本科高等数学作业卷(十一)及答案
高数 下 典型习题及参考答案 第8、9、10、11、12章习题及答案
4 f (x, y)dy
x2
0
0
0
C、
4
y
∫0 dy∫0
f
(x,
y )dx
D、
4
∫0 dy∫0
y
f
(x,
y)dx
2、设 Ω 是由 x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0, z = 1所围成的区域，则 ∫∫∫ xyzdxdydz =
Ω
3、旋转抛物面 z = x 2 + y 2 在 0 ≤ z ≤ 2 那部分的曲面面积 S=（ ） 2
−a
a2 −x2
0
−a
28、设 D 由 x 轴和 y = sin x, x ∈ [0,π ]所围成，则积分 ∫∫ dσ = D
29、设 Ω :
0
≤
x
≤
1,0
≤
y
≤ 1,0
≤
z
≤
K
，且
∫∫∫
xdxdydz =
1 4
，则
K
=
Ω
二、解答题
( ) ( ) 1、计算三重积分 ∫∫∫ x2 + y 2 dv ，其中Ω是由曲面 2 x2 + y 2 = z 与平面 z = 4所围成的区域。
Ω
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 正确的（
）A、
2π
dθ
a
1
dr
r 3dz
B、
2π
dθ
a
dr
1
r
r2
+
z2
dz
0
0
0
0
0
0
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) C、
2π
《高数B》同步练习册(下)答案(第11章及后)
参考答案与提示 第11章 无穷级数§11.1 常数项级数的概念与性质1.(1) ⋅⋅⋅++++753!71!51!31x x x x(2) ⋅⋅⋅+-+-432413121x x x x2(1) n 21 (2) n n 1)1(1--3(1)发散 (2) 收敛4(1)收敛 (2)发散 (3) 收敛§11.2 正项级数及其审敛法1.(1) 1<q ,qa -1, 1≥q (2) 1>p ,1≤p2(1)发散 (2)收敛 (3)收敛 (4)收敛 (5)发散3(1)收敛 (2)收敛 (3)收敛 4(1)发散 (2)收敛 (3)收敛§11.3 任意项级数的绝对收敛与条件收敛1.(1)条件收敛 (2)绝对收敛 (3)绝对收敛 (4)条件收敛 (5)条件收敛§11.4 泰勒级数与幂级数1.(1)A (2)C (3)D (4)A2(1)),(+∞-∞ (2))3,3[- (3))0,2[- (4)]1,1[-3(1))1,1(,)1(222-∈-x x x(2))1,1(,11ln41arctan 21-∈--++x x xx x4(1) ∑∞=+++-012122)!12()1(n n n nn x,+∞<<∞-x(2) ∑∞=++012)!12(n n n x,+∞<<∞-x(3) ∑∞=--+2)1()1(n nnnn xx ,11≤<-x(4) ∑∞=+-0)1()1(n nn x n ,11<<-x5. 26,)4)(3121(11-<<-+-∑∞=++x x n nn n6.∑∞=++-++-0212])!2()3(3)!12()3([)1(21n nn nn x n x ππ,+∞<<∞-x总习题十一1.(1))1(2+n n ,收敛,2 (2)3- (3)DFI(4)8 (5)2 (6) e 22(1)A (2)C (3)C (4)B (5)C 3(1)发散 (2)收敛 (3)收敛 (4) 发散 (5)时且10≠>a a ,级数收敛;时1=a ，级数发散.(6)当0< a <1时级数收敛; 当a >1时级数发散; 当a =1时，s > 1级数收敛，0< s ≤1级数发散.4(1)绝对收敛 (2)条件收敛 (3)条件收敛 (4)发散 (5)时1>a ,级数绝对收敛；时1=a ，级数条件收敛； 当0< a <1时级数发散. (6)条件收敛5(1)]21,21[- (2))21,21(-6(1))1ln(12222x xx+++, )1,1(-∈x(2)3)1(2x x -, )1,1(-∈x7. 2ln 4385-8(1) ∑∞=-+12)!2(2)2()1(1n nnn x , +∞<<∞-x(2)⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅-+-++12)1(513141253n xx x x n nπ, 11<<-x(3)∑∞=---1112)1(n nnn x n, 2121≤<-x9(1) 53,)1()1(41)1(4ln 011≤<--+-+∑∞=++x x n n n n n(2) 31,)1)(2121()1(0322<<----∑∞=++x x n nn n n10.提示：利用不等式)1(210222λλ++≤+≤n a n a n n11.提示：利用不等式n n n n a c a b -≤-≤012.(2) )(21)(xx ee x y -+=,+∞<<∞-x13.3980万元14.提示：f (x )在x 0 = 0处展开成一阶泰勒级数高等数学(下)期中模拟试卷(一)一、1、C 2、C 3、A 4、D 5、C二、1、π322、x 23、dy dx 22ππ+4、2229x z y =+ 5、⎰⎰θπθcos 20220)(rdr r f d三、1、2)1,1,0(=''x x f ,2)0,0,1(-=-''z x f2、dy y dx x dz ϕϕϕϕ'+'-+'+'-=12123、212g y g f x z '+'+'=∂∂，2221222g xy g g x f yx z ''+'+''+''-=∂∂∂ 四、)12(31-五、22π-六、5113342-+=-+=-z y x七、提示：),(y x f 在极坐标系中满足0=∂∂rf八、当雇佣250个劳动力，投入资本为50个单位时，生产量最高。
高数文C1期末A卷(11级)参考答案
则切线斜率为： y' x 0 1 ，故切线方程： y 1 x ，法线方程： y 1 x ……2 分
y 1
26、解：设该长方形小屋的长为 x 米，则宽为
1 ( 20 x) 米；设其面积为 S，有 2
S
1 x(20 x) ， S ' 10 x ，令 S ' 0 ，得 x 10 ……4 分 2
e x
……3 分，
lim
x 0
e e 2x
lim
x 0
e e 2
x
x
……3 分
e
x
lim
1 x
e0 1 ……3 分
=1……1 分 19、 解：dy d ln( x cos x)
1 20、 y' e f ( x ) f ' ( x) ……2 分， d ( x cos x) ……3 分， x cos x cos x x sin x y' ' e f ( x)[ f ' ( x)]2 e f ( x) f ' ' ( x) ……4 分 dy dx ……3 分 x cos x
lim 2
x 0
23、解：原式 x ln(1 x ) xd ln(1 x ) ……2 分，
24、解：令 t
t 原式 e 2tdt
x ，则 x t 2 ， dx 2tdt
x ln(1 x)
x dx ……2 分， 1 x
2 tde t 2(tet et dt )
高等数学 C1 期末 A 卷参考答案及评分标准
2011~2012 第一学期 一、单项选择（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
高等数学测试及答案(第十一章)
高等数学测试（第十一章）一. 选择题（每题3分，共30分） 1.下列级数收敛的是（ ）A.135(21)25(31)n n n ∞=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-∑ B. 212n n n ∞=+∑ C. 1πsin n n ∞=∑D. n ∞= 2.下列级数条件收敛的是（ ）A.15(1)4nn n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑B. 1(1)n n ∞=-∑C.13(1)5n n n ∞=-∑D. 1(1)n n ∞=-∑3.设a为常数，则级数21sin n a n ∞=⎛ ⎝∑（ ）A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.收敛性与a 无关4．下列命题正确的是 ( ) A.lim 0n n u →∞=，则1nn u∞=∑必发散 B.lim 0n n u →∞≠，则1nn u∞=∑必发散 C.lim 0n n u →∞=，则1nn u∞=∑必收敛 D.lim 0n n u →∞≠，则1nn u∞=∑必收敛5.若级数1n n u ∞=∑收敛，则级数（ ）A. 1n n u ∞=∑收敛 B. 1(1)nn n u ∞=-∑收敛 C. 11n n n u u ∞+=∑收敛 D. 112n n n u u ∞+=+∑收敛 6.设0n u >，若1nn u∞=∑发散，1(1)nnn u∞=-∑收敛，则下列结论正确的是（ ）A. 211n n u∞-=∑收敛，21nn u∞=∑发散 B.211n n u∞-=∑发散，21nn u∞=∑收敛C.2121()n n n uu ∞-=+∑收敛 D. 2121()n n n u u ∞-=-∑收敛7.设10(1,2,)n u n n ≤≤=，则下列级数中一定收敛的是（ ）A. 1n n u ∞=∑ B. 1(1)n n n u ∞=-∑C.n ∞=D. 21(1)n n n u ∞=-∑8.若幂级数∑∞=-1)1(n n nx a在1-=x 处收敛,则该级数在点3=x 处 （ ）A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 一定发散D. 可能收敛也可能发散 9. 设幂级数∑∞=+0)1(n n nx a在2-=x 处条件收敛，则它在2=x 处（ ）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.收敛性不确定 10. 级数13nn n a ∞=∑收敛，则级数1(1)2n nn n a ∞=-∑（ ） A.发散 B.条件收敛 C.绝对收敛 D.收敛性不确定二. 填空题（每题4分，共20分）11.级数0(ln3)2n nn ∞=∑的和为___________. 12.若lim n n u →∞=∞，则1111n n n u u ∞=+⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑ .13.幂级数1(1)nn n x∞=+∑的和函数为________________.14.函数112x +展开式为x 的幂级数为________________. 15.幂级数2024n nn x n ∞=+∑收敛区间为________.三.计算题（每题10分，共50分）16. 求幂级数()()n n x n n 202!!2∑∞=的收敛区间. 17. 求幂级数21(2)4nn n x n ∞=-∑的收敛域. （不考虑端点情况）18.求()x x f arctan =的麦克劳林展开式. 19.将函数1()(3)f x x x =+展开成2x -的幂级数,并写出收敛域.20.将()x x f 3=展开为2-x 的幂级数，并指出收敛区间.答案：一.选择题1—5 A B C B D 6—10 D D D A C二. 填空题11. 3ln 22-. 12. 11u . 13. ()2212x x x --. 14. ()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛<<--0212121n n n n x x . 15. 11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. 三.计算题16. 求幂级数()()n n x n n 202!!2∑∞=的收敛区间（不考虑端点情况）. 【解析】因为()()()()()()()()22221221411n 22lim !!2!1!12lim lim x x n x n n x n n u u l n n n n nn n =++=++==∞→+∞→+∞→. 当142<=x l ，即21<x 时级数()()n n x n n 202!!2∑∞=绝对收敛； 当142>=x l ，即21>x 时级数()()n n x n n 202!!2∑∞=发散； 故级数()()n n x n n 202!!2∑∞=的收敛区间为2121<<-x .17. 求幂级数21(2)4nnn x n ∞=-∑的收敛域. 【解析】令2x t -=级数化为214n n n t n ∞=∑，这是缺项幂级数，讨论正项级数21||4nnn t n ∞=∑， 而222112||41lim lim (1)4||4n n n n n n n nu t n l t u n t +++→∞→∞==⨯=+，当211,4l t =<即||2t <时级数214nn n t n ∞=∑绝对收敛；当211,4l t =>即||2t >时级数214nn n t n ∞=∑发散；当211,4l t ==即2t =±时级数化为11n n∞=∑是发散的；故级数214n n n t n ∞=∑收敛域为(2,2)-，由2x t -=得级数21(2)4nnn x n ∞=-∑收敛域为(0,4). 18.求()x x f arctan =的麦克劳林展开式.【解析】()()()()()()∑∑∞=∞=<<--=-=+='='0202211,1111arctan n n nn nn x x x x x x f .则()()()()()1,121111200200020<+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-='=+∞=∞=∞=∑⎰∑⎰∑⎰x x n dt t dt t dt t f x f n n nx nn n xn n n x. 19.将函数1()(3)f x x x =+展开成2x -的幂级数,并写出收敛域.【解析】令2x t -=，则2x t =+，11111111()(2)(5)3256151125f x t tt t t t ⎛⎫==-=- ⎪++++⎝⎭++； 又因01()1nn x x ∞==-+∑，所以001()(1)(22)2212n n n n n n t t t ∞∞===-=--<<+∑∑； 001()(1)(55)5515n n n n n n t t t t ∞∞===-=--<<+∑∑； 故0011()(1)(1)62155n nn n n n n n t t f x ∞∞===---∑∑ 11011(1)(22)3235n n n n n t t ∞++=⎡⎤=---<<⎢⎥⋅⋅⎣⎦∑ 11011(1)(2)(04)3235n n n n n x x ∞++=⎡⎤=---<<⎢⎥⋅⋅⎣⎦∑. 20.将()x x f 3=展开为2-x 的幂级数，并指出收敛区间. 【解析】令t x =-2，则()3ln 29393t t t ex f ⋅=⋅==+.而()+∞∞-∈=∑∞=,,!0x n x e n nx.所以()()()()()()()()()+∞∞-∈-=-=+∞∞-∈===∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=,,2!3ln 92!3ln 9,,!3ln 9!3ln 930x x n x n t t n n t x f n n n n n n n n n n nx.。
专升本高等数学试卷11答案
《高等数学》期末测试卷11答案1设二阶线性非齐次方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''有三个特解x y =1，x e y =2，x e y 23=，则其通解为（C ）A .x x e C e C x 221++；B .x x eC e C x C 2321++； C .)()(221x x x e x C e e C x -+-+；D .)()(2221x e C e e C x x x -+- 2． =-+→→y x yx y x 00lim（ C ） A 0 B1 C 不存在 D ∞3．双曲抛物面22234x y z -=与xoy 平面的交线是（D ）A 双曲线B 抛物线C 平行直线D 相交于原点的两条直线 4.若曲面2132222=++z y x 的切平面平行于平面02564=++-z y x ，则切平面个数为 （ B ） A . 1； B . 2； C . 3； D . 无穷多5. 设D 是xoy 面上以)1,1(),0,0(),1,1(-为顶点的三角形区域，1D 是D 中在第一象限的部分，则积分⎰⎰+Dd y x y x σ)cos cos (33＝ （ A ）A .σd y x D ⎰⎰1cos cos 23； B .⎰⎰132D yd x σ； C .⎰⎰+1)cos cos (33D d y x y x σ； D .0二．填空题（3分⨯5 =15分） 6 . 函数yx z ln = ， 则 x z ∂∂=x1 7．)()(x q y x p dxdy=+ 为一阶线性微分方程，其通解公式是8. 过点2,3,4且垂直于平面3x y z 40的直线方程是141332-+=-=-z y x 9． 曲面3=+-xy z e z 在点)0,1,2(处的切平面方程为042=-+y x ，法线方程为2112zy x =-=- 。
10. 与三个坐标轴夹角相等的单位向量是3kj i ++±三．计算题（7分×7=49分）11. 设)(x y y =满足方程x e y y y 223=+'-''，且其图形在点)1,0(与曲线12+-=x x y 相切，求函数)(x y 。
高等数学下册 第十一章 综合练习题答案
第十一章自测题参考答案一、填空题： 1.()⎰Γ++ds R Q P γβαcos cos cos 切向量2.()⎰⎰∑++dS R Q P γβαcos cos cos 法向量3.⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D dxdy y P x Q 4. 0 5. π4 6. π2 7. 0 8.()⎰⎰101,dy y x f dx ， ()⎰⎰-110,dy y x f dx ， 09.()⎰-Lds x x y x P 22,二、选择题：1.C2.C3.A4.A5.D 三、计算题：1.解 由于曲线L 表达式中x ,y, z 是对称的，所以⎰Lds x 2=⎰Lds y 2=⎰Lds z 2，故⎰L ds x 2=()⎰++ds z y x 22231=3223223131a a a ds a L ππ=⋅=⎰. 2.解 原式=()[](){}⎰+---π20sin cos 1cos 12dt t t t()⎰+=π202sin sindt t t =π202sin 2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t =π 3.解 记222:y x a z S --=，D ：xoy 平面上圆域222a y x ≤+原式=()dxdy y z x z y x a y x D222221⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+--++⎰⎰ =()⎰⎰--⋅--++Ddxdy yx a y x a y x a2222221注意到积分区域D 关于坐标轴的对称性及被积函数的奇偶性知⎰⎰--Ddxdy yx a x 222=⎰⎰--Ddxdy yx a y 222=0，所以原式=⎰⎰Ddxdy a=2aa π⋅=3a π.4.解 利用高斯公式原式=()⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x 2其中Ω为S 所围成的空间区域。
由Ω关于坐标平面的对称性知⎰⎰⎰Ωxdxdydz =⎰⎰⎰Ωydxdydz =0，所以，原式=⎰⎰⎰Ωzdxdydz 2=⎰⎰⎰+1222y x D zdz dxdy xy=()⎰⎰--xyD dxdy y x 221=()⎰⎰-12201ρρρθπd d=2412ππ=⋅5.解 原式=()()[]()⎰+--π202222sin cos 1cos 1dt t a t a t a=()⎰-π20253cos 12dt t a =⎰π20253sin 8dt at=du u a⎰π53sin 16=315256a 6.解 ()()()()()x f y x Q y x f e y x P x -=+=,,,要使曲线积分与路径无关，当且仅当xQ y P ∂∂=∂∂，即()()x f x f e x '-=+ 解此微分方程可得()x xe Cex f 21-=-，又()210=f ，所以C =1,故()x x e e x f 21-=- 现在计算从()0,0A 到()1,1B 的曲线积分的值.由于积分与路径无关，故选取有向折线________CB AC +进行积分，其中()0,1C 。
华东理工大学高等数学第11次作业答案
华东理工大学高等数学第11次作业答案第2章（之10）第11次作业教学内容：§2.4.6隐函数的导数及对数求导法§2.4.7由参数方程确定的函数的导数§2.4.8极坐标系下曲线的切线问题1.**(1))(1ln xyyyxy==-所确定的隐函数验证由方程)1(2='-+yxyy满足方程.证明：y xyyy+'-=0，)1(2='-+yxyyy，得两边同乘. **(2))0(,)sin(e)(yyxyxyy xy'=+=求确定由方程解：yxyy xyy xyxy'='++'+)cos()()(e，,1,0==yx时当代入上式有2)0(='y.***(3) 设由方程所确定求．y y x x y y=+=' (),() 21 解：) (ln )ln (= '++'+y yxyyxyxyx x y，,1,1= =y当代入上式有'=-y()11.**2.及该方程所表示求所确定的隐函数是由方程已知y y x y y'=+,1e cos .)0,0(处的切线方程的曲线在点解：0e sin cos ='+'?-y y y x y y，得 y y x yy e sin cos -='，'=-=-y y x ()(,)0100，点切线方程为.3.*(1) ．求确定了函数设dx dy x y y ty t x tt ),(sin e cos e 22===)sin 2(cos e )cos sin 2(e d d 222t t t t t x y t t -+=解： )sin 2(cos )cos sin 2(e 22t t t t t t -+=.*(2)223,e 1)(==+==x t dx dy y tx x y y 试求所确定由方程设.解：31,2,312=====t dt dxt x t dt dx ，时当，212e 2e 2===t t dt dy dt dy ，， 3e 222==x dxdy .4.**(1) 处的法线在则曲线的参数方程为已知曲线22sin cos π= ==t L ty tx L_____________________方程为.0124=+-y x 答.***(2) 0)(1cos e 2==+=--=x x y y t t y t x x t在所确定的曲线试求由处的切线方程.0001cos e 2===+=--=y t x t t y t x x t，时，知当解：由，t x t dt dx dt dx t sin cos e +-=且，12+=t dt dy，2,211000===∴===t t t dx dydt dx dt dy ，，故所求切线方程为:y x =2.5.**(1)设，求．y xx x y =+--'1152323()解：25ln 311ln 21ln 31ln ----+=x x x y)25(3512)1(31----+='x x x y y----+--+=')25(3512)1(3125)1(1323x x x x x x y .**(2) ．求设y x x x y x'<<+=),0(,sin )1(e21π解：ln (ln()ln sin )y x x x =+++121121122+++-='x x x x y y cot 41112122+-++='x x x x x x y x cot 4111sin )1(e 212221 .***6. 设函数 )(x y y = 由方程223)(1-+=++y x y x x 所确定，试求 )2,0(),(d d =y x x y.解：两边取对数 )223ln()ln()1(-+=++y x y x x ，两边求导：223'23'1)1()ln(-++=+++++y x y y x y x y x ，将（0，2）点代入上式：2'232'12ln y y +=++，可解得 22ln 2')2,0(),(-==y x y .***7. 证明曲线323232a y x =+)0(>a 上任意点)0,0)(,(00000≠≠=y x y x P 处的切线在两坐标轴之间的线段为定长.证明：对曲线方程求导有： 0'32323131=+--y y x，3131'??? ??-=???? ??-=-x y y x y ，所以知曲线在0P 点的切线斜率为3100-=x y ，切线方程为：()031000x x x y y y -???? ??-=-，令0=y ，得323100320a x x y x x =+=，切线与x 轴的交点为)0,(32310a x M =，令0=x ，得323100320310a y y x y y =+=，切线与y 轴的交点为),0(32310a y N =，所以切线在两坐标轴间的线段长为：aa y a x =+232310232310)()(.***8. 求三叶玫瑰线)0()3sin(>=a a θρ上对应于4πθ=的点处的切线方程(直角坐标形式).解: 三叶玫瑰线方程可写为 ??==θθθθsin )3sin(cos )3sin(a y a x 。
高数答案第11章
第十一章 曲线积分与曲面积分 (09级下学期用) § 1 对弧长的曲线积分 1设 L 关于x 轴对称，1L 表示L 在x 轴上侧的部分，当()y x f ,关于y 是偶函数时，()=⎰Lds y x f ,（ B ）()⎰1,L ds y x f C. ()⎰-1,2L ds y x f D.ABC 都不对2、设L 是以点()()()()1,0,0,1,1,0,0,1--D C B A 为顶点的正方形边界,则⎰+Lyx ds =( C )24 D. 223、有物质沿曲线L ：()103,2,32≤≤===t t z t y t x 分布，其线密度为,2y =μ，则它的质量=m ( A )++1421dt t t t B.⎰++14221dt t t tC.⎰++1421dt t t D.⎰++1421dt t t t4．求,⎰Lxds 其中L 为由2,x y x y ==所围区域的整个边界解：,⎰Lxds =()22155121241111+-=++⎰⎰xdx dy yy 5．,ds y L⎰其中L 为双纽线)0)(()(222222>-=+a y x a y x解：原积分=()()222sin 4sin 442022'2441-==+=⎰⎰⎰a d ad r r r ds y L χππθθθθθ6．⎰+Lds y x ,22其中L 为()022>=+a axy x原积分222cos 2a adt t a ==⎰π7．,2⎰Lds x 其中L 为球面2222a z y x =++与平面0=-y x 的交线解：将y x =代入方程2222a z y x =++得2222a z x =+于是L 的参数方程：t a z t a y t a x sin ,sin 2,cos 2===，又adt ds =原积分=⎰=ππ203222cos 2a adt t a 8、求均匀弧()0,sin ,cos ≤<∞-===t e z t e y t e x t t t 的重心坐标33,30===⎰∞-dt e M dt e ds tt，523cos 100==⎰∞-dt e t e Mx t t ，21,5100=-=z y§2 对坐标的曲线积分 一、选择题1.设L 关于x 轴对称，1L 表示L 在x 轴上侧的部分，当()y x P ,关于y 是偶函数 时，()=⎰Ldx y x P ,( D) A.0 B. ()⎰1,2L dx y x P C.()⎰-1,2Ly x P 都不对2．设L 为1=+y x 的正向，则=++⎰Ly x ydyxdx 3．L 为222a y x =+的正向，=+--+⎰Lyx dyy x dx y x 22)()(( B ) A.2ππ C.0 D.π二、计算1．()()dy y x dx y x L⎰-++2222，其中L 由曲线()2011≤≤--=x x y 从()0,2A 到()0,0O 方向解：()1,1B 01:,:;12:,2:_______→=→-=x x y BO x x y AB=I =+⎰⎰_______BOAB ()()()()()()34122012212222-=++---+-+⎰⎰dx x xdx x x dx x x2．[]d y y x x xy y dx y x L)ln((2222+++++⎰ 其中L 是正向圆周曲线222a y x =+解： 由奇偶对称性022=+⎰Ldx y x ，L ：ππ→-==:,sin ,cos t t a y t a x=I ()()=++⎰-dt t a t t a dt t t acos 1ln cos sin cos sin 3224πππππ4cos sin 4224a dt t t a =⎰-3．()⎰Γ-+++dz y x ydy xdx 1其中为从点()1,1,1A 到()4,3,2B 的有向线段解：Γ方程：13,12,1+=+=+=t z t y t x ，=I ()136141=+⎰dt t三、过()0,0O 和()0,πA 的曲线族()0sin >=a x a y ，求曲线L 使沿该曲线从()0,0O 到()0,πA 的积分()()dy y x dx y L+++⎰213的值最小解：()()[]3033344cos sin 2sin 1a a dx x a x a x x a a I +-=+++=⎰ππ()()()0811,014''2'>=⇒=⇒=-=I a a a I 。
高等数学(本科)第十一章课后习题解答
习题11.11.回答下列问题.(1)何谓级数∑∞=1n n u 的前n 项部分和？何谓级数∑∞=1n n u 的收敛和发散？何谓收敛级数的和？【答】（1）∑∞=1n n u 的前n 项部分和是指(),...2,11==∑=n u S nk k n ；（2）∑∞=1n n u 收敛是指s S n n =∞→lim 存在，这时并称s 为∑∞=1n n u 的和；∑∞=1n nu发散是指n n S ∞→lim 不存在.(2)当公比q 取何值时，等比级数∑∞=-11n n aq 收敛？当公比q 取何值时，等比级数∑∞=-11n n aq发散？写出收敛时的和数.【答】（1）当1<q 时，∑∞=-11n n aq 收敛，且其和数为qas -=1； （2）当1≥q 时，∑∞=-11n n aq 发散.(3) 级数∑∞=1n n u 收敛的必要条件是什么？它是否也是充分条件.请举例说明.【答】（1）∑∞=1n n u 收敛的必要条件是0lim =∞→n n u ；（2）0lim =∞→n n u 不是∑∞=1n n u 收敛的充分条件.比如，01lim =∞→n n ，但∑∞=11n n发散.2.若级数()()()......2211+++++++n n b a b a b a 收敛，去掉括号之后的级数级数......2211+++++++n n b a b a b a 是否还收敛？它说明了什么？ 【答】未必，比如()()() (1111111)+-++-+=-∑∞=-n n .3.把下列级数写成级数”“∑的形式.(1) ...5ln 5ln 5ln 32+++ ；【解】∑∞==+++1325ln ...5ln 5ln 5ln n n ；(2) (8)141211-+-+- ； 【解】()11211...8141211-∞=∑-=-+-+-n n n ；(3) ...001.0001.0001.03+++ ；【解】()nn 113001.0...001.0001.0001.0∑∞==+++；(4)...751531311+⨯+⨯+⨯. 【解】()()∑∞=+-=+⨯+⨯+⨯112121...751531311n n n . 4.根据级数收敛与发散的定义，判别下列级数的敛、散性.(1) (8)1614121++++；【解】nn 1.21...816141211∑∞==++++发散.(2)∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-2211ln n n； 【解】记()()n n n n n n n n u n 1ln 1ln 11ln11ln 22++-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,...)2(=n 则 1432...+++++=n n u u u u S⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n n 1ln 1ln ...45ln 43ln 34ln 32ln 23ln 21lnn n n n n n 1ln1ln 1ln ...43ln 34ln 32ln 23ln 21ln ++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++= ,...)2,1(11ln 21ln =⎪⎭⎫⎝⎛++=n n因为 21ln lim =∞→n n S ，所以∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-2211ln n n 收敛. (3) ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+14122ln n nn n ； 【解】因∑∞=122ln n n n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛=122ln n n及∑∞=141n n nn ⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∞=141均收敛，故∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+14122ln n n n n 收敛. (4) (1)31...2191131+++++++n n ；【解】因为 (3)1...9131++++n 收敛，但 (1)...211++++n 发散，故原级数发散.(5) (4)33221+++ ；【解】 级数的通项为 ,...)2,1(1=+=n n nu n ，因为01lim ≠=∞→n n u ，故...433221+++发散.(6) ...cos ...3cos 2cos cos +++++nππππ ；【解】级数的通项为 ,...)2,1(cos ==n nu n π，因为010cos lim ≠==∞→n n u ，故...cos ...3cos 2cos cos +++++nππππ发散.(7) nn n n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-12ln ；【解】级数的通项为 ,...)2,1(2ln =⎪⎭⎫⎝⎛-=n n n u nn ，因为02ln 21ln lim lim 222≠-==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---∞→∞→en u n n n n ，故nn n n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-12ln 发散.(8) (9)898983322+-+-.【解】...9898983322+-+-nn ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-=198是等比级数，且公比98-的绝对值小于1，故...9898983322+-+-收敛.5.已知级数∑∞=1n n u 的部分和3n S n =，当2≥n 时，求n u .【解】(),...)2(13312331=+-=--=-=-n n n n n S S u n n n .6.若级数∑∞=1n n u 收敛，记∑==ni i n u S 1，则（B ）A. 0lim =∞→n n S ； B. n n S ∞→lim 存在；C. n n S ∞→lim 可能不存在； D. {}n S 是单调数列.7.若级数∑∞=1n n u 收敛，则下列级数中收敛的是（A ）A. ∑∞=110n n u； B.()∑∞=+110n nu；C. ∑∞=110n nu ； D.()∑∞=-110n nu.8.设501=∑∞=n n u ，1001=∑∞=n n v ，则()∑∞=+132n n n v u （D ）A. 发散；B. 收敛，和为100；C. 收敛，和为50；D. 收敛，和为400. . 9.下列条件中，使级数()∑∞=+1n n n v u 一定发散的是（A ）A.∑∞=1n nu发散且∑∞=1n n v 收敛； B.∑∞=1n nu发散；C.∑∞=1n nv发散； D.∑∞=1n nu和∑∞=1n n v 都发散.10.设级数()∑∞=-11n n u 收敛，求n n u ∞→lim .【解】因为()∑∞=-11n n u 收敛，故根据级数收敛的必要条件知()01lim =-∞→n n u ，所以 =∞→n n u lim ()[]=--∞→n n u 11lim ()1011l i m1=-=--∞→n n u .11.将下列循环小数表示为分数 (1) ∙3.0 ；【解】...003.003.03.03.0+++=∙是公比为1.0=q 的等比级数，故311.013.03.0=-=∙. (2) ∙∙370.0.【解】...0000073.000073.0073.0370.0+++=∙∙是公比为01.0=q 的等比级数，故.9907301.01073.0370.0=-=∙∙12.设级数∑∞=1n n u 满足条件：（1）0lim =∞→n n u ；（2）()∑∞=-+1212n n n u u 收敛，证明级数∑∞=1n n u 收敛.【解】记∑∞=1n n u 的前n 次部分和数列为{}n S .又记()∑∞=-+1212n n n u u 的前n 次部分和数列为{}n σ.则有(),...2,12==n S n n σ.因为已知()∑∞=-+1212n n n u u ，故根据级数收敛的定义知 =∞→n n σl i ms S n n =∞→2lim ①存在；又已知0lim =∞→n n u ，故0lim 12=+∞→n n u ，从而=+∞→12lim n n S ()s s S u n n n =+=++∞→0lim 212②也存在.综合①、②式知s S n n =∞→lim 存在，所以级数∑∞=1n n u 收敛.13.小球从1米高处自由落下，每次弹起的高度均为前一次高度的一半，问小球会在自由下落约多少秒后停止运动？ 【解】小球为自由落体运动，即212s gt =。
高等数学11-1(09-10-1)答案[1]
高等数学Ⅱ-1试题答案（09-10-1）一、填空题（每小题2分，共10分）1．设2,1()5,1x x f x x x ⎧≤=⎨+>⎩，则(5)f x -= 2(5),6(5).,6x x f x x x ⎧-≤-=⎨>⎩ 2．2x →= 23．当0x →+x 的 阶无穷小。
144．设ln mx t y t=⎧⎨=⎩，则22d y dx = 2mm t 5．1cos 1cos xdx x -=+⎰ 解：221cos tan sec 2tan .1cos 222x x x xdx dx dx x c x -===-++⎰⎰⎰ 二、计算题（一）（每小题7分，共21分） 1．已知(sin )cos 12xf x =+，求(cos ).2x f解：(cos )(sin())(sin )cos()1cos 12222x x xf f f x x πππ-=-==-+=-+另：22(sin )12sin 122sin 222x x x f =-+=- 22()22(cos )22cos .22x xf t t f =-⇒=-2．求2220ln(sin )lim .ln()2x x x x e xx e x→+-+-解：222222200ln(sin )ln (sin 1)lim limln()2ln (1)2x x x x x x x x x e x e x e xx e x e x e x→→+-+-=+-+- 22222200ln(sin 1)sin lim lim 1ln(1)x xx x x x x e x e x e x e→→+===+ 另：222222200ln(sin )sin 222lim lim 12sin ln()2x x x xx x x x x e xx e x e x e x e x e x →→⎡⎤⎡⎤+-++=--⎢⎥⎢⎥+++-⎣⎦⎣⎦2222001sin 2sin 12cos 2sin 2lim lim 12sin 212x x x x x x e x x x xx e x x x→→+--=⋅==+--3．指出函数22()(1)x xf x x x -=-的间断点及其类型。