哈工大图论习题
哈尔滨工业大学大二计算机专业集合论与图论试卷及答案 (2)
哈尔滨工业大学集合论与图论计算机学院XX 年秋季一、 解答下列问题，要求只给出答案（每题2分，共16分）1.设A B 、为集合，试求一个集合X ，合得A X B ∆=。
（ A B ∆ ）2.设{}1,2,3,4A =，{}1,2B =，试求从A 到B 的满射的个数。
（42214-=）3.设{}1,2,,10A =，试求A 上反自反二无关系的个数。
（29022n n -=）4.设{}12,,,p A u u u =，()112q p p ≤-。
试求以V 为顶点集具有条边的无向图的个数。
（ ⎝⎛-2/)1(p p q ） 5.设T 是一个有P 个顶点的正则二元树，试求下的叶子数，其中P 是奇数。
（12P +） 6.正整数m 和n 为什么值时,Km n 为欧拉图？（m n 和为偶数）7.设(),G V E =为无向图，,V P E P ==。
如果G 是边通图，那么G 至少有几个生成树？ （3个）8. 具有p 个顶点q 条边的平面连通图中，p 和q 应满足什么样的关系式？(36q p ≤-)二、以下各题要求只给出答案（每题2分，共14分）１.设{}()()(){},,,,,,,,,X a b c d R a b b c c a ==，试求R 的传递闭包。
（()()()()()()()()(),,,,,,,,,,a a b b c c a b b c c a a c b a c b ，，，，，，，）2.将置换（123456789791652348）分解为循环置换的乘积，然后分解成对换的乘积()()()()()()()()()173298465171329282426=。
3.设0000010110100000010000000A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦12345110000210110310100410110500001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 如果A 4.设{}{}0,1,,,,,,,B E a b c x y z ==。
哈工大集合与图论习题
集合与图论习题第一章习题．画出具有个顶点地所有无向图(同构地只算一个).．画出具有个顶点地所有有向图(同构地只算一个).．画出具有个、个、个顶点地三次图.．某次宴会上，许多人互相握手.证明：握过奇数次手地人数为偶数(注意，是偶数).．证明：哥尼斯堡七桥问题无解.．设与是图地两个不同顶点.若与间有两条不同地通道(迹)，则中是否有回路？．证明：一个连通地(，)图中≥.．设是一个(，)图，δ()≥[]，试证是连通地.．证明：在一个连通图中，两条最长地路有一个公共地顶点.．在一个有个人地宴会上，每个人至少有个朋友(≤≤).试证：有不少于个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人地左、右均是他地朋友.b5E2R。
．一个图是连通地，当且仅当将划分成两个非空子集和时，总有一条联结地一个顶点与地一个顶点地边.．设是图.证明：若δ()≥ ，则包含长至少是δ()地回路.．设是一个(，)图，证明：()≥，则中有回路；()若≥，则包含两个边不重地回路.．证明：若图不是连通图，则是连通图.．设是个(，)图，试证：()δ()·δ()≤[()]([()])，若≡，，( )() δ()·δ()≤[()]·[()]，若≡( )．证明：每一个自补图有或个顶点.．构造一个有个顶点而没有三角形地三次图，其中≥..给出一个个顶点地非哈密顿图地例子，使得每一对不邻接地顶点和，均有≥．试求中不同地哈密顿回路地个数.．试证：图四中地图不是哈密顿图.．完全偶图，为哈密顿图地充分必要条件是什么？．菱形面体地表面上有无哈密顿回路？．设是一个(≥)个顶点地图.和是地两个不邻接地顶点，并且≥.证明：是哈密顿图当且仅当是哈密顿图.．设是一个有个顶点地图.证明：若>δ()，则有长至少为δ()地路.．证明具有奇数顶点地偶图不是哈密顿图.．证明：若为奇数，则中有()个两两无公共边地哈密顿回路.．中国邮路问题：一个邮递员从邮局出发投递信件，然后返回邮局.若他必须至少一次走过他所管辖范围内地每条街道，那么如何选择投递路线，以便走尽可能少地路程.这个问题是我国数学家管梅谷于年首先提出地，国外称之为中国邮路问题.p1Ean。
图论期末考试试题和答案
图论期末考试试题和答案****一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 图论中，图的基本元素不包括以下哪一项？A. 顶点B. 边C. 权重D. 节点答案：D2. 在图论中，一个图的路径是指什么？A. 一系列顶点B. 一系列边C. 一系列顶点和边的序列D. 一系列权重答案：C3. 有向图和无向图的主要区别是什么？A. 边的方向B. 顶点的数量C. 边的数量D. 图的颜色答案：A4. 在图论中，一个完全图是指什么？A. 所有顶点都相连的图B. 所有边都相连的图C. 所有顶点和边都相连的图D. 所有权重都相同的图答案：A5. 图论中的欧拉路径是指什么？A. 经过每条边恰好一次的路径B. 经过每个顶点恰好一次的路径C. 经过每条边恰好一次的回路D. 经过每个顶点恰好一次的回路答案：C6. 图论中的哈密顿路径是指什么？A. 经过每条边恰好一次的路径B. 经过每个顶点恰好一次的路径C. 经过每条边恰好一次的回路D. 经过每个顶点恰好一次的回路答案：B7. 在图论中，二分图是指什么？A. 图的顶点可以被分成两个不相交的集合B. 图的边可以被分成两个不相交的集合C. 图的顶点和边可以被分成两个不相交的集合D. 图的权重可以被分成两个不相交的集合答案：A8. 图论中的最短路径问题是指什么？A. 寻找从一个顶点到另一个顶点的最短路径B. 寻找从一个顶点到所有其他顶点的最短路径C. 寻找所有顶点之间的最短路径D. 寻找所有边之间的最短路径答案：A9. 图论中的最小生成树问题是指什么？A. 寻找一个图中所有顶点的最小生成树B. 寻找一个图中所有边的最小生成树C. 寻找一个连通图中所有顶点的最小生成树D. 寻找一个连通图中所有边的最小生成树答案：C10. 图论中的网络流问题是指什么？A. 在图中寻找最大流量B. 在图中寻找最小流量C. 在图中寻找最大流和最小割D. 在图中寻找最小流和最大割答案：C二、填空题（每题2分，共20分）1. 在图论中，如果一个图的任意两个顶点都由一条边连接，则称这个图为______图。
哈工大威海校区2015春集合图论试题A
姓名: 班级: 学号:遵 守 考 试 纪 律 注意 行 为 规 范哈尔滨工业大学（威海）2014 / 2015学年春季学期集合论与图论 试题卷（A ）考试形式（开、闭卷）：闭卷 答题时间：105（分钟）本卷面成绩占课程成绩 30 %试卷说明：[1] 卷面总分100分，取卷面成绩的70%计入总分，平时成绩30%。
[2] 填空题请在答题卡内答题，其它处无效。
[3] 答卷时禁止拆开试卷钉，背面即为草稿纸。
一、填空题（每小题2分，共20分）(1) 集合的（）表示方法可能产生悖论。
(2) 映射f左可逆的充分必要条件是：（）。
(3) 设R={(a, b),(c, d),(e, f)}是一个二元关系，则R的逆记为R-1，R-1=（）。
(4) n个顶点的完全图的边的个数是( )。
(5) 一个无向图的边数为20，那么所有顶点的度数和为（）。
(6) 设G是一个有p个顶点q条边的最大可平面图,则: q=( )。
(7) 一个图是树当且仅当G是连通的且p=（）。
(8) G是一个p个顶点q条边的最大平面图,则G的每个面都是( )形。
(9) 若G是偶数个顶点的圈，则G是（）色的。
(10) 当顶点数大于2时，树的连通度是（）。
二、简答题(每小题5分，共20分)1.设集合X=｛a,b,c,d,e｝，E={a,b,c}是X的子集。
写出E的特征函数。
2.R=｛（1，b），（2,c），（3,a），（4,d）｝是集合A=｛1，2，3，4｝到集合B=｛a,b,c,d｝的一个二元关系，画出R的关系矩阵和关系图。
3.举例说明什么是偏序关系？什么是偏序集？4.简述图的连通度、边连通度、最小度之间的关系。
三、证明题（每小题10分，共20分）1. A和B是两个集合，证明：(A∪B)c=A c∩B c2. 证明：3度正则图（每个顶点的度数都是3）的顶点的数目必为偶数。
四、计算题（每小题5分，共20分）1. 集合X={a,b,c,d,e,f,g,h},X的两个子集是A=｛a,b,c,d｝,B={e,f,g,h}求：A⋃B,A⋂B,A c,A\B,A∆B2、一个学校学生总人数为336人，共有数学，物理，化学3门课。
哈工大图论习题
1．画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个)。
2．画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)。
3．画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。
4．某次宴会上，许多人互相握手。
证明：握过奇数次手的人数为偶数(注意，0是偶数)。
5．证明：哥尼斯堡七桥问题无解。
6．设u与v是图G的两个不同顶点。
若u与v间有两条不同的通道(迹)，则G中是否有回路？7．证明：一个连通的(p，q)图中q ≥p-1。
8．设G是一个(p，q)图，δ(G)≥[p/2]，试证G是连通的。
9．证明：在一个连通图中，两条最长的路有一个公共的顶点。
10．在一个有n个人的宴会上，每个人至少有m个朋友(2≤m≤n)。
试证：有不少于m+1个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人的左、右均是他的朋友。
11．一个图G是连通的，当且仅当将V划分成两个非空子集V1和V2时，G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。
12．设G是图。
证明：若δ(G)≥ 2，则G包含长至少是δ(G)+1的回路。
13．设G是一个(p，q)图，证明：(a)q≥p，则G中有回路；(b)若q≥p+4，则G包含两个边不重的回路。
14．证明：若图G不是连通图，则G c 是连通图。
15．设G是个(p，q)图，试证：(a)δ(G)·δ(G C)≤[(p-1)/2]([(p+1)/2]+1)，若p≡0，1，2(mod 4)(b) δ(G)·δ(G C)≤[(p-3)/2]·[(p+1)/2]，若p≡3(mod 4)16．证明：每一个自补图有4n或4n+1个顶点。
17．构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图，其中n≥3。
18.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每一对不邻接的顶点u和v，均有degu+degv≥919．试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。
20．试证：图四中的图不是哈密顿图。
21．完全偶图Km，n为哈密顿图的充分必要条件是什么？22．菱形12面体的表面上有无哈密顿回路？23．设G是一个p(p≥3)个顶点的图。
哈工大图论习题[精彩]
![哈工大图论习题[精彩]](https://img.taocdn.com/s3/m/71c9dc59777f5acfa1c7aa00b52acfc789eb9fa6.png)
第一章习题1．画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个)。
2．画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)。
3．画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。
4．某次宴会上，许多人互相握手。
证明：握过奇数次手的人数为偶数(注意，0是偶数)。
5．证明：哥尼斯堡七桥问题无解。
6．设u与v是图G的两个不同顶点。
若u与v间有两条不同的通道(迹)，则G中是否有回路？7．证明：一个连通的(p，q)图中q ≥p-1。
8．设G是一个(p，q)图，δ(G)≥[p/2]，试证G是连通的。
9．证明：在一个连通图中，两条最长的路有一个公共的顶点。
10．在一个有n个人的宴会上，每个人至少有m个朋友(2≤m≤n)。
试证：有不少于m+1个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人的左、右均是他的朋友。
11．一个图G是连通的，当且仅当将V划分成两个非空子集V1和V2时，G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。
12．设G是图。
证明：若δ(G)≥ 2，则G包含长至少是δ(G)+1的回路。
13．设G是一个(p，q)图，证明：(a)q≥p，则G中有回路；(b)若q≥p+4，则G包含两个边不重的回路。
14．证明：若图G不是连通图，则G c 是连通图。
15．设G是个(p，q)图，试证：(a)δ(G)·δ(G C)≤[(p-1)/2]([(p+1)/2]+1)，若p≡0，1，2(mod 4)(b) δ(G)·δ(G C)≤[(p-3)/2]·[(p+1)/2]，若p≡3(mod 4)16．证明：每一个自补图有4n或4n+1个顶点。
17．构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图，其中n≥3。
18.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每一对不邻接的顶点u和v，均有degu+degv≥919．试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。
20．试证：图四中的图不是哈密顿图。
21．完全偶图Km，n为哈密顿图的充分必要条件是什么？22．菱形12面体的表面上有无哈密顿回路？23．设G是一个p(p≥3)个顶点的图。
图论考试题及答案
图论考试题及答案1. 给定一个无向图G，其顶点集为V={v1, v2, ..., vn}，边集为E={e1, e2, ..., em}，请解释什么是图的连通性，并说明如何判断一个图是否是连通的。
答案：图的连通性指的是图中任意两个顶点之间都存在一条路径。
判断一个图是否连通，可以采用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）算法。
从任一顶点开始，对图进行遍历，如果能访问到所有顶点，则图是连通的；否则，图不是连通的。
2. 描述图的生成树，并解释如何使用Kruskal算法来构建一个图的最小生成树。
答案：图的生成树是指包含图中所有顶点的子图，且该子图是一个树。
使用Kruskal算法构建最小生成树的步骤如下：首先，将所有边按照权重从小到大排序；然后，从权重最小的边开始，如果加入这条边不会形成环，则将其加入生成树中，直到生成树包含所有顶点。
3. 什么是图的色数？请举例说明如何给一个图着色以使其色数最小。
答案：图的色数是指给图的顶点着色时，使得相邻顶点颜色不同所需的最小颜色数。
给图着色以使其色数最小的方法可以采用贪心算法，即按照某种顺序给顶点着色，对于每个顶点，选择一个与已着色的相邻顶点不同的最小颜色。
4. 在一个有向图中，定义了两个顶点u和v之间的路径长度为从u到v的最短路径上的边数。
请解释什么是有向图的强连通分量，并说明如何找到它们。
答案：有向图的强连通分量是指图中的一个最大子图，其中每一对顶点都是相互可达的。
找到有向图的强连通分量可以通过Kosaraju算法或Tarjan算法。
这些算法的基本思想是先对图进行深度优先搜索，然后对图的逆图进行深度优先搜索，以识别强连通分量。
5. 描述Dijkstra算法，并说明其在解决最短路径问题时的应用场景。
答案：Dijkstra算法是一种用于在带权图中找到单个源点到所有其他顶点的最短路径的算法。
其基本思想是维护一个未访问顶点集合，并不断选择距离源点最近的顶点，更新其相邻顶点的距离。
图论试题及答案解析图片
图论试题及答案解析图片一、选择题1. 图论中，图的基本元素是什么？A. 点和线B. 点和面C. 线和面D. 点和边答案：A2. 在无向图中，如果两个顶点之间存在一条边，则称这两个顶点是：A. 相邻的B. 相连的C. 相等的D. 相异的答案：A3. 在有向图中，如果从顶点A到顶点B有一条有向边，则称顶点A是顶点B的：A. 父顶点B. 子顶点C. 邻接顶点D. 非邻接顶点答案：B4. 一个图的度是指：A. 图中顶点的总数B. 图中边的总数C. 一个顶点的边数D. 图的连通性答案：C5. 一个图是连通的，当且仅当：A. 图中任意两个顶点都是相邻的B. 图中任意两个顶点都可以通过边相连C. 图中任意两个顶点都可以通过路径相连D. 图中任意两个顶点都可以通过子顶点相连答案：C二、填空题1. 在图论中，一个顶点的度数是该顶点的________。
答案：边数2. 如果一个图的任意两个顶点都可以通过边相连，则称该图为________。
答案：完全图3. 一个图中，如果存在一个顶点到其他所有顶点都有边相连，则称该顶点为________。
答案：中心顶点4. 图论中，最短路径问题是指在图中找到两个顶点之间的________。
答案：最短路径5. 如果一个图的任意两个顶点都可以通过有向路径相连，则称该图为________。
答案：强连通图三、简答题1. 请简述图论中的欧拉路径和哈密顿路径的定义。
答案：欧拉路径是指在图中经过每条边恰好一次的路径，而哈密顿路径是指在图中经过每个顶点恰好一次的路径。
2. 什么是图的着色问题？答案：图的着色问题是指将图中的顶点用不同的颜色进行标记，使得相邻的两个顶点颜色不同。
四、计算题1. 给定一个无向图G，顶点集为{A, B, C, D, E}，边集为{AB, BC, CD, DE, EA}，请画出该图，并计算其最小生成树的权重。
答案：首先画出图G的示意图，然后使用克鲁斯卡尔算法或普里姆算法计算最小生成树的权重。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个)。
2．画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)。
3．画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。
4．某次宴会上，许多人互相握手。
证明：握过奇数次手的人数为偶数(注意，0是偶数)。
5．证明：哥尼斯堡七桥问题无解。
6．设u与v是图G的两个不同顶点。
若u与v间有两条不同的通道(迹)，则G中是否有回路？7．证明：一个连通的(p，q)图中q ≥p-1。
8．设G是一个(p，q)图，δ(G)≥[p/2]，试证G是连通的。
9．证明：在一个连通图中，两条最长的路有一个公共的顶点。
10．在一个有n个人的宴会上，每个人至少有m个朋友(2≤m≤n)。
试证：有不少于m+1个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人的左、右均是他的朋友。
11．一个图G是连通的，当且仅当将V划分成两个非空子集V1和V2时，G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。
12．设G是图。
证明：若δ(G)≥ 2，则G包含长至少是δ(G)+1的回路。
13．设G是一个(p，q)图，证明：(a)q≥p，则G中有回路；(b)若q≥p+4，则G包含两个边不重的回路。
14．证明：若图G不是连通图，则G c 是连通图。
15．设G是个(p，q)图，试证：(a)δ(G)·δ(G C)≤[(p-1)/2]([(p+1)/2]+1)，若p≡0，1，2(mod 4)(b) δ(G)·δ(G C)≤[(p-3)/2]·[(p+1)/2]，若p≡3(mod 4)16．证明：每一个自补图有4n或4n+1个顶点。
17．构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图，其中n≥3。
18.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每一对不邻接的顶点u和v，均有degu+degv≥919．试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。
20．试证：图四中的图不是哈密顿图。
21．完全偶图Km，n为哈密顿图的充分必要条件是什么？22．菱形12面体的表面上有无哈密顿回路？23．设G是一个p(p≥3)个顶点的图。
u和v是G的两个不邻接的顶点，并且degu+degv ≥p。
证明：G是哈密顿图当且仅当G+uv是哈密顿图。
24．设G是一个有p个顶点的图。
证明：若p>2δ(G)，则有长至少为2δ(G)的路。
25．证明具有奇数顶点的偶图不是哈密顿图。
26．证明：若p为奇数，则Kp中有(p-1)/2个两两无公共边的哈密顿回路。
28．中国邮路问题：一个邮递员从邮局出发投递信件，然后返回邮局。
若他必须至少一次走过他所管辖范围内的每条街道，那么如何选择投递路线，以便走尽可能少的路程。
这个问题是我国数学家管梅谷于1962年首先提出的，国外称之为中国邮路问题。
(1)试将中国邮路问题用图论述语描述出来。
(2)中国邮路问题、欧拉图问题及最短路问题之间有何联系。
1．画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个)。
2．画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)。
3．画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。
4．某次宴会上，许多人互相握手。
证明：握过奇数次手的人数为偶数(注意，0是偶数)。
5．证明：哥尼斯堡七桥问题无解。
6．设u与v是图G的两个不同顶点。
若u与v间有两条不同的通道(迹)，则G中是否有回路？7．证明：一个连通的(p，q)图中q ≥p-1。
8．设G是一个(p，q)图，δ(G)≥[p/2]，试证G是连通的。
9．证明：在一个连通图中，两条最长的路有一个公共的顶点。
10．在一个有n个人的宴会上，每个人至少有m个朋友(2≤m≤n)。
试证：有不少于m+1个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人的左、右均是他的朋友。
11．一个图G是连通的，当且仅当将V划分成两个非空子集V1和V2时，G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。
12．设G是图。
证明：若δ(G)≥ 2，则G包含长至少是δ(G)+1的回路。
13．设G是一个(p，q)图，证明：(a)q≥p，则G中有回路；(b)若q≥p+4，则G包含两个边不重的回路。
14．证明：若图G不是连通图，则G c 是连通图。
15．设G是个(p，q)图，试证：(a)δ(G)·δ(G C)≤[(p-1)/2]([(p+1)/2]+1)，若p≡0，1，2(mod 4)(b) δ(G)·δ(G C)≤[(p-3)/2]·[(p+1)/2]，若p≡3(mod 4)16．证明：每一个自补图有4n或4n+1个顶点。
17．构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图，其中n≥3。
18．在图1.4.5中，一只车从位置A出发，在半张棋盘上走，每步走一格，走了若干步后到了位置B。
证明：至少有一个格点，没有车走过，或被走过不至一次。
19.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每一对不邻接的顶点u和v，均有degu+degv≥920．试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。
21．完全偶图Km，n为哈密顿图的充分必要条件是什么？22．菱形12面体的表面上有无哈密顿回路？23．设G是一个p(p≥3)个顶点的图。
u和v是G的两个不邻接的顶点，并且degu+degv ≥p证明：G是哈密顿图当且仅当G+uv是哈密顿图。
24．设G是一个有p个顶点的图。
证明：若p>2δ(G)，则有长至少为2δ(G)的路。
25．证明具有奇数顶点的偶图不是哈密顿图。
26．证明：若p为奇数，则Kp中有(p-1)/2个两两无公共边的哈密顿回路。
27．中国邮路问题：一个邮递员从邮局出发投递信件，然后返回邮局。
若他必须至少一次走过他所管辖范围内的每条街道，那么如何选择投递路线，以便走尽可能少的路程。
这个问题是我国数学家管梅谷于1962年首先提出的，国外称之为中国邮路问题。
(1)试将中国邮路问题用图论述语描述出来。
(2)中国邮路问题、欧拉图问题及最短路问题之间有何联系。
第三章习题1．分别画出具有4、5、6个顶点的所有树(同构的只算一个)。
2．证明：每个非平凡树是偶图。
3．设G是一棵树且Δ(G)≥k，证明：G中至少有k个度为1的顶点。
4．令G是一个有p个顶点，k个支的森林，证明：G有p-k条边。
5．设T是一个k+1个顶点的树。
证明：若图G的最小度δ(G)≥k，则G有一个同构于T的子图。
6．一棵树T有n2个度为2的顶点，n3个度为3的顶点，…，n k个度为k的顶点，则T 有多少个度为1的顶点？7.设G是一个连通图。
试证：G的子图G1是G的某个生成树的子图，当且仅当G1没有回路。
8．证明：连通图的任一条边必是它的某个生成树的一条边。
9．设G是一个边带权连通图，G的每条边均在G的某个回路上。
试证：若G的边e的权大于G的任一其他边的权，则e不在G的任一最小生成树中。
10. 设G=(V，E，w)是一个边带权连通图，对任意x∈E，w(x)≥0。
试证：G的一个生成树T是G的最小生成树，当且仅当时G的任一与T的距离为1的生成树T´´满足条件：在T中而不在T´´中的边e的权w(e)不大于在T´´中而不在T中的边e´的权w(e´)。
11.某镇有1000人，每天他们中的每个人把昨天听到的消息告诉他认识的人。
已知任何消息，只要镇上有人知道，都会经这种方式逐渐地为全镇上所有人知道。
试证：可选出90个居民代表使得只要同时向他们传达某一消息，经10天就会为全镇居民知道。
12.P个顶点的图中，最多有多少个割点？13．证明：恰有两个顶点不是割点的连通图是一条路。
14．证明：有一座桥的三次图中至少有10个顶点。
15．设v是图G的一个割点，证明v不是G的补图G c的割点。
16．设v是图G的一个顶点。
证明：v是G的割点当且仅当有邻接v的两个不同的顶点u和w，使得v在u与w间的每一条路上。
17.割点的连通图是否一定不是欧拉图？是否一定不是哈密顿图？有桥的连通图是否一定不欧拉图和哈密顿图。
18.L是连通图G的一个回路，x和y是L上的两条边。
证明：G有个割集S使得x与y 恰好是L与S的公共边。
第四章习题1．设G是一个有p个顶点的图，δ(G)≥((p+k)-1)/2，试证：G是k-连通的。
2．若(p，q)图G是k-边连通的，试证：q≥kp/2。
3．设G是k-边连通的，k>0，E´是G的k条边的集合。
证明：G-E´的支数小于或等于2。
4．构造一个(p，q)图G使得δ(G)=[p/2-1]，λ(G)<δ(G).5．设k>0。
构造一个k-连通图G，以及G的k个顶点之集V´，使得G-V´的支数大于2。
6．G是一个三次正则图，试证：χ(G)=λ(G)。
7．设r≥2，G是r正则图。
证明：λ(G)≥[r/2]。
8．构造一个图G，使得χ(G)=3，λ(G)=4，δ(G)=5。
9．证明：图G是2-边连通的当且仅当任两个不同顶点间至少有两条边不重路。
10．设G=(V，E)是2-边连通图，X和Y是V的子集，|X|≥2，|Y|≥2且X∩Y=Φ。
在G中加入两个新的顶点s和t，s与X的每个顶点之间联成一条边，t与Y的每个顶点间加一条边，这样得到的图记为G´。
试证：G´是2-连通的。
11. 若G是顶点数p≥11的平面图，试证G c不是平面图。
12 设S＝{x1，x2，x3，…，x n}是平面上n个顶点的集合，n≥3，其中任两顶点的距离至少是1。
证明：S中至多有3n-6对顶点，其距离为1。
13．证明：不存在7条棱的凸多面体。
14. 图G的最短回路的长度称为G的围长；若G中无回路，则定义G的围长为无穷大。
(ⅰ)证明：围长为r的平面连通图G中有q≤r(p-2)/(r-2)，r≥3(ⅱ)利用(ⅰ )证明Petersen图(见图3.6.4)不是平面图。
15.设G是一个没有三角形的平面图。
应用欧拉公式证明G中有一个顶点v使得degv ≤3。
16．设G是一个平面图。
证明：G**同构于G当且仅当G是连通的。
17．证明：若G是自对偶的，则q=2p-2.18.设G是一个没有三角形的图。
应用教学归纲法证明G是4－可着色的(事实上，可以证明G是3－可着色的)。
19.设G是一个有p个顶点的d-正则图，证明：k(G)≥p/(p-d)。
20.试用5-色定理的证明方法来证明4色定理，在哪一点证明会失败呢？21.设G是一个(p，q)图，证明：k(G)≥p2/(p2-2p)。
22.证明：若G的任两个奇数长的回路都有一个公共顶点，则k(G)≤5。
23.证明：每个哈密顿平面图都是4-可着色的。
24.设G是一个立方体哈密顿图，证明：k´(G)=3。
25.若r是奇数且G是r-正则图，证明：k´(G)=r+1。
26.若G是彼德森图，证明：k´(G)=4。