陕西省汉中市2018届高三第二次教学质量数学(文)试题含答案

汉中市2018届高三年级教学质量第二次检测考试文科数学本试卷共23题，共150分，共4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I 卷（选择题 共60分）一. 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U=R ,集合{2,1,0,1,2}A =--，2{|4}B x x =≥，则下图中阴影部分所表示的集合为（ ）.A ．{2,1,0,1}--B ．{0} C.{1,0}- D ．{1,0,1}- 2.设复数z 满足i 3i z ⋅=-，i 为虚数单位，则z =（ ）. A ．13i + B ．13i --C ．13i -+D ．13i - 3.已知角α的终边经过点（1,2），则tan 4απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）.A ．13 B ．3 C.13-D ．3-4.“2log (1)1x +>”是“2x >” 的（ ）.A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件 5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）.A ．164π+B ．328π+C ．88π+D ．168π+6.设实数,x y 满足21y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则y x 2-的最小值为（ ）A ．0.5-B ．2-C ． 5-D ．57.已知函数2,0()1,0x x f x x x ⎧≥=⎨+≤⎩，若0)1()(=+f a f ，则实数a 的值等于（ ）.A ．－3B ．－1C ．1D ．38.《九章算术》是我国古代的数学巨著，内容极为丰富，其中卷六《均输》里有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”意思是：“5人分取5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得钱数之和与后3人所得钱数之和相等．”（“钱”是古代的一种重量单位），则其中第二人分得的钱数是（ ）.A ．65B ．67C ．1D ．349.如图所示的程序框图，程序运行时，若输入的12S =-， 则输出的S 的值为（ ）.A ．4B ．5 C. 8 D ．9 10.汉中电视台“关注汉中”栏目的播出时间是每天中午12:30到13:00，在该档节目中将随机安排播出时长5分钟的有关“金色花海 真美汉中”的新闻报道．若小张于某天12:50打开电视，则他能收看到这条新闻的完整报道的概率是（ ）. A ．25 B. 13 C. 15 D. 1611.设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点，点B 坐标为)0b ，（，若直线FB与双曲线C 的一条渐近线垂直，则双曲线C 的离心率为（ ）. AB1 D12. 若关于x 的方程2(ln )ln x ax x x -=存在三个不等实根，则实数a 的取值范围是（ ）.A. 1(,)e e-∞- B. 211(,0)e e -C. 211(,)e e -∞- D. 1(,0)e e - 第II 卷 (非选择题 共90分）二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量(2,3)a =-， (6,),()b m m R =-∈，若a b ⊥，则m =___________．14. 已知正项等比数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为()n S n N +∈，且123112a a a -=，则4S = ．15.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且sin cos c B C =，45A =︒，则cos B =___________．16.已知抛物线C ：x y 42=的焦点为F ，),(),,2211y x N y x M （是抛物线C 上的两个动点，若MN x x 2221=++，则MFN ∠的最大值为___________．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（本小题满分12分）已知函数22()cos sin cos ()f x x x x x x R =-+∈.（1）求)(x f 的最小值及取得最小值时所对应的x 的值； （2）求)(x f 的单调递增区间．18. （本小题满分12分）陕西理工大学开展大学生社会实践活动，用“10分制”随机调查汉台区某社区居民的幸福指数，现从调查人群中随机抽取16人，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福指数的得分(以小数点的前一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)： （1）写出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福指数不低于9分，则称该人的幸福指数为“极幸福”；若幸福指数不高于8分，则称该人的幸福指数为“不够幸福”．现从这16人中幸福指数为“极幸福”和“不够幸福”的人中任意选取2人， 求选出的两人的幸福指数均为“极幸福”的概率．19. （本小题满分12分）如图，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆O 上，//AB EF ，矩形ABCD 和圆O 所在的平面互相垂直，已知2,4==EF AB ． （1）求证：平面DAF ⊥平面CBF ；（2）当4AD =时，求多面体FABCD 的体积． 20. （本小题满分12分）已知两定点1(2,0)A -，2(2,0)A ，M 为动点，直线12MA MA 与直线的斜率的乘积为14-． （1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）过点(F 的直线与曲线E 交于,P Q 两点，是否存在常数λ，使得||PQ FP FQ λ=⋅？如果存在求出λ的值；如果不存在请说明理由．21.（本小题满分12分）已知函数R a x a x x f ∈-+=,ln 3)1()(2．（1）当1=a 时，求函数)(x f 在点(1,(1))f 处的切线方程及函数)(x f 的单调区间； （2）若对任意[]e x ,1∈，4)(≤x f 恒成立，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩ (其中α为参数)，曲线2C 的方程为22(1)1x y -+=，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程；（2）若射线=06πθρ≥（）,与曲线1C 、2C 分别交于,A B 两点，求||AB .23．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知函数()|3||2|f x x x =-++．（1）若不等式()|1|f x m +≥恒成立，求实数m 的最大值M ； （2）在（1）的条件下，若正数a ，b ，c 满足2a b c M ++=，求证：111a b b c+++≥汉中市2018届高三年级教学质量第二次检测考试文科数学参考答案一、选择题：二、填空题：13. -4 ； 14. 15 ； 15.4 ； 16. 3π三、解答题17.解： ()2cos 22sin(2)6f x x x x π=+=+ (4)分(1)当322()62x k k Z πππ+=+∈时，()f x 取得最小值为-2,即 2()3x k k Z ππ=+∈时，()f x 取得最小值为-2. ……8分(备注：22(),62x k k Z πππ+=-∈(),3x k k Z ππ=-∈即()f x 取得最小值为-2也可对应得分)(2)当 222()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈,()f x 单调递增， 即()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈()[,]()36f x k k k Z ππππ∴-+∈的单调递增区间为 (1)2分18.解：(1)众数为8.6，中位数为. 8.78.88.752+= ……4分(2)16人中“极幸福”的有4人，分别记为,“不够幸福”的有2人，分别记为,……6分 从这6人中任取2人共有以下15种情况：,其中两人都为“极幸福”的有6种情况. ……10分 62155P ∴==选出的两人的幸福指数均为“极幸福”的概率为25. ……12分19.（1）证：∵平面ABCD ⊥平面,ABEF CB AB ⊥，平面ABCD ⋂平面ABEF AB =，∴CB ⊥平面ABEF ， ……3分∵AF ⊂平面ABEF ，∴AF CB ⊥，又∵AB 为圆O 的直径，∴AF BF ⊥，∴AF ⊥平面CBF ， ∵AF ⊂平面ADF ，∴平面DAF ⊥平面CBF …… 6分（2）过F 做,FH AB AB H FH ABCD ⊥⊥交于由面面垂直性质可得平面FH F ABCD -即为四棱锥的高.FH =经计算 ……9分116163F ABCD ABCD V -∴=⨯=梯形的面积为， ……12分20.解：（1）设(,)M x y ，由1214A M A Mk k ⋅=-，得1224y y x x ⋅=-+-，即2214x y +=．所以动点M 的轨迹方程是221(2)4x y x +=≠±． ……6分 (备注：没有去点的扣1分)（2）因为2x ≠±，当直线PQ 的斜率为0时，与曲线C 没有交点，不合题意，故可设直线PQ的方程为x ty =-，联立22440x y x ty ⎧+-=⎪⎨=-⎪⎩，消去x得22(4)10t y +--=，设1122(,),(,)P x y Q x y，则12y y +=12214y y t =-+，21224(1)||1|4t PQ y y t +=+-=+． …… 9分12(FP FQ x x ⋅=22121221(1)4t y y t y y t ++=+=-+． ……11分 故存在实数4λ=-，使得||4PQ FP FQ =-⋅恒成立． ……12分 （备注：对直线PQ 分斜率不存在和存在情况也可对应得分） 21．解：（1）当1a =时， 2()(1)3ln ,(1)4,f x x x f =+-=3()22,f x x x '=+-(1)1f '=，则切线方程为41(1), 3.y x y x -=⨯-=+即 ……2分 在(0,)x ∈+∞时，如果3()220,f x x x'=+->即)x ∈+∞时，函数()f x 单调递增； ……4分 如果3()220,f x x x'=+-<即x ∈时，函数()f x 单调递减． ……6分 （2）23223()22,x x af x x x x+-'=+-=x ＞0．当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在[1,]e 上单调递增．min ()(1)4,()4f x f f x ==≤不恒成立． …… 8分当0a >时，设2()223,0.g x x x a x =+-> ∵g()x 的对称轴为12x =-，(0)30,g a =-< ∴g()x 在(0,)+∞上单调递增，且存在唯一0(0,),x ∈+∞使得0()0g x =． ∴当0(0,)g()<0,x x x ∈时，即()0,f x '< ()f x 在0(0,)x 上单调递减； ∴当0(,)g()>0,x x x ∈+∞时，即()0,f x '> ()f x 在0(,)x +∞上单调递增． ∴()f x 在[1，e]上的最大值}{max ()max (1),().f x f f e = ……10分∴(1)4()4f f e ≤⎧⎨≤⎩，得2(1)34,e a +-≤解得2(1)43e a +-≥. ……12分（备注：其它解法酌情得分）22.解:（1)由sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩得曲线1C 的普通方程为2213x y += ……2分把cos ,sin x y ρθρθ==，代入22(1)1x y -+=化简得曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ= ……5分 （2）依题意可设1(,)6A πρ,2(,)6B πρ，曲线的极坐标方程为2222sin 3ρρθ+=将6πθ=,(0)ρ≥代入曲线1C 的极坐标方程得2232ρρ+=，解得1ρ= ……8分将6πθ=,(0)ρ≥代入曲线2C 的极坐标方程得2ρ所以12||||AB ρρ=-= ……10分 23. 解:(1）若()|1|f x m +≥恒成立，即min ()|1|f x m +≥ ……2分由绝对值的三角不等式得|3||2||32|5x x x x -++---=≥，得()min 5f x = 即|1|5m +≤，解得64m -≤≤，所以M =4 ……5分 （2）证明：由（Ⅰ）知24a b c ++=，得()()4a b b c +++= ……6分所以有11111[()()]()4a b b c a b b c a b b c+=++++++++ 11(2)(22)144b c a b a b b c ++=+++=++≥ 即111a b b c+++≥ ……10分。