＝0B．3x﹣y﹣π＝0C．x+3y﹣π＝0D．3x+y+π＝08．已知曲线y＝axe x+lnx在点（1，ae）处的切线方程为y＝3x+b，则（）A．a＝e，b＝﹣2B．a＝e，b＝2C．a＝e﹣1，b＝﹣2D．a＝e﹣1，b＝2二．多选题（共1小题）（多选）9．已知曲线f（x）＝2x3+1，则曲线过点P（1，3）的切线方程为（）A．6x﹣y﹣3＝0B．3x﹣2y+3＝0C．6x+y﹣9＝0D．3x+2y﹣9＝0三．填空题（共6小题）10．设y=ee1−xx2与x＝﹣1的交点为P．则过P点的切线方程为．11．设函数f（x）＝x3+（a﹣1）cos x﹣3x，若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）过点（2a，﹣6）的切线方程为．12．已知函数f（x）＝（2x+3）4+m的图象过原点，则曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是．13．已知函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=12x+2，则f（1）+f′（1）＝．14．函数y＝f（x）的图象在点M（2，f（2））处的切线方程是y＝2x﹣8，则ff(2)ff′(2)=．15．曲线f（x）＝3−xx ee xx，在点（0，3）处的切线方程为．四．解答题（共5小题）16．已知曲线ff(xx)=13xx3．（1）求曲线在点P（2，83）处的切线方程；（2）若曲线上某点的切线过点Q（0，−23），求该点坐标以及该点处的切线方程．17．已知曲线f（x）＝2x3+1．（1）求曲线在点P（1，3）处的切线方程；（2）求曲线过点P（1，3）的切线方程．18．已知曲线C：y=1tt−xx经过点P（2，﹣1）．（1）求曲线C在点P处的切线方程；（2）求过点O（0，0），且与曲线C相切的切线方程．19．（1）已知f（x）＝eπx sinπx，求f'（x）及f'（12）；（2）在曲线y=11+xx2上求一点，使过该点的切线平行于x轴，并求切线方程．20．（文做）已知曲线y=13xx3+43，（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程；（2）求曲线过点P（2，4）的切线方程．利用导数求切线方程参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．【解答】解：设切点坐标为（xx0，1xx0），由y=1xx，得y′=−1xx2，可得过切点的切线方程为y−1xx0=−1xx02(xx−xx0)，把（1，0）代入，可得−1xx0=−1xx02(1−xx0)，解得xx0=12．∴曲线y=1xx过（1，0）点的切线方程为y﹣2＝﹣4（x−12），即y＝﹣4x+4．故选：A．2．【解答】解：由y＝x2，得y′＝2x，∴y′|x＝3＝6，又当x＝3时，y＝9．∴曲线C上横坐标为3的点处的切线方程为y﹣9＝6（x﹣3），即6x﹣y﹣9＝0．故选：B．3．【解答】解：设切点为（m，n），y=13x3+43的导数为y′＝x2，即有切线的斜率为k＝m2，切线方程为y﹣n＝m2（x﹣m），其中n=13m3+43，又4﹣n＝m2（2﹣m），消去n，得m3﹣3m2+4＝0，解得m＝﹣1或2，即有k＝1或4，则有切线方程为y﹣4＝（x﹣2）或y﹣4＝4（x﹣2），即为y＝x+2或y＝4x﹣4．故选：C．4．【解答】解：由yy=1xx，得y′=−1xx2，设切点为（xx0，1xx），则yy′|xx=xx0=−1xx02，∴在切点处的切线方程为y−1xx0=−1xx02(xx−xx0)，把（1，0）代入，可得−1xx0=−1xx02(1−xx0)，解得xx0=12．∴过点Q（1，0）且与曲线yy=1xx相切的切线方程是y﹣2＝﹣4（x−12），即y＝﹣4x+4．故选：C．5．【解答】解：由y=−1xx，得y′=1xx2，∴yy′|xx=12=4，则曲线yy=−1xx在点(12，−2)处的切线方程是y+2＝4（x−12），即4x﹣y﹣4＝0．故选：B．6．【解答】解：∵y＝（x﹣1）•e x（e为自然对数的底数），∴y′＝xe x，根据导数的几何意义，则切线的斜率为y′|x＝1＝e，又切点坐标为（1，0），由点斜式方程可得y＝e（x﹣1），即y＝ex﹣e，∴曲线y＝（x﹣1）•e x（e为自然对数的底数）在点（1，0）处的切线方程为y＝ex﹣e．故选：A．7．【解答】解：f（x）＝sin2x﹣xf'（0），则f'（x）＝2cos2x﹣f'（0），∴f'（0）＝2cos0﹣f'（0），解得f′（0）＝1，∴ff(xx)=ssss ss2xx−xx，ff(ππ2)=−ππ2，ff′(xx)=2ccccss2xx−1，ff′(ππ2)=−3，则切点(ππ2，−ππ2)，kk=−3，故切线方程为yy+ππ2=−3(xx−ππ2)，即3x+y﹣π＝0，故选：A．8．【解答】解：由y＝axe x+lnx，得y′＝ae x+axe x+1xx，由题意，�2aaee+1=3aaee=3+bb，解得a＝e﹣1，b＝﹣2．故选：C．二．多选题（共1小题）（多选）9．【解答】解：设切点为QQ(xx0，2xx03+1)，则f'（x）＝6x2，所以ff′(xx0)=6xx02，所以切线方程为yy−2xx03−1=6xx02(xx−xx0)，因为切线过点（1，3），所以3−2xx03−1=6xx02(1−xx0)，即2xx03−3xx02+1=0，即(xx0−1)2(2xx0+1)=0，解得x0＝1或xx0=−12，所以切线方程为6x﹣y﹣3＝0或3x﹣2y+3＝0．故选：AB．三．填空题（共6小题）10．【解答】解：将x＝﹣1代入函数的解析式可得y＝1，即P（﹣1，1），设出切点为（m，ee1−mm2），由y=ee1−xx2的导数为y′＝﹣2x•ee1−xx2，可得切线的斜率为k＝﹣2m•ee1−mm2，即有切线的方程为y−ee1−mm2=−2m•ee1−mm2（x﹣m），代入点（﹣1，1），可得（1+2m+2m2）•ee1−mm2=1，由g（m）＝（1+2m+2m2）•ee1−mm2，可得g′（m）＝2（m+1）（1﹣2m2）•ee1−mm2，可得m＝﹣1或±√22，由m＝﹣1时，取得极值1，且唯一．则所求切线的方程为y﹣1＝2（x+1），则切线的方程为y＝2x+3．故答案为：y＝2x+3．11．【解答】解：因为f（x）＝x3+（a﹣1）cos x﹣3x为奇函数，f（﹣x）＝﹣f（x），得a＝1，f（x）＝x3﹣3x，f′（x）＝3x2﹣3，设切点（x0，y0），则切线方程为yy−(xx03−3xx0)=(3xx02−3)(xx−xx0)，又切线过点（2，﹣6），代入得−6−(xx03−3xx0)=(3xx02−3)(2−xx0)，解得x0＝0或x0＝3．当x0＝0时，切点为（0，0），切线方程为y＝﹣3x；当x0＝3时，切点为（3，18），切线方程为y＝24x﹣54．故答案为：y＝﹣3x和y＝24x﹣54．12．【解答】解：∵f（0）＝81+m＝0，∴m＝﹣81，f（﹣1）＝﹣80，f'（x）＝8（2x+3）3，∴f'（﹣1）＝8，∴所求切线方程为y+80＝8（x+1），即y＝8x﹣72．故答案为：y＝8x﹣72．13．【解答】解：∵点M（1，f（1））是切点，∴点M在切线上，∴f（1）=12+2=52，∵函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线的方程是y=12x+2，∴切线斜率是12，即f′（1）=12，∴f（1）+f'（1）=52+12=3．故答案为：3．14．【解答】解：由题意，f′（2）＝2，又f（2）＝2×2﹣8＝﹣4，∴ff(2)ff′(2)=−42=−2．故答案为：﹣2．15．【解答】解：由f（x）＝3−xx ee xx，则f′（x）=xx−1ee xx，所以f′（0）＝﹣1，所以在点（0，3）处的切线方程为y﹣3＝﹣x，即x+y﹣3＝0，故答案为：x+y﹣3＝0．四．解答题（共5小题）16．【解答】解：（1）ff(xx)=13xx3，f′（x）＝x2，f′（2）＝4，∴曲线在点P（2，83）处的切线方程为：y−83=4（x﹣2），化为：4x﹣y−163=0，即12x﹣3y﹣16＝0；（2）设切点P（x0，13xx03），f′（x）＝x2，切线斜率k＝f′（x0）=xx02，切线方程为：y−13xx03=xx02（x﹣x0），∵切线过点Q（0，−23），∴−23−13xx03=xx02（0﹣x0），解得x0＝1，y0=13．∴切点（1，13），该点处的切线方程为：y−13=x﹣1，化为：3x﹣3y﹣2＝0．17．【解答】解：f′（x）＝6x2，（1）k＝f′（1）＝6，故切线方程为y﹣3＝6（x﹣1），即6x﹣y﹣3＝0即为所求．（2）由题意设切点为（m，2m3+1），k＝f′（m）＝6m2，则切线方程为y﹣（2m3+1）＝6m2（x﹣m）……①，将点（1，3）代入得：3﹣（2m3+1）＝6m2（1﹣m），即2m3﹣3m2+1＝0，即（m﹣1）2（2m+1）＝0，解得m＝1，或mm=−12，代入①式得切线方程为：6x﹣y﹣3＝0，或3x﹣2y+3＝0．18．【解答】解：（1）由题意可得1tt−2=−1，解得t＝1，即有y=11−xx，导数为y′=1(xx−1)2，曲线C在点P处的切线斜率为1，可得曲线C在点P处的切线方程为y+1＝x﹣2，即为x﹣y﹣3＝0；（2）设切点为（m，11−mm），可得切线的斜率为1(mm−1)2，切线的方程为y−11−mm=1(mm−1)2（x﹣m），代入点（0，0），可得−11−mm=−mm(mm−1)2，解得m=12，切线的斜率为4，即有与曲线C相切的切线方程为y＝4x．19．【解答】解：（1）由f（x）＝eπx sinπx，得f'（x）＝πeπx sinπx+πeπx cosπx＝πeπx（sinπx+cosπx），f'（12）=ππeeππ2(ssss ssππ2+ccccssππ2)=ππeeππ2；（2）由y=11+xx2，得yy′=−2xx(1+xx2)2，令y′＝0，得x＝0，则切点坐标为（0，1），切线方程为y＝1．20．【解答】解：（1）y=13xx3+43的导数为y′＝x2，可得曲线在点P（2，4）处的切线斜率为4，则曲线在点P（2，4）处的切线方程为y﹣4＝4（x﹣2），即为4x﹣y﹣4＝0；（2）设切点为（m，n），则n=13m3+43，曲线过点P（2，4）的切线斜率为m2，切线的方程为y−13m3−43=m2（x﹣m），代入点（2，4），可得4−13m3−43=m2（2﹣m），化为（m+1）（m﹣2）2＝0，解得m＝﹣1或m＝2，则所求切线的方程为y﹣1＝x+1或y﹣4＝4（x﹣2），即为x﹣y+2＝0或4x﹣y﹣4＝0．。
用导数求切线方程的四种类型
用导数求切线方程的四种类型浙江 曾安雄求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+Ｄ．45y x =-解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ） Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+=Ｄ．210x y --=解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x x y x ='==|． 01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ． 评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，故选Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例3 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x x y x ='=-|．∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--． 解得01x =，或012x =-． 故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程． 解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x x y x ='=-|．∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--． 又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得020011(2)x x x -=--． 解得000111x y x ===，，即20x y +-=． 评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程． 解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上． 设切点为00()M x y ，，则点M 的坐标满足30003y x x =-． 因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--． 化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=． 评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。
(完整版)导数解决切线问题的习题.doc
导数复习专题——切线问题例一：求曲线 y x33x21在点(1，1)处的切线方程变式一：已知函数变式二：已知函数y x33x ，过点A(0，16)作曲线y f ( x) 的切线，求此切线方程．y x33x ，过点A(2,2)作曲线y f ( x) 的切线，求此切线方程．例二：已知函数 f(x)=x3+3ax2-3b， g(x)=-2x2+2x+3(a ≠ 0)(1) 若 f(x)的图象与 g(x)的图象在 x=2 处的切线互相平行，求 a 的值；(2)若函数 y=f(x)的两个极值点 x=x1,x=x2恰是方程 f(x)=g(x)的两个根，求 a、b 的值；并求此时函数y=f(x)的单调区间．变式二：设函数 y x3 ax2 9x 1 a 0 ，若曲线 y=f(x)的斜率最小的切线与直线12 x y 6 平行，求：（Ⅰ） a 的值; （Ⅱ）函数 f ( x) 的单调区间.例三：已知函数 y x3ax b a, b R（Ⅰ）若f ( x)的图像在 2 x 2 部分在 x 轴的上方，且在点(2, f 2 ) 处的切线与直线9x y 50 平行，求b的取值范围；（Ⅱ）当 x1 , x20,3，且x1x2时，不等式 f x1 f x2x1x2恒成立，求的3取值范围。
变式三：已知函数 f(x)=ax ，在 x=1 处取得极值为 2.2x b（1）求函数 f(x)的解析式；（2）若函数 f(x)在区间（ m， 2m＋ 1）上为增函数，求实数m 的取值范围；（3）若P（ x0，y0）为 f(x)=axl 与 f(x)=ax的图象相切于x 2图象上的任意一点，直线2b x b点 P，求直线l 的斜率的取值范围.课后练习：一：选择题1. 曲线 y 1 x2 2x 在点(1， 3 )处切线的倾斜角为 ( )2 2A. 1B. 45C. 45D.1352. 过点（－ 1， 0）作抛物线y x2 x 1 的切线，则其中一条切线为（）A.2 x y 2 0B. 3x y 3 0C. x y 1 0D. x y 1 0 3．已知函数f ( x) x2 (ax b)(a,b R) 在x=2时有极值，其图象在点(1,f(1)) 处的切线与直线 3x+y=0 平行，则函数f(x) 的单调减区间为（）A. ,0B.（ 0， 2）C. 2,D. ,4. 曲线 y x( x 1)( x 2)...( x 50) 在原点处的切线，方程为（）A、y 1275 xB、y 50 2 x C. y 100x D、y 50! x曲线 y 1 x5. e2在点 (4， e2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A. 9 e2B. 4e2C. 2e2D. e226. 设点 P 是曲线：y x3 3x b (b 为实常数 )上任意一点， P 点处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（）A. 2 ,B.2 ,5C.［0, ］∪［ 5 , π］D.［ 0,2)∪［ 2 , π)3 6 2 6 37. 函数 y ax2 1的图象与直线y x 相切，则 a ＝( )1 1 1A．8 B．4 C．2 D． 1二：填空题nx) 在x 2 处的切线与a n1．正整数n，y x (1 y 轴交点的纵坐标为a n，则数列n 1 的前 n 项和的公式是2曲线ysin x在点 M ( ,0) 处的切线方程为.x3. 函数 y f ( x) 的图象在点P处的切线方程是y x 8，则 f (5) f (5) =.94. 点 P 是曲线y x 2 ln x 上任意一点，则P 到直线y x 2 的距离的最小值为三：解答题1. 求曲线 ( x 1)2 ( y 3 )2 5 的切线，使该切线平行于直线 2 x y 82 41 2与 C2 2 1 2都相切，求直线l 的方程 .2. 已知曲线 C :y=x :y=－ (x－2) ,直线 l 与 C 、C3.已知函数（1）求曲线f (x) x3x ．y f (x) 在点 M (t， f (t)) 处的切线方程；（2）设a0，如果过点(a，b)可作曲线y f (x) 的三条切线，证明： a b f (a) ．。
专题一：用导数求切线方程的四种类
用导数求切线方程的四种类型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，与斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型与解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+ Ｄ．45y x =- 1解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．练习：1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴斜交答案 B 2.已知函数y ＝f (x )的图像如右图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定 答案 B2．曲线y ＝－2x 2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是( )A ．－4B ．0C ．4D ．不存在答案 B10．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率等于( )A ．2B ．4C ．6＋6·Δx ＋2·(Δx )2D ．6答案 D4．函数y ＝sin 2x 的图像在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，14处的切线的斜率是( )A. 3B.33C.12D.32答案 D分析 将函数y ＝sin 2x 看作是由函数y ＝u 2，u ＝sin x 复合而成的．解析 ∵y ′＝2sin x cos x ， ∴y ′|x ＝π6＝2sin π6cos π6＝322．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－73)处切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．60°答案 B6．y ＝x 3的切线倾斜角的围为________． 答案 [0，π2)解析 k ＝y ′＝3x 2≥0.8．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，点P 处切线倾斜角为α，则角α的取值围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，π B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，56π C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，π答案 D解析 由y ′＝3x 2－3，易知y ′≥－3，即tan α≥－ 3. ∴0≤α<π2或23π≤α<π.14．已知曲线C ：y ＝x 3，求在曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程．解析 将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1， ∴切点P (1,1)．∵y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0x ＋Δx 3－x 3Δx＝lim Δx →03x 2Δx ＋3x Δx2＋Δx3Δx＝lim Δx →0[3x 2＋3xΔx ＋(Δx )2]＝3x 2，∴y ′|x ＝1＝3.∴过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.14．求曲线y ＝sin x 在点A (π6，12)处的切线方程．解析 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x . ∴y ′|x ＝π6＝cos π6＝32，k ＝32.∴切线方程为y －12＝32(x －π6)．化简得63x －12y ＋6－3π＝0. 6．曲线y ＝xx －2在点(1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝2x －3D ．y ＝－2x ＋1答案 D例3 求曲线y ＝1x 2－3x 在点(4，12)处的切线方程．[思路分析] 将函数变形为y ＝(x 2－3x )－12，将其看做是由函数y ＝u －12、u ＝x 2－3x 复合而成．[解析] ∵y ＝1x 2－3x＝(x 2－3x )－12， ∴y ′＝－12(x 2－3x )－32·(x 2－3x )′＝－12(x 2－3x )－32·(2x －3)．∴曲线y ＝1x 2－3x在点(4，12)处的切线斜率为 k ＝y ′|x ＝4＝－12(42－3×4)－32·(2×4－3)＝－516.∴曲线在点(4，12)处的切线方程为y －12＝－516(x －4)，即5x ＋16y －28＝0. 探究3 此题不要将函数y ＝1x 2－3x看做是由y ＝1u ，u ＝v ，v ＝x 2－3x 三个函数复合而成的，这样求导就麻烦了．思考题 3 (1)曲线y ＝3x 2＋1在点(1,2)处的切线方程为__________________．[答案] 3x －2y ＋1＝0(2)y ＝11－x 2的水平切线方程是________．[解析] 令y ′＝0，得x ＝0，∴y ＝1.12．求曲线y ＝2x －x 3在点(－1，－1)处的切线的方程与此切线与x 轴、y 轴所围成的平面图形的面积．答案 x ＋y ＋2＝0；28．曲线y ＝e 12 x在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2 B ．4e 2 C ．2e 2 D ．e 2答案 D解析 ∵y ′＝12·e 12 x，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝4＝12e 2.∴切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)．∴横纵截距分别为2，－e 2，∴S ＝e 2，应选D.11．已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.答案 3解析 f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋2＝52，∴f (1)＋f ′(1)＝3.5．如图是函数f (x )与f (x )在点P 处切线的图像，则f (2)＋f ′(2)＝________.答案 98解析 由题图知，切线方程为x 4＋y4.5＝1，f (2)＝4.5·(1－24)＝94，f ′(2)＝－4.54＝－98.∴f (2)＋f ′(2)＝94－98＝98.类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ）Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+= Ｄ．210x y --=2 解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x xy x ='==|．01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，应选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，应选Ｄ．练习：3．曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(1,1)，(－1，－1) C ．(2,8) D ．(－12，－18)答案 B13．若曲线y ＝2x 3上某点切线的斜率等于6，求此点的坐标． 解析 ∵y ′|x ＝x 0＝lim Δx →02x 0＋Δx3－2x 30Δx＝6x 20，∴6x 20＝6.∴x 0＝±1.故(1,2)，(－1，－2)为所求． 3．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.12答案 A解析 y ′＝12x －31x ，由12x －3x ＝12.得x ＝3或x ＝－2.由于x >0，所以x ＝3.3．已知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＝0B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)>0D ．f ′(x 0)不能确定答案 B5．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ．f ′(x 0)>0B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在答案 B7．在曲线y ＝x 2上切线的倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)答案 D2．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0答案 A解析 ∵l 与直线x ＋4y －8＝0垂直， ∴l 的斜率为4.∵y ′＝4x 3，∴由切线l 的斜率是4，得4x 3＝4，∴x ＝1. ∴切点坐标为(1,1)．∴切线方程为y －1＝4(x －1)， 即4x －y －3＝0.应选A.11．已知P (－1,1)，Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，则与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程是________．答案 4x －4y －1＝0解析 k ＝4－12－－1＝1，又y ′＝2x ，令2x ＝1，得x ＝12，进而y ＝14，∴切线方程为y －14＝1·(x －12)，即4x －4y －1＝0.13．如果曲线y ＝x 2＋x －3的某一条切线与直线y ＝3x ＋4平行，求切点坐标与切线方程．答案 切点坐标为(1，－1)，切线方程为3x －y －4＝0 13．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为______________．答案 3x －y －11＝0解析 y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x ＋1)2＋3≥3， 当且仅当x ＝－1时取等号，当x ＝－1，时y ＝－14. ∴切线方程为y ＋14＝3(x ＋1)，即3x －y －11＝0.9．设直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b的值为________．答案 ln2－14．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1 B.12 C ．－12D ．－1答案 A14．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________.答案 2解析 由题意得y ′＝a e ax ，y ′|x ＝0＝a e a ×0＝2，a ＝2. 10．函数f (x )＝a sin ax (a ∈R )的图像过点P (2π，0)，并且在点P 处的切线斜率为4，则f (x )的最小正周期为( )A ．2πB ．π C.π2 D.π4答案 B解析 f ′(x )＝a 2cos ax ，∴f ′(2π)＝a 2cos2πa . 又a sin2πa ＝0，∴2πa ＝k π，k ∈Z . ∴f ′(2π)＝a 2cos k π＝4，∴a ＝±2. ∴T ＝2π|a |＝π.6．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( )A. 5 B ．2 5 C ．3 5 D ．0 答案 A解析 y ′＝22x －1＝2，∴x ＝1.∴切点坐标为(1,0)．由点到直线的距离公式，得d ＝|2×1－0＋3|22＋12＝ 5. 19．曲线y ＝x (x ＋1)(2－x )有两条平行于y ＝x 的切线，则两切线之间的距离为________．答案 16272解析 y ＝x (x ＋1)(2－x )＝－x 3＋x 2＋2x ，y ′＝－3x 2＋2x ＋2，令－3x 2＋2x ＋2＝1，得x 1＝1或x 2＝－13.∴两个切点分别为(1,2)和(－13，－1427)．切线方程为x －y ＋1＝0和x －y －527＝0.∴d ＝|1＋527|2＝16227.类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．6．以下说确的是( )A ．曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点B ．过曲线上一点作曲线的切线，这点一定是切点C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处无切线D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)不一定存在答案 D例3 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程．3解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x xy x ='=-|．∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法． 练习：类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．4解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x xy x ='=-|．∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--． 又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得02011(2)x x x -=--． 解得000111x y x ===，，即20x y +-=． 评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．5解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上． 设切点为00()M x y ，，则点M的坐标满足30003y x x =-．因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--． 化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．练习：17．已知曲线方程为y ＝x 2，求过A (3,5)点且与曲线相切的直线方程．解析 解法一 设过A (3,5)与曲线y ＝x 2相切的直线方程为y －5＝k (x －3)，即y ＝kx ＋5－3k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋5－3k y ＝x 2，得x 2－kx ＋3k －5＝0.Δ＝k 2－4(3k －5)＝0，整理得(k －2)(k －10)＝0. ∴k ＝2或k ＝10. 所求的直线方程为2x －y －1＝0,10x －y －25＝0.解法二设切点P的坐标为(x0，y0)，由y＝x2，得y′＝2x.∴y′|x＝x0＝2x0.由已知kPA＝2x0，即5－y03－x0＝2x0.又y0＝2x0，代入上式整理，得x0＝1或x0＝5.18．已知曲线S：y＝3x－x3与点P(2,2)，则过点P可向S引切线，其切线条数为( )A．0 B．1C．2 D．3答案 D解析显然P不在S上，设切点为(x0，y0)，由y′＝3－3x2，得y′|x＝x0＝3－3x20.切线方程为y－(3x0－x30)＝(3－3x20)(x－x0)．∵P(2,2)在切线上，∴2－(3x0－x30)＝(3－3x20)(2－x0)，即x30－3x20＋2＝0.∴(x0－1)(x20－2x0－2)＝0.由x0－1＝0，得x0＝1.由x20－2x0－2＝0，得x0＝1± 3.∵有三个切点，∴由P向S作切线可以作3条．综合练习：10．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于( )A．0 B．－4C．－2 D．2答案 B解析 f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2. ∴f ′(0)＝2f ′(1)＝－4.12．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12答案 A解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，选A.15．(1)求过曲线y ＝e x 上点P (1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程；(2)曲线y ＝15x 5上一点M 处的切线与直线y ＝－x ＋3垂直，求此切线方程．解析 (1)∵y ′＝e x ，∴曲线在点P (1，e)处的切线斜率是y ′|x ＝1＝e. ∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为k ＝－1e .∴所求直线方程为y －e ＝－1e(x －1)，(2)∵切线与y ＝－x ＋3垂直，∴切线斜率为1. 又y ′＝x 4，令x 4＝1，∴x ＝±1.∴切线方程为5x －5y －4＝0或5x －5y ＋4＝0.4．y ＝ax 2＋1的图像与直线y ＝x 相切，则a ＝( ) A.18 B.14 C.12 D ．1答案 B解析 由已知{ y ＝ax 2＋1，y ＝x 有唯一解，即x ＝ax 2＋1，ax 2－x ＋1＝0有唯一解， ∴Δ＝1－4a ＝0，∴a ＝14.15．点P 在曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上，且曲线在点P 处的切线与曲线y ＝－2x 2－1相切，求点P 的坐标．解析 设P (x 0，y 0)，则y 0＝x 20＋1.f ′(x 0)＝lim Δx →0x 0＋Δx2＋1－x 20＋1Δx＝2x 0.所以过点P 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x ＋1－x 20.而此直线与曲线y ＝－2x 2－1相切，所以切线与曲线y ＝－2x 2－1只有一个公共点． 由{ y ＝2x 0x ＋1－x 20，y ＝－2x 2－1，得即Δ＝4x 20－8(2－x 20)＝0.解得x 0＝±233，y 0＝73.所以点P 的坐标为(233，73)或(－233，73)．17．若直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，求k 的值． 解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2＝k .若x 0＝0，则k ＝2.若x 0≠0，由y 0＝kx 0，得k ＝y 0x 0.∴3x 20－6x 0＋2＝y 0x 0，即3x 20－6x 0＋2＝x 30－3x 20＋2x 0x 0.解之，得x 0＝32. ∴k ＝3×(32)2－6×32＋2＝－14.综上，k ＝2或k ＝－14.16．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图像都过点P (2,0)，且在点P 处有公共切线，求f (x )、g (x )的表达式．解析 ∵f (x )＝2x 3＋ax 的图像过点P (2,0)， ∴a ＝－8.∴f (x )＝2x 3－8x .∴f ′(x )＝6x 2－8. 对于g (x )＝bx 2＋c 的图像过点P (2,0)，则4b ＋c ＝0. 又g ′(x )＝2bx ，∴g ′(2)＝4b ＝f ′(2)＝16. ∴b ＝4.∴c ＝－16. ∴g (x )＝4x 2－16. 综上可知，f (x )＝2x 3－8x ，g (x )＝4x 2－16.1．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1，l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积．分析 (1)求曲线在某点处的切线方程的步骤：先求曲线在这点处的导数，这点对应的导数值即为过此点切线的斜率，再用点斜式写出直线方程；(2)求面积用S ＝12a ·h 即可完成．解析 (1)因为y ′＝2x ＋1，则直线l 1的斜率k 1＝2×1＋1＝3，则直线l 1的方程为y ＝3x －3，设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (x0,y0)，因为l 1⊥l 2。
导数专题：导数与曲线切线问题(6大题型)(解析版)
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导数与曲线切线问题
一、求曲线“在”与“过”某点的切线
1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤
第一步（求斜率）：求出曲线在点()()00,x f x 处切线的斜率0()
f x '第二步（写方程）：用点斜式000()()()
y f x f x x x '-=-第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤（此类问题的点不一定是切点）
第一步：设切点为()()00,Q x f x ；
第二步：求出函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '；
第三步：利用Q 在曲线上和0()PQ f x k '=，解出0x 及0()f x '；
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-．
二、切线条数问题
求曲线的切线条数一般是设出切点()(),t f t ，由已知条件整理出关于t 的方程，把切线问条数问题转化为关于t 的方程的实根个数问题。
三、公切线问题
研究曲线的公切线，一般是分别设出两切点，写出两切线方程，然后再使用这两个方程表示同一条直线，但要注意以下两个方面：
（1）两个曲线有公切线，且切点是同一点；
（2）两个曲线有公切线，但是切点不是同一点。
四、已知切线求参数问题
此类问题常见的考查形式有两种，一是判断符合条件的切线是否存在，二是根据切线满足条件求参数的值或范围。
常用的求解思路是把切线满足条件转化为关于斜率或切点的方程或函数，再根据方程的
根的情况或函数性质去求解。