第9章 质点动力学基本方程

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第9章 质点动力学基本方程

一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)

1. 凡是适合于牛顿三定律的坐标系称为惯性参考系。 ( √ )

2. 一质点仅受重力作用在空间运动时，一定是直线运动。 ( × )

3. 两个质量相同的物体，若所受的力完全相同，则其运动规律也相同。 ( × )

4. 质点的运动不仅与其所受的力有关，而且还和运动的初始条件有关。 ( √ )

5. 凡运动的质点一定受力的作用。 ( × )

6. 质点的运动方向与作用于质点上的合力方向相同。 ( × ) 二、填空题

1．质点是指大小可以忽略不计，但具有一定质量的物体。 2．质点动力学的基本方程是∑=

i

m F a ，写成自然坐标投影形式为∑=τF dt s

d m 2

2

∑=

n

F v

m ρ

2

∑

=b F 0。 3．质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性。

4．质量为m 的质点沿直线运动，其运动规律为0ln(1)v t x b b

=+，其中0v 为初速度，b

为常数。则作用于质点上的力=F 20

2

0()

mbv b v t -

+。

5．飞机以匀速v 在铅直平面内沿半径为r 的大圆弧飞行。飞行员体重为P ，则飞行员对座椅的最大压力为2

(1)v

P gr

+。

三、选择题

1．如图9.6所示，质量为m 的物块A 放在升降机上， 当升降机以加速度a 向上运动时，物块对地板的压力等于( B )。

(A) mg (B) )(a g m + (C) )(a g m - (D) 0 2．如图9.7所示一质量弹簧系统，已知物块的质量为m ，弹簧的刚度系数为c ，静伸长量为s δ，原长为0l ，若以弹簧未伸长的下端为坐标原点，则物块的运动微分方程可写成( B )。

(A) 0=+x m c x

(B) 0)(=-+s x m c

x

δ (C) g x m c x s =-+)(δ (D) 0)(=++s x m

c x δ 3．在介质中上抛一质量为m 的小球，已知小球所受阻力R kv =-， A

a

图9.6

、

、

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坐标选择如图9.8所示，试写出上升段与下降段小球的运动微分方程，上升段( A )，下降段( A )。

(A) x k mg x m --= (B) x k mg x m +-= (C) x k mg x m --=- (D) x k mg x

m +-=-

m

O

x

图9.7 图9.8

四、计算题

9-1 质量为m 的物体放在匀速转动的水平转台上，它与转轴的距离为r ，如图9.9所示。

设物体与转台表面的摩擦系数为f ，求当物体不致因转台旋转而滑出时，水平台的最大转速。

解：选物块为研究对象，受力分析如图所示。应用自然坐标形式的质点动力学微分方程，有

0=-mg F N s F mr =2ω 根据静滑动摩擦定律，有s F ≤N fF ，代入上式，有

ω≤

r gf 即物体不致因转台旋转而滑出时，水平台的最大转速为 r

gf =

max ω 9-2 如图9.10所示离心浇注装置中，电动机带动支撑轮A 、B 作同向转动，管模放在两轮上靠摩擦传动而旋转。铁水浇入后，将均匀地紧贴管模的内壁而自动成型，从而可得到质量密实的管形铸件。如已知管模内径400mm D =，求管模的最低转速n 。

s F

图9.9 图9.10

解：要使铁水浇入后能均匀地紧贴管模的内壁，管模转动时要有一定的转速。为求管模的最低转速，可选管模内最上端的一微段铁水为研究对象。在临界转速下，铁水不受内

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壁作用，其只受重力作用。受力分析如图所示。列质点动力学微分方程，有

mg D m =2

2

ω 解得

)/(72s rad D

g

==

ω 管模的最低转速n 为

min)/(6730

7r n =?=

π

9-3 物体自地球表面以速度0v 铅直上抛。试求该物体返回地面时的速度1v 。假定空气阻力2R mkv =，其中k 是比例常数，按数值它等于单位质量在单位速度时所受的阻力。m 是物体质量，v 是物体的速度，重力加速度认为不变。

解：物块在上升的过程中，其运动过程如右图(a)所示。应用质点运动微分方程，有

2mkv mg dt

dv m --= 而dx

dv v dt dx dx dv dt dv =?=，所以上式可以写成 )(2

kv g dx

dv v +-= 即

dx

kv g vdv

-=+2

物体自地球表面铅直上抛到最高点，其速度由0v 变成0，而坐标由0变成h 。两边积分，有

?

?

-=+h v dx kv

g vdv

00

20

这样有

)1ln(21

20g

kv k h += 物块在下落的过程中，其运动过程如右图（b ）所示。应用质点运

动

微分方程，有 2mkv mg dt dv

m -=

上式可写成

dx kv g vdv

=-2

物体自最高点下落到地面，其速度由0变成1v ，而坐标由0变成h 。两边积分，有

?

?

=-h v dx kv g vdv

021

解得

0v x v

m 1v )a (图 )b (图

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2

1

ln 21kv g g

k h -= 这样，有

21

20ln 21)1ln(21kv g g k g kv k -=+ 解得

g

kv v v 2

011+

=

9-4 静止中心O 以引力2F k mr =吸引质量是m 的质点M ，其中k 是比例常数，

OM =r 是点M 的矢径。运动开始时0OM b =，初速度为0v 并与0OM 的夹角为α，如图9.11所示。

求质点M 的运动方程。

解：应用直角形式的质点运动微分方程，有

mx k mr k F dt x d m 2222cos cos -=-=-=θθ my k mr k F dt y d m 222

2sin sin -=-=-=θθ

上面两式可分别写为

02

2

2=+x k dt

x d ，

022

2=+y k dt

y d

其微分方程的通解可写为

kt B kt A x sin cos 11+=，kt B kt A y sin cos 22+= 代入初始条件

b x t ==0，αcos 00

v dt dx

t ==，00==t y ，

αsin 00v dt dy t == 可解得

b A =1，k v B αcos 01=，02=A ，k

v B α

sin 02= 质点M 的运动方程可写为 kt k v kt b x sin cos cos 0α+

=，kt k v y sin sin 0α

= 9-5 如图9.12所示，胶带运输机卸料时，物料以初速度0v 脱离胶带，设0v 与水平线的夹角为α。求物体脱离胶带后，在重力作用下的运动方程。

解：建立如图所示的坐标系。物料脱离胶带后只受重力作用，应用质点运动微分方程，有

02

2=dt x d m ，mg dt y d m

=2

2

即

02

2=dt x d ，

g dt y d =2

2

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其微分方程的通解可写为

B At x +=，D Ct gt y ++=2

2

1 代入初始条件

00==t x ，

αcos 00

v dt dx

t ==，00==t y ，

αsin 00v dt dy t == 可解得

αcos 0v A =，0=B ，αsin 0v C =，0=D 物料脱离胶带后的运动方程可写为

αcos 0t v x =，αsin 2

102

t v gt y +=

图9.11 图9.12

9-6 滑翔机受空气阻力R kmv =-作用，其中k 为比例系数，m 为滑翔机质量，v 为滑翔机的速度。在0=t 时，有0v v =，试求滑翔机由瞬时0=t 到任意时刻t 所飞过的距离 (假设滑翔机是沿水平直线飞行的)。

解：滑翔机可视为质点，不妨假设滑翔机由瞬时0=t 到任意时刻t 所飞过的距离为s 。应用质点的运动微分方程，有

k m v

dt s d m -=2

2 上式可写为

kv dt

dv

-= 上面微分方程的通解为

kt Ce v -= 即

kt Ce dt

ds

-=，解得 D e k

C s kt +-=- 代入初始条件

00==t s ，00v dt ds

t == 可解得

0v C =，k

v D 0

=

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滑翔机由瞬时0=t 到任意时刻t 所飞过的距离为

)1(0

kt e k

v s --=

9-7一物体质量kg m 10=，在变力100(1)F t =-牛顿作用下运动。设物体初速度002m s v ./=，开始时力的方向与速度方向相同。问经过多少时间后物体速度为零，此前走

了多少路程？

解：初始时力的方向与速度方向相同，而且以后变力只是大小改变而方向并未改变，可见物体作变速直线运动。以开始运动时为坐标原点，沿运动方向取坐标轴。应用质点运动微分方程，有

)1(1002

2t dt s d m -=

即

)1(102

2t dt s d -=，解得

D Ct t t s ++-=323

55 代入初始条件

00==t s ，

00

v dt ds

t == 解得

2.00==v C ，0=D 物体的运动方程可写为

t t t s 023

5532+-= 物体的运动速度为

2.05102+-==

t t dt

ds

v 令物体速度为零，即02.05102=+-t t ，解得s t 02.2=，此时，物体的运动的路程为 m t

t t s t t 07.72.03

5502

.23202.2=+-===

9-8 质量为kg 2的滑块M 在力F 作用下沿杆AB 运动，杆AB 在铅直平面内绕A 转动，如图9.13所示。已知t s 4.0=，t 5.0=? (s 的单位为m ，?的单位为rad ，t 的单位为s)，滑块与杆AB 的摩擦系数为1.0=f 。试求s t

2=时力的大小。

图9.13

B

(a)

B

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解：(1) 选滑块M 为研究对象，受力分析如图(a)所示。

(2) 选滑块M 为动点，杆AB 为动系，由k r n

e ay ax a a a a a ++=+作M 的加速度合

成图如图(b)所示。

列ax a 投影方程有

n

e r ax a a a -=

其中：在s t 2=时，022==dt

s d a r ，222/2.05.08.0s m AM a n

e

=?=?=ω，故有 2/2.0s m a a a n

e

r ax -=-= 列ay a 投影方程有

k ay a a =

其中：在s t 2=时，s m dt

ds

v r /4.0==

，2/4.04.05.022s m v a r k =??==ω，故有 2/4.0s m a a k ay ==

（3）应用质点运动微分方程，有

ax s ma mg F F =--?sin ，ay N ma mg F =-?cos 其中：当s t 2=时，rad 1=?，N s fF F =，代入上式，可得

)(2.17sin N ma mg F F Cx s =++=?

9-9 质量为m 的小球C ，用两根长为L 的细长杆支持，如图9.14所示。球和杆一起以匀角速度ω绕铅垂轴AB 转动，设a AB 2=，不计杆自重，求各杆所受的力。

图9.14

解：(1) 由于球和杆一起以匀角速度ω绕铅垂轴AB 转动，球具有向心加速度n

C a 如图

(a)所示。该加速度大小为

2222ωωa L r a n

C -==

(2) 选小球C 为研究对象，受力分析如图(b)所示。

（3）应用质点运动微分方程，有

0sin sin =--mg F F CB CA θθ

n

C CB CA ma F F =+θθcos cos

C

C

CA F

g

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其中：L

a

=θsin ，L a L 2

2cos -=

θ，代入上式，可得 )(22g a a mL F CA +=ω，)(22

g a a

mL F CB -=ω

9-10 如图9.15所示，电机A 重量为06kN .，通过连接弹簧放在重量为5kN 的基础上，

弹簧的重量不计。电机沿铅垂线以规律2cos y B t T

π

=作简谐运动。式中振幅01cm B .=，周

期0.1s T =，试求支撑面CD 所受压力的最大值和最小值。

(a)

M

W

N F

s F

(b)

图9.15 图9.16

解：选整体为研究对象，受力分析如图所示。应用质点运动微分方程，有

y g G

G G F N 121=-- 解得

t T

T B g G G G F N π

π2cos 422121-

+= 其中：kN G 6.01=，kN G 52=，0001B .=，0.1T =。计算可得支撑面CD 所受压力的最大

值和最小值分别为

kN T B

g G G G F N 84.5422121max =+

+=π kN T B

g G G G F N 36.542

2121min =-+=π

9-11 如图9.16所示，在三棱体ABC 的粗糙斜面上放有重为W 的物体M ，三棱体以匀加速度a 沿水平方向运动。为使物件M 在三棱体上处于相对静止，试求a 的最大值，以及这时M 对三棱体的压力。假设摩擦系数为f ，并且f <αtg 。

解：(1) 物件M 在三棱体上处于相对静止，物件M 加速度和三棱体的加速度a 一致如图(a)所示。

(2) 选物件M 为研究对象，受力分析如图(b)所示。应用质点运动微分方程，有

a g

W

F F s N =+ααcos sin

0sin cos =--W F F s N αα

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其中：N s fF F =，解得

g f f a α

αα

αsin cos cos sin -+=

α

αs i n c o s f W

F N -=

9-12 质量为m 的质点受到已知力作用沿直线运动，该力按规律t F F ωcos 0=变化，其

中0F ，ω为常数。当开始运动时，质点已具有初速度00x v =，试求质点的运动规律。

解：应用质点运动微分方程，有 t F dt s d m ωcos 02

2=

即

tdt m

F dv ωcos 0

=

两边同时积分，并应用初始条件，有

?

?

=

t

v

v tdt m

F dv 0

cos 0

ω 即

t m F v v ωω

sin 0

0+= 而上式可写成

t m F v dt dx

ωω

sin 00+= 积分上式，有

C t m F t v x +-=ωωcos 2

00

由初始条件00==t x ，解得2

0ωm F C =

，代入上式，可得质点的运动规律为

)cos 1(2

00t m F t v x ωω

-+

=